↑

Properties

Label 45.45.6128231730...9361.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $19^{40}\cdot 31^{42}$
Root discriminant $337.76$
Ramified primes $19, 31$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-8937046621536643, -40401517332214916, 38015736547359269, 338163088283119511, 152924933759221, -1248245094003212175, -327662726329807390, 2668021411897921137, 1008367868417943528, -3682047656706158942, -1666809346078423573, 3471556977526533885, 1803267431605382487, -2306120975093560007, -1366727950240442050, 1094855896004641434, 749732931610001378, -371303902979085816, -303360026160716188, 87997267245853232, 91678287510298882, -13494994939768731, -20872201046519003, 920658436866528, 3599175944415558, 119457837724165, -471014331370572, -44214268231149, 46682393472693, 6740250648134, -3478319662546, -660457840142, 192019854445, 45208500184, -7656169786, -2204269403, 210980315, 75995397, -3701713, -1801054, 34148, 27766, -57, -250, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - x^44 - 250*x^43 - 57*x^42 + 27766*x^41 + 34148*x^40 - 1801054*x^39 - 3701713*x^38 + 75995397*x^37 + 210980315*x^36 - 2204269403*x^35 - 7656169786*x^34 + 45208500184*x^33 + 192019854445*x^32 - 660457840142*x^31 - 3478319662546*x^30 + 6740250648134*x^29 + 46682393472693*x^28 - 44214268231149*x^27 - 471014331370572*x^26 + 119457837724165*x^25 + 3599175944415558*x^24 + 920658436866528*x^23 - 20872201046519003*x^22 - 13494994939768731*x^21 + 91678287510298882*x^20 + 87997267245853232*x^19 - 303360026160716188*x^18 - 371303902979085816*x^17 + 749732931610001378*x^16 + 1094855896004641434*x^15 - 1366727950240442050*x^14 - 2306120975093560007*x^13 + 1803267431605382487*x^12 + 3471556977526533885*x^11 - 1666809346078423573*x^10 - 3682047656706158942*x^9 + 1008367868417943528*x^8 + 2668021411897921137*x^7 - 327662726329807390*x^6 - 1248245094003212175*x^5 + 152924933759221*x^4 + 338163088283119511*x^3 + 38015736547359269*x^2 - 40401517332214916*x - 8937046621536643)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - x^44 - 250*x^43 - 57*x^42 + 27766*x^41 + 34148*x^40 - 1801054*x^39 - 3701713*x^38 + 75995397*x^37 + 210980315*x^36 - 2204269403*x^35 - 7656169786*x^34 + 45208500184*x^33 + 192019854445*x^32 - 660457840142*x^31 - 3478319662546*x^30 + 6740250648134*x^29 + 46682393472693*x^28 - 44214268231149*x^27 - 471014331370572*x^26 + 119457837724165*x^25 + 3599175944415558*x^24 + 920658436866528*x^23 - 20872201046519003*x^22 - 13494994939768731*x^21 + 91678287510298882*x^20 + 87997267245853232*x^19 - 303360026160716188*x^18 - 371303902979085816*x^17 + 749732931610001378*x^16 + 1094855896004641434*x^15 - 1366727950240442050*x^14 - 2306120975093560007*x^13 + 1803267431605382487*x^12 + 3471556977526533885*x^11 - 1666809346078423573*x^10 - 3682047656706158942*x^9 + 1008367868417943528*x^8 + 2668021411897921137*x^7 - 327662726329807390*x^6 - 1248245094003212175*x^5 + 152924933759221*x^4 + 338163088283119511*x^3 + 38015736547359269*x^2 - 40401517332214916*x - 8937046621536643, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - x^{44} - 250 x^{43} - 57 x^{42} + 27766 x^{41} + 34148 x^{40} - 1801054 x^{39} - 3701713 x^{38} + 75995397 x^{37} + 210980315 x^{36} - 2204269403 x^{35} - 7656169786 x^{34} + 45208500184 x^{33} + 192019854445 x^{32} - 660457840142 x^{31} - 3478319662546 x^{30} + 6740250648134 x^{29} + 46682393472693 x^{28} - 44214268231149 x^{27} - 471014331370572 x^{26} + 119457837724165 x^{25} + 3599175944415558 x^{24} + 920658436866528 x^{23} - 20872201046519003 x^{22} - 13494994939768731 x^{21} + 91678287510298882 x^{20} + 87997267245853232 x^{19} - 303360026160716188 x^{18} - 371303902979085816 x^{17} + 749732931610001378 x^{16} + 1094855896004641434 x^{15} - 1366727950240442050 x^{14} - 2306120975093560007 x^{13} + 1803267431605382487 x^{12} + 3471556977526533885 x^{11} - 1666809346078423573 x^{10} - 3682047656706158942 x^{9} + 1008367868417943528 x^{8} + 2668021411897921137 x^{7} - 327662726329807390 x^{6} - 1248245094003212175 x^{5} + 152924933759221 x^{4} + 338163088283119511 x^{3} + 38015736547359269 x^{2} - 40401517332214916 x - 8937046621536643 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(612823173021751971297676000847719042376493061735873445231828455051262946540529457157884846548736505117837633099361=19^{40}\cdot 31^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $337.76$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $19, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(589=19\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{589}(1,·)$, $\chi_{589}(131,·)$, $\chi_{589}(9,·)$, $\chi_{589}(138,·)$, $\chi_{589}(140,·)$, $\chi_{589}(397,·)$, $\chi_{589}(142,·)$, $\chi_{589}(536,·)$, $\chi_{589}(149,·)$, $\chi_{589}(408,·)$, $\chi_{589}(543,·)$, $\chi_{589}(289,·)$, $\chi_{589}(419,·)$, $\chi_{589}(39,·)$, $\chi_{589}(169,·)$, $\chi_{589}(175,·)$, $\chi_{589}(562,·)$, $\chi_{589}(438,·)$, $\chi_{589}(311,·)$, $\chi_{589}(159,·)$, $\chi_{589}(64,·)$, $\chi_{589}(196,·)$, $\chi_{589}(453,·)$, $\chi_{589}(586,·)$, $\chi_{589}(80,·)$, $\chi_{589}(81,·)$, $\chi_{589}(82,·)$, $\chi_{589}(163,·)$, $\chi_{589}(214,·)$, $\chi_{589}(343,·)$, $\chi_{589}(472,·)$, $\chi_{589}(346,·)$, $\chi_{589}(349,·)$, $\chi_{589}(351,·)$, $\chi_{589}(443,·)$, $\chi_{589}(100,·)$, $\chi_{589}(237,·)$, $\chi_{589}(366,·)$, $\chi_{589}(125,·)$, $\chi_{589}(112,·)$, $\chi_{589}(467,·)$, $\chi_{589}(245,·)$, $\chi_{589}(576,·)$, $\chi_{589}(253,·)$, $\chi_{589}(510,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{563} a^{42} + \frac{232}{563} a^{41} - \frac{61}{563} a^{40} - \frac{120}{563} a^{39} - \frac{20}{563} a^{38} + \frac{240}{563} a^{37} + \frac{122}{563} a^{36} - \frac{153}{563} a^{35} + \frac{80}{563} a^{34} - \frac{184}{563} a^{33} - \frac{54}{563} a^{32} - \frac{198}{563} a^{31} - \frac{66}{563} a^{30} + \frac{177}{563} a^{29} - \frac{47}{563} a^{28} - \frac{200}{563} a^{27} - \frac{28}{563} a^{26} + \frac{151}{563} a^{25} - \frac{50}{563} a^{24} + \frac{122}{563} a^{23} + \frac{87}{563} a^{22} + \frac{170}{563} a^{21} - \frac{71}{563} a^{20} - \frac{245}{563} a^{19} - \frac{34}{563} a^{18} + \frac{142}{563} a^{17} - \frac{37}{563} a^{16} - \frac{142}{563} a^{15} - \frac{82}{563} a^{14} + \frac{82}{563} a^{13} - \frac{225}{563} a^{12} + \frac{235}{563} a^{11} + \frac{262}{563} a^{10} + \frac{67}{563} a^{9} - \frac{146}{563} a^{8} - \frac{5}{563} a^{7} + \frac{237}{563} a^{6} - \frac{28}{563} a^{5} + \frac{182}{563} a^{4} + \frac{155}{563} a^{3} + \frac{163}{563} a^{2} - \frac{44}{563} a - \frac{196}{563}$, $\frac{1}{563} a^{43} + \frac{163}{563} a^{41} - \frac{43}{563} a^{40} + \frac{233}{563} a^{39} - \frac{187}{563} a^{38} + \frac{179}{563} a^{37} + \frac{256}{563} a^{36} + \frac{107}{563} a^{35} - \frac{165}{563} a^{34} - \frac{154}{563} a^{33} - \frac{56}{563} a^{32} + \frac{267}{563} a^{31} - \frac{275}{563} a^{30} - \frac{12}{563} a^{29} + \frac{7}{563} a^{28} + \frac{206}{563} a^{27} - \frac{109}{563} a^{26} - \frac{176}{563} a^{25} - \frac{101}{563} a^{24} - \frac{67}{563} a^{23} + \frac{254}{563} a^{22} - \frac{101}{563} a^{21} - \frac{100}{563} a^{20} - \frac{57}{563} a^{19} + \frac{148}{563} a^{18} + \frac{236}{563} a^{17} - \frac{3}{563} a^{16} + \frac{208}{563} a^{15} - \frac{36}{563} a^{14} - \frac{107}{563} a^{13} + \frac{76}{563} a^{12} - \frac{210}{563} a^{11} + \frac{87}{563} a^{10} + \frac{74}{563} a^{9} + \frac{87}{563} a^{8} + \frac{271}{563} a^{7} + \frac{162}{563} a^{6} - \frac{78}{563} a^{5} + \frac{156}{563} a^{4} + \frac{235}{563} a^{3} - \frac{139}{563} a^{2} - \frac{122}{563} a - \frac{131}{563}$, $\frac{1}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{44} - \frac{486640486941313067163263713690806729556636628406981605516262046670474905545458116211304695806406875220315685520603879540920946509266850868273574942511989711377279851922094373664819517663793164062999807235103574003912854889623215098088144975007803346696720048778677140611083065354438701456987816495572859055739971261641244368628620239}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{43} + \frac{504017448832371274238555916845986988399062060749009676809794110933943793554344072936897217680791757956687919208315888786742520701895060675780856540358989115884459624590139702462627025157567988650047625245500631990793264731773032868910122799236396651267046251278466284909111688302717474964833218424307233811859371018154060403159516237}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{42} + \frac{153244327528686566310880880015809201260370305743747208816812011939174683939251083626070512019081521652254868878974593239306801576050839397184270957858939599530985046855784106827628816067393411218212272027189206075477769459469042586774085227015151508483569415246054425331009009882086064528800758827921964562107921699822972918971250415007}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{41} + \frac{3519908532834050357446955786337404465864840979839462172407794327285522488672080803924021261789586882745176293919654846569312723282532886700364591878049010002357369710520801335617368315927559807653155967343047265021044883588249293399954068312798625936213213842523509898574944309863807013712002398352857036142694271153121545309132513630}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{40} + \frac{210413677475753403288517190609825916883753501124418652896954268567239589218763456524050721767844179553900211324951417244055874963419817423732671312328844182316558788864228047271991415102200692060457791796501426870490718795647407306421432942716325462525872708030520209313814491348424152686216209716703066656920018997026839818860437192438}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{39} + \frac{181648004504803420732429392367222958379629912550808835636181313513540291118145102339780188943726015809174609302350205599787142701930620315991617692624346906141020939560843910976703407585043928654620549654707201164817839634099449434035515531678674934544362753285894014399607962703688361233766056714756268188127350522822577656607177362294}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{38} + \frac{258411809834597483127591757401575776264695260920795093577186801071714814689466700592235474521555869684527896250599725420278847413448299620571901030459998937355551407681630623714575484410924526875042239327921066398113004388649927638186098067525249768007278578986883383520306594758549066464028115457711386488961742482942633131292864493513}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{37} - \frac{25233358069378886894425688731162783742188128388286282080025959928868410785110066513123654876844675848710749135652625232014404424310175208251721415694674950569266172677666782570939514655914756078278054536570531648468544691221981092105837432942428281426008074641623481702222360591799966490273021330571996066897383617625594196384520118434}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{36} - \frac{187896760869208991847310469920009331753517733489681269705629433227904387985158870333486178398488707074309358913246694539949205809604003192528918265165292251651750005547984711407830758904042843641322935472230292728294223713050160323089064387618466720918312545348187472372309843213489709555252842941112870980265162889999966306110341561841}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{35} + \frac{264585480413277552479067113542355459008550430634894488706484919148722156762643728207097651664796586154982220423392430933501016993853687811651709969029617459846906931057612459351904973954810772012858934957846006951607120811406454166541988504281529367483940781565289607334974624370292189621353976546397125289593786055666211442088571709718}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{34} + \frac{266354897873678931972562004399894994817252864477309852607723604815273453659968709981645995710733425129033051600514055857786347077155457356286318995960805495957671735625169402561717556159244784237910079888114613515788537711385591592480208672652359189515305711163224027164716166817605462919162765630955368442607389400097763031687101316164}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{33} - \frac{291665702967748380077219048111418611236247878155901767975300269198481646555764019665304236590246345255285722946823248303572329871430687290843464365928532381275692592257510236707998506530206775259416577503984819249337019172412413843787369174657353701152975900203756338244577205598590007253470073928850020314583364397470841672343747185044}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{32} + \frac{81588316740072177939165153674964282338035661810233394572592455648702962514745891258284530119822296741797024663464130490068444870221836766745604118763541040990423074872593315216616102514576472865827845719137952736501311426440607643158510811849381611230613126046304108418510989602933140321316905433658201898902288203141928495849769556268}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{31} - \frac{95712755307482487512685861467761536856164777548478407933038000708530555487758235282514020664225238992553933499904478957992427592288875365147719328837083973482904483520150475227582810807264441866152634897428090977626494631546461009299776493774696495532320411885358699152718761579702282961156412684282396038601817218017269280893320570462}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{30} - \frac{134985957903516760689632175841560633115178641482266950145104692331593897475473037536438785850527561750236064530893155152609244824005292886394520271286472242913133790777686645554648572339777709308622604570237707985276211357262707605021486015408385277948338279601457190898493051401189500893298029760871741500240841196214940535595262358681}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{29} + \frac{231560731928752421162561207954695981259634199587812187360450772816669308755301554389958972964122232172060641124583564452064174257926247053864291325522303184821404813044532067338031371530818289778723138589660047830731072770846034349699181672208491267249149534093400534369767979981029533371862845623408585335349774627266033322485642516119}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{28} + \frac{155730123258543557226310622681545580779304690116444241369671438365352162615245390258744167181984146197591706775301393966176035173240880932525527144883520338794787074351728337041003056312508668972532231592048233876253809864031228928778951480143398507801619460512533878833608379031202554944992088078275037830519649376808877674070870522317}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{27} - \frac{213002548421647234746561149379275746055269462671295049499709438638606817304954597097691239244243854729221556127972874545200507999781499225274441293430569757883202368466305682569645642668734615814389359090651887833662974221449013290688271023677213586389074026619916403825553436725078541384005997440918037002321645268987173776101255851804}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{26} + \frac{196950940344399121843447813300993564703651605340530997424266563863465930832622744501499557231066887734815038416233382636443245480886103048461672918488716072729256020027334392840363158531391235901988318405087786765507423173652905994991822906893959316597033192573843749657216778917374481010051870833010185659805987427608950352212059883268}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{25} - \frac{53871798638240312868398404003458377759909564083963902083223846542583920130500721612349388712048546692103490412670288565911701324468706263349794689256410914671453166083390007573910935604563118753480599217744671238229955020355189463589121330824421074847189861282962876670972046133384587681965090924863772601076984459593639481419922647728}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{24} + \frac{171673343351856977604682586421245104377336805113022402126241969961266938451517661501864228066379447139743063166679561093971938218650035324450532639751686744374872624589785705992417285266212670347177579783412771928398773607515514285555751535064487246355446645997561679059535222405199164901620147910567581208113808902218419946214318097435}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{23} + \frac{115210069577554730615602406097383093991938469978694204079442568981077640477609950852472613755505379078649239682879150376088835412439022032584518120907690072382528032342170036462423170968298757185136343268965330844811093060401506496912544858852836904482551294669174953843660849553037915301100717626748852254071547408235208213961429670545}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{22} + \frac{210086447694184748968178217076780683083251752459322441187239539019637103129906031089061018877535965259156409607796404326679744989415474301123617746089598398068731926620917314202584966368122548923512789920753217507960529129625095884751632015393557104891371877380481157210781181841935526639045886315137119577159953479788912574129270781524}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{21} - \frac{145386109298702049116081177990271793894644870836344468324622767500449563249475492907329437636758912300647441916703144914641658729553118758632800489509604282239091968693275724029392298481474751987545267493642140625889412115413286495205518407327542163655912354645870532952309764014018207521851825095516405944358409101015893799657949038753}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{20} - \frac{159137503557653467818569224846056109538718789550723752653568868395790092693004543258715993702235516625185065599501915294758011754622494182430148476292719098803093568549187871535267830979223457274583060207875552205827414716008677067606329891883019853074263960954344503923370410835041642625658669800220059453649219382060330556559878799878}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{19} + \frac{186798446519943360668526494495958258735782832429343223246442627786295511904847024009254979979843780872905660104177412707375370166314551212568738127694720124786935159043718309066520295055682275542543312611380759457212431326345962803141384253615003349616162377867098504822231497358138155347671524979400472995998542934534804366086023684097}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{18} + \frac{288436048906870050760945093542133653486375446961259669029830437697457374296745589429668224555101635621697968838989639278204575713831962364940023660694302612807966765830955017020867480936203311281038700779681507583142967049523013795937596973401489876481029412702466547275939188083735109174928086621010133718465712478517245095053283688384}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{17} + \frac{8230209467701102710653378692739814083019373503392337141431209366615066897473654427848529981944343974123673308654212029648476861979436170496328851499987102124557884665031455015621994467428456416369579029010904223635491951835747918316524139687802786714607571403706800726301453792393085118465964362128251561136417669849737981971722265599}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{16} - \frac{29721975742520653038052707172675254068213388464023753195117166822570263001089564306270039433247361776003577850540525626596155198277055459785015743441599892106229127830652034270650835045307115582933372252634648176043254256214848316120199842495749513094137497866156782506099821531486755065941534587991284445431068794127201453839034700601}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{15} - \frac{272716681795879634554487561208680631128730688820760603071130825099890935753731998437291211993613302086193534036503024477314669427923202079016708810466169607338951811249929899933761353122868002391945348822156929888423525505314609872909745882870147778719023908998521590891548162964415373464135554939432005886479024072576719995486791742347}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{14} - \frac{74929384613055760782467889586461552767669597076871053603889334079552859476806408288514575228016116696314124114736776366729554876184947942561728561427315947400180299750993513771760253569855336455640182677583473346238256823375374190882933185074815622398765648533175556920880600017426723648050186543744594367606974847859201031215333691548}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{13} + \frac{283936606149790960730544171777231425040507563024427704162565362016459572193864134162930869699517470170688840756896641828383356894911548077390136648296771008966401418098153407514855845326968511571440756230804645885684540936395063632737116418222571674211473136771338801498341916669626541110970631722190048472155052133522032595922087621625}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{12} + \frac{136454786649282614888212433454758853263961508912760099766063284310430442934013778823003527227804941974829986195808924039329637487390814418858607321945819348625561224736761501986975806289969842443993407690438596366135775405901504681223861195759842632422397296304860208776600419899455450515209142786780445172096015700581988734255874097888}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{11} + \frac{106246253202025876769989236501591127848669283595243333614969456347959880734701844563308068746146991533873668684759368181429001918008464004396124033921339392281268840081057363648470750310553023038222262690419856978285473350919585792488060601836337766775913703843972169164510253207262770877902408554283725989522417581036470422396268345416}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{10} + \frac{216765759300466597986494218665240081326182600716308329189063617604006578556713102345414239198578211248234114948632155134144524867975186399562955093559998563105738247359432975338483416112699098074452006466996076770582332409647639884505231137788707804068649560435090746621408780673104138904104052532758538288655500240114504157735462909781}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{9} + \frac{145724236757498709243819332437968773383059738256924630660981626755972201571356330647948250038895717681186958584737857122978233133144561376150884156258366270882133468432775525361665379279384318542266877760415007454732517272876720645676934532811096612611157762483004565336852796823128852274711868109150588574555607217132651919125077196033}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{8} - \frac{80767758369173767279661679464110316391516134230561019913053390929097054665235622433533474669783300163213582799796667693485629195184227316510832655432064335330771940945285589196427365295538423947960941620492525225295913625110051071772139976423461086546955343470064638154132736585902726641137019990354093896255497631010554021989148809506}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{7} + \frac{248046756666028939966945120616712435957591204665399711674194589603967556406102651122205636791924773828532581699517786496208145288879916041596150901552784375857854591074666313646485176068754682671598834808838443055423212289215825899085791926930731455310723516342430146715192828920927791863021791647520427557547046362449544714385807299}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{6} + \frac{39565034432879524234943300759076219106997438905482969921245452986289959423689834481295019763510700540632395025175770440697567907226257437673583112882509967897675715584890446148982252574433158059828235719845690209265461881973242221252612103518385778561029852134230057712177127716445894171540529609061643412634003004387251574464597718238}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{5} + \frac{149968826313237547921672367470296985486777346720727999253369041285245600252462792305895480123481060344284828727109379282739143124458016417120421946354490332904944149385166402667354961089290006716202063977424055675773438106553981654538750262751715080089383588635609450557330604247723969605521433843249595872304363605301492371358996843962}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{4} - \frac{199101712641057573577373433200679587776351675022532238272532096904051841237845459787124622104574789440965480490646061881644930334466904468582036094880321233882563839041385125934052509625980664191639534471276299362399259992212174169595518141523774890077339875868780782762030747377429500894438525296533313798267617511627031363308724454108}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{3} + \frac{132652400976605940450644700450372335976524975040613356554655203400594149170584314070244011263564133600914735485999433574178623753250847872396261989422645305102671207208241512291801697554956579504631632061933162264097526870118229314348011760794835318245273099543392350989003745336606721391885009817478233188986036186467670305965921066635}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a^{2} - \frac{232138598450200236852721559493961547229368168208167456198877133089067841828030103273352788443772773178465276523681208645665256673421756467777678056447424585783375940681424152554807410493106680008598224443188930734402696459966042324506469461491116138815074319464784504019621573282044724619409482134146730551068470262211751274357166288547}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699} a + \frac{9452740669937203124676915441135112012197118952082926647749634750041440925365077859042117541573835007786301178832287703339566811492159736582176570490059450894797758214652366637562868374294411921862759563862267804886898361757575556049121214922506308603730324277233312721946104552997475490622236681262906715419362394689586120595491384439}{596809338068006960267118387330931565981996756980947811663336527435754423378397460038275031612084400913959993030386995397716484223567699185230321822982987207106803899724452309192237266477885400183945313878711216782451986758767574803030475008529273500356673166804855173375950612680885809405854277606907566721569985832060675594233706394699}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.923521.1, 9.9.15072974715383053921.2, 15.15.4829212716211581952447142935561.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{5}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
$31$31.15.14.11$x^{15} - 8756732719$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.11$x^{15} - 8756732719$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.11$x^{15} - 8756732719$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$