Properties

Label 45.45.436...561.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $4.368\times 10^{88}$
Root discriminant $93.28$
Ramified primes $11, 19$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - x^44 - 76*x^43 + 71*x^42 + 2587*x^41 - 2253*x^40 - 52277*x^39 + 42329*x^38 + 700945*x^37 - 526048*x^36 - 6604336*x^35 + 4578520*x^34 + 45186997*x^33 - 28840788*x^32 - 228874394*x^31 + 134081171*x^30 + 867295136*x^29 - 465239246*x^28 - 2469432362*x^27 + 1211308198*x^26 + 5279515898*x^25 - 2368332022*x^24 - 8432662207*x^23 + 3466272920*x^22 + 9971146414*x^21 - 3771201953*x^20 - 8615444602*x^19 + 3016692905*x^18 + 5349176614*x^17 - 1747589185*x^16 - 2338480852*x^15 + 719039461*x^14 + 702585559*x^13 - 204971923*x^12 - 140848481*x^11 + 39126498*x^10 + 18138585*x^9 - 4764404*x^8 - 1426972*x^7 + 345013*x^6 + 64118*x^5 - 13350*x^4 - 1490*x^3 + 225*x^2 + 15*x - 1)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - x^44 - 76*x^43 + 71*x^42 + 2587*x^41 - 2253*x^40 - 52277*x^39 + 42329*x^38 + 700945*x^37 - 526048*x^36 - 6604336*x^35 + 4578520*x^34 + 45186997*x^33 - 28840788*x^32 - 228874394*x^31 + 134081171*x^30 + 867295136*x^29 - 465239246*x^28 - 2469432362*x^27 + 1211308198*x^26 + 5279515898*x^25 - 2368332022*x^24 - 8432662207*x^23 + 3466272920*x^22 + 9971146414*x^21 - 3771201953*x^20 - 8615444602*x^19 + 3016692905*x^18 + 5349176614*x^17 - 1747589185*x^16 - 2338480852*x^15 + 719039461*x^14 + 702585559*x^13 - 204971923*x^12 - 140848481*x^11 + 39126498*x^10 + 18138585*x^9 - 4764404*x^8 - 1426972*x^7 + 345013*x^6 + 64118*x^5 - 13350*x^4 - 1490*x^3 + 225*x^2 + 15*x - 1, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-1, 15, 225, -1490, -13350, 64118, 345013, -1426972, -4764404, 18138585, 39126498, -140848481, -204971923, 702585559, 719039461, -2338480852, -1747589185, 5349176614, 3016692905, -8615444602, -3771201953, 9971146414, 3466272920, -8432662207, -2368332022, 5279515898, 1211308198, -2469432362, -465239246, 867295136, 134081171, -228874394, -28840788, 45186997, 4578520, -6604336, -526048, 700945, 42329, -52277, -2253, 2587, 71, -76, -1, 1]);
 

\( x^{45} - x^{44} - 76 x^{43} + 71 x^{42} + 2587 x^{41} - 2253 x^{40} - 52277 x^{39} + 42329 x^{38} + 700945 x^{37} - 526048 x^{36} - 6604336 x^{35} + 4578520 x^{34} + 45186997 x^{33} - 28840788 x^{32} - 228874394 x^{31} + 134081171 x^{30} + 867295136 x^{29} - 465239246 x^{28} - 2469432362 x^{27} + 1211308198 x^{26} + 5279515898 x^{25} - 2368332022 x^{24} - 8432662207 x^{23} + 3466272920 x^{22} + 9971146414 x^{21} - 3771201953 x^{20} - 8615444602 x^{19} + 3016692905 x^{18} + 5349176614 x^{17} - 1747589185 x^{16} - 2338480852 x^{15} + 719039461 x^{14} + 702585559 x^{13} - 204971923 x^{12} - 140848481 x^{11} + 39126498 x^{10} + 18138585 x^{9} - 4764404 x^{8} - 1426972 x^{7} + 345013 x^{6} + 64118 x^{5} - 13350 x^{4} - 1490 x^{3} + 225 x^{2} + 15 x - 1 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(436\!\cdots\!561\)\(\medspace = 11^{36}\cdot 19^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $93.28$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $11, 19$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(209=11\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{209}(1,·)$, $\chi_{209}(130,·)$, $\chi_{209}(4,·)$, $\chi_{209}(5,·)$, $\chi_{209}(9,·)$, $\chi_{209}(16,·)$, $\chi_{209}(20,·)$, $\chi_{209}(23,·)$, $\chi_{209}(25,·)$, $\chi_{209}(26,·)$, $\chi_{209}(157,·)$, $\chi_{209}(158,·)$, $\chi_{209}(159,·)$, $\chi_{209}(163,·)$, $\chi_{209}(36,·)$, $\chi_{209}(49,·)$, $\chi_{209}(168,·)$, $\chi_{209}(169,·)$, $\chi_{209}(42,·)$, $\chi_{209}(45,·)$, $\chi_{209}(47,·)$, $\chi_{209}(177,·)$, $\chi_{209}(180,·)$, $\chi_{209}(137,·)$, $\chi_{209}(58,·)$, $\chi_{209}(188,·)$, $\chi_{209}(191,·)$, $\chi_{209}(64,·)$, $\chi_{209}(196,·)$, $\chi_{209}(199,·)$, $\chi_{209}(201,·)$, $\chi_{209}(207,·)$, $\chi_{209}(80,·)$, $\chi_{209}(81,·)$, $\chi_{209}(82,·)$, $\chi_{209}(92,·)$, $\chi_{209}(93,·)$, $\chi_{209}(144,·)$, $\chi_{209}(100,·)$, $\chi_{209}(102,·)$, $\chi_{209}(104,·)$, $\chi_{209}(111,·)$, $\chi_{209}(115,·)$, $\chi_{209}(119,·)$, $\chi_{209}(125,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $a^{42}$, $\frac{1}{109698401} a^{43} - \frac{11183856}{109698401} a^{42} - \frac{6870398}{109698401} a^{41} + \frac{29261147}{109698401} a^{40} + \frac{37340916}{109698401} a^{39} - \frac{23052517}{109698401} a^{38} + \frac{23169393}{109698401} a^{37} + \frac{32499075}{109698401} a^{36} - \frac{20325921}{109698401} a^{35} + \frac{20669732}{109698401} a^{34} - \frac{15973412}{109698401} a^{33} + \frac{1423591}{109698401} a^{32} - \frac{53540867}{109698401} a^{31} - \frac{32119448}{109698401} a^{30} + \frac{38595315}{109698401} a^{29} + \frac{3187455}{109698401} a^{28} + \frac{39604909}{109698401} a^{27} - \frac{1442383}{109698401} a^{26} - \frac{1268712}{109698401} a^{25} + \frac{49026755}{109698401} a^{24} + \frac{33754043}{109698401} a^{23} - \frac{42435046}{109698401} a^{22} - \frac{15154413}{109698401} a^{21} + \frac{15444548}{109698401} a^{20} - \frac{47597227}{109698401} a^{19} + \frac{43524682}{109698401} a^{18} + \frac{43982021}{109698401} a^{17} - \frac{17255365}{109698401} a^{16} + \frac{3246124}{109698401} a^{15} + \frac{13870309}{109698401} a^{14} - \frac{27529335}{109698401} a^{13} - \frac{23300094}{109698401} a^{12} - \frac{47502667}{109698401} a^{11} - \frac{27062608}{109698401} a^{10} - \frac{25395969}{109698401} a^{9} - \frac{36016490}{109698401} a^{8} + \frac{6500168}{109698401} a^{7} - \frac{41604230}{109698401} a^{6} + \frac{35995750}{109698401} a^{5} - \frac{46505263}{109698401} a^{4} + \frac{32756533}{109698401} a^{3} - \frac{38848329}{109698401} a^{2} - \frac{6434071}{109698401} a - \frac{22061917}{109698401}$, $\frac{1}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{44} - \frac{544717148013272791609074533526948399910090494098239328908771093985058699984682448604103964783854319369443977910738}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{43} + \frac{50077613610439740476807881166010725831017673857653745787708689457705233723648756637770655628610325595464122728235956263225}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{42} - \frac{32051162309868762175587067859707568458154232486054770243215113023615517328979354503685754294253314375930229322779453948115}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{41} - \frac{6328421219208196636577556545482556355241185608388129379885317887544066232866867746078383257727198134093557584794282327419}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{40} - \frac{65962592019918613443025229998776199235004559912598906300885630549009936132175054194771516343529736055301606005134082255317}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{39} - \frac{51249997265386656327486136989229448461036478496423077750189553502086197427631840413125489853793887931878430031711110722693}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{38} - \frac{23524230893272434490340371694155488307814728182229194239102158021777266038811359591739543229922823789651002344401538989708}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{37} - \frac{63399512562469978678740397959317132884475259114747134497649103993853114744623550560582303337480737274489550222824541928463}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{36} + \frac{47474746816281969321281638917263300312741106798968325926626508261733703905094546269346484816108690119416402338034668448713}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{35} + \frac{6955098357776223261790956892119120840528836684742641931375868126540783995813902686951760111212659851666044059750581099023}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{34} + \frac{62211867852248588028319071591334499337934020225564333906001969302104188821699116300502635420861627923837761294470034754942}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{33} + \frac{23392183685217358130180954452698601946305241085590311322532073057369102265280220327356288618570320988990857626262233526119}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{32} - \frac{6376238547447583229132752876362222385398210897817192771062502091672220713855602100527909586607376246090939093916780488556}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{31} - \frac{34165046526804308258459550372458143512788879561648420906518877360218837349817435388617799360831237164050478965650572471568}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{30} - \frac{45835520028425335234768750604466755933477145233748057846235222460956391635945451003884190889966483886416243077896054902018}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{29} - \frac{34870670475063771544534549968849451024057139901687282812443205748294230837869622912081820684268944623244512643391127158621}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{28} - \frac{35590158324035323283660676137711411092062017770884380009021294781046221386297238414155128739675972312291209758618180521525}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{27} + \frac{54108010859458760512473158601650103075592633800483396679319726538467317661398013342714476156455104177649346330109996565625}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{26} - \frac{36098356359725784631188301687729718859731695676603310152482221017986097023906173453687556500491351387401235664037450196396}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{25} + \frac{15596208717976755325140257783298779569381432039330674465778931464280578747315130205600512273847086891267082195196702416882}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{24} - \frac{51580284983493500576669956884870010757311263591335331154437102203867267695676049784569514987616495481885708960387506488838}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{23} - \frac{34400795999456847810321897341137014384504832967339459877714191570372597725083263556288783777178839915213609459799835381816}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{22} + \frac{19707614624137181662827367591234999722723125235973292340205285201851860117619516556125989063280409873902095375935438157117}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{21} - \frac{55098338114100293699279333191739504689931876588016722901560412896697510879308331430390291250349381205755174735266344836928}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{20} - \frac{5717633102374575680678552478269391607305483207617813698667233724267186746373527209713268400451338469609212626497624937941}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{19} + \frac{51004704731274511341125393604170136209906374197313219089517933609453423971641741528884841559597535495800174963713630301053}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{18} + \frac{14386524894666437075097841802178573657836836456585818777037148116820215416390901143726884402208476420041266897551258197881}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{17} + \frac{13054190466246021113087943514830643877158350223987781387765921928477502501669242661081440937440415824657743246894580503429}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{16} - \frac{11550321278790103418486363585771697710339387009970250431835364714530925349865743911433505550412846074710375239666319684274}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{15} + \frac{53105496693690143973250814807521553534107009299007447661186368435134562017641478292700121960084406472013864732003832577365}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{14} - \frac{65853384924401090114110324247487151849354448268089000802872931346605041002599956258471492074688599343088926408048036686930}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{13} + \frac{31662868051922642075067200567664508976813799891380220705004130629432029270493581668182294448471588966074788762243571460350}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{12} - \frac{56191589600026449363183792710711316874251090602136528489345576168620204811055662036038192303320338930780125374678362662015}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{11} - \frac{64845150743555230196608651541205442633925045556222974293609907681033918986322765594284335359962205175354579160865688151}{316279506409207154728141496606272744665851737790489908410892158261829021975716593719241866512065817994716997508495652173} a^{10} - \frac{64100743811062369004727078522981803138821249969651933651778005068728296275284489858880195941618095354380152242541831058966}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{9} + \frac{34312541308386852941170738721254357833424240747386163796641037268682178320146885698324562329709209546203124664709909148532}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{8} + \frac{64383351938697588036099311067958736159437222489180641520585394317443899819667301591095870311442909735077398516973008643411}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{7} + \frac{11669750794023204902344637425274714992615620558179936195620189370448629833531385262317448531903285910742349382823395526498}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{6} - \frac{32561803896116456839504683067061006277669795225550501135456093998534919761550280585500455737652895077851867483970747019183}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{5} + \frac{33982697607609159087219678500177991358959116482890826711853693962422524958078966522827407667590757424502136756749733837229}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{4} + \frac{24654907529788078662126508974892931046772330551104804975579463917688811168501065193303501315809805396705040793905926046161}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{3} - \frac{26377710178648613762992795408965753769356859947305258367495489492139882291107939252276428265108853727916674243701566467725}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a^{2} + \frac{42802875604275999059848804670017485804672275636622533289671872832105124925470760764384148844148160939843699865478482030541}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487} a + \frac{19266771165610108014410716723079906751351553479457830902504732094394302695543963901906732343553793568441756341035741249622}{132521113185457797831091287078028280014991878134215271624163814311706360207825252768362342068555577739786421956059678260487}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 1164989215047236500000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{45}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1164989215047236500000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{43679806300610465846484971330073185012597520004657724600953543350870941304329239684756561}}\approx 0.0980621390083806$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), \(\Q(\zeta_{19})^+\), 15.15.19241912323039288533050521.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ R $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$11$11.15.12.1$x^{15} + 165 x^{10} + 5324 x^{5} + 323433$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
11.15.12.1$x^{15} + 165 x^{10} + 5324 x^{5} + 323433$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
11.15.12.1$x^{15} + 165 x^{10} + 5324 x^{5} + 323433$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
19Data not computed