Properties

Label 45.45.408...321.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $4.084\times 10^{103}$
Root discriminant $200.66$
Ramified primes $3, 61$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 3*x^44 - 126*x^43 + 350*x^42 + 7095*x^41 - 18207*x^40 - 237254*x^39 + 560949*x^38 + 5280957*x^37 - 11465163*x^36 - 83127609*x^35 + 164960568*x^34 + 959694733*x^33 - 1729668720*x^32 - 8316855543*x^31 + 13495839126*x^30 + 54911329452*x^29 - 79318322604*x^28 - 278624618803*x^27 + 353264598507*x^26 + 1090386630918*x^25 - 1193881051406*x^24 - 3286918329246*x^23 + 3054422504946*x^22 + 7584376524784*x^21 - 5885779838802*x^20 - 13239515051214*x^19 + 8489225140885*x^18 + 17170281215082*x^17 - 9118144480932*x^16 - 16115327765898*x^15 + 7281918623109*x^14 + 10535410010724*x^13 - 4323241543716*x^12 - 4518883017183*x^11 + 1877328461526*x^10 + 1138556965481*x^9 - 554295751305*x^8 - 124509763362*x^7 + 91825606123*x^6 - 3656082528*x^5 - 5240896776*x^4 + 961503906*x^3 - 1541688*x^2 - 11847522*x + 756289)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 3*x^44 - 126*x^43 + 350*x^42 + 7095*x^41 - 18207*x^40 - 237254*x^39 + 560949*x^38 + 5280957*x^37 - 11465163*x^36 - 83127609*x^35 + 164960568*x^34 + 959694733*x^33 - 1729668720*x^32 - 8316855543*x^31 + 13495839126*x^30 + 54911329452*x^29 - 79318322604*x^28 - 278624618803*x^27 + 353264598507*x^26 + 1090386630918*x^25 - 1193881051406*x^24 - 3286918329246*x^23 + 3054422504946*x^22 + 7584376524784*x^21 - 5885779838802*x^20 - 13239515051214*x^19 + 8489225140885*x^18 + 17170281215082*x^17 - 9118144480932*x^16 - 16115327765898*x^15 + 7281918623109*x^14 + 10535410010724*x^13 - 4323241543716*x^12 - 4518883017183*x^11 + 1877328461526*x^10 + 1138556965481*x^9 - 554295751305*x^8 - 124509763362*x^7 + 91825606123*x^6 - 3656082528*x^5 - 5240896776*x^4 + 961503906*x^3 - 1541688*x^2 - 11847522*x + 756289, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![756289, -11847522, -1541688, 961503906, -5240896776, -3656082528, 91825606123, -124509763362, -554295751305, 1138556965481, 1877328461526, -4518883017183, -4323241543716, 10535410010724, 7281918623109, -16115327765898, -9118144480932, 17170281215082, 8489225140885, -13239515051214, -5885779838802, 7584376524784, 3054422504946, -3286918329246, -1193881051406, 1090386630918, 353264598507, -278624618803, -79318322604, 54911329452, 13495839126, -8316855543, -1729668720, 959694733, 164960568, -83127609, -11465163, 5280957, 560949, -237254, -18207, 7095, 350, -126, -3, 1]);
 

\( x^{45} - 3 x^{44} - 126 x^{43} + 350 x^{42} + 7095 x^{41} - 18207 x^{40} - 237254 x^{39} + 560949 x^{38} + 5280957 x^{37} - 11465163 x^{36} - 83127609 x^{35} + 164960568 x^{34} + 959694733 x^{33} - 1729668720 x^{32} - 8316855543 x^{31} + 13495839126 x^{30} + 54911329452 x^{29} - 79318322604 x^{28} - 278624618803 x^{27} + 353264598507 x^{26} + 1090386630918 x^{25} - 1193881051406 x^{24} - 3286918329246 x^{23} + 3054422504946 x^{22} + 7584376524784 x^{21} - 5885779838802 x^{20} - 13239515051214 x^{19} + 8489225140885 x^{18} + 17170281215082 x^{17} - 9118144480932 x^{16} - 16115327765898 x^{15} + 7281918623109 x^{14} + 10535410010724 x^{13} - 4323241543716 x^{12} - 4518883017183 x^{11} + 1877328461526 x^{10} + 1138556965481 x^{9} - 554295751305 x^{8} - 124509763362 x^{7} + 91825606123 x^{6} - 3656082528 x^{5} - 5240896776 x^{4} + 961503906 x^{3} - 1541688 x^{2} - 11847522 x + 756289 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(408\!\cdots\!321\)\(\medspace = 3^{60}\cdot 61^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $200.66$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 61$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(549=3^{2}\cdot 61\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{549}(256,·)$, $\chi_{549}(1,·)$, $\chi_{549}(259,·)$, $\chi_{549}(388,·)$, $\chi_{549}(391,·)$, $\chi_{549}(13,·)$, $\chi_{549}(142,·)$, $\chi_{549}(16,·)$, $\chi_{549}(22,·)$, $\chi_{549}(535,·)$, $\chi_{549}(25,·)$, $\chi_{549}(286,·)$, $\chi_{549}(544,·)$, $\chi_{549}(34,·)$, $\chi_{549}(424,·)$, $\chi_{549}(169,·)$, $\chi_{549}(301,·)$, $\chi_{549}(178,·)$, $\chi_{549}(436,·)$, $\chi_{549}(439,·)$, $\chi_{549}(184,·)$, $\chi_{549}(58,·)$, $\chi_{549}(196,·)$, $\chi_{549}(325,·)$, $\chi_{549}(70,·)$, $\chi_{549}(199,·)$, $\chi_{549}(73,·)$, $\chi_{549}(76,·)$, $\chi_{549}(205,·)$, $\chi_{549}(208,·)$, $\chi_{549}(469,·)$, $\chi_{549}(217,·)$, $\chi_{549}(442,·)$, $\chi_{549}(352,·)$, $\chi_{549}(400,·)$, $\chi_{549}(484,·)$, $\chi_{549}(103,·)$, $\chi_{549}(361,·)$, $\chi_{549}(367,·)$, $\chi_{549}(241,·)$, $\chi_{549}(118,·)$, $\chi_{549}(379,·)$, $\chi_{549}(508,·)$, $\chi_{549}(253,·)$, $\chi_{549}(382,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{11} a^{27} - \frac{1}{11} a^{26} + \frac{3}{11} a^{25} + \frac{3}{11} a^{24} - \frac{1}{11} a^{23} + \frac{5}{11} a^{22} + \frac{3}{11} a^{21} + \frac{4}{11} a^{20} + \frac{4}{11} a^{19} + \frac{3}{11} a^{18} - \frac{5}{11} a^{17} - \frac{5}{11} a^{16} + \frac{1}{11} a^{15} + \frac{3}{11} a^{13} - \frac{5}{11} a^{12} + \frac{2}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a^{10} - \frac{5}{11} a^{9} - \frac{1}{11} a^{8} + \frac{4}{11} a^{7} + \frac{3}{11} a^{6} + \frac{4}{11} a^{5} + \frac{1}{11} a^{4} + \frac{1}{11} a^{3} + \frac{5}{11} a^{2} + \frac{5}{11} a + \frac{5}{11}$, $\frac{1}{11} a^{28} + \frac{2}{11} a^{26} - \frac{5}{11} a^{25} + \frac{2}{11} a^{24} + \frac{4}{11} a^{23} - \frac{3}{11} a^{22} - \frac{4}{11} a^{21} - \frac{3}{11} a^{20} - \frac{4}{11} a^{19} - \frac{2}{11} a^{18} + \frac{1}{11} a^{17} - \frac{4}{11} a^{16} + \frac{1}{11} a^{15} + \frac{3}{11} a^{14} - \frac{2}{11} a^{13} - \frac{3}{11} a^{12} + \frac{1}{11} a^{11} + \frac{5}{11} a^{10} + \frac{5}{11} a^{9} + \frac{3}{11} a^{8} - \frac{4}{11} a^{7} - \frac{4}{11} a^{6} + \frac{5}{11} a^{5} + \frac{2}{11} a^{4} - \frac{5}{11} a^{3} - \frac{1}{11} a^{2} - \frac{1}{11} a + \frac{5}{11}$, $\frac{1}{11} a^{29} - \frac{3}{11} a^{26} - \frac{4}{11} a^{25} - \frac{2}{11} a^{24} - \frac{1}{11} a^{23} - \frac{3}{11} a^{22} + \frac{2}{11} a^{21} - \frac{1}{11} a^{20} + \frac{1}{11} a^{19} - \frac{5}{11} a^{18} - \frac{5}{11} a^{17} + \frac{1}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{14} + \frac{2}{11} a^{13} + \frac{1}{11} a^{11} - \frac{4}{11} a^{10} + \frac{2}{11} a^{9} - \frac{2}{11} a^{8} - \frac{1}{11} a^{7} - \frac{1}{11} a^{6} + \frac{5}{11} a^{5} + \frac{4}{11} a^{4} - \frac{3}{11} a^{3} - \frac{5}{11} a + \frac{1}{11}$, $\frac{1}{11} a^{30} + \frac{4}{11} a^{26} - \frac{4}{11} a^{25} - \frac{3}{11} a^{24} + \frac{5}{11} a^{23} - \frac{5}{11} a^{22} - \frac{3}{11} a^{21} + \frac{2}{11} a^{20} - \frac{4}{11} a^{19} + \frac{4}{11} a^{18} - \frac{4}{11} a^{17} - \frac{3}{11} a^{16} + \frac{1}{11} a^{15} + \frac{2}{11} a^{14} - \frac{2}{11} a^{13} - \frac{3}{11} a^{12} + \frac{2}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a^{10} + \frac{5}{11} a^{9} - \frac{4}{11} a^{8} + \frac{3}{11} a^{6} + \frac{5}{11} a^{5} + \frac{3}{11} a^{3} - \frac{1}{11} a^{2} + \frac{5}{11} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{11} a^{31} - \frac{4}{11} a^{25} + \frac{4}{11} a^{24} - \frac{1}{11} a^{23} - \frac{1}{11} a^{22} + \frac{1}{11} a^{21} + \frac{2}{11} a^{20} - \frac{1}{11} a^{19} - \frac{5}{11} a^{18} - \frac{5}{11} a^{17} - \frac{1}{11} a^{16} - \frac{2}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{14} - \frac{4}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{11} - \frac{2}{11} a^{10} + \frac{5}{11} a^{9} + \frac{4}{11} a^{8} - \frac{2}{11} a^{7} + \frac{4}{11} a^{6} - \frac{5}{11} a^{5} - \frac{1}{11} a^{4} - \frac{5}{11} a^{3} - \frac{4}{11} a^{2} - \frac{5}{11} a + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{32} - \frac{4}{11} a^{26} + \frac{4}{11} a^{25} - \frac{1}{11} a^{24} - \frac{1}{11} a^{23} + \frac{1}{11} a^{22} + \frac{2}{11} a^{21} - \frac{1}{11} a^{20} - \frac{5}{11} a^{19} - \frac{5}{11} a^{18} - \frac{1}{11} a^{17} - \frac{2}{11} a^{16} - \frac{2}{11} a^{15} - \frac{4}{11} a^{14} + \frac{2}{11} a^{12} - \frac{2}{11} a^{11} + \frac{5}{11} a^{10} + \frac{4}{11} a^{9} - \frac{2}{11} a^{8} + \frac{4}{11} a^{7} - \frac{5}{11} a^{6} - \frac{1}{11} a^{5} - \frac{5}{11} a^{4} - \frac{4}{11} a^{3} - \frac{5}{11} a^{2} + \frac{2}{11} a$, $\frac{1}{11} a^{33} - \frac{3}{11} a^{23} + \frac{3}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a^{3} - \frac{2}{11} a - \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{34} - \frac{3}{11} a^{24} + \frac{3}{11} a^{14} + \frac{2}{11} a^{12} - \frac{1}{11} a^{4} - \frac{2}{11} a^{2} - \frac{2}{11} a$, $\frac{1}{11} a^{35} - \frac{3}{11} a^{25} + \frac{3}{11} a^{15} + \frac{2}{11} a^{13} - \frac{1}{11} a^{5} - \frac{2}{11} a^{3} - \frac{2}{11} a^{2}$, $\frac{1}{11} a^{36} - \frac{3}{11} a^{26} + \frac{3}{11} a^{16} + \frac{2}{11} a^{14} - \frac{1}{11} a^{6} - \frac{2}{11} a^{4} - \frac{2}{11} a^{3}$, $\frac{1}{11} a^{37} - \frac{3}{11} a^{26} - \frac{2}{11} a^{25} - \frac{2}{11} a^{24} - \frac{3}{11} a^{23} + \frac{4}{11} a^{22} - \frac{2}{11} a^{21} + \frac{1}{11} a^{20} + \frac{1}{11} a^{19} - \frac{2}{11} a^{18} - \frac{1}{11} a^{17} - \frac{4}{11} a^{16} + \frac{5}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{13} - \frac{4}{11} a^{12} - \frac{5}{11} a^{11} - \frac{3}{11} a^{10} - \frac{4}{11} a^{9} - \frac{3}{11} a^{8} - \frac{2}{11} a^{6} - \frac{1}{11} a^{5} + \frac{1}{11} a^{4} + \frac{3}{11} a^{3} + \frac{4}{11} a^{2} + \frac{4}{11} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{11} a^{38} - \frac{5}{11} a^{26} - \frac{4}{11} a^{25} - \frac{5}{11} a^{24} + \frac{1}{11} a^{23} + \frac{2}{11} a^{22} - \frac{1}{11} a^{21} + \frac{2}{11} a^{20} - \frac{1}{11} a^{19} - \frac{3}{11} a^{18} + \frac{3}{11} a^{17} + \frac{1}{11} a^{16} + \frac{3}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{14} + \frac{5}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{12} + \frac{3}{11} a^{11} + \frac{4}{11} a^{10} + \frac{4}{11} a^{9} - \frac{3}{11} a^{8} - \frac{1}{11} a^{7} - \frac{3}{11} a^{6} + \frac{2}{11} a^{5} - \frac{5}{11} a^{4} - \frac{4}{11} a^{3} - \frac{3}{11} a^{2} - \frac{3}{11} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{5357} a^{39} - \frac{50}{5357} a^{38} + \frac{159}{5357} a^{37} + \frac{57}{5357} a^{36} + \frac{175}{5357} a^{35} + \frac{135}{5357} a^{34} + \frac{106}{5357} a^{33} - \frac{163}{5357} a^{32} + \frac{217}{5357} a^{31} + \frac{10}{487} a^{30} + \frac{112}{5357} a^{29} + \frac{221}{5357} a^{28} - \frac{118}{5357} a^{27} - \frac{400}{5357} a^{26} - \frac{1420}{5357} a^{25} - \frac{2213}{5357} a^{24} - \frac{2586}{5357} a^{23} + \frac{494}{5357} a^{22} + \frac{1123}{5357} a^{21} + \frac{167}{487} a^{20} + \frac{97}{5357} a^{19} - \frac{2469}{5357} a^{18} + \frac{393}{5357} a^{17} - \frac{1536}{5357} a^{16} - \frac{2526}{5357} a^{15} - \frac{1975}{5357} a^{14} - \frac{124}{5357} a^{13} + \frac{2490}{5357} a^{12} + \frac{1238}{5357} a^{11} + \frac{1532}{5357} a^{10} + \frac{2159}{5357} a^{9} + \frac{142}{5357} a^{8} - \frac{1365}{5357} a^{7} - \frac{821}{5357} a^{6} + \frac{226}{5357} a^{5} - \frac{2660}{5357} a^{4} + \frac{1021}{5357} a^{3} + \frac{996}{5357} a^{2} - \frac{1173}{5357} a + \frac{2311}{5357}$, $\frac{1}{5357} a^{40} + \frac{94}{5357} a^{38} + \frac{215}{5357} a^{37} + \frac{103}{5357} a^{36} + \frac{119}{5357} a^{35} + \frac{38}{5357} a^{34} - \frac{20}{487} a^{33} - \frac{141}{5357} a^{32} - \frac{241}{5357} a^{31} - \frac{232}{5357} a^{30} - \frac{23}{5357} a^{29} + \frac{218}{5357} a^{28} + \frac{31}{5357} a^{27} - \frac{1940}{5357} a^{26} - \frac{1137}{5357} a^{25} + \frac{2670}{5357} a^{24} - \frac{725}{5357} a^{23} + \frac{499}{5357} a^{22} - \frac{1427}{5357} a^{21} - \frac{2044}{5357} a^{20} + \frac{1894}{5357} a^{19} + \frac{2102}{5357} a^{18} + \frac{582}{5357} a^{17} + \frac{2003}{5357} a^{16} - \frac{239}{487} a^{15} + \frac{474}{5357} a^{14} + \frac{673}{5357} a^{13} - \frac{395}{5357} a^{12} + \frac{2557}{5357} a^{11} - \frac{2083}{5357} a^{10} - \frac{1970}{5357} a^{9} + \frac{865}{5357} a^{8} + \frac{2518}{5357} a^{7} + \frac{1058}{5357} a^{6} + \frac{2309}{5357} a^{5} - \frac{1950}{5357} a^{4} - \frac{1524}{5357} a^{3} - \frac{1047}{5357} a^{2} + \frac{640}{5357} a - \frac{843}{5357}$, $\frac{1}{5357} a^{41} + \frac{45}{5357} a^{38} - \frac{233}{5357} a^{37} + \frac{118}{5357} a^{36} + \frac{146}{5357} a^{35} + \frac{239}{5357} a^{34} + \frac{122}{5357} a^{33} - \frac{16}{5357} a^{32} - \frac{16}{487} a^{31} - \frac{136}{5357} a^{30} - \frac{83}{5357} a^{29} + \frac{18}{487} a^{28} - \frac{101}{5357} a^{27} - \frac{549}{5357} a^{26} - \frac{1184}{5357} a^{25} - \frac{2113}{5357} a^{24} - \frac{1865}{5357} a^{23} - \frac{624}{5357} a^{22} - \frac{953}{5357} a^{21} - \frac{1308}{5357} a^{20} + \frac{1750}{5357} a^{19} - \frac{1092}{5357} a^{18} + \frac{612}{5357} a^{17} - \frac{1423}{5357} a^{16} - \frac{2173}{5357} a^{15} + \frac{1750}{5357} a^{14} - \frac{1401}{5357} a^{13} - \frac{2613}{5357} a^{12} - \frac{1088}{5357} a^{11} - \frac{365}{5357} a^{10} + \frac{511}{5357} a^{9} + \frac{2319}{5357} a^{8} - \frac{1635}{5357} a^{7} + \frac{2537}{5357} a^{6} + \frac{2617}{5357} a^{5} + \frac{1120}{5357} a^{4} - \frac{2543}{5357} a^{3} - \frac{2402}{5357} a^{2} + \frac{331}{5357} a - \frac{32}{5357}$, $\frac{1}{35297273} a^{42} - \frac{178}{35297273} a^{41} + \frac{3248}{35297273} a^{40} + \frac{2773}{35297273} a^{39} + \frac{560496}{35297273} a^{38} + \frac{876594}{35297273} a^{37} + \frac{336231}{35297273} a^{36} - \frac{1160972}{35297273} a^{35} - \frac{1524040}{35297273} a^{34} - \frac{404268}{35297273} a^{33} + \frac{1043657}{35297273} a^{32} + \frac{36803}{3208843} a^{31} - \frac{896851}{35297273} a^{30} + \frac{894975}{35297273} a^{29} - \frac{527267}{35297273} a^{28} + \frac{1423280}{35297273} a^{27} + \frac{15947754}{35297273} a^{26} + \frac{12907434}{35297273} a^{25} + \frac{11650186}{35297273} a^{24} - \frac{9815380}{35297273} a^{23} - \frac{14567455}{35297273} a^{22} + \frac{11876003}{35297273} a^{21} + \frac{10282823}{35297273} a^{20} + \frac{9472315}{35297273} a^{19} - \frac{2818260}{35297273} a^{18} - \frac{16852426}{35297273} a^{17} + \frac{17332497}{35297273} a^{16} + \frac{8849870}{35297273} a^{15} + \frac{8130244}{35297273} a^{14} - \frac{2365549}{35297273} a^{13} - \frac{2978735}{35297273} a^{12} - \frac{6258720}{35297273} a^{11} - \frac{13591778}{35297273} a^{10} + \frac{6083219}{35297273} a^{9} + \frac{8244671}{35297273} a^{8} - \frac{17596710}{35297273} a^{7} + \frac{12198558}{35297273} a^{6} + \frac{17326196}{35297273} a^{5} + \frac{10605256}{35297273} a^{4} + \frac{11550007}{35297273} a^{3} - \frac{11487849}{35297273} a^{2} - \frac{6286856}{35297273} a + \frac{4688731}{35297273}$, $\frac{1}{35297273} a^{43} - \frac{2080}{35297273} a^{41} + \frac{1085}{35297273} a^{40} - \frac{150}{35297273} a^{39} + \frac{564561}{35297273} a^{38} - \frac{869933}{35297273} a^{37} - \frac{23368}{3208843} a^{36} + \frac{1043461}{35297273} a^{35} + \frac{244642}{35297273} a^{34} - \frac{545527}{35297273} a^{33} - \frac{259976}{35297273} a^{32} - \frac{43900}{35297273} a^{31} + \frac{623640}{35297273} a^{30} + \frac{510503}{35297273} a^{29} - \frac{572997}{35297273} a^{28} + \frac{75398}{3208843} a^{27} - \frac{9197785}{35297273} a^{26} + \frac{550398}{3208843} a^{25} - \frac{1793073}{35297273} a^{24} + \frac{16949332}{35297273} a^{23} + \frac{83407}{35297273} a^{22} - \frac{15843131}{35297273} a^{21} + \frac{17422600}{35297273} a^{20} - \frac{3754216}{35297273} a^{19} - \frac{679785}{35297273} a^{18} - \frac{8625495}{35297273} a^{17} - \frac{5661879}{35297273} a^{16} - \frac{7842985}{35297273} a^{15} + \frac{15578126}{35297273} a^{14} + \frac{11143815}{35297273} a^{13} + \frac{11737839}{35297273} a^{12} + \frac{5986923}{35297273} a^{11} + \frac{16064912}{35297273} a^{10} - \frac{10056493}{35297273} a^{9} + \frac{9474137}{35297273} a^{8} + \frac{791957}{3208843} a^{7} + \frac{7914779}{35297273} a^{6} - \frac{8243503}{35297273} a^{5} + \frac{984133}{3208843} a^{4} - \frac{12277063}{35297273} a^{3} - \frac{3130998}{35297273} a^{2} - \frac{12288908}{35297273} a - \frac{3539860}{35297273}$, $\frac{1}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{44} + \frac{105423540679822177618103484198174669765841422241151240479076057625791493123096301493860411962572669304923753536328342950518157573258672539115971824826593131045555797855259}{10662205811247089720828582330169860278142345701800631525370081666166653483109760113159666964683373401244921301358277960264600080022416295859516529351802812619475713176591676205453} a^{43} + \frac{483745597421598874244329441080167168179080797241251155606073378614895580620715051858282718351390338594804090307183760300229912360108215803966051475955891766390047904257014}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{42} + \frac{8903801630209903921184787072075301730422452791179839165414242498399115893085460148309205092503561702988668206936954963145074169411014242268724252612159689329836745048704814814}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{41} - \frac{2928534707243619655168957321550705603793602169040133612121044659952503816319801396905449082477225115097736076683544200366420924869678051888595550471931592683720125650298225838}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{40} - \frac{4761388713681273153248361930548791552570734937539805824570978509768644591378744380212667852342341040895847758794605150307848504924837755348657423008218244022001126314416211429}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{39} + \frac{804756703231130203639818236162744137715634786476365184087420781533144250044851268082236487632220619521280859136361081025398405963394096507244054156606950332531532734008482824808}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{38} - \frac{627178594267496210527833502369615647218128222732150193011626525150683313283751787024297947021573912265346161785219555457665888784058290469615866376822850117910397690601348161205}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{37} - \frac{395658300957859895572177576182639675554519602846284155308591618584592665902005823948110336896027567724490567925831006622786238209445857974920222701396340360217610150143728288179}{10662205811247089720828582330169860278142345701800631525370081666166653483109760113159666964683373401244921301358277960264600080022416295859516529351802812619475713176591676205453} a^{36} - \frac{2055715179681247364835158608602617493763861276330934412641261366080880059200374876297811295478160871179809181692555839207918116972224689765279503170988765582485113230172218666199}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{35} + \frac{5182881448502419044574567107538312703110667757416263981591967940525469418924575340953447007234580571768238838631095285585425795794771964803890411977282168951712543057074383814234}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{34} + \frac{1709379405960777973160385448620785378381096132655180248822155369226139781414912054431046407542000594266977983552337454508867525120040242557657286353386238471624817008961465829492}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{33} + \frac{3974542633258289722057865996170942013764521290362599221809517345703350007972370083306027987259272134617769624103385861772481680800377864967283948472388008345009085894672570284192}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{32} - \frac{1919679577999148201055031422167008016123136877012786721514585920917816365461895231931804649512038976690354636320444587369862980087932589653614088790795066884084213332346241283773}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{31} + \frac{671796193459047275363462552070417536597936826516526359836243633602243442421136067856466549582676017131850441214098001553713914006162425041165523559526430999126118908447246136149}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{30} - \frac{3943149999976808452573845438062421806347734918642309277657071516006916790078922649897194127563258063000030539441547085155228719839673375313933837870109723789320494852545098648936}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{29} - \frac{3577842276445349192472793827387644924816399839323125205413297721617730171874972136597424109800478479055306126915913334205984846577646464007981660759863961796339140392486197173377}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{28} + \frac{254799028100031881712864532719230001235591205384096316330141083652321185292748810383443184969261846257899330795682850998724453921948140610517102408988292588673150641264606078620}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{27} + \frac{56808436263603939867365454775141093654454313066642223546498625955771909537371845068310063948227276036671613471456671161211800684413545468227961823689594228430288214846491464417891}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{26} + \frac{1958517127119090919316881106800937682680710006269996646667723684950578529119148051546517948295168685043208963306947302031930125884120745363931507756547758779233255323539874796724}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{25} + \frac{1032799048923178885751115951375412122074328534178509165996079445879167803324704239600565952367648389921392451321843259055133722974833995628119295761050970429004897994145696682849}{10662205811247089720828582330169860278142345701800631525370081666166653483109760113159666964683373401244921301358277960264600080022416295859516529351802812619475713176591676205453} a^{24} - \frac{38165281363164355391937058622349773779508006997957675704606357858722267845027401569943384706408763716206704624599980850924573737481023209832218788486199762482826521886295441951345}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{23} + \frac{53749154889660163710020491411128489049703284269880507082062289919608679552655708880421827628037350751495793566533580512837246052132207486071143069238486034440252871960678345908241}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{22} + \frac{1314647230272768951264808251693189268991250992557008690701233146840539252278250310472221699730558923767545220011910362883068891021535834560691741762207054478919995164977529203870}{10662205811247089720828582330169860278142345701800631525370081666166653483109760113159666964683373401244921301358277960264600080022416295859516529351802812619475713176591676205453} a^{21} - \frac{57795191030749378528506753494594383365254879123650613837608358858902976222341917852194740050812386669937372334792763645655564878678884223231396785767132872301568067481653467394656}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{20} + \frac{17031224071573248712469980351334442438980898577428507710333141189925317947731613607796896800069520216292287277732796521504101592206268780650089650440370417377435276184925377550970}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{19} - \frac{11335593260173267976226727901124452231021991779648013925832145859720504767762098889104053716849776734298956547413270218672323256584492618015749885141397817826353946318772872836606}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{18} - \frac{18954396673698037598107174598983264356220918755696882742619036176529654422830634841734939101495493444595980211506822093240399598275002172173320587206907175242699208878427000868115}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{17} - \frac{33105646504254188112040194655479898928251805466489682519573903448135201772959016112733195879639953725877533259799583425181823984119536948225985710040096153185158208461294262495438}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{16} - \frac{19547614653700850306189565370091738162507407630822248243026617234461679670169335336960126817460428996565311557850616331723542996833712117036506956986703244219353595189703452332538}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{15} + \frac{8889875828960510675648229614146642113462218652056527604966558290647688325775394823807361034168701748584707075436945371662401378740830246772721145043801691170128328578265915063741}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{14} - \frac{36504188243054749955995201118460659370016049847564344756826305144976760264948658528313727223109723374409803732658030689163878609833471657636693152866963874710303917212810711888339}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{13} - \frac{42069820192897388510745017399625722206100422551865519528869095755549011330324468699691535615829012900790656987416924092439073108823799999546990039099599308439080022475354291216303}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{12} - \frac{38716023508698442294325575064784698883620267352763894740753175068165685775716841395475069430342090622100476097410524872528976189168488691961634901286371201737433784707139748956784}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{11} + \frac{84274426597171606515796232896054100306288218015443344979078719831780546211456998175812747514743240760336457096868645073056755299368085929911678841413463734339388891233192869578}{969291437386099065529871120924532752558395063800057411397280151469695771191796373923606087698488491022265572850752541842236370911128754169046957213800255692679610288781061473223} a^{10} - \frac{3941973166340173304174527451579578919822294060618645171622699917821830579441083999402493314950621565447528141824629476941953377160625136670744072674011745991403000289901631898541}{10662205811247089720828582330169860278142345701800631525370081666166653483109760113159666964683373401244921301358277960264600080022416295859516529351802812619475713176591676205453} a^{9} + \frac{41358776136200238341850130879358991950294810951949182838837820460806772338530854965675491600021071369074327151572146386232106958963660797909673192115472172799960014651314707300863}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{8} - \frac{12176746306419369930135163738466164883901267595992217353385870435648944877608330694883225103733162261610935889322841274850452481999704131390576017050812357285141904429262369738957}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{7} - \frac{42082450635874176963938133898663295587067196525044171001678151797685981931582083057170833581577464340066320021566800780240778339098410425821609419261243573941799760162761149215131}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{6} + \frac{12654699033544863647023886550302180249115651672911096899926221933729033464597408107277859750439302437123375273986883050241110821369773928806272685705548673831484011692855142516984}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{5} + \frac{49532599354471840338354455630364030381739187025929833107171606635430382816448867224181642583083063673859881578422603523729546255825521168036381364506651488058444699205575448077722}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{4} - \frac{2814885509188235497550478037607612685989441012293961973071069881597571772869831960894032944144747931804958825866252655410968886191640274010186807524279879813756456568303416304734}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{3} - \frac{17248423753385599612390870410571886284233574226200675749528307074575560524597168750869477629507894737757992819360439597992927860322902611312400269944747441065917157835023760188265}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a^{2} + \frac{35090585752095181155203082876404502564640774516573736691645701930481368212478733043328013010623178970173232544310622942578182410975074071313550903919771794395458376540922847864347}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983} a + \frac{20847016295526857522314402415577290694113086844352266607450746734367557085099621294606384142103661810095586269118615026891714442910734325862621970576034015885120548095697047783704}{117284263923717986929114405631868463059565802719806946779070898327833188314207361244756336611517107413694134314941057562910600880246579254454681822869830938814232844942508438259983}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.301401.1, 3.3.3721.1, 3.3.301401.2, 5.5.13845841.1, 9.9.27380039270784201.1, 15.15.9255142598391173348787179150721.1, 15.15.34438385608613556030837093619832841.2, 15.15.9876832533361318095112441.1, 15.15.34438385608613556030837093619832841.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ R $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{15}$ ${\href{/LocalNumberField/13.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{9}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }^{15}$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{9}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.15.20.65$x^{15} + 78 x^{14} + 39 x^{13} + 49 x^{12} + 24 x^{11} + 36 x^{10} + 2 x^{9} + 54 x^{8} + 69 x^{7} + 47 x^{6} + 18 x^{5} + 15 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 63 x + 73$$3$$5$$20$$C_{15}$$[2]^{5}$
3.15.20.65$x^{15} + 78 x^{14} + 39 x^{13} + 49 x^{12} + 24 x^{11} + 36 x^{10} + 2 x^{9} + 54 x^{8} + 69 x^{7} + 47 x^{6} + 18 x^{5} + 15 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 63 x + 73$$3$$5$$20$$C_{15}$$[2]^{5}$
3.15.20.65$x^{15} + 78 x^{14} + 39 x^{13} + 49 x^{12} + 24 x^{11} + 36 x^{10} + 2 x^{9} + 54 x^{8} + 69 x^{7} + 47 x^{6} + 18 x^{5} + 15 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 63 x + 73$$3$$5$$20$$C_{15}$$[2]^{5}$
61Data not computed