Properties

Label 45.45.299...625.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $2.992\times 10^{101}$
Root discriminant $179.90$
Ramified primes $5, 19$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 5*x^44 - 120*x^43 + 570*x^42 + 6560*x^41 - 29130*x^40 - 216795*x^39 + 884935*x^38 + 4846835*x^37 - 17873115*x^36 - 77748559*x^35 + 254358990*x^34 + 926664900*x^33 - 2637505030*x^32 - 8389061335*x^31 + 20318079721*x^30 + 58494148730*x^29 - 117428976980*x^28 - 316667682495*x^27 + 510052425895*x^26 + 1335050206763*x^25 - 1653394093375*x^24 - 4375338382740*x^23 + 3923851568060*x^22 + 11069977015865*x^21 - 6532787291841*x^20 - 21348397264600*x^19 + 6845293868685*x^18 + 30760204370920*x^17 - 2712180162090*x^16 - 32145143355065*x^15 - 3532224571660*x^14 + 23314933370325*x^13 + 6500465979650*x^12 - 10976198292280*x^11 - 4703287953351*x^10 + 3011509345140*x^9 + 1752830160915*x^8 - 400149323895*x^7 - 327698710405*x^6 + 19849150584*x^5 + 30510229725*x^4 + 7497705*x^3 - 1362119415*x^2 - 14453695*x + 22808701)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 5*x^44 - 120*x^43 + 570*x^42 + 6560*x^41 - 29130*x^40 - 216795*x^39 + 884935*x^38 + 4846835*x^37 - 17873115*x^36 - 77748559*x^35 + 254358990*x^34 + 926664900*x^33 - 2637505030*x^32 - 8389061335*x^31 + 20318079721*x^30 + 58494148730*x^29 - 117428976980*x^28 - 316667682495*x^27 + 510052425895*x^26 + 1335050206763*x^25 - 1653394093375*x^24 - 4375338382740*x^23 + 3923851568060*x^22 + 11069977015865*x^21 - 6532787291841*x^20 - 21348397264600*x^19 + 6845293868685*x^18 + 30760204370920*x^17 - 2712180162090*x^16 - 32145143355065*x^15 - 3532224571660*x^14 + 23314933370325*x^13 + 6500465979650*x^12 - 10976198292280*x^11 - 4703287953351*x^10 + 3011509345140*x^9 + 1752830160915*x^8 - 400149323895*x^7 - 327698710405*x^6 + 19849150584*x^5 + 30510229725*x^4 + 7497705*x^3 - 1362119415*x^2 - 14453695*x + 22808701, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![22808701, -14453695, -1362119415, 7497705, 30510229725, 19849150584, -327698710405, -400149323895, 1752830160915, 3011509345140, -4703287953351, -10976198292280, 6500465979650, 23314933370325, -3532224571660, -32145143355065, -2712180162090, 30760204370920, 6845293868685, -21348397264600, -6532787291841, 11069977015865, 3923851568060, -4375338382740, -1653394093375, 1335050206763, 510052425895, -316667682495, -117428976980, 58494148730, 20318079721, -8389061335, -2637505030, 926664900, 254358990, -77748559, -17873115, 4846835, 884935, -216795, -29130, 6560, 570, -120, -5, 1]);
 

\(x^{45} - 5 x^{44} - 120 x^{43} + 570 x^{42} + 6560 x^{41} - 29130 x^{40} - 216795 x^{39} + 884935 x^{38} + 4846835 x^{37} - 17873115 x^{36} - 77748559 x^{35} + 254358990 x^{34} + 926664900 x^{33} - 2637505030 x^{32} - 8389061335 x^{31} + 20318079721 x^{30} + 58494148730 x^{29} - 117428976980 x^{28} - 316667682495 x^{27} + 510052425895 x^{26} + 1335050206763 x^{25} - 1653394093375 x^{24} - 4375338382740 x^{23} + 3923851568060 x^{22} + 11069977015865 x^{21} - 6532787291841 x^{20} - 21348397264600 x^{19} + 6845293868685 x^{18} + 30760204370920 x^{17} - 2712180162090 x^{16} - 32145143355065 x^{15} - 3532224571660 x^{14} + 23314933370325 x^{13} + 6500465979650 x^{12} - 10976198292280 x^{11} - 4703287953351 x^{10} + 3011509345140 x^{9} + 1752830160915 x^{8} - 400149323895 x^{7} - 327698710405 x^{6} + 19849150584 x^{5} + 30510229725 x^{4} + 7497705 x^{3} - 1362119415 x^{2} - 14453695 x + 22808701\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(299\!\cdots\!625\)\(\medspace = 5^{72}\cdot 19^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $179.90$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $5, 19$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(475=5^{2}\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{475}(256,·)$, $\chi_{475}(1,·)$, $\chi_{475}(386,·)$, $\chi_{475}(131,·)$, $\chi_{475}(6,·)$, $\chi_{475}(391,·)$, $\chi_{475}(11,·)$, $\chi_{475}(396,·)$, $\chi_{475}(271,·)$, $\chi_{475}(16,·)$, $\chi_{475}(406,·)$, $\chi_{475}(26,·)$, $\chi_{475}(156,·)$, $\chi_{475}(286,·)$, $\chi_{475}(416,·)$, $\chi_{475}(161,·)$, $\chi_{475}(291,·)$, $\chi_{475}(36,·)$, $\chi_{475}(296,·)$, $\chi_{475}(301,·)$, $\chi_{475}(176,·)$, $\chi_{475}(311,·)$, $\chi_{475}(441,·)$, $\chi_{475}(61,·)$, $\chi_{475}(446,·)$, $\chi_{475}(191,·)$, $\chi_{475}(321,·)$, $\chi_{475}(66,·)$, $\chi_{475}(196,·)$, $\chi_{475}(201,·)$, $\chi_{475}(461,·)$, $\chi_{475}(206,·)$, $\chi_{475}(81,·)$, $\chi_{475}(216,·)$, $\chi_{475}(346,·)$, $\chi_{475}(351,·)$, $\chi_{475}(96,·)$, $\chi_{475}(226,·)$, $\chi_{475}(101,·)$, $\chi_{475}(106,·)$, $\chi_{475}(366,·)$, $\chi_{475}(111,·)$, $\chi_{475}(121,·)$, $\chi_{475}(251,·)$, $\chi_{475}(381,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{7} a^{36} - \frac{3}{7} a^{35} + \frac{2}{7} a^{34} + \frac{1}{7} a^{33} + \frac{3}{7} a^{30} + \frac{2}{7} a^{29} + \frac{1}{7} a^{28} - \frac{2}{7} a^{27} + \frac{3}{7} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} + \frac{2}{7} a^{24} + \frac{3}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} - \frac{1}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{20} - \frac{2}{7} a^{19} + \frac{1}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{1}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} + \frac{3}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{37} + \frac{3}{7} a^{33} + \frac{3}{7} a^{31} - \frac{3}{7} a^{30} + \frac{1}{7} a^{28} - \frac{3}{7} a^{27} + \frac{1}{7} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} + \frac{2}{7} a^{24} + \frac{1}{7} a^{21} + \frac{3}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} + \frac{1}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} - \frac{3}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{38} + \frac{3}{7} a^{34} + \frac{3}{7} a^{32} - \frac{3}{7} a^{31} + \frac{1}{7} a^{29} - \frac{3}{7} a^{28} + \frac{1}{7} a^{27} - \frac{1}{7} a^{26} + \frac{2}{7} a^{25} + \frac{1}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{21} + \frac{2}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{18} - \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{14} + \frac{3}{7} a^{13} - \frac{2}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} + \frac{3}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} - \frac{3}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{39} + \frac{3}{7} a^{35} + \frac{3}{7} a^{33} - \frac{3}{7} a^{32} + \frac{1}{7} a^{30} - \frac{3}{7} a^{29} + \frac{1}{7} a^{28} - \frac{1}{7} a^{27} + \frac{2}{7} a^{26} + \frac{1}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{22} + \frac{2}{7} a^{21} + \frac{3}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} - \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} + \frac{3}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{2}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} + \frac{3}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} + \frac{2}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{40} + \frac{2}{7} a^{35} - \frac{3}{7} a^{34} + \frac{1}{7} a^{33} + \frac{1}{7} a^{31} + \frac{2}{7} a^{30} + \frac{2}{7} a^{29} + \frac{3}{7} a^{28} + \frac{1}{7} a^{27} - \frac{2}{7} a^{26} + \frac{3}{7} a^{25} + \frac{2}{7} a^{24} + \frac{1}{7} a^{23} + \frac{1}{7} a^{22} - \frac{1}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{20} - \frac{3}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{18} - \frac{2}{7} a^{17} - \frac{1}{7} a^{16} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{2}{7} a^{14} - \frac{1}{7} a^{13} + \frac{1}{7} a^{12} + \frac{1}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a - \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{41} + \frac{3}{7} a^{35} - \frac{3}{7} a^{34} - \frac{2}{7} a^{33} + \frac{1}{7} a^{32} + \frac{2}{7} a^{31} + \frac{3}{7} a^{30} - \frac{1}{7} a^{29} - \frac{1}{7} a^{28} + \frac{2}{7} a^{27} - \frac{3}{7} a^{26} - \frac{3}{7} a^{25} - \frac{3}{7} a^{24} + \frac{2}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{22} - \frac{1}{7} a^{21} + \frac{3}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} - \frac{1}{7} a^{17} + \frac{2}{7} a^{16} - \frac{3}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{14} - \frac{3}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{9} + \frac{3}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} - \frac{1}{7} a + \frac{1}{7}$, $\frac{1}{3199} a^{42} - \frac{66}{3199} a^{41} - \frac{24}{3199} a^{40} - \frac{156}{3199} a^{39} - \frac{30}{457} a^{38} - \frac{211}{3199} a^{37} + \frac{160}{3199} a^{36} + \frac{380}{3199} a^{35} - \frac{111}{3199} a^{34} - \frac{821}{3199} a^{33} - \frac{471}{3199} a^{32} - \frac{1073}{3199} a^{31} - \frac{930}{3199} a^{30} + \frac{344}{3199} a^{29} + \frac{1032}{3199} a^{28} + \frac{848}{3199} a^{27} + \frac{86}{3199} a^{26} - \frac{1244}{3199} a^{25} - \frac{327}{3199} a^{24} + \frac{253}{3199} a^{23} - \frac{1502}{3199} a^{22} + \frac{519}{3199} a^{21} - \frac{1286}{3199} a^{20} - \frac{872}{3199} a^{19} - \frac{1482}{3199} a^{18} + \frac{139}{3199} a^{17} - \frac{1576}{3199} a^{16} + \frac{1356}{3199} a^{15} - \frac{1184}{3199} a^{14} - \frac{22}{3199} a^{13} - \frac{54}{3199} a^{12} - \frac{1588}{3199} a^{11} - \frac{541}{3199} a^{10} - \frac{724}{3199} a^{9} + \frac{1558}{3199} a^{8} + \frac{221}{457} a^{7} + \frac{166}{3199} a^{6} + \frac{111}{457} a^{5} + \frac{1245}{3199} a^{4} + \frac{381}{3199} a^{3} + \frac{1532}{3199} a^{2} + \frac{32}{457} a + \frac{1158}{3199}$, $\frac{1}{483049} a^{43} - \frac{4}{483049} a^{42} - \frac{7772}{483049} a^{41} - \frac{5300}{483049} a^{40} - \frac{12167}{483049} a^{39} - \frac{15516}{483049} a^{38} - \frac{475}{69007} a^{37} - \frac{19862}{483049} a^{36} - \frac{125533}{483049} a^{35} + \frac{65417}{483049} a^{34} + \frac{1639}{483049} a^{33} + \frac{71636}{483049} a^{32} - \frac{49176}{483049} a^{31} - \frac{75596}{483049} a^{30} - \frac{145816}{483049} a^{29} - \frac{217594}{483049} a^{28} - \frac{1878}{69007} a^{27} - \frac{3224}{483049} a^{26} + \frac{11785}{69007} a^{25} - \frac{134271}{483049} a^{24} + \frac{166365}{483049} a^{23} + \frac{68716}{483049} a^{22} - \frac{13437}{483049} a^{21} - \frac{1543}{483049} a^{20} - \frac{164769}{483049} a^{19} - \frac{25023}{483049} a^{18} + \frac{36747}{483049} a^{17} + \frac{69535}{483049} a^{16} - \frac{109509}{483049} a^{15} + \frac{5048}{69007} a^{14} + \frac{88154}{483049} a^{13} - \frac{25044}{483049} a^{12} + \frac{194854}{483049} a^{11} + \frac{223025}{483049} a^{10} - \frac{153010}{483049} a^{9} + \frac{200968}{483049} a^{8} + \frac{177883}{483049} a^{7} - \frac{106380}{483049} a^{6} + \frac{92377}{483049} a^{5} - \frac{38964}{483049} a^{4} - \frac{139366}{483049} a^{3} + \frac{7464}{483049} a^{2} + \frac{151689}{483049} a + \frac{536}{3199}$, $\frac{1}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{44} - \frac{240153205604082087230544268906795011811493070373990568736954186259914124866384344232633911773296835674760802787361823594043823620412736251938416621026597981359961528661265547024700551827762425034653744440740601121367411}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{43} - \frac{99512896418906660381715247534481650858165096801313611388070642298415818480946574113998821910604830855516576150047921077560315985848818584166188659111277199375420060405073112619705812683291258877211158940443360244462961450}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{42} - \frac{65774997938170741840794285477265971159720311366312134871133683188351484000381627319601413624417462822503249664481860256423546333232893496008171008733205104333065634829953167147099736948101393801636711763776937277988102284911}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{41} - \frac{41936257332335629403951096797046427799327008994550701222023268910866050059981356269141993205872745561847701744265017200339556708467542879715135004831661079691632064831868754909331631423904171550408253588749697802431052307330}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{40} - \frac{77111900496793260589527140723548666541590778089764370945666108725007860584036607586889025402038735280591806280041855188560155630480879340837901191461528080174863324529895647076955552031914793449792459327553418141918796607588}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{39} + \frac{21773138207285693599958394708360274379043562870627385384548826827563860971397271532032157885912494711127652514008057772219074128894927955268788229124502973422593695757477758109785300603469745923681307342366744698032961861893}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{38} + \frac{8015543296455308839926046197426631279447041485835456897196102069533918986696092721115765233725115294361773919328728012013387941808641424128918248308391394613707926458112478641720054359601881606002246230944977894261098098900}{157547664927650251846932740952542649501701426965286813935086606001512847078263367045986992094041672794183540919987367307659268484190001166931301055296414164782532940929640502516216564059520841112699449242053204171727633001251} a^{37} - \frac{63187704970436756574934490186583725162647922171030425276608178044289331654840049947006651789586263691964349262902723697607645344758712024524522395847373882367171860871460206754768556380266332337196611829696474132069921384996}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{36} + \frac{538365684664707932956222753223715603645201503514909795988242972141721346063039390112374407248356265172724296847135343575909668479197080544362867325522625417202565994338384519644617453627021840499942530171765197700129270845660}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{35} - \frac{316611486358865873989862993667183216960908943037062920059329492886987224883127297983541760991916215637126362407235383755434772139575207343784131977234297712624297469241172461198929631401866421753739020545003022989287629036334}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{34} - \frac{533430297949403018962906624608310772063373431874834868868178026304461566583122613130324227154319742817368255610393606809509307243414548399949932594666415952576082318359662702658066888565226814314721409197931952706189065391719}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{33} + \frac{479229919652289535508224680210357804235844655297218951842842725889633364948890265906472364468619327821092034301167091045532319597810284961068786285012937208631523756842470798456353514190925064893516083708739792225717191824842}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{32} + \frac{200295094975951562926329201961277562610803787446401359655859491004751161856175071436540328931782780647642643694875433167329065459184956258504002756567687327618497624857034611411145360028155723908854097413742657189883872674925}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{31} - \frac{337153614263620845293072878318259516129850388954895439511858921910822261352530076633558255889893508293621626248620707901364189772882038361624673711607292167389399314259161631003396583461075254741154730844913247833128435771552}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{30} + \frac{506648811065113742678089201357088563338549057166075022774338714398447097813378809031489730323201642835413338780556568972186561399838451780503903147665376320563370395444823580469634029566653325706902660919744318085333396129089}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{29} + \frac{431757286731226440854883746514758501954439916713386533761615679802107282002101804229641214726361353376395052573006872077801215425873421080489033325358486734436815995004837316966670124566412273947130344573182203067974254298469}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{28} - \frac{12559284865111042590151528012092044981277511327955854932143697156258544615799647211754710532339892965085490853545216623483822504717745700879980633762566856223656176303569661524943583335299791768581270971997082060179136420271}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{27} + \frac{332778225080451450060983550334345069945664816249504372673264820392918157324410254104811694871741880527838414724740099970141824709247362832088371445871040663326499590794481994929827312495670246726400012925825865263548415770342}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{26} + \frac{543717099795386860939927844806338936915990979710433302032303204650023866251271283290759731310577586089760032286755832532315408921237019413300571014993161213692398661528728839456238767535517211384325341334697182098259150420051}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{25} + \frac{306809714977593521127776481313591350937979870361962660937154426569393715785322053840713828518272886107065496826104613232677333407775507566405585738984067774013640015243927981848515805827156476014449767123158435650980597278583}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{24} - \frac{302472033542625161854707392272385619984957897819239251205694487343533464560202327751828467118153434618696843699895031922121459671877487817984984578459871465604899750635982820027566617703457187391436762467505655637101249241772}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{23} - \frac{398908905812875295805560142282735117937998437483667821135821156027336251711095688986766149598833433689932436167374933919239661634975726734541642038870783186383087171279383566197236914631118753154053763176475599080942126710036}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{22} - \frac{71101153122500487430703823971268601947526002018005259675141375533277889870110905640648147348536048223182465663574952634516581055187630246502370276072912075057767107989699616977966970730074460754837772806373023805881270169836}{157547664927650251846932740952542649501701426965286813935086606001512847078263367045986992094041672794183540919987367307659268484190001166931301055296414164782532940929640502516216564059520841112699449242053204171727633001251} a^{21} + \frac{206611986159635409203463937232625258919024994622325613139358294148558354809658154275394252942476505334764457133020788087328610366244968548917411907680328743004321580377171670827899282552794701429551252382460583017538250037151}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{20} - \frac{333506416284288590822429790561893130614349147060148313288016504677076877346755076099196807986226889445021278496273996766783543539851290499618641705647634236413970022022565151122005994320565337914884361660240223549411387161619}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{19} + \frac{2026635637268924808754795541128264083695255906190927696698780855376620591448312660057966826029714971560622137303422685841824636384705268442848309587073448937975394544029731845935885790186622380339718677844668942480195701621}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{18} + \frac{411244826509791039104236486716452053979452162191643470482396458267737339030244210706256306594858435402254719180594824745472710219569409032658308696979715109969349374173332122234710242751087158207006021387665288698981831487696}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{17} + \frac{216130660967532807594207001789005174107269574031623980234747781340616351116597857624692013996303089550433377415689150014917149104773276686166640297858321900115358389803724270816098726252562754696230775858885311461019099040166}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{16} - \frac{411290881382778346221740728035549614098461613412559316557406668977311059362501770939851136216871757640576913918269112765953598417483710498412875059790077406080532315200653549988210679712619754343128259016629378843977893794537}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{15} + \frac{184936775360102106080375682406051421489796632870686537084648173928862975181260708617213420174872226984197788843347728129416331328330535696158791783524276925950286854109067443448025559168904991689385157332482943305464426040517}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{14} - \frac{379952458480551280218859024451607067350975859313839787380385244116446208719197827644696153369711414799845196672055369138710387652751568283999403925989467947887646186577061994737383073196887376709756263087828647577689968012641}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{13} + \frac{543976236126568075974584921642269873834498112001354064041329685954261253932838454549421721772853772701783083545397456164117577464468678456608781109933920450668113237489566631247236875317894019395106878819516304383972267731163}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{12} - \frac{463499723820713229847998965916051969887161027583714454099780303885250400850825916873977114904337431907619500637091708649248666878935263480260378990219602706532127915604584133975924302926839477374893881575051530425539027573723}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{11} + \frac{408834418609620595273045817341369753944943542173744881936363700654608351921087487368831161426147371907127163338815126364580260808450589011695392616575478754383403411058063280756092496079946724418399903363457897267459469640674}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{10} - \frac{144523335162628608685166927126606694845645413463927271420872615025033184070836359971911269552454964858371431608083717988645493416770293252325373969766668626097309979587749175673746568673821022150718233267281388521295073505990}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{9} + \frac{324331177809720249134196331087034681001148560659537450447639740422811235009220100205547572569356221740887149124230686289983805995763773341904933213577503169673154207624752675990254915904208889302984168492520071069131776377918}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{8} + \frac{48849008079266870749661365595339179723406535931053202836832094970325086574210030781644120978025714423712178529089459026676495285860364008195837767050130420090546211182202361031859726019460633034630762054920261186006788243767}{157547664927650251846932740952542649501701426965286813935086606001512847078263367045986992094041672794183540919987367307659268484190001166931301055296414164782532940929640502516216564059520841112699449242053204171727633001251} a^{7} + \frac{245648114610650981226630057124141946016977848830253776893067797649260319505428423845259892137925908010401771951531681571115469138017646791528391894243675148920707508899115861039873381422558291149377699994299242997516734073664}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{6} - \frac{208573012617064272109620264611168927480547719261513433067986368861464001103030915036452702472977935050467894529824043602923261464417537184868262001727777958382830469539103622219456823534369417143606934923610498243597050011341}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{5} - \frac{37277428166109881209806049958357945299582421633409604144684693567820988959796601605288886222654924311247804816271283049232732838831361160892442594452982173145479219616418981007254541198267731053479583198196807648761250948739}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{4} - \frac{56469397297934659670424089078543878470512101346194967077690700439780044870330520596712807912764204208252928097865307980038025012167703235055287122234540927419606876436019652160722317092015295515232882989858667747862574582634}{157547664927650251846932740952542649501701426965286813935086606001512847078263367045986992094041672794183540919987367307659268484190001166931301055296414164782532940929640502516216564059520841112699449242053204171727633001251} a^{3} - \frac{214144278929151704922664649331632431089294426612026706487867902691388613925610576003722031035268058862673384972264222998377788626218671875093707369287554325161999061228530126350747626968126203577843767192383432979296523004703}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a^{2} - \frac{418643477359802571190829364568008422700250297928461593412595603571402728593626919136258364291431000430070272276653576640931531401195046902958866053536279961526611343279932019255609199872439410571616807732165184740233830365426}{1102833654493551762928529186667798546511909988757007697545606242010589929547843569321908944658291709559284786439911571153614879389330008168519107387074899153477730586507483517613515948416645887788896144694372429202093431008757} a + \frac{510209913384866578115261630880618168651818053565755221638736159086845238149813077649670167162732878329521304599482349704812978685384504033608541061258385204619255364487984358301031975884226094422898116771349043976842245359}{1043362019388412263886971794387699665574181635531700754536997390738495676014989185735013192675772667511149277615810379520922307842317888522723848048320623607831343979666493394147129563308085040481453306238762941534620086101}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 4022487388915899600000000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{45}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 4022487388915899600000000000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{299215681303998835585125432825671967739342947202402933846152911778748517690473818220198154449462890625}}\approx 0.129366647971348$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.390625.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 15.15.365440026390612125396728515625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/7.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R $45$ $45$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
19Data not computed