Properties

Label 45.45.252...929.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $2.524\times 10^{108}$
Root discriminant $256.41$
Ramified primes $13, 61$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 12*x^44 - 80*x^43 + 1424*x^42 + 1516*x^41 - 74554*x^40 + 63158*x^39 + 2282501*x^38 - 4255902*x^37 - 45636421*x^36 + 116693559*x^35 + 630121996*x^34 - 1971613347*x^33 - 6193698077*x^32 + 22855343401*x^31 + 44007670585*x^30 - 190617019593*x^29 - 226920195907*x^28 + 1172746429282*x^27 + 842990049201*x^26 - 5394671280584*x^25 - 2206384597765*x^24 + 18666651459717*x^23 + 3871477687999*x^22 - 48596558981735*x^21 - 4036750693451*x^20 + 94693820108958*x^19 + 1546861746446*x^18 - 136570614884744*x^17 + 956863921562*x^16 + 143064103358001*x^15 + 102341290612*x^14 - 105649963477592*x^13 - 2816833651750*x^12 + 52484763220205*x^11 + 2919265367283*x^10 - 16311452643376*x^9 - 1104335997267*x^8 + 2857645920655*x^7 + 105919440856*x^6 - 255094574859*x^5 + 8466426668*x^4 + 8654209646*x^3 - 1026667213*x^2 + 14388119*x + 1507921)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 12*x^44 - 80*x^43 + 1424*x^42 + 1516*x^41 - 74554*x^40 + 63158*x^39 + 2282501*x^38 - 4255902*x^37 - 45636421*x^36 + 116693559*x^35 + 630121996*x^34 - 1971613347*x^33 - 6193698077*x^32 + 22855343401*x^31 + 44007670585*x^30 - 190617019593*x^29 - 226920195907*x^28 + 1172746429282*x^27 + 842990049201*x^26 - 5394671280584*x^25 - 2206384597765*x^24 + 18666651459717*x^23 + 3871477687999*x^22 - 48596558981735*x^21 - 4036750693451*x^20 + 94693820108958*x^19 + 1546861746446*x^18 - 136570614884744*x^17 + 956863921562*x^16 + 143064103358001*x^15 + 102341290612*x^14 - 105649963477592*x^13 - 2816833651750*x^12 + 52484763220205*x^11 + 2919265367283*x^10 - 16311452643376*x^9 - 1104335997267*x^8 + 2857645920655*x^7 + 105919440856*x^6 - 255094574859*x^5 + 8466426668*x^4 + 8654209646*x^3 - 1026667213*x^2 + 14388119*x + 1507921, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1507921, 14388119, -1026667213, 8654209646, 8466426668, -255094574859, 105919440856, 2857645920655, -1104335997267, -16311452643376, 2919265367283, 52484763220205, -2816833651750, -105649963477592, 102341290612, 143064103358001, 956863921562, -136570614884744, 1546861746446, 94693820108958, -4036750693451, -48596558981735, 3871477687999, 18666651459717, -2206384597765, -5394671280584, 842990049201, 1172746429282, -226920195907, -190617019593, 44007670585, 22855343401, -6193698077, -1971613347, 630121996, 116693559, -45636421, -4255902, 2282501, 63158, -74554, 1516, 1424, -80, -12, 1]);
 

\( x^{45} - 12 x^{44} - 80 x^{43} + 1424 x^{42} + 1516 x^{41} - 74554 x^{40} + 63158 x^{39} + 2282501 x^{38} - 4255902 x^{37} - 45636421 x^{36} + 116693559 x^{35} + 630121996 x^{34} - 1971613347 x^{33} - 6193698077 x^{32} + 22855343401 x^{31} + 44007670585 x^{30} - 190617019593 x^{29} - 226920195907 x^{28} + 1172746429282 x^{27} + 842990049201 x^{26} - 5394671280584 x^{25} - 2206384597765 x^{24} + 18666651459717 x^{23} + 3871477687999 x^{22} - 48596558981735 x^{21} - 4036750693451 x^{20} + 94693820108958 x^{19} + 1546861746446 x^{18} - 136570614884744 x^{17} + 956863921562 x^{16} + 143064103358001 x^{15} + 102341290612 x^{14} - 105649963477592 x^{13} - 2816833651750 x^{12} + 52484763220205 x^{11} + 2919265367283 x^{10} - 16311452643376 x^{9} - 1104335997267 x^{8} + 2857645920655 x^{7} + 105919440856 x^{6} - 255094574859 x^{5} + 8466426668 x^{4} + 8654209646 x^{3} - 1026667213 x^{2} + 14388119 x + 1507921 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(252\!\cdots\!929\)\(\medspace = 13^{30}\cdot 61^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $256.41$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $13, 61$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(793=13\cdot 61\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{793}(256,·)$, $\chi_{793}(1,·)$, $\chi_{793}(386,·)$, $\chi_{793}(131,·)$, $\chi_{793}(391,·)$, $\chi_{793}(9,·)$, $\chi_{793}(269,·)$, $\chi_{793}(16,·)$, $\chi_{793}(789,·)$, $\chi_{793}(22,·)$, $\chi_{793}(217,·)$, $\chi_{793}(666,·)$, $\chi_{793}(672,·)$, $\chi_{793}(625,·)$, $\chi_{793}(42,·)$, $\chi_{793}(300,·)$, $\chi_{793}(562,·)$, $\chi_{793}(302,·)$, $\chi_{793}(178,·)$, $\chi_{793}(443,·)$, $\chi_{793}(705,·)$, $\chi_{793}(196,·)$, $\chi_{793}(198,·)$, $\chi_{793}(74,·)$, $\chi_{793}(718,·)$, $\chi_{793}(81,·)$, $\chi_{793}(339,·)$, $\chi_{793}(469,·)$, $\chi_{793}(729,·)$, $\chi_{793}(347,·)$, $\chi_{793}(607,·)$, $\chi_{793}(352,·)$, $\chi_{793}(144,·)$, $\chi_{793}(484,·)$, $\chi_{793}(230,·)$, $\chi_{793}(321,·)$, $\chi_{793}(744,·)$, $\chi_{793}(367,·)$, $\chi_{793}(497,·)$, $\chi_{793}(757,·)$, $\chi_{793}(118,·)$, $\chi_{793}(503,·)$, $\chi_{793}(378,·)$, $\chi_{793}(508,·)$, $\chi_{793}(510,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{11} a^{27} + \frac{3}{11} a^{26} + \frac{3}{11} a^{25} + \frac{2}{11} a^{24} - \frac{3}{11} a^{23} - \frac{4}{11} a^{22} + \frac{4}{11} a^{21} + \frac{5}{11} a^{20} + \frac{2}{11} a^{19} + \frac{5}{11} a^{18} - \frac{4}{11} a^{17} + \frac{3}{11} a^{16} + \frac{5}{11} a^{15} + \frac{5}{11} a^{14} - \frac{2}{11} a^{12} + \frac{5}{11} a^{11} + \frac{3}{11} a^{10} + \frac{2}{11} a^{8} - \frac{3}{11} a^{7} - \frac{2}{11} a^{6} - \frac{4}{11} a^{5} - \frac{1}{11} a^{4} - \frac{4}{11} a^{3} - \frac{3}{11} a^{2} - \frac{4}{11} a + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{28} + \frac{5}{11} a^{26} + \frac{4}{11} a^{25} + \frac{2}{11} a^{24} + \frac{5}{11} a^{23} + \frac{5}{11} a^{22} + \frac{4}{11} a^{21} - \frac{2}{11} a^{20} - \frac{1}{11} a^{19} + \frac{3}{11} a^{18} + \frac{4}{11} a^{17} - \frac{4}{11} a^{16} + \frac{1}{11} a^{15} - \frac{4}{11} a^{14} - \frac{2}{11} a^{13} - \frac{1}{11} a^{11} + \frac{2}{11} a^{10} + \frac{2}{11} a^{9} + \frac{2}{11} a^{8} - \frac{4}{11} a^{7} + \frac{2}{11} a^{6} - \frac{1}{11} a^{4} - \frac{2}{11} a^{3} + \frac{5}{11} a^{2} + \frac{3}{11} a + \frac{5}{11}$, $\frac{1}{11} a^{29} - \frac{2}{11} a^{25} - \frac{5}{11} a^{24} - \frac{2}{11} a^{23} + \frac{2}{11} a^{22} - \frac{4}{11} a^{20} + \frac{4}{11} a^{19} + \frac{1}{11} a^{18} + \frac{5}{11} a^{17} - \frac{3}{11} a^{16} + \frac{4}{11} a^{15} - \frac{5}{11} a^{14} - \frac{2}{11} a^{12} - \frac{1}{11} a^{11} - \frac{2}{11} a^{10} + \frac{2}{11} a^{9} - \frac{3}{11} a^{8} - \frac{5}{11} a^{7} - \frac{1}{11} a^{6} - \frac{3}{11} a^{5} + \frac{3}{11} a^{4} + \frac{3}{11} a^{3} - \frac{4}{11} a^{2} + \frac{3}{11} a + \frac{1}{11}$, $\frac{1}{11} a^{30} - \frac{2}{11} a^{26} - \frac{5}{11} a^{25} - \frac{2}{11} a^{24} + \frac{2}{11} a^{23} - \frac{4}{11} a^{21} + \frac{4}{11} a^{20} + \frac{1}{11} a^{19} + \frac{5}{11} a^{18} - \frac{3}{11} a^{17} + \frac{4}{11} a^{16} - \frac{5}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{13} - \frac{1}{11} a^{12} - \frac{2}{11} a^{11} + \frac{2}{11} a^{10} - \frac{3}{11} a^{9} - \frac{5}{11} a^{8} - \frac{1}{11} a^{7} - \frac{3}{11} a^{6} + \frac{3}{11} a^{5} + \frac{3}{11} a^{4} - \frac{4}{11} a^{3} + \frac{3}{11} a^{2} + \frac{1}{11} a$, $\frac{1}{11} a^{31} + \frac{1}{11} a^{26} + \frac{4}{11} a^{25} - \frac{5}{11} a^{24} + \frac{5}{11} a^{23} - \frac{1}{11} a^{22} + \frac{1}{11} a^{21} - \frac{2}{11} a^{19} - \frac{4}{11} a^{18} - \frac{4}{11} a^{17} + \frac{1}{11} a^{16} - \frac{1}{11} a^{15} - \frac{3}{11} a^{14} - \frac{1}{11} a^{13} + \frac{5}{11} a^{12} + \frac{1}{11} a^{11} + \frac{3}{11} a^{10} - \frac{5}{11} a^{9} + \frac{3}{11} a^{8} + \frac{2}{11} a^{7} - \frac{1}{11} a^{6} - \frac{5}{11} a^{5} + \frac{5}{11} a^{4} - \frac{5}{11} a^{3} - \frac{5}{11} a^{2} + \frac{3}{11} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{11} a^{32} + \frac{1}{11} a^{26} + \frac{3}{11} a^{25} + \frac{3}{11} a^{24} + \frac{2}{11} a^{23} + \frac{5}{11} a^{22} - \frac{4}{11} a^{21} + \frac{4}{11} a^{20} + \frac{5}{11} a^{19} + \frac{2}{11} a^{18} + \frac{5}{11} a^{17} - \frac{4}{11} a^{16} + \frac{3}{11} a^{15} + \frac{5}{11} a^{14} + \frac{5}{11} a^{13} + \frac{3}{11} a^{12} - \frac{2}{11} a^{11} + \frac{3}{11} a^{10} + \frac{3}{11} a^{9} + \frac{2}{11} a^{7} - \frac{3}{11} a^{6} - \frac{2}{11} a^{5} - \frac{4}{11} a^{4} - \frac{1}{11} a^{3} - \frac{5}{11} a^{2} - \frac{3}{11} a - \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{33} - \frac{3}{11} a^{23} + \frac{3}{11} a^{13} - \frac{2}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a^{3} + \frac{2}{11} a - \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{34} - \frac{3}{11} a^{24} + \frac{3}{11} a^{14} - \frac{2}{11} a^{12} - \frac{1}{11} a^{4} + \frac{2}{11} a^{2} - \frac{2}{11} a$, $\frac{1}{11} a^{35} - \frac{3}{11} a^{25} + \frac{3}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{13} - \frac{1}{11} a^{5} + \frac{2}{11} a^{3} - \frac{2}{11} a^{2}$, $\frac{1}{11} a^{36} - \frac{3}{11} a^{26} + \frac{3}{11} a^{16} - \frac{2}{11} a^{14} - \frac{1}{11} a^{6} + \frac{2}{11} a^{4} - \frac{2}{11} a^{3}$, $\frac{1}{11} a^{37} - \frac{2}{11} a^{26} - \frac{2}{11} a^{25} - \frac{5}{11} a^{24} + \frac{2}{11} a^{23} - \frac{1}{11} a^{22} + \frac{1}{11} a^{21} + \frac{4}{11} a^{20} - \frac{5}{11} a^{19} + \frac{4}{11} a^{18} + \frac{2}{11} a^{17} - \frac{2}{11} a^{16} + \frac{2}{11} a^{15} + \frac{4}{11} a^{14} + \frac{5}{11} a^{12} + \frac{4}{11} a^{11} - \frac{2}{11} a^{10} - \frac{5}{11} a^{8} + \frac{1}{11} a^{7} + \frac{5}{11} a^{6} + \frac{1}{11} a^{5} - \frac{5}{11} a^{4} - \frac{1}{11} a^{3} + \frac{2}{11} a^{2} - \frac{1}{11} a - \frac{5}{11}$, $\frac{1}{11} a^{38} + \frac{4}{11} a^{26} + \frac{1}{11} a^{25} - \frac{5}{11} a^{24} + \frac{4}{11} a^{23} + \frac{4}{11} a^{22} + \frac{1}{11} a^{21} + \frac{5}{11} a^{20} - \frac{3}{11} a^{19} + \frac{1}{11} a^{18} + \frac{1}{11} a^{17} - \frac{3}{11} a^{16} + \frac{3}{11} a^{15} - \frac{1}{11} a^{14} + \frac{5}{11} a^{13} - \frac{3}{11} a^{11} - \frac{5}{11} a^{10} - \frac{5}{11} a^{9} + \frac{5}{11} a^{8} - \frac{1}{11} a^{7} - \frac{3}{11} a^{6} - \frac{2}{11} a^{5} - \frac{3}{11} a^{4} + \frac{5}{11} a^{3} + \frac{4}{11} a^{2} - \frac{2}{11} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{11} a^{39} + \frac{5}{11} a^{25} - \frac{4}{11} a^{24} + \frac{5}{11} a^{23} - \frac{5}{11} a^{22} - \frac{1}{11} a^{20} + \frac{4}{11} a^{19} + \frac{3}{11} a^{18} + \frac{2}{11} a^{17} + \frac{2}{11} a^{16} + \frac{1}{11} a^{15} - \frac{4}{11} a^{14} + \frac{5}{11} a^{12} - \frac{3}{11} a^{11} + \frac{5}{11} a^{10} + \frac{5}{11} a^{9} + \frac{2}{11} a^{8} - \frac{2}{11} a^{7} - \frac{5}{11} a^{6} + \frac{2}{11} a^{5} - \frac{2}{11} a^{4} - \frac{2}{11} a^{3} - \frac{1}{11} a^{2} - \frac{2}{11} a + \frac{3}{11}$, $\frac{1}{11} a^{40} + \frac{5}{11} a^{26} - \frac{4}{11} a^{25} + \frac{5}{11} a^{24} - \frac{5}{11} a^{23} - \frac{1}{11} a^{21} + \frac{4}{11} a^{20} + \frac{3}{11} a^{19} + \frac{2}{11} a^{18} + \frac{2}{11} a^{17} + \frac{1}{11} a^{16} - \frac{4}{11} a^{15} + \frac{5}{11} a^{13} - \frac{3}{11} a^{12} + \frac{5}{11} a^{11} + \frac{5}{11} a^{10} + \frac{2}{11} a^{9} - \frac{2}{11} a^{8} - \frac{5}{11} a^{7} + \frac{2}{11} a^{6} - \frac{2}{11} a^{5} - \frac{2}{11} a^{4} - \frac{1}{11} a^{3} - \frac{2}{11} a^{2} + \frac{3}{11} a$, $\frac{1}{6589} a^{41} - \frac{82}{6589} a^{40} + \frac{299}{6589} a^{39} + \frac{217}{6589} a^{38} - \frac{276}{6589} a^{37} - \frac{2}{599} a^{36} + \frac{20}{599} a^{35} - \frac{150}{6589} a^{34} - \frac{83}{6589} a^{33} - \frac{8}{6589} a^{32} + \frac{223}{6589} a^{31} - \frac{106}{6589} a^{30} + \frac{233}{6589} a^{29} + \frac{179}{6589} a^{28} + \frac{183}{6589} a^{27} - \frac{3111}{6589} a^{26} - \frac{1975}{6589} a^{25} - \frac{288}{599} a^{24} + \frac{1085}{6589} a^{23} - \frac{1737}{6589} a^{22} - \frac{143}{599} a^{21} + \frac{1009}{6589} a^{20} + \frac{812}{6589} a^{19} + \frac{2028}{6589} a^{18} - \frac{786}{6589} a^{17} - \frac{2232}{6589} a^{16} - \frac{2853}{6589} a^{15} - \frac{757}{6589} a^{14} - \frac{2340}{6589} a^{13} - \frac{59}{6589} a^{12} - \frac{1258}{6589} a^{11} - \frac{2998}{6589} a^{10} + \frac{3283}{6589} a^{9} - \frac{2395}{6589} a^{8} - \frac{2987}{6589} a^{7} + \frac{1971}{6589} a^{6} - \frac{1051}{6589} a^{5} + \frac{2572}{6589} a^{4} + \frac{2996}{6589} a^{3} - \frac{2069}{6589} a^{2} - \frac{549}{6589} a - \frac{1370}{6589}$, $\frac{1}{16887607} a^{42} + \frac{1176}{16887607} a^{41} + \frac{363764}{16887607} a^{40} + \frac{508738}{16887607} a^{39} + \frac{1173}{72479} a^{38} - \frac{56116}{16887607} a^{37} + \frac{161828}{16887607} a^{36} - \frac{16348}{1535237} a^{35} - \frac{45424}{1535237} a^{34} + \frac{368189}{16887607} a^{33} + \frac{398677}{16887607} a^{32} - \frac{90952}{16887607} a^{31} - \frac{472149}{16887607} a^{30} + \frac{737751}{16887607} a^{29} + \frac{331388}{16887607} a^{28} + \frac{1879}{16887607} a^{27} - \frac{439008}{1535237} a^{26} - \frac{540968}{16887607} a^{25} - \frac{7692668}{16887607} a^{24} + \frac{733273}{1535237} a^{23} - \frac{3252939}{16887607} a^{22} - \frac{4214491}{16887607} a^{21} - \frac{985700}{16887607} a^{20} + \frac{723359}{1535237} a^{19} - \frac{2287685}{16887607} a^{18} + \frac{5021143}{16887607} a^{17} - \frac{2684919}{16887607} a^{16} + \frac{4068384}{16887607} a^{15} + \frac{5527732}{16887607} a^{14} + \frac{353117}{16887607} a^{13} + \frac{597148}{1535237} a^{12} + \frac{6597377}{16887607} a^{11} - \frac{1524946}{16887607} a^{10} - \frac{5552221}{16887607} a^{9} - \frac{5323844}{16887607} a^{8} + \frac{6223066}{16887607} a^{7} + \frac{4395267}{16887607} a^{6} - \frac{1071600}{16887607} a^{5} + \frac{7303386}{16887607} a^{4} + \frac{5823266}{16887607} a^{3} - \frac{4238621}{16887607} a^{2} + \frac{6941644}{16887607} a - \frac{3500094}{16887607}$, $\frac{1}{55423825828261} a^{43} - \frac{1144799}{55423825828261} a^{42} + \frac{21233722}{5038529620751} a^{41} + \frac{1756808198246}{55423825828261} a^{40} + \frac{425335439340}{55423825828261} a^{39} - \frac{401703172080}{55423825828261} a^{38} - \frac{1374557004014}{55423825828261} a^{37} + \frac{2283058121291}{55423825828261} a^{36} + \frac{10207521068}{458048147341} a^{35} + \frac{1594776002168}{55423825828261} a^{34} + \frac{6168155580}{5038529620751} a^{33} - \frac{1921990259107}{55423825828261} a^{32} + \frac{2416850839266}{55423825828261} a^{31} + \frac{1378357741168}{55423825828261} a^{30} + \frac{2380143117270}{55423825828261} a^{29} + \frac{1441983625178}{55423825828261} a^{28} - \frac{1090779479349}{55423825828261} a^{27} + \frac{14878793572765}{55423825828261} a^{26} - \frac{1606400349997}{5038529620751} a^{25} - \frac{26478354856968}{55423825828261} a^{24} + \frac{14635658190860}{55423825828261} a^{23} - \frac{23354690752791}{55423825828261} a^{22} + \frac{13323770062968}{55423825828261} a^{21} - \frac{24387035578229}{55423825828261} a^{20} - \frac{5611711289507}{55423825828261} a^{19} - \frac{16301288426701}{55423825828261} a^{18} + \frac{8598561458126}{55423825828261} a^{17} + \frac{25060697379733}{55423825828261} a^{16} - \frac{242256512800}{55423825828261} a^{15} - \frac{1208063827849}{5038529620751} a^{14} - \frac{10061753890873}{55423825828261} a^{13} + \frac{1061004525279}{55423825828261} a^{12} - \frac{13070869957626}{55423825828261} a^{11} - \frac{20290443681735}{55423825828261} a^{10} + \frac{14932553963386}{55423825828261} a^{9} + \frac{25541975798583}{55423825828261} a^{8} + \frac{9259843119693}{55423825828261} a^{7} - \frac{22488848232835}{55423825828261} a^{6} + \frac{1705292860252}{55423825828261} a^{5} - \frac{12021269908057}{55423825828261} a^{4} - \frac{15088605315554}{55423825828261} a^{3} - \frac{9036857420122}{55423825828261} a^{2} + \frac{14284039851283}{55423825828261} a + \frac{22829998495251}{55423825828261}$, $\frac{1}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{44} - \frac{191574380985785136871717130841577953437320824543186474425940497565617351435671310662472013102370075461869821904840371047548455784056107837470291111996907869653971201733878074878209802404056418391495625628}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{43} + \frac{1626694667136194784192278751344386652793617469748834248225807894840429846470644313348557359075356244199201766556529677352768644588353210512879579648915079418528765752075728275567749876175272240773990317151220804}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{42} + \frac{302295444680747556564650200064150992094158463090780952645363382389246445909503200327814618380296793415709026647085215268446776436555500183356756922159230162285338440948233595171070037872640274016946447316303357576}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{41} + \frac{52583098331721438370705420954424949329423573693614328015098975865121916956852768005682829925949051597624724881737416504542359276449643951246340501441022293581219885161362322223849510848894953653580091318185542149641}{5634044634284361496729092421804505053586412077241912962656385705652779329818658687318558132543993076837775391252611934583054116883173889243446427179223168503145506150278354663610477546449172946499070210632293402040977} a^{40} + \frac{1586356069717436347715239923399417655465033439451320309929207469877835093135762299088442443849384666133977845844429062173184755351700969880154570907488403802197623127752740156129862634121878320083181964210876738487178}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{39} + \frac{1358057960881352076897991946352836763173326121611145792090458435044080904651054773150498362088398616789791960096876135353275100987524002401809237365662727000213346976565045119533710200161722856340652101859105793920094}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{38} + \frac{1957541051034373074331936196231004876668037309286247340673205204418113793111436177977541030396940027083968446510738356023832001826772285355376152147120670726404622600491161486927719372865393151107527944404081825015596}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{37} - \frac{278622449131015975087713877632601523152752390539422051257827812433420191940993589765828115624020422595264588021570908341260195826893174648294055849884258549630032047444690727623715168894395560980159910492048831207204}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{36} - \frac{1775215719933270011822287370544173043336539863394012289654493345334862613757816877075064300824373736732726866794688262385095719343518376021556260912753136366689400269674785856356801954502927148091748670846445565160085}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{35} + \frac{2405238337362954782930225141594100727831233600682719772583986033083955855849840579143648823002904151254711742866409858549456410529627625604114294184489521894959178132117671637941233100604862221580040325048287804970441}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{34} - \frac{940188666632389903686612655445368566234334050177352813713885564040342748590232759511969271355450275050111811313086667803116145175656180163363366012575530753387792999928999239712018900325811165454070758982292481611551}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{33} - \frac{1979612274260527792530566185676160090758691092724665802970325995861505897112432640300769138857720178106914399086756394140386359352076504987552041743001773463880493862437715690891963753057360199257070650044988025013668}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{32} - \frac{2368842309615858936286449061922395590602140440682358918185594290763643273696313821396311130291596324931916082736555219764850003135710859833542774903449901433940034982719112398092618999308868035849518991092352005424540}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{31} + \frac{251104174188394047149424485410249835685126965112321262032583350743169778236629450867471780217913751603557662440707572369944780700605477871590582728488253739027816846136701789840118035353867485062844101989775527198508}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{30} - \frac{1512841304782121499799745912478941868487118319894283116261201496602589610081246501450520726365108099148988067473517534295395958187314094989351442142660191027815216754607967499414724457392778012089852866501611634255085}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{29} - \frac{2160049690108960067677500456031119779495600294088993212332125410532352098818947707071561421198259899695875414644616562759617399664645290191596448071394965515501443911134175320796675961461379088208414953658732637920929}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{28} + \frac{2352542245457043109111540268774935872306957926717124242284544361128559030625032675490613860864141147631438270989051970326233990053147011003249340409456067881591384001407392044610544919204196287931180798301243132636435}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{27} + \frac{26839976691765626677354421214566725036360136033005766240360711263560615384813961101927097115027205700127162598652904244095373432175634450039383248843353217661525589428717122309619678942782716230302541544826712046823388}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{26} - \frac{30789039129110052240787555441059608110884212818797020028480248487116477212677030053672716589519127741060374660458133468645064876892018620883205690284985670190345515390448473019361934212453419171720261997239315058118770}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{25} - \frac{3006563622650991865357177844650365511034185635850928548713343032003354569125543892937732139586132089795696174137651402459909040048245051373292360156400574168630581427246735924880421672087533685067183612596810394389723}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{24} + \frac{1493228075637755567062287353395653679015933687803116060495713452130298194426973812219109834837102960829850216398155888110523277610962099248673033422688786873778279299974573070397643156685401309225225166335333694470328}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{23} + \frac{4270102611846756093117224828568116937217384722218530211110764537539350074749091648250642367417273538908507851430706443753910408395075924924058391503565269206797862974524595950405184272513762784257043521269264360750232}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{22} + \frac{5822098583944839241722159099181498989375069523194462532025195653920378431104046756768407899430882262582979303337782827445152965754863979234400577859538738225748726858307065461590333870352502403235049759213255771518093}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{21} + \frac{2975922439054212776493767003241662166446554222673025267641859425564188985148163528791219924538685849051808312136556797475198647938330174340146236914627573221831129833705080495363291427498894725568342080108851001151598}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{20} + \frac{10164787457462135479351985817516533466488726336167372544135762637389893776235800190983373897060208947977424653657424508582878816225265518892472275443492698409116230334004748210837222148994759028350960426645080360758597}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{19} - \frac{10837994885965605705356228588770893047860160890813469303461385438300380547240159081896985769860358004174471752380908289084069788101371678999048902999781171627212445401577640441329462477726016013635764079178391127966452}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{18} + \frac{15678745633532968319837381625260021170669710343821925887875397102036222565819057448218252523131798676202841692045252395280432557723766561843772937084799606833175758553785137656309376209188193522276275756793311152392067}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{17} + \frac{24670560671815320663868517533826890767647032431038250934177918194263188234828045295476450540537582779828233366112693349246837997603886369175283790053022478200302766813687174334662866145719022057020048623346353280133254}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{16} + \frac{23069871000882008127164735952243058811598064975607761995224874080985195426851732621289836316044501921409764267022764724063097465574171537298305239641931253339431245295119484643488152919415521560687954645378379008586669}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{15} - \frac{28326624029500054039566424944661258204609514992455974438731748485465597387336228569128755676766195414066887940888265482665466865474301983319219059821232410648834123085444199342599693445897013572326187272993049005875412}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{14} - \frac{151487210602144561724468969746506473787772957957751333269571777015196347509513288634288310457508349749616222124600660592042820305260406980843011025248555215491334828349646912994182917527896923751299957704810472551419}{5634044634284361496729092421804505053586412077241912962656385705652779329818658687318558132543993076837775391252611934583054116883173889243446427179223168503145506150278354663610477546449172946499070210632293402040977} a^{13} + \frac{306291441625835782343466861166710998297030674799600002039044924564183695018577682927338522489380339915429195299632396155661454737870070897649867256934199141445162849560504294461595888888146406729916493183638734804270}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{12} + \frac{70615923804455337442498695102697112036895019303742668843338561790227125467761351740799410859702890515965507145929519320956967596658617229347473978672115072076836350032095186019660937981642118374182758486777818585015}{5634044634284361496729092421804505053586412077241912962656385705652779329818658687318558132543993076837775391252611934583054116883173889243446427179223168503145506150278354663610477546449172946499070210632293402040977} a^{11} + \frac{17445988720840414367799470777133862765068434070638284730712915728913428523186766784035126655037229397841766729992640796760398294623176425077500225411103966927465305071611745035900304494805525789914779887039945706756614}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{10} - \frac{14281580706200169088208389223447815717332523573805360684144257507637152310458415256921574383077034411708077325722004917963323043950401001630530287520724968415499569411046221219617744719637757316477758443289205172862852}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{9} + \frac{2403610323977864792380309646771112285949249323475077251732822972170182478452773306615512417153986315818652700171712767786331459725133673495338707095610687924247120836665316166575118888732159854648011218345404463672660}{5634044634284361496729092421804505053586412077241912962656385705652779329818658687318558132543993076837775391252611934583054116883173889243446427179223168503145506150278354663610477546449172946499070210632293402040977} a^{8} - \frac{461619622621315305250590074734293297097821991794598200477991935402484629509631376792013215777186396526824040871970749905754717169815880926267341251454818496009778934956049978191263416694566783975225627952281475044324}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{7} - \frac{11162707737394433006863585112562807432760000696931468549356256483060255959583519236555069749430660378299075707415834502023531424542144177642287433658070777908359242347569907616104442646013183144288976947943147162626768}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{6} + \frac{23229631222838210589492044716877149159118198077930844027517875999387238093022841609969448663090541924156090926666719443747414273440692407209699933919420761937588129435270096292914999383373441776315997741873186247908503}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{5} - \frac{2600318929739372099531932433037410644954910109355769638734783435325560103406727872581485331879676303081260250987280483687024830086701323322890303167585927067898606026856056928273417915134211639526988281600067251316680}{5634044634284361496729092421804505053586412077241912962656385705652779329818658687318558132543993076837775391252611934583054116883173889243446427179223168503145506150278354663610477546449172946499070210632293402040977} a^{4} - \frac{8275196825007674372787562805877819277932850300797329669151111119568785830665782031316829166502640781588712656346446503339370635762444608604777043813370543876249215367905658964648071795270385726017679601921088891587788}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{3} - \frac{23040467510630212878220295162853518210932472452395059949986408730198895713126191411565703232575754363608291810836332979956000343929292721073289678619603569430604963769591833833192329267002111845386833038285458921992404}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a^{2} - \frac{3410548719811041870415472516222561830666068095648906484886110582018087061501123141444202665208732434963789060659286733819834032142211398851013152843341163678054222283053368461901680154987424839662935279546586643931607}{61974490977127976464020016639849555589450532849661042589220242762180572628005245560504139457983923845215529303778731280413595285714912781677910698971454853534600567653061901299715253010940902411489772316955227422450747} a - \frac{8803341983232839971306065198012213714606712820828183869409935824777754800787693794499735478084800302705748776211348411638501914933436803820835014743839699554601839643988006780340876202516391170552988095145462009664}{103463257056974918971652782370366536877212909598766348229082208284107800714532964207853321298804547320894038904472005476483464583831240036190168111805433812244742183060203508012880222054993159284623993851344286181053}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.169.1, 3.3.628849.1, 3.3.628849.2, 3.3.3721.1, 5.5.13845841.1, 9.9.248679006649044049.1, 15.15.365924546437605291907270802025529.1, 15.15.1361605237294329291186954654336993409.1, 15.15.1361605237294329291186954654336993409.2, 15.15.9876832533361318095112441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{15}$ R $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }^{15}$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{9}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$13$13.9.6.1$x^{9} + 234 x^{6} + 16900 x^{3} + 474552$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.1$x^{9} + 234 x^{6} + 16900 x^{3} + 474552$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.1$x^{9} + 234 x^{6} + 16900 x^{3} + 474552$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.1$x^{9} + 234 x^{6} + 16900 x^{3} + 474552$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.1$x^{9} + 234 x^{6} + 16900 x^{3} + 474552$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
61Data not computed