Properties

Label 45.45.235...625.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $2.352\times 10^{112}$
Root discriminant $314.15$
Ramified primes $3, 5, 13$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![15265738099, -434206226325, 974579665770, 21751317924475, -18640864878495, -283553373081756, 90536277582715, 1618208036238660, -176503490451285, -5063789878500180, 117791800035840, 9836514943009755, 44301971232950, -12806776910595090, -32411856380685, 11738415157749574, -175081417856730, -7821266721741750, 311910060390275, 3868718864967360, -262195938148443, -1439822630956295, 138267603359730, 406336593221610, -50137706272620, -87229174471284, 13037929556940, 14226276458010, -2483116182570, -1751940770010, 349558305696, 160894854450, -36390969195, -10777640365, 2780167860, 505833687, -153159405, -15309120, 5893830, 233625, -149682, 840, 2245, -90, -15, 1]);
 

\(x^{45} - 15 x^{44} - 90 x^{43} + 2245 x^{42} + 840 x^{41} - 149682 x^{40} + 233625 x^{39} + 5893830 x^{38} - 15309120 x^{37} - 153159405 x^{36} + 505833687 x^{35} + 2780167860 x^{34} - 10777640365 x^{33} - 36390969195 x^{32} + 160894854450 x^{31} + 349558305696 x^{30} - 1751940770010 x^{29} - 2483116182570 x^{28} + 14226276458010 x^{27} + 13037929556940 x^{26} - 87229174471284 x^{25} - 50137706272620 x^{24} + 406336593221610 x^{23} + 138267603359730 x^{22} - 1439822630956295 x^{21} - 262195938148443 x^{20} + 3868718864967360 x^{19} + 311910060390275 x^{18} - 7821266721741750 x^{17} - 175081417856730 x^{16} + 11738415157749574 x^{15} - 32411856380685 x^{14} - 12806776910595090 x^{13} + 44301971232950 x^{12} + 9836514943009755 x^{11} + 117791800035840 x^{10} - 5063789878500180 x^{9} - 176503490451285 x^{8} + 1618208036238660 x^{7} + 90536277582715 x^{6} - 283553373081756 x^{5} - 18640864878495 x^{4} + 21751317924475 x^{3} + 974579665770 x^{2} - 434206226325 x + 15265738099\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(235\!\cdots\!625\)\(\medspace = 3^{60}\cdot 5^{72}\cdot 13^{30}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $314.15$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 5, 13$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2925=3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2925}(256,·)$, $\chi_{2925}(1,·)$, $\chi_{2925}(646,·)$, $\chi_{2925}(391,·)$, $\chi_{2925}(1036,·)$, $\chi_{2925}(781,·)$, $\chi_{2925}(16,·)$, $\chi_{2925}(1426,·)$, $\chi_{2925}(1171,·)$, $\chi_{2925}(406,·)$, $\chi_{2925}(1816,·)$, $\chi_{2925}(1561,·)$, $\chi_{2925}(796,·)$, $\chi_{2925}(2206,·)$, $\chi_{2925}(1951,·)$, $\chi_{2925}(1186,·)$, $\chi_{2925}(2596,·)$, $\chi_{2925}(2341,·)$, $\chi_{2925}(1576,·)$, $\chi_{2925}(2731,·)$, $\chi_{2925}(1966,·)$, $\chi_{2925}(2356,·)$, $\chi_{2925}(2746,·)$, $\chi_{2925}(61,·)$, $\chi_{2925}(451,·)$, $\chi_{2925}(196,·)$, $\chi_{2925}(841,·)$, $\chi_{2925}(586,·)$, $\chi_{2925}(1231,·)$, $\chi_{2925}(976,·)$, $\chi_{2925}(211,·)$, $\chi_{2925}(1621,·)$, $\chi_{2925}(1366,·)$, $\chi_{2925}(601,·)$, $\chi_{2925}(2011,·)$, $\chi_{2925}(1756,·)$, $\chi_{2925}(991,·)$, $\chi_{2925}(2401,·)$, $\chi_{2925}(2146,·)$, $\chi_{2925}(1381,·)$, $\chi_{2925}(2791,·)$, $\chi_{2925}(2536,·)$, $\chi_{2925}(1771,·)$, $\chi_{2925}(2161,·)$, $\chi_{2925}(2551,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{33} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{34} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{35} - \frac{1}{4} a^{34} - \frac{1}{4} a^{33} - \frac{1}{4} a^{31} - \frac{1}{4} a^{29} - \frac{1}{4} a^{28} - \frac{1}{4} a^{27} - \frac{1}{4} a^{26} - \frac{1}{4} a^{25} - \frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{4} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{14} + \frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{4} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} + \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{4} a + \frac{1}{4}$, $\frac{1}{28} a^{36} + \frac{3}{28} a^{35} + \frac{3}{28} a^{34} - \frac{1}{14} a^{33} - \frac{5}{28} a^{32} - \frac{1}{7} a^{31} + \frac{1}{28} a^{30} - \frac{5}{28} a^{29} - \frac{1}{28} a^{28} - \frac{1}{28} a^{27} + \frac{3}{28} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} + \frac{3}{28} a^{24} + \frac{1}{14} a^{23} - \frac{1}{7} a^{22} - \frac{1}{28} a^{20} - \frac{1}{14} a^{19} + \frac{1}{14} a^{18} + \frac{5}{28} a^{17} - \frac{1}{7} a^{16} + \frac{13}{28} a^{15} + \frac{11}{28} a^{13} + \frac{1}{14} a^{12} - \frac{3}{28} a^{11} + \frac{3}{28} a^{10} - \frac{5}{14} a^{9} + \frac{1}{28} a^{8} - \frac{9}{28} a^{7} - \frac{5}{28} a^{6} - \frac{9}{28} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} + \frac{3}{28} a^{3} + \frac{5}{28} a^{2} - \frac{9}{28} a + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{28} a^{37} + \frac{1}{28} a^{35} - \frac{1}{7} a^{34} - \frac{3}{14} a^{33} - \frac{3}{28} a^{32} + \frac{3}{14} a^{31} + \frac{3}{14} a^{30} - \frac{1}{4} a^{29} - \frac{5}{28} a^{28} - \frac{1}{28} a^{27} - \frac{3}{14} a^{26} - \frac{3}{14} a^{25} - \frac{1}{4} a^{24} - \frac{3}{28} a^{23} - \frac{1}{14} a^{22} - \frac{1}{28} a^{21} + \frac{1}{28} a^{20} - \frac{13}{28} a^{19} - \frac{1}{28} a^{18} - \frac{5}{28} a^{17} + \frac{1}{7} a^{16} + \frac{3}{28} a^{15} - \frac{5}{14} a^{14} + \frac{11}{28} a^{13} - \frac{1}{14} a^{12} + \frac{3}{7} a^{11} + \frac{1}{14} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} + \frac{1}{14} a^{8} - \frac{13}{28} a^{7} + \frac{13}{28} a^{6} - \frac{1}{7} a^{3} - \frac{3}{28} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{3}{28}$, $\frac{1}{28} a^{38} - \frac{1}{14} a^{34} + \frac{3}{14} a^{33} - \frac{3}{28} a^{32} + \frac{3}{28} a^{31} + \frac{3}{14} a^{30} - \frac{1}{4} a^{29} - \frac{1}{4} a^{28} + \frac{1}{14} a^{27} - \frac{1}{14} a^{26} + \frac{1}{7} a^{25} - \frac{3}{14} a^{24} + \frac{3}{28} a^{23} + \frac{3}{28} a^{22} + \frac{1}{28} a^{21} + \frac{1}{14} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} - \frac{1}{4} a^{18} + \frac{13}{28} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} + \frac{5}{28} a^{15} + \frac{1}{7} a^{14} - \frac{13}{28} a^{13} + \frac{3}{28} a^{12} - \frac{9}{28} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} + \frac{5}{28} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{28} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{9}{28} a^{4} - \frac{3}{14} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} - \frac{1}{28} a + \frac{13}{28}$, $\frac{1}{28} a^{39} - \frac{1}{14} a^{35} + \frac{3}{14} a^{34} - \frac{3}{28} a^{33} + \frac{3}{28} a^{32} + \frac{3}{14} a^{31} - \frac{1}{4} a^{30} - \frac{1}{4} a^{29} + \frac{1}{14} a^{28} - \frac{1}{14} a^{27} + \frac{1}{7} a^{26} - \frac{3}{14} a^{25} + \frac{3}{28} a^{24} + \frac{3}{28} a^{23} + \frac{1}{28} a^{22} + \frac{1}{14} a^{21} - \frac{3}{14} a^{20} - \frac{1}{4} a^{19} - \frac{1}{28} a^{18} - \frac{9}{28} a^{16} + \frac{1}{7} a^{15} - \frac{13}{28} a^{14} + \frac{3}{28} a^{13} - \frac{9}{28} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} + \frac{5}{28} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{13}{28} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} + \frac{1}{14} a^{6} + \frac{9}{28} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} + \frac{1}{14} a^{3} + \frac{13}{28} a^{2} - \frac{1}{28} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{96656} a^{40} - \frac{169}{24164} a^{39} - \frac{15}{48328} a^{38} + \frac{27}{3452} a^{37} - \frac{161}{13808} a^{36} + \frac{2987}{24164} a^{35} + \frac{1663}{96656} a^{34} + \frac{7101}{48328} a^{33} - \frac{23089}{96656} a^{32} + \frac{226}{6041} a^{31} + \frac{5041}{24164} a^{30} - \frac{2459}{24164} a^{29} - \frac{363}{6041} a^{28} - \frac{149}{24164} a^{27} - \frac{4885}{48328} a^{26} + \frac{9501}{48328} a^{25} + \frac{3833}{24164} a^{24} - \frac{2147}{24164} a^{23} - \frac{7155}{48328} a^{22} + \frac{4535}{48328} a^{21} + \frac{1229}{12082} a^{20} + \frac{1801}{6904} a^{19} + \frac{2437}{12082} a^{18} - \frac{10019}{48328} a^{17} - \frac{17181}{96656} a^{16} - \frac{3911}{24164} a^{15} + \frac{8823}{24164} a^{14} + \frac{11975}{24164} a^{13} + \frac{13271}{96656} a^{12} - \frac{3747}{48328} a^{11} - \frac{677}{1726} a^{10} - \frac{8607}{48328} a^{9} - \frac{10231}{96656} a^{8} + \frac{21807}{48328} a^{7} + \frac{29857}{96656} a^{6} - \frac{19681}{48328} a^{5} - \frac{24441}{96656} a^{4} + \frac{725}{24164} a^{3} + \frac{12749}{96656} a^{2} + \frac{3889}{24164} a - \frac{927}{96656}$, $\frac{1}{96656} a^{41} - \frac{671}{48328} a^{39} + \frac{297}{24164} a^{38} - \frac{967}{96656} a^{37} - \frac{205}{24164} a^{36} + \frac{11187}{96656} a^{35} + \frac{1341}{48328} a^{34} - \frac{5289}{96656} a^{33} + \frac{1969}{12082} a^{32} + \frac{5141}{24164} a^{31} + \frac{1475}{6041} a^{30} - \frac{2461}{24164} a^{29} - \frac{235}{12082} a^{28} - \frac{11295}{48328} a^{27} - \frac{11633}{48328} a^{26} - \frac{3819}{24164} a^{25} + \frac{3001}{12082} a^{24} - \frac{3315}{48328} a^{23} - \frac{2897}{48328} a^{22} - \frac{213}{6041} a^{21} + \frac{6369}{48328} a^{20} - \frac{158}{6041} a^{19} + \frac{10473}{48328} a^{18} - \frac{34481}{96656} a^{17} + \frac{634}{6041} a^{16} + \frac{3315}{12082} a^{15} + \frac{6089}{24164} a^{14} - \frac{37869}{96656} a^{13} - \frac{3287}{6904} a^{12} + \frac{2139}{24164} a^{11} - \frac{3861}{48328} a^{10} - \frac{27463}{96656} a^{9} + \frac{14003}{48328} a^{8} - \frac{39651}{96656} a^{7} - \frac{2677}{48328} a^{6} - \frac{42397}{96656} a^{5} + \frac{1423}{6041} a^{4} + \frac{43481}{96656} a^{3} - \frac{8523}{24164} a^{2} + \frac{1499}{13808} a - \frac{8227}{24164}$, $\frac{1}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{42} - \frac{6352990550399827484519144166126035631919739}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{41} + \frac{4183578794037301905945326983957959692161859}{1015097225566363118477453556722059573990231828472} a^{40} + \frac{2036133503147227434975314088944293472974484567}{145013889366623302639636222388865653427175975496} a^{39} - \frac{20811607822653019092045729552408889231823083467}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{38} + \frac{22046259389481552030703973613090373515231882913}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{37} + \frac{12619336273093843836954863804441585569482812247}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{36} + \frac{78192781897654190844130681832533807106801319705}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{35} + \frac{50584497860502055845407094621361138384537578709}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{34} - \frac{286842314246327914795714664526377501377713712093}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{33} + \frac{21359685022334204053549695822231549096680035222}{126887153195795389809681694590257446748778978559} a^{32} - \frac{29122204848230120110328551683214117926726724227}{126887153195795389809681694590257446748778978559} a^{31} - \frac{99681300569916382581452085304046288460945816693}{507548612783181559238726778361029786995115914236} a^{30} - \frac{26728210921722212397810573109614451209580287824}{126887153195795389809681694590257446748778978559} a^{29} - \frac{12217904234687023639505846204538380094228832289}{145013889366623302639636222388865653427175975496} a^{28} + \frac{50630587136288201343078534091485080684533193277}{253774306391590779619363389180514893497557957118} a^{27} - \frac{38071498424311893597108339793582445798637336035}{1015097225566363118477453556722059573990231828472} a^{26} - \frac{7402966995763775307039116474955944644916535047}{126887153195795389809681694590257446748778978559} a^{25} - \frac{74259788662728379799917370202062338748920320367}{1015097225566363118477453556722059573990231828472} a^{24} - \frac{6457645813380634462257429645197640163388784993}{253774306391590779619363389180514893497557957118} a^{23} + \frac{29640697070234815133790084742541928842181872563}{145013889366623302639636222388865653427175975496} a^{22} - \frac{20279133549897726177770766366432898983276852547}{1015097225566363118477453556722059573990231828472} a^{21} + \frac{120347420940073130716132627772667623580570253463}{1015097225566363118477453556722059573990231828472} a^{20} + \frac{65669349645250330341372404997862939062979870239}{145013889366623302639636222388865653427175975496} a^{19} - \frac{607577187660255714840357188374406960977977485731}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{18} - \frac{898176442128438612995182091675865149653959305993}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{17} - \frac{113455496555033264908037647959281329781514627415}{507548612783181559238726778361029786995115914236} a^{16} - \frac{120921370867740559978894668289950898375423858651}{253774306391590779619363389180514893497557957118} a^{15} + \frac{407872737100332144947690992552459282208558549671}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{14} - \frac{888312446514102383464633000429440021543867027875}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{13} + \frac{302302357006355857276436725914793253623570902843}{1015097225566363118477453556722059573990231828472} a^{12} - \frac{9071847497699695852344240253017387553024327135}{145013889366623302639636222388865653427175975496} a^{11} + \frac{127770656588546285935035355443309991442350563157}{290027778733246605279272444777731306854351950992} a^{10} + \frac{617570879898454625569701636317691345769733980807}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{9} + \frac{71851275099531636430669852257258884699948085097}{290027778733246605279272444777731306854351950992} a^{8} + \frac{173440493970561803814921720456851065982931389367}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{7} + \frac{242373146683542611432144334702427894814222208493}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{6} + \frac{220284645976810434136754815933911602817402039611}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{5} - \frac{679668318437626905440248148945337891594874003903}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{4} - \frac{119835322507480724015592445325513105546599355379}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{3} + \frac{914987090724557737688316476875666292628933224721}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a^{2} - \frac{464988459822905885870194952103347245143382626319}{2030194451132726236954907113444119147980463656944} a - \frac{18752938783946657560876910581844156380878003001}{507548612783181559238726778361029786995115914236}$, $\frac{1}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{43} - \frac{33}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{42} - \frac{3012516454673727121569931587127236222205081485}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{41} + \frac{183674372164427444587980451979769721888037689}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{40} - \frac{2732751700787117975247041101026998486901599943333}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{39} + \frac{2341203576785009272716713271341103529105973777155}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{38} - \frac{2166057132464131863023689764788096453887448701281}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{37} - \frac{3077130664297268949399553688329693064170943815467}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{36} - \frac{10581808711054966464128999305282663380547248842101}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{35} + \frac{16050628368597775147646507977400556619400500535441}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{34} + \frac{36347666300103576125236567326945116381256799729347}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{33} + \frac{68566052799216737120871445833769789321714617594265}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{32} + \frac{5369833953930578745407836585007368213402276567077}{38954356031109184671572280239209036151875146417613} a^{31} + \frac{1271468317361831116004967324329693063425789600080}{38954356031109184671572280239209036151875146417613} a^{30} - \frac{74761453150084304635396457894963348552215373070973}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{29} - \frac{8815366338827807840635762694941194323356039688019}{77908712062218369343144560478418072303750292835226} a^{28} - \frac{9178549801147522916096530611835749779714363783909}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{27} + \frac{76695159724101430184993866952053442175501357600599}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{26} - \frac{40588231728704472950370110252514963766028872280283}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{25} - \frac{24431708150472538829919881895077327322471984539847}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{24} + \frac{9311312525437875306201113779998661353031375050743}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{23} - \frac{9233545423870735265178582813956118715059918105858}{38954356031109184671572280239209036151875146417613} a^{22} - \frac{66085458347201112938177889111039693644708523221013}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{21} + \frac{18042229569853366907428904037709252138113942865353}{77908712062218369343144560478418072303750292835226} a^{20} - \frac{20190555592148083911832421522086602779875213452447}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{19} - \frac{248433311448365625061957440203312576487798038542629}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{18} + \frac{50598065111446136566296355813817547588942430164303}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{17} + \frac{31594830624053359226891732830034476677220209274851}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{16} - \frac{29695964093217223778974984133701558273818737120003}{89038528071106707820736640546763511204286048954544} a^{15} - \frac{4956012560159208897626660928489546498494261272501}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{14} - \frac{14594224465620973135412691650466940391549123836081}{89038528071106707820736640546763511204286048954544} a^{13} + \frac{128395747970394962304077570499264399709394777419361}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{12} + \frac{276423397245960290030871689968621266642282538037019}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{11} + \frac{38580206533735985358337382992771077091745174239111}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{10} - \frac{76441718861837952042678389288994089805505840389277}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{9} - \frac{225917714033408507088231918535094233202572819343747}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{8} + \frac{74411647321661607966008427351260667096981123321817}{311634848248873477372578241913672289215001171340904} a^{7} + \frac{122926557039349336738896735330499845566602772919881}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{6} - \frac{18757866694802540189748625799581457907671180035257}{155817424124436738686289120956836144607500585670452} a^{5} - \frac{19669820735282346466119479152903580308748943965049}{89038528071106707820736640546763511204286048954544} a^{4} + \frac{19793982356383213405781348816744252494771158719315}{44519264035553353910368320273381755602143024477272} a^{3} - \frac{156792699950700581094989664427980880392635716723451}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a^{2} - \frac{35128915671755010934164342139270648224432015208459}{623269696497746954745156483827344578430002342681808} a + \frac{132920786522785108221728199864599172835908450236469}{311634848248873477372578241913672289215001171340904}$, $\frac{1}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{44} + \frac{1454538750183096739304781477517101279264314629667480833121365137700271381849421288299110035120808305366441692461293525703820256835712274339912486865331}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{43} - \frac{18926897846280378188786515089920075067560676441009890014233002490187790278847979653881394359699857715630072736520032846111050804801179901917345333835197}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{42} + \frac{8477736205784184800543620355408931483068849352460436682810850641530169993947253982094654419053106499589250042769885377122459295742781562147620598130225473588415060808118111867461100386797173568341}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{41} + \frac{5245502158707681193888279792446825489500386679900961927362968408907737572577546624889994941175535519208996299950082388553758214479738716118053364994811408896762141119086927048306279032355452179959}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{40} - \frac{32461732882200612983855068751431003895782999780565663889620124065380060004293943967343775176316875328930766063041486239879136420861872559195784560222711993640819549436185826340736552421576456264422603}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{39} - \frac{624546086878203703304448322747927280171838874193691159220552001642663834190151040981898394733397511054863160906631759803717392163783746304592711251533782110672740729617079573715680109518124010539443}{52067989145835990626631691951448513760019257669650365979299798904796380323447169629631328510134828697743738122866655925424885629043688667139479890341645145346238611105053848199552835311137213515140982} a^{38} + \frac{2865003541743036608093731532967231548535036829946777068603066412172761559436399049072290222444820639149145870452947428625384346435587965586481987697035153864914058730602838546759690754880417260237815}{208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928} a^{37} + \frac{2698228759247318668936705224715802737876674841937056489642438390076849829433027236368495988856572003346434309551186000710359430141941783399571765742759899660056893488270674035146239978264989998948407}{364475924020851934386421843660139596320134803687552561855098592333574662264130187407419299570943800884206166860066591477974199403305820669976359232391516017423670277735376937396869847177960494605986874} a^{36} + \frac{25369393301654968516306780944955313923293208819697415116979388639053215340792440532475632514427715805913243176801429859219630551032299330621908664059741037188645553667164390965988631372459314515853475}{364475924020851934386421843660139596320134803687552561855098592333574662264130187407419299570943800884206166860066591477974199403305820669976359232391516017423670277735376937396869847177960494605986874} a^{35} - \frac{5317526216560002181058448005968467689105108427861549365511085028687805010112445044269920502580783964273597815968505459887860507209224926645691668639185258989611726862337486420413330024064502058854097}{416543913166687925013053535611588110080154061357202927834398391238371042587577357037050628081078629581949904982933247403399085032349509337115839122733161162769908888840430785596422682489097708121127856} a^{34} - \frac{359288214084638625161721799278472664123687056059799930181154891256466036255008154450654144476275376926441191959176504886110240119519533687213034065050987788844204199918700050088249419129160203683865127}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{33} - \frac{5601278910872745320940265843240666807955482030469737449292150612071221835536929639741132542849608373588663522833438382061644863819390674078628922368842871828527959705536002295205018713640857313154683}{104135978291671981253263383902897027520038515339300731958599597809592760646894339259262657020269657395487476245733311850849771258087377334278959780683290290692477222210107696399105670622274427030281964} a^{32} + \frac{84600471382826217456244560548182988245033127080108161578762252435521095303585520446713004120983832585440950207011030935190110084601577820089228124094340849344870390307613791474151075880508808330077239}{364475924020851934386421843660139596320134803687552561855098592333574662264130187407419299570943800884206166860066591477974199403305820669976359232391516017423670277735376937396869847177960494605986874} a^{31} + \frac{35528280540657332221062276106764552045430345530498543976765474746261249837442078287998883075123986986902722182327336975034845442493400479837466216714234862162818999969872619000582046372366977142065221}{208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928} a^{30} - \frac{12835615169936009504642149548829292199668053789616533947041021096173567938401633328139473740404907382069952335794430981943717766752728414052475405467049775322025113320344983814892652892997204113911954}{182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437} a^{29} - \frac{174089460158990447731621914538473632652255820267254707152148424410488823999460318983717221784750565296267138150340757068117221188807706044757862833707731525637958333094956860846136495221146272201941931}{728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748} a^{28} + \frac{41303305697104228488586366958553903796131496222021517402753292581158322846746964320724169160056147418833653964773886947305837183704979928031780733061801503343593863689337228792663376367990340993044052}{182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437} a^{27} + \frac{43465168056194318258984709111776463075750448262713505715559902356297467767739810588984439300336812761645248089684552563594699974299317161650068350358893568764904778028052628914159256110160687931428192}{182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437} a^{26} - \frac{140617050087995102867800857844844535251187966000386336601393861971262812717992677511907783211775192648343740442910630440925049820487208535172241027688153610771759042622597936343925513118638812313808253}{728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748} a^{25} - \frac{8667687962065161918874063753538978981695290950115739027161537237801165564035803483705882003570173374517336089926008461308170866712735612969369980178322040157869131258107004043272675348320663870527019}{104135978291671981253263383902897027520038515339300731958599597809592760646894339259262657020269657395487476245733311850849771258087377334278959780683290290692477222210107696399105670622274427030281964} a^{24} - \frac{23916034130384307776029572979829580617421302864734576416941113783218732576534840332845253716645027059780757544009122853225924988880375392357870973169202971594425267094979855293619801499877736617335641}{208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928} a^{23} + \frac{5171401207962611020231229732824536698155288008105311455902757520627459195912921091368987401474152532228474668758451727725327573524246594875474358054386744998911556089190468565495689258166450474040795}{182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437} a^{22} + \frac{25660282941705146705659921093398165207658714538595924217774326190316484149855640506552092665668288376569297868673679920572636622561829124682918089233789156800047897850378516727722438411980529401790406}{182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437} a^{21} - \frac{237298741590600334301021573463420645893520147681232194987171357044734669162208966732900757323371056854880049420390184459085650027549723745631346824664216747501172021866177299697246692894024421168749993}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{20} - \frac{481230491281265696501380454665811956322843241833162433043429727998701101515659271307052785569538149416974178142775404143049416292634819299300887543495358274584593319466319389747076830778901826536887329}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{19} - \frac{1296212026047672871701708388585532766905339758942267753281497857395223914429089785422585668372403723586340464710503144282625158128220538942897371411844258521057795088464704559221108052199961662664862963}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{18} + \frac{836318285561833276485374073055402556844616432513805889836681531518361721831713011660631045809035962860172363549398481754605320528178522217939411099522122460854017308025591280374787884717694662839603849}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{17} + \frac{405569039645290858735113926022473838481892006940341489458069723535521751610256141567193920038278703436465118727732702343728183076411568691075583492741417392425490949975275863555939713750575690330016863}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{16} + \frac{801069775101995750728757396369221228213628493321049060592272649233801745609058128384852588991419166833236889614027403019721257639214140290111761301896177480859726535970498270796213089614518898108235051}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{15} - \frac{975984847237476787274877651671833650345686429954556007619430359798925279194436588153715861512820986727854208597757176168362277831650385310123491566282566905192623268659071388234043329979732451231263315}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{14} + \frac{149419365400145362084332855512034207412240813916916935647848014539141169275481227106951749601606521620505442135231977644308102967926937689355659864015819890625748553235064004050184886548444255855883381}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{13} + \frac{71615049542677920950772019248402237835426091315545810844536472574628099520653144965331944209837436503991493801111330116054659371725282467271299672860858096374472653174133603904937870858793104836910573}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{12} + \frac{1117647244768830907153182880620645098256863870642883704033702799281808014046059383552662541442205395125799675118314127028662273383868366376043467710224830165590703038584523901387845394904827698687133707}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{11} - \frac{155973430578025502548550450765148894710755491943907219205989231485243599184107272477365124356477249249375336204016910639339020830420495931699997149319026003082202920793547604117358778434099692577421625}{1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496} a^{10} + \frac{86609490579437523562362304292000787669260268578514535974519006569642987223663790009409192031737168920790079368753620858440870897177167413727441827626130362551523566516823418644430956867652478941951477}{208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928} a^{9} - \frac{118784383459333391819278209403160474442040210791220375304400492714618177773819897842819032294707910469979460402758100015094159079879968629480405643244008038949670007087885986436944537544502605118924441}{728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748} a^{8} + \frac{544987476997031992955943024559492131290513263344306150507286313410044980865745033098230173267197045382458361526911032539606088648501340840324819857019282871484269629693166035380222857185009790940301897}{1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496} a^{7} + \frac{97671565023320053398463088539605728826985093660057778830858045756517663192681700065290411014039157057869324436822962648722935448083987982658641723072491090087340372052102178712038538470079034945077815}{1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496} a^{6} - \frac{304120528771504284195995107846286632749404472662085011859521155393419982785365941186308889678785146278189570269890493860905663604778376037331003025178320354344844797222085114308842737673633550489198305}{728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748} a^{5} - \frac{404106330204208637002029743508378636139219868494000018479542629826026581456871014665863341295601132170202515992497005134856254629952622069959214783853113817710651848205840770264352875286165530925469119}{1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496} a^{4} + \frac{1958589698343765990174197892137662702978236460373338268566452196584880653036938790030570859745431006398065610181907712226121738195399656968361404347482995421669501781915711775921268189464013921067311}{1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496} a^{3} + \frac{1114982445666499104256453940773360211475984536248597756542413923406299380502412798477377802332196333757881159732255004255686684863074963125627909420109736121413480881675328250166804682120124755006425497}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a^{2} - \frac{64850216100019851595550631258977008396597417714360308022162908005398241083561008205150195455083705346025067866338474038915107831769336895850853205089470800849282297177385526626975725632041790203359765}{2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992} a - \frac{256246995934859156117156193615028161927014493540811163068219465981831630115324100199773124139244711078435073211674210550785682153524330813140457581687168411157403633925422056226974419640204079372384801}{728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed  Toggle raw display
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.13689.2, \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.13689.1, 3.3.169.1, 5.5.390625.1, 9.9.2565164201769.1, 15.15.28650929863719871488153934478759765625.1, 15.15.207828545629978179931640625.1, 15.15.28650929863719871488153934478759765625.2, 15.15.8217006435930728912353515625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ R R ${\href{/LocalNumberField/7.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ R $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{9}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$5$5.15.24.88$x^{15} + 375 x^{14} + 415 x^{13} + 575 x^{12} + 520 x^{11} + 378 x^{10} + 145 x^{9} + 275 x^{8} + 85 x^{7} + 545 x^{6} + 127 x^{5} + 380 x^{4} + 470 x^{3} + 615 x + 368$$5$$3$$24$$C_{15}$$[2]^{3}$
5.15.24.88$x^{15} + 375 x^{14} + 415 x^{13} + 575 x^{12} + 520 x^{11} + 378 x^{10} + 145 x^{9} + 275 x^{8} + 85 x^{7} + 545 x^{6} + 127 x^{5} + 380 x^{4} + 470 x^{3} + 615 x + 368$$5$$3$$24$$C_{15}$$[2]^{3}$
5.15.24.88$x^{15} + 375 x^{14} + 415 x^{13} + 575 x^{12} + 520 x^{11} + 378 x^{10} + 145 x^{9} + 275 x^{8} + 85 x^{7} + 545 x^{6} + 127 x^{5} + 380 x^{4} + 470 x^{3} + 615 x + 368$$5$$3$$24$$C_{15}$$[2]^{3}$
13Data not computed