LMFDB - Number field 45.45.23518854458506786548183561086555508726667593641132303121759124944650820067393315326853553415276110172271728515625.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099)

gp: K = bnfinit(y^45 - 15*y^44 - 90*y^43 + 2245*y^42 + 840*y^41 - 149682*y^40 + 233625*y^39 + 5893830*y^38 - 15309120*y^37 - 153159405*y^36 + 505833687*y^35 + 2780167860*y^34 - 10777640365*y^33 - 36390969195*y^32 + 160894854450*y^31 + 349558305696*y^30 - 1751940770010*y^29 - 2483116182570*y^28 + 14226276458010*y^27 + 13037929556940*y^26 - 87229174471284*y^25 - 50137706272620*y^24 + 406336593221610*y^23 + 138267603359730*y^22 - 1439822630956295*y^21 - 262195938148443*y^20 + 3868718864967360*y^19 + 311910060390275*y^18 - 7821266721741750*y^17 - 175081417856730*y^16 + 11738415157749574*y^15 - 32411856380685*y^14 - 12806776910595090*y^13 + 44301971232950*y^12 + 9836514943009755*y^11 + 117791800035840*y^10 - 5063789878500180*y^9 - 176503490451285*y^8 + 1618208036238660*y^7 + 90536277582715*y^6 - 283553373081756*y^5 - 18640864878495*y^4 + 21751317924475*y^3 + 974579665770*y^2 - 434206226325*y + 15265738099, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099)

$ x^{45} - 15 x^{44} - 90 x^{43} + 2245 x^{42} + 840 x^{41} - 149682 x^{40} + 233625 x^{39} + \cdots + 15265738099 $ x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$45$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[45, 0]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$235\!\cdots\!625$ 23518854458506786548183561086555508726667593641132303121759124944650820067393315326853553415276110172271728515625 $\medspace = 3^{60}\cdot 5^{72}\cdot 13^{30}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$314.15$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3^{4/3}5^{8/5}13^{2/3}\approx 314.1539910636384$
Ramified primes:	$3$, $5$, $13$ 3, 5, 13	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$45$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$2925=3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 13$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{2925}(256,·)$, $\chi_{2925}(1,·)$, $\chi_{2925}(646,·)$, $\chi_{2925}(391,·)$, $\chi_{2925}(1036,·)$, $\chi_{2925}(781,·)$, $\chi_{2925}(16,·)$, $\chi_{2925}(1426,·)$, $\chi_{2925}(1171,·)$, $\chi_{2925}(406,·)$, $\chi_{2925}(1816,·)$, $\chi_{2925}(1561,·)$, $\chi_{2925}(796,·)$, $\chi_{2925}(2206,·)$, $\chi_{2925}(1951,·)$, $\chi_{2925}(1186,·)$, $\chi_{2925}(2596,·)$, $\chi_{2925}(2341,·)$, $\chi_{2925}(1576,·)$, $\chi_{2925}(2731,·)$, $\chi_{2925}(1966,·)$, $\chi_{2925}(2356,·)$, $\chi_{2925}(2746,·)$, $\chi_{2925}(61,·)$, $\chi_{2925}(451,·)$, $\chi_{2925}(196,·)$, $\chi_{2925}(841,·)$, $\chi_{2925}(586,·)$, $\chi_{2925}(1231,·)$, $\chi_{2925}(976,·)$, $\chi_{2925}(211,·)$, $\chi_{2925}(1621,·)$, $\chi_{2925}(1366,·)$, $\chi_{2925}(601,·)$, $\chi_{2925}(2011,·)$, $\chi_{2925}(1756,·)$, $\chi_{2925}(991,·)$, $\chi_{2925}(2401,·)$, $\chi_{2925}(2146,·)$, $\chi_{2925}(1381,·)$, $\chi_{2925}(2791,·)$, $\chi_{2925}(2536,·)$, $\chi_{2925}(1771,·)$, $\chi_{2925}(2161,·)$, $\chi_{2925}(2551,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{2}a^{20}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{21}-\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{22}-\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{23}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{24}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{25}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{26}-\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{27}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{28}-\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{29}-\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{30}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{31}-\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{32}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{33}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{34}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{35}-\frac{1}{4}a^{34}-\frac{1}{4}a^{33}-\frac{1}{4}a^{31}-\frac{1}{4}a^{29}-\frac{1}{4}a^{28}-\frac{1}{4}a^{27}-\frac{1}{4}a^{26}-\frac{1}{4}a^{25}-\frac{1}{4}a^{23}-\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{14}+\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}+\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}+\frac{1}{4}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}$, $\frac{1}{28}a^{36}+\frac{3}{28}a^{35}+\frac{3}{28}a^{34}-\frac{1}{14}a^{33}-\frac{5}{28}a^{32}-\frac{1}{7}a^{31}+\frac{1}{28}a^{30}-\frac{5}{28}a^{29}-\frac{1}{28}a^{28}-\frac{1}{28}a^{27}+\frac{3}{28}a^{26}-\frac{1}{7}a^{25}+\frac{3}{28}a^{24}+\frac{1}{14}a^{23}-\frac{1}{7}a^{22}-\frac{1}{28}a^{20}-\frac{1}{14}a^{19}+\frac{1}{14}a^{18}+\frac{5}{28}a^{17}-\frac{1}{7}a^{16}+\frac{13}{28}a^{15}+\frac{11}{28}a^{13}+\frac{1}{14}a^{12}-\frac{3}{28}a^{11}+\frac{3}{28}a^{10}-\frac{5}{14}a^{9}+\frac{1}{28}a^{8}-\frac{9}{28}a^{7}-\frac{5}{28}a^{6}-\frac{9}{28}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{3}{28}a^{3}+\frac{5}{28}a^{2}-\frac{9}{28}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{28}a^{37}+\frac{1}{28}a^{35}-\frac{1}{7}a^{34}-\frac{3}{14}a^{33}-\frac{3}{28}a^{32}+\frac{3}{14}a^{31}+\frac{3}{14}a^{30}-\frac{1}{4}a^{29}-\frac{5}{28}a^{28}-\frac{1}{28}a^{27}-\frac{3}{14}a^{26}-\frac{3}{14}a^{25}-\frac{1}{4}a^{24}-\frac{3}{28}a^{23}-\frac{1}{14}a^{22}-\frac{1}{28}a^{21}+\frac{1}{28}a^{20}-\frac{13}{28}a^{19}-\frac{1}{28}a^{18}-\frac{5}{28}a^{17}+\frac{1}{7}a^{16}+\frac{3}{28}a^{15}-\frac{5}{14}a^{14}+\frac{11}{28}a^{13}-\frac{1}{14}a^{12}+\frac{3}{7}a^{11}+\frac{1}{14}a^{10}-\frac{1}{7}a^{9}+\frac{1}{14}a^{8}-\frac{13}{28}a^{7}+\frac{13}{28}a^{6}-\frac{1}{7}a^{3}-\frac{3}{28}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{3}{28}$, $\frac{1}{28}a^{38}-\frac{1}{14}a^{34}+\frac{3}{14}a^{33}-\frac{3}{28}a^{32}+\frac{3}{28}a^{31}+\frac{3}{14}a^{30}-\frac{1}{4}a^{29}-\frac{1}{4}a^{28}+\frac{1}{14}a^{27}-\frac{1}{14}a^{26}+\frac{1}{7}a^{25}-\frac{3}{14}a^{24}+\frac{3}{28}a^{23}+\frac{3}{28}a^{22}+\frac{1}{28}a^{21}+\frac{1}{14}a^{20}+\frac{2}{7}a^{19}-\frac{1}{4}a^{18}+\frac{13}{28}a^{17}-\frac{1}{2}a^{16}+\frac{5}{28}a^{15}+\frac{1}{7}a^{14}-\frac{13}{28}a^{13}+\frac{3}{28}a^{12}-\frac{9}{28}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}+\frac{5}{28}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}+\frac{1}{28}a^{7}+\frac{3}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{5}+\frac{9}{28}a^{4}-\frac{3}{14}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{1}{28}a+\frac{13}{28}$, $\frac{1}{28}a^{39}-\frac{1}{14}a^{35}+\frac{3}{14}a^{34}-\frac{3}{28}a^{33}+\frac{3}{28}a^{32}+\frac{3}{14}a^{31}-\frac{1}{4}a^{30}-\frac{1}{4}a^{29}+\frac{1}{14}a^{28}-\frac{1}{14}a^{27}+\frac{1}{7}a^{26}-\frac{3}{14}a^{25}+\frac{3}{28}a^{24}+\frac{3}{28}a^{23}+\frac{1}{28}a^{22}+\frac{1}{14}a^{21}-\frac{3}{14}a^{20}-\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{28}a^{18}-\frac{9}{28}a^{16}+\frac{1}{7}a^{15}-\frac{13}{28}a^{14}+\frac{3}{28}a^{13}-\frac{9}{28}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}+\frac{5}{28}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{13}{28}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{1}{14}a^{6}+\frac{9}{28}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}+\frac{1}{14}a^{3}+\frac{13}{28}a^{2}-\frac{1}{28}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{96656}a^{40}-\frac{169}{24164}a^{39}-\frac{15}{48328}a^{38}+\frac{27}{3452}a^{37}-\frac{161}{13808}a^{36}+\frac{2987}{24164}a^{35}+\frac{1663}{96656}a^{34}+\frac{7101}{48328}a^{33}-\frac{23089}{96656}a^{32}+\frac{226}{6041}a^{31}+\frac{5041}{24164}a^{30}-\frac{2459}{24164}a^{29}-\frac{363}{6041}a^{28}-\frac{149}{24164}a^{27}-\frac{4885}{48328}a^{26}+\frac{9501}{48328}a^{25}+\frac{3833}{24164}a^{24}-\frac{2147}{24164}a^{23}-\frac{7155}{48328}a^{22}+\frac{4535}{48328}a^{21}+\frac{1229}{12082}a^{20}+\frac{1801}{6904}a^{19}+\frac{2437}{12082}a^{18}-\frac{10019}{48328}a^{17}-\frac{17181}{96656}a^{16}-\frac{3911}{24164}a^{15}+\frac{8823}{24164}a^{14}+\frac{11975}{24164}a^{13}+\frac{13271}{96656}a^{12}-\frac{3747}{48328}a^{11}-\frac{677}{1726}a^{10}-\frac{8607}{48328}a^{9}-\frac{10231}{96656}a^{8}+\frac{21807}{48328}a^{7}+\frac{29857}{96656}a^{6}-\frac{19681}{48328}a^{5}-\frac{24441}{96656}a^{4}+\frac{725}{24164}a^{3}+\frac{12749}{96656}a^{2}+\frac{3889}{24164}a-\frac{927}{96656}$, $\frac{1}{96656}a^{41}-\frac{671}{48328}a^{39}+\frac{297}{24164}a^{38}-\frac{967}{96656}a^{37}-\frac{205}{24164}a^{36}+\frac{11187}{96656}a^{35}+\frac{1341}{48328}a^{34}-\frac{5289}{96656}a^{33}+\frac{1969}{12082}a^{32}+\frac{5141}{24164}a^{31}+\frac{1475}{6041}a^{30}-\frac{2461}{24164}a^{29}-\frac{235}{12082}a^{28}-\frac{11295}{48328}a^{27}-\frac{11633}{48328}a^{26}-\frac{3819}{24164}a^{25}+\frac{3001}{12082}a^{24}-\frac{3315}{48328}a^{23}-\frac{2897}{48328}a^{22}-\frac{213}{6041}a^{21}+\frac{6369}{48328}a^{20}-\frac{158}{6041}a^{19}+\frac{10473}{48328}a^{18}-\frac{34481}{96656}a^{17}+\frac{634}{6041}a^{16}+\frac{3315}{12082}a^{15}+\frac{6089}{24164}a^{14}-\frac{37869}{96656}a^{13}-\frac{3287}{6904}a^{12}+\frac{2139}{24164}a^{11}-\frac{3861}{48328}a^{10}-\frac{27463}{96656}a^{9}+\frac{14003}{48328}a^{8}-\frac{39651}{96656}a^{7}-\frac{2677}{48328}a^{6}-\frac{42397}{96656}a^{5}+\frac{1423}{6041}a^{4}+\frac{43481}{96656}a^{3}-\frac{8523}{24164}a^{2}+\frac{1499}{13808}a-\frac{8227}{24164}$, $\frac{1}{20\!\cdots\!44}a^{42}-\frac{63\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!44}a^{41}+\frac{41\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!72}a^{40}+\frac{20\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!96}a^{39}-\frac{20\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!44}a^{38}+\frac{22\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!44}a^{37}+\frac{12\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!44}a^{36}+\frac{78\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!44}a^{35}+\frac{50\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!44}a^{34}-\frac{28\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!44}a^{33}+\frac{21\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{32}-\frac{29\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!59}a^{31}-\frac{99\!\cdots\!93}{50\!\cdots\!36}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!59}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{50\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!18}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!72}a^{26}-\frac{74\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{74\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!72}a^{24}-\frac{64\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!18}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!96}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!72}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!72}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!96}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!44}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!15}{50\!\cdots\!36}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!18}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!44}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!44}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!72}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!96}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!57}{29\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!44}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!44}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!44}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!44}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!44}a^{3}+\frac{91\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!44}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!44}a-\frac{18\!\cdots\!01}{50\!\cdots\!36}$, $\frac{1}{62\!\cdots\!08}a^{43}-\frac{33}{62\!\cdots\!08}a^{42}-\frac{30\!\cdots\!85}{62\!\cdots\!08}a^{41}+\frac{18\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!52}a^{40}-\frac{27\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!08}a^{39}+\frac{23\!\cdots\!55}{62\!\cdots\!08}a^{38}-\frac{21\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!52}a^{37}-\frac{30\!\cdots\!67}{62\!\cdots\!08}a^{36}-\frac{10\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!52}a^{35}+\frac{16\!\cdots\!41}{62\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{36\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!08}a^{33}+\frac{68\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!04}a^{32}+\frac{53\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!13}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!80}{38\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{74\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!04}a^{29}-\frac{88\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!26}a^{28}-\frac{91\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{76\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!04}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!04}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!52}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!52}a^{23}-\frac{92\!\cdots\!58}{38\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{66\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!04}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!08}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!29}{62\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!03}{62\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!04}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!03}{89\!\cdots\!44}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!01}{62\!\cdots\!08}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!81}{89\!\cdots\!44}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!19}{62\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!08}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!08}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!04}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!81}{62\!\cdots\!08}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!52}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!49}{89\!\cdots\!44}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!51}{62\!\cdots\!08}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!59}{62\!\cdots\!08}a+\frac{13\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!04}$, $\frac{1}{29\!\cdots\!92}a^{44}+\frac{14\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!92}a^{43}-\frac{18\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!92}a^{42}+\frac{84\!\cdots\!41}{29\!\cdots\!92}a^{41}+\frac{52\!\cdots\!59}{29\!\cdots\!92}a^{40}-\frac{32\!\cdots\!03}{29\!\cdots\!92}a^{39}-\frac{62\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!82}a^{38}+\frac{28\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!28}a^{37}+\frac{26\!\cdots\!07}{36\!\cdots\!74}a^{36}+\frac{25\!\cdots\!75}{36\!\cdots\!74}a^{35}-\frac{53\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!56}a^{34}-\frac{35\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!92}a^{33}-\frac{56\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!64}a^{32}+\frac{84\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!74}a^{31}+\frac{35\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!37}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!31}{72\!\cdots\!48}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{43\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!48}a^{25}-\frac{86\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!64}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!92}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!92}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!49}{29\!\cdots\!92}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!51}{29\!\cdots\!92}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!15}{29\!\cdots\!92}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!73}{29\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!96}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!41}{72\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!96}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!05}{72\!\cdots\!48}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!96}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!96}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!92}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!65}{29\!\cdots\!92}a-\frac{25\!\cdots\!01}{72\!\cdots\!48}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, a^19, 1/2*a^20 - 1/2*a^18 - 1/2*a^17 - 1/2*a^16 - 1/2*a^8 - 1/2*a^6 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a - 1/2, 1/2*a^21 - 1/2*a^19 - 1/2*a^18 - 1/2*a^17 - 1/2*a^9 - 1/2*a^7 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/2*a^22 - 1/2*a^19 - 1/2*a^17 - 1/2*a^16 - 1/2*a^10 - 1/2*a^5 - 1/2*a - 1/2, 1/2*a^23 - 1/2*a^16 - 1/2*a^11 - 1/2*a^8 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2, 1/2*a^24 - 1/2*a^17 - 1/2*a^12 - 1/2*a^9 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4 - 1/2*a, 1/2*a^25 - 1/2*a^18 - 1/2*a^13 - 1/2*a^10 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5 - 1/2*a^2, 1/2*a^26 - 1/2*a^19 - 1/2*a^14 - 1/2*a^11 - 1/2*a^7 - 1/2*a^6 - 1/2*a^3, 1/2*a^27 - 1/2*a^18 - 1/2*a^17 - 1/2*a^16 - 1/2*a^15 - 1/2*a^12 - 1/2*a^7 - 1/2*a^6 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a - 1/2, 1/2*a^28 - 1/2*a^19 - 1/2*a^18 - 1/2*a^17 - 1/2*a^16 - 1/2*a^13 - 1/2*a^8 - 1/2*a^7 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/2*a^29 - 1/2*a^19 - 1/2*a^16 - 1/2*a^14 - 1/2*a^9 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5 - 1/2*a - 1/2, 1/2*a^30 - 1/2*a^18 - 1/2*a^16 - 1/2*a^15 - 1/2*a^10 - 1/2*a^8 - 1/2*a^7 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2, 1/2*a^31 - 1/2*a^19 - 1/2*a^17 - 1/2*a^16 - 1/2*a^11 - 1/2*a^9 - 1/2*a^8 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4 - 1/2*a, 1/2*a^32 - 1/2*a^16 - 1/2*a^12 - 1/2*a^10 - 1/2*a^9 - 1/2*a^8 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2*a - 1/2, 1/2*a^33 - 1/2*a^17 - 1/2*a^13 - 1/2*a^11 - 1/2*a^10 - 1/2*a^9 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/2*a^34 - 1/2*a^18 - 1/2*a^14 - 1/2*a^12 - 1/2*a^11 - 1/2*a^10 - 1/2*a^7 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2, 1/4*a^35 - 1/4*a^34 - 1/4*a^33 - 1/4*a^31 - 1/4*a^29 - 1/4*a^28 - 1/4*a^27 - 1/4*a^26 - 1/4*a^25 - 1/4*a^23 - 1/4*a^19 - 1/2*a^18 - 1/4*a^16 - 1/4*a^14 + 1/4*a^12 - 1/2*a^11 + 1/4*a^10 - 1/4*a^9 + 1/4*a^7 + 1/4*a^6 + 1/4*a^5 + 1/4*a^4 - 1/2*a^3 - 1/4*a^2 - 1/4*a + 1/4, 1/28*a^36 + 3/28*a^35 + 3/28*a^34 - 1/14*a^33 - 5/28*a^32 - 1/7*a^31 + 1/28*a^30 - 5/28*a^29 - 1/28*a^28 - 1/28*a^27 + 3/28*a^26 - 1/7*a^25 + 3/28*a^24 + 1/14*a^23 - 1/7*a^22 - 1/28*a^20 - 1/14*a^19 + 1/14*a^18 + 5/28*a^17 - 1/7*a^16 + 13/28*a^15 + 11/28*a^13 + 1/14*a^12 - 3/28*a^11 + 3/28*a^10 - 5/14*a^9 + 1/28*a^8 - 9/28*a^7 - 5/28*a^6 - 9/28*a^5 + 2/7*a^4 + 3/28*a^3 + 5/28*a^2 - 9/28*a + 2/7, 1/28*a^37 + 1/28*a^35 - 1/7*a^34 - 3/14*a^33 - 3/28*a^32 + 3/14*a^31 + 3/14*a^30 - 1/4*a^29 - 5/28*a^28 - 1/28*a^27 - 3/14*a^26 - 3/14*a^25 - 1/4*a^24 - 3/28*a^23 - 1/14*a^22 - 1/28*a^21 + 1/28*a^20 - 13/28*a^19 - 1/28*a^18 - 5/28*a^17 + 1/7*a^16 + 3/28*a^15 - 5/14*a^14 + 11/28*a^13 - 1/14*a^12 + 3/7*a^11 + 1/14*a^10 - 1/7*a^9 + 1/14*a^8 - 13/28*a^7 + 13/28*a^6 - 1/7*a^3 - 3/28*a^2 - 1/2*a - 3/28, 1/28*a^38 - 1/14*a^34 + 3/14*a^33 - 3/28*a^32 + 3/28*a^31 + 3/14*a^30 - 1/4*a^29 - 1/4*a^28 + 1/14*a^27 - 1/14*a^26 + 1/7*a^25 - 3/14*a^24 + 3/28*a^23 + 3/28*a^22 + 1/28*a^21 + 1/14*a^20 + 2/7*a^19 - 1/4*a^18 + 13/28*a^17 - 1/2*a^16 + 5/28*a^15 + 1/7*a^14 - 13/28*a^13 + 3/28*a^12 - 9/28*a^11 - 1/2*a^10 + 5/28*a^9 - 1/2*a^8 + 1/28*a^7 + 3/7*a^6 - 3/7*a^5 + 9/28*a^4 - 3/14*a^3 - 3/7*a^2 - 1/28*a + 13/28, 1/28*a^39 - 1/14*a^35 + 3/14*a^34 - 3/28*a^33 + 3/28*a^32 + 3/14*a^31 - 1/4*a^30 - 1/4*a^29 + 1/14*a^28 - 1/14*a^27 + 1/7*a^26 - 3/14*a^25 + 3/28*a^24 + 3/28*a^23 + 1/28*a^22 + 1/14*a^21 - 3/14*a^20 - 1/4*a^19 - 1/28*a^18 - 9/28*a^16 + 1/7*a^15 - 13/28*a^14 + 3/28*a^13 - 9/28*a^12 - 1/2*a^11 + 5/28*a^10 - 1/2*a^9 - 13/28*a^8 + 3/7*a^7 + 1/14*a^6 + 9/28*a^5 + 2/7*a^4 + 1/14*a^3 + 13/28*a^2 - 1/28*a - 1/2, 1/96656*a^40 - 169/24164*a^39 - 15/48328*a^38 + 27/3452*a^37 - 161/13808*a^36 + 2987/24164*a^35 + 1663/96656*a^34 + 7101/48328*a^33 - 23089/96656*a^32 + 226/6041*a^31 + 5041/24164*a^30 - 2459/24164*a^29 - 363/6041*a^28 - 149/24164*a^27 - 4885/48328*a^26 + 9501/48328*a^25 + 3833/24164*a^24 - 2147/24164*a^23 - 7155/48328*a^22 + 4535/48328*a^21 + 1229/12082*a^20 + 1801/6904*a^19 + 2437/12082*a^18 - 10019/48328*a^17 - 17181/96656*a^16 - 3911/24164*a^15 + 8823/24164*a^14 + 11975/24164*a^13 + 13271/96656*a^12 - 3747/48328*a^11 - 677/1726*a^10 - 8607/48328*a^9 - 10231/96656*a^8 + 21807/48328*a^7 + 29857/96656*a^6 - 19681/48328*a^5 - 24441/96656*a^4 + 725/24164*a^3 + 12749/96656*a^2 + 3889/24164*a - 927/96656, 1/96656*a^41 - 671/48328*a^39 + 297/24164*a^38 - 967/96656*a^37 - 205/24164*a^36 + 11187/96656*a^35 + 1341/48328*a^34 - 5289/96656*a^33 + 1969/12082*a^32 + 5141/24164*a^31 + 1475/6041*a^30 - 2461/24164*a^29 - 235/12082*a^28 - 11295/48328*a^27 - 11633/48328*a^26 - 3819/24164*a^25 + 3001/12082*a^24 - 3315/48328*a^23 - 2897/48328*a^22 - 213/6041*a^21 + 6369/48328*a^20 - 158/6041*a^19 + 10473/48328*a^18 - 34481/96656*a^17 + 634/6041*a^16 + 3315/12082*a^15 + 6089/24164*a^14 - 37869/96656*a^13 - 3287/6904*a^12 + 2139/24164*a^11 - 3861/48328*a^10 - 27463/96656*a^9 + 14003/48328*a^8 - 39651/96656*a^7 - 2677/48328*a^6 - 42397/96656*a^5 + 1423/6041*a^4 + 43481/96656*a^3 - 8523/24164*a^2 + 1499/13808*a - 8227/24164, 1/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^42 - 6352990550399827484519144166126035631919739/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^41 + 4183578794037301905945326983957959692161859/1015097225566363118477453556722059573990231828472*a^40 + 2036133503147227434975314088944293472974484567/145013889366623302639636222388865653427175975496*a^39 - 20811607822653019092045729552408889231823083467/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^38 + 22046259389481552030703973613090373515231882913/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^37 + 12619336273093843836954863804441585569482812247/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^36 + 78192781897654190844130681832533807106801319705/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^35 + 50584497860502055845407094621361138384537578709/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^34 - 286842314246327914795714664526377501377713712093/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^33 + 21359685022334204053549695822231549096680035222/126887153195795389809681694590257446748778978559*a^32 - 29122204848230120110328551683214117926726724227/126887153195795389809681694590257446748778978559*a^31 - 99681300569916382581452085304046288460945816693/507548612783181559238726778361029786995115914236*a^30 - 26728210921722212397810573109614451209580287824/126887153195795389809681694590257446748778978559*a^29 - 12217904234687023639505846204538380094228832289/145013889366623302639636222388865653427175975496*a^28 + 50630587136288201343078534091485080684533193277/253774306391590779619363389180514893497557957118*a^27 - 38071498424311893597108339793582445798637336035/1015097225566363118477453556722059573990231828472*a^26 - 7402966995763775307039116474955944644916535047/126887153195795389809681694590257446748778978559*a^25 - 74259788662728379799917370202062338748920320367/1015097225566363118477453556722059573990231828472*a^24 - 6457645813380634462257429645197640163388784993/253774306391590779619363389180514893497557957118*a^23 + 29640697070234815133790084742541928842181872563/145013889366623302639636222388865653427175975496*a^22 - 20279133549897726177770766366432898983276852547/1015097225566363118477453556722059573990231828472*a^21 + 120347420940073130716132627772667623580570253463/1015097225566363118477453556722059573990231828472*a^20 + 65669349645250330341372404997862939062979870239/145013889366623302639636222388865653427175975496*a^19 - 607577187660255714840357188374406960977977485731/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^18 - 898176442128438612995182091675865149653959305993/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^17 - 113455496555033264908037647959281329781514627415/507548612783181559238726778361029786995115914236*a^16 - 120921370867740559978894668289950898375423858651/253774306391590779619363389180514893497557957118*a^15 + 407872737100332144947690992552459282208558549671/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^14 - 888312446514102383464633000429440021543867027875/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^13 + 302302357006355857276436725914793253623570902843/1015097225566363118477453556722059573990231828472*a^12 - 9071847497699695852344240253017387553024327135/145013889366623302639636222388865653427175975496*a^11 + 127770656588546285935035355443309991442350563157/290027778733246605279272444777731306854351950992*a^10 + 617570879898454625569701636317691345769733980807/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^9 + 71851275099531636430669852257258884699948085097/290027778733246605279272444777731306854351950992*a^8 + 173440493970561803814921720456851065982931389367/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^7 + 242373146683542611432144334702427894814222208493/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^6 + 220284645976810434136754815933911602817402039611/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^5 - 679668318437626905440248148945337891594874003903/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^4 - 119835322507480724015592445325513105546599355379/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^3 + 914987090724557737688316476875666292628933224721/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a^2 - 464988459822905885870194952103347245143382626319/2030194451132726236954907113444119147980463656944*a - 18752938783946657560876910581844156380878003001/507548612783181559238726778361029786995115914236, 1/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^43 - 33/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^42 - 3012516454673727121569931587127236222205081485/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^41 + 183674372164427444587980451979769721888037689/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^40 - 2732751700787117975247041101026998486901599943333/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^39 + 2341203576785009272716713271341103529105973777155/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^38 - 2166057132464131863023689764788096453887448701281/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^37 - 3077130664297268949399553688329693064170943815467/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^36 - 10581808711054966464128999305282663380547248842101/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^35 + 16050628368597775147646507977400556619400500535441/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^34 + 36347666300103576125236567326945116381256799729347/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^33 + 68566052799216737120871445833769789321714617594265/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^32 + 5369833953930578745407836585007368213402276567077/38954356031109184671572280239209036151875146417613*a^31 + 1271468317361831116004967324329693063425789600080/38954356031109184671572280239209036151875146417613*a^30 - 74761453150084304635396457894963348552215373070973/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^29 - 8815366338827807840635762694941194323356039688019/77908712062218369343144560478418072303750292835226*a^28 - 9178549801147522916096530611835749779714363783909/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^27 + 76695159724101430184993866952053442175501357600599/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^26 - 40588231728704472950370110252514963766028872280283/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^25 - 24431708150472538829919881895077327322471984539847/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^24 + 9311312525437875306201113779998661353031375050743/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^23 - 9233545423870735265178582813956118715059918105858/38954356031109184671572280239209036151875146417613*a^22 - 66085458347201112938177889111039693644708523221013/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^21 + 18042229569853366907428904037709252138113942865353/77908712062218369343144560478418072303750292835226*a^20 - 20190555592148083911832421522086602779875213452447/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^19 - 248433311448365625061957440203312576487798038542629/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^18 + 50598065111446136566296355813817547588942430164303/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^17 + 31594830624053359226891732830034476677220209274851/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^16 - 29695964093217223778974984133701558273818737120003/89038528071106707820736640546763511204286048954544*a^15 - 4956012560159208897626660928489546498494261272501/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^14 - 14594224465620973135412691650466940391549123836081/89038528071106707820736640546763511204286048954544*a^13 + 128395747970394962304077570499264399709394777419361/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^12 + 276423397245960290030871689968621266642282538037019/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^11 + 38580206533735985358337382992771077091745174239111/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^10 - 76441718861837952042678389288994089805505840389277/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^9 - 225917714033408507088231918535094233202572819343747/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^8 + 74411647321661607966008427351260667096981123321817/311634848248873477372578241913672289215001171340904*a^7 + 122926557039349336738896735330499845566602772919881/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^6 - 18757866694802540189748625799581457907671180035257/155817424124436738686289120956836144607500585670452*a^5 - 19669820735282346466119479152903580308748943965049/89038528071106707820736640546763511204286048954544*a^4 + 19793982356383213405781348816744252494771158719315/44519264035553353910368320273381755602143024477272*a^3 - 156792699950700581094989664427980880392635716723451/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a^2 - 35128915671755010934164342139270648224432015208459/623269696497746954745156483827344578430002342681808*a + 132920786522785108221728199864599172835908450236469/311634848248873477372578241913672289215001171340904, 1/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^44 + 1454538750183096739304781477517101279264314629667480833121365137700271381849421288299110035120808305366441692461293525703820256835712274339912486865331/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^43 - 18926897846280378188786515089920075067560676441009890014233002490187790278847979653881394359699857715630072736520032846111050804801179901917345333835197/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^42 + 8477736205784184800543620355408931483068849352460436682810850641530169993947253982094654419053106499589250042769885377122459295742781562147620598130225473588415060808118111867461100386797173568341/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^41 + 5245502158707681193888279792446825489500386679900961927362968408907737572577546624889994941175535519208996299950082388553758214479738716118053364994811408896762141119086927048306279032355452179959/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^40 - 32461732882200612983855068751431003895782999780565663889620124065380060004293943967343775176316875328930766063041486239879136420861872559195784560222711993640819549436185826340736552421576456264422603/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^39 - 624546086878203703304448322747927280171838874193691159220552001642663834190151040981898394733397511054863160906631759803717392163783746304592711251533782110672740729617079573715680109518124010539443/52067989145835990626631691951448513760019257669650365979299798904796380323447169629631328510134828697743738122866655925424885629043688667139479890341645145346238611105053848199552835311137213515140982*a^38 + 2865003541743036608093731532967231548535036829946777068603066412172761559436399049072290222444820639149145870452947428625384346435587965586481987697035153864914058730602838546759690754880417260237815/208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928*a^37 + 2698228759247318668936705224715802737876674841937056489642438390076849829433027236368495988856572003346434309551186000710359430141941783399571765742759899660056893488270674035146239978264989998948407/364475924020851934386421843660139596320134803687552561855098592333574662264130187407419299570943800884206166860066591477974199403305820669976359232391516017423670277735376937396869847177960494605986874*a^36 + 25369393301654968516306780944955313923293208819697415116979388639053215340792440532475632514427715805913243176801429859219630551032299330621908664059741037188645553667164390965988631372459314515853475/364475924020851934386421843660139596320134803687552561855098592333574662264130187407419299570943800884206166860066591477974199403305820669976359232391516017423670277735376937396869847177960494605986874*a^35 - 5317526216560002181058448005968467689105108427861549365511085028687805010112445044269920502580783964273597815968505459887860507209224926645691668639185258989611726862337486420413330024064502058854097/416543913166687925013053535611588110080154061357202927834398391238371042587577357037050628081078629581949904982933247403399085032349509337115839122733161162769908888840430785596422682489097708121127856*a^34 - 359288214084638625161721799278472664123687056059799930181154891256466036255008154450654144476275376926441191959176504886110240119519533687213034065050987788844204199918700050088249419129160203683865127/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^33 - 5601278910872745320940265843240666807955482030469737449292150612071221835536929639741132542849608373588663522833438382061644863819390674078628922368842871828527959705536002295205018713640857313154683/104135978291671981253263383902897027520038515339300731958599597809592760646894339259262657020269657395487476245733311850849771258087377334278959780683290290692477222210107696399105670622274427030281964*a^32 + 84600471382826217456244560548182988245033127080108161578762252435521095303585520446713004120983832585440950207011030935190110084601577820089228124094340849344870390307613791474151075880508808330077239/364475924020851934386421843660139596320134803687552561855098592333574662264130187407419299570943800884206166860066591477974199403305820669976359232391516017423670277735376937396869847177960494605986874*a^31 + 35528280540657332221062276106764552045430345530498543976765474746261249837442078287998883075123986986902722182327336975034845442493400479837466216714234862162818999969872619000582046372366977142065221/208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928*a^30 - 12835615169936009504642149548829292199668053789616533947041021096173567938401633328139473740404907382069952335794430981943717766752728414052475405467049775322025113320344983814892652892997204113911954/182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437*a^29 - 174089460158990447731621914538473632652255820267254707152148424410488823999460318983717221784750565296267138150340757068117221188807706044757862833707731525637958333094956860846136495221146272201941931/728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748*a^28 + 41303305697104228488586366958553903796131496222021517402753292581158322846746964320724169160056147418833653964773886947305837183704979928031780733061801503343593863689337228792663376367990340993044052/182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437*a^27 + 43465168056194318258984709111776463075750448262713505715559902356297467767739810588984439300336812761645248089684552563594699974299317161650068350358893568764904778028052628914159256110160687931428192/182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437*a^26 - 140617050087995102867800857844844535251187966000386336601393861971262812717992677511907783211775192648343740442910630440925049820487208535172241027688153610771759042622597936343925513118638812313808253/728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748*a^25 - 8667687962065161918874063753538978981695290950115739027161537237801165564035803483705882003570173374517336089926008461308170866712735612969369980178322040157869131258107004043272675348320663870527019/104135978291671981253263383902897027520038515339300731958599597809592760646894339259262657020269657395487476245733311850849771258087377334278959780683290290692477222210107696399105670622274427030281964*a^24 - 23916034130384307776029572979829580617421302864734576416941113783218732576534840332845253716645027059780757544009122853225924988880375392357870973169202971594425267094979855293619801499877736617335641/208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928*a^23 + 5171401207962611020231229732824536698155288008105311455902757520627459195912921091368987401474152532228474668758451727725327573524246594875474358054386744998911556089190468565495689258166450474040795/182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437*a^22 + 25660282941705146705659921093398165207658714538595924217774326190316484149855640506552092665668288376569297868673679920572636622561829124682918089233789156800047897850378516727722438411980529401790406/182237962010425967193210921830069798160067401843776280927549296166787331132065093703709649785471900442103083430033295738987099701652910334988179616195758008711835138867688468698434923588980247302993437*a^21 - 237298741590600334301021573463420645893520147681232194987171357044734669162208966732900757323371056854880049420390184459085650027549723745631346824664216747501172021866177299697246692894024421168749993/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^20 - 481230491281265696501380454665811956322843241833162433043429727998701101515659271307052785569538149416974178142775404143049416292634819299300887543495358274584593319466319389747076830778901826536887329/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^19 - 1296212026047672871701708388585532766905339758942267753281497857395223914429089785422585668372403723586340464710503144282625158128220538942897371411844258521057795088464704559221108052199961662664862963/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^18 + 836318285561833276485374073055402556844616432513805889836681531518361721831713011660631045809035962860172363549398481754605320528178522217939411099522122460854017308025591280374787884717694662839603849/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^17 + 405569039645290858735113926022473838481892006940341489458069723535521751610256141567193920038278703436465118727732702343728183076411568691075583492741417392425490949975275863555939713750575690330016863/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^16 + 801069775101995750728757396369221228213628493321049060592272649233801745609058128384852588991419166833236889614027403019721257639214140290111761301896177480859726535970498270796213089614518898108235051/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^15 - 975984847237476787274877651671833650345686429954556007619430359798925279194436588153715861512820986727854208597757176168362277831650385310123491566282566905192623268659071388234043329979732451231263315/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^14 + 149419365400145362084332855512034207412240813916916935647848014539141169275481227106951749601606521620505442135231977644308102967926937689355659864015819890625748553235064004050184886548444255855883381/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^13 + 71615049542677920950772019248402237835426091315545810844536472574628099520653144965331944209837436503991493801111330116054659371725282467271299672860858096374472653174133603904937870858793104836910573/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^12 + 1117647244768830907153182880620645098256863870642883704033702799281808014046059383552662541442205395125799675118314127028662273383868366376043467710224830165590703038584523901387845394904827698687133707/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^11 - 155973430578025502548550450765148894710755491943907219205989231485243599184107272477365124356477249249375336204016910639339020830420495931699997149319026003082202920793547604117358778434099692577421625/1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496*a^10 + 86609490579437523562362304292000787669260268578514535974519006569642987223663790009409192031737168920790079368753620858440870897177167413727441827626130362551523566516823418644430956867652478941951477/208271956583343962506526767805794055040077030678601463917199195619185521293788678518525314040539314790974952491466623701699542516174754668557919561366580581384954444420215392798211341244548854060563928*a^9 - 118784383459333391819278209403160474442040210791220375304400492714618177773819897842819032294707910469979460402758100015094159079879968629480405643244008038949670007087885986436944537544502605118924441/728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748*a^8 + 544987476997031992955943024559492131290513263344306150507286313410044980865745033098230173267197045382458361526911032539606088648501340840324819857019282871484269629693166035380222857185009790940301897/1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496*a^7 + 97671565023320053398463088539605728826985093660057778830858045756517663192681700065290411014039157057869324436822962648722935448083987982658641723072491090087340372052102178712038538470079034945077815/1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496*a^6 - 304120528771504284195995107846286632749404472662085011859521155393419982785365941186308889678785146278189570269890493860905663604778376037331003025178320354344844797222085114308842737673633550489198305/728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748*a^5 - 404106330204208637002029743508378636139219868494000018479542629826026581456871014665863341295601132170202515992497005134856254629952622069959214783853113817710651848205840770264352875286165530925469119/1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496*a^4 + 1958589698343765990174197892137662702978236460373338268566452196584880653036938790030570859745431006398065610181907712226121738195399656968361404347482995421669501781915711775921268189464013921067311/1457903696083407737545687374640558385280539214750210247420394369334298649056520749629677198283775203536824667440266365911896797613223282679905436929566064069694681110941507749587479388711841978423947496*a^3 + 1114982445666499104256453940773360211475984536248597756542413923406299380502412798477377802332196333757881159732255004255686684863074963125627909420109736121413480881675328250166804682120124755006425497/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a^2 - 64850216100019851595550631258977008396597417714360308022162908005398241083561008205150195455083705346025067866338474038915107831769336895850853205089470800849282297177385526626975725632041790203359765/2915807392166815475091374749281116770561078429500420494840788738668597298113041499259354396567550407073649334880532731823793595226446565359810873859132128139389362221883015499174958777423683956847894992*a - 256246995934859156117156193615028161927014493540811163068219465981831630115324100199773124139244711078435073211674210550785682153524330813140457581687168411157403633925422056226974419640204079372384801/728951848041703868772843687320279192640269607375105123710197184667149324528260374814838599141887601768412333720133182955948398806611641339952718464783032034847340555470753874793739694355920989211973748

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$44$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	not computed	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	not computed	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^45 - 15*x^44 - 90*x^43 + 2245*x^42 + 840*x^41 - 149682*x^40 + 233625*x^39 + 5893830*x^38 - 15309120*x^37 - 153159405*x^36 + 505833687*x^35 + 2780167860*x^34 - 10777640365*x^33 - 36390969195*x^32 + 160894854450*x^31 + 349558305696*x^30 - 1751940770010*x^29 - 2483116182570*x^28 + 14226276458010*x^27 + 13037929556940*x^26 - 87229174471284*x^25 - 50137706272620*x^24 + 406336593221610*x^23 + 138267603359730*x^22 - 1439822630956295*x^21 - 262195938148443*x^20 + 3868718864967360*x^19 + 311910060390275*x^18 - 7821266721741750*x^17 - 175081417856730*x^16 + 11738415157749574*x^15 - 32411856380685*x^14 - 12806776910595090*x^13 + 44301971232950*x^12 + 9836514943009755*x^11 + 117791800035840*x^10 - 5063789878500180*x^9 - 176503490451285*x^8 + 1618208036238660*x^7 + 90536277582715*x^6 - 283553373081756*x^5 - 18640864878495*x^4 + 21751317924475*x^3 + 974579665770*x^2 - 434206226325*x + 15265738099);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 45

The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$

Character table for $C_3\times C_{15}$

Intermediate fields

3.3.13689.2, $\Q(\zeta_{9})^+$, 3.3.13689.1, 3.3.169.1, 5.5.390625.1, 9.9.2565164201769.1, 15.15.28650929863719871488153934478759765625.1, 15.15.207828545629978179931640625.1, 15.15.28650929863719871488153934478759765625.2, 15.15.8217006435930728912353515625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$15^{3}$	R	R	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{15}$	$15^{3}$	R	$15^{3}$	$15^{3}$	$15^{3}$	$15^{3}$	$15^{3}$	$15^{3}$	$15^{3}$	${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{15}$	$15^{3}$	${\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{9}$	$15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3$ 3		Deg $45$	$3$	$15$	$60$
$5$ 5	5.15.24.88	$x^{15} + 60 x^{14} + 1200 x^{13} + 8000 x^{12} + 15 x^{10} + 600 x^{9} + 6000 x^{8} + 7575 x^{5} + 151500 x^{4} - 337375$	$5$	$3$	$24$	$C_{15}$	$[2]^{3}$
	5.15.24.88	$x^{15} + 60 x^{14} + 1200 x^{13} + 8000 x^{12} + 15 x^{10} + 600 x^{9} + 6000 x^{8} + 7575 x^{5} + 151500 x^{4} - 337375$	$5$	$3$	$24$	$C_{15}$	$[2]^{3}$
	5.15.24.88	$x^{15} + 60 x^{14} + 1200 x^{13} + 8000 x^{12} + 15 x^{10} + 600 x^{9} + 6000 x^{8} + 7575 x^{5} + 151500 x^{4} - 337375$	$5$	$3$	$24$	$C_{15}$	$[2]^{3}$
$13$ 13		Deg $45$	$3$	$15$	$30$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more