Properties

Label 45.45.202...625.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $2.023\times 10^{104}$
Root discriminant $207.93$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 165*x^43 - 25*x^42 + 12060*x^41 + 3486*x^40 - 519330*x^39 - 214140*x^38 + 14776560*x^37 + 7718745*x^36 - 295077669*x^35 - 182852610*x^34 + 4284179615*x^33 + 3016157820*x^32 - 46197393465*x^31 - 35772719505*x^30 + 374607222195*x^29 + 310484223975*x^28 - 2298730688540*x^27 - 1988244775980*x^26 + 10695933805596*x^25 + 9407317026635*x^24 - 37696094037390*x^23 - 32764647222885*x^22 + 100289481110340*x^21 + 83332538318277*x^20 - 200279250507195*x^19 - 152889355168310*x^18 + 297466429398705*x^17 + 198745289480940*x^16 - 323624520119411*x^15 - 178210655500665*x^14 + 251547979741875*x^13 + 105785393431525*x^12 - 134218212107550*x^11 - 38927292179565*x^10 + 46104688292390*x^9 + 7956837983055*x^8 - 9173261413650*x^7 - 765305596255*x^6 + 891053703312*x^5 + 40709257785*x^4 - 38148076985*x^3 - 1973427960*x^2 + 606052050*x + 47691757)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 165*x^43 - 25*x^42 + 12060*x^41 + 3486*x^40 - 519330*x^39 - 214140*x^38 + 14776560*x^37 + 7718745*x^36 - 295077669*x^35 - 182852610*x^34 + 4284179615*x^33 + 3016157820*x^32 - 46197393465*x^31 - 35772719505*x^30 + 374607222195*x^29 + 310484223975*x^28 - 2298730688540*x^27 - 1988244775980*x^26 + 10695933805596*x^25 + 9407317026635*x^24 - 37696094037390*x^23 - 32764647222885*x^22 + 100289481110340*x^21 + 83332538318277*x^20 - 200279250507195*x^19 - 152889355168310*x^18 + 297466429398705*x^17 + 198745289480940*x^16 - 323624520119411*x^15 - 178210655500665*x^14 + 251547979741875*x^13 + 105785393431525*x^12 - 134218212107550*x^11 - 38927292179565*x^10 + 46104688292390*x^9 + 7956837983055*x^8 - 9173261413650*x^7 - 765305596255*x^6 + 891053703312*x^5 + 40709257785*x^4 - 38148076985*x^3 - 1973427960*x^2 + 606052050*x + 47691757, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![47691757, 606052050, -1973427960, -38148076985, 40709257785, 891053703312, -765305596255, -9173261413650, 7956837983055, 46104688292390, -38927292179565, -134218212107550, 105785393431525, 251547979741875, -178210655500665, -323624520119411, 198745289480940, 297466429398705, -152889355168310, -200279250507195, 83332538318277, 100289481110340, -32764647222885, -37696094037390, 9407317026635, 10695933805596, -1988244775980, -2298730688540, 310484223975, 374607222195, -35772719505, -46197393465, 3016157820, 4284179615, -182852610, -295077669, 7718745, 14776560, -214140, -519330, 3486, 12060, -25, -165, 0, 1]);
 

\( x^{45} - 165 x^{43} - 25 x^{42} + 12060 x^{41} + 3486 x^{40} - 519330 x^{39} - 214140 x^{38} + 14776560 x^{37} + 7718745 x^{36} - 295077669 x^{35} - 182852610 x^{34} + 4284179615 x^{33} + 3016157820 x^{32} - 46197393465 x^{31} - 35772719505 x^{30} + 374607222195 x^{29} + 310484223975 x^{28} - 2298730688540 x^{27} - 1988244775980 x^{26} + 10695933805596 x^{25} + 9407317026635 x^{24} - 37696094037390 x^{23} - 32764647222885 x^{22} + 100289481110340 x^{21} + 83332538318277 x^{20} - 200279250507195 x^{19} - 152889355168310 x^{18} + 297466429398705 x^{17} + 198745289480940 x^{16} - 323624520119411 x^{15} - 178210655500665 x^{14} + 251547979741875 x^{13} + 105785393431525 x^{12} - 134218212107550 x^{11} - 38927292179565 x^{10} + 46104688292390 x^{9} + 7956837983055 x^{8} - 9173261413650 x^{7} - 765305596255 x^{6} + 891053703312 x^{5} + 40709257785 x^{4} - 38148076985 x^{3} - 1973427960 x^{2} + 606052050 x + 47691757 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(202\!\cdots\!625\)\(\medspace = 3^{60}\cdot 5^{72}\cdot 7^{30}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $207.93$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1575=3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1575}(256,·)$, $\chi_{1575}(1,·)$, $\chi_{1575}(1411,·)$, $\chi_{1575}(1156,·)$, $\chi_{1575}(646,·)$, $\chi_{1575}(781,·)$, $\chi_{1575}(526,·)$, $\chi_{1575}(16,·)$, $\chi_{1575}(1171,·)$, $\chi_{1575}(151,·)$, $\chi_{1575}(1306,·)$, $\chi_{1575}(1051,·)$, $\chi_{1575}(541,·)$, $\chi_{1575}(676,·)$, $\chi_{1575}(421,·)$, $\chi_{1575}(1066,·)$, $\chi_{1575}(46,·)$, $\chi_{1575}(1201,·)$, $\chi_{1575}(946,·)$, $\chi_{1575}(436,·)$, $\chi_{1575}(571,·)$, $\chi_{1575}(316,·)$, $\chi_{1575}(1471,·)$, $\chi_{1575}(961,·)$, $\chi_{1575}(1096,·)$, $\chi_{1575}(841,·)$, $\chi_{1575}(331,·)$, $\chi_{1575}(1486,·)$, $\chi_{1575}(466,·)$, $\chi_{1575}(211,·)$, $\chi_{1575}(1366,·)$, $\chi_{1575}(856,·)$, $\chi_{1575}(991,·)$, $\chi_{1575}(736,·)$, $\chi_{1575}(226,·)$, $\chi_{1575}(1381,·)$, $\chi_{1575}(361,·)$, $\chi_{1575}(106,·)$, $\chi_{1575}(1516,·)$, $\chi_{1575}(1261,·)$, $\chi_{1575}(751,·)$, $\chi_{1575}(886,·)$, $\chi_{1575}(631,·)$, $\chi_{1575}(121,·)$, $\chi_{1575}(1276,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $\frac{1}{2} a^{35} - \frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{14} a^{36} + \frac{1}{14} a^{35} - \frac{2}{7} a^{34} + \frac{1}{14} a^{33} - \frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{31} - \frac{2}{7} a^{30} + \frac{1}{7} a^{29} - \frac{1}{2} a^{28} + \frac{5}{14} a^{27} + \frac{5}{14} a^{26} - \frac{1}{14} a^{25} - \frac{3}{14} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{21} + \frac{2}{7} a^{20} - \frac{3}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} - \frac{1}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{14} + \frac{3}{14} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{3}{7} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{2}{7} a^{8} + \frac{5}{14} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{1}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{14} a + \frac{1}{14}$, $\frac{1}{14} a^{37} + \frac{1}{7} a^{35} + \frac{5}{14} a^{34} + \frac{3}{7} a^{33} - \frac{1}{2} a^{32} + \frac{3}{14} a^{31} - \frac{1}{14} a^{30} - \frac{1}{7} a^{29} + \frac{5}{14} a^{28} + \frac{1}{14} a^{26} - \frac{1}{7} a^{25} + \frac{3}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{22} - \frac{1}{7} a^{21} + \frac{2}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{18} - \frac{3}{7} a^{17} - \frac{3}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} + \frac{2}{7} a^{13} - \frac{3}{7} a^{12} - \frac{1}{14} a^{11} + \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{14} a^{8} + \frac{3}{14} a^{7} - \frac{3}{14} a^{6} - \frac{1}{14} a^{5} + \frac{5}{14} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} + \frac{3}{14} a^{2} - \frac{1}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{14} a^{38} + \frac{3}{14} a^{35} + \frac{5}{14} a^{33} + \frac{3}{14} a^{32} - \frac{1}{14} a^{31} + \frac{3}{7} a^{30} + \frac{1}{14} a^{29} + \frac{5}{14} a^{27} + \frac{1}{7} a^{26} - \frac{3}{7} a^{25} + \frac{3}{7} a^{24} + \frac{2}{7} a^{23} + \frac{3}{7} a^{22} + \frac{3}{7} a^{21} + \frac{2}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} - \frac{1}{7} a^{17} - \frac{1}{7} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{7} a^{14} + \frac{1}{7} a^{13} - \frac{1}{14} a^{12} - \frac{1}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{10} + \frac{1}{14} a^{9} - \frac{5}{14} a^{8} + \frac{1}{14} a^{7} - \frac{3}{14} a^{6} - \frac{5}{14} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{1}{14} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2} - \frac{1}{7}$, $\frac{1}{98} a^{39} + \frac{3}{98} a^{38} - \frac{1}{98} a^{37} - \frac{1}{49} a^{36} - \frac{5}{98} a^{35} - \frac{18}{49} a^{34} - \frac{1}{14} a^{33} - \frac{27}{98} a^{32} + \frac{1}{14} a^{31} + \frac{47}{98} a^{30} + \frac{8}{49} a^{29} - \frac{3}{7} a^{28} + \frac{24}{49} a^{27} - \frac{5}{98} a^{26} - \frac{33}{98} a^{25} - \frac{16}{49} a^{24} - \frac{23}{49} a^{23} - \frac{11}{49} a^{22} + \frac{18}{49} a^{21} + \frac{24}{49} a^{20} - \frac{1}{49} a^{19} - \frac{18}{49} a^{18} - \frac{17}{49} a^{17} - \frac{23}{98} a^{16} + \frac{9}{98} a^{15} + \frac{23}{98} a^{14} - \frac{1}{7} a^{13} + \frac{29}{98} a^{12} + \frac{43}{98} a^{11} - \frac{18}{49} a^{10} - \frac{17}{49} a^{9} - \frac{3}{14} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} - \frac{8}{49} a^{6} - \frac{5}{14} a^{5} - \frac{3}{14} a^{4} - \frac{24}{49} a^{3} - \frac{9}{98} a^{2} + \frac{13}{98} a - \frac{12}{49}$, $\frac{1}{7641844} a^{40} - \frac{8037}{7641844} a^{39} + \frac{53629}{1910461} a^{38} + \frac{83161}{3820922} a^{37} - \frac{43773}{3820922} a^{36} - \frac{362625}{1910461} a^{35} - \frac{200847}{7641844} a^{34} + \frac{1393743}{7641844} a^{33} - \frac{3548199}{7641844} a^{32} - \frac{386115}{7641844} a^{31} - \frac{1020917}{3820922} a^{30} + \frac{1302615}{7641844} a^{29} - \frac{3812453}{7641844} a^{28} - \frac{1495719}{7641844} a^{27} + \frac{625102}{1910461} a^{26} + \frac{1611871}{7641844} a^{25} - \frac{660991}{7641844} a^{24} - \frac{859981}{3820922} a^{23} - \frac{1505743}{3820922} a^{22} - \frac{1304281}{3820922} a^{21} + \frac{39456}{1910461} a^{20} + \frac{109703}{545846} a^{19} - \frac{1248787}{3820922} a^{18} + \frac{650413}{7641844} a^{17} + \frac{217451}{7641844} a^{16} - \frac{15641}{3820922} a^{15} - \frac{1290307}{3820922} a^{14} - \frac{713317}{3820922} a^{13} + \frac{2938709}{7641844} a^{12} + \frac{614674}{1910461} a^{11} - \frac{2755573}{7641844} a^{10} - \frac{2411945}{7641844} a^{9} + \frac{378243}{1091692} a^{8} - \frac{460723}{1910461} a^{7} + \frac{13274}{1910461} a^{6} + \frac{24442}{272923} a^{5} + \frac{395133}{3820922} a^{4} + \frac{650519}{1910461} a^{3} + \frac{37823}{545846} a^{2} + \frac{352689}{7641844} a + \frac{382233}{7641844}$, $\frac{1}{1918102844} a^{41} + \frac{13}{1918102844} a^{40} - \frac{4481499}{959051422} a^{39} - \frac{1985485}{137007346} a^{38} - \frac{9006323}{959051422} a^{37} + \frac{11300052}{479525711} a^{36} + \frac{329936703}{1918102844} a^{35} + \frac{398903089}{1918102844} a^{34} + \frac{228202971}{1918102844} a^{33} + \frac{254395549}{1918102844} a^{32} - \frac{85161245}{479525711} a^{31} - \frac{943493847}{1918102844} a^{30} + \frac{126954705}{274014692} a^{29} - \frac{866171083}{1918102844} a^{28} - \frac{475328817}{959051422} a^{27} - \frac{49796415}{1918102844} a^{26} + \frac{889558207}{1918102844} a^{25} - \frac{196269231}{959051422} a^{24} - \frac{380439033}{959051422} a^{23} - \frac{394956143}{959051422} a^{22} + \frac{211731595}{479525711} a^{21} + \frac{205415005}{959051422} a^{20} + \frac{247325199}{959051422} a^{19} - \frac{399623731}{1918102844} a^{18} - \frac{69849529}{274014692} a^{17} + \frac{16832077}{68503673} a^{16} - \frac{8056619}{137007346} a^{15} + \frac{225043155}{959051422} a^{14} + \frac{797886625}{1918102844} a^{13} - \frac{5108784}{479525711} a^{12} + \frac{290880459}{1918102844} a^{11} + \frac{922134233}{1918102844} a^{10} + \frac{34281629}{1918102844} a^{9} + \frac{158910653}{959051422} a^{8} - \frac{220850936}{479525711} a^{7} - \frac{434528427}{959051422} a^{6} - \frac{162463761}{479525711} a^{5} + \frac{137665623}{959051422} a^{4} - \frac{237654654}{479525711} a^{3} - \frac{4684525}{39144956} a^{2} - \frac{457225201}{1918102844} a + \frac{477851}{1910461}$, $\frac{1}{1452003852908} a^{42} - \frac{289}{1452003852908} a^{41} - \frac{7078}{363000963227} a^{40} + \frac{2000663363}{726001926454} a^{39} + \frac{1766007249}{363000963227} a^{38} - \frac{1534872873}{363000963227} a^{37} - \frac{47252113721}{1452003852908} a^{36} - \frac{1459268155}{1452003852908} a^{35} + \frac{437156211241}{1452003852908} a^{34} - \frac{21345434387}{1452003852908} a^{33} - \frac{151300259791}{363000963227} a^{32} - \frac{309618896565}{1452003852908} a^{31} - \frac{32193270701}{207429121844} a^{30} - \frac{292264881011}{1452003852908} a^{29} - \frac{166228892527}{363000963227} a^{28} - \frac{584655883509}{1452003852908} a^{27} - \frac{96424053853}{207429121844} a^{26} - \frac{176610905602}{363000963227} a^{25} + \frac{32705817849}{726001926454} a^{24} + \frac{240853080485}{726001926454} a^{23} - \frac{14471632795}{51857280461} a^{22} - \frac{689743445}{2892437954} a^{21} + \frac{139114695861}{726001926454} a^{20} - \frac{47876046901}{207429121844} a^{19} + \frac{539119958155}{1452003852908} a^{18} - \frac{73069425077}{726001926454} a^{17} + \frac{246285556621}{726001926454} a^{16} + \frac{22058670919}{363000963227} a^{15} - \frac{84163912107}{1452003852908} a^{14} - \frac{197368246905}{726001926454} a^{13} - \frac{500492783303}{1452003852908} a^{12} - \frac{8026334997}{1452003852908} a^{11} - \frac{227848774205}{1452003852908} a^{10} + \frac{328133469583}{726001926454} a^{9} + \frac{109666746019}{726001926454} a^{8} + \frac{120163519519}{363000963227} a^{7} - \frac{124130969043}{726001926454} a^{6} + \frac{9832296632}{51857280461} a^{5} - \frac{3216877586}{51857280461} a^{4} - \frac{85316921609}{207429121844} a^{3} + \frac{87907318045}{1452003852908} a^{2} - \frac{72516168453}{726001926454} a - \frac{920067}{1910461}$, $\frac{1}{651949729955692} a^{43} - \frac{1}{651949729955692} a^{42} - \frac{9595}{325974864977846} a^{41} - \frac{5340723}{93135675707956} a^{40} + \frac{2613248973595}{651949729955692} a^{39} - \frac{1255618181691}{46567837853978} a^{38} - \frac{22262358366341}{651949729955692} a^{37} + \frac{13597849861119}{651949729955692} a^{36} + \frac{116602283151177}{651949729955692} a^{35} - \frac{94276757531137}{325974864977846} a^{34} + \frac{320818976260565}{651949729955692} a^{33} + \frac{160956542061969}{325974864977846} a^{32} + \frac{68213595294505}{325974864977846} a^{31} - \frac{999176780939}{93135675707956} a^{30} - \frac{209590715691389}{651949729955692} a^{29} - \frac{110638720947427}{325974864977846} a^{28} + \frac{53954304058138}{162987432488923} a^{27} - \frac{5901219716860}{23283918926989} a^{26} - \frac{2578107665745}{13305096529708} a^{25} + \frac{314209182010113}{651949729955692} a^{24} - \frac{40395889895561}{325974864977846} a^{23} + \frac{11844545302956}{162987432488923} a^{22} - \frac{5804834786019}{162987432488923} a^{21} + \frac{24838206695}{53008352708} a^{20} + \frac{4169336828137}{651949729955692} a^{19} + \frac{38629661480511}{325974864977846} a^{18} + \frac{9980430330435}{651949729955692} a^{17} + \frac{47405346957851}{651949729955692} a^{16} - \frac{320625290663}{1452003852908} a^{15} + \frac{36049741487765}{325974864977846} a^{14} - \frac{289577273614331}{651949729955692} a^{13} + \frac{22487900234517}{162987432488923} a^{12} - \frac{240230313041545}{651949729955692} a^{11} - \frac{286539712536439}{651949729955692} a^{10} - \frac{16645323673957}{93135675707956} a^{9} + \frac{29664969831141}{651949729955692} a^{8} + \frac{73094012878195}{325974864977846} a^{7} - \frac{49154764562366}{162987432488923} a^{6} - \frac{120112930571489}{325974864977846} a^{5} + \frac{249724968142697}{651949729955692} a^{4} - \frac{309435012219303}{651949729955692} a^{3} - \frac{67784243258591}{162987432488923} a^{2} + \frac{200741499826307}{651949729955692} a + \frac{1163162417}{3431187956}$, $\frac{1}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{44} - \frac{222154733670608321258733568203637713334914195832148595957333812148780951563180871853983046628139159320639231200953191664808822178890235059863642198018575632236887951302213728818873739630792077550253263047454210410}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{43} + \frac{2993027139624761448159953462087770642385892280197262670205445614834431623690748471669810206183914204139553450087348158289171226205341409532593517205172455102199735230824867377416552709247703796462355072227420873110559}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{42} + \frac{499816049285966161429922133937262871564675095689934258233070015274658231848028064542407511043493129040722110319481228199293999723603165689976706627809444312333717125554194115713866070765508091802455455317908952919671499}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{41} + \frac{83536846908486115913121990651682097578015504766956932350052016533649338745783895808650094802593559291066884704118357037579535311673609263973544008119732437365703551192725745264976238670191413585966807702397120498615253351}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{40} - \frac{11586615439222072536740735368510720565548939649391009804970738452831712191964793861666441166105252423145789556854819569720589081370235033162752210933772599949864471572675438643577431464987523389926483901964360924802679033010332}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{39} - \frac{134605160135890711039442827200736976129976536805982384571476308410428436884484803930112335501761349283586297822188569163911968268379190976536621915222835167531412170758087912395649202082684278878935224651974959345572187378364771}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{38} - \frac{19099291006460326023628474964228139761792143542912282379058358652788633302827213493925671429920226151221568033955709502247302007803321749071935946849473016808363561508904933799858089808117456915915335240240914671411533155787301}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{37} - \frac{85753543723015726587671704194398272140279506591610952770577374553344135675963556572387713690854371097174686785950522070563798833368703125686510347667392226381748220082980319409952401316255037973968273981818955927518489602670974}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{36} - \frac{251000963116139384603755947121461939201025675639810804888039048970632643034332699433269125012287605543079771955956565840748537532213455438265972635946817352677944931726001773731171541852679164403386110027708209855655575456396165}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{35} + \frac{3976823187280262506300644375039574490198147119490039028454607466974156834130106215041123405485082215938715580167950635899073619202974944305091673952294766643187546739777379491115952903824477389423271487601746798976500653768625033}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{34} + \frac{1388750287963836705140425162318450194756277286768159787433888320329620756133319172718421978578966942124745066612216050213956818813781516373724518566262186481292923064803645445465298868634978804734304384438452599473609767310388489}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{33} + \frac{706286633331134976669164514497861911538095957922603094949170663538016834375222607948072973195612865274965468397744140895176333216723132740824717481832248963672296857397373565269719093037283431587169551918795581778428132085356146}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{32} - \frac{2300178986142092127201548575876506425740569769848422854589720543108281098546888709429159273858813877810585731944018373734112487356960769774241787043232793462649409126329554464664813043625359409680992213550968098785253538007643873}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{31} - \frac{3319174320652919348323480789631888451665527315672007246157893307904327524598372844725315269944017973191584227336372493056166150741994570046706455860989034811897116298134760296818863772023534784813304583063499881816399863276966071}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{30} - \frac{1756335813941245348199296386797162070475497007302065849884218579997685798651833834084818126557535404683758642520069491336294745892655979522662050788903668285600573218493217665288802976939687035719783274976820633104636644904014215}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{29} - \frac{252794997628582289404941304718769658731763095709513845141851412571926375464281186086617356867860043013121375319403508929731269329188394432265876027073466431516943812327132578257064501838568447446861999969855046193933968739269815}{687534491364427984839969547834701147400675924542181018999024780714146622242622476774438132102385868206958454669190480487933760517974006338492697638478892468691782314644064657966578737567701738156880768571652636123110473832327222} a^{28} + \frac{3760772901702315172654193486281478393878520297973440548806807147607179646468470724179597105073318529892302469830822732365122405817797398678697236754255062453585314847740585168930534405299310425295260913751603890926635572419784709}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{27} - \frac{176104875411459126376400741874472975914283345368908316881935162058896225569584364214690642534312473007227024075956249323179603928266362810998497849191011380173352188469074727437547908090341392561358222744843186979972705217631025}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{26} + \frac{275063767870299068381457714961318542052915287092906668413727554751281059469478394484758427086671004732206793742244018769816777034110592463513565872720499419221820752633274710027919690985099997681690189334596299485879041656579331}{687534491364427984839969547834701147400675924542181018999024780714146622242622476774438132102385868206958454669190480487933760517974006338492697638478892468691782314644064657966578737567701738156880768571652636123110473832327222} a^{25} - \frac{520506285955834297419366746137316563093361502361315593525940611660483473630124233422459976388252918372412129651015451287733610533810468164925116458602587595800706655111794618890753737810177734472854532822394745028467388218663851}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{24} - \frac{473792699108367036982598295027673846742406632996626312770156749626322617910967318173509122707296356340523193924971269340458372490920357697752605718024426470149225911464428905435086651447240813295477921738368104408232158371599055}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{23} - \frac{567178911514834297588838245252373317886467254523135474645139655527341545335620388304450130655842839823310293691789826627948394841770235435864835845442841232454414706508224673079913358205481948080466701412103877618698581320729779}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{22} + \frac{429553837191839433520326665309374401935927228302861638154415757276241000180997964908720638099520787654692506262011090639935842854657815395871276384536025039059717332785738839935382320769931317611477374087234028686971274050417549}{1375068982728855969679939095669402294801351849084362037998049561428293244485244953548876264204771736413916909338380960975867521035948012676985395276957784937383564629288129315933157475135403476313761537143305272246220947664654444} a^{21} + \frac{420259333369430990766372882445147768506284636375695223649330258476684476212377788447259933185270350308430563010635723862603931965796238562681524954034346802323958189458113594035229037061486567120557559192808987425091504618393945}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{20} + \frac{1422318726639598006022971006344008407902491117107505550726060244258667681082172662701782734731414657897325855790812654930746017610075842536646624730614468461449845466556155550543777865599005950399605240475100925901338834656146449}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{19} + \frac{666357760294389765943354647555659985180156441369286499264876686456223377702322731929105742754535410848855852342704947305218966042481877544053065129851839897006066729463900130493201139839817724374654223303342809414310404454950441}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{18} - \frac{427594980387108961349221597843113295330127911493393780702968172022661674532434920660478373053681891670900044330196549317162006507270572630054806776961980079100103145597593925925185856170916814112844958089358937485052553647830531}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{17} + \frac{4601476771103194691258114473984219285607339370733491322262537286883760838094436549453699991479353590479475888688366736788616018882915575211046576520584312368423237739312911661567759051430176478787853051516946786271627460241774573}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{16} + \frac{617366066073642303009275837217912237212971094029622671889560099825506087380244824556725789140078454565863148651220302315553815211729816105509268101264117230312692523442473043960928384402052814872060747538336960879067574475659769}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{15} + \frac{4724736311051510588569336166528797602691402330958037489941313875154102256269932089005099595378976239329973543732396958989449097849409465989476971730413070827951833162151790801780129552404261149226560335942149023847347118420502851}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{14} - \frac{105561679515127351305182224420585179320440852326072023015184119811368018026124779884114032016570735638492955482150913178431103171042728418910539625774840589831107361597128404185658513728071326908427142366822756769966260560435107}{687534491364427984839969547834701147400675924542181018999024780714146622242622476774438132102385868206958454669190480487933760517974006338492697638478892468691782314644064657966578737567701738156880768571652636123110473832327222} a^{13} - \frac{1192573370393845245068062813910978372618950402640688655103680888360936268224281309221905329805379389354923731928511623769591630445509878196510666850718244095986851639853569632786929601409971734945887839708859138514860126294607599}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{12} - \frac{366246510553185748319067034038527759365202916340615996456399697880917222852603216952013618656737594733606012790481268275102572754013000030582057554572425671804566080091284506080507740912964684424065322888468658130459433914602567}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{11} - \frac{286877420459011371527914920485834305903465220675765877948891450346297807468883705410711044240299476811957072659045192261167090149435696880076590040444753639602050798672016474080337520420425070055389237451708430194313113467870876}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{10} + \frac{646675534801305994295260816893940536021237219974422825758067848588785723039684689590733903019256372650526639035915288031871533326279753364392020399782868204114895327153052091102169450537281123965878756775508834153209854093066507}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{9} + \frac{59250859810808505825012945726645679148673884615768669685006586586029601182934403141030903576310570550238757588233947660490749904567464896669387931215525739285250396362669085371296498891293682642857046337987655450945187649240930}{343767245682213992419984773917350573700337962271090509499512390357073311121311238387219066051192934103479227334595240243966880258987003169246348819239446234345891157322032328983289368783850869078440384285826318061555236916163611} a^{8} - \frac{2676683786718847972681615779547202248340333997369267194489188077170640424266960042697247444044189547590151358940009362773022566732993610782468619767554642381919255899900057784446662071196551554342713946079722618368509702870557}{37895601886228314125037691612936283714997885604687142779473806811015955556679979034811550588320480924792985690427821759177451367132425546216132940703561002211358080334712225242252371361999308402347758897650145298124199345088902} a^{7} + \frac{1557443627300309119244212575512169075444901045948026546628191817998100154489330355683905197125119886448384542577046321214212110419638585004327155908352476435166968302130771140727974758494410105520643667759885039740385305294010033}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{6} + \frac{1767370321396450318955397361606353416939279257162561470263196567156225541572317031283287195698313015502960384147219974405979022753303645760375231820886708993903303080468369957380380257357927109687770611725679707514918664733357401}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{5} - \frac{1168773651674604961551160800398464202027501701295743227914862352878442498888700931531598575844325049715096345961466688736240699779243294099138028837253957564939971968317695168902068000579350667320927180444707878748182426945721267}{4812741439550995893879786834842908031804731471795267132993173464999026355698357337421066924716701077448709182684333363415536323625818044369448883469352247280842476202508452605766051162973912167098165380001568452861773316826290554} a^{4} + \frac{2466860676338385549983564553652217971878837664686128906102477468830359105849610724363939307432713864443732629799115750071600160439482937684532457645860836555889048388704913619870153969678989855127010127316729452676666832440767503}{9625482879101991787759573669685816063609462943590534265986346929998052711396714674842133849433402154897418365368666726831072647251636088738897766938704494561684952405016905211532102325947824334196330760003136905723546633652581108} a^{3} - \frac{284640730414157647001800333571281996039946087152517642492682548270207129490619310808911399690841790799909850425941874047833357698820558196910181533610589879163670123790846785052325326098953068846317643819975149037235784584931530}{2406370719775497946939893417421454015902365735897633566496586732499513177849178668710533462358350538724354591342166681707768161812909022184724441734676123640421238101254226302883025581486956083549082690000784226430886658413145277} a^{2} - \frac{38927155580090176082319487947278274756925363895928819142375248242780970297718364475746613241945786037362684314456148415161336613319947186311394597306975174340055033784363190866006690954390829311341983153239854142466633742050617}{687534491364427984839969547834701147400675924542181018999024780714146622242622476774438132102385868206958454669190480487933760517974006338492697638478892468691782314644064657966578737567701738156880768571652636123110473832327222} a + \frac{172760514462549095088635912877473557143569838289622933022696258285684904607139643200593121470827423637057090704961904861556697803038432436500350202380946320632959571478624236987884420391037949713064856042181326682422151913}{1809234637051340173888250295606743823650381103175622527062226077760678875627272881458151889410352955962039437150185204987010374665075513898152956571281301395979575264711470256271028797801401364573096697941793292150053613373}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.1, 3.3.3969.2, 5.5.390625.1, 9.9.62523502209.1, 15.15.16836836874485015869140625.1, 15.15.207828545629978179931640625.1, 15.15.58706420176135948240756988525390625.1, 15.15.58706420176135948240756988525390625.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ R R R $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$5$5.15.24.88$x^{15} + 375 x^{14} + 415 x^{13} + 575 x^{12} + 520 x^{11} + 378 x^{10} + 145 x^{9} + 275 x^{8} + 85 x^{7} + 545 x^{6} + 127 x^{5} + 380 x^{4} + 470 x^{3} + 615 x + 368$$5$$3$$24$$C_{15}$$[2]^{3}$
5.15.24.88$x^{15} + 375 x^{14} + 415 x^{13} + 575 x^{12} + 520 x^{11} + 378 x^{10} + 145 x^{9} + 275 x^{8} + 85 x^{7} + 545 x^{6} + 127 x^{5} + 380 x^{4} + 470 x^{3} + 615 x + 368$$5$$3$$24$$C_{15}$$[2]^{3}$
5.15.24.88$x^{15} + 375 x^{14} + 415 x^{13} + 575 x^{12} + 520 x^{11} + 378 x^{10} + 145 x^{9} + 275 x^{8} + 85 x^{7} + 545 x^{6} + 127 x^{5} + 380 x^{4} + 470 x^{3} + 615 x + 368$$5$$3$$24$$C_{15}$$[2]^{3}$
$7$7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$