Properties

Label 45.45.183...361.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $1.839\times 10^{91}$
Root discriminant $106.68$
Ramified primes $3, 31$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 87*x^43 - 4*x^42 + 3402*x^41 + 300*x^40 - 79106*x^39 - 10008*x^38 + 1219668*x^37 + 196264*x^36 - 13165542*x^35 - 2519472*x^34 + 102436164*x^33 + 22316760*x^32 - 583045167*x^31 - 140145264*x^30 + 2440735434*x^29 + 631757436*x^28 - 7504722910*x^27 - 2050106328*x^26 + 16845457116*x^25 + 4771066968*x^24 - 27354225744*x^23 - 7899876240*x^22 + 31819110888*x^21 + 9218870784*x^20 - 26289431304*x^19 - 7517163552*x^18 + 15324352272*x^17 + 4245866400*x^16 - 6258116631*x^15 - 1643669037*x^14 + 1770836592*x^13 + 429144192*x^12 - 340508538*x^11 - 73586928*x^10 + 43022076*x^9 + 7934841*x^8 - 3375522*x^7 - 502012*x^6 + 149688*x^5 + 16758*x^4 - 3200*x^3 - 252*x^2 + 24*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 87*x^43 - 4*x^42 + 3402*x^41 + 300*x^40 - 79106*x^39 - 10008*x^38 + 1219668*x^37 + 196264*x^36 - 13165542*x^35 - 2519472*x^34 + 102436164*x^33 + 22316760*x^32 - 583045167*x^31 - 140145264*x^30 + 2440735434*x^29 + 631757436*x^28 - 7504722910*x^27 - 2050106328*x^26 + 16845457116*x^25 + 4771066968*x^24 - 27354225744*x^23 - 7899876240*x^22 + 31819110888*x^21 + 9218870784*x^20 - 26289431304*x^19 - 7517163552*x^18 + 15324352272*x^17 + 4245866400*x^16 - 6258116631*x^15 - 1643669037*x^14 + 1770836592*x^13 + 429144192*x^12 - 340508538*x^11 - 73586928*x^10 + 43022076*x^9 + 7934841*x^8 - 3375522*x^7 - 502012*x^6 + 149688*x^5 + 16758*x^4 - 3200*x^3 - 252*x^2 + 24*x + 1, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, 24, -252, -3200, 16758, 149688, -502012, -3375522, 7934841, 43022076, -73586928, -340508538, 429144192, 1770836592, -1643669037, -6258116631, 4245866400, 15324352272, -7517163552, -26289431304, 9218870784, 31819110888, -7899876240, -27354225744, 4771066968, 16845457116, -2050106328, -7504722910, 631757436, 2440735434, -140145264, -583045167, 22316760, 102436164, -2519472, -13165542, 196264, 1219668, -10008, -79106, 300, 3402, -4, -87, 0, 1]);
 

\( x^{45} - 87 x^{43} - 4 x^{42} + 3402 x^{41} + 300 x^{40} - 79106 x^{39} - 10008 x^{38} + 1219668 x^{37} + 196264 x^{36} - 13165542 x^{35} - 2519472 x^{34} + 102436164 x^{33} + 22316760 x^{32} - 583045167 x^{31} - 140145264 x^{30} + 2440735434 x^{29} + 631757436 x^{28} - 7504722910 x^{27} - 2050106328 x^{26} + 16845457116 x^{25} + 4771066968 x^{24} - 27354225744 x^{23} - 7899876240 x^{22} + 31819110888 x^{21} + 9218870784 x^{20} - 26289431304 x^{19} - 7517163552 x^{18} + 15324352272 x^{17} + 4245866400 x^{16} - 6258116631 x^{15} - 1643669037 x^{14} + 1770836592 x^{13} + 429144192 x^{12} - 340508538 x^{11} - 73586928 x^{10} + 43022076 x^{9} + 7934841 x^{8} - 3375522 x^{7} - 502012 x^{6} + 149688 x^{5} + 16758 x^{4} - 3200 x^{3} - 252 x^{2} + 24 x + 1 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(183\!\cdots\!361\)\(\medspace = 3^{60}\cdot 31^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $106.68$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(279=3^{2}\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{279}(256,·)$, $\chi_{279}(1,·)$, $\chi_{279}(4,·)$, $\chi_{279}(133,·)$, $\chi_{279}(262,·)$, $\chi_{279}(7,·)$, $\chi_{279}(10,·)$, $\chi_{279}(268,·)$, $\chi_{279}(142,·)$, $\chi_{279}(16,·)$, $\chi_{279}(19,·)$, $\chi_{279}(25,·)$, $\chi_{279}(28,·)$, $\chi_{279}(157,·)$, $\chi_{279}(160,·)$, $\chi_{279}(163,·)$, $\chi_{279}(40,·)$, $\chi_{279}(169,·)$, $\chi_{279}(175,·)$, $\chi_{279}(49,·)$, $\chi_{279}(187,·)$, $\chi_{279}(190,·)$, $\chi_{279}(64,·)$, $\chi_{279}(193,·)$, $\chi_{279}(67,·)$, $\chi_{279}(196,·)$, $\chi_{279}(70,·)$, $\chi_{279}(202,·)$, $\chi_{279}(76,·)$, $\chi_{279}(205,·)$, $\chi_{279}(82,·)$, $\chi_{279}(211,·)$, $\chi_{279}(214,·)$, $\chi_{279}(94,·)$, $\chi_{279}(97,·)$, $\chi_{279}(226,·)$, $\chi_{279}(100,·)$, $\chi_{279}(103,·)$, $\chi_{279}(235,·)$, $\chi_{279}(109,·)$, $\chi_{279}(112,·)$, $\chi_{279}(118,·)$, $\chi_{279}(121,·)$, $\chi_{279}(250,·)$, $\chi_{279}(253,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{5} a^{42} - \frac{1}{5} a^{41} + \frac{1}{5} a^{40} - \frac{1}{5} a^{39} - \frac{1}{5} a^{38} + \frac{1}{5} a^{36} - \frac{2}{5} a^{32} - \frac{2}{5} a^{29} + \frac{2}{5} a^{27} + \frac{2}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{2785} a^{43} + \frac{35}{557} a^{42} + \frac{161}{557} a^{41} - \frac{189}{557} a^{40} + \frac{453}{2785} a^{39} - \frac{256}{2785} a^{38} - \frac{484}{2785} a^{37} - \frac{889}{2785} a^{36} + \frac{180}{557} a^{35} + \frac{277}{557} a^{34} + \frac{598}{2785} a^{33} + \frac{1363}{2785} a^{32} - \frac{160}{557} a^{31} - \frac{1182}{2785} a^{30} - \frac{892}{2785} a^{29} - \frac{928}{2785} a^{28} + \frac{392}{2785} a^{27} - \frac{23}{557} a^{26} + \frac{1367}{2785} a^{25} + \frac{827}{2785} a^{24} - \frac{106}{557} a^{23} + \frac{175}{557} a^{22} + \frac{606}{2785} a^{21} + \frac{75}{557} a^{20} + \frac{167}{557} a^{19} + \frac{888}{2785} a^{18} - \frac{938}{2785} a^{17} + \frac{8}{2785} a^{16} - \frac{206}{2785} a^{15} - \frac{764}{2785} a^{14} - \frac{296}{2785} a^{13} - \frac{31}{2785} a^{12} + \frac{85}{557} a^{11} - \frac{1289}{2785} a^{10} + \frac{1302}{2785} a^{9} - \frac{726}{2785} a^{8} + \frac{704}{2785} a^{7} - \frac{1012}{2785} a^{6} - \frac{1162}{2785} a^{5} + \frac{1013}{2785} a^{4} - \frac{403}{2785} a^{3} + \frac{508}{2785} a^{2} + \frac{137}{2785} a + \frac{134}{2785}$, $\frac{1}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{44} - \frac{529153294076651467091221948069306686978419317372444774940525644623589142797724961967133597866516948987421732184281851392657097145280250662}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{43} - \frac{556920090981933078356451082550118654569162238715648273241970585575918899681826739271967997104140646859750087252784504960011478407069632992932}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{42} - \frac{1066025524406026264520110039752235740628354167333088332860896800950921459634162122791444683382672072506830031969354955105904782332601122405178}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{41} + \frac{616266416401353388808793542765793581724837214676615261399779773731329692860734891090445577299567391132506972352735554196902447236160792240306}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{40} + \frac{464442100967025524660629410668813551981154401920999639452827935672103882693854044734493510725729507326056347391995727685683499860748980100561}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{39} - \frac{337372796199193388553516024827401880689712084306923291272143728265328865484386279048553791354291653715939039821054150548853733309729354279712}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{38} + \frac{2994865604280207420582286264401479314702338250121654437844391091290504354655724919526140753834740634971032118666294474347849645586064121109574}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{37} + \frac{668086249996126716203564459529826565000987125568541318359701241309645824030990459906847135471722701170379601740069476090088270213811622183816}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{36} - \frac{501859135353507167299295604376224872930791775242613620817965397982636882549433499683016864191066408869447614586540407167296045909701390297090}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{35} + \frac{2791615196211483534023557302932824936685718087689422900629472338129782654543752621316296151426478437032338760033651488725463448144093708170288}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{34} + \frac{800503561449725267485494931489392350362252581858431643491034279412038960117499898791807595452240748019132096088608282089467932709065109360922}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{33} + \frac{3008738541342120523720934409616461257818683817330885929609371900781982924332170018247380971908672519572033733200148536918962022477679846712658}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{32} + \frac{2993028528081863033429644102975299602417446105992522404861884023344421853192125300654507009642793860762248209956834299125630041268766869166298}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{31} + \frac{876068860847828656189064694139926564796504900733963553694470777844380475554352414879061009615482034395719583464333689238028430369217043570232}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{30} + \frac{368223050774660080135208226945223696526698321141946167852128127458903809662385717415162601030804518174107846904587099949246857689187429329352}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{29} - \frac{2896500286360712919685112125093843543787885032350268672298827840392230487369084434536794878300770448148377060208608465509196230928794244991602}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{28} - \frac{34663685123647939776054221717106777230250228678792285211188742925964075623710573830205049101064308417230862725112968566178472040358034699653}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{27} - \frac{1671013831894814894874974477934131290245515187904880454956446001123425520359388117699016646063611883133142711956946057140077343706783538317}{4301449783948278453285065187679174781739239607278654766039213176423936297210596791990601124379908851664906697132667098382165807755981458885} a^{26} - \frac{3256895393984893385736088416143304118229005469701787620642868852357645477712535194842433463312728127894864565481986984389453477511516293134977}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{25} + \frac{1039320092892648025618969109285283295521720953998727052152227991657644314615345682458332391872369927049995586403190112609228963401974992101472}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{24} + \frac{347484212605334155802056350061679234666354365943669262199488852674798730948541411947202949269835136886503776281332031019932383165198769140685}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{23} + \frac{2667175008275429053307062629959630150627836121673715992438029330952199450764488015449389952889468793437285357290167343264089594723328352926866}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{22} + \frac{2632474568411816801137251701961566766253820547096965840897864566591720346196640254841658505025012357738458462693901099198611180103216025896693}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{21} + \frac{3250110936318360222750294022199202863146681834574154496172849042995660029847235672275238212595923270847044708563093420341070390654754441808103}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{20} - \frac{202552227380867680409499725165828853932060415736254798425681547820557537645577180789697947013419195129180243117153898285817857407087170618645}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{19} + \frac{3017513419787866367647620606804203457298331219389281799887325627660018662945598195450112162772479191112472696487377403603096366210136577277504}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{18} + \frac{299554788682774589462101491324364978379363852786801548001791126064036584031663010795316987745220595677345959087230946317960327953715704072307}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{17} - \frac{1017168258987162473660625118770702182264886173885957471961981267867010810971493866406268247543338350213891282115419112661539695704414175559282}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{16} + \frac{2524666215244510443826082765844959771553536268357197555672164906449487305471006509123059999782300180773112333608063122532588292957402825942317}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{15} - \frac{424483536614002972681439439759906293154944501208760475539560130776475718147811626762108669665704215606838804582682682387241995853445421185819}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{14} - \frac{60014006566589793166826670711026790245655964758033224642681265959034542554655934343303285064769250860991657031292738531053942968650205502404}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{13} + \frac{137725717926689557453738756000724084353195077338618223649957150798324479925857523325561615109815806116025147033614268838830665123848661356079}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{12} - \frac{1228215057722689764263132613203301688613397143666517679139867366115877559774639191653462222956963729186935051397656996656532021695544869985354}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{11} - \frac{449165541247857954954888764591861995443055549489721517315482953640004445602413373429405785739525218427354676676868459401834157784002770750375}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{10} + \frac{1229007515180788651830914669401843698065913699619937835664736751104365527635649416430807214033283874390223159854307570112529240706792176307888}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{9} - \frac{695779373206620851823321415983597877807874932718828094671752607549179416770411335270547444828685615975970805455903329349656185136478252756591}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{8} + \frac{2390527972422155812174542321806693773414014878286429444455831997902363935116562582809610359336125086140828872497280583757131634889453601808444}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{7} - \frac{219036752792212804312732853215034588352011427016080321757494267698860338054993639634207164941670010362156892697526695423087358121114356829501}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{6} + \frac{2025788612977059833398526578867009456643409080076128310478449775072824858821131299436581827199089585402213782514247616476929887741227683745203}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{5} + \frac{1217706589750060791930092851233986999819962250507358746960726915925743483533791221963999466479706010588729808793940360322326308349542148904254}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{4} - \frac{45919179907642002008953559695871950363537508384235676665701208670036216116434300879555113241733228459531692165252398323166437149586856040824}{1332589143067176664827713195143008347382816430334927246518948242056135464875842886158688228332895762245788094771700267078794967242803055962573} a^{3} + \frac{1067792511777883493374996756046328542340409267457111242407699833976794786329598169895573407087547238623037149874324790950492232621592434554721}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a^{2} + \frac{147123104604035979687937443209795160081083894648655250461063958640173566613391717048038183018947724478852610276990008682942990413355313346699}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865} a + \frac{116166212090695770582704353111810676395483170842468702467055871796413616615923056416600671985309087413465010834840122847486333286108247475374}{6662945715335883324138565975715041736914082151674636232594741210280677324379214430793441141664478811228940473858501335393974836214015279812865}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.961.1, 3.3.77841.2, 3.3.77841.1, \(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.923521.1, 9.9.471655843734321.1, \(\Q(\zeta_{31})^+\), 15.15.2639300305759427100493462112721.1, 15.15.2639300305759427100493462112721.2, 15.15.2746410307762150989067078161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
31Data not computed