↑

Properties

Label 45.45.1822550894...3361.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $541^{44}$
Root discriminant $470.39$
Ramified prime $541$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-11589172153099133, 42013292907430397, 133177483664861744, -725658632317293676, 171253707101259988, 3204309942238309333, -3788065733722662878, -4803592251955912900, 10493237142444370059, 1114529216279611047, -13174072290529526814, 4440745936331373641, 9200133845176559614, -5995511996337817154, -3735967195252037225, 3953734685891549836, 754474066803116171, -1649280428399137801, 45987513402865445, 471789373754560507, -81692357941176698, -95456165563516555, 28183961581580635, 13675801545862322, -5868838401907173, -1335888656272773, 847486273951872, 76259461552137, -88665690143496, -248705213777, 6813186987549, -401615692215, -383669845519, 41082574326, 15600272993, -2320200050, -444867299, 84492738, 8460944, -2018702, -98120, 30504, 577, -264, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - x^44 - 264*x^43 + 577*x^42 + 30504*x^41 - 98120*x^40 - 2018702*x^39 + 8460944*x^38 + 84492738*x^37 - 444867299*x^36 - 2320200050*x^35 + 15600272993*x^34 + 41082574326*x^33 - 383669845519*x^32 - 401615692215*x^31 + 6813186987549*x^30 - 248705213777*x^29 - 88665690143496*x^28 + 76259461552137*x^27 + 847486273951872*x^26 - 1335888656272773*x^25 - 5868838401907173*x^24 + 13675801545862322*x^23 + 28183961581580635*x^22 - 95456165563516555*x^21 - 81692357941176698*x^20 + 471789373754560507*x^19 + 45987513402865445*x^18 - 1649280428399137801*x^17 + 754474066803116171*x^16 + 3953734685891549836*x^15 - 3735967195252037225*x^14 - 5995511996337817154*x^13 + 9200133845176559614*x^12 + 4440745936331373641*x^11 - 13174072290529526814*x^10 + 1114529216279611047*x^9 + 10493237142444370059*x^8 - 4803592251955912900*x^7 - 3788065733722662878*x^6 + 3204309942238309333*x^5 + 171253707101259988*x^4 - 725658632317293676*x^3 + 133177483664861744*x^2 + 42013292907430397*x - 11589172153099133)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - x^44 - 264*x^43 + 577*x^42 + 30504*x^41 - 98120*x^40 - 2018702*x^39 + 8460944*x^38 + 84492738*x^37 - 444867299*x^36 - 2320200050*x^35 + 15600272993*x^34 + 41082574326*x^33 - 383669845519*x^32 - 401615692215*x^31 + 6813186987549*x^30 - 248705213777*x^29 - 88665690143496*x^28 + 76259461552137*x^27 + 847486273951872*x^26 - 1335888656272773*x^25 - 5868838401907173*x^24 + 13675801545862322*x^23 + 28183961581580635*x^22 - 95456165563516555*x^21 - 81692357941176698*x^20 + 471789373754560507*x^19 + 45987513402865445*x^18 - 1649280428399137801*x^17 + 754474066803116171*x^16 + 3953734685891549836*x^15 - 3735967195252037225*x^14 - 5995511996337817154*x^13 + 9200133845176559614*x^12 + 4440745936331373641*x^11 - 13174072290529526814*x^10 + 1114529216279611047*x^9 + 10493237142444370059*x^8 - 4803592251955912900*x^7 - 3788065733722662878*x^6 + 3204309942238309333*x^5 + 171253707101259988*x^4 - 725658632317293676*x^3 + 133177483664861744*x^2 + 42013292907430397*x - 11589172153099133, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - x^{44} - 264 x^{43} + 577 x^{42} + 30504 x^{41} - 98120 x^{40} - 2018702 x^{39} + 8460944 x^{38} + 84492738 x^{37} - 444867299 x^{36} - 2320200050 x^{35} + 15600272993 x^{34} + 41082574326 x^{33} - 383669845519 x^{32} - 401615692215 x^{31} + 6813186987549 x^{30} - 248705213777 x^{29} - 88665690143496 x^{28} + 76259461552137 x^{27} + 847486273951872 x^{26} - 1335888656272773 x^{25} - 5868838401907173 x^{24} + 13675801545862322 x^{23} + 28183961581580635 x^{22} - 95456165563516555 x^{21} - 81692357941176698 x^{20} + 471789373754560507 x^{19} + 45987513402865445 x^{18} - 1649280428399137801 x^{17} + 754474066803116171 x^{16} + 3953734685891549836 x^{15} - 3735967195252037225 x^{14} - 5995511996337817154 x^{13} + 9200133845176559614 x^{12} + 4440745936331373641 x^{11} - 13174072290529526814 x^{10} + 1114529216279611047 x^{9} + 10493237142444370059 x^{8} - 4803592251955912900 x^{7} - 3788065733722662878 x^{6} + 3204309942238309333 x^{5} + 171253707101259988 x^{4} - 725658632317293676 x^{3} + 133177483664861744 x^{2} + 42013292907430397 x - 11589172153099133 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1822550894130687310163630869707530762635914062521200556148980182659284427677118541704622955169252001171341389227410853361=541^{44}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $470.39$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $541$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(541\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{541}(1,·)$, $\chi_{541}(129,·)$, $\chi_{541}(265,·)$, $\chi_{541}(140,·)$, $\chi_{541}(15,·)$, $\chi_{541}(400,·)$, $\chi_{541}(277,·)$, $\chi_{541}(534,·)$, $\chi_{541}(411,·)$, $\chi_{541}(27,·)$, $\chi_{541}(241,·)$, $\chi_{541}(174,·)$, $\chi_{541}(48,·)$, $\chi_{541}(49,·)$, $\chi_{541}(179,·)$, $\chi_{541}(436,·)$, $\chi_{541}(309,·)$, $\chi_{541}(521,·)$, $\chi_{541}(312,·)$, $\chi_{541}(188,·)$, $\chi_{541}(446,·)$, $\chi_{541}(448,·)$, $\chi_{541}(194,·)$, $\chi_{541}(198,·)$, $\chi_{541}(205,·)$, $\chi_{541}(207,·)$, $\chi_{541}(214,·)$, $\chi_{541}(477,·)$, $\chi_{541}(352,·)$, $\chi_{541}(225,·)$, $\chi_{541}(228,·)$, $\chi_{541}(102,·)$, $\chi_{541}(307,·)$, $\chi_{541}(124,·)$, $\chi_{541}(237,·)$, $\chi_{541}(110,·)$, $\chi_{541}(368,·)$, $\chi_{541}(369,·)$, $\chi_{541}(370,·)$, $\chi_{541}(115,·)$, $\chi_{541}(505,·)$, $\chi_{541}(122,·)$, $\chi_{541}(252,·)$, $\chi_{541}(125,·)$, $\chi_{541}(405,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $a^{42}$, $\frac{1}{770977} a^{43} + \frac{293292}{770977} a^{42} - \frac{83506}{770977} a^{41} + \frac{79994}{770977} a^{40} + \frac{5316}{770977} a^{39} + \frac{330939}{770977} a^{38} - \frac{78394}{770977} a^{37} + \frac{381110}{770977} a^{36} + \frac{266830}{770977} a^{35} - \frac{336792}{770977} a^{34} - \frac{228610}{770977} a^{33} + \frac{241831}{770977} a^{32} - \frac{112139}{770977} a^{31} - \frac{53412}{770977} a^{30} - \frac{174350}{770977} a^{29} + \frac{27724}{770977} a^{28} - \frac{328825}{770977} a^{27} - \frac{253388}{770977} a^{26} + \frac{158669}{770977} a^{25} - \frac{293386}{770977} a^{24} - \frac{207655}{770977} a^{23} - \frac{62720}{770977} a^{22} + \frac{346040}{770977} a^{21} - \frac{365658}{770977} a^{20} - \frac{176602}{770977} a^{19} - \frac{36212}{770977} a^{18} - \frac{72988}{770977} a^{17} + \frac{273794}{770977} a^{16} - \frac{220528}{770977} a^{15} + \frac{92685}{770977} a^{14} - \frac{113494}{770977} a^{13} + \frac{3938}{770977} a^{12} - \frac{341521}{770977} a^{11} + \frac{36758}{770977} a^{10} - \frac{332276}{770977} a^{9} - \frac{163732}{770977} a^{8} + \frac{111589}{770977} a^{7} + \frac{267872}{770977} a^{6} - \frac{40710}{770977} a^{5} + \frac{52653}{770977} a^{4} - \frac{269383}{770977} a^{3} + \frac{316387}{770977} a^{2} + \frac{44660}{770977} a + \frac{252673}{770977}$, $\frac{1}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{44} - \frac{214544375135996498056938325910151252406767794701604158936538906018557104688345388338389627274662616846126668240681152108367233025897784026304326811897018081916292051113173606577070459313704307301908019246285978627901781450554051186693329676227072987053783433948518317483082322858496043602558049791235265368275023655239044337885482807158208113133866}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{43} + \frac{221632049459834697513193593058159593590564287330080257095945633029587333127452607650394447258478069570993766265243490301815971204740641784239219284138791770507167476492675850178438372738604348819943181954088929987150119111049385307215543095952076271199173389584310442808226103876112602930050914029677183801494884689688184181444070027338175712078117414387}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{42} - \frac{199581590383104254104811140108609897925936780464695768636752823235277228405263127616657839312729579453839252998012051362234477986316380591235797305610657708482450063896650487615387279485242839220875458147793988026437356360344128927252229300890339769260305742052924208333222865666676787852924497302918806770620526237887606458537938763449349165585269580702}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{41} + \frac{73617866240416426841879454725328502187652635376350544319979391758039618308447635193540820741719363626540224040637212928732019815556849615648254420734079233231903886324285590124749318977285557114490671095914378604551722241565313906406931752231233856575422311275842973927722084232986172078787802518036243064238231227994641780340284651234649155047918317014}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{40} + \frac{173355019778888569259051789211523284002961604423268074308912977863286447172315931408914394001956115502455431055248458820936982674150426490887186810998018930429653021827472009704381772702912792688361452181620843263619467224391839577899205250668340315142679962749837963666162236421183423401206305375028811350389782101690512528320860737339940831772437799929}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{39} - \frac{192988188571958517569466590734082445569945566401777479614616476240483435644195895986285241608328924473801250238386027023967135121543673677365063295253089007178370075911646980223185364518996630763341187469816770276768738423559691516807560291056381817041969155982466816752147243478071932508844484215858919489754027481292561086692327284006695301821256700796}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{38} + \frac{154040206513344719848723856692302204084681339877977285929050119591068564286383620644356304326206933885067167161317198233929317622448705736585279338815934994427887311330458083796197058227911823667092847175128764102436643182658091629165670632806431180411057172155548208964562673117315348083161024462189263420964340004888188165961194551591749328343461661819}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{37} + \frac{131330831197944823285163510393154362318489178934847701609949672113321148311585249477409966273636617566511571581520365754189598505162419050732043550740001697713988732489677070726312311048176724097760253555871901013301740639287326205246364623649476670127247990029888499154455398023720443086460483714280752119546896058889286440606190354466853124100198184288}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{36} - \frac{74217075677134393931070413339362433870035488351519357781903260875551971771517071960358091099928221276029731572891244255384540363208048635169442803247292651044179984524780399507814776765377897731234067035229761416945002703587525250460369477327181072315043400796009787409359974901385803568007837494056297371207131193134517725516483194666013042771525391231}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{35} + \frac{160247209598924614278262915148704726450474759024749217828603135738084347902207873336252991458098365820782535886593679356187090929617885377196432181559439918925088667687568767766340938365123859740172818249044888622442897307970575012483246478933384321262438615222714257554006699251589062949496984250393125442326810487107234237559048729517468166530078035506}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{34} - \frac{119987399375698494833059287449319477134567133060029510922108553215726929389430110987467201759803071106039504830889701814209039638524281899608969599663745881518958564555569660005956080764067550849410216249676336480458426600996023661684354479013839584812303898890203639538577053671973602599721155435433372202269122983059365438020336337618105768135713854912}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{33} + \frac{163592022683414527592002284277593805203147658924390801587522489858544237491959605634784673506439835611914109273389683548529381200871834639351578197567114635829036245172628456377455476121816471080947706426328393817421601862328511449991693515440342443434513769147256443329035691863817545966510674402727858468954944904973470361483276233843170405924764049712}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{32} - \frac{147898940878600476202309460977563159242355846583490988206743149507887618456277342474319604277423296472887520934057893755369212592137763588653430012610673164770068397879505418760197632250972876564568058745168823485801122844054792527754400006868594902680803186471031339700947139849615439628885957205690039188368165822047371317858400073895210205710708963584}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{31} - \frac{25539174353064259343845627227131900103242537058480161825747617678899802147524889867818815976135074820751170525477473501596488136608529214528361291173981221854385514355424154265565554337935530387778227376661154275172753579874978256809901509378603765248614588976016500985773310098229875618300344414437271003655588836151403101542422148592165020657707826553}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{30} - \frac{130683881389315265234497673042037470742340610980255329761264385514879746479968116758877434637492816968406001034436861544017402289433726620188941525219130283592338603101915111771564373672012221986251323311820743012295503357304946928904227978613773905301074769919974729379848329724583029804245382482504599978840783401662759098695443926259928681305902930430}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{29} - \frac{86468203633602025360296366424368538269935873730466119941238248366497015678784335330645366556520464521633191973440283958846769866181458246900520499725782488383107699601572807667884328668018484552530416530339821961913377301829984953682189752457338092184090945909673627830996327624883563169491453644072744986425786472408275101979727506066851308840845734144}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{28} - \frac{248692196395035680674710849601482738020892710645219930168670328558613130015315400404067148929437869725328423538891098608157265480096822404703828442649747282672099575497242915914237137765234649364343668591725593110413423108041392465791176347431024555807534718593332530923047726312443014899099910476604072200017654008346741468023165487968774695290604505523}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{27} + \frac{222722716728080289020664273823692023077371342911348931865570564745423172985617040367729423309337600121170563118458034848329795973673787059463960002857124530115781531893472675897559737249694779038658879089201002545182761252035300878820979159735303108076079377086479747232870863364498828123448048794532848687341406840618303242555996785226186190355013792560}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{26} + \frac{222992034172535090445713920190945417875013592183534472609805941258831872789261815082998939284284020493882083771923335666345360348711363967770698792397534350765966217956697252458831093112435293812145363417995336558131442726890860168549183428130798173228079051402104261377060281142279115817199396267993586751880574401515573051931765870899361013801425832003}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{25} - \frac{171627149075205388745591782369650666920641003764606016353049626955242936951623830396944261749645153712301067515889675315250817574459866886788377765001646292962621227902039918686510951674249148448167037863011032485843067798738833094822326771946843356810767422155470484142915253987470454019499788977388005396396407403840050010906960147382972475561096075065}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{24} - \frac{8375952094262292812428625960758395001849799036052874009019869357620241739514338286964987486630821602672192875970754841355364180228570133264142348269916001609120694363067935079494193224013692757142378755951642102907756703807629212718918457761135061443106449382586910770735150316288784071630056277852233556217838976631874716289485099094529512058935028680}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{23} + \frac{201698316999146407003973312613148141547726390475216931195096291896359016613391074037564910853287338360479857295366702536660217280861931282753655442779348438874969530131088400200271046853176640802470162385917385704161449102967210826021736412221192940818236522645362822218143361457201941892608540828891350556382238476009874897984853331751701025570641983762}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{22} - \frac{162473340596405254899805637557114191206484898438899419033327562701056477791948495339187584843947068426972001265296182967733943102905362352142702709778294983689148896857662018834293526451162943236772393351097687627479474738490156867463217022527559063568345187841611047464666456459990689742624135224285147930129228631092071699273473649249630085591510660284}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{21} - \frac{246902176103826071401463130915355554349238562148680859440725443509668221359339106993554169086120355597921403322137749042774691236076917867093880660404630493205131112235990026902931699285103243425395188795208541950156722840783386609688914227222539486741106683912086053800211227857712131275089372186544321471932548087799369391429282932616283492580556537764}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{20} - \frac{161054754343228226363305050185011609864996739507371266735469688113543468179009652716269246298251318103799454702728678007012014927047698919532041576169014995897023788896219873599775353365651415983068664357563173306184299711149384328099831639221892729675606845153129220219936720686729281158516956656864634235716889632807153834143700503889447816056272481288}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{19} - \frac{118271873775018086856970324093159805232313525952824182398923307473055139983444231842308739793667179209929501961469642774758408549284256978295052606402233351664488177327769950449626008018055687797936717639720061922194780636475149113681696636327884400032879607600949246449907163419085697862963606996695281556927027462417881196671934440684480637887977969521}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{18} + \frac{91454544527557414703409083820147722925447129393371509960021013266712649208295109954857168206023995662665952148304617245385582092811337627128577324628080497778414094807284918245553383317802446463050980535699856137814258234050004857221046798657784466991692189081410390311013882749828712589865304486550308425302662231456826895389028702942364003423958868017}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{17} + \frac{231390042026675293669356699865452133000396533470209280101533061675525997906143454290548418263583124930506843215966899571083780833213926390013512038549757600947805233118526164339372733311676763589853784935293293965743300334888307377151440079370041303749029582622830223691731703482175792010140331927526361115202333040738781759408268079267245907680176208737}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{16} + \frac{119763992515388177944741527643526463368385783159048135104782224057557621876654320482828630696934715957758740389780011662041595015539425022740866060896263357742936530128198266903013932880909915287058744976103979537939375744316138669918622145055609022688634308780886289756246067029029391274106774120948051962635604812497994765113732069855805555157769391713}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{15} - \frac{11523728278624505347475481417239284408407233322575144407094968061717494256948016452257104266472049858722674357907760414160167314176254723491845979405197520372554900995269535301188949648857397219186806952645256014490099055846958766560743419170737433235943537380110220526487315394461348538704211779370595781026668011708129373850388635871851162354322956180}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{14} - \frac{11376061899041952704689009257238328140940739585438252322866215769523989141754800249440487918505181253386639560373690122502115496373508323836084396752811898349455591322037065545221708538745200815877022291478636012285334608675274304985618689487451612180374373520345364504670758055008758956624878286830290617946486905670904198365283199224709451192914182401}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{13} - \frac{106261381020920186197905417081233490970095014245386769645560022376110253673113218569678288279459256636222824587909958644500249442940922196539101454122716651522308149770312404348365567781842880378502249313041300870532388815704930847738474636083061600010045525843482902089357969974779502000811775852045922986158987258206897439204376446527036872011262607126}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{12} - \frac{32771075727770211931975009087447332245925185677526464105684608703362773752241143667082464743776397119177581661692934576044129706712003342526624915005222722243569581833022349481048358346858440267622612168746290774172241960226473328412910430403231727120534895682219665638106000087626252610169029377241943069951985751895326576277150029160126859077234246707}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{11} + \frac{208353162755651738828419853880482989159452998791728750319250513028186298978237195594053959608155312575389295152717546439826174072275826134819637781726904767544824795732609991145001927301913181441228542088809010930289724201221725979467823491100964772811466602709002032917553593968690791609343467140453985278180247511948729452902380017446052827797839830195}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{10} - \frac{245820147876429448090467619056831046838274003170026707155181402327645114671129414853156570800612850244675379526951226198412939021025774230526126803058493469491489608135884075634599690506563278641593374169431104548180886573755949681555662234307894717110789446820218566622022152106866603266752388632965563745469164133267118775567061805830401209510010128190}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{9} - \frac{127214903087352990713974102690446070243962979206646011425788888377269092464769343498309049504155849483343044181522085802867947549334642284294442260969801401829889025496069371494885459327099483852175367847052610664354795419617588632603805216643114205066073716281147853435407201789066093241730554969695367000801586584347866282601376625581992393789911433873}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{8} + \frac{146917774715231550780658580684372375203212122410713055504126141193813578775943319570010610509902921015395464443552662738714593221755028228737703221591462068219546226454136705941170064064614199901965119977677534038854301884132576004231815528396249923233403144122601926999010773008700278413049725851334418886267654124967797961708472696325628913436085108743}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{7} - \frac{22827793481276462593498961703830071400182335593941326053801474368324606300105268013124984165733408665598204565165189154099842660655875034749414803194378110425926021011278911896109150962571218071176891528342791275775101433062523484808446762063399787073892054981485227213922363118908373233398755411623279462230438712305834034461279900799942045739897683990}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{6} - \frac{26550805545488448313834504125883873822508462239912705946850514495976220010118546308168475052683508616050721608682641986993106386514120173439453037816107171617120465381557293764880222017035669397980782181578759479972787095029244306099601316075042859797996161264078965374635633971871955910709651195578949039249853354508652818802814491286332007324057324906}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{5} + \frac{44659473947702272510273626089530933667795548580093521316925487850784766972580844284682225574686451308184223815722099460983730970291992288722227443997449369218894107510057305122064227037547061341581215450057508565873068140751890358519269333595262229147134013358892106126375561635920633058214565846090039612312616002218106850096907855288475272088660757166}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{4} + \frac{68060133524609282890207521316624937797580099271076273492824364506435445701698904812827454838781672467536237138344545927047456683960019115699888497662336057013884093397859999683923415499542034867372833094853422791206557510824157005523185979174165856727127769911961572684854644107622193601706118441936521475096150827771403774374518971315293668164460281465}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{3} - \frac{98578719266556337184057711891921122525542115733366111135929672518840156070767450941860465176888366664699279206421379652802174008946175162932770378548223814769264525978107681899786768176995772517043240258330829701461002958528231556290037915103491829200154807961460694619514884714323059187349470904310910115451365850638160268765982408990434834322393894630}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a^{2} + \frac{157462839764663108451855304164490110194574094719563138778262678572457324411197319479450087807202075423295994633399009163210704875018593538347729544280896634949737871625022120917400381317402182002685391453084880349862029585251810544709099182414701583984963130074487617403769931850362650088539759646576956732809010196060493389170720006783633151609910888898}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477} a - \frac{112239099594174079665525674814165841646970905725040469476667734883993174322010941442038811491900779637782062268161397398332643778857302293123882501899163395980793824755256411135900172760041239790269550240650428986524266697603032496472651555027985853249841770864502008509965417135081030066400674919457799140625409340439202800153640881845885117008051754415}{499621325374278279708430609646558952318027665212285487186679613716400877982484981744875635093731336627930779634051345012824552130448857516274607032675744047893146626546207104127746948618556680052540846651938661117859711033769093870708442786478766863889182303675905584550367179930346675236907236361111528444725502583925921096138741871548952484815819678477}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.292681.1, 5.5.85662167761.1, 9.9.7338006985513707753121.1, 15.15.183976228451617878805132559872306799161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/29.5.0.1}{5} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/31.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$ $45$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
541Data not computed