Properties

Label 45.45.165...961.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $1.653\times 10^{100}$
Root discriminant $168.68$
Ramified primes $11, 37$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 4*x^44 - 114*x^43 + 468*x^42 + 5696*x^41 - 24132*x^40 - 165566*x^39 + 729869*x^38 + 3130045*x^37 - 14526130*x^36 - 40702810*x^35 + 202181480*x^34 + 374739344*x^33 - 2040701711*x^32 - 2468141099*x^31 + 15280860430*x^30 + 11523689449*x^29 - 86102308596*x^28 - 36476021474*x^27 + 368042106614*x^26 + 66266177672*x^25 - 1197228116258*x^24 + 511532340*x^23 + 2959992694385*x^22 - 394556499523*x^21 - 5529580093472*x^20 + 1265687493078*x^19 + 7719490702430*x^18 - 2271295840968*x^17 - 7914078560767*x^16 + 2645087732416*x^15 + 5804631677810*x^14 - 2048306537737*x^13 - 2929193071000*x^12 + 1039444940408*x^11 + 957147248584*x^10 - 333732759991*x^9 - 182597145321*x^8 + 64595300484*x^7 + 16257686900*x^6 - 6916885901*x^5 - 166352258*x^4 + 298954277*x^3 - 40977465*x^2 + 2118031*x - 36851)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 4*x^44 - 114*x^43 + 468*x^42 + 5696*x^41 - 24132*x^40 - 165566*x^39 + 729869*x^38 + 3130045*x^37 - 14526130*x^36 - 40702810*x^35 + 202181480*x^34 + 374739344*x^33 - 2040701711*x^32 - 2468141099*x^31 + 15280860430*x^30 + 11523689449*x^29 - 86102308596*x^28 - 36476021474*x^27 + 368042106614*x^26 + 66266177672*x^25 - 1197228116258*x^24 + 511532340*x^23 + 2959992694385*x^22 - 394556499523*x^21 - 5529580093472*x^20 + 1265687493078*x^19 + 7719490702430*x^18 - 2271295840968*x^17 - 7914078560767*x^16 + 2645087732416*x^15 + 5804631677810*x^14 - 2048306537737*x^13 - 2929193071000*x^12 + 1039444940408*x^11 + 957147248584*x^10 - 333732759991*x^9 - 182597145321*x^8 + 64595300484*x^7 + 16257686900*x^6 - 6916885901*x^5 - 166352258*x^4 + 298954277*x^3 - 40977465*x^2 + 2118031*x - 36851, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-36851, 2118031, -40977465, 298954277, -166352258, -6916885901, 16257686900, 64595300484, -182597145321, -333732759991, 957147248584, 1039444940408, -2929193071000, -2048306537737, 5804631677810, 2645087732416, -7914078560767, -2271295840968, 7719490702430, 1265687493078, -5529580093472, -394556499523, 2959992694385, 511532340, -1197228116258, 66266177672, 368042106614, -36476021474, -86102308596, 11523689449, 15280860430, -2468141099, -2040701711, 374739344, 202181480, -40702810, -14526130, 3130045, 729869, -165566, -24132, 5696, 468, -114, -4, 1]);
 

\( x^{45} - 4 x^{44} - 114 x^{43} + 468 x^{42} + 5696 x^{41} - 24132 x^{40} - 165566 x^{39} + 729869 x^{38} + 3130045 x^{37} - 14526130 x^{36} - 40702810 x^{35} + 202181480 x^{34} + 374739344 x^{33} - 2040701711 x^{32} - 2468141099 x^{31} + 15280860430 x^{30} + 11523689449 x^{29} - 86102308596 x^{28} - 36476021474 x^{27} + 368042106614 x^{26} + 66266177672 x^{25} - 1197228116258 x^{24} + 511532340 x^{23} + 2959992694385 x^{22} - 394556499523 x^{21} - 5529580093472 x^{20} + 1265687493078 x^{19} + 7719490702430 x^{18} - 2271295840968 x^{17} - 7914078560767 x^{16} + 2645087732416 x^{15} + 5804631677810 x^{14} - 2048306537737 x^{13} - 2929193071000 x^{12} + 1039444940408 x^{11} + 957147248584 x^{10} - 333732759991 x^{9} - 182597145321 x^{8} + 64595300484 x^{7} + 16257686900 x^{6} - 6916885901 x^{5} - 166352258 x^{4} + 298954277 x^{3} - 40977465 x^{2} + 2118031 x - 36851 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(165\!\cdots\!961\)\(\medspace = 11^{36}\cdot 37^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $168.68$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $11, 37$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(407=11\cdot 37\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{407}(256,·)$, $\chi_{407}(1,·)$, $\chi_{407}(386,·)$, $\chi_{407}(342,·)$, $\chi_{407}(9,·)$, $\chi_{407}(12,·)$, $\chi_{407}(269,·)$, $\chi_{407}(16,·)$, $\chi_{407}(26,·)$, $\chi_{407}(155,·)$, $\chi_{407}(157,·)$, $\chi_{407}(158,·)$, $\chi_{407}(34,·)$, $\chi_{407}(38,·)$, $\chi_{407}(174,·)$, $\chi_{407}(47,·)$, $\chi_{407}(49,·)$, $\chi_{407}(306,·)$, $\chi_{407}(53,·)$, $\chi_{407}(137,·)$, $\chi_{407}(312,·)$, $\chi_{407}(181,·)$, $\chi_{407}(192,·)$, $\chi_{407}(322,·)$, $\chi_{407}(70,·)$, $\chi_{407}(71,·)$, $\chi_{407}(201,·)$, $\chi_{407}(75,·)$, $\chi_{407}(334,·)$, $\chi_{407}(81,·)$, $\chi_{407}(86,·)$, $\chi_{407}(345,·)$, $\chi_{407}(218,·)$, $\chi_{407}(223,·)$, $\chi_{407}(144,·)$, $\chi_{407}(100,·)$, $\chi_{407}(229,·)$, $\chi_{407}(232,·)$, $\chi_{407}(234,·)$, $\chi_{407}(108,·)$, $\chi_{407}(366,·)$, $\chi_{407}(367,·)$, $\chi_{407}(268,·)$, $\chi_{407}(377,·)$, $\chi_{407}(379,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{43} a^{28} - \frac{17}{43} a^{27} + \frac{16}{43} a^{26} - \frac{17}{43} a^{25} - \frac{6}{43} a^{24} + \frac{5}{43} a^{23} - \frac{17}{43} a^{22} - \frac{4}{43} a^{21} + \frac{20}{43} a^{20} - \frac{14}{43} a^{19} - \frac{16}{43} a^{18} - \frac{9}{43} a^{17} + \frac{16}{43} a^{16} + \frac{4}{43} a^{15} + \frac{11}{43} a^{14} + \frac{9}{43} a^{13} + \frac{12}{43} a^{12} - \frac{12}{43} a^{11} - \frac{17}{43} a^{10} + \frac{7}{43} a^{9} - \frac{21}{43} a^{8} + \frac{1}{43} a^{7} - \frac{10}{43} a^{6} + \frac{1}{43} a^{5} - \frac{1}{43} a^{4} + \frac{1}{43} a^{3} - \frac{7}{43} a^{2} - \frac{17}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{29} - \frac{15}{43} a^{27} - \frac{3}{43} a^{26} + \frac{6}{43} a^{25} - \frac{11}{43} a^{24} - \frac{18}{43} a^{23} + \frac{8}{43} a^{22} - \frac{5}{43} a^{21} - \frac{18}{43} a^{20} + \frac{4}{43} a^{19} + \frac{20}{43} a^{18} - \frac{8}{43} a^{17} + \frac{18}{43} a^{16} - \frac{7}{43} a^{15} - \frac{19}{43} a^{14} - \frac{7}{43} a^{13} + \frac{20}{43} a^{12} - \frac{6}{43} a^{11} + \frac{19}{43} a^{10} + \frac{12}{43} a^{9} - \frac{12}{43} a^{8} + \frac{7}{43} a^{7} + \frac{3}{43} a^{6} + \frac{16}{43} a^{5} - \frac{16}{43} a^{4} + \frac{10}{43} a^{3} - \frac{7}{43} a^{2} + \frac{12}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{30} - \frac{12}{43} a^{26} - \frac{8}{43} a^{25} + \frac{21}{43} a^{24} - \frac{3}{43} a^{23} - \frac{2}{43} a^{22} + \frac{8}{43} a^{21} + \frac{3}{43} a^{20} - \frac{18}{43} a^{19} + \frac{10}{43} a^{18} + \frac{12}{43} a^{17} + \frac{18}{43} a^{16} - \frac{2}{43} a^{15} - \frac{14}{43} a^{14} - \frac{17}{43} a^{13} + \frac{2}{43} a^{12} + \frac{11}{43} a^{11} + \frac{15}{43} a^{10} + \frac{7}{43} a^{9} - \frac{7}{43} a^{8} + \frac{18}{43} a^{7} - \frac{5}{43} a^{6} - \frac{1}{43} a^{5} - \frac{5}{43} a^{4} + \frac{8}{43} a^{3} - \frac{7}{43} a^{2} + \frac{3}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{31} - \frac{12}{43} a^{27} - \frac{8}{43} a^{26} + \frac{21}{43} a^{25} - \frac{3}{43} a^{24} - \frac{2}{43} a^{23} + \frac{8}{43} a^{22} + \frac{3}{43} a^{21} - \frac{18}{43} a^{20} + \frac{10}{43} a^{19} + \frac{12}{43} a^{18} + \frac{18}{43} a^{17} - \frac{2}{43} a^{16} - \frac{14}{43} a^{15} - \frac{17}{43} a^{14} + \frac{2}{43} a^{13} + \frac{11}{43} a^{12} + \frac{15}{43} a^{11} + \frac{7}{43} a^{10} - \frac{7}{43} a^{9} + \frac{18}{43} a^{8} - \frac{5}{43} a^{7} - \frac{1}{43} a^{6} - \frac{5}{43} a^{5} + \frac{8}{43} a^{4} - \frac{7}{43} a^{3} + \frac{3}{43} a^{2}$, $\frac{1}{43} a^{32} + \frac{3}{43} a^{27} - \frac{2}{43} a^{26} + \frac{8}{43} a^{25} + \frac{12}{43} a^{24} - \frac{18}{43} a^{23} + \frac{14}{43} a^{22} + \frac{20}{43} a^{21} - \frac{8}{43} a^{20} + \frac{16}{43} a^{19} - \frac{2}{43} a^{18} + \frac{19}{43} a^{17} + \frac{6}{43} a^{16} - \frac{12}{43} a^{15} + \frac{5}{43} a^{14} - \frac{10}{43} a^{13} - \frac{13}{43} a^{12} - \frac{8}{43} a^{11} + \frac{4}{43} a^{10} + \frac{16}{43} a^{9} + \frac{1}{43} a^{8} + \frac{11}{43} a^{7} + \frac{4}{43} a^{6} + \frac{20}{43} a^{5} - \frac{19}{43} a^{4} + \frac{15}{43} a^{3} + \frac{2}{43} a^{2} + \frac{11}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{33} + \frac{6}{43} a^{27} + \frac{3}{43} a^{26} + \frac{20}{43} a^{25} - \frac{1}{43} a^{23} - \frac{15}{43} a^{22} + \frac{4}{43} a^{21} - \frac{1}{43} a^{20} - \frac{3}{43} a^{19} - \frac{19}{43} a^{18} - \frac{10}{43} a^{17} - \frac{17}{43} a^{16} - \frac{7}{43} a^{15} + \frac{3}{43} a^{13} - \frac{1}{43} a^{12} - \frac{3}{43} a^{11} - \frac{19}{43} a^{10} - \frac{20}{43} a^{9} - \frac{12}{43} a^{8} + \frac{1}{43} a^{7} + \frac{7}{43} a^{6} + \frac{21}{43} a^{5} + \frac{18}{43} a^{4} - \frac{1}{43} a^{3} - \frac{11}{43} a^{2} + \frac{8}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{34} + \frac{19}{43} a^{27} + \frac{10}{43} a^{26} + \frac{16}{43} a^{25} - \frac{8}{43} a^{24} - \frac{2}{43} a^{23} + \frac{20}{43} a^{22} - \frac{20}{43} a^{21} + \frac{6}{43} a^{20} - \frac{21}{43} a^{19} - \frac{6}{43} a^{17} - \frac{17}{43} a^{16} + \frac{19}{43} a^{15} - \frac{20}{43} a^{14} - \frac{12}{43} a^{13} + \frac{11}{43} a^{12} + \frac{10}{43} a^{11} - \frac{4}{43} a^{10} - \frac{11}{43} a^{9} - \frac{2}{43} a^{8} + \frac{1}{43} a^{7} - \frac{5}{43} a^{6} + \frac{12}{43} a^{5} + \frac{5}{43} a^{4} - \frac{17}{43} a^{3} + \frac{7}{43} a^{2} + \frac{16}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{35} - \frac{11}{43} a^{27} + \frac{13}{43} a^{26} + \frac{14}{43} a^{25} - \frac{17}{43} a^{24} + \frac{11}{43} a^{23} + \frac{2}{43} a^{22} - \frac{4}{43} a^{21} - \frac{14}{43} a^{20} + \frac{8}{43} a^{19} - \frac{3}{43} a^{18} - \frac{18}{43} a^{17} + \frac{16}{43} a^{16} - \frac{10}{43} a^{15} - \frac{6}{43} a^{14} + \frac{12}{43} a^{13} - \frac{3}{43} a^{12} + \frac{9}{43} a^{11} + \frac{11}{43} a^{10} - \frac{6}{43} a^{9} + \frac{13}{43} a^{8} + \frac{19}{43} a^{7} - \frac{13}{43} a^{6} - \frac{14}{43} a^{5} + \frac{2}{43} a^{4} - \frac{12}{43} a^{3} + \frac{20}{43} a^{2} - \frac{21}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{36} - \frac{2}{43} a^{27} + \frac{18}{43} a^{26} + \frac{11}{43} a^{25} - \frac{12}{43} a^{24} + \frac{14}{43} a^{23} - \frac{19}{43} a^{22} - \frac{15}{43} a^{21} + \frac{13}{43} a^{20} + \frac{15}{43} a^{19} + \frac{21}{43} a^{18} + \frac{3}{43} a^{17} - \frac{6}{43} a^{16} - \frac{5}{43} a^{15} + \frac{4}{43} a^{14} + \frac{10}{43} a^{13} + \frac{12}{43} a^{12} + \frac{8}{43} a^{11} - \frac{21}{43} a^{10} + \frac{4}{43} a^{9} + \frac{3}{43} a^{8} - \frac{2}{43} a^{7} + \frac{5}{43} a^{6} + \frac{13}{43} a^{5} + \frac{20}{43} a^{4} - \frac{12}{43} a^{3} - \frac{12}{43} a^{2} - \frac{15}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{37} - \frac{16}{43} a^{27} - \frac{3}{43} a^{25} + \frac{2}{43} a^{24} - \frac{9}{43} a^{23} - \frac{6}{43} a^{22} + \frac{5}{43} a^{21} + \frac{12}{43} a^{20} - \frac{7}{43} a^{19} + \frac{14}{43} a^{18} + \frac{19}{43} a^{17} - \frac{16}{43} a^{16} + \frac{12}{43} a^{15} - \frac{11}{43} a^{14} - \frac{13}{43} a^{13} - \frac{11}{43} a^{12} - \frac{2}{43} a^{11} + \frac{13}{43} a^{10} + \frac{17}{43} a^{9} - \frac{1}{43} a^{8} + \frac{7}{43} a^{7} - \frac{7}{43} a^{6} - \frac{21}{43} a^{5} - \frac{14}{43} a^{4} - \frac{10}{43} a^{3} + \frac{14}{43} a^{2} + \frac{9}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{38} - \frac{14}{43} a^{27} - \frac{5}{43} a^{26} - \frac{12}{43} a^{25} - \frac{19}{43} a^{24} - \frac{12}{43} a^{23} - \frac{9}{43} a^{22} - \frac{9}{43} a^{21} + \frac{12}{43} a^{20} + \frac{5}{43} a^{19} + \frac{21}{43} a^{18} + \frac{12}{43} a^{17} + \frac{10}{43} a^{16} + \frac{10}{43} a^{15} - \frac{9}{43} a^{14} + \frac{4}{43} a^{13} + \frac{18}{43} a^{12} - \frac{7}{43} a^{11} + \frac{3}{43} a^{10} - \frac{18}{43} a^{9} + \frac{15}{43} a^{8} + \frac{9}{43} a^{7} - \frac{9}{43} a^{6} + \frac{2}{43} a^{5} + \frac{17}{43} a^{4} - \frac{13}{43} a^{3} - \frac{17}{43} a^{2} - \frac{14}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{39} + \frac{15}{43} a^{27} - \frac{3}{43} a^{26} + \frac{1}{43} a^{25} - \frac{10}{43} a^{24} + \frac{18}{43} a^{23} + \frac{11}{43} a^{22} - \frac{1}{43} a^{21} - \frac{16}{43} a^{20} - \frac{3}{43} a^{19} + \frac{3}{43} a^{18} + \frac{13}{43} a^{17} + \frac{19}{43} a^{16} + \frac{4}{43} a^{15} - \frac{14}{43} a^{14} + \frac{15}{43} a^{13} - \frac{11}{43} a^{12} + \frac{7}{43} a^{11} + \frac{2}{43} a^{10} - \frac{16}{43} a^{9} + \frac{16}{43} a^{8} + \frac{5}{43} a^{7} - \frac{9}{43} a^{6} - \frac{12}{43} a^{5} + \frac{16}{43} a^{4} - \frac{3}{43} a^{3} + \frac{17}{43} a^{2} + \frac{20}{43} a$, $\frac{1}{57319} a^{40} + \frac{340}{57319} a^{39} - \frac{296}{57319} a^{38} - \frac{551}{57319} a^{37} - \frac{12}{1333} a^{36} - \frac{608}{57319} a^{35} - \frac{289}{57319} a^{34} - \frac{531}{57319} a^{33} - \frac{377}{57319} a^{32} - \frac{350}{57319} a^{31} - \frac{16}{1849} a^{30} - \frac{173}{57319} a^{29} - \frac{420}{57319} a^{28} + \frac{14292}{57319} a^{27} - \frac{2798}{57319} a^{26} - \frac{11683}{57319} a^{25} - \frac{12316}{57319} a^{24} - \frac{6179}{57319} a^{23} + \frac{13602}{57319} a^{22} - \frac{6720}{57319} a^{21} - \frac{25836}{57319} a^{20} - \frac{22782}{57319} a^{19} - \frac{17500}{57319} a^{18} + \frac{14586}{57319} a^{17} + \frac{17167}{57319} a^{16} + \frac{13062}{57319} a^{15} + \frac{452}{1333} a^{14} - \frac{16773}{57319} a^{13} - \frac{4232}{57319} a^{12} - \frac{27069}{57319} a^{11} - \frac{15538}{57319} a^{10} - \frac{26207}{57319} a^{9} - \frac{19815}{57319} a^{8} - \frac{24798}{57319} a^{7} + \frac{9246}{57319} a^{6} + \frac{20132}{57319} a^{5} + \frac{399}{57319} a^{4} - \frac{8926}{57319} a^{3} - \frac{16930}{57319} a^{2} + \frac{13478}{57319} a - \frac{392}{1333}$, $\frac{1}{57319} a^{41} + \frac{75}{57319} a^{39} + \frac{114}{57319} a^{38} + \frac{204}{57319} a^{37} + \frac{209}{57319} a^{36} - \frac{184}{57319} a^{35} + \frac{420}{57319} a^{34} + \frac{208}{57319} a^{33} - \frac{138}{57319} a^{32} - \frac{133}{57319} a^{31} + \frac{509}{57319} a^{30} - \frac{252}{57319} a^{29} - \frac{202}{57319} a^{28} - \frac{9958}{57319} a^{27} + \frac{17201}{57319} a^{26} - \frac{28432}{57319} a^{25} + \frac{20968}{57319} a^{24} - \frac{23670}{57319} a^{23} + \frac{25}{1849} a^{22} + \frac{6194}{57319} a^{21} + \frac{8980}{57319} a^{20} + \frac{979}{57319} a^{19} + \frac{325}{1849} a^{18} - \frac{19304}{57319} a^{17} + \frac{159}{57319} a^{16} + \frac{14580}{57319} a^{15} + \frac{17326}{57319} a^{14} - \frac{10651}{57319} a^{13} - \frac{27829}{57319} a^{12} + \frac{26213}{57319} a^{11} - \frac{11303}{57319} a^{10} + \frac{26115}{57319} a^{9} - \frac{24680}{57319} a^{8} - \frac{11987}{57319} a^{7} + \frac{5043}{57319} a^{6} + \frac{15137}{57319} a^{5} + \frac{15374}{57319} a^{4} + \frac{11995}{57319} a^{3} + \frac{25781}{57319} a^{2} + \frac{27467}{57319} a - \frac{20}{1333}$, $\frac{1}{57319} a^{42} - \frac{59}{57319} a^{39} - \frac{257}{57319} a^{38} + \frac{211}{57319} a^{37} - \frac{141}{57319} a^{36} - \frac{635}{57319} a^{35} + \frac{555}{57319} a^{34} - \frac{303}{57319} a^{33} + \frac{149}{57319} a^{32} + \frac{99}{57319} a^{31} - \frac{376}{57319} a^{30} - \frac{557}{57319} a^{29} + \frac{214}{57319} a^{28} + \frac{15700}{57319} a^{27} - \frac{26530}{57319} a^{26} - \frac{14579}{57319} a^{25} - \frac{5077}{57319} a^{24} + \frac{18978}{57319} a^{23} + \frac{27117}{57319} a^{22} - \frac{13555}{57319} a^{21} - \frac{27496}{57319} a^{20} - \frac{26172}{57319} a^{19} + \frac{393}{1849} a^{18} - \frac{265}{1333} a^{17} + \frac{6735}{57319} a^{16} - \frac{27891}{57319} a^{15} + \frac{12612}{57319} a^{14} + \frac{2453}{57319} a^{13} - \frac{379}{1333} a^{12} - \frac{11287}{57319} a^{11} - \frac{237}{57319} a^{10} + \frac{21325}{57319} a^{9} + \frac{22501}{57319} a^{8} + \frac{10690}{57319} a^{7} - \frac{13146}{57319} a^{6} - \frac{22894}{57319} a^{5} - \frac{28594}{57319} a^{4} + \frac{3404}{57319} a^{3} + \frac{4207}{57319} a^{2} + \frac{6702}{57319} a + \frac{74}{1333}$, $\frac{1}{1461577181} a^{43} - \frac{4607}{1461577181} a^{42} - \frac{143}{33990167} a^{41} - \frac{6121}{1461577181} a^{40} + \frac{12232346}{1461577181} a^{39} - \frac{10937786}{1461577181} a^{38} + \frac{14304916}{1461577181} a^{37} - \frac{9903764}{1461577181} a^{36} + \frac{3022959}{1461577181} a^{35} - \frac{4406262}{1461577181} a^{34} - \frac{753644}{1461577181} a^{33} + \frac{4834995}{1461577181} a^{32} - \frac{7030573}{1461577181} a^{31} + \frac{16844776}{1461577181} a^{30} + \frac{4019540}{1461577181} a^{29} - \frac{10557382}{1461577181} a^{28} + \frac{150407150}{1461577181} a^{27} + \frac{380353565}{1461577181} a^{26} - \frac{659476444}{1461577181} a^{25} - \frac{569263956}{1461577181} a^{24} - \frac{14987614}{1461577181} a^{23} + \frac{634865817}{1461577181} a^{22} - \frac{69278948}{1461577181} a^{21} + \frac{83426543}{1461577181} a^{20} + \frac{679337840}{1461577181} a^{19} - \frac{9269335}{1461577181} a^{18} + \frac{721880983}{1461577181} a^{17} + \frac{101331213}{1461577181} a^{16} - \frac{259682296}{1461577181} a^{15} + \frac{522221809}{1461577181} a^{14} - \frac{441646264}{1461577181} a^{13} + \frac{401131567}{1461577181} a^{12} - \frac{723388531}{1461577181} a^{11} - \frac{430905681}{1461577181} a^{10} + \frac{2487646}{1461577181} a^{9} - \frac{128452046}{1461577181} a^{8} - \frac{276466266}{1461577181} a^{7} + \frac{637619993}{1461577181} a^{6} - \frac{445333597}{1461577181} a^{5} + \frac{372686001}{1461577181} a^{4} - \frac{19072092}{47147651} a^{3} - \frac{353475088}{1461577181} a^{2} - \frac{680900602}{1461577181} a - \frac{13842966}{33990167}$, $\frac{1}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{44} - \frac{7128281770577770621192177434811712999750201919849999150537246647026254197573575960297818340843263070802921369478534537815820941579803983908730548136218888822739292412851}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{43} - \frac{156343215527271428781635968757144847649847443241990138112344190649370271315660289804089449462170704181890432065402940715183881092772828374971444963669202672306420343353212844}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{42} + \frac{222774303634791399800255774480241599546005408340513174237652530874097692511619676645133313664953768107939425856605225808572344638604716714811578834079332306803987242553499918}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{41} - \frac{170250855701698510045587992126161411427275487633861446443312703694262887551967433310043005687371699897729971880941601286111230166817045467542703440670866899820689018154586425}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{40} + \frac{42622182897406199573374719407393047248913841131713272236276880230380503836974765952851108542698149660281089463710936429493549945671146621335512413094372804793185046142648150017}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{39} - \frac{522672698344594580714916559244098920058226889220197961901188022334923126245187646607971032840895369547909812003700310975796109106846388456772419842621865715926029746814412008799}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{38} + \frac{392311672228545689117357348332830765280579321548180657415454020080521614487851491813591921360977021649439991504533016426021027140136968213234351295051988841686439577826040363204}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{37} - \frac{6198214696743348645215636528684315530959634106570064822365325432153147963214220108495034653826749643481678565993785114763594427524528108902613572990714955921234176303335793448}{1457950953781132399821300477568226841424821258749042988807616042922397756175448480666610256371408990158962625971935871291437952507017566589335826285588613355416299829171814737019} a^{36} + \frac{449525613555177179913112571774481932231038731372933587766020184739253601437513250082977981859206741998176623033294855804913222409767715819291798554172549204679526578207292590346}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{35} - \frac{186006454445097693496970067582954090905291217651159687763380290315224710481616463362787083153839479955123000161516958916632877633406361309417848637328431964618545977571777914557}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{34} + \frac{238674762297309098416885025478528122720424751963523633357708488169889668327712820691488419377037672121621945084794821422302387486926292408455706423813935427876188189954956456378}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{33} + \frac{88842466693750002581236252495008544889694773748006769665183330077179486595484555895556020519057190840569397835778995595835198935305523544514373689846462213071580498201136672132}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{32} - \frac{254702180906864212753192290573830260494262652659647412022603970857879315491852662916631011658967607450587728917138115378159665581447505098581962462993096971189019052902932501218}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{31} - \frac{103834525332324863575732018277794113600935195362345134216078603624008280705614396959176698375710537190149141633309746309392595672974121275122107902182923732061313213337851194573}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{30} + \frac{166911543054368277310551507271189173027991311695752234480756182452664870660115946631898075170447499900356235736081310490008312333227047401162694004032526727796063609272587683696}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{29} - \frac{203257279302522879455634510308812285309705644613748941564946276027003427721576930454022402157269643639718447646574758036853427630971643956009405592002112347864359294728738874345}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{28} - \frac{696867514401888867851104746753127495595364013918317770824772581526232249111293103527785751863896862172096980078543288674844839303386622600726999759392225646775482211857931185490}{1457950953781132399821300477568226841424821258749042988807616042922397756175448480666610256371408990158962625971935871291437952507017566589335826285588613355416299829171814737019} a^{27} + \frac{773162807097020135283434134349330804699657456310455639932101236229195640488319966444574014361352314583138831230185401525696575945887400856728170981174724423017429631925518807946}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{26} + \frac{1227398183352523062575743315266334859486045962157808654121819689672329074333501250642738814874949262012005572410185665726531506682387434055854635601545093525874863571885825279144}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{25} - \frac{15215298455392572922536608824220218284391668545006191606545309761654438376500942100591002634661896255314744034049022207892159675774037742166061666837845364119519900045935221228187}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{24} + \frac{488111520036757222266655325011827613882783505189276844100971383637246750388539126340194744330424569822902884301173085441907130444725349775895786372422275376618190856866111107536}{1457950953781132399821300477568226841424821258749042988807616042922397756175448480666610256371408990158962625971935871291437952507017566589335826285588613355416299829171814737019} a^{23} + \frac{13212142853877289782078869792309437542603986290186017130159080790481388283497957972366249018109726434625287630509980501030344530594003780266092260809271144921503348963368603164447}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{22} + \frac{19097887770556479799473448621421076528410649345085634075099142469660958612898357921460699805386623628544743821968520257611809805517631812470256775780597414951192074136057280868463}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{21} - \frac{17320533463577080857121496157829084907112846441157939177945592004986015364165520006832468014176882257954809328696092780122773857773496128677869634756845076271050015598948256391628}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{20} + \frac{15612807345604675735051833925866100475682663090587969868992880519078393479088808072757903564095148788865412728713733232303717949777824126303431126931944227732114284191761201518239}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{19} + \frac{20647411143684671183973336785280397263145878546508113018725179870501305408597625778718009043102119266399104631741500621225802582712861687122296345883077585336334772171128621519330}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{18} - \frac{522628092034220888412625073000196976653741656297036865332845364827716694863763375553550141056341437291167396778161494205088110377638280801841010930411006811824116818412200944360}{1051080920167793125452565460572442606608592070260937968675258077455682103289276811643370184825899504533205614072790976977548291342268478238823502671005744512044309179170378066223} a^{17} + \frac{229193166609886251127813498350168170068616046540930354902601808125998757890839932223263734412532920269332010370057011144753287890939428957490179300744847517298999531874899378309}{1051080920167793125452565460572442606608592070260937968675258077455682103289276811643370184825899504533205614072790976977548291342268478238823502671005744512044309179170378066223} a^{16} - \frac{8534575884805573527112357504986146651929931504935999338840964706368592026106882615913019741690836077143613109636162066252487523949847246295605546010133395344156586104585793152768}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{15} - \frac{6032736108816482215502822788785473107204471915228636483865978930159544247630013771015089618656663645139919100928290915084669852635118711266941011930895417001065262590650618137522}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{14} + \frac{22262526176231897003689075279391089035321471057220564299518693349052324146269594898901889169150992769748661154659800627003954015213039389950693399542468333927492028364979671104074}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{13} - \frac{13933396560993455111874847573577383817016305450993253165782865723721302897220151777186968863625474439131522207587138284690814556320954038674104477115864293099559624389584040378480}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{12} - \frac{7024695256761112257378565149870493875851781857481033253548404262449165957030425034711053906758023540374372543895565412351023288746555420288105710013159285896416620431285777223757}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{11} + \frac{7022027449349875691848620272010172382334678116126101088987607400093845918783014417123980645413871428881957735725459805577123829239551914825413489981572193725488268899285463171493}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{10} + \frac{20535598087962450015232003978090012053541357485162979195525929558660540679408928386033523302026531741381957718835480402822774851758918653622372262937327355309797970561012293637357}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{9} - \frac{17435246666934008550302673716471756127019376935990168379894819055537268604785079724147749735484148692231422083666243507177835759653860095665678368973677371055106836329991013192350}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{8} + \frac{1173821201885240777257506648812663737490083247279524817603414588898939182258971582700182148289547368358211922853571907001375614817409043529103150538335065691775582220867805558903}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{7} - \frac{1729068273467917776006123810532908866032189342447786609034589051182483053647370160384351117614899185222391050741808725832192106182446735743721489928318546088745837356625860117602}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{6} + \frac{18432259599796714266308522719256492953709506338521398526918745659291195077780259460774242150959482654816817809430967541813166794396719846071629732346979375657192109478828749402163}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{5} - \frac{20355846708226724450882214341884290237429927898689790518607339509943025977837221771029307443880075905911517854731736503311861893388402124127857831102047931492586098521704887835928}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{4} - \frac{3722395695628863468300611500922599823664482496585843459910263804054616551597173256390193014245308111681444634472655368686033465940474076601248921207793888715975290132905575805748}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{3} - \frac{16434721873503552724583609710908319218001729725960462064681609253702677204659088307061509774198281201213292761148247740139982239399517554581683846449928709469029512485372741127537}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a^{2} - \frac{8381674011302871561973295853609940970560151946446161310704840548073221089144644784474349519399194767167893718525213370618519381241225796094337196468561374211276561984017225603597}{45196479567215104394460314804615032084169459021220332653036097330594330441438902900664917947513678694927841405130012010034576527717544564269410614853247014017905294704326256847589} a + \frac{241174289553839164177869516783065013633219870640231315604851600163583049388948207463922180008332274202447766160807695767554813315080564986464304373746494114863188021530176100435}{1051080920167793125452565460572442606608592070260937968675258077455682103289276811643370184825899504533205614072790976977548291342268478238823502671005744512044309179170378066223}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 1875607941327826500000000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{45}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1875607941327826500000000000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{16527441490674381067348948889146522048718287580785548225593089356497792068001085725808918264262962961}}\approx 0.256660512955590$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.1369.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 9.9.3512479453921.1, 15.15.15091397646253318362996493129.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ $45$ $45$ $45$ R $45$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{9}$ R $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{45}$ $15^{3}$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$11$11.15.12.1$x^{15} + 165 x^{10} + 5324 x^{5} + 323433$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
11.15.12.1$x^{15} + 165 x^{10} + 5324 x^{5} + 323433$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
11.15.12.1$x^{15} + 165 x^{10} + 5324 x^{5} + 323433$$5$$3$$12$$C_{15}$$[\ ]_{5}^{3}$
37Data not computed