Properties

Label 45.45.162...641.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $1.623\times 10^{109}$
Root discriminant $267.24$
Ramified primes $19, 41$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 4*x^44 - 182*x^43 + 580*x^42 + 15229*x^41 - 35784*x^40 - 771497*x^39 + 1192202*x^38 + 26249095*x^37 - 21282586*x^36 - 630350986*x^35 + 101314575*x^34 + 10957230656*x^33 + 4486413137*x^32 - 139417559409*x^31 - 128053969474*x^30 + 1299055132435*x^29 + 1816090021004*x^28 - 8766783201604*x^27 - 16658946907076*x^26 + 41634175647095*x^25 + 105419181053468*x^24 - 129801264303153*x^23 - 468263377533416*x^22 + 210417608171782*x^21 + 1454214352745320*x^20 + 113648989333176*x^19 - 3097196961798623*x^18 - 1450605309591570*x^17 + 4363534978783893*x^16 + 3500531720706214*x^15 - 3807203164617687*x^14 - 4497701352355764*x^13 + 1760587964112158*x^12 + 3382378542501223*x^11 - 165688879950870*x^10 - 1480388191573288*x^9 - 205996027224400*x^8 + 358811476146228*x^7 + 88160595048203*x^6 - 42989403930482*x^5 - 13014696239433*x^4 + 1879419740489*x^3 + 646702182070*x^2 + 19352782133*x - 2280393187)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 4*x^44 - 182*x^43 + 580*x^42 + 15229*x^41 - 35784*x^40 - 771497*x^39 + 1192202*x^38 + 26249095*x^37 - 21282586*x^36 - 630350986*x^35 + 101314575*x^34 + 10957230656*x^33 + 4486413137*x^32 - 139417559409*x^31 - 128053969474*x^30 + 1299055132435*x^29 + 1816090021004*x^28 - 8766783201604*x^27 - 16658946907076*x^26 + 41634175647095*x^25 + 105419181053468*x^24 - 129801264303153*x^23 - 468263377533416*x^22 + 210417608171782*x^21 + 1454214352745320*x^20 + 113648989333176*x^19 - 3097196961798623*x^18 - 1450605309591570*x^17 + 4363534978783893*x^16 + 3500531720706214*x^15 - 3807203164617687*x^14 - 4497701352355764*x^13 + 1760587964112158*x^12 + 3382378542501223*x^11 - 165688879950870*x^10 - 1480388191573288*x^9 - 205996027224400*x^8 + 358811476146228*x^7 + 88160595048203*x^6 - 42989403930482*x^5 - 13014696239433*x^4 + 1879419740489*x^3 + 646702182070*x^2 + 19352782133*x - 2280393187, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-2280393187, 19352782133, 646702182070, 1879419740489, -13014696239433, -42989403930482, 88160595048203, 358811476146228, -205996027224400, -1480388191573288, -165688879950870, 3382378542501223, 1760587964112158, -4497701352355764, -3807203164617687, 3500531720706214, 4363534978783893, -1450605309591570, -3097196961798623, 113648989333176, 1454214352745320, 210417608171782, -468263377533416, -129801264303153, 105419181053468, 41634175647095, -16658946907076, -8766783201604, 1816090021004, 1299055132435, -128053969474, -139417559409, 4486413137, 10957230656, 101314575, -630350986, -21282586, 26249095, 1192202, -771497, -35784, 15229, 580, -182, -4, 1]);
 

\( x^{45} - 4 x^{44} - 182 x^{43} + 580 x^{42} + 15229 x^{41} - 35784 x^{40} - 771497 x^{39} + 1192202 x^{38} + 26249095 x^{37} - 21282586 x^{36} - 630350986 x^{35} + 101314575 x^{34} + 10957230656 x^{33} + 4486413137 x^{32} - 139417559409 x^{31} - 128053969474 x^{30} + 1299055132435 x^{29} + 1816090021004 x^{28} - 8766783201604 x^{27} - 16658946907076 x^{26} + 41634175647095 x^{25} + 105419181053468 x^{24} - 129801264303153 x^{23} - 468263377533416 x^{22} + 210417608171782 x^{21} + 1454214352745320 x^{20} + 113648989333176 x^{19} - 3097196961798623 x^{18} - 1450605309591570 x^{17} + 4363534978783893 x^{16} + 3500531720706214 x^{15} - 3807203164617687 x^{14} - 4497701352355764 x^{13} + 1760587964112158 x^{12} + 3382378542501223 x^{11} - 165688879950870 x^{10} - 1480388191573288 x^{9} - 205996027224400 x^{8} + 358811476146228 x^{7} + 88160595048203 x^{6} - 42989403930482 x^{5} - 13014696239433 x^{4} + 1879419740489 x^{3} + 646702182070 x^{2} + 19352782133 x - 2280393187 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(162\!\cdots\!641\)\(\medspace = 19^{40}\cdot 41^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $267.24$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $19, 41$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(779=19\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{779}(256,·)$, $\chi_{779}(1,·)$, $\chi_{779}(387,·)$, $\chi_{779}(385,·)$, $\chi_{779}(264,·)$, $\chi_{779}(139,·)$, $\chi_{779}(652,·)$, $\chi_{779}(16,·)$, $\chi_{779}(529,·)$, $\chi_{779}(406,·)$, $\chi_{779}(666,·)$, $\chi_{779}(283,·)$, $\chi_{779}(543,·)$, $\chi_{779}(672,·)$, $\chi_{779}(674,·)$, $\chi_{779}(549,·)$, $\chi_{779}(42,·)$, $\chi_{779}(305,·)$, $\chi_{779}(180,·)$, $\chi_{779}(693,·)$, $\chi_{779}(182,·)$, $\chi_{779}(329,·)$, $\chi_{779}(575,·)$, $\chi_{779}(707,·)$, $\chi_{779}(324,·)$, $\chi_{779}(201,·)$, $\chi_{779}(631,·)$, $\chi_{779}(461,·)$, $\chi_{779}(590,·)$, $\chi_{779}(83,·)$, $\chi_{779}(206,·)$, $\chi_{779}(215,·)$, $\chi_{779}(346,·)$, $\chi_{779}(92,·)$, $\chi_{779}(739,·)$, $\chi_{779}(100,·)$, $\chi_{779}(657,·)$, $\chi_{779}(748,·)$, $\chi_{779}(365,·)$, $\chi_{779}(625,·)$, $\chi_{779}(370,·)$, $\chi_{779}(467,·)$, $\chi_{779}(119,·)$, $\chi_{779}(633,·)$, $\chi_{779}(510,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{3} a^{27} - \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{28} - \frac{1}{3} a^{22} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{29} - \frac{1}{3} a^{23} + \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{30} - \frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{31} - \frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{19} + \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{3} a^{32} - \frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{24} - \frac{1}{3} a^{20} + \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5}$, $\frac{1}{3} a^{33} + \frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{34} + \frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{35} + \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{19} + \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{9} a^{36} + \frac{1}{9} a^{35} - \frac{1}{9} a^{34} - \frac{1}{9} a^{33} + \frac{1}{9} a^{32} - \frac{1}{9} a^{31} - \frac{1}{9} a^{30} - \frac{1}{9} a^{29} - \frac{1}{9} a^{28} + \frac{1}{9} a^{26} - \frac{2}{9} a^{23} - \frac{1}{9} a^{22} + \frac{4}{9} a^{21} + \frac{4}{9} a^{20} - \frac{2}{9} a^{19} - \frac{1}{9} a^{18} + \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{4}{9} a^{14} - \frac{4}{9} a^{13} - \frac{1}{3} a^{12} - \frac{1}{9} a^{11} + \frac{1}{9} a^{10} + \frac{2}{9} a^{9} + \frac{1}{9} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{2}{9} a^{6} + \frac{4}{9} a^{5} + \frac{2}{9} a^{4} - \frac{4}{9} a^{3} + \frac{4}{9} a^{2} + \frac{1}{9} a - \frac{1}{9}$, $\frac{1}{9} a^{37} + \frac{1}{9} a^{35} - \frac{1}{9} a^{33} + \frac{1}{9} a^{32} + \frac{1}{9} a^{28} + \frac{1}{9} a^{27} - \frac{4}{9} a^{26} - \frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{9} a^{24} + \frac{4}{9} a^{23} - \frac{4}{9} a^{22} - \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{9} a^{19} - \frac{2}{9} a^{18} + \frac{1}{3} a^{16} - \frac{2}{9} a^{15} - \frac{2}{9} a^{14} + \frac{1}{9} a^{13} - \frac{4}{9} a^{12} - \frac{4}{9} a^{11} + \frac{1}{9} a^{10} - \frac{4}{9} a^{9} - \frac{1}{9} a^{8} - \frac{1}{9} a^{7} - \frac{4}{9} a^{6} + \frac{1}{9} a^{5} - \frac{1}{9} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{9} a - \frac{2}{9}$, $\frac{1}{9} a^{38} - \frac{1}{9} a^{35} - \frac{1}{9} a^{33} - \frac{1}{9} a^{32} + \frac{1}{9} a^{31} + \frac{1}{9} a^{30} - \frac{1}{9} a^{29} - \frac{1}{9} a^{28} - \frac{1}{9} a^{27} - \frac{4}{9} a^{26} - \frac{2}{9} a^{25} + \frac{4}{9} a^{24} + \frac{1}{9} a^{23} + \frac{1}{9} a^{22} - \frac{4}{9} a^{21} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{19} + \frac{1}{9} a^{18} + \frac{1}{3} a^{17} - \frac{2}{9} a^{16} + \frac{4}{9} a^{15} + \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{3} a^{13} - \frac{4}{9} a^{12} - \frac{1}{9} a^{11} - \frac{2}{9} a^{10} - \frac{1}{3} a^{9} - \frac{2}{9} a^{8} + \frac{2}{9} a^{7} - \frac{1}{9} a^{6} - \frac{4}{9} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} + \frac{4}{9} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{9}$, $\frac{1}{9} a^{39} + \frac{1}{9} a^{35} + \frac{1}{9} a^{34} + \frac{1}{9} a^{33} - \frac{1}{9} a^{32} + \frac{1}{9} a^{30} + \frac{1}{9} a^{29} + \frac{1}{9} a^{28} - \frac{1}{9} a^{27} - \frac{4}{9} a^{26} - \frac{2}{9} a^{25} + \frac{4}{9} a^{24} - \frac{4}{9} a^{23} - \frac{2}{9} a^{22} + \frac{1}{9} a^{21} + \frac{4}{9} a^{20} - \frac{1}{9} a^{19} - \frac{4}{9} a^{18} - \frac{2}{9} a^{17} - \frac{2}{9} a^{16} - \frac{2}{9} a^{14} + \frac{4}{9} a^{13} - \frac{1}{9} a^{12} - \frac{2}{9} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{9} a^{7} - \frac{2}{9} a^{6} + \frac{1}{9} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{2}{9} a^{3} + \frac{4}{9} a^{2} + \frac{2}{9} a + \frac{2}{9}$, $\frac{1}{5139} a^{40} + \frac{3}{571} a^{39} + \frac{157}{5139} a^{38} + \frac{11}{571} a^{37} - \frac{25}{571} a^{36} - \frac{712}{5139} a^{35} - \frac{394}{5139} a^{34} + \frac{782}{5139} a^{33} + \frac{223}{5139} a^{32} - \frac{61}{571} a^{31} + \frac{13}{571} a^{30} + \frac{319}{5139} a^{29} - \frac{499}{5139} a^{28} - \frac{143}{5139} a^{27} - \frac{2380}{5139} a^{26} - \frac{742}{5139} a^{25} + \frac{637}{1713} a^{24} - \frac{239}{5139} a^{23} - \frac{279}{571} a^{22} + \frac{146}{5139} a^{21} - \frac{77}{5139} a^{20} + \frac{2506}{5139} a^{19} + \frac{643}{1713} a^{18} - \frac{14}{5139} a^{17} - \frac{1358}{5139} a^{16} + \frac{1616}{5139} a^{15} - \frac{125}{571} a^{14} - \frac{718}{1713} a^{13} + \frac{1835}{5139} a^{12} - \frac{2549}{5139} a^{11} - \frac{188}{1713} a^{10} + \frac{1948}{5139} a^{9} + \frac{449}{5139} a^{8} - \frac{856}{1713} a^{7} - \frac{1859}{5139} a^{6} - \frac{1634}{5139} a^{5} - \frac{64}{1713} a^{4} + \frac{115}{1713} a^{3} - \frac{1049}{5139} a^{2} - \frac{449}{5139} a - \frac{616}{5139}$, $\frac{1}{5139} a^{41} - \frac{1}{5139} a^{39} - \frac{143}{5139} a^{38} - \frac{43}{5139} a^{37} + \frac{224}{5139} a^{36} - \frac{584}{5139} a^{35} + \frac{236}{5139} a^{33} + \frac{94}{1713} a^{32} + \frac{94}{5139} a^{31} + \frac{5}{1713} a^{30} - \frac{547}{5139} a^{29} + \frac{256}{1713} a^{28} - \frac{232}{5139} a^{27} - \frac{2147}{5139} a^{26} - \frac{895}{5139} a^{25} + \frac{125}{5139} a^{24} - \frac{1768}{5139} a^{23} + \frac{1136}{5139} a^{22} + \frac{1120}{5139} a^{21} + \frac{17}{5139} a^{20} + \frac{1645}{5139} a^{19} + \frac{145}{1713} a^{18} - \frac{409}{5139} a^{17} + \frac{1738}{5139} a^{16} - \frac{644}{1713} a^{15} + \frac{842}{1713} a^{14} - \frac{1675}{5139} a^{13} + \frac{239}{571} a^{12} + \frac{484}{1713} a^{11} + \frac{2330}{5139} a^{10} - \frac{62}{1713} a^{9} - \frac{1558}{5139} a^{8} + \frac{11}{571} a^{7} - \frac{547}{5139} a^{6} + \frac{530}{5139} a^{5} - \frac{147}{571} a^{4} + \frac{485}{5139} a^{3} - \frac{2389}{5139} a^{2} - \frac{542}{1713} a + \frac{644}{5139}$, $\frac{1}{981549} a^{42} + \frac{3}{109061} a^{41} + \frac{74}{981549} a^{40} + \frac{46964}{981549} a^{39} - \frac{46945}{981549} a^{38} - \frac{14777}{327183} a^{37} + \frac{7426}{327183} a^{36} - \frac{142256}{981549} a^{35} - \frac{89840}{981549} a^{34} + \frac{59023}{981549} a^{33} - \frac{12385}{109061} a^{32} - \frac{31199}{981549} a^{31} - \frac{69023}{981549} a^{30} + \frac{137828}{981549} a^{29} + \frac{1922}{981549} a^{28} + \frac{49384}{981549} a^{27} + \frac{161765}{981549} a^{26} + \frac{14168}{327183} a^{25} + \frac{207742}{981549} a^{24} - \frac{265517}{981549} a^{23} + \frac{190064}{981549} a^{22} - \frac{462415}{981549} a^{21} + \frac{109387}{981549} a^{20} + \frac{156857}{981549} a^{19} - \frac{15720}{109061} a^{18} - \frac{381505}{981549} a^{17} + \frac{130432}{981549} a^{16} + \frac{488392}{981549} a^{15} + \frac{33863}{109061} a^{14} - \frac{153287}{327183} a^{13} + \frac{288514}{981549} a^{12} + \frac{232358}{981549} a^{11} + \frac{158035}{981549} a^{10} + \frac{386192}{981549} a^{9} - \frac{62537}{981549} a^{8} + \frac{99434}{327183} a^{7} - \frac{24243}{109061} a^{6} - \frac{213485}{981549} a^{5} + \frac{41180}{109061} a^{4} - \frac{354554}{981549} a^{3} + \frac{4264}{327183} a^{2} + \frac{42406}{981549} a + \frac{91669}{981549}$, $\frac{1}{635062203} a^{43} - \frac{113}{635062203} a^{42} + \frac{14057}{635062203} a^{41} - \frac{37504}{635062203} a^{40} - \frac{511703}{70562467} a^{39} + \frac{2358713}{211687401} a^{38} - \frac{32408963}{635062203} a^{37} - \frac{8891665}{635062203} a^{36} + \frac{20228819}{635062203} a^{35} + \frac{98001590}{635062203} a^{34} - \frac{33253706}{211687401} a^{33} - \frac{6412873}{635062203} a^{32} + \frac{510347}{3324933} a^{31} + \frac{87336925}{635062203} a^{30} + \frac{6406796}{211687401} a^{29} + \frac{74722783}{635062203} a^{28} + \frac{1580413}{211687401} a^{27} + \frac{253270265}{635062203} a^{26} + \frac{68465075}{635062203} a^{25} + \frac{40320527}{635062203} a^{24} - \frac{143848424}{635062203} a^{23} - \frac{164349569}{635062203} a^{22} - \frac{121405972}{635062203} a^{21} + \frac{85734034}{635062203} a^{20} - \frac{12536910}{70562467} a^{19} + \frac{59954213}{211687401} a^{18} + \frac{5269182}{70562467} a^{17} - \frac{240818641}{635062203} a^{16} - \frac{164671610}{635062203} a^{15} + \frac{73225948}{635062203} a^{14} + \frac{4978212}{70562467} a^{13} - \frac{223988698}{635062203} a^{12} - \frac{152169004}{635062203} a^{11} + \frac{267789406}{635062203} a^{10} - \frac{134177899}{635062203} a^{9} - \frac{16454174}{70562467} a^{8} - \frac{34711259}{211687401} a^{7} + \frac{122065793}{635062203} a^{6} - \frac{1416741}{70562467} a^{5} + \frac{41805829}{211687401} a^{4} + \frac{7389673}{70562467} a^{3} + \frac{199109609}{635062203} a^{2} - \frac{80971457}{211687401} a - \frac{167540222}{635062203}$, $\frac{1}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{44} + \frac{572878460563343022814482925988102390364662358223942832797757560874432684171408145530609056111831767270113286445919305791480909947429684169844725668482080187453721098577678996116225542987599402554329226779809405349316753081649247836061046118556110246808668817596014713146}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{43} - \frac{674726861950847624592441048004387478619171065057028804009522670365276309736543717647495152782865107977858820217925508729253491996347413923867106140377464472916508440573626815582434882717659850036129406399700077252082062197485089744246949040044978333207644839817669066611270}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{42} + \frac{219562191831840960893807996829805986408345589718997243636791280199160992022086185532100174739884734234690403790914894516376105766103213366490364700670995942463192999029668732880305441699611713358190470748829077706577405359501100797297013846846007606851721204316390767877226575}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{41} - \frac{178723389928387847453442615334350747162029202590313672946595357022494114527315786667989885356604222862302515345894355124477067825128095165797808964463794747572603778010538935363733916203841997048219626029601482109385237414860883771816326043157281597150417476002859654467143310}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{40} + \frac{7967040270478290041070880522926453073111510788159239152426958373550963409325798199751467433799226372101292746782058301620296977025991451081561691126063537829681648864367230094231753765340480890384894919547744834291850035692574472660890445070255502994807574431080370128704835388}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{39} - \frac{17729519839767131701460795487040340023315554204949468124091064588815744151815321011218123261036687803317817761282559036178084505240727048921227610938131094724497850862669097853784889660726841894774322884529878174041337638639354913005282782581239023860233277160197790839633370078}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{38} + \frac{902175775852690744816592039198417807422586162840863087115947184127113029656332002616697229829551818010189324129036319432546320009630185061891495540812760784520954943304454429289083055961808848212426948049405383403923339126253400232681621086185634221375454814980314104942145226}{772866361963040722957386511395381083313911636917587982242575587801507309147943332867267761560662908062359600252404041027057505216142056124282101739154929422205944708010842668090178669290003740923782060923964843737440894145218642776495011837150077052530934294499370060429995955737} a^{37} + \frac{24754293736831579791152343574074302804069596403109487932697544579699496019007070081145127745500722735973677069778207297190621619896270851523410016073531443294820514114263031057790712716327621750183445002232952949251483033357460159003663658903177514556237123952746742267444296974}{772866361963040722957386511395381083313911636917587982242575587801507309147943332867267761560662908062359600252404041027057505216142056124282101739154929422205944708010842668090178669290003740923782060923964843737440894145218642776495011837150077052530934294499370060429995955737} a^{36} + \frac{229595746014652000417179224433019233014585901233638436891872990427633393281417880298076445127148962981931820787231134507148357570383436395385697577760956378542267158949519745403682390390103897560408787490483244196570205114542348288379115393572767210850183196037150406093747323372}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{35} - \frac{409029659069573153423248605629495390363811521689952410709272523934989190211150452040724770703526626986562442172177969739013933072743569129538547183969135718028525108066786841942527610437436650937391144710380237452758969306044888254507134623878759590602825454333162335219927023567}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{34} - \frac{27851354737212646494715127830842494204680118022505663789721633552637278036510762619987040679800008549309017771098562825455752694270582688526525293088573568246645528792697406815328493782742381700416367431741279687027746609258469004677321729304780133734887667850490117241379405976}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{33} - \frac{44416930961249133816058599160238954343531716592505621790806590257315248226228162274176374259719833035300057674326345747314900488894990929002927052030705294560264607678274409590479699916556805319598200492152575329051944186331736949363551980706798836087271618464393319428431564979}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{32} + \frac{70944580189922050446521873475463417085695398934028880747082666388134562483649607522209357992263926906692469775803096942562111901319083041528412196013116135703930856348295421859047597718945285580778962413574054063817107246680038575558842832748242448183727496227438824443304333688}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{31} - \frac{391912120744965253433842124625048803740692991406576946086396085096799872263703306799833677818919903538746553353698181596595911704101462753225194894053700372698856005918823018072880310371363062641173439006486014072805891764391163412629329939920517626602981066099789463946330839399}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{30} + \frac{790994498894903548160824281153709130086602062007364583645841330148738565756404095215781077964533390810674639998672052622001655331773263449951501776450492426211489418174906456209968623825492701505991922368363654393465540961084987332520711914381686957699424826182759757889057235349}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{29} + \frac{1072114845503977624585859600801575242552200694839267675124426371600122685033097676239466533592928646734544842361521266345647412228346827326176251126247207490006452100716418182405905721513443683771186278047338566486666311436648007779450309223485821125614796484323684116318502580240}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{28} + \frac{966083868166416145390281871589409316316495331250567394606253235532254238772945820772222098890777991753017703033727159360363588611826816042790204985065393202148114032446706141744412818899607168385611357782322743339292925549833760577208820906674531025378284157006552186609197332299}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{27} + \frac{192917283723806382891560835663945017599131827850155463630859606935652293992222850379720995581743504050634074791293460686966105329948879601990264236491002391179501731497468742407620801492992602200422695424486078561720585886835046516612626233206519575949979493434976833467816402303}{772866361963040722957386511395381083313911636917587982242575587801507309147943332867267761560662908062359600252404041027057505216142056124282101739154929422205944708010842668090178669290003740923782060923964843737440894145218642776495011837150077052530934294499370060429995955737} a^{26} - \frac{2649200307810082994108684216393590467100373362561933947601283494009387905136574930151756464953941140527836727084608463115478199128630321250183231317474818242918707818528502891252039444496588985524891292169932578630367091635430792941315440355537582238542382574841727534684928525744}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{25} - \frac{972755923594716543994426377079452233436830872934223982341121494720838749322434844179457336903907891908799095270157887561565056737683115404382605214662513733089472975960384001375752204426686646378195500832945314694417987874028111770479401538905710328918313479438075857410633253502}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{24} - \frac{1789427605979011511388184866915770760783390986682572800186774767133680009050908697872924956295222863158453214962839914259590554444492594532143567009617037036184358268531887329364608885850644638676954121145354792606286775349085277153883573980361448233967705973921846976195236056056}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{23} + \frac{2970426064080744165662366850669854113644154600307533730216720899084634908041676556801555335217749402944766885166091969446583943779235953447854211719598365195439688206461095913286259472974027769554217254034276517090386406910770024694266099470391143740492193324295038303939385544190}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{22} + \frac{2811250279382837615936592816751986448147992615123056689310912277017027309554762321836310293679767973246628412401951091301425626947560736919344326629053614412761069192762668657250889902862649808148786205476386077407507777274388967964640025055330542539409162130913997090053465079310}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{21} - \frac{163627134612110739823825375881063982259414737774762280466180446833957559969296851321982247188287207194694269299353595003068777309672191752184469822414534944372631167238422483868380899485815645805191763355543611284605524966708406908339085530852578463287949878477348797663706913737}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{20} - \frac{1409754842545333860697143614388124467725127589897132803135703428123343345293033911329652836450953306128527102852805547430501092599258167318958287253088722515445412342468182901331387366320824523922127803727901018580022247584661073351595075765549571078767591672339883587898936958595}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{19} + \frac{196996337173351384192497256684111277577057227232806512982187469112365065038167249763838561685528959098706220414051909358235402461493084685752004864697352896394946684590209832159806336260668344928818542568567776367698896084422536552467451728357252635027590854669945744964607684719}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{18} - \frac{991682165090436759495838236669295092810257574468098640204943007889590588407742596951950564752984125592463929296850785811394834784282494459720323551532574485944443284373117094385007141337191854794137766876866359593704681856224647500355723879802818440511688221763413697183616767955}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{17} + \frac{1688015773026268042645778209327962918234951684028225702880969127484049966557704705753703389422329514193169482629205262672684849688902513571489819931438605427450486987695169312536078063336341769557462269737989422336473543879747000997219364685935353000828296452832884517113983573910}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{16} + \frac{2979004618706270283732993722284495899430488419771716538225161804820774172789713797560992353453185422430885865758114229376195882889158191133596637722699757353927249715238497296286674807143813266636431549608650950161381038522990958394653282921583679447572928995618405543819719851153}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{15} - \frac{508106872104317482560714566281660749784286025915641497755116431269456005724007638129079049312402387028559275249027303420937518208815042498976974875220069874485341535467452487763702242504193932660860662257512422921340904554125411256432012662272936205816824587373685902453643664142}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{14} + \frac{77180431481654429487550342833389966996026467131746199460888579543371446043932452504346505114127748168653799786990222439437075612370676103887795751921198901255570804761108506219302397469893867185959425275561628432704010394633028184951631293879044595252569278057134566357619763455}{772866361963040722957386511395381083313911636917587982242575587801507309147943332867267761560662908062359600252404041027057505216142056124282101739154929422205944708010842668090178669290003740923782060923964843737440894145218642776495011837150077052530934294499370060429995955737} a^{13} - \frac{298308415568764788970351732433820428598001392240087044088747935804517812130670846003182460995092804621857870773643442215389354868456813917138248776380678556894267272784799887090075415840305577722235014652343540596667924001584588236318272864269388739514076775074040620945117898072}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{12} - \frac{506080256615486077588888391494531443921847956710753694944614924659439035846548330027490044284901238301259464052520207782684985649345740455962246839552584654301025235213142957086538303533428479679186851128684643416302249902266685386440113255269070551728946313524840686813174516075}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{11} + \frac{1987778294303578294509043630865992981870309039201643842571436417723592521161566181527223052886529601630644759252506344228048798447928061817032857573967421942594223827662295276195366622710206086858509742743827605412226388412685230516832625349971028564335338903183384294381495811718}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{10} - \frac{427427860314153741683696991653949087598333592331353035188049307742093656080725201390453659711968999830858279990181324973339489587727621906916662915990327682636686830210811611029988456978988686436787294688629574572190127956353044616257348527577635771007932634403580724470885232851}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{9} - \frac{45717025215827689009133810241485818168841127812769896638280295393842150450418132642051429087969949555658910729060547404055792530297479129723287848263067548485820628421534466530114485075953890868797738360195675974498877370983174443410088738768329723472584324556399302044279857353}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{8} - \frac{131650036001491955517745425965450379990118620081759162617081116422402368012044083797001013533545676377467776371951490939065369307453675755667105304801676033648955361099879369682946367695302096592140161358026670996483630387628630975933385971538405753073609271169430457021436774777}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{7} - \frac{1879044525421536826210847446734303204183616042830112837041896191402909379033881945215860131785661129606207171105072458581921327689130276610632790469321861057026692024348044482028929389200737234580632890317905478053365921954082864858814776838271674185175491240210911851492309985780}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{6} - \frac{242313224490433053634054534133998102181791699809527838950259613206243877566845612929738121109206627281514286325946796673043641316706026002339385608764614312085452402662473851024776988330621775894282295787545484641738847575391948456718012692225348719150529253942010832762011892332}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{5} + \frac{128868567804607688186401681723222001236434558297245392714476460982551647645595438519424917294250023170534712567040473231330009840718771543200959771459609148016074494718834363693945866850970392290946676320555362911631450411524585060566932388070603492164798506574423294715387426021}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{4} + \frac{444147053513585959959415009465562599390325630011383961819794353860334972770829262678238304165996604964530167662782545403131580758310948115297016020166660948818770719650575702328886864235065532964133021554223795997937525921764489203468795702307200393883924232011131690575460926270}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a^{3} - \frac{2410875365448273911850207123034612184321458987866260039817340687933595693801263621622792676345640140014499595718079901313715998755296897544634412417446025197305347037121545341681270008800716367122324126717165190090524354076488288018522566730770693098212857910739499407975589128040}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633} a^{2} - \frac{1060533462280581644960337017587369246670376760920357824107277124661848730641226597440784750291330757653910837156214792240713742792901549565597186605336974418753810902521652652653174963285769564394163675171764515019367653520462324836593021783196695404266622917609188525337283379810}{2318599085889122168872159534186143249941734910752763946727726763404521927443829998601803284681988724187078800757212123081172515648426168372846305217464788266617834124032528004270536007870011222771346182771894531212322682435655928329485035511450231157592802883498110181289987867211} a + \frac{142698449649513017997162744431095495663642580719673749410278313657811708635224597354021367051189122359626803149377025357631722441240414356903696997225957662331269696165199884573580318038171073521475766268595893400290943300871158294379083991434435634437345625437895797700053549100}{6955797257667366506616478602558429749825204732258291840183180290213565782331489995805409854045966172561236402271636369243517546945278505118538915652394364799853502372097584012811608023610033668314038548315683593636968047306967784988455106534350693472778408650494330543869963601633}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.2825761.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 15.15.138338254038795273955595483867881.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ ${\href{/LocalNumberField/3.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $15^{3}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R $45$ $45$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{9}$ R $45$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
41Data not computed