↑

Properties

Label 45.45.1589614467...3121.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $631^{44}$
Root discriminant $546.77$
Ramified prime $631$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![115829050127578637, -140090069545874565, -2928899438689275293, -119032548118113070, 17141372833656407962, 7543106125554272962, -44330490069503914218, -28749362416671453687, 64112838817587499528, 51353626114208160219, -58013755547611372583, -54906348400741785697, 34927937499502295142, 39018305246160367761, -14466898842903568113, -19552998002023848240, 4169540206326707286, 7177072759573430673, -822214007057581210, -1980431115576277921, 101848276044631524, 418372779020858328, -4780528095474003, -68512286719810484, -871990800564410, 8763539163452549, 225497065522490, -878308230905331, -27147209842906, 68878837826074, 2121963890250, -4201483097868, -115431928666, 197152571564, 4446576994, -6996152064, -121032253, 183048901, 2297498, -3398056, -29629, 42031, 243, -308, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - x^44 - 308*x^43 + 243*x^42 + 42031*x^41 - 29629*x^40 - 3398056*x^39 + 2297498*x^38 + 183048901*x^37 - 121032253*x^36 - 6996152064*x^35 + 4446576994*x^34 + 197152571564*x^33 - 115431928666*x^32 - 4201483097868*x^31 + 2121963890250*x^30 + 68878837826074*x^29 - 27147209842906*x^28 - 878308230905331*x^27 + 225497065522490*x^26 + 8763539163452549*x^25 - 871990800564410*x^24 - 68512286719810484*x^23 - 4780528095474003*x^22 + 418372779020858328*x^21 + 101848276044631524*x^20 - 1980431115576277921*x^19 - 822214007057581210*x^18 + 7177072759573430673*x^17 + 4169540206326707286*x^16 - 19552998002023848240*x^15 - 14466898842903568113*x^14 + 39018305246160367761*x^13 + 34927937499502295142*x^12 - 54906348400741785697*x^11 - 58013755547611372583*x^10 + 51353626114208160219*x^9 + 64112838817587499528*x^8 - 28749362416671453687*x^7 - 44330490069503914218*x^6 + 7543106125554272962*x^5 + 17141372833656407962*x^4 - 119032548118113070*x^3 - 2928899438689275293*x^2 - 140090069545874565*x + 115829050127578637)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - x^44 - 308*x^43 + 243*x^42 + 42031*x^41 - 29629*x^40 - 3398056*x^39 + 2297498*x^38 + 183048901*x^37 - 121032253*x^36 - 6996152064*x^35 + 4446576994*x^34 + 197152571564*x^33 - 115431928666*x^32 - 4201483097868*x^31 + 2121963890250*x^30 + 68878837826074*x^29 - 27147209842906*x^28 - 878308230905331*x^27 + 225497065522490*x^26 + 8763539163452549*x^25 - 871990800564410*x^24 - 68512286719810484*x^23 - 4780528095474003*x^22 + 418372779020858328*x^21 + 101848276044631524*x^20 - 1980431115576277921*x^19 - 822214007057581210*x^18 + 7177072759573430673*x^17 + 4169540206326707286*x^16 - 19552998002023848240*x^15 - 14466898842903568113*x^14 + 39018305246160367761*x^13 + 34927937499502295142*x^12 - 54906348400741785697*x^11 - 58013755547611372583*x^10 + 51353626114208160219*x^9 + 64112838817587499528*x^8 - 28749362416671453687*x^7 - 44330490069503914218*x^6 + 7543106125554272962*x^5 + 17141372833656407962*x^4 - 119032548118113070*x^3 - 2928899438689275293*x^2 - 140090069545874565*x + 115829050127578637, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - x^{44} - 308 x^{43} + 243 x^{42} + 42031 x^{41} - 29629 x^{40} - 3398056 x^{39} + 2297498 x^{38} + 183048901 x^{37} - 121032253 x^{36} - 6996152064 x^{35} + 4446576994 x^{34} + 197152571564 x^{33} - 115431928666 x^{32} - 4201483097868 x^{31} + 2121963890250 x^{30} + 68878837826074 x^{29} - 27147209842906 x^{28} - 878308230905331 x^{27} + 225497065522490 x^{26} + 8763539163452549 x^{25} - 871990800564410 x^{24} - 68512286719810484 x^{23} - 4780528095474003 x^{22} + 418372779020858328 x^{21} + 101848276044631524 x^{20} - 1980431115576277921 x^{19} - 822214007057581210 x^{18} + 7177072759573430673 x^{17} + 4169540206326707286 x^{16} - 19552998002023848240 x^{15} - 14466898842903568113 x^{14} + 39018305246160367761 x^{13} + 34927937499502295142 x^{12} - 54906348400741785697 x^{11} - 58013755547611372583 x^{10} + 51353626114208160219 x^{9} + 64112838817587499528 x^{8} - 28749362416671453687 x^{7} - 44330490069503914218 x^{6} + 7543106125554272962 x^{5} + 17141372833656407962 x^{4} - 119032548118113070 x^{3} - 2928899438689275293 x^{2} - 140090069545874565 x + 115829050127578637 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1589614467476880833110177740032706464094625919803624842629712851600976752423684909407990098956118088052488259210418247473121=631^{44}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $546.77$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $631$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(631\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{631}(128,·)$, $\chi_{631}(1,·)$, $\chi_{631}(2,·)$, $\chi_{631}(4,·)$, $\chi_{631}(8,·)$, $\chi_{631}(393,·)$, $\chi_{631}(256,·)$, $\chi_{631}(16,·)$, $\chi_{631}(512,·)$, $\chi_{631}(279,·)$, $\chi_{631}(281,·)$, $\chi_{631}(155,·)$, $\chi_{631}(158,·)$, $\chi_{631}(543,·)$, $\chi_{631}(32,·)$, $\chi_{631}(43,·)$, $\chi_{631}(172,·)$, $\chi_{631}(242,·)$, $\chi_{631}(558,·)$, $\chi_{631}(47,·)$, $\chi_{631}(562,·)$, $\chi_{631}(310,·)$, $\chi_{631}(57,·)$, $\chi_{631}(188,·)$, $\chi_{631}(64,·)$, $\chi_{631}(455,·)$, $\chi_{631}(456,·)$, $\chi_{631}(587,·)$, $\chi_{631}(79,·)$, $\chi_{631}(337,·)$, $\chi_{631}(339,·)$, $\chi_{631}(86,·)$, $\chi_{631}(344,·)$, $\chi_{631}(228,·)$, $\chi_{631}(94,·)$, $\chi_{631}(609,·)$, $\chi_{631}(355,·)$, $\chi_{631}(484,·)$, $\chi_{631}(485,·)$, $\chi_{631}(316,·)$, $\chi_{631}(620,·)$, $\chi_{631}(493,·)$, $\chi_{631}(114,·)$, $\chi_{631}(376,·)$, $\chi_{631}(121,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{132730249} a^{42} - \frac{42528338}{132730249} a^{41} - \frac{12696122}{132730249} a^{40} + \frac{56825354}{132730249} a^{39} - \frac{39123238}{132730249} a^{38} - \frac{50872548}{132730249} a^{37} - \frac{64842237}{132730249} a^{36} - \frac{47099584}{132730249} a^{35} - \frac{20636773}{132730249} a^{34} + \frac{30218358}{132730249} a^{33} - \frac{10890018}{132730249} a^{32} - \frac{48928993}{132730249} a^{31} + \frac{56667538}{132730249} a^{30} + \frac{26958113}{132730249} a^{29} - \frac{55196071}{132730249} a^{28} + \frac{10838373}{132730249} a^{27} - \frac{30945685}{132730249} a^{26} - \frac{15708082}{132730249} a^{25} - \frac{19889178}{132730249} a^{24} + \frac{54018503}{132730249} a^{23} + \frac{27685572}{132730249} a^{22} + \frac{2049416}{132730249} a^{21} + \frac{36934524}{132730249} a^{20} + \frac{60352851}{132730249} a^{19} - \frac{15378953}{132730249} a^{18} + \frac{29310757}{132730249} a^{17} + \frac{56130862}{132730249} a^{16} + \frac{18969348}{132730249} a^{15} + \frac{56166267}{132730249} a^{14} + \frac{49736682}{132730249} a^{13} + \frac{45799638}{132730249} a^{12} + \frac{28260367}{132730249} a^{11} - \frac{23002832}{132730249} a^{10} - \frac{36477398}{132730249} a^{9} + \frac{52772561}{132730249} a^{8} - \frac{40917792}{132730249} a^{7} + \frac{46983586}{132730249} a^{6} + \frac{41628748}{132730249} a^{5} + \frac{45294637}{132730249} a^{4} + \frac{62633709}{132730249} a^{3} + \frac{17971998}{132730249} a^{2} - \frac{1160809}{132730249} a + \frac{41765217}{132730249}$, $\frac{1}{87734694589} a^{43} + \frac{109}{87734694589} a^{42} - \frac{2568494555}{87734694589} a^{41} - \frac{14109422321}{87734694589} a^{40} - \frac{3937667910}{87734694589} a^{39} - \frac{8179139952}{87734694589} a^{38} + \frac{18722611459}{87734694589} a^{37} - \frac{23291387619}{87734694589} a^{36} - \frac{28978233154}{87734694589} a^{35} - \frac{24329880522}{87734694589} a^{34} - \frac{33021385400}{87734694589} a^{33} - \frac{32197885846}{87734694589} a^{32} + \frac{10820853119}{87734694589} a^{31} + \frac{8971626776}{87734694589} a^{30} + \frac{43433873832}{87734694589} a^{29} - \frac{30356686403}{87734694589} a^{28} + \frac{17025277919}{87734694589} a^{27} - \frac{37850058630}{87734694589} a^{26} - \frac{43121154825}{87734694589} a^{25} - \frac{34675820045}{87734694589} a^{24} - \frac{30216000649}{87734694589} a^{23} - \frac{16629705968}{87734694589} a^{22} - \frac{11941629025}{87734694589} a^{21} - \frac{25603158690}{87734694589} a^{20} - \frac{3574109214}{87734694589} a^{19} - \frac{8417996031}{87734694589} a^{18} - \frac{5321977432}{87734694589} a^{17} + \frac{29700892225}{87734694589} a^{16} - \frac{30403314929}{87734694589} a^{15} - \frac{29836500863}{87734694589} a^{14} - \frac{39686810948}{87734694589} a^{13} - \frac{38322360126}{87734694589} a^{12} - \frac{34099146298}{87734694589} a^{11} - \frac{24153175518}{87734694589} a^{10} - \frac{42382311094}{87734694589} a^{9} - \frac{33409357279}{87734694589} a^{8} + \frac{26727078284}{87734694589} a^{7} - \frac{37926450890}{87734694589} a^{6} + \frac{39235976824}{87734694589} a^{5} - \frac{7984893018}{87734694589} a^{4} + \frac{41015519743}{87734694589} a^{3} - \frac{35707175979}{87734694589} a^{2} - \frac{36705194817}{87734694589} a + \frac{11501826015}{87734694589}$, $\frac{1}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{44} - \frac{2068894131226558532613822842005387962188476652519322814291038627404460556886336695096046616372324768026928230497055763671438378102781749139663679544482195275418311270399218433533775316867335174134044836459279562688787227835843179446157589955063010313672243141671090252971159546130010533708910521861089935948230341576015413231054752870922155961854210828795842}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{43} + \frac{656076393445156367103843036973399476860552827032692336731354057859874719507577946341197167627781255355119172631068637293583365289732339643771912838119276221852169000622428412422926425903324277723943602297504904909118382514077304793035498325972752836761778410584678554842321685642341621907646147171643326355277380052671195924269811508687326677971198196293159634}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{42} - \frac{154328408637290535819356513586856684612101755585844705312214365062675917630218671099192112568105372642807793646352610457505356566631473931789222669278698811720165576947106674339109130261565862601409342911820220834635921267557842390621591877237877097446965762323570099275624711460300770919961888684485245873296076950943891641429688715088122866779054559334596833516340090}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{41} + \frac{16727050868232732372331717705376914244490261215060918401939686213211476832063739881000355265683795901490295666175605443311708748799783086834942129836567187268280125529368616556635029582159828455784617697133091998346346101693612829788017885880381633246669604068495703381633643143606696979314148533714463369207692688180849407947967062509874821267153239361408453941460305}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{40} + \frac{179478007668898980989812556988257013906598902185104503640143164784131374917687146159477210916503713335705539948543728682428260318891444636437275088333697467776840898018093078142375001908197043299741488297986872630369179734268522070177867266710768293074582982234376002175936202007631808537387298660470467726420601515193111967412601321186044698012679901793955636148777502}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{39} + \frac{65823106369621646649303325316661167354032268949042464528210744438507560672635439038376071244161520984309829184471066904834222360852591811108001409535306910530954596190900591181288069537208730985988621864751240724387647600557156373203184861589383717537769349188335491644852499431824392654565405997942236368324093188945778624026342334653202569927217465813910598265241106}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{38} + \frac{67028663005492289943979735631474611419443635448780556393215355664468265925875112734829159798961474693527684517689255004943402736399355559399047741342035616983260547037000049401568339122301345091803180126860985024229889394806194140085868285944854584704328143598746135543269815837712442872951688471204233093019555418607463326800201374885618614681202978891727014466426563}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{37} - \frac{68470042450903206654388676664909756982083459345237244990118133776816538802681253048207604825707771798186104102854285023388146444341723368382919658385642027056855548319599921537840274388412835878637997181945148461129580400195198959638979639227515433158527524976012821841217290262020476895730512291180871418179275811057549591931919826093417981711658757632093254459511162}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{36} + \frac{106027302169935988006820025096420897892114963112841214639609823379075870904525422643634832618755734770943537542800500142999454364063034750789250955166244592268714951953475604186721280922136847026766830905478702551728032847975443347858697160410243179270247750569912274442530893820873218193177084684883686873531114517091551109149253521560031250814684419749798977746121183}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{35} + \frac{178735746650087355055521840081665412634144198280584899016300927249608481733884608074156000478530372721601056233321579344880770308592143861205500821425041302821783987477584835231799841216283512887579026980967202651521464439976316393875298772081391350614589724127470392381392724417614289506352744841179791882325692957447752763562429250326309027983912148780653596814407104}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{34} + \frac{119478174450060147312596242919048998840427124891897362275719338758854090714174722286855479429044523270961191469158097195631427616884773763667616755688856393555008679009000902857120523606535558648928678854436241196728033630442011440164300443852985359462978172409615087093096092917802557226322727113870747341768485534487425047156097934397989987571753652253789518481094254}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{33} + \frac{140301056384930988279925786138085801378888350794920703356452883322247493472548874754569482290357992104238540136355274115111577699498991454900483658604174761885899096581997162704401110043515326912325532958839995195208995487444572203443151374263647051773617627321655099358060991713367722085783081355360845760906462862868050371552043647582688181474150826340392094663082040}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{32} - \frac{102519998067278143656945566604180660616596286082278277109937798707890876141375480072055536758177199045221859764233300003939451675446006782234618625625199785397098263170222260976292383372566693705573067791448016809974119274401526631751376040234934253925987687005479168463434462580137876548562513738707481235732598468346315060251990036447851551644596447148643991187507598}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{31} + \frac{139369104223428280838304956619928473710277937090060969941467058698096955258245955530813556813680471847467078762808801903275490762005201609177465048273547181548012785348139572658819391484327649664699713214293195369729854250682681414228137676272506604303465843962735955991857116194421724044123171985236856511957431301568924170122583551925467767780556836460686793890641046}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{30} - \frac{125187172510313232727619970989482303205381907469769181159418153234496400678484353303308911843657631409943420776065776943014305959322220733399288092238147529900194304146359586466737324297903089247939843790993152523198704295286180681740711257173573799555453856529442517171158816329635084410768048871785455491440399650587713151390406464166892429810569984716881247774260122}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{29} + \frac{128726382058891739714323111420415426196246671682288589828647447352129698387164850347352985553421205700691855996292875851394984725341398343792363107198591508971293707055858919769365084142811626832248763169555170942510785870411634391652048073299290976886131656230540205763640197638441628819191454041437215376958909459349770032604408020988213705079899729612976972765815257}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{28} - \frac{17084344180553938619679568213203456804519343952239453527344658118181931114959110223414632032473193107282579245291889946054159291515624616874629233701281088217846277693184610275778146305576685799338395548178251219405865006722076616546453102852446079863619499779492131987064980468302450204477596339208651276599334776655481271176527605873641347878838121075845866470632526}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{27} + \frac{103566802909136718520537582965121269260806420011926714857719813866261527127829360696238817886450002413993695356058930523128166083118263212707446172579131409551909887931592211664178770256861572707075264238895070145843094689118069777100187481481056171814523699396707450168363235520203785089207212578989620646133333203505727598970206483975248790430697842789008318796838462}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{26} + \frac{72189312133477808155682366063883264599203727000714383240620280638636849403150399446813627087837429536449766946867337548056179001854929542388605672470999175483372285452325271815208230672186321436653769298964553206787901572332355456927347914581753060525126817265403727482953614259228704012484093005654037607404662667361820620210451086225211476272912837339057125939113733}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{25} - \frac{61439834461097610929182226620266289045158711871608999874064618012202798219600448267443941400832591246727047735832914708077217087046316699119266171937118612130717683079743206764969468714300208136467331171366625754252785810174454827402969540269212511296239175524318669456024642696950043092206543487306094923279369191147909964503020240382530305010748606772926972776405663}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{24} - \frac{117480945190544965747405363867055093678726359368754529121589412721674558079242805217754982124577716817628974289792609116582075923024054517889383595675570680780526131202345285017716397414479842611549761527154011648943037096285862080000233259602087375075787908379618155714621190842154525903309861084355581382616904799528676295082645862666024528322209268753474060475209570}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{23} - \frac{9536628457510673900512323852298524344837671178801044995154534070971356213374229153086051987780689750546573156744151117599669573878911293249835073832779230700681787631288149302421040841565661076133477384487345453908200391998494739619080803986911417467417781776180119914237028332117397387956717447353240498425108270858970964647066670772155903568564934286893176712158371}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{22} + \frac{64749583032847525550579752508689191236283776612813996936595013601169400103097771451586640038526838787799598151185730500125262788852175649829757522847162688235810359221765347133115293727809979702437985375496821641711101939314512723406128445802843177782717608006245216252593515103289896943217416183480786852283453390967293049804334032459021786462930028607094889898431933}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{21} - \frac{55109036570268370100683003004155393371014218013704990722758174346843763644343592057985321045649714041537590451452341648953035418228347172533447752167381336269338918621122932110213726758504758669492538672729950563866523679024255213548605901582729570331850510813643612396097961530713276738640495037194092585245978142365563063009270916107883813107651617879338266277526694}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{20} - \frac{106691175280767635423808493239912669253383069210466200334757280079191789167562977191102669006685773245342755089577478772455849355417758437524222553877166215569220175480866820404054328829485943328472049374362172259212983393111903968664430177404715190440092009884054588376786604153345070062465352416114650997985764976403551467537806955507762789684127599859506393769018090}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{19} - \frac{163294713282780490886270173647740639552792374610225813427572860486455092540898309848128780008191940298621053608344987827980671609367208290675534578470551160854707388547394382108940483157830361432631578034904437572758701744058848574887947927604400022326645443549228717049768715830249828753986789079025056924960894201114011807882097055465487584547853716509092342557073804}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{18} + \frac{13214125344074428035564576909978408480855869990346581477386914955554162771141379501946474086063830816641037166722511790033314306423730309858541917281727518946706312537851847022232994045846054674605720964872295207976606643353867136912391648860270517871060886123682457688745901984088961990743524248442373668881210997162174534622002819959437690060887384379697962836609765}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{17} - \frac{79932388685980601446928073267325767225770164095105924825393977952171670331887016353275274614906745772212672344354735724221532793029732168045182753284656662220041941775737683810400639983728559466348260016249497517902390214859322998639937691065027300586749760163671670003892066130565010545800742178261339755789325486294273396187624931221346105445344422684169168148572500}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{16} - \frac{46308162795691201734825985443205890222196705718407555735740722557037707475930319349792378637146995768442206661192545933653050555875341324545266076234468855499872219765447107625417760753619381188401406221158121769166385873494051805311117536750804728688525945115281484153656051106789777576582427052490658190310894071676942435684570261839951758858999756702163551357671570}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{15} + \frac{62688173057899067557073081694192314300751614675651508439573232328711699660640838025324887050376320270528264714329041570031035051692335081552579509766074825365194569629973738803986643055519871608733950561462555149977193565388887384976909717997797260657683910706705239845124715365582347844710810706154570686933386553014450360859348166858021062896012865274651003782382092}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{14} - \frac{63238680024913110513703749256013611092536938281394200024861903225147866703674246613515771983326613955632663850031308322208121044497309240511483034039421273885792104134999663554768934343799218957242409332808744800363651415188385185167434432445658469615574713516204479359397309481490808894015334253997221830010674941988341303982108639069112870124618291249534734909744744}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{13} + \frac{140534178404113042178579565103467389869606941064625894679641186506830082505125180408930031642991028515973149387350466524392107614894325917743185662551510689313968353234323535072821530972882644507970134471773243671275212587058104981880816265419388203457210594264575679429858211016433729835505977800258232314517183995894546071499332939101454970095701058142062095361013738}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{12} + \frac{133156767815776394586623548092121486389126125798390429024133594526185772623083677818391037101323115630738304611169602578560361158909778854551941466504114327356537249693428726003517117137880817649167586269483501491111165648026426231425116829286680426931025119011002377675798174660187674214144893394466536637283302301727441653645128108891540706478305756815084253381295365}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{11} - \frac{168680490098956818302074057263502031984180597101536262771205361895636853590822631195553265431791773749115045144914174365836194065177186816215038937371698919996103314070040769314964976393938752424214699085481333901762663113686400793871257951339666046770011474850521222805296736686698981811755029852922099218613851877493669061568719495059566944238654426714792679614564143}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{10} + \frac{119066239126587924604602695591048635001514307759157678156359069462901032063155871178101773137764316253968546220074581114610722232785557134627282521264816674380254452802783227540124277368688787904234234174740504653416550804896909743500251784684226689466440320167763539112610871100501481091911240848953308693754773478289459380870757009195668681307923049211249212530972489}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{9} + \frac{67235825645935535353557528297930145288487834947157977314223904522841893336509340387574935099975787609157825827752260771609469249516609751584030040234366826876482420735854301966226070806518772130855959878834522858875693532802407732598656364829902943784476151321533987481392852311155820160624555216780986287223776338725374625162863156960341325995702778053279509157458741}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{8} - \frac{33940578338612902546366263721910827988240776108177498098586700932608973139314433265708709506396316108084403088377092469893197887479996408821428100020217768516435340460854592368547788623886037301007446525378938136450357781374595556755561643261853648436290052055903903021972449677746846833975386859594388165497988007236566290707445634043275285459038924780325692857032725}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{7} + \frac{132711654338605446701304837142448356458496910729513555793214221827533514590539278982488375554177435327218483297355066866436366683199218447443862417634673610496141210244385035780282729814979999364109608453577728249087286698668320932042071033289311462643658455199162919157835832953709694717901409434009434296858615495335949350263078406884025262810929642355380288824059201}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{6} + \frac{50412220738758895118103225329491822837392757257119961050850623485829437773585787352432036489716005841040337037031731304889788023262449900862345750757666704870845981429321444387926084938908657661627026631891923605148807728778811131930174294412500481129063660214234930189354006360057813274256440662354471227692365504727738641252326367658505323056208408261557575810569398}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{5} + \frac{40265511646626277453498594808237076426540466506127356434802326336001710170071890710311514425175079933580355237944228538663338779163193999609571428788214534563319203183336837894617704793396753846415755526537377294228771781258367321187058399452717615837399352014474119049122518220805709114279519689167355866408311832876880182023201912810408050149865418987212095579643388}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{4} - \frac{174497230297743942180699827188566863079659190829008437832858450646915295817320074169402660748343720265471222682680929498889329153719665371560279235087119583672216190588484308581143834792368600272279696675095754088179286976370738513941213526459699333921502574460645696533160096726697149631429687848355824540411965321842716257065497374405645017614727042602492469095924049}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{3} - \frac{79950671465924600253973880362781111204199089031235176965346494245020768317058535479040977606041530428407838954092703131950751479849969578932674568796277861591711596274981641771914663194247679750608634470904049228989726613926178459743306040569228793658140441124020268833284664079064372916677407756667562788345455820194743307006736955531013968291628921769137466422919721}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a^{2} - \frac{158690302716348939008555177796343181100992856539232065728599461741289295946657227869872774144663988941914474484882769720341362679840928918101269276673977990122049185580425354708528415850026715263276318662326273941899183932934087252342320068391834340396970869892656194101386385945317665364655868233655784963057945524632459035210795407455500745955191209264493582848196105}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581} a - \frac{7049021966602125726656378201313239182706012852697081782342338626751393375984276641731367411078074791162059670866523813108944834217591507513504689459671146898314297899568908722928535909427197491198236893882807922470138477347148163345335291158548644669195322513897781998578984704408329959139233491099702586530099529962214385810551692252917328473249369554406914008566636}{374133026879949478283748646167801624662879706955864844311557063332221941776898547457741628182041781344158004443205255277934583091018857167094063891078070466022441983790918454141019224017390879361240258404008050475968505699009801305997658275216392014682430382818054425053664151782501012160593611959430853030893820925069541327725129257792992618435555655334290673044483581}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.398161.1, 5.5.158532181921.1, 9.9.25132452704633039250241.1, 15.15.1586393893300992738237335763411468444721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/5.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/37.9.0.1}{9} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{15}$ $45$ $45$ $45$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
631Data not computed