Properties

Label 45.45.148...969.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $1.487\times 10^{106}$
Root discriminant $228.76$
Ramified primes $3, 31$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 9*x^44 - 117*x^43 + 1356*x^42 + 4455*x^41 - 86382*x^40 + 4596*x^39 + 3024342*x^38 - 5886234*x^37 - 62776190*x^36 + 223064037*x^35 + 751420521*x^34 - 4412144961*x^33 - 3725440704*x^32 + 54057041307*x^31 - 28786222110*x^30 - 426126343077*x^29 + 673008341841*x^28 + 2086637912508*x^27 - 5873721786378*x^26 - 5053254569676*x^25 + 30385493847345*x^24 - 5904503198856*x^23 - 98922911866245*x^22 + 93605350409913*x^21 + 191046717571311*x^20 - 349809055484526*x^19 - 147155959283342*x^18 + 707251464652203*x^17 - 217826629489476*x^16 - 797405893685064*x^15 + 705978096992721*x^14 + 378713501361567*x^13 - 782478874269585*x^12 + 139525392055671*x^11 + 385252617992454*x^10 - 250562776470715*x^9 - 36607492213488*x^8 + 95351499735039*x^7 - 31186566059442*x^6 - 5609742817023*x^5 + 6576945066567*x^4 - 1857401457582*x^3 + 224711418717*x^2 - 8430571116*x - 155181097)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 9*x^44 - 117*x^43 + 1356*x^42 + 4455*x^41 - 86382*x^40 + 4596*x^39 + 3024342*x^38 - 5886234*x^37 - 62776190*x^36 + 223064037*x^35 + 751420521*x^34 - 4412144961*x^33 - 3725440704*x^32 + 54057041307*x^31 - 28786222110*x^30 - 426126343077*x^29 + 673008341841*x^28 + 2086637912508*x^27 - 5873721786378*x^26 - 5053254569676*x^25 + 30385493847345*x^24 - 5904503198856*x^23 - 98922911866245*x^22 + 93605350409913*x^21 + 191046717571311*x^20 - 349809055484526*x^19 - 147155959283342*x^18 + 707251464652203*x^17 - 217826629489476*x^16 - 797405893685064*x^15 + 705978096992721*x^14 + 378713501361567*x^13 - 782478874269585*x^12 + 139525392055671*x^11 + 385252617992454*x^10 - 250562776470715*x^9 - 36607492213488*x^8 + 95351499735039*x^7 - 31186566059442*x^6 - 5609742817023*x^5 + 6576945066567*x^4 - 1857401457582*x^3 + 224711418717*x^2 - 8430571116*x - 155181097, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-155181097, -8430571116, 224711418717, -1857401457582, 6576945066567, -5609742817023, -31186566059442, 95351499735039, -36607492213488, -250562776470715, 385252617992454, 139525392055671, -782478874269585, 378713501361567, 705978096992721, -797405893685064, -217826629489476, 707251464652203, -147155959283342, -349809055484526, 191046717571311, 93605350409913, -98922911866245, -5904503198856, 30385493847345, -5053254569676, -5873721786378, 2086637912508, 673008341841, -426126343077, -28786222110, 54057041307, -3725440704, -4412144961, 751420521, 223064037, -62776190, -5886234, 3024342, 4596, -86382, 4455, 1356, -117, -9, 1]);
 

\( x^{45} - 9 x^{44} - 117 x^{43} + 1356 x^{42} + 4455 x^{41} - 86382 x^{40} + 4596 x^{39} + 3024342 x^{38} - 5886234 x^{37} - 62776190 x^{36} + 223064037 x^{35} + 751420521 x^{34} - 4412144961 x^{33} - 3725440704 x^{32} + 54057041307 x^{31} - 28786222110 x^{30} - 426126343077 x^{29} + 673008341841 x^{28} + 2086637912508 x^{27} - 5873721786378 x^{26} - 5053254569676 x^{25} + 30385493847345 x^{24} - 5904503198856 x^{23} - 98922911866245 x^{22} + 93605350409913 x^{21} + 191046717571311 x^{20} - 349809055484526 x^{19} - 147155959283342 x^{18} + 707251464652203 x^{17} - 217826629489476 x^{16} - 797405893685064 x^{15} + 705978096992721 x^{14} + 378713501361567 x^{13} - 782478874269585 x^{12} + 139525392055671 x^{11} + 385252617992454 x^{10} - 250562776470715 x^{9} - 36607492213488 x^{8} + 95351499735039 x^{7} - 31186566059442 x^{6} - 5609742817023 x^{5} + 6576945066567 x^{4} - 1857401457582 x^{3} + 224711418717 x^{2} - 8430571116 x - 155181097 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(148\!\cdots\!969\)\(\medspace = 3^{110}\cdot 31^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $228.76$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(837=3^{3}\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{837}(256,·)$, $\chi_{837}(1,·)$, $\chi_{837}(4,·)$, $\chi_{837}(652,·)$, $\chi_{837}(655,·)$, $\chi_{837}(16,·)$, $\chi_{837}(529,·)$, $\chi_{837}(535,·)$, $\chi_{837}(280,·)$, $\chi_{837}(388,·)$, $\chi_{837}(283,·)$, $\chi_{837}(157,·)$, $\chi_{837}(376,·)$, $\chi_{837}(667,·)$, $\chi_{837}(295,·)$, $\chi_{837}(808,·)$, $\chi_{837}(814,·)$, $\chi_{837}(559,·)$, $\chi_{837}(562,·)$, $\chi_{837}(436,·)$, $\chi_{837}(442,·)$, $\chi_{837}(187,·)$, $\chi_{837}(574,·)$, $\chi_{837}(373,·)$, $\chi_{837}(64,·)$, $\chi_{837}(70,·)$, $\chi_{837}(97,·)$, $\chi_{837}(202,·)$, $\chi_{837}(715,·)$, $\chi_{837}(721,·)$, $\chi_{837}(466,·)$, $\chi_{837}(163,·)$, $\chi_{837}(469,·)$, $\chi_{837}(343,·)$, $\chi_{837}(349,·)$, $\chi_{837}(94,·)$, $\chi_{837}(481,·)$, $\chi_{837}(745,·)$, $\chi_{837}(748,·)$, $\chi_{837}(109,·)$, $\chi_{837}(622,·)$, $\chi_{837}(628,·)$, $\chi_{837}(190,·)$, $\chi_{837}(760,·)$, $\chi_{837}(250,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{5} a^{36} - \frac{2}{5} a^{35} - \frac{1}{5} a^{34} - \frac{2}{5} a^{33} + \frac{1}{5} a^{32} - \frac{2}{5} a^{31} - \frac{1}{5} a^{30} + \frac{2}{5} a^{29} - \frac{1}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{24} - \frac{2}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} + \frac{2}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{37} + \frac{1}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{33} - \frac{2}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{26} + \frac{2}{5} a^{25} + \frac{1}{5} a^{24} + \frac{2}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} - \frac{2}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{38} + \frac{1}{5} a^{35} + \frac{2}{5} a^{34} - \frac{2}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{27} + \frac{2}{5} a^{26} + \frac{1}{5} a^{25} + \frac{2}{5} a^{24} - \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{39} - \frac{1}{5} a^{35} + \frac{1}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{33} - \frac{1}{5} a^{32} + \frac{1}{5} a^{30} - \frac{2}{5} a^{29} + \frac{2}{5} a^{28} - \frac{2}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{23} - \frac{2}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{40} - \frac{1}{5} a^{35} + \frac{1}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{33} + \frac{1}{5} a^{32} - \frac{1}{5} a^{31} + \frac{2}{5} a^{30} - \frac{1}{5} a^{29} - \frac{1}{5} a^{28} + \frac{2}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} + \frac{2}{5} a^{24} - \frac{2}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{41} - \frac{1}{5} a^{35} + \frac{1}{5} a^{34} - \frac{1}{5} a^{33} - \frac{2}{5} a^{30} + \frac{1}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} + \frac{1}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{25} + \frac{2}{5} a^{24} + \frac{2}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{20} - \frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{2536915} a^{42} - \frac{225354}{2536915} a^{41} - \frac{250386}{2536915} a^{40} + \frac{178183}{2536915} a^{39} - \frac{116036}{2536915} a^{38} - \frac{2993}{507383} a^{37} - \frac{79711}{2536915} a^{36} + \frac{467062}{2536915} a^{35} + \frac{125147}{507383} a^{34} - \frac{211527}{2536915} a^{33} + \frac{502301}{2536915} a^{32} - \frac{920006}{2536915} a^{31} - \frac{918368}{2536915} a^{30} - \frac{384288}{2536915} a^{29} + \frac{15494}{2536915} a^{28} + \frac{216943}{2536915} a^{27} + \frac{78881}{507383} a^{26} - \frac{866433}{2536915} a^{25} - \frac{56657}{507383} a^{24} - \frac{1218792}{2536915} a^{23} - \frac{870953}{2536915} a^{22} - \frac{1205484}{2536915} a^{21} - \frac{234942}{507383} a^{20} + \frac{702932}{2536915} a^{19} + \frac{690114}{2536915} a^{18} + \frac{77003}{507383} a^{17} + \frac{614031}{2536915} a^{16} - \frac{31239}{507383} a^{15} - \frac{1119864}{2536915} a^{14} + \frac{808968}{2536915} a^{13} + \frac{245050}{507383} a^{12} - \frac{197956}{2536915} a^{11} - \frac{518826}{2536915} a^{10} - \frac{1002586}{2536915} a^{9} + \frac{322329}{2536915} a^{8} + \frac{651611}{2536915} a^{7} + \frac{416507}{2536915} a^{6} + \frac{906634}{2536915} a^{5} - \frac{1153298}{2536915} a^{4} + \frac{475007}{2536915} a^{3} - \frac{222221}{507383} a^{2} + \frac{29253}{2536915} a + \frac{428487}{2536915}$, $\frac{1}{947991860285} a^{43} - \frac{143333}{947991860285} a^{42} + \frac{50939682921}{947991860285} a^{41} + \frac{45754886559}{947991860285} a^{40} - \frac{4761287697}{189598372057} a^{39} - \frac{66891765978}{947991860285} a^{38} - \frac{57478540271}{947991860285} a^{37} - \frac{9603924160}{189598372057} a^{36} - \frac{347515677589}{947991860285} a^{35} - \frac{268974497034}{947991860285} a^{34} - \frac{10976359285}{189598372057} a^{33} + \frac{122395319188}{947991860285} a^{32} + \frac{261951501421}{947991860285} a^{31} - \frac{247909636551}{947991860285} a^{30} - \frac{356413749093}{947991860285} a^{29} + \frac{359930960123}{947991860285} a^{28} - \frac{196378684071}{947991860285} a^{27} - \frac{91691532787}{189598372057} a^{26} + \frac{326833404499}{947991860285} a^{25} - \frac{102047831784}{947991860285} a^{24} + \frac{40883125981}{947991860285} a^{23} + \frac{236702650382}{947991860285} a^{22} - \frac{3545778507}{189598372057} a^{21} + \frac{366817937253}{947991860285} a^{20} + \frac{351675191292}{947991860285} a^{19} + \frac{330739708628}{947991860285} a^{18} + \frac{191702900784}{947991860285} a^{17} + \frac{334406938899}{947991860285} a^{16} - \frac{433120349031}{947991860285} a^{15} - \frac{76805408392}{189598372057} a^{14} + \frac{212291147102}{947991860285} a^{13} - \frac{168409854344}{947991860285} a^{12} + \frac{185528855878}{947991860285} a^{11} + \frac{279301253969}{947991860285} a^{10} - \frac{115812405683}{947991860285} a^{9} - \frac{16574487922}{947991860285} a^{8} - \frac{261231212113}{947991860285} a^{7} + \frac{450286291369}{947991860285} a^{6} + \frac{335981740774}{947991860285} a^{5} - \frac{441713663722}{947991860285} a^{4} + \frac{273966559067}{947991860285} a^{3} + \frac{82019160309}{947991860285} a^{2} + \frac{4258332729}{947991860285} a - \frac{382130398654}{947991860285}$, $\frac{1}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{44} - \frac{619196027137447343013338582070862318966817673840254415545188829339371320258248560680189910701889505542083403137910565596210462869608418503415050908407297622273059911453101587907000980059871242559285219911469683864236283800291576509}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{43} - \frac{4153381131657484680181587251083171831292816572780006432280849692183024023736809224293925785625660298714256680915782167174232162985316324750984523681499236991770327719912706686518097141181044573393975250751918097359787841413243112672734698}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{42} - \frac{7446923693474138071764009950079400320045047614537967000826738230557482073225858914122138072598883927554130540188362211817151368506894800923615087962178691338449133654669039005030343298890197275899687237596724547473019814342830189152829522888}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{41} - \frac{531139640908304356334102344195429197245175196311545956660223265513779269553827678569147896430484012723565741484395043843891615056861119174459876707176835162603941867441272108636665947240894174202709657844457312182186930752991184733160065766564}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{40} - \frac{333695044976998474774179675833080767122860366251782487113293504843715730755363071994370188052279677378192040732982177122711310477177400830475744235633923779045078749712437235099052989109454957252907468883188947834928299256369137468457410153761}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{39} + \frac{778676038857508914326960888518378183338463054000536489435938786614145984121593672032367590222627234887218545044290589778497984802958142816146043234617125809712343434754811687578337664995126663218707412370981611206658379544281086106927812092763}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{38} + \frac{1196272261016464533155512945774696768079507520115061352036621583019888328417809915583338720537091241130664971134709930412142477566974695466024084593698717059477330368213900159318585661293862102638672496674124450364779931322586140416855480565062}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{37} + \frac{811304114640413907302418344682725121947274857212643637873440288285467613709512487770996663613105599098860456819697842190285533152254401942713147798802245416463464655926668817488401385139502401085916645805321329839220418602941706946683998199701}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{36} - \frac{549252547707447954688485911692714965933783338156366330770915426760539517182615191381760961946191556728197716813980275519212063929146568639637759224276239649780431952261287001033662494548655411894793829306863105345216205274536739287053481369000}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{35} - \frac{9818062281184236290646514742322923601618827579535129258079122694348146033221433080444312265274544315458023882117033301040393738623257242090293981666456368652704206081508568720767517319890896622703989652914376941284141210166754972686386650199924}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{34} - \frac{9496536779390661178984021479607365260525111997435168173943864937473167356865682124176581299950091110770801005050242410976431784552281240226768810440356661151994696546762092846935681132799636092201503751071597784345465460340637195082222654209748}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{33} + \frac{1076070831017526279028758664478857315415266397964129434555813299463682442921393892518881694411190036066396353668945190782321121701836265365086058558012910074187319800986250148556928973415788232658682942538857157993995511182797198366452639048476}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{32} + \frac{6976899192519385571889350465522898550825810673240266947844527689263112549088696327522250356129190669369422290324681315993378712996854181453196888148187976139554588490283844077427541382707255557611903016860139438757980258598935275558370626164728}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{31} + \frac{5125869025282909112911453440267147682917497245973643398851304630563767723437425654395591780984193482558753956787064575672732340250544627658906995888805378133671926738538650117625021369977065079124173403307433016302015181627892390594939448139799}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{30} + \frac{3598644518865012945240968833782317898490332493641949662504718148395232701763223596857966143071651331973416293757217428523674128065569834728407587158715556969224339528316017794072558141444662354739960506028088705948808011461960286549355298198}{50231830364033504889101280117472546435596240121679792741574169017922663107685946009596660346679262398106000772109211559840659981000860550981778200844833557967463266875850226279237854032001198954976523077886261929812158462469493151140564679965} a^{29} - \frac{1299551144287638450741018942630255866636029963440686938293908302646611633134547167832414467110163838502548300374719833293248387472136001993642591395417575987189364513140699539349519124529565833896486884246518939893898198454834355130640704146636}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{28} + \frac{2115446578904637053569186976670514296608813674661288454173154455893798910623702803073456672829463589646649236163190499047268540010074949954462198673288458041104400898976860109862907007752027188212477757124384282209301231390253076199819205455568}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{27} - \frac{4771998238540573615602505925232359247123364544806390280659526929184090504892502740405935203542246026170454323166128490566963241823061812613351043398116735625360687113707966074987115730652378081500462123352829912277887756081827812719665643623744}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{26} + \frac{618809965456793780761437423511301513105447071578385970930120393519919131603137122218026890121693800364855524967953707645468941386209045844716973038688579484797270355806710474229767387754503107376031700718222248255567482517173480475958415991491}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{25} - \frac{8755586577435141342253275066970808364388242908947227962286867752714098825130604034658337236635577154660933108195087856871305974656067833267039219478920495579661222351480553165211420620165992410085838861678513799124217932202749714098366718530752}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{24} - \frac{4468020695778281762820972660582414458054200218845327126112055992857625291543763916185518955568232863222876684423566283440056429902247787153250188831262705617417622499860859887643170639022777649836210301746138573147243021896880699513348281831227}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{23} - \frac{2170179815642367503621765027749644605148760848609697261964906569858128208953538487589506759817738640830827197874227873508691987728317957989777486343303811678673408782926054853263129089260069713387147556876118712759252564699289903061535914104642}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{22} - \frac{4831255903525484913232595399217266646068608216298920193119841069140025794455170496651701542694525602564229396156472971157347733942682660919979810868290806511878954004960280068190295959853565580691222304563680052576204730516200314050511520368078}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{21} - \frac{4922299654994593036648468074403134602491472806918218052035018212223886281609132716249999057932275793771322255224461060603860093501539554735459453546247814943873270823536790233480217962655664133067606974130319004822563213919917671295968500381312}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{20} - \frac{773654731224409321405381042558689707112491293433624080932980138455321284831491933456083332579143654785900405138909169382293110880805544702532181260156608683696530834137853295083114341337055871644505312540868778277975038397290883843938778950946}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{19} + \frac{739247712253238408819591484211510659421828794009027161839977537430045340183206757979131186557567071897314847077610825464149311036618342044704031012112493211295062299919782376982342094200656192552012626313477155724686539763627905713049099990640}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{18} + \frac{3569801922990696681174888260220110161070254922565399719001272987708196199740530526539762801767861516093575054014463356387207844557507759587987060152524908736282173387352188470611488567914334977152189093728515351314652546311335897828651767945574}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{17} + \frac{1238593084234645001415722141646046500743929708140453158402944272053797802517940812412966607211763722645622434070030776170516190974239945330823488983608723655057217787141056973376154314654483132646642454472693317443314607064857828926681224172959}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{16} - \frac{384310255278125361710663180161379082794675132893082510398232984155335373356822904927167477956831342051535580325793438548260047896507043722131483904443778189910373828525413153985991511931888081573674010531342334169198239498158431660023366532368}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{15} - \frac{10010304638223921657707200656146214755843253093202472879910836232518662830911312564357579860115610867337062328875599338125765400442140805392517565808649343743360105590194963420550959712895624869554502324911112044515547615067747092778905859755816}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{14} - \frac{5560974721795885129613613563206426939318986053114773297779196300852511387087110948784702809483254036279739123520002076528856502823989008847694935016331238126994304831445655142577341329517149916844503508034301227422065734398037705405353957958478}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{13} - \frac{3975475326238926449547236919376721603308204206068478897166360406380872974401984532460880826965303232878621238032201949780041509178558932001581112868368793986004070567268300312820469437370475426220400643107066379587236241184716827362603307059121}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{12} + \frac{61696091493443155267092167260298921004782759123443021091222115450525139898709324578948239626098251863379606232073880549773938477402158177441249848834455110895007166576643053432682846998695004201232450850631131382596931841344458263759777470639}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{11} + \frac{2120958807385575446625841799474111710662940510445297399575283960829780094263269645543054762805073550505135981142472093912432810758975556215554538224859468979092648603297357997634402311366584625824226825555570896071727697094576650798875468879726}{4350076509525301523396170858173122521322634394537470051420323036952102625125602924431070786022424123675979666864657721082201154354674523715021992193162586119982318911448629595781998159171303829500966898544950283121732922849858106888772901284969} a^{10} + \frac{5634670557556083555815325594760563415632287177189328335488831532441633275317498561108560296274027722009057523165795489073347140328147934612523315770945394207662807860774397582393587281222905172726470693468071126403017514658044214703265878948402}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{9} - \frac{6766177889678187198082213182907690743251261386749999601541052841846080553319835085653744273823959088811336288464943858144363048731348428953463418378950457527494374955523500985338569279875429500150495998807266969479754293068782307326082215731931}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{8} + \frac{8098287848372211863310609743671559533743721880666196556300469879218416676885259999338954671067088773314333927011266471332077505994785798596754136051364080632647003010616886664242482696386764855787181274415612296031820950975127919735803736435829}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{7} + \frac{4894429603254656999699660305108226053886253348165141208892804189155257222451897812316524846029414794751898697199216918172082393578708140994261195093010580115876716634123458999526554366369621314092527399435371837279187943930417030216922496811493}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{6} + \frac{7227370601568713350595476150640208925964492445782507495372080778540317845173236068906944735237530247694697688434849303731850549145052988079620678919252080416335991403656468580415114463700359795507044451270625066433153890284979515865926649580403}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{5} - \frac{3666003025024788662004592544152170442149109853937685615407892287201434551166210319657536274577681362358501097711386208644336891511019973191693239079279987125699321232922762261285872142058213491312334678183244217442145692978407938600861435611658}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{4} - \frac{4834594200840651041798286666212038415730003856696637369021216915515896552040556784731914066672648759916439658759485996120146736010707234686532579156370543291340125419222590416399209074108104794400163385733523213634036837669799399519045004810656}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{3} - \frac{5672808755794921972485370249161942432388427856607920178087463953767934780468298754583960296687806759843467439286052277926079708085170923657272327779736380969846731523848695524304690231792546653891664396769295559093794490627059243314776224379041}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a^{2} - \frac{6338255016231649423458435702049901573957830599338081023614977678660745378314327132383654675240892876454673064044291547701689859525789284495009286840070022143010496077455891900456428866057817297833693690129737009329727058515160032555091872353594}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845} a + \frac{6617391158779044365001070607443028130159895879200504002583122525438448691743846781343502668813708345971392879409169862048015632994801170025583955736107446818781864631107860824221080257171908560907968544566103523644968689364582685808487904404714}{21750382547626507616980854290865612606613171972687350257101615184760513125628014622155353930112120618379898334323288605411005771773372618575109960965812930599911594557243147978909990795856519147504834492724751415608664614249290534443864506424845}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.923521.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 15.15.2746410307762150989067078161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ R ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $45$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
31Data not computed