↑

Properties

Label 45.45.1452511340...5625.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $3^{110}\cdot 5^{72}\cdot 7^{30}$
Root discriminant $704.77$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-590853882275877928051, 962856059758028766000, 4364427095684793436455, -7384180461426127160085, -12357737759032549793910, 22309730515069053518007, 17824222842236062894620, -35575199549974912329720, -15381845148763424249595, 34874234036662661709790, 8682845910441742023282, -22910055234298495107705, -3371210816209569497640, 10627061962090582654110, 923466062064296090340, -3599544539513840994561, -179155622656544263020, 910696270150898332560, 23967073213944676200, -174876652470227272425, -1985231360941689096, 25784812076734555395, 48992183131797450, -2943940759190944605, 11271368345506350, 261763528325097456, -1824826126771305, -18180734782835775, 150836777573085, 986367960064890, -8241887649933, -41653515488175, 315141440355, 1358265132105, -8496416565, -33730092612, 158308900, 623822085, -1937610, -8290800, 13986, 74565, -45, -405, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 405*x^43 - 45*x^42 + 74565*x^41 + 13986*x^40 - 8290800*x^39 - 1937610*x^38 + 623822085*x^37 + 158308900*x^36 - 33730092612*x^35 - 8496416565*x^34 + 1358265132105*x^33 + 315141440355*x^32 - 41653515488175*x^31 - 8241887649933*x^30 + 986367960064890*x^29 + 150836777573085*x^28 - 18180734782835775*x^27 - 1824826126771305*x^26 + 261763528325097456*x^25 + 11271368345506350*x^24 - 2943940759190944605*x^23 + 48992183131797450*x^22 + 25784812076734555395*x^21 - 1985231360941689096*x^20 - 174876652470227272425*x^19 + 23967073213944676200*x^18 + 910696270150898332560*x^17 - 179155622656544263020*x^16 - 3599544539513840994561*x^15 + 923466062064296090340*x^14 + 10627061962090582654110*x^13 - 3371210816209569497640*x^12 - 22910055234298495107705*x^11 + 8682845910441742023282*x^10 + 34874234036662661709790*x^9 - 15381845148763424249595*x^8 - 35575199549974912329720*x^7 + 17824222842236062894620*x^6 + 22309730515069053518007*x^5 - 12357737759032549793910*x^4 - 7384180461426127160085*x^3 + 4364427095684793436455*x^2 + 962856059758028766000*x - 590853882275877928051)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 405*x^43 - 45*x^42 + 74565*x^41 + 13986*x^40 - 8290800*x^39 - 1937610*x^38 + 623822085*x^37 + 158308900*x^36 - 33730092612*x^35 - 8496416565*x^34 + 1358265132105*x^33 + 315141440355*x^32 - 41653515488175*x^31 - 8241887649933*x^30 + 986367960064890*x^29 + 150836777573085*x^28 - 18180734782835775*x^27 - 1824826126771305*x^26 + 261763528325097456*x^25 + 11271368345506350*x^24 - 2943940759190944605*x^23 + 48992183131797450*x^22 + 25784812076734555395*x^21 - 1985231360941689096*x^20 - 174876652470227272425*x^19 + 23967073213944676200*x^18 + 910696270150898332560*x^17 - 179155622656544263020*x^16 - 3599544539513840994561*x^15 + 923466062064296090340*x^14 + 10627061962090582654110*x^13 - 3371210816209569497640*x^12 - 22910055234298495107705*x^11 + 8682845910441742023282*x^10 + 34874234036662661709790*x^9 - 15381845148763424249595*x^8 - 35575199549974912329720*x^7 + 17824222842236062894620*x^6 + 22309730515069053518007*x^5 - 12357737759032549793910*x^4 - 7384180461426127160085*x^3 + 4364427095684793436455*x^2 + 962856059758028766000*x - 590853882275877928051, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - 405 x^{43} - 45 x^{42} + 74565 x^{41} + 13986 x^{40} - 8290800 x^{39} - 1937610 x^{38} + 623822085 x^{37} + 158308900 x^{36} - 33730092612 x^{35} - 8496416565 x^{34} + 1358265132105 x^{33} + 315141440355 x^{32} - 41653515488175 x^{31} - 8241887649933 x^{30} + 986367960064890 x^{29} + 150836777573085 x^{28} - 18180734782835775 x^{27} - 1824826126771305 x^{26} + 261763528325097456 x^{25} + 11271368345506350 x^{24} - 2943940759190944605 x^{23} + 48992183131797450 x^{22} + 25784812076734555395 x^{21} - 1985231360941689096 x^{20} - 174876652470227272425 x^{19} + 23967073213944676200 x^{18} + 910696270150898332560 x^{17} - 179155622656544263020 x^{16} - 3599544539513840994561 x^{15} + 923466062064296090340 x^{14} + 10627061962090582654110 x^{13} - 3371210816209569497640 x^{12} - 22910055234298495107705 x^{11} + 8682845910441742023282 x^{10} + 34874234036662661709790 x^{9} - 15381845148763424249595 x^{8} - 35575199549974912329720 x^{7} + 17824222842236062894620 x^{6} + 22309730515069053518007 x^{5} - 12357737759032549793910 x^{4} - 7384180461426127160085 x^{3} + 4364427095684793436455 x^{2} + 962856059758028766000 x - 590853882275877928051 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(145251134032895891800542990495810490845564676151386135305167614095927459824506204505456009867803146562437177635729312896728515625=3^{110}\cdot 5^{72}\cdot 7^{30}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $704.77$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(4725=3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{4725}(4096,·)$, $\chi_{4725}(1,·)$, $\chi_{4725}(646,·)$, $\chi_{4725}(3721,·)$, $\chi_{4725}(3466,·)$, $\chi_{4725}(256,·)$, $\chi_{4725}(4111,·)$, $\chi_{4725}(16,·)$, $\chi_{4725}(3091,·)$, $\chi_{4725}(2836,·)$, $\chi_{4725}(3481,·)$, $\chi_{4725}(2461,·)$, $\chi_{4725}(2206,·)$, $\chi_{4725}(2851,·)$, $\chi_{4725}(1831,·)$, $\chi_{4725}(1576,·)$, $\chi_{4725}(2221,·)$, $\chi_{4725}(1201,·)$, $\chi_{4725}(946,·)$, $\chi_{4725}(1591,·)$, $\chi_{4725}(4666,·)$, $\chi_{4725}(571,·)$, $\chi_{4725}(316,·)$, $\chi_{4725}(961,·)$, $\chi_{4725}(4036,·)$, $\chi_{4725}(3781,·)$, $\chi_{4725}(4426,·)$, $\chi_{4725}(331,·)$, $\chi_{4725}(3406,·)$, $\chi_{4725}(3151,·)$, $\chi_{4725}(3796,·)$, $\chi_{4725}(2776,·)$, $\chi_{4725}(2521,·)$, $\chi_{4725}(3166,·)$, $\chi_{4725}(2146,·)$, $\chi_{4725}(1891,·)$, $\chi_{4725}(2536,·)$, $\chi_{4725}(1516,·)$, $\chi_{4725}(1261,·)$, $\chi_{4725}(1906,·)$, $\chi_{4725}(886,·)$, $\chi_{4725}(631,·)$, $\chi_{4725}(4411,·)$, $\chi_{4725}(1276,·)$, $\chi_{4725}(4351,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} - \frac{3}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} - \frac{3}{7} a + \frac{1}{7}$, $\frac{1}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{3}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{14} + \frac{3}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a + \frac{1}{7}$, $\frac{1}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{3}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{3}{7} a - \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{16} + \frac{3}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{7} + \frac{2}{7} a^{6} - \frac{1}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} + \frac{2}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} + \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{1}{7} a^{5} - \frac{2}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a - \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{18} + \frac{1}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{3}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{2}{7} a + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{19} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a - \frac{1}{7}$, $\frac{1}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{3}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2} - \frac{3}{7} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} + \frac{2}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} + \frac{1}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} + \frac{2}{7} a - \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{22} + \frac{2}{7} a^{11} - \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} - \frac{1}{7} a + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} - \frac{3}{7} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} + \frac{3}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a - \frac{2}{7}$, $\frac{1}{49} a^{24} + \frac{3}{49} a^{23} + \frac{3}{49} a^{22} + \frac{1}{49} a^{18} + \frac{1}{49} a^{16} - \frac{2}{49} a^{15} + \frac{1}{49} a^{12} - \frac{1}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} + \frac{2}{49} a^{9} - \frac{17}{49} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} + \frac{1}{49} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{3} - \frac{2}{49} a^{2} + \frac{1}{49} a + \frac{1}{49}$, $\frac{1}{49} a^{25} + \frac{1}{49} a^{23} - \frac{2}{49} a^{22} + \frac{1}{49} a^{19} - \frac{3}{49} a^{18} + \frac{1}{49} a^{17} + \frac{2}{49} a^{16} - \frac{1}{49} a^{15} + \frac{1}{49} a^{13} - \frac{3}{49} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{19}{49} a^{10} + \frac{5}{49} a^{9} - \frac{19}{49} a^{8} - \frac{13}{49} a^{7} - \frac{24}{49} a^{6} + \frac{3}{7} a^{4} - \frac{9}{49} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2} + \frac{19}{49} a - \frac{3}{49}$, $\frac{1}{49} a^{26} + \frac{2}{49} a^{23} - \frac{3}{49} a^{22} + \frac{1}{49} a^{20} - \frac{3}{49} a^{19} + \frac{2}{49} a^{17} - \frac{2}{49} a^{16} + \frac{2}{49} a^{15} + \frac{1}{49} a^{14} - \frac{3}{49} a^{13} - \frac{1}{49} a^{12} - \frac{12}{49} a^{11} + \frac{12}{49} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} - \frac{10}{49} a^{8} - \frac{24}{49} a^{7} - \frac{22}{49} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{19}{49} a^{4} + \frac{2}{7} a^{2} + \frac{10}{49} a - \frac{1}{49}$, $\frac{1}{49} a^{27} - \frac{2}{49} a^{23} + \frac{1}{49} a^{22} + \frac{1}{49} a^{21} - \frac{3}{49} a^{20} - \frac{2}{49} a^{17} - \frac{2}{49} a^{15} - \frac{3}{49} a^{14} - \frac{1}{49} a^{13} + \frac{12}{49} a^{11} - \frac{3}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} + \frac{24}{49} a^{8} + \frac{6}{49} a^{7} - \frac{16}{49} a^{6} - \frac{23}{49} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{17}{49} a - \frac{16}{49}$, $\frac{1}{49} a^{28} - \frac{3}{49} a^{21} - \frac{1}{49} a^{14} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} + \frac{5}{49} a^{7} - \frac{2}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{16}{49}$, $\frac{1}{49} a^{29} - \frac{3}{49} a^{22} - \frac{1}{49} a^{15} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} - \frac{9}{49} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} + \frac{2}{49} a + \frac{3}{7}$, $\frac{1}{49} a^{30} - \frac{3}{49} a^{23} - \frac{1}{49} a^{16} - \frac{1}{7} a^{10} + \frac{5}{49} a^{9} - \frac{3}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} + \frac{1}{7} a^{6} - \frac{2}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} - \frac{19}{49} a^{2} + \frac{2}{7} a - \frac{2}{7}$, $\frac{1}{49} a^{31} + \frac{2}{49} a^{23} + \frac{2}{49} a^{22} + \frac{3}{49} a^{18} - \frac{1}{49} a^{17} + \frac{3}{49} a^{16} + \frac{1}{49} a^{15} + \frac{3}{49} a^{12} + \frac{1}{7} a^{11} - \frac{9}{49} a^{10} - \frac{1}{49} a^{9} - \frac{16}{49} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} + \frac{3}{49} a^{6} + \frac{2}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{2}{49} a^{3} - \frac{13}{49} a^{2} + \frac{10}{49} a - \frac{18}{49}$, $\frac{1}{49} a^{32} + \frac{3}{49} a^{23} + \frac{1}{49} a^{22} + \frac{3}{49} a^{19} - \frac{3}{49} a^{18} + \frac{3}{49} a^{17} - \frac{1}{49} a^{16} - \frac{3}{49} a^{15} + \frac{3}{49} a^{13} - \frac{2}{49} a^{12} - \frac{16}{49} a^{11} - \frac{15}{49} a^{10} + \frac{22}{49} a^{9} - \frac{8}{49} a^{8} - \frac{4}{49} a^{7} - \frac{23}{49} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{23}{49} a^{4} - \frac{13}{49} a^{3} - \frac{20}{49} a + \frac{12}{49}$, $\frac{1}{49} a^{33} - \frac{1}{49} a^{23} - \frac{2}{49} a^{22} + \frac{3}{49} a^{20} - \frac{3}{49} a^{19} - \frac{1}{49} a^{17} + \frac{1}{49} a^{16} - \frac{1}{49} a^{15} + \frac{3}{49} a^{14} - \frac{2}{49} a^{13} + \frac{2}{49} a^{12} - \frac{1}{49} a^{11} - \frac{6}{49} a^{10} - \frac{9}{49} a^{8} + \frac{19}{49} a^{7} + \frac{18}{49} a^{6} + \frac{2}{49} a^{5} - \frac{6}{49} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2} - \frac{12}{49} a + \frac{11}{49}$, $\frac{1}{49} a^{34} + \frac{1}{49} a^{23} + \frac{3}{49} a^{22} + \frac{3}{49} a^{21} - \frac{3}{49} a^{20} + \frac{1}{49} a^{17} + \frac{1}{49} a^{15} - \frac{2}{49} a^{14} + \frac{2}{49} a^{13} - \frac{13}{49} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} + \frac{2}{49} a^{8} + \frac{11}{49} a^{7} + \frac{3}{49} a^{6} + \frac{1}{49} a^{5} + \frac{3}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{12}{49} a + \frac{1}{49}$, $\frac{1}{49} a^{35} - \frac{3}{49} a^{21} + \frac{2}{49} a^{14} + \frac{3}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} - \frac{2}{7} a^{8} + \frac{17}{49} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{5} - \frac{1}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a + \frac{13}{49}$, $\frac{1}{343} a^{36} + \frac{1}{343} a^{35} + \frac{2}{343} a^{33} + \frac{3}{343} a^{32} - \frac{1}{343} a^{31} + \frac{3}{343} a^{29} + \frac{1}{343} a^{28} + \frac{1}{343} a^{26} - \frac{2}{343} a^{25} + \frac{3}{343} a^{24} + \frac{23}{343} a^{22} + \frac{15}{343} a^{21} - \frac{2}{49} a^{20} - \frac{9}{343} a^{19} + \frac{18}{343} a^{18} + \frac{15}{343} a^{17} + \frac{3}{49} a^{16} - \frac{15}{343} a^{15} - \frac{13}{343} a^{14} + \frac{3}{49} a^{13} + \frac{24}{343} a^{12} - \frac{132}{343} a^{11} - \frac{131}{343} a^{10} - \frac{23}{49} a^{9} - \frac{80}{343} a^{8} - \frac{55}{343} a^{7} - \frac{24}{49} a^{6} - \frac{94}{343} a^{5} - \frac{22}{343} a^{4} - \frac{16}{343} a^{3} + \frac{15}{49} a^{2} - \frac{51}{343} a + \frac{92}{343}$, $\frac{1}{2401} a^{37} - \frac{3}{2401} a^{36} + \frac{3}{2401} a^{35} - \frac{12}{2401} a^{34} - \frac{5}{2401} a^{33} - \frac{6}{2401} a^{32} - \frac{17}{2401} a^{31} - \frac{4}{2401} a^{30} - \frac{11}{2401} a^{29} - \frac{11}{2401} a^{28} + \frac{1}{2401} a^{27} - \frac{20}{2401} a^{26} - \frac{3}{2401} a^{25} + \frac{16}{2401} a^{24} + \frac{51}{2401} a^{23} + \frac{1}{49} a^{22} - \frac{18}{2401} a^{21} - \frac{121}{2401} a^{20} + \frac{103}{2401} a^{19} - \frac{22}{2401} a^{18} + \frac{45}{2401} a^{17} + \frac{111}{2401} a^{16} - \frac{128}{2401} a^{15} + \frac{108}{2401} a^{14} + \frac{157}{2401} a^{13} + \frac{171}{2401} a^{12} + \frac{1076}{2401} a^{11} + \frac{104}{2401} a^{10} - \frac{682}{2401} a^{9} + \frac{300}{2401} a^{8} + \frac{80}{2401} a^{7} - \frac{1123}{2401} a^{6} - \frac{885}{2401} a^{5} - \frac{1160}{2401} a^{4} + \frac{897}{2401} a^{3} - \frac{415}{2401} a^{2} + \frac{37}{2401} a - \frac{1033}{2401}$, $\frac{1}{2401} a^{38} + \frac{1}{2401} a^{36} + \frac{4}{2401} a^{35} + \frac{8}{2401} a^{34} - \frac{1}{343} a^{33} - \frac{2}{343} a^{32} - \frac{13}{2401} a^{31} - \frac{23}{2401} a^{30} - \frac{23}{2401} a^{29} + \frac{24}{2401} a^{28} - \frac{17}{2401} a^{27} - \frac{1}{343} a^{26} - \frac{1}{343} a^{25} + \frac{22}{2401} a^{24} + \frac{153}{2401} a^{23} + \frac{94}{2401} a^{22} - \frac{10}{343} a^{21} - \frac{113}{2401} a^{20} + \frac{11}{343} a^{19} + \frac{22}{343} a^{18} + \frac{106}{2401} a^{17} - \frac{40}{2401} a^{16} + \frac{11}{2401} a^{15} - \frac{51}{2401} a^{14} + \frac{54}{2401} a^{13} + \frac{6}{343} a^{12} - \frac{27}{343} a^{11} + \frac{232}{2401} a^{10} + \frac{312}{2401} a^{9} + \frac{32}{343} a^{8} + \frac{741}{2401} a^{7} + \frac{548}{2401} a^{6} - \frac{44}{343} a^{5} - \frac{160}{343} a^{4} + \frac{547}{2401} a^{3} - \frac{228}{2401} a^{2} + \frac{877}{2401} a - \frac{250}{2401}$, $\frac{1}{2401} a^{39} - \frac{2}{2401} a^{35} + \frac{5}{2401} a^{34} - \frac{23}{2401} a^{33} + \frac{3}{343} a^{32} + \frac{1}{2401} a^{31} - \frac{19}{2401} a^{30} + \frac{2}{343} a^{29} - \frac{13}{2401} a^{28} - \frac{8}{2401} a^{27} + \frac{6}{2401} a^{26} - \frac{10}{2401} a^{25} + \frac{18}{2401} a^{24} - \frac{153}{2401} a^{23} - \frac{12}{343} a^{22} + \frac{143}{2401} a^{21} - \frac{47}{2401} a^{20} - \frac{131}{2401} a^{19} - \frac{96}{2401} a^{18} - \frac{92}{2401} a^{17} - \frac{149}{2401} a^{16} - \frac{9}{343} a^{15} + \frac{37}{2401} a^{14} - \frac{164}{2401} a^{13} + \frac{109}{2401} a^{12} - \frac{704}{2401} a^{11} - \frac{394}{2401} a^{10} - \frac{417}{2401} a^{9} + \frac{115}{343} a^{8} + \frac{608}{2401} a^{7} - \frac{459}{2401} a^{6} - \frac{606}{2401} a^{5} - \frac{99}{2401} a^{4} - \frac{523}{2401} a^{3} - \frac{619}{2401} a^{2} + \frac{17}{343} a + \frac{683}{2401}$, $\frac{1}{16807} a^{40} - \frac{1}{16807} a^{39} + \frac{3}{16807} a^{38} + \frac{3}{16807} a^{37} + \frac{6}{16807} a^{36} - \frac{15}{2401} a^{35} + \frac{156}{16807} a^{34} - \frac{160}{16807} a^{33} + \frac{158}{16807} a^{32} + \frac{170}{16807} a^{31} + \frac{1}{16807} a^{30} + \frac{11}{16807} a^{29} + \frac{156}{16807} a^{28} - \frac{83}{16807} a^{27} + \frac{15}{16807} a^{26} + \frac{117}{16807} a^{25} - \frac{15}{16807} a^{24} + \frac{1171}{16807} a^{23} - \frac{590}{16807} a^{22} + \frac{1128}{16807} a^{21} + \frac{1174}{16807} a^{20} + \frac{792}{16807} a^{19} + \frac{505}{16807} a^{18} - \frac{325}{16807} a^{17} - \frac{926}{16807} a^{16} + \frac{29}{16807} a^{15} + \frac{33}{16807} a^{14} + \frac{759}{16807} a^{13} + \frac{1093}{16807} a^{12} + \frac{3475}{16807} a^{11} - \frac{3789}{16807} a^{10} + \frac{800}{2401} a^{9} - \frac{7291}{16807} a^{8} - \frac{4519}{16807} a^{7} + \frac{1117}{16807} a^{6} - \frac{3800}{16807} a^{5} + \frac{7177}{16807} a^{4} + \frac{7932}{16807} a^{3} - \frac{701}{16807} a^{2} + \frac{2200}{16807} a + \frac{2734}{16807}$, $\frac{1}{16807} a^{41} + \frac{2}{16807} a^{39} - \frac{1}{16807} a^{38} + \frac{2}{16807} a^{37} + \frac{13}{16807} a^{36} + \frac{100}{16807} a^{35} + \frac{24}{16807} a^{34} - \frac{65}{16807} a^{33} + \frac{76}{16807} a^{32} - \frac{60}{16807} a^{31} - \frac{142}{16807} a^{30} + \frac{13}{16807} a^{29} + \frac{80}{16807} a^{28} + \frac{44}{16807} a^{27} + \frac{76}{16807} a^{26} - \frac{24}{16807} a^{25} + \frac{155}{16807} a^{24} - \frac{170}{2401} a^{23} + \frac{1105}{16807} a^{22} - \frac{414}{16807} a^{21} + \frac{860}{16807} a^{20} - \frac{845}{16807} a^{19} + \frac{1020}{16807} a^{18} - \frac{495}{16807} a^{17} - \frac{22}{16807} a^{16} + \frac{1126}{16807} a^{15} + \frac{148}{16807} a^{14} - \frac{311}{16807} a^{13} - \frac{402}{16807} a^{12} + \frac{7981}{16807} a^{11} - \frac{4461}{16807} a^{10} - \frac{4589}{16807} a^{9} - \frac{3767}{16807} a^{8} + \frac{961}{2401} a^{7} + \frac{7173}{16807} a^{6} + \frac{1830}{16807} a^{5} + \frac{1473}{16807} a^{4} + \frac{884}{2401} a^{3} - \frac{1889}{16807} a^{2} + \frac{4514}{16807} a - \frac{2593}{16807}$, $\frac{1}{16807} a^{42} + \frac{1}{16807} a^{39} + \frac{3}{16807} a^{38} + \frac{18}{16807} a^{36} + \frac{143}{16807} a^{35} + \frac{106}{16807} a^{34} - \frac{157}{16807} a^{33} - \frac{40}{16807} a^{32} - \frac{13}{16807} a^{31} - \frac{122}{16807} a^{30} + \frac{23}{16807} a^{29} - \frac{121}{16807} a^{28} + \frac{116}{16807} a^{27} - \frac{61}{16807} a^{26} + \frac{89}{16807} a^{25} - \frac{40}{16807} a^{24} - \frac{180}{16807} a^{23} + \frac{199}{16807} a^{22} + \frac{200}{16807} a^{21} + \frac{979}{16807} a^{20} + \frac{822}{16807} a^{19} + \frac{101}{2401} a^{18} - \frac{415}{16807} a^{17} - \frac{1166}{16807} a^{16} + \frac{818}{16807} a^{15} + \frac{470}{16807} a^{14} + \frac{1132}{16807} a^{13} + \frac{482}{16807} a^{12} + \frac{1588}{16807} a^{11} - \frac{943}{2401} a^{10} - \frac{5951}{16807} a^{9} + \frac{7008}{16807} a^{8} - \frac{869}{16807} a^{7} + \frac{6834}{16807} a^{6} - \frac{6831}{16807} a^{5} - \frac{2300}{16807} a^{4} + \frac{1945}{16807} a^{3} - \frac{664}{16807} a^{2} - \frac{1160}{2401} a + \frac{601}{16807}$, $\frac{1}{117649} a^{43} + \frac{1}{117649} a^{42} + \frac{2}{117649} a^{40} + \frac{17}{117649} a^{39} - \frac{22}{117649} a^{38} + \frac{2}{16807} a^{37} + \frac{13}{117649} a^{36} - \frac{850}{117649} a^{35} - \frac{44}{16807} a^{34} - \frac{155}{16807} a^{33} - \frac{13}{2401} a^{32} + \frac{97}{16807} a^{31} + \frac{44}{16807} a^{30} - \frac{983}{117649} a^{29} + \frac{942}{117649} a^{28} + \frac{47}{16807} a^{27} + \frac{1002}{117649} a^{26} + \frac{880}{117649} a^{25} + \frac{220}{117649} a^{24} + \frac{622}{16807} a^{23} + \frac{1195}{117649} a^{22} - \frac{4728}{117649} a^{21} - \frac{76}{16807} a^{20} + \frac{2363}{117649} a^{19} + \frac{3282}{117649} a^{18} - \frac{450}{117649} a^{17} - \frac{333}{16807} a^{16} - \frac{6033}{117649} a^{15} - \frac{409}{117649} a^{14} + \frac{912}{16807} a^{13} - \frac{2584}{117649} a^{12} + \frac{21205}{117649} a^{11} - \frac{33834}{117649} a^{10} + \frac{678}{16807} a^{9} + \frac{2187}{117649} a^{8} - \frac{16642}{117649} a^{7} + \frac{180}{2401} a^{6} + \frac{25401}{117649} a^{5} + \frac{41976}{117649} a^{4} - \frac{7062}{117649} a^{3} + \frac{2654}{16807} a^{2} - \frac{58015}{117649} a - \frac{20696}{117649}$, $\frac{1}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{44} + \frac{2832804486448981414623193039331818811790648230764429046750104504419716562972009754092028432896447835486930200403626991477824458553299150888692124405230819686916253419891454198979122835218368045133996529442226341486886061873937539922696805428579356910902388636035904854437594147373866027011227774616655404762903646885072445555743299226292615308595841828562696968516833613511570829312}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{43} + \frac{67457245328727398863299574750442147733946681161832491986539668184687038155724239343677007031810148072768212909868577321151822977971077024320709168133608923088382756026353063331437179476938072660391545601269595901793571278386495441654182601910929641921380576861749444542247224152006931032479236911587188790028633749724636984652997244650931637922835145273742999829413708333608484869749}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{42} + \frac{41295293439451646896032172937463697148769802159136192288936529363033149447146376868697210182568917344174900487044292080384072494211569972107992719148451449182194600304684144195382666139863989615866513706917571342618522836256021095343425979556344652895141365638997067044200807027235037980484502518192798711942363708760562689812949402054298231360214022612465187259327991469224748660866}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{41} + \frac{2402025216585137070355666240186844347909420621161113652192439131231921616954158024954884229161456280163352893474268586938747849842322519448113379963987118570109225115253692093933212831557797411143921348322895188001349618671864248120915071382050907567040833722216752247501560502353256916332742807018469799780489255916128705089594013181806837902536555391407749919101070351377241269763}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{40} + \frac{85434797752795847819093975754053511951899452290350633304891236989546421452203096586707722077098133763105625707802182742060770049199525637768344141313068437420918986021560847371187380941382260406654548520592258602408710293233671045173673242258892851669904619922546269844568492541700152402934404018638820280259951397474694640432885206070890976750960385344415890062223037998311017459482}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{39} - \frac{258889792868777619806137108739295449173442079237048310818217975462688112980198831762322684522599940002821928967879546112409296561098265166647166426671759096524738225029568740403891241900283367533905144844560281090642996994980832031893246881980798736555098469356580714223590820618875765996236689459916156763708305650669350708695138506829741743472400715932855246461756696158264712233242}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{38} + \frac{360085305477474027640516619934847504788330241898875428865524197629383298763750291309616930849938233936875274547278209231841641285669465057056701655046987025774488132752700283108348975018247398571608883756126784862438091521384853124654470579654031923601786122786482354538470103762538637920060866602778528732643644398281339353400361197795361316534058647594238118073591565721902172471403}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{37} + \frac{2837133068949853917186026625722180072509638042948624260199057972650747887973796951802951737195409203599171694664322627869586168016056693814543636807562346178781337678537232297417348389559655044608111014922419412573281929041515681325983588541357751988755505035499588137054886759432618756211292606096827339522451490675525964999318855072477439251463432962500348387999877334044920204245076}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{36} - \frac{10248323664938939713829529158197171262295949820290581260057192888253124455875146059248559429369916825931555279558117423887973292305445602121374080833434384147559233584222410297841804471320427947574308615177626666690838438270329084923158110661900596325232945767788845495951996613022241195022212102708990236653410795723813634602387504338604474854464327515293938717825942332814099544094727}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{35} - \frac{4109334832676257750014071658480015254654585336824283620400919963631801841198492910715589074035132578817158372687731254349897955551922823902011661051625919938311104171506843507168330517504142024001520326148996510242186683311144579157064675443262359647960884745111981398886408871950812910943626928273009928921327134087122454703440366832019094385546695128122078187472122706020922740922549}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{34} - \frac{1727206764016723272617641180254544692707474291890963631216146690455114427661058222111560221351974867189814175353038410090024120675033618682531858679296582642224516260271917481472350362875270736721809001736146661811439072772743401017659023316670557184825560296461447741744492717881382079115123265928893408463844619937577738340178358915927142020627788596304854055072833744502720210640128}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{33} - \frac{1183575554419943682270223917760256895140219381547129919360054463178983712394344170684698584329979645148701055410029350262030232583309706479372656471943237058908088059461012505274505689328416790279416518712042786413749274919500514573912326635823779378213584293851822103073740632016977584996977473977540920438981158072219224162191965327227560549376849488366717087469380125967694220976806}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{32} + \frac{619416613643443226794396367074993880561202972412349686346632635947441987262189778702022998629457291130735518086645909885513177689944177948969654488101459493968596146744573080094851248933996653468206429583383998918570938686165632178108683759675299503302251922292383391711898116644202275176624547189860186994866298939667574118474292649826610770181440632900780913658815152533858843774868}{62345713916478820096591662222358972006064202022488954613153645399191610535117262525611809347784526126418559537215103795081876360841304926524028534197932460782275221587778793610057478862781667163336428632901654902678919503261759401228098321164810917774639868682365702447239746746987518550442423647678419592115099448072569980123741370593641358962368031692831474200906307830485354712606599} a^{31} - \frac{5405954755661449087648711492080887487760722479238843697839472321085929746144836405226754746524227010689843980545215196296795673404928019025048379322701127558413970162176635063678659530527078369257877167151444032105752570907864085165266207932185345014296271346857217102365699069102985703384863772769185879413162735425304827849316069497168569803809173821134718024751187389239230917350737}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{30} - \frac{6997483620965628810822183578793862297869591741542409932501659175576354443416170437321584745403571697230398950839913832871606907045382757814900853676929527170283093945873968384539720164906727798806800654437746924328781441810827770969954760499452735613583701037941980650425681110393560566584023753095410568342216158758573286394470790172344348580006777426402404899710125418700365297126341}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{29} + \frac{29078531732219641807136439133500376975216560616306474167247223309386294252990537804689001902549250233476710003987690588418816867981192770628138477955451020967661466328101609014673925117132063689764107142724605636401737144147264065407237636755851281598034798859903634596688302609105524138970346143343936303511112107545352710800011816091851233069326026966962547381607608940277166233689118}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{28} + \frac{30683803485943395794225510829276314478970817133856051880160564316395781405055233632008681256550017179405193056645497391539385234381261699428828251916678628828418658661785396697515802465212042976956602995132545463994672048834002783145281830737448476710588737575068115314440897536280101625444529732581661393013800215284470352712235420099034996194012097662464924288008959117141217552589778}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{27} - \frac{997712656418461072874884372620511530218053235250796329057766065166970759025854850550297667490067134699952584917346320979366680565912308973473966055536089026853163548581738272782794087038798138292221904380822274172752813026826049158359053101664506767141853367340288462818137967167473421146106240513347241920099719665518655747708741387667911715228247637169842672667404935701387589451663}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{26} + \frac{5273320667270325015863606504139516879070878387127511205464157224572336549805373825479182882841906082357126363031260293900242711695294537525323280490418602974892666533597267221178169867466577279448855230749551676609259165203209909677766048085772532565394020532002696725725971073358672920073097124580829812111123724097781651446150118386470331723638381441693582807955837353952027398991089}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{25} - \frac{23466748200912373011899771714400113619965430250742710267819784285311013320231540911451918075222282544295140145982846077587200298427248685752643018832793236883373118839550505018705379122512644240429046121190145743839239107655022615923015692948209117099983335438853550333555129969409780013429315114476659544330772444936121692841831540715237192557116699098497183161339553038914183291140473}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{24} - \frac{109933500691132316927831506343934316662475269070993217732425714694713366498290397638367315163388531093181645862483499655530754531459862400601306355057792239446096295827610572492941560374755120995677769545066009066424355045621900277940754382727038325457876462532743176966938516909198995301131266438995658809055892114653071286163181218879354072812572502731098887532595195874306734189176606}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{23} - \frac{26564115392222981410805347507435337136296684695764810302703533342353223787569939224819862649879465832484031714776712771112404689485868138026895396440676391482514495173016573177569495339482767539500140041501918969918348677199622591093097453173147028329785852534687323501324891614711707802921075192185553589843069749289347238595369721959080653140444752059929022643491374822138602018574106}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{22} + \frac{30568163838180172038058385182084737864175501142385302258045124823912682845953174206479870877474490422305830635945333158881143584248020963862625511848675455849059748536136682001401400193278763153643567829378747589885298929595136075177043621985200433601486888293162224742198743875088866987883073783044072157696326866658855148603677157687557110702157679484055737145541571351394413998371422}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{21} - \frac{78436548038773263740755674224343648184132147209364542595433069509088462218890590586837689088824587175150637531513530099939103072965614095866916720235301788128823163528681954463418130003523848386891659332952952633612699860321844112503201105853795592161425702793416896425535355225638425189545169228228362850341052711893954270093467582929083534199592904247393433862466340242527783857792410}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{20} + \frac{2214084209717612716590110656388126940572996258299171130124388902595373276473597298087464729554978916131739404425297793871352507467115830890444916723591218433100679079949847136238837716854779810466527327997438775815862716907391162954609312911523182017443050445926406599456300773470934841653305096111203656877028761469492685055950324509354368091820097565070450809305995234236829192976375}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{19} - \frac{171794221582274010190184703180505103200682330085899863734613460890277254890934425679042641809463165952727151102262846289678100804117612893580152094929907967963451752124532439190488251724596132166816320746163061515704995853755492049740205778165886194318093645637837622929082945347028537531625589748888133083594072861593449098409974116927403829609401788930871607885991577999318751164190586}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{18} + \frac{123078972684862496266374771512170817166327512206820022229450110842268745963766103290385783071347449347743954969943888138514944817532647031987325014019540213159745981799846281086398802682549502101590439912706034239276792894953074973103215812913126015281754159503347001000284161125772925297458963670511995513430638863576329001701749914725123016357976589377422051123363717396890050389921385}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{17} + \frac{95890597790677587028009226503692246748006655725994281209416351683012110871591719351771700248597335831660421666233638145062677878756458533998856045559706900762886255314556090502934323701842986799771116179564854364258365776259448591792047962507039606078805876173878378972306914573416033690105061083388598527265908880428035259956083132861320543330065200971647843325371710641022988052747506}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{16} - \frac{140750989486763036601328169722103424496677900577682091281118874750921933207743701320088226159953255672197533587375195902760341131743228663406736383407104509837603336491593978187873207461093708778679776447327279084338337348169008534261213126664425132300101407317240824474565477704806554220191172645393007561417309037825885755182180390528779189472029545150756774334205929193371280734935927}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{15} - \frac{214344124201894059073839970294564877271137134845526341508318132434638305236110945817294752939483349681841174688566320851955497861328301478682679806277848831985094142537931869534316689573529407383937024548250100689977187191948015963511889511830968675695648971590084155859079532424106517584607175438898774799497200334283450528309007566846285506577136069420101938515032219237587473166727826}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{14} - \frac{31548128224527430568844912467508557472698400518662238347957268827813029883709168713130756726636272073406642192541768982421717576754688425544864441875997966716783833574171196851573209816161974333745937786948188766362382931672940490669393438463576781282001171446602199685706203900387876635229182416653779139859930101129527615888929678964454547189747511929518179352931648360735835867170994}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{13} + \frac{12404510009142435848758660857443706543267996671614327790933992377649880900137173816435401217606364341495496455717337208522207097609074387105119973680010747102800448711606985350086405300927375318290656051028899954940708093184161586889930796966230375018614284670887135847067303658721458544257266355118970286546008275877547180951000978511388206727860506958477706666137662911980394164062148}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{12} + \frac{647467551797971104915932478801880466462967680508524236309364147739833997319327319674190727867427147684155813425705174408539034944820585400182026792449709181154824183626990321506782925874358628981897786948661570202194680402574165248997732404401729753969877884530733760528807991247460414418300340130475574319866294697236005200410905783606548743360124313259754624250363667078618051589944155}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{11} + \frac{696173644141313288847148625234948992229972774674915940660044657360914248933568010055055277904823314696852755322264984603733536701704476147561955851288755364451798134137738968710822808516611087221351173260790820490809072317233315636235773523275261448845266163859849506996944309464493338352495852911801490122989629402644640374848462230331742593049065436620499122840718354783429729550955694}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{10} + \frac{832696783103182211086754992734030111681013060744843826808726379081512499250856286922619784104715125130046097395299095342642570666536120825074759440095694125562953359950933833218330631882690542323542065185871627924464631163952942507823169973451601123794959765711194163443345535541201892345169791223527897343846098212534624619951827794626378590686617030208967733017508898736651216725790817}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{9} - \frac{813052324884590146805225389830384139871014209845729237482367174360221503290584320835722209885589087728816403637573144120864183407365538782360311732991658473364788865848664289562628517894558133759095007467243317558333129960602674670536089739407806416949655937755386996715181849593817457297563041003540476535700263937726910497203187607752291601699791554623419092865451471447323311323385666}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{8} - \frac{1359579403102347700341255648050755604000407644726586156509142372629258277075726121424120111206611163993171936150585682812201690609737702947738593920206191020331224985198857275638640388633265028510338361639508197799491332762274071579154061579883750947898673332347890992735647903989650171257834811022429815251725220365124757846591995874219977796155775933766552809996897870520021615380763277}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{7} + \frac{1053056746421469225201384887945687986670727953045814405481200442261317400093818741035566300813788984873211612631944665078230915920520746283879829305346757150745517664371573888474982079709106956480338230901767651546723753821426641533051661772741238793777692823819935784917276331150276797102933859689603778249665347602997777669996438469908377886702370592185195738333934317793202631468211688}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{6} - \frac{102776931828843320279924706568326581104075596071844191649481227702490995501402985608979527235133691741076445478293521964142123722299284001094341663798378287288400585560877127384036915363609671639809460693876274482621235590490044985149831728326153978454788736797993322198068882888979544534121665327216232218548691597889937228217114086038012325382130484137368993466164726420226245763421691}{436419997415351740676141635556512804042449414157422682292075517794341273745820837679282665434491682884929916760505726565573134525889134485668199739385527225475926551114451555270402352039471670143355000430311584318752436522832315808596688248153676424422479080776559917130678227228912629853096965533748937144805696136507989860866189594155489512736576221849820319406344154813397482988246193} a^{5} - \frac{557415877176568615315225092310102081983390796142083231391972528943979330336263093287433842445914920263741483492003086294280293893609183220424377602516485024168614195515470653182334873794992970080466816913981397156206902783991756411603941299559906424703745472318416802511314079443781965207727443620603743551505366028420163479363604772429407783618663119427579912348314599227866115970230955}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{4} - \frac{1297459269390332207901763673564840970217489829723270115676375714332545914706958836904726690324148223249789412428651817827917444935775887796506174373532611443972171685768512012327694360721930643659526249747640380630328681109923616967711228457858720848662143840937153825975960235311648050399742842281303641864803583129464780007566215896613834707916284852900555015678711856583666356929257727}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{3} - \frac{1448341500952511592119254858321298678700466724580034405644793118690489185763021457432499533826649852912795850451629241018975943566579890273092089374551474692642848934693778703637060769235049710613321475398269525331930694285357657097369566353767405270511492790252505402803533348493285420057764201178057514410817982183344424539950827522655658072665096947013437192173669170909957695863112921}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a^{2} - \frac{1468923039826737376626237409974562961340422241366156379519733571739189032088834920744350878356731211930885622684424310278186153069035875351750760226780315283366521375127436049801300269811635002402280060166512351312440261292861315200681285995180378856745387072362243151526004965027025523861468329321254097081862202866621350051365375557531960222130717355052339807791892914105646355205336127}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351} a + \frac{1169557858999871277179894815960645576345572848597093336773496603383969281100653830745340939185157960368610899877724653969669795322653914378447171807392158095382603513217482738700034410250880895532598304752549513032437222731148682333683351877115847937954758587210227058726980491274235536419406397891455665658715805501628577275656801469321927814580829080224876477477113478742546119334595781}{3054939981907462184732991448895589628297145899101958776044528624560388916220745863754978658041441780194509417323540085959011941681223941399677398175698690578331485857801160886892816464276301691003485003012181090231267055659826210660176817737075734970957353565435919419914747590602388408971678758736242560013639872955555929026063327159088426589156033552948742235844409083693782380917723351}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.390625.1, 9.9.3691950281939241.1, 15.15.207828545629978179931640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ R R R $45$ $45$ $15^{3}$ $15^{3}$ $45$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $15^{3}$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
$7$7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$