↑

Properties

Label 45.45.1319863929...8889.2
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $3^{110}\cdot 31^{42}$
Root discriminant $361.60$
Ramified primes $3, 31$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![16608964429007, 924919016854590, -113402309875283853, 726800399191264371, -1253198917378448829, -1531093887224569233, 6617796385832816058, -2020172004390411135, -12245051806987449771, 9518551187972119246, 12333785978196124758, -13821410531891237823, -7845527552563052040, 11663754108173715033, 3390355677748406229, -6621087717157377735, -1037067416733306897, 2698087245579143838, 229968419578763442, -817917480638615952, -37442833215321717, 188437742373595092, 4495746926612970, -33425879825522232, -396841520461041, 4599069311114325, 25470744605343, -492352478449779, -1164170181141, 40983205856724, 36572942292, -2640630159891, -743146353, 130534729785, 8702847, -4879171809, -44144, 134805825, 0, -2656173, 0, 35154, 0, -279, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 279*x^43 + 35154*x^41 - 2656173*x^39 + 134805825*x^37 - 44144*x^36 - 4879171809*x^35 + 8702847*x^34 + 130534729785*x^33 - 743146353*x^32 - 2640630159891*x^31 + 36572942292*x^30 + 40983205856724*x^29 - 1164170181141*x^28 - 492352478449779*x^27 + 25470744605343*x^26 + 4599069311114325*x^25 - 396841520461041*x^24 - 33425879825522232*x^23 + 4495746926612970*x^22 + 188437742373595092*x^21 - 37442833215321717*x^20 - 817917480638615952*x^19 + 229968419578763442*x^18 + 2698087245579143838*x^17 - 1037067416733306897*x^16 - 6621087717157377735*x^15 + 3390355677748406229*x^14 + 11663754108173715033*x^13 - 7845527552563052040*x^12 - 13821410531891237823*x^11 + 12333785978196124758*x^10 + 9518551187972119246*x^9 - 12245051806987449771*x^8 - 2020172004390411135*x^7 + 6617796385832816058*x^6 - 1531093887224569233*x^5 - 1253198917378448829*x^4 + 726800399191264371*x^3 - 113402309875283853*x^2 + 924919016854590*x + 16608964429007)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 279*x^43 + 35154*x^41 - 2656173*x^39 + 134805825*x^37 - 44144*x^36 - 4879171809*x^35 + 8702847*x^34 + 130534729785*x^33 - 743146353*x^32 - 2640630159891*x^31 + 36572942292*x^30 + 40983205856724*x^29 - 1164170181141*x^28 - 492352478449779*x^27 + 25470744605343*x^26 + 4599069311114325*x^25 - 396841520461041*x^24 - 33425879825522232*x^23 + 4495746926612970*x^22 + 188437742373595092*x^21 - 37442833215321717*x^20 - 817917480638615952*x^19 + 229968419578763442*x^18 + 2698087245579143838*x^17 - 1037067416733306897*x^16 - 6621087717157377735*x^15 + 3390355677748406229*x^14 + 11663754108173715033*x^13 - 7845527552563052040*x^12 - 13821410531891237823*x^11 + 12333785978196124758*x^10 + 9518551187972119246*x^9 - 12245051806987449771*x^8 - 2020172004390411135*x^7 + 6617796385832816058*x^6 - 1531093887224569233*x^5 - 1253198917378448829*x^4 + 726800399191264371*x^3 - 113402309875283853*x^2 + 924919016854590*x + 16608964429007, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - 279 x^{43} + 35154 x^{41} - 2656173 x^{39} + 134805825 x^{37} - 44144 x^{36} - 4879171809 x^{35} + 8702847 x^{34} + 130534729785 x^{33} - 743146353 x^{32} - 2640630159891 x^{31} + 36572942292 x^{30} + 40983205856724 x^{29} - 1164170181141 x^{28} - 492352478449779 x^{27} + 25470744605343 x^{26} + 4599069311114325 x^{25} - 396841520461041 x^{24} - 33425879825522232 x^{23} + 4495746926612970 x^{22} + 188437742373595092 x^{21} - 37442833215321717 x^{20} - 817917480638615952 x^{19} + 229968419578763442 x^{18} + 2698087245579143838 x^{17} - 1037067416733306897 x^{16} - 6621087717157377735 x^{15} + 3390355677748406229 x^{14} + 11663754108173715033 x^{13} - 7845527552563052040 x^{12} - 13821410531891237823 x^{11} + 12333785978196124758 x^{10} + 9518551187972119246 x^{9} - 12245051806987449771 x^{8} - 2020172004390411135 x^{7} + 6617796385832816058 x^{6} - 1531093887224569233 x^{5} - 1253198917378448829 x^{4} + 726800399191264371 x^{3} - 113402309875283853 x^{2} + 924919016854590 x + 16608964429007 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(13198639294739821268975716162663306052858909500289219592060310551297322480112649057056185531676266039663602421928889=3^{110}\cdot 31^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $361.60$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(837=3^{3}\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{837}(1,·)$, $\chi_{837}(772,·)$, $\chi_{837}(598,·)$, $\chi_{837}(7,·)$, $\chi_{837}(64,·)$, $\chi_{837}(727,·)$, $\chi_{837}(175,·)$, $\chi_{837}(109,·)$, $\chi_{837}(661,·)$, $\chi_{837}(25,·)$, $\chi_{837}(280,·)$, $\chi_{837}(388,·)$, $\chi_{837}(667,·)$, $\chi_{837}(286,·)$, $\chi_{837}(163,·)$, $\chi_{837}(40,·)$, $\chi_{837}(169,·)$, $\chi_{837}(559,·)$, $\chi_{837}(304,·)$, $\chi_{837}(49,·)$, $\chi_{837}(565,·)$, $\chi_{837}(442,·)$, $\chi_{837}(190,·)$, $\chi_{837}(319,·)$, $\chi_{837}(448,·)$, $\chi_{837}(67,·)$, $\chi_{837}(454,·)$, $\chi_{837}(583,·)$, $\chi_{837}(328,·)$, $\chi_{837}(205,·)$, $\chi_{837}(721,·)$, $\chi_{837}(469,·)$, $\chi_{837}(214,·)$, $\chi_{837}(343,·)$, $\chi_{837}(346,·)$, $\chi_{837}(733,·)$, $\chi_{837}(607,·)$, $\chi_{837}(484,·)$, $\chi_{837}(103,·)$, $\chi_{837}(748,·)$, $\chi_{837}(493,·)$, $\chi_{837}(622,·)$, $\chi_{837}(625,·)$, $\chi_{837}(763,·)$, $\chi_{837}(382,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{31} a^{15}$, $\frac{1}{31} a^{16}$, $\frac{1}{31} a^{17}$, $\frac{1}{31} a^{18}$, $\frac{1}{31} a^{19}$, $\frac{1}{31} a^{20}$, $\frac{1}{31} a^{21}$, $\frac{1}{31} a^{22}$, $\frac{1}{31} a^{23}$, $\frac{1}{31} a^{24}$, $\frac{1}{31} a^{25}$, $\frac{1}{31} a^{26}$, $\frac{1}{31} a^{27}$, $\frac{1}{31} a^{28}$, $\frac{1}{31} a^{29}$, $\frac{1}{961} a^{30}$, $\frac{1}{961} a^{31}$, $\frac{1}{961} a^{32}$, $\frac{1}{961} a^{33}$, $\frac{1}{961} a^{34}$, $\frac{1}{961} a^{35}$, $\frac{1}{4805} a^{36} - \frac{1}{4805} a^{34} - \frac{2}{4805} a^{32} - \frac{1}{4805} a^{30} - \frac{1}{155} a^{28} + \frac{2}{155} a^{27} + \frac{2}{155} a^{25} + \frac{1}{155} a^{24} + \frac{1}{155} a^{22} - \frac{2}{155} a^{20} - \frac{1}{155} a^{18} + \frac{1}{155} a^{16} + \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{4805} a^{37} - \frac{1}{4805} a^{35} - \frac{2}{4805} a^{33} - \frac{1}{4805} a^{31} - \frac{1}{155} a^{29} + \frac{2}{155} a^{28} + \frac{2}{155} a^{26} + \frac{1}{155} a^{25} + \frac{1}{155} a^{23} - \frac{2}{155} a^{21} - \frac{1}{155} a^{19} + \frac{1}{155} a^{17} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{4805} a^{38} + \frac{2}{4805} a^{34} + \frac{2}{4805} a^{32} - \frac{2}{4805} a^{30} + \frac{2}{155} a^{29} - \frac{1}{155} a^{28} - \frac{1}{155} a^{27} + \frac{1}{155} a^{26} + \frac{2}{155} a^{25} + \frac{2}{155} a^{24} - \frac{1}{155} a^{22} + \frac{2}{155} a^{20} + \frac{1}{155} a^{16} + \frac{1}{155} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{4805} a^{39} + \frac{2}{4805} a^{35} + \frac{2}{4805} a^{33} - \frac{2}{4805} a^{31} + \frac{2}{4805} a^{30} - \frac{1}{155} a^{29} - \frac{1}{155} a^{28} + \frac{1}{155} a^{27} + \frac{2}{155} a^{26} + \frac{2}{155} a^{25} - \frac{1}{155} a^{23} + \frac{2}{155} a^{21} + \frac{1}{155} a^{17} + \frac{1}{155} a^{16} + \frac{2}{155} a^{15} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{4805} a^{40} - \frac{1}{4805} a^{34} + \frac{2}{4805} a^{32} + \frac{2}{4805} a^{31} + \frac{1}{4805} a^{30} - \frac{1}{155} a^{29} - \frac{2}{155} a^{28} - \frac{2}{155} a^{27} + \frac{2}{155} a^{26} + \frac{1}{155} a^{25} + \frac{2}{155} a^{24} - \frac{1}{155} a^{20} - \frac{2}{155} a^{18} + \frac{1}{155} a^{17} + \frac{2}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{7474132265494555} a^{41} - \frac{449237136459}{7474132265494555} a^{40} - \frac{4029376654}{241101040822405} a^{39} - \frac{667172220052}{7474132265494555} a^{38} - \frac{42522382707}{1494826453098911} a^{37} + \frac{114776985267}{1494826453098911} a^{36} - \frac{3625793047219}{7474132265494555} a^{35} + \frac{615600211650}{1494826453098911} a^{34} - \frac{3536037927521}{7474132265494555} a^{33} + \frac{684385920933}{1494826453098911} a^{32} - \frac{510516527019}{7474132265494555} a^{31} + \frac{2164799386941}{7474132265494555} a^{30} + \frac{2298780637087}{241101040822405} a^{29} + \frac{625777804717}{241101040822405} a^{28} + \frac{2460377703028}{241101040822405} a^{27} + \frac{8339098858}{241101040822405} a^{26} + \frac{56087531031}{241101040822405} a^{25} + \frac{3742412040403}{241101040822405} a^{24} - \frac{3479021600091}{241101040822405} a^{23} + \frac{1553265519297}{241101040822405} a^{22} + \frac{3384212886166}{241101040822405} a^{21} + \frac{663709324438}{48220208164481} a^{20} + \frac{613990714138}{241101040822405} a^{19} - \frac{3780266276636}{241101040822405} a^{18} - \frac{1310947159783}{241101040822405} a^{17} + \frac{3802655583169}{241101040822405} a^{16} - \frac{755070693398}{48220208164481} a^{15} + \frac{1018338527418}{7777452929755} a^{14} + \frac{105294355993}{7777452929755} a^{13} + \frac{1116203546479}{7777452929755} a^{12} + \frac{2480586619499}{7777452929755} a^{11} + \frac{920073991288}{7777452929755} a^{10} - \frac{1028192258763}{7777452929755} a^{9} - \frac{762634207686}{7777452929755} a^{8} - \frac{403324263245}{1555490585951} a^{7} + \frac{1356536986629}{7777452929755} a^{6} - \frac{2126801913551}{7777452929755} a^{5} + \frac{3364212540219}{7777452929755} a^{4} - \frac{2933546081034}{7777452929755} a^{3} - \frac{2791931710489}{7777452929755} a^{2} + \frac{802427750239}{7777452929755} a - \frac{456920830397}{7777452929755}$, $\frac{1}{9544466903036546735} a^{42} + \frac{187}{9544466903036546735} a^{41} + \frac{547430781444384}{9544466903036546735} a^{40} - \frac{967630142452064}{9544466903036546735} a^{39} - \frac{152287236397984}{1908893380607309347} a^{38} + \frac{66654714965620}{1908893380607309347} a^{37} - \frac{482936587201523}{9544466903036546735} a^{36} - \frac{28690334043173}{61577205826042237} a^{35} + \frac{123104007646848}{1908893380607309347} a^{34} + \frac{112652367962868}{9544466903036546735} a^{33} - \frac{4041251294127983}{9544466903036546735} a^{32} + \frac{3694441496409747}{9544466903036546735} a^{31} + \frac{3023026686748549}{9544466903036546735} a^{30} - \frac{2169536445795106}{307886029130211185} a^{29} - \frac{1142202437636874}{307886029130211185} a^{28} + \frac{4393543980477764}{307886029130211185} a^{27} - \frac{83113910228791}{9931807391297135} a^{26} + \frac{117326504066416}{9931807391297135} a^{25} + \frac{645112378708171}{307886029130211185} a^{24} - \frac{2054457105512821}{307886029130211185} a^{23} + \frac{312620298017767}{307886029130211185} a^{22} - \frac{938020634136376}{61577205826042237} a^{21} + \frac{2547976464312313}{307886029130211185} a^{20} - \frac{2076047069741053}{307886029130211185} a^{19} + \frac{2246533392122301}{307886029130211185} a^{18} + \frac{665705793911503}{61577205826042237} a^{17} - \frac{3172525359707711}{307886029130211185} a^{16} + \frac{2469481772814074}{307886029130211185} a^{15} + \frac{625287560931860}{1986361478259427} a^{14} - \frac{1053602179093673}{9931807391297135} a^{13} + \frac{159290665685416}{1986361478259427} a^{12} - \frac{3207914072280683}{9931807391297135} a^{11} + \frac{208234937346943}{9931807391297135} a^{10} + \frac{935344767425329}{9931807391297135} a^{9} + \frac{4280748017057028}{9931807391297135} a^{8} - \frac{4029273808083712}{9931807391297135} a^{7} - \frac{459802089161302}{1986361478259427} a^{6} + \frac{1325684451413907}{9931807391297135} a^{5} + \frac{2992111795956029}{9931807391297135} a^{4} + \frac{474140050639350}{1986361478259427} a^{3} - \frac{221812603787035}{1986361478259427} a^{2} + \frac{4290924622680801}{9931807391297135} a + \frac{897857945372428}{1986361478259427}$, $\frac{1}{10782355626959677736889295} a^{43} - \frac{58803}{10782355626959677736889295} a^{42} - \frac{232042716}{10782355626959677736889295} a^{41} - \frac{183651695634747338405}{2156471125391935547377859} a^{40} + \frac{876664595631141174567}{10782355626959677736889295} a^{39} - \frac{57496900784996869989}{10782355626959677736889295} a^{38} + \frac{185972362642511710364}{2156471125391935547377859} a^{37} - \frac{345124131782878163872}{10782355626959677736889295} a^{36} - \frac{4515332254050930128164}{10782355626959677736889295} a^{35} + \frac{3191301878071046620863}{10782355626959677736889295} a^{34} + \frac{1012711778579065154768}{2156471125391935547377859} a^{33} - \frac{3101137520810557712929}{10782355626959677736889295} a^{32} + \frac{454135545550198067979}{2156471125391935547377859} a^{31} - \frac{4828568595425460092368}{10782355626959677736889295} a^{30} - \frac{5051441303164100087496}{347817923450312185060945} a^{29} - \frac{807477349086638545784}{347817923450312185060945} a^{28} + \frac{3631689570900032454983}{347817923450312185060945} a^{27} + \frac{742914891938972165033}{69563584690062437012189} a^{26} - \frac{523939091065850094769}{69563584690062437012189} a^{25} + \frac{3551891430343803316422}{347817923450312185060945} a^{24} + \frac{754247928605179368723}{347817923450312185060945} a^{23} - \frac{4731969487471912180758}{347817923450312185060945} a^{22} + \frac{1638172395771313309521}{347817923450312185060945} a^{21} - \frac{1202794409229837879456}{347817923450312185060945} a^{20} - \frac{3228903409044679436697}{347817923450312185060945} a^{19} + \frac{3541050495081391470619}{347817923450312185060945} a^{18} - \frac{4769127605578590119717}{347817923450312185060945} a^{17} - \frac{1076180496241453945406}{69563584690062437012189} a^{16} + \frac{292297726966815470993}{69563584690062437012189} a^{15} + \frac{5102928545100360619487}{11219933014526199518095} a^{14} - \frac{2269501293378972159673}{11219933014526199518095} a^{13} + \frac{4838745013155748276337}{11219933014526199518095} a^{12} - \frac{6979615813755404326}{11219933014526199518095} a^{11} + \frac{4119590691676621097539}{11219933014526199518095} a^{10} - \frac{2667437942227203600594}{11219933014526199518095} a^{9} - \frac{4572120086871294219599}{11219933014526199518095} a^{8} + \frac{11417961659941973292}{25912085483894225215} a^{7} - \frac{2405680384311898503166}{11219933014526199518095} a^{6} - \frac{731625838540036570419}{2243986602905239903619} a^{5} + \frac{2635870372314383149087}{11219933014526199518095} a^{4} - \frac{2075026441281533721046}{11219933014526199518095} a^{3} - \frac{3218777743103624364913}{11219933014526199518095} a^{2} + \frac{191657725677813471992}{11219933014526199518095} a - \frac{4100545757461957456727}{11219933014526199518095}$, $\frac{1}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{44} + \frac{84037690076329595357983304492666989460833435898286690402412059864737637347377899420086561875096067752956861668503430932993614447722997760732717738685891915734860613615970269827656612797218634157469884808671303275872595752201696461134729986251224449}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{43} + \frac{3040764849982606695717531233392122535909447475287947558440510002752703486151577655789976500993127664307379239160504023119712760518399254896221538112699878399306956801470578983829454303017115825283540843136614151041400211708579036423489498523308659826269}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{42} - \frac{43105644671777849262507466637103743509794158788897008648235708611107023246748842277279243482366278513553552369069165064887974758544457704212701853230543283684323915335129663663817573136952196455277142571616231620951078977962524786647886035127290218446758158}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{41} - \frac{1282738522710107834889283011167452148935403538724245204899987259243251207935211142033105854775111190346046696334453483969273739382028670153250989738003920250651870612719618326920906073790185669606614157403921256286078328918800778680129307997737008153965267897686744269}{21769247719120753049116617210021822370706603877565354607332390699148572691626594652345636110704619258085316232576689807834967719411323256887599123942004165641992165782885397804005873284956499573479673078548135334166631198584649968306700763001644272322264257648909584209907} a^{40} - \frac{38971187581465472946147465961945332147078171916575558900100648758062996578900172317690224106716025472936693902504515681666133536400665134292723774916953436026810092172542989553377796840414099265725527604118631890035540063089495573952597858952952716281866905911871291604}{674846679292743344522615133510676493491904720204525992827304111673605753440424434222714719431843197000644803209877384042883999301751020963515572842202129134901757139269447331924182071833651486777869865434992195359165567156124149017507723653050972441990191987116197110507117} a^{39} + \frac{159049144501263732008315376358792402614466913689116580328741865218426414545185231780707908035472204110894698145665898035725552949806985833252208595095011486681126525975549526979857367540606515125491279729488914467590762524109491308924540713339170208455746749655183829919}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{38} + \frac{811929639235598235044943835074171215081006886371898787668935239644420552535386025345236496841341715477571979341103584787186688429194897982477670372786717672492178018949805549732100359666964422654510825798888636821888846498791785352257099774687992668908286484084030325}{674846679292743344522615133510676493491904720204525992827304111673605753440424434222714719431843197000644803209877384042883999301751020963515572842202129134901757139269447331924182071833651486777869865434992195359165567156124149017507723653050972441990191987116197110507117} a^{37} + \frac{107957704507957316761305164274743484790983822407573097623470275172277897146459052203493738844878731855498942764829363508994599782540222008847216669911332381990773542790959782627059960834645666033352112678555269684708295779875180210505183688589427046344992207091502392962}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{36} + \frac{1210630571325582902824946229298274731699749375263399531289949277795490781247078766339715184003536670836423111538435299410121899646951323421969526903817489895377599959826293169622561042033069581919938391944433252211050598517300828546984813165973265387884167996605632838919}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{35} + \frac{928864471162816174613400516882781935591649085678088958055011646388940384851213357277095957796854947144034252932594857770089596786096353219546150766425783308512815945584626695914273364952947693221734840915827434932236675884051432313036128716834721242284536773949205836973}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{34} + \frac{13384010890918183103870154448685398413922695229653574609499622298919849924833033334576077723257506710869154234027552736462857709502454966707735360223101770817254381640532319393652902045662860269902401011214661504040049852855392642337158214400509502515376777850079920052}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{33} - \frac{727567893739708898143553369174343389481676407647097494079067484239212246790186446406269530594425178846416067642705943989365208154420529813538744942008483544161854667211186771830580573439542942649120275024591492253450198055774974767070804730017787495459892731399471997001}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{32} + \frac{508906557322478426821646527331127377816166308229867330503025682239463333490486100147372580482233403368859657674741232130971839093673404981502251523587942178390741144546700828170456929766132909009806138143838166149336956660036328942331169189646118748987333482465295921564}{3374233396463716722613075667553382467459523601022629964136520558368028767202122171113573597159215985003224016049386920214419996508755104817577864211010645674508785696347236659620910359168257433889349327174960976795827835780620745087538618265254862209950959935580985552535585} a^{31} - \frac{41861431405531296532574004489133517833557763834615871823665805424909251281166110422071022273323420205449681628044190854414007126808163775566841798503034363535529617892086698973913604674632282605392223528693085890340234422012249792641317929851321749939277624008730238962}{674846679292743344522615133510676493491904720204525992827304111673605753440424434222714719431843197000644803209877384042883999301751020963515572842202129134901757139269447331924182071833651486777869865434992195359165567156124149017507723653050972441990191987116197110507117} a^{30} - \frac{1585923523695071417759808875841557235021986278636172645545678156901003013989211276865008453536084567652399214925978022517352577821387526486838755843768801424219566590047959721022048560908107571177060647866300347655732896691225745062561869489547567596919912244578138830937}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{29} - \frac{1331687821700918529091531414981206077292756741084935445465054556216865481505661563431055304048324211715096926101283475080260882120220529995261271953204322539728274374629574985144271637573488836632016811208029900943006284209967125146579518878114403934357535749532034966086}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{28} - \frac{1360119685627526115301678883129916136799513997633474092287346200606473612193784249041302343044857922353979957841413063088991924478850568345220334928588428847494421744775067091151078604717997942899223423273837213425030556081556078567810774046348842503161952600789315535406}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{27} + \frac{648999125325126368247269416000843413461433136863330063028307981584728450247912457662206137974127736746413932206207891421390237059952543996083218879202976027297105772622707282028960297689778731965413102585107613044427822518788179139906955755673758597911433038169136817113}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{26} + \frac{1090547097201301208735401097030656949115680032883758669883045230441879091388671562705646364035357184396637755160544890985859610176103309049625094977866372555902688854877109928018763678884260387396020780951018095535264396848083305421264200028807697539663416424408122996231}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{25} - \frac{1506600698082475663922652414120163589030005271863085589962927727473640888137949203111567760120261698387973000836779483297432346218832532361423800321413410611725655843418647404712442556707132818440213283534028845173458715776726762186818872776553843819093146819613994894197}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{24} + \frac{325678418594663859608097815623769443876457504112275147846353462952719733785261204495063627431225489216179755595811572602541344082244780035546055295236542858723727462567987001481616255160458810467409709668584893072229383300488984113243256083281680234540817072131058908433}{21769247719120753049116617210021822370706603877565354607332390699148572691626594652345636110704619258085316232576689807834967719411323256887599123942004165641992165782885397804005873284956499573479673078548135334166631198584649968306700763001644272322264257648909584209907} a^{23} - \frac{34943680553988396359337163548829234493811892037159629250879581838280658985427860924311374240962341551301726762109582714941889174090355638373006961195334961306735492415876648576099784577522949053221411370824270029791827372733315387439102034889715468184743901643063871217}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{22} - \frac{228439552433070318051950036567402569356909029738790606531627918764539193211510736888538260762261952142745681190236805397700892132617560201092361921306628273213238120371217562678698939863891516287014184815100131869914721266776768596901982939655243051395220842011695353232}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{21} - \frac{186480794658221637470205872362926121469162755885518984708217775603252584196115271534377724788032839267766190560765349073754311814691208058705049371603954645195536118204668520538551187255849500733065690558700467966015943128957043246742639015209664565339702383445514235157}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{20} + \frac{1693346842349458529114332327455976933071901059387775258520648372555199291832302174679041781512684596278454525294540438347042551290882961403770559825730174573900000770011109591319837934312060251688927251037850506083876670562120819703873355002755290936018828305271756545326}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{19} + \frac{218119868042180434526333303856274727932545942595969649955860475419206730706793153530196979100985860284401107536601625117926567922631824020524616870681938624485956104539878909658434201473930909689782114667015083430075599970496424163257221875599279165858217312344403629793}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{18} + \frac{332693024491947237875985608453002046669958625467981560500571945720772422709319162486609029629536117382211404088194316535692482515479309652440379164664107389506752853357832865939199564393228079783042363882103014804912683236310967245711672983756924521975605285883101397916}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{17} + \frac{257669549920748006757149490804469099582932528299566919687824775351638246795163408731329801742349310194742030862951619879016725434993965198388314418000771940309430062717745741058281536986602653258571856321124690440028289517717638390303993027567024110981992711421806855103}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{16} + \frac{1279763400662259284433748243075116568161096316873901379771416759063405431577714084963176677199452003718702893939174430531866519506839757121374995294385977951496436154236564612859930215798748618247895171852512927837412214118621198405928854317514722149035257184751062968706}{108846238595603765245583086050109111853533019387826773036661953495742863458132973261728180553523096290426581162883449039174838597056616284437995619710020828209960828914426989020029366424782497867398365392740676670833155992923249841533503815008221361611321288244547921049535} a^{15} - \frac{300675988678883520784737481716393756374622452203052216893783493325485650595854483012852400725674041940304075299290246422282208428147767681747521931637083762647497580888838175688805517665351799055675073635982290590397005690525997846250009872674589724868421005713905089084}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{14} - \frac{176535433482252614950972076069416987217409905258694356744458421698315133243561643051513356658044786263749116341114439051324234466134420064514884901565944222016307184211454196600770550020635295502168389506398340581595022499585742986094656094933560362945302645918921879467}{702233797390992033842471522903929753893761415405334019591367441908018473923438537172439874538858685744687620405699671220482829658429782480245133030387231149741682767189851542064705589837306437854183002533810817231181651567246773171183895580698202332976266375771276909997} a^{13} - \frac{62874295221402162972066293070722068598430812372043013095264630898697027223663457738117369494666697940210590521975521904182341253808446043489135293265408289084548871705069554217192225780940811463373834074245082159219335295086708679346731959123089936643589806346041032370}{702233797390992033842471522903929753893761415405334019591367441908018473923438537172439874538858685744687620405699671220482829658429782480245133030387231149741682767189851542064705589837306437854183002533810817231181651567246773171183895580698202332976266375771276909997} a^{12} - \frac{1120126224645365772536145607202237157219987431593396897502673096329579115161749015444279217802327246109627298587583241477761106739112298065695891719870672173892714639669357931748950236606369334555220134687830357313481445997103509433433278936337356760292037962722208221623}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{11} - \frac{1384417079590300086474254866390215547631562999040556070234542763927317156543281402995209431130145331249053509162299650428084546651958089109886329075271804334003949728376210372960119687488941670658103454889540405151931157019709650100565933207963864682310897839621136230833}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{10} + \frac{8955675173218368517178288675469318394067826668747858135130218670598077210225569151360289322297150045926790638180984529000547107519760514853988108930337842888204698370988181836103328289085806586961899494149603000693025722472714997101157413385358957792341724786826869811}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{9} - \frac{676315306069119280661694865210658007477944721640089656550051177191417529445661506104718063886232625583827266729487315458649827005852633738096500831311913551849149576452170029825080205583888377390122388509384647690638790268622687605056158971541192795868254966020040727013}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{8} + \frac{1480611529774066131270418242631494278714126177539838894521915375306156485244696271938698156102739459316689255270055529162781249180420909401300001206668421595781130429563131658349113346641778705520473815265062859479356604216226384932854913563350522002879411375634518755423}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{7} - \frac{368111698973824657181943958679978288405363112310953459500677932397507272324486287905868300405268990078602917055641195305911516188769538524245448222255035271913546159242662664935012853725901417856750051411397230994541734249547015520544328428790840232649340505328497522524}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{6} + \frac{1166638418658248147885877583419738107088336838340164896875340971898478507179915692784352767192138109966696284699666908504380015803088762546040419064320429020867390674647640812097046519505076531834691590554964256713059828340188405409668041039487774589389339978062101454216}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{5} + \frac{114894860491432322457499429610258042185402012763691150801239934922599579359614795785409750724704210556092670176044234846672557380430707271673448925873574569988421994269455803099192690514367714080684847213404744682781395344653396036665684497174207943700618013028800084635}{702233797390992033842471522903929753893761415405334019591367441908018473923438537172439874538858685744687620405699671220482829658429782480245133030387231149741682767189851542064705589837306437854183002533810817231181651567246773171183895580698202332976266375771276909997} a^{4} + \frac{791400407546591884503150558283897970792190506707925497117179979341667209190190687608721336472326530022928388085004864117910570690371043895138192350436439700732507322946489076357403497283338793356903842991923285959867775969372970948245418244552503032831343344068909192268}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a^{3} + \frac{14543268026144071779062036757037737247663568140709427444121576547564233618100392085915363455395197977501906050339010545440255227438830915550533568946050855725302477539073785650099064049996682879859930125228533345522204245420322008449682261189404327146148484014554199746}{702233797390992033842471522903929753893761415405334019591367441908018473923438537172439874538858685744687620405699671220482829658429782480245133030387231149741682767189851542064705589837306437854183002533810817231181651567246773171183895580698202332976266375771276909997} a^{2} - \frac{1163794513108355491155291675331736761341560824890338517767749137382656642612096333110240314323824518550350140018415217124120608474754016291521596105878217225488598630940164737788746584812658453150797090795635569460320541387523058976371083280052903237124065676811519344472}{3511168986954960169212357614519648769468807077026670097956837209540092369617192685862199372694293428723438102028498356102414148292148912401225665151936155748708413835949257710323527949186532189270915012669054086155908257836233865855919477903491011664881331878856384549985} a - \frac{740391087467310829254168773218127192312886650056606600841931943900225507474233182425753474231958464962203547574055276648745929155194698792412135994996469166140120278539230591226555988247409650920091446001413791220361894230562564744715012258273302353040729137519}{6297878217361502981486324861421283510969417264149933532703280123009044757489059704651761831646893052797350671366255899875734275405875644037546313480220603085223863981168850837351627106573684568207453131299998288939171459837718513154317812563654115573549235108305}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.923521.1, 9.9.27850805916667920729.2, 15.15.2746410307762150989067078161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ R ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
31Data not computed