↑

Properties

Label 45.45.1319863929...8889.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $3^{110}\cdot 31^{42}$
Root discriminant $361.60$
Ramified primes $3, 31$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-1806463523301607, -40334300724080106, -247333537481787396, -355273519765875753, 1201035215446175088, 3121786160210636919, -2292874481029586463, -9446941004466404511, 2213346589608828033, 15917394331044266446, -1064212231177977606, -17233171846493521500, 83974312294091439, 12865209764508264645, 208719160865886294, -6909518242574323155, -142361283528806580, 2745818611694276823, 50691889157596665, -823332878002131822, -11767696275794211, 188849162457451617, 1898451316158687, -33445772871093027, -217725540576444, 4599619564395024, 17803202551128, -492359066860125, -1025408245788, 40983205856724, 40401785400, -2640630159891, -1029724272, 130534729785, 15188760, -4879171809, -97712, 134805825, 0, -2656173, 0, 35154, 0, -279, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 279*x^43 + 35154*x^41 - 2656173*x^39 + 134805825*x^37 - 97712*x^36 - 4879171809*x^35 + 15188760*x^34 + 130534729785*x^33 - 1029724272*x^32 - 2640630159891*x^31 + 40401785400*x^30 + 40983205856724*x^29 - 1025408245788*x^28 - 492359066860125*x^27 + 17803202551128*x^26 + 4599619564395024*x^25 - 217725540576444*x^24 - 33445772871093027*x^23 + 1898451316158687*x^22 + 188849162457451617*x^21 - 11767696275794211*x^20 - 823332878002131822*x^19 + 50691889157596665*x^18 + 2745818611694276823*x^17 - 142361283528806580*x^16 - 6909518242574323155*x^15 + 208719160865886294*x^14 + 12865209764508264645*x^13 + 83974312294091439*x^12 - 17233171846493521500*x^11 - 1064212231177977606*x^10 + 15917394331044266446*x^9 + 2213346589608828033*x^8 - 9446941004466404511*x^7 - 2292874481029586463*x^6 + 3121786160210636919*x^5 + 1201035215446175088*x^4 - 355273519765875753*x^3 - 247333537481787396*x^2 - 40334300724080106*x - 1806463523301607)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 279*x^43 + 35154*x^41 - 2656173*x^39 + 134805825*x^37 - 97712*x^36 - 4879171809*x^35 + 15188760*x^34 + 130534729785*x^33 - 1029724272*x^32 - 2640630159891*x^31 + 40401785400*x^30 + 40983205856724*x^29 - 1025408245788*x^28 - 492359066860125*x^27 + 17803202551128*x^26 + 4599619564395024*x^25 - 217725540576444*x^24 - 33445772871093027*x^23 + 1898451316158687*x^22 + 188849162457451617*x^21 - 11767696275794211*x^20 - 823332878002131822*x^19 + 50691889157596665*x^18 + 2745818611694276823*x^17 - 142361283528806580*x^16 - 6909518242574323155*x^15 + 208719160865886294*x^14 + 12865209764508264645*x^13 + 83974312294091439*x^12 - 17233171846493521500*x^11 - 1064212231177977606*x^10 + 15917394331044266446*x^9 + 2213346589608828033*x^8 - 9446941004466404511*x^7 - 2292874481029586463*x^6 + 3121786160210636919*x^5 + 1201035215446175088*x^4 - 355273519765875753*x^3 - 247333537481787396*x^2 - 40334300724080106*x - 1806463523301607, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - 279 x^{43} + 35154 x^{41} - 2656173 x^{39} + 134805825 x^{37} - 97712 x^{36} - 4879171809 x^{35} + 15188760 x^{34} + 130534729785 x^{33} - 1029724272 x^{32} - 2640630159891 x^{31} + 40401785400 x^{30} + 40983205856724 x^{29} - 1025408245788 x^{28} - 492359066860125 x^{27} + 17803202551128 x^{26} + 4599619564395024 x^{25} - 217725540576444 x^{24} - 33445772871093027 x^{23} + 1898451316158687 x^{22} + 188849162457451617 x^{21} - 11767696275794211 x^{20} - 823332878002131822 x^{19} + 50691889157596665 x^{18} + 2745818611694276823 x^{17} - 142361283528806580 x^{16} - 6909518242574323155 x^{15} + 208719160865886294 x^{14} + 12865209764508264645 x^{13} + 83974312294091439 x^{12} - 17233171846493521500 x^{11} - 1064212231177977606 x^{10} + 15917394331044266446 x^{9} + 2213346589608828033 x^{8} - 9446941004466404511 x^{7} - 2292874481029586463 x^{6} + 3121786160210636919 x^{5} + 1201035215446175088 x^{4} - 355273519765875753 x^{3} - 247333537481787396 x^{2} - 40334300724080106 x - 1806463523301607 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(13198639294739821268975716162663306052858909500289219592060310551297322480112649057056185531676266039663602421928889=3^{110}\cdot 31^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $361.60$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(837=3^{3}\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{837}(1,·)$, $\chi_{837}(388,·)$, $\chi_{837}(133,·)$, $\chi_{837}(769,·)$, $\chi_{837}(268,·)$, $\chi_{837}(142,·)$, $\chi_{837}(400,·)$, $\chi_{837}(280,·)$, $\chi_{837}(667,·)$, $\chi_{837}(412,·)$, $\chi_{837}(670,·)$, $\chi_{837}(160,·)$, $\chi_{837}(547,·)$, $\chi_{837}(421,·)$, $\chi_{837}(679,·)$, $\chi_{837}(391,·)$, $\chi_{837}(559,·)$, $\chi_{837}(691,·)$, $\chi_{837}(439,·)$, $\chi_{837}(826,·)$, $\chi_{837}(700,·)$, $\chi_{837}(190,·)$, $\chi_{837}(64,·)$, $\chi_{837}(193,·)$, $\chi_{837}(196,·)$, $\chi_{837}(76,·)$, $\chi_{837}(718,·)$, $\chi_{837}(721,·)$, $\chi_{837}(163,·)$, $\chi_{837}(469,·)$, $\chi_{837}(343,·)$, $\chi_{837}(472,·)$, $\chi_{837}(475,·)$, $\chi_{837}(442,·)$, $\chi_{837}(355,·)$, $\chi_{837}(490,·)$, $\chi_{837}(748,·)$, $\chi_{837}(109,·)$, $\chi_{837}(622,·)$, $\chi_{837}(751,·)$, $\chi_{837}(112,·)$, $\chi_{837}(754,·)$, $\chi_{837}(211,·)$, $\chi_{837}(121,·)$, $\chi_{837}(634,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{31} a^{15}$, $\frac{1}{31} a^{16}$, $\frac{1}{31} a^{17}$, $\frac{1}{31} a^{18}$, $\frac{1}{31} a^{19}$, $\frac{1}{31} a^{20}$, $\frac{1}{31} a^{21}$, $\frac{1}{31} a^{22}$, $\frac{1}{31} a^{23}$, $\frac{1}{31} a^{24}$, $\frac{1}{31} a^{25}$, $\frac{1}{31} a^{26}$, $\frac{1}{1147} a^{27} + \frac{4}{1147} a^{26} + \frac{7}{1147} a^{25} - \frac{9}{1147} a^{24} + \frac{18}{1147} a^{23} + \frac{10}{1147} a^{22} + \frac{6}{1147} a^{21} + \frac{13}{1147} a^{20} - \frac{6}{1147} a^{19} + \frac{5}{1147} a^{18} + \frac{5}{1147} a^{17} + \frac{5}{1147} a^{16} + \frac{4}{1147} a^{15} - \frac{3}{37} a^{14} + \frac{14}{37} a^{13} + \frac{11}{37} a^{12} - \frac{13}{37} a^{11} - \frac{17}{37} a^{10} - \frac{16}{37} a^{9} + \frac{5}{37} a^{8} + \frac{1}{37} a^{7} + \frac{16}{37} a^{6} + \frac{12}{37} a^{5} - \frac{2}{37} a^{4} + \frac{6}{37} a^{3} + \frac{3}{37} a^{2} + \frac{4}{37} a$, $\frac{1}{1147} a^{28} - \frac{9}{1147} a^{26} + \frac{17}{1147} a^{24} + \frac{12}{1147} a^{23} + \frac{3}{1147} a^{22} - \frac{11}{1147} a^{21} + \frac{16}{1147} a^{20} - \frac{8}{1147} a^{19} - \frac{15}{1147} a^{18} - \frac{15}{1147} a^{17} - \frac{16}{1147} a^{16} + \frac{2}{1147} a^{15} - \frac{11}{37} a^{14} - \frac{8}{37} a^{13} + \frac{17}{37} a^{12} - \frac{2}{37} a^{11} + \frac{15}{37} a^{10} - \frac{5}{37} a^{9} + \frac{18}{37} a^{8} + \frac{12}{37} a^{7} - \frac{15}{37} a^{6} - \frac{13}{37} a^{5} + \frac{14}{37} a^{4} + \frac{16}{37} a^{3} - \frac{8}{37} a^{2} - \frac{16}{37} a$, $\frac{1}{1147} a^{29} - \frac{1}{1147} a^{26} + \frac{6}{1147} a^{25} + \frac{5}{1147} a^{24} + \frac{17}{1147} a^{23} + \frac{5}{1147} a^{22} - \frac{4}{1147} a^{21} - \frac{2}{1147} a^{20} + \frac{5}{1147} a^{19} - \frac{7}{1147} a^{18} - \frac{8}{1147} a^{17} + \frac{10}{1147} a^{16} - \frac{9}{1147} a^{15} + \frac{2}{37} a^{14} - \frac{5}{37} a^{13} - \frac{14}{37} a^{12} + \frac{9}{37} a^{11} - \frac{10}{37} a^{10} - \frac{15}{37} a^{9} - \frac{17}{37} a^{8} - \frac{6}{37} a^{7} - \frac{17}{37} a^{6} + \frac{11}{37} a^{5} - \frac{2}{37} a^{4} + \frac{9}{37} a^{3} + \frac{11}{37} a^{2} - \frac{1}{37} a$, $\frac{1}{35557} a^{30} - \frac{14}{1147} a^{26} - \frac{2}{1147} a^{25} + \frac{11}{1147} a^{24} - \frac{10}{1147} a^{23} - \frac{1}{1147} a^{22} - \frac{13}{1147} a^{21} - \frac{3}{1147} a^{20} - \frac{4}{1147} a^{19} - \frac{18}{1147} a^{18} + \frac{16}{1147} a^{17} + \frac{13}{1147} a^{16} - \frac{11}{1147} a^{15} - \frac{11}{37} a^{14} + \frac{9}{37} a^{12} + \frac{10}{37} a^{11} - \frac{7}{37} a^{10} - \frac{13}{37} a^{9} - \frac{6}{37} a^{8} + \frac{15}{37} a^{7} + \frac{14}{37} a^{6} - \frac{14}{37} a^{5} + \frac{5}{37} a^{4} - \frac{9}{37} a^{3} + \frac{12}{37} a^{2} - \frac{13}{37} a$, $\frac{1}{35557} a^{31} + \frac{17}{1147} a^{26} - \frac{2}{1147} a^{25} + \frac{12}{1147} a^{24} - \frac{8}{1147} a^{23} + \frac{16}{1147} a^{22} + \frac{7}{1147} a^{21} - \frac{7}{1147} a^{20} + \frac{9}{1147} a^{19} + \frac{12}{1147} a^{18} + \frac{9}{1147} a^{17} - \frac{15}{1147} a^{16} + \frac{11}{1147} a^{15} - \frac{5}{37} a^{14} - \frac{17}{37} a^{13} + \frac{16}{37} a^{12} - \frac{4}{37} a^{11} + \frac{8}{37} a^{10} - \frac{8}{37} a^{9} + \frac{11}{37} a^{8} - \frac{9}{37} a^{7} - \frac{12}{37} a^{6} - \frac{12}{37} a^{5} - \frac{15}{37} a^{3} - \frac{8}{37} a^{2} - \frac{18}{37} a$, $\frac{1}{35557} a^{32} + \frac{4}{1147} a^{26} + \frac{4}{1147} a^{25} - \frac{3}{1147} a^{24} + \frac{6}{1147} a^{23} - \frac{15}{1147} a^{22} + \frac{2}{1147} a^{21} + \frac{10}{1147} a^{20} + \frac{3}{1147} a^{19} - \frac{2}{1147} a^{18} + \frac{11}{1147} a^{17} - \frac{1}{1147} a^{15} - \frac{3}{37} a^{14} - \frac{6}{37} a^{12} + \frac{7}{37} a^{11} - \frac{15}{37} a^{10} - \frac{13}{37} a^{9} + \frac{17}{37} a^{8} + \frac{8}{37} a^{7} + \frac{12}{37} a^{6} + \frac{18}{37} a^{5} - \frac{18}{37} a^{4} + \frac{1}{37} a^{3} + \frac{5}{37} a^{2} + \frac{6}{37} a$, $\frac{1}{35557} a^{33} - \frac{12}{1147} a^{26} + \frac{6}{1147} a^{25} + \frac{5}{1147} a^{24} - \frac{13}{1147} a^{23} - \frac{1}{1147} a^{22} - \frac{14}{1147} a^{21} - \frac{12}{1147} a^{20} - \frac{15}{1147} a^{19} - \frac{9}{1147} a^{18} + \frac{17}{1147} a^{17} + \frac{16}{1147} a^{16} + \frac{2}{1147} a^{15} + \frac{12}{37} a^{14} + \frac{12}{37} a^{13} + \frac{18}{37} a^{10} + \frac{7}{37} a^{9} - \frac{12}{37} a^{8} + \frac{8}{37} a^{7} - \frac{9}{37} a^{6} + \frac{8}{37} a^{5} + \frac{9}{37} a^{4} + \frac{18}{37} a^{3} - \frac{6}{37} a^{2} - \frac{16}{37} a$, $\frac{1}{35557} a^{34} + \frac{17}{1147} a^{26} + \frac{15}{1147} a^{25} - \frac{10}{1147} a^{24} - \frac{7}{1147} a^{23} - \frac{5}{1147} a^{22} - \frac{14}{1147} a^{21} - \frac{7}{1147} a^{20} - \frac{7}{1147} a^{19} + \frac{3}{1147} a^{18} + \frac{2}{1147} a^{17} - \frac{12}{1147} a^{16} + \frac{13}{1147} a^{15} + \frac{13}{37} a^{14} - \frac{17}{37} a^{13} - \frac{16}{37} a^{12} + \frac{10}{37} a^{11} - \frac{12}{37} a^{10} + \frac{18}{37} a^{9} - \frac{6}{37} a^{8} + \frac{3}{37} a^{7} + \frac{15}{37} a^{6} + \frac{5}{37} a^{5} - \frac{6}{37} a^{4} - \frac{8}{37} a^{3} - \frac{17}{37} a^{2} + \frac{11}{37} a$, $\frac{1}{35557} a^{35} - \frac{16}{1147} a^{26} - \frac{18}{1147} a^{25} - \frac{2}{1147} a^{24} - \frac{15}{1147} a^{23} + \frac{1}{1147} a^{22} + \frac{2}{1147} a^{21} - \frac{6}{1147} a^{20} - \frac{6}{1147} a^{19} - \frac{9}{1147} a^{18} + \frac{14}{1147} a^{17} + \frac{2}{1147} a^{16} + \frac{2}{1147} a^{15} - \frac{3}{37} a^{14} + \frac{5}{37} a^{13} + \frac{8}{37} a^{12} - \frac{13}{37} a^{11} + \frac{11}{37} a^{10} + \frac{7}{37} a^{9} - \frac{8}{37} a^{8} - \frac{2}{37} a^{7} - \frac{8}{37} a^{6} + \frac{12}{37} a^{5} - \frac{11}{37} a^{4} - \frac{8}{37} a^{3} - \frac{3}{37} a^{2} + \frac{6}{37} a$, $\frac{1}{177785} a^{36} - \frac{1}{177785} a^{34} - \frac{2}{177785} a^{32} - \frac{1}{177785} a^{30} - \frac{1}{5735} a^{28} + \frac{2}{5735} a^{27} + \frac{3}{1147} a^{26} - \frac{8}{5735} a^{25} - \frac{4}{5735} a^{24} - \frac{3}{1147} a^{23} - \frac{44}{5735} a^{22} + \frac{5}{1147} a^{21} - \frac{57}{5735} a^{20} - \frac{6}{1147} a^{19} + \frac{64}{5735} a^{18} + \frac{6}{1147} a^{17} - \frac{4}{5735} a^{16} - \frac{12}{1147} a^{15} + \frac{8}{37} a^{14} + \frac{26}{185} a^{13} + \frac{2}{185} a^{12} + \frac{4}{185} a^{11} + \frac{68}{185} a^{10} - \frac{17}{37} a^{9} - \frac{63}{185} a^{8} - \frac{73}{185} a^{7} + \frac{77}{185} a^{6} + \frac{6}{185} a^{5} + \frac{16}{185} a^{4} - \frac{7}{185} a^{3} + \frac{26}{185} a^{2} - \frac{33}{185} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{177785} a^{37} - \frac{1}{177785} a^{35} - \frac{2}{177785} a^{33} - \frac{1}{177785} a^{31} - \frac{1}{5735} a^{29} + \frac{2}{5735} a^{28} - \frac{68}{5735} a^{26} + \frac{76}{5735} a^{25} - \frac{13}{1147} a^{24} + \frac{56}{5735} a^{23} + \frac{12}{1147} a^{22} + \frac{38}{5735} a^{21} - \frac{8}{1147} a^{20} - \frac{1}{185} a^{19} - \frac{9}{1147} a^{18} - \frac{79}{5735} a^{17} + \frac{10}{1147} a^{16} + \frac{14}{1147} a^{15} + \frac{71}{185} a^{14} - \frac{23}{185} a^{13} + \frac{24}{185} a^{12} + \frac{78}{185} a^{11} - \frac{3}{37} a^{10} - \frac{8}{185} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{62}{185} a^{7} - \frac{49}{185} a^{6} + \frac{21}{185} a^{5} + \frac{23}{185} a^{4} - \frac{64}{185} a^{3} - \frac{78}{185} a^{2} + \frac{88}{185} a$, $\frac{1}{177785} a^{38} + \frac{2}{177785} a^{34} + \frac{2}{177785} a^{32} - \frac{2}{177785} a^{30} + \frac{2}{5735} a^{29} - \frac{1}{5735} a^{28} - \frac{1}{5735} a^{27} + \frac{36}{5735} a^{26} + \frac{47}{5735} a^{25} - \frac{83}{5735} a^{24} - \frac{3}{1147} a^{23} - \frac{41}{5735} a^{22} - \frac{15}{1147} a^{21} - \frac{58}{5735} a^{20} - \frac{10}{1147} a^{19} - \frac{8}{1147} a^{18} + \frac{5}{1147} a^{17} - \frac{19}{5735} a^{16} - \frac{89}{5735} a^{15} - \frac{88}{185} a^{14} - \frac{10}{37} a^{13} + \frac{6}{37} a^{12} + \frac{84}{185} a^{11} + \frac{18}{37} a^{10} + \frac{27}{185} a^{9} + \frac{14}{185} a^{8} + \frac{78}{185} a^{7} + \frac{28}{185} a^{6} - \frac{51}{185} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{54}{185} a^{2} - \frac{78}{185} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{177785} a^{39} + \frac{2}{177785} a^{35} + \frac{2}{177785} a^{33} - \frac{2}{177785} a^{31} + \frac{2}{177785} a^{30} - \frac{1}{5735} a^{29} - \frac{1}{5735} a^{28} + \frac{1}{5735} a^{27} + \frac{7}{5735} a^{26} - \frac{23}{5735} a^{25} + \frac{2}{1147} a^{24} - \frac{71}{5735} a^{23} + \frac{1}{1147} a^{22} - \frac{43}{5735} a^{21} + \frac{9}{1147} a^{20} + \frac{8}{1147} a^{19} + \frac{1}{1147} a^{18} - \frac{44}{5735} a^{17} + \frac{66}{5735} a^{16} + \frac{12}{5735} a^{15} - \frac{5}{37} a^{14} - \frac{18}{37} a^{13} + \frac{84}{185} a^{12} - \frac{11}{37} a^{11} - \frac{68}{185} a^{10} + \frac{59}{185} a^{9} + \frac{78}{185} a^{8} + \frac{18}{185} a^{7} + \frac{29}{185} a^{6} + \frac{87}{185} a^{5} - \frac{9}{37} a^{4} + \frac{14}{185} a^{3} + \frac{22}{185} a^{2} + \frac{48}{185} a$, $\frac{1}{6578045} a^{40} - \frac{13}{6578045} a^{39} + \frac{7}{6578045} a^{38} + \frac{16}{6578045} a^{37} - \frac{9}{6578045} a^{36} + \frac{63}{6578045} a^{35} - \frac{83}{6578045} a^{34} + \frac{17}{6578045} a^{33} + \frac{84}{6578045} a^{32} - \frac{53}{6578045} a^{31} + \frac{7}{1315609} a^{30} - \frac{10}{42439} a^{29} - \frac{3}{42439} a^{28} - \frac{15}{42439} a^{27} - \frac{316}{42439} a^{26} - \frac{83}{6845} a^{25} + \frac{51}{5735} a^{24} - \frac{2916}{212195} a^{23} - \frac{1521}{212195} a^{22} + \frac{2827}{212195} a^{21} - \frac{3234}{212195} a^{20} + \frac{1329}{212195} a^{19} + \frac{2242}{212195} a^{18} - \frac{1806}{212195} a^{17} - \frac{582}{42439} a^{16} + \frac{6}{6845} a^{15} + \frac{270}{1369} a^{14} + \frac{131}{1369} a^{13} + \frac{574}{1369} a^{12} + \frac{349}{6845} a^{11} - \frac{295}{1369} a^{10} - \frac{1023}{6845} a^{9} - \frac{2218}{6845} a^{8} + \frac{1741}{6845} a^{7} - \frac{17}{1369} a^{6} - \frac{3413}{6845} a^{5} + \frac{167}{1369} a^{4} - \frac{2292}{6845} a^{3} - \frac{119}{6845} a^{2} - \frac{2409}{6845} a - \frac{41}{185}$, $\frac{1}{138996854898462685} a^{41} - \frac{1230775312}{138996854898462685} a^{40} - \frac{34816014263}{27799370979692537} a^{39} - \frac{107580137303}{138996854898462685} a^{38} - \frac{242409401819}{138996854898462685} a^{37} + \frac{198361452252}{138996854898462685} a^{36} - \frac{1320794785182}{138996854898462685} a^{35} - \frac{1671691896446}{138996854898462685} a^{34} - \frac{71677086678}{27799370979692537} a^{33} - \frac{161919906387}{138996854898462685} a^{32} - \frac{1385642448179}{138996854898462685} a^{31} + \frac{561297954321}{138996854898462685} a^{30} + \frac{118422329023}{4483769512853635} a^{29} - \frac{286770882896}{896753902570727} a^{28} - \frac{1595507756192}{4483769512853635} a^{27} - \frac{19692159009509}{4483769512853635} a^{26} - \frac{107556220536}{24772207253335} a^{25} - \frac{45565044474123}{4483769512853635} a^{24} + \frac{416778824103}{121182959806855} a^{23} + \frac{11017637575436}{896753902570727} a^{22} + \frac{4292966060992}{4483769512853635} a^{21} - \frac{52500823995628}{4483769512853635} a^{20} - \frac{40533366707448}{4483769512853635} a^{19} + \frac{24058607055338}{4483769512853635} a^{18} + \frac{37091344076949}{4483769512853635} a^{17} - \frac{26509138846941}{4483769512853635} a^{16} - \frac{52840000318}{24772207253335} a^{15} + \frac{27619287363622}{144637726221085} a^{14} - \frac{42615046641079}{144637726221085} a^{13} - \frac{9419928297961}{28927545244217} a^{12} - \frac{4721133088911}{144637726221085} a^{11} + \frac{163703097014}{3909127735705} a^{10} - \frac{44135398049871}{144637726221085} a^{9} + \frac{15707239040461}{144637726221085} a^{8} + \frac{6324018564621}{28927545244217} a^{7} - \frac{421136956717}{144637726221085} a^{6} + \frac{151420495306}{3909127735705} a^{5} - \frac{66560625860169}{144637726221085} a^{4} - \frac{27501089560479}{144637726221085} a^{3} + \frac{37396192642881}{144637726221085} a^{2} - \frac{46292912861957}{144637726221085} a + \frac{1538268976477}{3909127735705}$, $\frac{1}{138996854898462685} a^{42} + \frac{775431069}{138996854898462685} a^{40} - \frac{1799042619}{3756671754012505} a^{39} + \frac{186226679139}{138996854898462685} a^{38} + \frac{100583084119}{138996854898462685} a^{37} - \frac{13865267063}{138996854898462685} a^{36} - \frac{59428856166}{27799370979692537} a^{35} + \frac{560493928413}{138996854898462685} a^{34} + \frac{1346581592268}{138996854898462685} a^{33} + \frac{950426196156}{138996854898462685} a^{32} - \frac{5035006678}{3756671754012505} a^{31} - \frac{85760287295}{27799370979692537} a^{30} + \frac{338880168346}{4483769512853635} a^{29} - \frac{53217223607}{144637726221085} a^{28} - \frac{19553314708}{144637726221085} a^{27} + \frac{56745774396256}{4483769512853635} a^{26} + \frac{54648846423006}{4483769512853635} a^{25} + \frac{69810833628004}{4483769512853635} a^{24} + \frac{10307876934532}{4483769512853635} a^{23} + \frac{5200319336343}{4483769512853635} a^{22} - \frac{39027670423979}{4483769512853635} a^{21} - \frac{71633836278144}{4483769512853635} a^{20} - \frac{29207802844693}{4483769512853635} a^{19} + \frac{36984477566129}{4483769512853635} a^{18} + \frac{9526626123784}{896753902570727} a^{17} - \frac{55993633251091}{4483769512853635} a^{16} + \frac{1934972111836}{896753902570727} a^{15} + \frac{48923645624823}{144637726221085} a^{14} - \frac{63555187589027}{144637726221085} a^{13} + \frac{15880538264462}{144637726221085} a^{12} - \frac{54711348422666}{144637726221085} a^{11} + \frac{4600433465674}{144637726221085} a^{10} + \frac{50219197762831}{144637726221085} a^{9} - \frac{362356276589}{28927545244217} a^{8} - \frac{10952372935154}{28927545244217} a^{7} - \frac{40828637437641}{144637726221085} a^{6} - \frac{5389235830118}{28927545244217} a^{5} - \frac{28122795124038}{144637726221085} a^{4} + \frac{21395982628111}{144637726221085} a^{3} + \frac{32974266613849}{144637726221085} a^{2} + \frac{26738835866371}{144637726221085} a + \frac{1137205319916}{3909127735705}$, $\frac{1}{99938738671994670515} a^{43} + \frac{45}{19987747734398934103} a^{42} - \frac{28}{19987747734398934103} a^{41} + \frac{4271314659917}{99938738671994670515} a^{40} - \frac{88766725515574}{99938738671994670515} a^{39} + \frac{1985258839343}{3223830279741763565} a^{38} + \frac{256690586318294}{99938738671994670515} a^{37} - \frac{30811871437707}{19987747734398934103} a^{36} + \frac{427351301240769}{99938738671994670515} a^{35} - \frac{1287508758844024}{99938738671994670515} a^{34} + \frac{890135440327383}{99938738671994670515} a^{33} + \frac{500182849683144}{99938738671994670515} a^{32} - \frac{208133556765032}{19987747734398934103} a^{31} - \frac{332763834004964}{99938738671994670515} a^{30} + \frac{237658999435711}{644766055948352713} a^{29} + \frac{1217687137429648}{3223830279741763565} a^{28} + \frac{12549357912668}{87130548101128745} a^{27} - \frac{31194957588470921}{3223830279741763565} a^{26} - \frac{9758829957069973}{644766055948352713} a^{25} + \frac{4155326115384912}{644766055948352713} a^{24} + \frac{26852829897349188}{3223830279741763565} a^{23} - \frac{22115064819699863}{3223830279741763565} a^{22} - \frac{5689294818892781}{644766055948352713} a^{21} + \frac{1730259709808819}{644766055948352713} a^{20} - \frac{8613750055298502}{644766055948352713} a^{19} - \frac{36361334314246489}{3223830279741763565} a^{18} + \frac{2319390752920553}{3223830279741763565} a^{17} + \frac{16439672149182801}{3223830279741763565} a^{16} + \frac{33426183086174636}{3223830279741763565} a^{15} + \frac{671053025440255}{20798905030592023} a^{14} + \frac{43190326609208967}{103994525152960115} a^{13} - \frac{44972465227094821}{103994525152960115} a^{12} + \frac{30046569144116379}{103994525152960115} a^{11} - \frac{51951760850468887}{103994525152960115} a^{10} + \frac{35239671250423979}{103994525152960115} a^{9} + \frac{50099479218324061}{103994525152960115} a^{8} - \frac{8856111557375331}{103994525152960115} a^{7} + \frac{3654056993253712}{20798905030592023} a^{6} - \frac{13818495281643159}{103994525152960115} a^{5} + \frac{44346472203699121}{103994525152960115} a^{4} + \frac{1248531819905560}{20798905030592023} a^{3} + \frac{46074858959950721}{103994525152960115} a^{2} - \frac{982456255863069}{103994525152960115} a - \frac{1086036896337899}{2810662841971895}$, $\frac{1}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{44} + \frac{29871332006457910722468558435337983262574598762659848925300840858141058706115026063823528988095179993950086640976154874843419901825383299843555646581173031713101471519642964798419491475070827864746264650750503478534784015178345412703668595835}{41576742042713393873077943267278437396875875635804104200260659312386932147844745214159481060169099766861666654215280276370681112220742831740747475501905810013432497580949952004301360536577733793049463207274781812356429832311335781090975376953791380218738729429071} a^{43} - \frac{386809836992994835736184942052805525508590297858791382788564340475437302448843956459339981587215760147875145233195363290667857835676477844846996151575653514660632471066694258645530945531078475770767700007289826174316398324846236188859056029531327}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{42} - \frac{511824665928787079457913390724007932394574540720080920424962652739196682213300218454467102704351096473947941691013008013320051451980811582568805955912688193579816436341367236686300409591534414096672504410361958517354670412751813079375450925875937}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{41} - \frac{318473635057050783379744764619938395421658801794327546715381682765631672727704277312716096461902964604773550719288253486347314378613774054463006995549170397689854741278048720599499353188342286063849521733164664474779091179987635625776729020167301657582542}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{40} - \frac{41004566174076793515890022373258191984720866971213930496239676815057568115597012553240407895583088269322341681761639809776036168222296248226710443943114890761223726579812694967524864870792356630651565766424877284777004709143543995105845862043021870188020354}{41576742042713393873077943267278437396875875635804104200260659312386932147844745214159481060169099766861666654215280276370681112220742831740747475501905810013432497580949952004301360536577733793049463207274781812356429832311335781090975376953791380218738729429071} a^{39} - \frac{95850664293184942319131088988010778048331994364817629664191815939446139943991889847350781112030797551788751731973916877197999183797973499868443964528759934498976250226446720453714260610654449826806485340004634226804398575668074556434782635314135799945431730}{41576742042713393873077943267278437396875875635804104200260659312386932147844745214159481060169099766861666654215280276370681112220742831740747475501905810013432497580949952004301360536577733793049463207274781812356429832311335781090975376953791380218738729429071} a^{38} - \frac{396759319254681748635013213657841074261616780971212921662299294254868332754575770570156111222139906462626867824060477591949271935647883054970972790755008532988173600280963986106305064772996981872415749963303597012814674291337585548058864138165064423241648801}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{37} - \frac{316485046526953278308736395892998597800580577815940560271017251859638609095404061839861770970142326146625816690392874729425558447525012930772670575734491659760060693242200231755224794463291079424792453165249559125459460344873309156997428122744992008450992393}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{36} - \frac{300797886447528093731247904749835439138930152454139965479359317615830471009096883062058679461115115808821805307582749888400120723643824348110309895028402909938452006148067985145659334912696838057143745792861802717819965602163246100343504998317495097402019970}{41576742042713393873077943267278437396875875635804104200260659312386932147844745214159481060169099766861666654215280276370681112220742831740747475501905810013432497580949952004301360536577733793049463207274781812356429832311335781090975376953791380218738729429071} a^{35} + \frac{1177308890849366386783316350978558259616509614449890553783832743810735121416027815986023752832319249883923052680913867857910877933369126426696046020299216924925000374791240149264991804179977711534100629969749494962124575100794318429595776533522457993749053778}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{34} + \frac{2627543801245924151416847072353642584609328738717817784758559588605604909765871882312906073807900732845487881621320810324359204969306446728935392369070054568399444788081215933743864176306322013258509624505841555849556353011064160401483536899981452279660621948}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{33} + \frac{867202368327865022529686745885651561863761859347148592450218787748562447497539436660656236414754413154745285871754846745614037005506892759876903480532670217496073085196535507632918502808519392313774491422123691911114428482319894966373717937504816423136071799}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{32} + \frac{300370570720657257614795411110161892066110860246691449952238471444480213639018509779592797558424295545004328140312786586563997166935931473120716515834321617046247357071123542823348511338440846107933829300055576773755706910693293262658071107319155022098924485}{41576742042713393873077943267278437396875875635804104200260659312386932147844745214159481060169099766861666654215280276370681112220742831740747475501905810013432497580949952004301360536577733793049463207274781812356429832311335781090975376953791380218738729429071} a^{31} - \frac{310122785661398400877953498598531067692923714490077139589517254191499133766439359412759072611948916963035277207064858451679118995612014916236476495355753851735219585003624206742482435266325997065200910115538780819016037133369980949005091181036694944623241294}{207883710213566969365389716336392186984379378179020521001303296561934660739223726070797405300845498834308333271076401381853405561103714158703737377509529050067162487904749760021506802682888668965247316036373909061782149161556678905454876884768956901093693647145355} a^{30} - \frac{678856560083079769594655310157701773466312887627473831699319852998625864883072936648281224996250254419581951130401017054760023306065165549620283829587827183723564761681671040553484993784718823824602725209894137324026529060236816952393815156004245799888210701}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{29} + \frac{465016356704558814744648140658074489208964767518425603264611243110045931787497498533781845664397136194399908734734067017172085861761115400143593965949249564823564592380389814628601111417327367822260700609628068435067129434313872902719674054897422550095936430}{1341185227184303028163804621525110883770189536638842070976150300399578456382088555295467130973196766672956988845654202463570358458733639733572499209738897097207499921966127484009721307631539799775789135718541348785691284913268896164225012159799721942539959013841} a^{28} + \frac{2302228763675354409940955110700768063991467584580779851856196093350237137500368805700090675032673762931207507769538289426193431055478409931072391674249325607528099198971080996536358068934855763676184921107961460277450892144839918389637788110754480075602204603}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{27} - \frac{88932316772943898093771843885864714255777318994735513074853249026549679183868126929319528634216587622006684046454680342074339126751776888583282249967434582705765856710376429265760601734868182178188308977975220216800227686170020952380674512824213688882991934221}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{26} + \frac{107475391029306492850732755887360135425504238069505020806144146805954179431109597459875312598784613384705390927608658855164811754301736453768848500532043739819314825354857930219147519792877610426300079258608944782836122327644332707959472289899260947164767639546}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{25} - \frac{3261676254460434443823043281999648290397532009270193448554555290569725684872810752144794918005205847716075007784711191381894146193847659762318784613747826039685055924105310148533497514393291341682206145842704346155546469298492066217159736289721765973684330199}{1341185227184303028163804621525110883770189536638842070976150300399578456382088555295467130973196766672956988845654202463570358458733639733572499209738897097207499921966127484009721307631539799775789135718541348785691284913268896164225012159799721942539959013841} a^{24} + \frac{91140889320112281289714394325530562868826211648664799295923243971340327342207409083029703677793668883657559457725967892397174460194331819571611006215456995354426446561852641395007613795361342750798405377430968387194346418517883588655702976590785693134728262814}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{23} - \frac{78835709687781321659072933455076386296283096652013203344792627596415459045668952185331453207373074118874026789856365660465005636216977626393807267321109283304500275300662255442730095852237753978011147198879700776892520272647193275521242371621239279683844031723}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{22} - \frac{3693004081173325456436993287933474639250744164649192727528381487483276543448623467595955476089811182150192507027821548352990023844302323499371540715613785604108938807376359771051576055872457886429334322455212764893164750532847720041874786957275874477048347397}{1341185227184303028163804621525110883770189536638842070976150300399578456382088555295467130973196766672956988845654202463570358458733639733572499209738897097207499921966127484009721307631539799775789135718541348785691284913268896164225012159799721942539959013841} a^{21} + \frac{25021194421450602681099018884319032504456808767644841397614099329676583128896907753450312998096231147563757771483673691048046165155930971665054321825923892629950028293204178567771797484980770846100179166501922327844810260871457315750675705574413859643470992047}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{20} + \frac{8517505140201209814729747836485851291242972708438164991460268143712602618064180957298531354398663443656788411765479810847235000062558157645956281394982953617029745975577565535953459329867123321425462192484229278331115737412846643461120985697175270991025365443}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{19} + \frac{63044199470067124750418466845104372456027806756781680458385084915796008728229022017627880463061807138618301261164401004954678176340102190915851264742591222780731068194566528833642373648224853632029109146725723480984740198059226182783750510880802108328156734059}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{18} - \frac{17928815832956981943805720154000769386609646736071237079127526892694406061207262702527156218614002342218359149772079562224300770129357418048550390571456932165910506438431664019586728511005489127011028310678903407087026140312310776157833402638392493301666403156}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{17} - \frac{4924201133963329981887001018242011449971891367333364533058836697138583579093671018826475768086684181418178666131949148190117711846586836643066539033252522530062046397288863359419978143010353982542072926913749799456048370723883256273454582630956417724042735359}{1341185227184303028163804621525110883770189536638842070976150300399578456382088555295467130973196766672956988845654202463570358458733639733572499209738897097207499921966127484009721307631539799775789135718541348785691284913268896164225012159799721942539959013841} a^{16} + \frac{33833116060146136850505897911326211298345050322856936110753951355933500047745310800966590933238178591624309773450617929759659504585781878431643021679407702675761185489463765330552318067625733165947899222613692502116428263250765138577330072772352098685213668396}{6705926135921515140819023107625554418850947683194210354880751501997892281910442776477335654865983833364784944228271012317851792293668198667862496048694485486037499609830637420048606538157698998878945678592706743928456424566344480821125060798998609712699795069205} a^{15} + \frac{53916499495702478338109905480184833437890704201345154842331240500505783061266947851027033032456853706062936825142247237706680297288833476027439093635251934910502148609088354795965131191063820474243720541343145799403477412231320815011325691175596999197918047548}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{14} - \frac{14253571458571037549956554564928731406021167145232814447958580626070922126739440963559335312446390191680109565085703934595672932164505183288834163049579132670814218715027696791771490011380911302129821854779400890355613057870910860834066114515793399585756498305}{43264039586590420263348536178229383347425468923833615192779041948373498592970598557918294547522476344288935124053361369792592208346246443018467716443190228942177416837617015613216816375210961283089972119952946735022299513331254714975000392251603933630321258511} a^{13} - \frac{3438345004034845042260460689402702287386667523293438715954548494935421097766975582432422671210868522084517762738989775581000880083586850305253030606021692309788659249999531637783268396055217924320289157520907300561043280090448199822786017532640613089592299672}{43264039586590420263348536178229383347425468923833615192779041948373498592970598557918294547522476344288935124053361369792592208346246443018467716443190228942177416837617015613216816375210961283089972119952946735022299513331254714975000392251603933630321258511} a^{12} + \frac{92302022077754107505291136136354921160165683102016736467624960043754490449241798956879768482367851836185411732125930448525145741243551491057389961593161022480425753680645760104172875150126621296160657340182372859035565155406069436511383355349575282208105938453}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{11} - \frac{84268132784292920055092231768533467381534305610890339406466391089535981940995740496474854473729142185652393518662459807046101676291141721117396767957395261456731087099287356715463552985374451114411295816454999069746447034476842464171346108331203399932128713698}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{10} + \frac{79429618751173329984986386658653525253533674532169493752839223625915680184101324289271250634962247361592247354172720353033666061955263809817394082739383958632923351053071319165407246877224202736868021111068050950894139877249440100886997958142209694776860450499}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{9} + \frac{42438725849920601600495124178923623851009074385847060082824447202334035947806800326314397208317956924285979615364059253971269580852242857662008243418959427623247479342329688228529898396034577335680274661937982587712148871676328100173966741081996637200892144996}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{8} - \frac{23212416686464288771307489112158143917395976321965895145530343003156364927162689163600913616556800166471878925030394832224906136265632801093047794850676278402374656161013289847823833472456912626404945320765832536832702675973402510698265670328604251802899661509}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{7} - \frac{98525616195934882872292567031017728933389568085195517792604326486824095895151933175904093498985313701525221623575725967793357818264645622515452092428275908356113453371278444971418152801423352842725535735888567212205390967888733550130496228486890603017985942797}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{6} + \frac{16797070855668332137576936461776291983977737514554744100425726151385324621699214648389540775896973954633583446528825664905421947430639266324131235676071575605691102358687513521258902702189951643347924594038673722154153741275884389243947280931837733797884288939}{43264039586590420263348536178229383347425468923833615192779041948373498592970598557918294547522476344288935124053361369792592208346246443018467716443190228942177416837617015613216816375210961283089972119952946735022299513331254714975000392251603933630321258511} a^{5} - \frac{89766058587183908382696284013866937603145808556428515493392423250320462708788294465095535206265938768236938982651084055379913227503926716793220467194405546254515076753328685131071617064091704595139001667786784450413088221356764003728536447100804151384098906497}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{4} + \frac{102941435588634318373584799969861931096200486295002776632077166737819255685846573950117603660924911721157062085516780371404235106369879006841323470344085625184623616677214292912141545805449128583933041940451505693778096335788534992197912352962575258199641986097}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{3} + \frac{46261497042842817317360410802554502480848299110865283731585634328069473174402271413714576511934123453532022470217402332771759378539099418497608958531640600383872634524587913866918301125290351468531386773281254648600729772941696738981891931264103548733571179558}{216320197932952101316742680891146916737127344619168075963895209741867492964852992789591472737612381721444675620266806848962961041731232215092338582215951144710887084188085078066084081876054806415449860599764733675111497566656273574875001961258019668151606292555} a^{2} - \frac{3740438459267414116953780874426198556892474713635277007760689484007308570551679601364006253117733410106645167056109145478499577345723797305001253728545479057290668369784687424512910383592965048944662155486823853130057348398914557157795837139095809414075968650}{43264039586590420263348536178229383347425468923833615192779041948373498592970598557918294547522476344288935124053361369792592208346246443018467716443190228942177416837617015613216816375210961283089972119952946735022299513331254714975000392251603933630321258511} a + \frac{985825550543590055631442084870094128072259625359648862624072296897995021711649916565653441383951755453691283146012160549625502018606542743037455153093052701331901920340597398997096949278300467783290848184982455903030579625605017185846061372256688412}{3567409434784706910979220535929109944356064177534038534055078970603285345069871319579493598909385859753834171607900094776124437974091644891610689867204905201567121420318979654508398499509715365385232899009302188906555639717014933182778393956742751715}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.923521.1, 9.9.27850805916667920729.1, 15.15.2746410307762150989067078161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ R ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{9}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R ${\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }^{45}$ $45$ $45$ $45$ $15^{3}$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
31Data not computed