↑

Properties

Label 45.45.1268409930...0625.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $3^{60}\cdot 5^{72}\cdot 19^{40}$
Root discriminant $778.37$
Ramified primes $3, 5, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-10835225954749, -3128562863964930, -198465349661296935, -2541306685350213655, -10777109138913999420, -10977768335382909711, 36152509600010281240, 85498017677547162030, -19988900412305351625, -189351482828504000840, -69556523186917537542, 210689048973120959475, 145276749446118582630, -132999693696797582370, -132272188924099938150, 47808566459444990013, 71378553982345787340, -7970415692531247030, -25209329328115882410, -711672366769923975, 6129151913159003580, 722222599349933155, -1057224481807912770, -192196786938802635, 131819211406605930, 30650093495497956, -12011385759895155, -3332732396750215, 803647539003645, 258904609331790, -39430737714133, -14662989897075, 1407069380505, 609401918395, -35880354285, -18515552766, 633225580, 405212745, -7301640, -6198800, 49134, 62685, -145, -375, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{45} - 375 x^{43} - 145 x^{42} + 62685 x^{41} + 49134 x^{40} - 6198800 x^{39} - 7301640 x^{38} + 405212745 x^{37} + 633225580 x^{36} - 18515552766 x^{35} - 35880354285 x^{34} + 609401918395 x^{33} + 1407069380505 x^{32} - 14662989897075 x^{31} - 39430737714133 x^{30} + 258904609331790 x^{29} + 803647539003645 x^{28} - 3332732396750215 x^{27} - 12011385759895155 x^{26} + 30650093495497956 x^{25} + 131819211406605930 x^{24} - 192196786938802635 x^{23} - 1057224481807912770 x^{22} + 722222599349933155 x^{21} + 6129151913159003580 x^{20} - 711672366769923975 x^{19} - 25209329328115882410 x^{18} - 7970415692531247030 x^{17} + 71378553982345787340 x^{16} + 47808566459444990013 x^{15} - 132272188924099938150 x^{14} - 132999693696797582370 x^{13} + 145276749446118582630 x^{12} + 210689048973120959475 x^{11} - 69556523186917537542 x^{10} - 189351482828504000840 x^{9} - 19988900412305351625 x^{8} + 85498017677547162030 x^{7} + 36152509600010281240 x^{6} - 10977768335382909711 x^{5} - 10777109138913999420 x^{4} - 2541306685350213655 x^{3} - 198465349661296935 x^{2} - 3128562863964930 x - 10835225954749 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $45$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[45, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(12684099304584464511534682139982085463638463237371944882670362044188065480450524551313457900791892285496942349709570407867431640625=3^{60}\cdot 5^{72}\cdot 19^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $778.37$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(4275=3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{4275}(4096,·)$, $\chi_{4275}(1,·)$, $\chi_{4275}(1411,·)$, $\chi_{4275}(3076,·)$, $\chi_{4275}(2821,·)$, $\chi_{4275}(2566,·)$, $\chi_{4275}(2056,·)$, $\chi_{4275}(256,·)$, $\chi_{4275}(2191,·)$, $\chi_{4275}(16,·)$, $\chi_{4275}(2581,·)$, $\chi_{4275}(406,·)$, $\chi_{4275}(2971,·)$, $\chi_{4275}(346,·)$, $\chi_{4275}(676,·)$, $\chi_{4275}(3121,·)$, $\chi_{4275}(3241,·)$, $\chi_{4275}(556,·)$, $\chi_{4275}(2221,·)$, $\chi_{4275}(1966,·)$, $\chi_{4275}(1711,·)$, $\chi_{4275}(1201,·)$, $\chi_{4275}(3766,·)$, $\chi_{4275}(3976,·)$, $\chi_{4275}(1336,·)$, $\chi_{4275}(3901,·)$, $\chi_{4275}(1726,·)$, $\chi_{4275}(2116,·)$, $\chi_{4275}(2386,·)$, $\chi_{4275}(1366,·)$, $\chi_{4275}(1111,·)$, $\chi_{4275}(856,·)$, $\chi_{4275}(2266,·)$, $\chi_{4275}(3931,·)$, $\chi_{4275}(3676,·)$, $\chi_{4275}(3421,·)$, $\chi_{4275}(2911,·)$, $\chi_{4275}(481,·)$, $\chi_{4275}(3046,·)$, $\chi_{4275}(871,·)$, $\chi_{4275}(3436,·)$, $\chi_{4275}(1261,·)$, $\chi_{4275}(3826,·)$, $\chi_{4275}(1531,·)$, $\chi_{4275}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{3}$, $\frac{1}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{4}$, $\frac{1}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{5}$, $\frac{1}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{14} - \frac{2}{49} a^{8} + \frac{1}{49} a^{2}$, $\frac{1}{49} a^{15} - \frac{2}{49} a^{9} + \frac{1}{49} a^{3}$, $\frac{1}{49} a^{16} - \frac{2}{49} a^{10} + \frac{1}{49} a^{4}$, $\frac{1}{49} a^{17} - \frac{2}{49} a^{11} + \frac{1}{49} a^{5}$, $\frac{1}{49} a^{18} - \frac{2}{49} a^{12} + \frac{1}{49} a^{6}$, $\frac{1}{49} a^{19} - \frac{2}{49} a^{13} + \frac{1}{49} a^{7}$, $\frac{1}{49} a^{20} - \frac{3}{49} a^{8} + \frac{2}{49} a^{2}$, $\frac{1}{343} a^{21} - \frac{3}{343} a^{15} + \frac{3}{343} a^{9} - \frac{1}{343} a^{3}$, $\frac{1}{343} a^{22} - \frac{3}{343} a^{16} + \frac{3}{343} a^{10} - \frac{1}{343} a^{4}$, $\frac{1}{343} a^{23} - \frac{3}{343} a^{17} + \frac{3}{343} a^{11} - \frac{1}{343} a^{5}$, $\frac{1}{343} a^{24} - \frac{3}{343} a^{18} + \frac{3}{343} a^{12} - \frac{1}{343} a^{6}$, $\frac{1}{343} a^{25} - \frac{3}{343} a^{19} + \frac{3}{343} a^{13} - \frac{1}{343} a^{7}$, $\frac{1}{343} a^{26} - \frac{3}{343} a^{20} + \frac{3}{343} a^{14} - \frac{1}{343} a^{8}$, $\frac{1}{343} a^{27} + \frac{1}{343} a^{15} - \frac{6}{343} a^{9} + \frac{4}{343} a^{3}$, $\frac{1}{2401} a^{28} + \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{15}{2401} a^{16} + \frac{17}{2401} a^{10} - \frac{6}{2401} a^{4}$, $\frac{1}{2401} a^{29} + \frac{3}{2401} a^{23} - \frac{15}{2401} a^{17} + \frac{17}{2401} a^{11} - \frac{6}{2401} a^{5}$, $\frac{1}{16807} a^{30} - \frac{1}{16807} a^{29} - \frac{3}{2401} a^{27} - \frac{2}{2401} a^{26} + \frac{3}{16807} a^{24} - \frac{17}{16807} a^{23} + \frac{2}{2401} a^{21} + \frac{20}{2401} a^{20} + \frac{3}{343} a^{19} - \frac{15}{16807} a^{18} + \frac{8}{16807} a^{17} + \frac{2}{343} a^{16} + \frac{19}{2401} a^{15} + \frac{15}{2401} a^{14} + \frac{1}{343} a^{13} - \frac{326}{16807} a^{12} - \frac{990}{16807} a^{11} - \frac{18}{343} a^{10} + \frac{115}{2401} a^{9} + \frac{16}{2401} a^{8} - \frac{4}{343} a^{7} + \frac{2738}{16807} a^{6} - \frac{6203}{16807} a^{5} + \frac{163}{343} a^{4} - \frac{68}{343} a^{3} + \frac{20}{49} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{16807} a^{31} - \frac{1}{16807} a^{29} + \frac{2}{2401} a^{27} - \frac{2}{2401} a^{26} + \frac{3}{16807} a^{25} - \frac{2}{2401} a^{24} - \frac{17}{16807} a^{23} - \frac{3}{2401} a^{22} + \frac{1}{2401} a^{21} - \frac{8}{2401} a^{20} + \frac{132}{16807} a^{19} - \frac{1}{2401} a^{18} + \frac{106}{16807} a^{17} - \frac{19}{2401} a^{16} + \frac{6}{2401} a^{15} + \frac{22}{2401} a^{14} - \frac{277}{16807} a^{13} + \frac{155}{2401} a^{12} + \frac{529}{16807} a^{11} + \frac{96}{2401} a^{10} - \frac{121}{2401} a^{9} + \frac{135}{2401} a^{8} + \frac{141}{16807} a^{7} - \frac{838}{2401} a^{6} - \frac{617}{16807} a^{5} + \frac{612}{2401} a^{4} + \frac{114}{343} a^{3} - \frac{3}{49} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{16807} a^{32} - \frac{1}{16807} a^{29} + \frac{2}{2401} a^{27} - \frac{11}{16807} a^{26} - \frac{2}{2401} a^{25} - \frac{2}{2401} a^{24} + \frac{11}{16807} a^{23} + \frac{2}{2401} a^{22} + \frac{1}{2401} a^{21} - \frac{71}{16807} a^{20} + \frac{20}{2401} a^{19} + \frac{13}{2401} a^{18} + \frac{71}{16807} a^{17} - \frac{20}{2401} a^{16} - \frac{22}{2401} a^{15} + \frac{171}{16807} a^{14} + \frac{162}{2401} a^{13} + \frac{29}{2401} a^{12} - \frac{857}{16807} a^{11} - \frac{162}{2401} a^{10} - \frac{16}{2401} a^{9} + \frac{596}{16807} a^{8} + \frac{163}{2401} a^{7} + \frac{303}{2401} a^{6} - \frac{1625}{16807} a^{5} - \frac{506}{2401} a^{4} - \frac{44}{343} a^{3} + \frac{5}{49} a^{2} + \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{16807} a^{33} - \frac{1}{16807} a^{29} + \frac{17}{16807} a^{27} + \frac{3}{2401} a^{26} - \frac{2}{2401} a^{25} + \frac{2}{2401} a^{24} - \frac{3}{16807} a^{23} + \frac{2}{2401} a^{22} - \frac{8}{16807} a^{21} + \frac{19}{2401} a^{20} - \frac{15}{2401} a^{19} + \frac{8}{2401} a^{18} - \frac{132}{16807} a^{17} + \frac{1}{2401} a^{16} - \frac{137}{16807} a^{15} + \frac{2}{2401} a^{14} + \frac{134}{2401} a^{13} - \frac{169}{2401} a^{12} + \frac{277}{16807} a^{11} - \frac{155}{2401} a^{10} - \frac{461}{16807} a^{9} - \frac{122}{2401} a^{8} - \frac{117}{2401} a^{7} + \frac{159}{2401} a^{6} + \frac{4661}{16807} a^{5} + \frac{838}{2401} a^{4} + \frac{12}{343} a^{3} - \frac{12}{49} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{117649} a^{34} - \frac{1}{117649} a^{32} - \frac{1}{117649} a^{31} + \frac{22}{117649} a^{29} - \frac{18}{117649} a^{28} + \frac{17}{16807} a^{27} - \frac{3}{117649} a^{26} + \frac{74}{117649} a^{25} - \frac{10}{16807} a^{24} + \frac{17}{117649} a^{23} + \frac{90}{117649} a^{22} + \frac{12}{16807} a^{21} + \frac{505}{117649} a^{20} + \frac{127}{117649} a^{19} - \frac{138}{16807} a^{18} + \frac{356}{117649} a^{17} - \frac{515}{117649} a^{16} + \frac{128}{16807} a^{15} - \frac{997}{117649} a^{14} + \frac{2272}{117649} a^{13} + \frac{61}{16807} a^{12} + \frac{4294}{117649} a^{11} - \frac{6719}{117649} a^{10} - \frac{801}{16807} a^{9} - \frac{2248}{117649} a^{8} + \frac{4731}{117649} a^{7} - \frac{5744}{16807} a^{6} - \frac{4689}{117649} a^{5} + \frac{4453}{16807} a^{4} + \frac{582}{2401} a^{3} + \frac{8}{343} a^{2} - \frac{13}{49} a + \frac{1}{7}$, $\frac{1}{117649} a^{35} - \frac{1}{117649} a^{33} - \frac{1}{117649} a^{32} + \frac{1}{117649} a^{30} + \frac{3}{117649} a^{29} + \frac{3}{16807} a^{28} + \frac{95}{117649} a^{27} + \frac{25}{117649} a^{26} - \frac{10}{16807} a^{25} - \frac{46}{117649} a^{24} + \frac{104}{117649} a^{23} + \frac{19}{16807} a^{22} - \frac{132}{117649} a^{21} + \frac{617}{117649} a^{20} + \frac{107}{16807} a^{19} + \frac{671}{117649} a^{18} + \frac{346}{117649} a^{17} - \frac{103}{16807} a^{16} - \frac{703}{117649} a^{15} - \frac{962}{117649} a^{14} + \frac{943}{16807} a^{13} - \frac{5667}{117649} a^{12} - \frac{3765}{117649} a^{11} - \frac{647}{16807} a^{10} - \frac{6119}{117649} a^{9} - \frac{4481}{117649} a^{8} + \frac{332}{16807} a^{7} - \frac{45380}{117649} a^{6} - \frac{8102}{16807} a^{5} - \frac{92}{2401} a^{4} + \frac{167}{343} a^{3} - \frac{22}{49} a^{2}$, $\frac{1}{117649} a^{36} - \frac{1}{117649} a^{33} - \frac{1}{117649} a^{32} + \frac{3}{117649} a^{30} - \frac{6}{117649} a^{29} - \frac{3}{16807} a^{28} + \frac{144}{117649} a^{27} - \frac{73}{117649} a^{26} + \frac{4}{16807} a^{25} + \frac{34}{117649} a^{24} + \frac{3}{117649} a^{23} + \frac{1}{16807} a^{22} + \frac{15}{117649} a^{21} - \frac{1147}{117649} a^{20} + \frac{114}{16807} a^{19} - \frac{620}{117649} a^{18} + \frac{370}{117649} a^{17} - \frac{111}{16807} a^{16} - \frac{409}{117649} a^{15} + \frac{802}{117649} a^{14} - \frac{485}{16807} a^{13} - \frac{3338}{117649} a^{12} - \frac{1068}{117649} a^{11} + \frac{68}{2401} a^{10} - \frac{7344}{117649} a^{9} + \frac{76}{117649} a^{8} - \frac{1005}{16807} a^{7} + \frac{423}{2401} a^{6} - \frac{8903}{117649} a^{5} - \frac{6537}{16807} a^{4} - \frac{531}{2401} a^{3} + \frac{29}{343} a^{2} + \frac{22}{49} a + \frac{1}{7}$, $\frac{1}{494949343} a^{37} - \frac{1212}{494949343} a^{36} + \frac{627}{494949343} a^{35} - \frac{282}{70707049} a^{34} + \frac{367}{494949343} a^{33} - \frac{2839}{494949343} a^{32} - \frac{12213}{494949343} a^{31} + \frac{3145}{494949343} a^{30} - \frac{75756}{494949343} a^{29} - \frac{11313}{70707049} a^{28} - \frac{539271}{494949343} a^{27} - \frac{284520}{494949343} a^{26} + \frac{571980}{494949343} a^{25} + \frac{287737}{494949343} a^{24} + \frac{448080}{494949343} a^{23} + \frac{41357}{70707049} a^{22} + \frac{510710}{494949343} a^{21} - \frac{453386}{494949343} a^{20} - \frac{4757014}{494949343} a^{19} + \frac{3884460}{494949343} a^{18} - \frac{4544465}{494949343} a^{17} - \frac{551521}{70707049} a^{16} - \frac{1284372}{494949343} a^{15} - \frac{481479}{494949343} a^{14} - \frac{35298692}{494949343} a^{13} + \frac{67651}{10101007} a^{12} + \frac{86293}{494949343} a^{11} + \frac{101530}{10101007} a^{10} + \frac{33296630}{494949343} a^{9} - \frac{18350728}{494949343} a^{8} - \frac{1020937}{494949343} a^{7} - \frac{90868556}{494949343} a^{6} + \frac{14210993}{70707049} a^{5} - \frac{4001775}{10101007} a^{4} - \frac{66935}{1443001} a^{3} + \frac{24135}{206143} a^{2} - \frac{1156}{29449} a + \frac{1730}{4207}$, $\frac{1}{494949343} a^{38} - \frac{74}{494949343} a^{36} + \frac{690}{494949343} a^{35} + \frac{1662}{494949343} a^{34} - \frac{3977}{494949343} a^{33} + \frac{9280}{494949343} a^{32} + \frac{5422}{494949343} a^{31} - \frac{1178}{70707049} a^{30} + \frac{44315}{494949343} a^{29} + \frac{10852}{494949343} a^{28} + \frac{286493}{494949343} a^{27} - \frac{428150}{494949343} a^{26} + \frac{96101}{494949343} a^{25} + \frac{332470}{494949343} a^{24} + \frac{709943}{494949343} a^{23} - \frac{628813}{494949343} a^{22} - \frac{545537}{494949343} a^{21} + \frac{747629}{494949343} a^{20} + \frac{4123269}{494949343} a^{19} - \frac{3109711}{494949343} a^{18} - \frac{527536}{494949343} a^{17} - \frac{1741766}{494949343} a^{16} - \frac{2451907}{494949343} a^{15} + \frac{506423}{70707049} a^{14} + \frac{29784354}{494949343} a^{13} + \frac{7370647}{494949343} a^{12} - \frac{21199888}{494949343} a^{11} + \frac{34611139}{494949343} a^{10} - \frac{31587473}{494949343} a^{9} - \frac{20783964}{494949343} a^{8} + \frac{28668959}{494949343} a^{7} - \frac{126827199}{494949343} a^{6} - \frac{9147161}{70707049} a^{5} - \frac{2203196}{10101007} a^{4} + \frac{533916}{1443001} a^{3} + \frac{51756}{206143} a^{2} - \frac{12672}{29449} a - \frac{276}{601}$, $\frac{1}{3464645401} a^{39} - \frac{2}{3464645401} a^{38} - \frac{2}{3464645401} a^{37} - \frac{6493}{3464645401} a^{36} + \frac{11770}{3464645401} a^{35} + \frac{2092}{494949343} a^{34} + \frac{85728}{3464645401} a^{33} + \frac{10391}{494949343} a^{32} - \frac{2335}{3464645401} a^{31} - \frac{66141}{3464645401} a^{30} + \frac{323934}{3464645401} a^{29} - \frac{66928}{494949343} a^{28} - \frac{2861739}{3464645401} a^{27} + \frac{3041723}{3464645401} a^{26} - \frac{4726994}{3464645401} a^{25} - \frac{2978034}{3464645401} a^{24} + \frac{5034166}{3464645401} a^{23} + \frac{447652}{494949343} a^{22} - \frac{3819}{70707049} a^{21} - \frac{8984988}{3464645401} a^{20} - \frac{2782900}{3464645401} a^{19} - \frac{22213385}{3464645401} a^{18} - \frac{8240314}{3464645401} a^{17} + \frac{2329967}{494949343} a^{16} - \frac{20407755}{3464645401} a^{15} + \frac{21381040}{3464645401} a^{14} - \frac{224788462}{3464645401} a^{13} - \frac{1636100}{3464645401} a^{12} - \frac{190660103}{3464645401} a^{11} + \frac{14613862}{494949343} a^{10} + \frac{172600249}{3464645401} a^{9} - \frac{139231639}{3464645401} a^{8} - \frac{84028656}{3464645401} a^{7} + \frac{20378566}{494949343} a^{6} - \frac{2077690}{10101007} a^{5} + \frac{165906}{1443001} a^{4} + \frac{8846}{206143} a^{3} - \frac{30}{29449} a^{2} - \frac{4020}{29449} a - \frac{1916}{4207}$, $\frac{1}{897343158859} a^{40} + \frac{24}{897343158859} a^{39} - \frac{789}{897343158859} a^{38} + \frac{18}{18313125691} a^{37} + \frac{97778}{24252517807} a^{36} + \frac{52893}{897343158859} a^{35} + \frac{250872}{897343158859} a^{34} - \frac{20762306}{897343158859} a^{33} + \frac{8349757}{897343158859} a^{32} + \frac{18766821}{897343158859} a^{31} - \frac{3163498}{897343158859} a^{30} - \frac{86653998}{897343158859} a^{29} - \frac{110242922}{897343158859} a^{28} + \frac{905257770}{897343158859} a^{27} - \frac{1174887585}{897343158859} a^{26} + \frac{561374214}{897343158859} a^{25} + \frac{11193544}{24252517807} a^{24} + \frac{488563032}{897343158859} a^{23} - \frac{74755622}{128191879837} a^{22} + \frac{1261648775}{897343158859} a^{21} + \frac{6740488008}{897343158859} a^{20} + \frac{2234021577}{897343158859} a^{19} + \frac{8253630740}{897343158859} a^{18} + \frac{3934233852}{897343158859} a^{17} + \frac{8507819008}{897343158859} a^{16} - \frac{6823683640}{897343158859} a^{15} + \frac{1170479311}{128191879837} a^{14} + \frac{6382540110}{897343158859} a^{13} - \frac{47250096918}{897343158859} a^{12} + \frac{45598348685}{897343158859} a^{11} - \frac{25083229021}{897343158859} a^{10} + \frac{7211067362}{128191879837} a^{9} - \frac{22169001417}{897343158859} a^{8} + \frac{51676814598}{897343158859} a^{7} - \frac{30363556143}{128191879837} a^{6} + \frac{4242962939}{18313125691} a^{5} - \frac{892650607}{2616160813} a^{4} + \frac{40872865}{373737259} a^{3} + \frac{20239021}{53391037} a^{2} + \frac{540234}{7627291} a - \frac{208682}{1089613}$, $\frac{1}{6281402112013} a^{41} + \frac{2}{6281402112013} a^{40} - \frac{540}{6281402112013} a^{39} + \frac{369}{6281402112013} a^{38} + \frac{3462}{6281402112013} a^{37} - \frac{7126661}{6281402112013} a^{36} + \frac{1611440}{6281402112013} a^{35} + \frac{26547517}{6281402112013} a^{34} + \frac{124487833}{6281402112013} a^{33} + \frac{543105}{24252517807} a^{32} + \frac{163229523}{6281402112013} a^{31} + \frac{76237866}{6281402112013} a^{30} + \frac{242697481}{6281402112013} a^{29} + \frac{550359302}{6281402112013} a^{28} + \frac{2284779405}{6281402112013} a^{27} - \frac{7793861398}{6281402112013} a^{26} + \frac{8977203285}{6281402112013} a^{25} - \frac{745174588}{6281402112013} a^{24} + \frac{7779824186}{6281402112013} a^{23} - \frac{3603369215}{6281402112013} a^{22} - \frac{1225610836}{897343158859} a^{21} + \frac{22684189957}{6281402112013} a^{20} + \frac{61516664616}{6281402112013} a^{19} - \frac{29732775578}{6281402112013} a^{18} + \frac{19975211}{3464645401} a^{17} + \frac{1020474144}{897343158859} a^{16} + \frac{53600537785}{6281402112013} a^{15} + \frac{34617514619}{6281402112013} a^{14} - \frac{143858754562}{6281402112013} a^{13} - \frac{35984697437}{6281402112013} a^{12} + \frac{221886549593}{6281402112013} a^{11} + \frac{402634367790}{6281402112013} a^{10} - \frac{155563854218}{6281402112013} a^{9} + \frac{326061343229}{6281402112013} a^{8} - \frac{127634000994}{6281402112013} a^{7} + \frac{289837900286}{897343158859} a^{6} - \frac{18399309094}{128191879837} a^{5} - \frac{3207840431}{18313125691} a^{4} - \frac{540012618}{2616160813} a^{3} + \frac{34623192}{373737259} a^{2} + \frac{3153414}{53391037} a - \frac{839967}{7627291}$, $\frac{1}{6281402112013} a^{42} + \frac{2}{6281402112013} a^{40} + \frac{1}{128191879837} a^{39} - \frac{5641}{6281402112013} a^{38} + \frac{1697}{6281402112013} a^{37} + \frac{6894556}{6281402112013} a^{36} - \frac{2576174}{897343158859} a^{35} + \frac{12787910}{6281402112013} a^{34} - \frac{21879965}{6281402112013} a^{33} - \frac{78053988}{6281402112013} a^{32} - \frac{2247388}{169767624649} a^{31} - \frac{118941674}{6281402112013} a^{30} - \frac{138230195}{897343158859} a^{29} - \frac{60361075}{897343158859} a^{28} + \frac{7812019307}{6281402112013} a^{27} + \frac{6783331831}{6281402112013} a^{26} - \frac{6165020210}{6281402112013} a^{25} + \frac{201988760}{169767624649} a^{24} - \frac{355465283}{897343158859} a^{23} - \frac{1288753008}{6281402112013} a^{22} - \frac{6422428038}{6281402112013} a^{21} + \frac{41636197383}{6281402112013} a^{20} - \frac{41128528760}{6281402112013} a^{19} - \frac{8123714245}{6281402112013} a^{18} + \frac{787120345}{128191879837} a^{17} - \frac{49068622809}{6281402112013} a^{16} + \frac{64051973574}{6281402112013} a^{15} - \frac{2637578498}{6281402112013} a^{14} + \frac{62821022393}{897343158859} a^{13} - \frac{151460850498}{6281402112013} a^{12} + \frac{21090761883}{897343158859} a^{11} + \frac{92698219218}{6281402112013} a^{10} + \frac{365896284010}{6281402112013} a^{9} + \frac{353020606126}{6281402112013} a^{8} + \frac{253078916306}{6281402112013} a^{7} - \frac{332241535760}{897343158859} a^{6} - \frac{50780969684}{128191879837} a^{5} - \frac{377817122}{18313125691} a^{4} - \frac{291161413}{2616160813} a^{3} + \frac{86411496}{373737259} a^{2} - \frac{21402160}{53391037} a - \frac{2813254}{7627291}$, $\frac{1}{31473549452637553709} a^{43} + \frac{2246028}{31473549452637553709} a^{42} + \frac{1544883}{31473549452637553709} a^{41} + \frac{3375938}{31473549452637553709} a^{40} - \frac{66942509}{850636471692906857} a^{39} - \frac{319831544}{642317335768113341} a^{38} - \frac{21921513249}{31473549452637553709} a^{37} + \frac{45992265557306}{31473549452637553709} a^{36} - \frac{66316461578166}{31473549452637553709} a^{35} + \frac{23044999689795}{31473549452637553709} a^{34} + \frac{457238278716781}{31473549452637553709} a^{33} + \frac{505255007124472}{31473549452637553709} a^{32} + \frac{41632241401890}{4496221350376793387} a^{31} + \frac{634241678523367}{31473549452637553709} a^{30} - \frac{2249708236523521}{31473549452637553709} a^{29} - \frac{52994565579530}{4496221350376793387} a^{28} + \frac{13607879595566461}{31473549452637553709} a^{27} - \frac{6910011604569750}{31473549452637553709} a^{26} - \frac{24947589809255948}{31473549452637553709} a^{25} + \frac{18548775882956992}{31473549452637553709} a^{24} - \frac{86518834162304}{107418257517534313} a^{23} + \frac{14977511724112716}{31473549452637553709} a^{22} - \frac{26957745504632370}{31473549452637553709} a^{21} + \frac{229012149645948435}{31473549452637553709} a^{20} + \frac{218964307696807255}{31473549452637553709} a^{19} - \frac{8913450634521089}{4496221350376793387} a^{18} - \frac{167461940783231307}{31473549452637553709} a^{17} - \frac{269848209337343142}{31473549452637553709} a^{16} + \frac{2471574891007825}{642317335768113341} a^{15} - \frac{31564608294064207}{31473549452637553709} a^{14} - \frac{1030928495487939015}{31473549452637553709} a^{13} - \frac{1736161199467879063}{31473549452637553709} a^{12} - \frac{103202815685501522}{4496221350376793387} a^{11} - \frac{220545547221409681}{31473549452637553709} a^{10} - \frac{699494174173858177}{31473549452637553709} a^{9} + \frac{321290029065411213}{31473549452637553709} a^{8} - \frac{34275481147911722}{4496221350376793387} a^{7} - \frac{200245937741035014}{642317335768113341} a^{6} + \frac{31426362759729617}{91759619395444763} a^{5} - \frac{1672398411813261}{13108517056492109} a^{4} - \frac{554249054969287}{1872645293784587} a^{3} + \frac{78843938009891}{267520756254941} a^{2} + \frac{17526092675552}{38217250893563} a - \frac{1662962192027}{5459607270509}$, $\frac{1}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{44} + \frac{41008860360689003369124120161553137712922749292260179506896743311240698830488361691843183557894105704528585219057389586208752518770271188654222467159876436480142109055374649469127718357742194161168952879607727958990248271426289296456557352304582822803634488376655860}{2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341} a^{43} + \frac{255268015531640380988299099675749722327746936740280488737193274042171264657211227782223361257511424163616933129993525332593866888741916014261954388805103175945103232798600156045134832995853751726327313541561773782481876531760909904249174255187629928322431359737926112929152}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{42} + \frac{1466685587211913427820738416809462428645980740098303123965419346590000632724852906932265771574016170949551973206578423562348852768261019648975938231871125251995545631216386599125433244605622434907925660564554651151359024645814621492733096836280405862262947922396696596142324}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{41} - \frac{1239725025882780166998551515552330060328520171191941954221612289047681869191875887774992702940630961173093282349092089272923512945998463329976122463958387237650402853425175861909661313132638348337755059318420397258283176203304468709286006263021057554135096924112345591803398}{2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341} a^{40} - \frac{1482782933044570511971863736398705489920431245263333239293395772367261455028287564583956966782840787859132716737259460918551931276044049831822509683313405688122354068038731388113291205107869443246151654835358456863663288005002432305309698904296489355326204464295307015149997042}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{39} - \frac{14374379491332274602742283102176488315131909664347660171454816550823385934135744591207344693497319383752236918844791743531370713635337534450477929626757945277545357332023382023914465050975931191398435560122655979782896327505357122022916393326096640269633614291167897646895533937}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{38} + \frac{17924041437024662895122108010976152334480735791858407809356631729503425475939302831002494061943939756441558507403236087571418578159443052711756933953670814134422910156954759118838154015214210057852718678171873838804631820947628864419915730237446604783505925970014077779249195415}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{37} + \frac{2742564272134255731266300479775528692438995171073754369284939871890865105091596089716068669198864931369911576959991434870370675532497766735743799252605026502195464086574506361743234159244758405943829550441029981401796497122933223487725609044484111622104802219971719367979790146566}{2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341} a^{36} + \frac{24277915610906650422849088420239131298216367585834498430041635713472134055294224019785657001234007274376689317983942540192883501353377234979794032527112472117372914706169588862587265038650371862930424221019089953395565350158506639604816353926482317890151489344501759567502785069924}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{35} - \frac{76163570133726395715407573888792786721140020772310710002030619426340676279635326639072936592190784889077075026030391401915047394906985013668813560439322676031949475808523354436665980050215061640889033841106945767058702903041961240026814799242928333221077522942746544168103145443862}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{34} - \frac{463173643038510842206908446875801347422671718917943938720737449441276993134867838056097583571979553363502912924007733072299303480138966660506906197639688455493564231470664836777253286128767007769623069018615619295318434547655702186672123075576756153376427984041552676746560737986429}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{33} + \frac{50033142153495463142725454183968855778793525913303425486778443391524845983193887135429025639910007142165139132043684911683443920491864682473841314917678804683628861081617328853511020585408285312675553755269400717479210765704883221353570283757285211482101721333037489435129939460081}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{32} + \frac{119059447698831093832523789653574493655815239255641940934223741130985227694259983696771391752681584218353461344001241048302275232836011472337052123936835335682737559039183106515186904922273116202217729071337485433847502031839286353972962957591000706649926145170883467569137936252952}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{31} + \frac{537600305253724601480614884939937458512970277605042041673682449729229237147804054539091937200423768603128728467584226232188701587643398203507258890649190547047276182983553357227988441701405746111016329907939503637147570580112323113469225275275901195927911158973562433250212503627847}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{30} + \frac{1557238111400534937912285414563711768263810871940576620661112237102220655053375144442913135199330247170248644783985852586169610860737217768485207866734644559364525552493061680199805112430171260862113323167760931116104291957955577825056209861079799446285555780427089919861264272055002}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{29} + \frac{1589167680023821787888691469097027418724331654585646198543843006910343512599177217340977592288058964157595452901652718229447928275545304864738811571268795974359909308850831667394078030571964488403204291358393078486324488526726007259436196913014565679773283961039779637134874461360522}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{28} + \frac{3009495104283215649958286172161246145877150608996206826886561271941822019756059453041255848957702724411874498332787392535686262788047544490198660935237982524784143159256111280786865787576657223580109512761931893414091961828494124450629499365729233054653011225477330814760002357839919}{2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341} a^{27} + \frac{10646809205611443282868253219744324011585642493959206135958228100009804897432797267445238275297121098633632756649474412507075533145858780726916995893970391168088106222668557614550577199469267842377646223730397024497484567883484648126295093672308355438618875285160757390237349479921095}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{26} + \frac{6243722354243092243791773952820486858561347840369669816287559167817390334821367786248252871162465910349743765175935522204804812141332407486227451369278962219883137388780464830931395090767653227504253446323533949258852886042065261568960940037393418987206873057525802385624029993070497}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{25} - \frac{5432859964001033160260011785227144722943574413429885467729030904391310358259746089243115835698785151219594854667418053023561492077034788065222680282995438987254078658519530411812792947716113744000247564034158054717206851139372596586545008353785376912094863127133052185985340327519098}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{24} + \frac{21702832175989275957452575788599887647234044783610385722927870670862157800096244715808006807481098055823828569833857997849923750869040555143047142094870003988348554130521227506271038524037906428307017836501064534947423950019318266096484750061274798343336419832489229765006150789614776}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{23} - \frac{1461250625733251286682597842890845743757118280116329504626742332548344772474986266976795850112256250148588018354192707516740211176694297815553482017923452978067300280878303737153378808860320807972523935748625256696129476201295295022538111987346552008167293922237567863323434185131455}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{22} - \frac{1967625034232451435984892394263443280506894985638521378831001515791374737587034598256492305250647505793500643964167238748188560510068020609100232197509426403287740211216680289293444476883316218307375136265438998186091629639849092281962253980970903859841246251855760649869678635315437}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{21} - \frac{124079673327949757411931998528977259765808938705434715323345196144466996611616032233575281478397469448877696493034569449147316191469605438088301654156106038221380057582370657862816557648891717706373174253481539701508956987371126161550669854922705519611392420740347295806404235393841160}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{20} - \frac{40664184463754961492355305047247801970868710400792890246960601851899341418415193924295867554134861766812505428933245777931977304538485915725763909895249989080665528768376537978355192105466359717154486489353631330314370609420199411736951929782539004812361132110982813386701344249853924}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{19} - \frac{4326576050733769553378446419097246505828981583824486186946295715742979555715234163512230349315665775993830979046869106411986582737759748543468500920657270613489243746540396881567559039717187906232238449627334871359354311648840955462870191630703118675278275451129429996763237090180383}{504168466540725883148471449818738290507553938932709991394391895219226252630268908854995009659367399028863184308361366980329451034739843990990014877747186095715587481240618447287957346735928003153798374727597783955098393181030151138746051747449111374653507526446093802806523189700748551} a^{18} - \frac{31345021233990434290841921650737205246140513791017927758112694594375480173983739720770069967333382282172703741775898792069914359159459342646298874964721352463565605478994234394958753723433972921205117609829419914084677591675374191384718806443017848316920308785695856070420082451248554}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{17} - \frac{165129654566545977064859053518327787269901536209529890140058508670326782478041493240957118364240258697605896400715741267604885718401956622906397346899608166981729479415990064086850990691062712716194173516892609786167844502073988140444911269867859326031293600921445028713854084708400569}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{16} + \frac{26569732306569057837700598880473139730960576637355029699251715578812405491538235428893001971130768735288843340729074318633681585531383923343467817802882616819811184211767329879348021445712358432499942837814629547310428724460111828311366266139111734514170863609273339938675200762737450}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{15} + \frac{72487340881810141858061083449218338640427652343308525649130971649113176164446491289112676532740049060690634710244830907286020399873237847905368657704540163435978441529891850231728642741935061293246280702730384492455539800000104894222753615808937586980289851032353764497882820133268966}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{14} - \frac{796102699581161382908789114856986520887749122370136843751216599502699842993447442995974165465536184393492512324854328231823009721822550877862052377689640360949770015141558149530383221128134660497701185539542621344522003601219133555849276858795279205178282432077332631627570224705915560}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{13} - \frac{312259803849301214798461241000315080489400219767442990498109010944944685319827161583544547358953602274626586140567535769515468122985036020276933766618800581953158127325356510841131404627079523722911734129106003355990333762547657295222980374053648471171820989287006647931999502725099061}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{12} - \frac{395519169061003249488188275557985454282710316715888949915355524533704381265426967568912170045601705833944154832616397003644297506776398491241393619273724183334159191301730009249047434639272694804104453338569713186238753307653478310537692109648564360739368569037028175106615430070885811}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{11} + \frac{208746115775475248366201640003820751505281876108162150368647778465898688350096623349251598852731265114462584060336782130400377067153459804543541588757439215021381556617639620865919609676078008670645929998035949483571383787070028569538322758228973996826076713628318956499640146368851674}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{10} - \frac{468727977302035997979669772806275898116940658313841672074670636930226620858729456178988219663489060596233509020421609751919593992321078209331482861381813911014540348951782164801603257399745185815725829340695082539440583214940285172868433838442345618209664213116980545471726958574115804}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{9} - \frac{443653673957501055862231799016737745358349460125596777440554918525256329822407713347302044788410749308694973619093444684082220854043751200749519608458821154198259874733157878302011727275324514836247186464963731153053738602641552101988278234489527738208354480576311008493213644818451463}{18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387} a^{8} - \frac{49413071451013057626715483684442724856871755614216503858201559122709642526874824193468758692595474643087954794753898582013598222506574453859318660009105088833279340043626402490399121077412122936238780531598052768301799945449914222660790319632840091951949469058489175053636155347671868}{2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341} a^{7} - \frac{113799796502599383952944908028205545016324324309064097692647162544207480325135715445848623646187502095889398097767268743844077805267634583746303991182015107067380317267812798746635914535865647785372546654900238801167394994542197771476275190144424785450297407858631812636665073982594117}{380698638000139952581498849863128913240397872255311626154948982104313700965713257706832966477481505389141588151211644454534483434395392401359807152584609909009729322569446582646008608759782369728378364590226898088543684646900318206808243156237084099228158744459295320486558326916891763} a^{6} + \frac{17570924356875312808697281267321920927726019861167073048798537776986651813877358303358583484681468004153605999098289123144403767991032099245466780952836750378382213346842824034873478752987864175182921057961474751944905165348484086018988575727093747496063684463111590524181784134125671}{54385519714305707511642692837589844748628267465044518022135568872044814423673322529547566639640215055591655450173092064933497633485056057337115307512087129858532760367063797520858372679968909961196909227175271155506240663842902600972606165176726299889736963494185045783794046702413109} a^{5} + \frac{377102918507141396220210849700033032406335780078841948032002486477024722054912186443565267675126041516081193395141344030244828817708308850707996118471210963242413386983440403741742874619838405295866830007510481719910935760754443548961033537303216551907707448100388843530637556643478}{7769359959186529644520384691084263535518323923577788288876509838863544917667617504221080948520030722227379350024727437847642519069293722476730758216012447122647537195294828217265481811424129994456701318167895879358034380548986085853229452168103757127105280499169292254827720957487587} a^{4} - \frac{337698163048322909668935943575643468624442806876026677392477115946259594982165806382506190842244886699509576363987026713414488373610954867718522819865004623130276518014354801511707725737344504542190706538792534805245979353059949221921384402514660581993708256528818506490293108391449}{1109908565598075663502912098726323362216903417653969755553787119837649273952516786317297278360004388889625621432103919692520359867041960353818679745144635303235362456470689745323640258774875713493814474023985125622576340078426583693318493166871965303872182928452756036403960136783941} a^{3} + \frac{19987253129840186298803549226496790108343565783478503889991516138927618121112785975885747958710620205048135732660007767085442979631824891473759444975924198437207314897137214631682843275350880893572565015563980561334875680011185974307007872677969740593477848347065085114015849771655}{158558366514010809071844585532331908888129059664852822221969588548235610564645255188185325480000626984232231633157702813217194266720280050545525677877805043319337493781527106474805751253553673356259210574855017946082334296918083384759784738124566471981740418350393719486280019540563} a^{2} + \frac{5527101952924224326021335175475614233951653559129663025624616080874595390521747420534357345375826891936356382386048006302119923402340375767398091620064274533871033347216589300962937119652851827214051044199701112604154135661282990406868833886641369048587549284025432720444005328159}{22651195216287258438834940790333129841161294237836117460281369792605087223520750741169332211428660997747461661879671830459599180960040007220789382553972149045619641968789586639257964464793381908037030082122145420868904899559726197822826391160652353140248631192913388498040002791509} a + \frac{712782591146650885983249382868025938638344468783390420117516471633968588498576109614649371318365626077844389631654942576421108253601645975325567786181151902595317897935437929418286595025687887588719244417144822368773026818277050897116297171472612388703418583672981266174713649322}{3235885030898179776976420112904732834451613462548016780040195684657869603360107248738476030204094428249637380268524547208514168708577143888684197507710307006517091709827083805608280637827625986862432868874592202981272128508532313974689484451521764734321233027559055499720000398787}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $44$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.390625.1, 9.9.9025761726072081.2, 15.15.365440026390612125396728515625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $45$ R R ${\href{/LocalNumberField/7.1.0.1}{1} }^{45}$ $15^{3}$ $45$ $45$ R $45$ $45$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{9}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
19Data not computed