LMFDB - Number field 45.45.12684099304584464511534682139982085463638463237371944882670362044188065480450524551313457900791892285496942349709570407867431640625.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749)

gp: K = bnfinit(y^45 - 375*y^43 - 145*y^42 + 62685*y^41 + 49134*y^40 - 6198800*y^39 - 7301640*y^38 + 405212745*y^37 + 633225580*y^36 - 18515552766*y^35 - 35880354285*y^34 + 609401918395*y^33 + 1407069380505*y^32 - 14662989897075*y^31 - 39430737714133*y^30 + 258904609331790*y^29 + 803647539003645*y^28 - 3332732396750215*y^27 - 12011385759895155*y^26 + 30650093495497956*y^25 + 131819211406605930*y^24 - 192196786938802635*y^23 - 1057224481807912770*y^22 + 722222599349933155*y^21 + 6129151913159003580*y^20 - 711672366769923975*y^19 - 25209329328115882410*y^18 - 7970415692531247030*y^17 + 71378553982345787340*y^16 + 47808566459444990013*y^15 - 132272188924099938150*y^14 - 132999693696797582370*y^13 + 145276749446118582630*y^12 + 210689048973120959475*y^11 - 69556523186917537542*y^10 - 189351482828504000840*y^9 - 19988900412305351625*y^8 + 85498017677547162030*y^7 + 36152509600010281240*y^6 - 10977768335382909711*y^5 - 10777109138913999420*y^4 - 2541306685350213655*y^3 - 198465349661296935*y^2 - 3128562863964930*y - 10835225954749, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749)

$ x^{45} - 375 x^{43} - 145 x^{42} + 62685 x^{41} + 49134 x^{40} - 6198800 x^{39} - 7301640 x^{38} + \cdots - 10835225954749 $ x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$45$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[45, 0]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$126\!\cdots\!625$ 12684099304584464511534682139982085463638463237371944882670362044188065480450524551313457900791892285496942349709570407867431640625 $\medspace = 3^{60}\cdot 5^{72}\cdot 19^{40}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$778.37$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3^{4/3}5^{8/5}19^{8/9}\approx 778.365444871264$
Ramified primes:	$3$, $5$, $19$ 3, 5, 19	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$45$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$4275=3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 19$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{4275}(4096,·)$, $\chi_{4275}(1,·)$, $\chi_{4275}(1411,·)$, $\chi_{4275}(3076,·)$, $\chi_{4275}(2821,·)$, $\chi_{4275}(2566,·)$, $\chi_{4275}(2056,·)$, $\chi_{4275}(256,·)$, $\chi_{4275}(2191,·)$, $\chi_{4275}(16,·)$, $\chi_{4275}(2581,·)$, $\chi_{4275}(406,·)$, $\chi_{4275}(2971,·)$, $\chi_{4275}(346,·)$, $\chi_{4275}(676,·)$, $\chi_{4275}(3121,·)$, $\chi_{4275}(3241,·)$, $\chi_{4275}(556,·)$, $\chi_{4275}(2221,·)$, $\chi_{4275}(1966,·)$, $\chi_{4275}(1711,·)$, $\chi_{4275}(1201,·)$, $\chi_{4275}(3766,·)$, $\chi_{4275}(3976,·)$, $\chi_{4275}(1336,·)$, $\chi_{4275}(3901,·)$, $\chi_{4275}(1726,·)$, $\chi_{4275}(2116,·)$, $\chi_{4275}(2386,·)$, $\chi_{4275}(1366,·)$, $\chi_{4275}(1111,·)$, $\chi_{4275}(856,·)$, $\chi_{4275}(2266,·)$, $\chi_{4275}(3931,·)$, $\chi_{4275}(3676,·)$, $\chi_{4275}(3421,·)$, $\chi_{4275}(2911,·)$, $\chi_{4275}(481,·)$, $\chi_{4275}(3046,·)$, $\chi_{4275}(871,·)$, $\chi_{4275}(3436,·)$, $\chi_{4275}(1261,·)$, $\chi_{4275}(3826,·)$, $\chi_{4275}(1531,·)$, $\chi_{4275}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{8}-\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{4}$, $\frac{1}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{5}$, $\frac{1}{7}a^{12}-\frac{1}{7}a^{6}$, $\frac{1}{7}a^{13}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{14}-\frac{2}{49}a^{8}+\frac{1}{49}a^{2}$, $\frac{1}{49}a^{15}-\frac{2}{49}a^{9}+\frac{1}{49}a^{3}$, $\frac{1}{49}a^{16}-\frac{2}{49}a^{10}+\frac{1}{49}a^{4}$, $\frac{1}{49}a^{17}-\frac{2}{49}a^{11}+\frac{1}{49}a^{5}$, $\frac{1}{49}a^{18}-\frac{2}{49}a^{12}+\frac{1}{49}a^{6}$, $\frac{1}{49}a^{19}-\frac{2}{49}a^{13}+\frac{1}{49}a^{7}$, $\frac{1}{49}a^{20}-\frac{3}{49}a^{8}+\frac{2}{49}a^{2}$, $\frac{1}{343}a^{21}-\frac{3}{343}a^{15}+\frac{3}{343}a^{9}-\frac{1}{343}a^{3}$, $\frac{1}{343}a^{22}-\frac{3}{343}a^{16}+\frac{3}{343}a^{10}-\frac{1}{343}a^{4}$, $\frac{1}{343}a^{23}-\frac{3}{343}a^{17}+\frac{3}{343}a^{11}-\frac{1}{343}a^{5}$, $\frac{1}{343}a^{24}-\frac{3}{343}a^{18}+\frac{3}{343}a^{12}-\frac{1}{343}a^{6}$, $\frac{1}{343}a^{25}-\frac{3}{343}a^{19}+\frac{3}{343}a^{13}-\frac{1}{343}a^{7}$, $\frac{1}{343}a^{26}-\frac{3}{343}a^{20}+\frac{3}{343}a^{14}-\frac{1}{343}a^{8}$, $\frac{1}{343}a^{27}+\frac{1}{343}a^{15}-\frac{6}{343}a^{9}+\frac{4}{343}a^{3}$, $\frac{1}{2401}a^{28}+\frac{3}{2401}a^{22}-\frac{15}{2401}a^{16}+\frac{17}{2401}a^{10}-\frac{6}{2401}a^{4}$, $\frac{1}{2401}a^{29}+\frac{3}{2401}a^{23}-\frac{15}{2401}a^{17}+\frac{17}{2401}a^{11}-\frac{6}{2401}a^{5}$, $\frac{1}{16807}a^{30}-\frac{1}{16807}a^{29}-\frac{3}{2401}a^{27}-\frac{2}{2401}a^{26}+\frac{3}{16807}a^{24}-\frac{17}{16807}a^{23}+\frac{2}{2401}a^{21}+\frac{20}{2401}a^{20}+\frac{3}{343}a^{19}-\frac{15}{16807}a^{18}+\frac{8}{16807}a^{17}+\frac{2}{343}a^{16}+\frac{19}{2401}a^{15}+\frac{15}{2401}a^{14}+\frac{1}{343}a^{13}-\frac{326}{16807}a^{12}-\frac{990}{16807}a^{11}-\frac{18}{343}a^{10}+\frac{115}{2401}a^{9}+\frac{16}{2401}a^{8}-\frac{4}{343}a^{7}+\frac{2738}{16807}a^{6}-\frac{6203}{16807}a^{5}+\frac{163}{343}a^{4}-\frac{68}{343}a^{3}+\frac{20}{49}a^{2}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{16807}a^{31}-\frac{1}{16807}a^{29}+\frac{2}{2401}a^{27}-\frac{2}{2401}a^{26}+\frac{3}{16807}a^{25}-\frac{2}{2401}a^{24}-\frac{17}{16807}a^{23}-\frac{3}{2401}a^{22}+\frac{1}{2401}a^{21}-\frac{8}{2401}a^{20}+\frac{132}{16807}a^{19}-\frac{1}{2401}a^{18}+\frac{106}{16807}a^{17}-\frac{19}{2401}a^{16}+\frac{6}{2401}a^{15}+\frac{22}{2401}a^{14}-\frac{277}{16807}a^{13}+\frac{155}{2401}a^{12}+\frac{529}{16807}a^{11}+\frac{96}{2401}a^{10}-\frac{121}{2401}a^{9}+\frac{135}{2401}a^{8}+\frac{141}{16807}a^{7}-\frac{838}{2401}a^{6}-\frac{617}{16807}a^{5}+\frac{612}{2401}a^{4}+\frac{114}{343}a^{3}-\frac{3}{49}a^{2}-\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{16807}a^{32}-\frac{1}{16807}a^{29}+\frac{2}{2401}a^{27}-\frac{11}{16807}a^{26}-\frac{2}{2401}a^{25}-\frac{2}{2401}a^{24}+\frac{11}{16807}a^{23}+\frac{2}{2401}a^{22}+\frac{1}{2401}a^{21}-\frac{71}{16807}a^{20}+\frac{20}{2401}a^{19}+\frac{13}{2401}a^{18}+\frac{71}{16807}a^{17}-\frac{20}{2401}a^{16}-\frac{22}{2401}a^{15}+\frac{171}{16807}a^{14}+\frac{162}{2401}a^{13}+\frac{29}{2401}a^{12}-\frac{857}{16807}a^{11}-\frac{162}{2401}a^{10}-\frac{16}{2401}a^{9}+\frac{596}{16807}a^{8}+\frac{163}{2401}a^{7}+\frac{303}{2401}a^{6}-\frac{1625}{16807}a^{5}-\frac{506}{2401}a^{4}-\frac{44}{343}a^{3}+\frac{5}{49}a^{2}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{16807}a^{33}-\frac{1}{16807}a^{29}+\frac{17}{16807}a^{27}+\frac{3}{2401}a^{26}-\frac{2}{2401}a^{25}+\frac{2}{2401}a^{24}-\frac{3}{16807}a^{23}+\frac{2}{2401}a^{22}-\frac{8}{16807}a^{21}+\frac{19}{2401}a^{20}-\frac{15}{2401}a^{19}+\frac{8}{2401}a^{18}-\frac{132}{16807}a^{17}+\frac{1}{2401}a^{16}-\frac{137}{16807}a^{15}+\frac{2}{2401}a^{14}+\frac{134}{2401}a^{13}-\frac{169}{2401}a^{12}+\frac{277}{16807}a^{11}-\frac{155}{2401}a^{10}-\frac{461}{16807}a^{9}-\frac{122}{2401}a^{8}-\frac{117}{2401}a^{7}+\frac{159}{2401}a^{6}+\frac{4661}{16807}a^{5}+\frac{838}{2401}a^{4}+\frac{12}{343}a^{3}-\frac{12}{49}a^{2}-\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{117649}a^{34}-\frac{1}{117649}a^{32}-\frac{1}{117649}a^{31}+\frac{22}{117649}a^{29}-\frac{18}{117649}a^{28}+\frac{17}{16807}a^{27}-\frac{3}{117649}a^{26}+\frac{74}{117649}a^{25}-\frac{10}{16807}a^{24}+\frac{17}{117649}a^{23}+\frac{90}{117649}a^{22}+\frac{12}{16807}a^{21}+\frac{505}{117649}a^{20}+\frac{127}{117649}a^{19}-\frac{138}{16807}a^{18}+\frac{356}{117649}a^{17}-\frac{515}{117649}a^{16}+\frac{128}{16807}a^{15}-\frac{997}{117649}a^{14}+\frac{2272}{117649}a^{13}+\frac{61}{16807}a^{12}+\frac{4294}{117649}a^{11}-\frac{6719}{117649}a^{10}-\frac{801}{16807}a^{9}-\frac{2248}{117649}a^{8}+\frac{4731}{117649}a^{7}-\frac{5744}{16807}a^{6}-\frac{4689}{117649}a^{5}+\frac{4453}{16807}a^{4}+\frac{582}{2401}a^{3}+\frac{8}{343}a^{2}-\frac{13}{49}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{117649}a^{35}-\frac{1}{117649}a^{33}-\frac{1}{117649}a^{32}+\frac{1}{117649}a^{30}+\frac{3}{117649}a^{29}+\frac{3}{16807}a^{28}+\frac{95}{117649}a^{27}+\frac{25}{117649}a^{26}-\frac{10}{16807}a^{25}-\frac{46}{117649}a^{24}+\frac{104}{117649}a^{23}+\frac{19}{16807}a^{22}-\frac{132}{117649}a^{21}+\frac{617}{117649}a^{20}+\frac{107}{16807}a^{19}+\frac{671}{117649}a^{18}+\frac{346}{117649}a^{17}-\frac{103}{16807}a^{16}-\frac{703}{117649}a^{15}-\frac{962}{117649}a^{14}+\frac{943}{16807}a^{13}-\frac{5667}{117649}a^{12}-\frac{3765}{117649}a^{11}-\frac{647}{16807}a^{10}-\frac{6119}{117649}a^{9}-\frac{4481}{117649}a^{8}+\frac{332}{16807}a^{7}-\frac{45380}{117649}a^{6}-\frac{8102}{16807}a^{5}-\frac{92}{2401}a^{4}+\frac{167}{343}a^{3}-\frac{22}{49}a^{2}$, $\frac{1}{117649}a^{36}-\frac{1}{117649}a^{33}-\frac{1}{117649}a^{32}+\frac{3}{117649}a^{30}-\frac{6}{117649}a^{29}-\frac{3}{16807}a^{28}+\frac{144}{117649}a^{27}-\frac{73}{117649}a^{26}+\frac{4}{16807}a^{25}+\frac{34}{117649}a^{24}+\frac{3}{117649}a^{23}+\frac{1}{16807}a^{22}+\frac{15}{117649}a^{21}-\frac{1147}{117649}a^{20}+\frac{114}{16807}a^{19}-\frac{620}{117649}a^{18}+\frac{370}{117649}a^{17}-\frac{111}{16807}a^{16}-\frac{409}{117649}a^{15}+\frac{802}{117649}a^{14}-\frac{485}{16807}a^{13}-\frac{3338}{117649}a^{12}-\frac{1068}{117649}a^{11}+\frac{68}{2401}a^{10}-\frac{7344}{117649}a^{9}+\frac{76}{117649}a^{8}-\frac{1005}{16807}a^{7}+\frac{423}{2401}a^{6}-\frac{8903}{117649}a^{5}-\frac{6537}{16807}a^{4}-\frac{531}{2401}a^{3}+\frac{29}{343}a^{2}+\frac{22}{49}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{494949343}a^{37}-\frac{1212}{494949343}a^{36}+\frac{627}{494949343}a^{35}-\frac{282}{70707049}a^{34}+\frac{367}{494949343}a^{33}-\frac{2839}{494949343}a^{32}-\frac{12213}{494949343}a^{31}+\frac{3145}{494949343}a^{30}-\frac{75756}{494949343}a^{29}-\frac{11313}{70707049}a^{28}-\frac{539271}{494949343}a^{27}-\frac{284520}{494949343}a^{26}+\frac{571980}{494949343}a^{25}+\frac{287737}{494949343}a^{24}+\frac{448080}{494949343}a^{23}+\frac{41357}{70707049}a^{22}+\frac{510710}{494949343}a^{21}-\frac{453386}{494949343}a^{20}-\frac{4757014}{494949343}a^{19}+\frac{3884460}{494949343}a^{18}-\frac{4544465}{494949343}a^{17}-\frac{551521}{70707049}a^{16}-\frac{1284372}{494949343}a^{15}-\frac{481479}{494949343}a^{14}-\frac{35298692}{494949343}a^{13}+\frac{67651}{10101007}a^{12}+\frac{86293}{494949343}a^{11}+\frac{101530}{10101007}a^{10}+\frac{33296630}{494949343}a^{9}-\frac{18350728}{494949343}a^{8}-\frac{1020937}{494949343}a^{7}-\frac{90868556}{494949343}a^{6}+\frac{14210993}{70707049}a^{5}-\frac{4001775}{10101007}a^{4}-\frac{66935}{1443001}a^{3}+\frac{24135}{206143}a^{2}-\frac{1156}{29449}a+\frac{1730}{4207}$, $\frac{1}{494949343}a^{38}-\frac{74}{494949343}a^{36}+\frac{690}{494949343}a^{35}+\frac{1662}{494949343}a^{34}-\frac{3977}{494949343}a^{33}+\frac{9280}{494949343}a^{32}+\frac{5422}{494949343}a^{31}-\frac{1178}{70707049}a^{30}+\frac{44315}{494949343}a^{29}+\frac{10852}{494949343}a^{28}+\frac{286493}{494949343}a^{27}-\frac{428150}{494949343}a^{26}+\frac{96101}{494949343}a^{25}+\frac{332470}{494949343}a^{24}+\frac{709943}{494949343}a^{23}-\frac{628813}{494949343}a^{22}-\frac{545537}{494949343}a^{21}+\frac{747629}{494949343}a^{20}+\frac{4123269}{494949343}a^{19}-\frac{3109711}{494949343}a^{18}-\frac{527536}{494949343}a^{17}-\frac{1741766}{494949343}a^{16}-\frac{2451907}{494949343}a^{15}+\frac{506423}{70707049}a^{14}+\frac{29784354}{494949343}a^{13}+\frac{7370647}{494949343}a^{12}-\frac{21199888}{494949343}a^{11}+\frac{34611139}{494949343}a^{10}-\frac{31587473}{494949343}a^{9}-\frac{20783964}{494949343}a^{8}+\frac{28668959}{494949343}a^{7}-\frac{126827199}{494949343}a^{6}-\frac{9147161}{70707049}a^{5}-\frac{2203196}{10101007}a^{4}+\frac{533916}{1443001}a^{3}+\frac{51756}{206143}a^{2}-\frac{12672}{29449}a-\frac{276}{601}$, $\frac{1}{3464645401}a^{39}-\frac{2}{3464645401}a^{38}-\frac{2}{3464645401}a^{37}-\frac{6493}{3464645401}a^{36}+\frac{11770}{3464645401}a^{35}+\frac{2092}{494949343}a^{34}+\frac{85728}{3464645401}a^{33}+\frac{10391}{494949343}a^{32}-\frac{2335}{3464645401}a^{31}-\frac{66141}{3464645401}a^{30}+\frac{323934}{3464645401}a^{29}-\frac{66928}{494949343}a^{28}-\frac{2861739}{3464645401}a^{27}+\frac{3041723}{3464645401}a^{26}-\frac{4726994}{3464645401}a^{25}-\frac{2978034}{3464645401}a^{24}+\frac{5034166}{3464645401}a^{23}+\frac{447652}{494949343}a^{22}-\frac{3819}{70707049}a^{21}-\frac{8984988}{3464645401}a^{20}-\frac{2782900}{3464645401}a^{19}-\frac{22213385}{3464645401}a^{18}-\frac{8240314}{3464645401}a^{17}+\frac{2329967}{494949343}a^{16}-\frac{20407755}{3464645401}a^{15}+\frac{21381040}{3464645401}a^{14}-\frac{224788462}{3464645401}a^{13}-\frac{1636100}{3464645401}a^{12}-\frac{190660103}{3464645401}a^{11}+\frac{14613862}{494949343}a^{10}+\frac{172600249}{3464645401}a^{9}-\frac{139231639}{3464645401}a^{8}-\frac{84028656}{3464645401}a^{7}+\frac{20378566}{494949343}a^{6}-\frac{2077690}{10101007}a^{5}+\frac{165906}{1443001}a^{4}+\frac{8846}{206143}a^{3}-\frac{30}{29449}a^{2}-\frac{4020}{29449}a-\frac{1916}{4207}$, $\frac{1}{897343158859}a^{40}+\frac{24}{897343158859}a^{39}-\frac{789}{897343158859}a^{38}+\frac{18}{18313125691}a^{37}+\frac{97778}{24252517807}a^{36}+\frac{52893}{897343158859}a^{35}+\frac{250872}{897343158859}a^{34}-\frac{20762306}{897343158859}a^{33}+\frac{8349757}{897343158859}a^{32}+\frac{18766821}{897343158859}a^{31}-\frac{3163498}{897343158859}a^{30}-\frac{86653998}{897343158859}a^{29}-\frac{110242922}{897343158859}a^{28}+\frac{905257770}{897343158859}a^{27}-\frac{1174887585}{897343158859}a^{26}+\frac{561374214}{897343158859}a^{25}+\frac{11193544}{24252517807}a^{24}+\frac{488563032}{897343158859}a^{23}-\frac{74755622}{128191879837}a^{22}+\frac{1261648775}{897343158859}a^{21}+\frac{6740488008}{897343158859}a^{20}+\frac{2234021577}{897343158859}a^{19}+\frac{8253630740}{897343158859}a^{18}+\frac{3934233852}{897343158859}a^{17}+\frac{8507819008}{897343158859}a^{16}-\frac{6823683640}{897343158859}a^{15}+\frac{1170479311}{128191879837}a^{14}+\frac{6382540110}{897343158859}a^{13}-\frac{47250096918}{897343158859}a^{12}+\frac{45598348685}{897343158859}a^{11}-\frac{25083229021}{897343158859}a^{10}+\frac{7211067362}{128191879837}a^{9}-\frac{22169001417}{897343158859}a^{8}+\frac{51676814598}{897343158859}a^{7}-\frac{30363556143}{128191879837}a^{6}+\frac{4242962939}{18313125691}a^{5}-\frac{892650607}{2616160813}a^{4}+\frac{40872865}{373737259}a^{3}+\frac{20239021}{53391037}a^{2}+\frac{540234}{7627291}a-\frac{208682}{1089613}$, $\frac{1}{6281402112013}a^{41}+\frac{2}{6281402112013}a^{40}-\frac{540}{6281402112013}a^{39}+\frac{369}{6281402112013}a^{38}+\frac{3462}{6281402112013}a^{37}-\frac{7126661}{6281402112013}a^{36}+\frac{1611440}{6281402112013}a^{35}+\frac{26547517}{6281402112013}a^{34}+\frac{124487833}{6281402112013}a^{33}+\frac{543105}{24252517807}a^{32}+\frac{163229523}{6281402112013}a^{31}+\frac{76237866}{6281402112013}a^{30}+\frac{242697481}{6281402112013}a^{29}+\frac{550359302}{6281402112013}a^{28}+\frac{2284779405}{6281402112013}a^{27}-\frac{7793861398}{6281402112013}a^{26}+\frac{8977203285}{6281402112013}a^{25}-\frac{745174588}{6281402112013}a^{24}+\frac{7779824186}{6281402112013}a^{23}-\frac{3603369215}{6281402112013}a^{22}-\frac{1225610836}{897343158859}a^{21}+\frac{22684189957}{6281402112013}a^{20}+\frac{61516664616}{6281402112013}a^{19}-\frac{29732775578}{6281402112013}a^{18}+\frac{19975211}{3464645401}a^{17}+\frac{1020474144}{897343158859}a^{16}+\frac{53600537785}{6281402112013}a^{15}+\frac{34617514619}{6281402112013}a^{14}-\frac{143858754562}{6281402112013}a^{13}-\frac{35984697437}{6281402112013}a^{12}+\frac{221886549593}{6281402112013}a^{11}+\frac{402634367790}{6281402112013}a^{10}-\frac{155563854218}{6281402112013}a^{9}+\frac{326061343229}{6281402112013}a^{8}-\frac{127634000994}{6281402112013}a^{7}+\frac{289837900286}{897343158859}a^{6}-\frac{18399309094}{128191879837}a^{5}-\frac{3207840431}{18313125691}a^{4}-\frac{540012618}{2616160813}a^{3}+\frac{34623192}{373737259}a^{2}+\frac{3153414}{53391037}a-\frac{839967}{7627291}$, $\frac{1}{6281402112013}a^{42}+\frac{2}{6281402112013}a^{40}+\frac{1}{128191879837}a^{39}-\frac{5641}{6281402112013}a^{38}+\frac{1697}{6281402112013}a^{37}+\frac{6894556}{6281402112013}a^{36}-\frac{2576174}{897343158859}a^{35}+\frac{12787910}{6281402112013}a^{34}-\frac{21879965}{6281402112013}a^{33}-\frac{78053988}{6281402112013}a^{32}-\frac{2247388}{169767624649}a^{31}-\frac{118941674}{6281402112013}a^{30}-\frac{138230195}{897343158859}a^{29}-\frac{60361075}{897343158859}a^{28}+\frac{7812019307}{6281402112013}a^{27}+\frac{6783331831}{6281402112013}a^{26}-\frac{6165020210}{6281402112013}a^{25}+\frac{201988760}{169767624649}a^{24}-\frac{355465283}{897343158859}a^{23}-\frac{1288753008}{6281402112013}a^{22}-\frac{6422428038}{6281402112013}a^{21}+\frac{41636197383}{6281402112013}a^{20}-\frac{41128528760}{6281402112013}a^{19}-\frac{8123714245}{6281402112013}a^{18}+\frac{787120345}{128191879837}a^{17}-\frac{49068622809}{6281402112013}a^{16}+\frac{64051973574}{6281402112013}a^{15}-\frac{2637578498}{6281402112013}a^{14}+\frac{62821022393}{897343158859}a^{13}-\frac{151460850498}{6281402112013}a^{12}+\frac{21090761883}{897343158859}a^{11}+\frac{92698219218}{6281402112013}a^{10}+\frac{365896284010}{6281402112013}a^{9}+\frac{353020606126}{6281402112013}a^{8}+\frac{253078916306}{6281402112013}a^{7}-\frac{332241535760}{897343158859}a^{6}-\frac{50780969684}{128191879837}a^{5}-\frac{377817122}{18313125691}a^{4}-\frac{291161413}{2616160813}a^{3}+\frac{86411496}{373737259}a^{2}-\frac{21402160}{53391037}a-\frac{2813254}{7627291}$, $\frac{1}{31\!\cdots\!09}a^{43}+\frac{2246028}{31\!\cdots\!09}a^{42}+\frac{1544883}{31\!\cdots\!09}a^{41}+\frac{3375938}{31\!\cdots\!09}a^{40}-\frac{66942509}{85\!\cdots\!57}a^{39}-\frac{319831544}{64\!\cdots\!41}a^{38}-\frac{21921513249}{31\!\cdots\!09}a^{37}+\frac{45992265557306}{31\!\cdots\!09}a^{36}-\frac{66316461578166}{31\!\cdots\!09}a^{35}+\frac{23044999689795}{31\!\cdots\!09}a^{34}+\frac{457238278716781}{31\!\cdots\!09}a^{33}+\frac{505255007124472}{31\!\cdots\!09}a^{32}+\frac{41632241401890}{44\!\cdots\!87}a^{31}+\frac{634241678523367}{31\!\cdots\!09}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!09}a^{29}-\frac{52994565579530}{44\!\cdots\!87}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{69\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{86518834162304}{10\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!25}{64\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!14}{64\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!17}{91\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{554249054969287}{18\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{78843938009891}{267520756254941}a^{2}+\frac{17526092675552}{38217250893563}a-\frac{1662962192027}{5459607270509}$, $\frac{1}{18\!\cdots\!87}a^{44}+\frac{41\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!41}a^{43}+\frac{25\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!87}a^{42}+\frac{14\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!87}a^{41}-\frac{12\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!41}a^{40}-\frac{14\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!87}a^{39}-\frac{14\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!87}a^{38}+\frac{17\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!87}a^{37}+\frac{27\!\cdots\!66}{26\!\cdots\!41}a^{36}+\frac{24\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!87}a^{35}-\frac{76\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!87}a^{34}-\frac{46\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!87}a^{33}+\frac{50\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!87}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!87}a^{31}+\frac{53\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!87}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!87}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!87}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!41}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!83}{50\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!09}a+\frac{71\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!87}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, 1/7*a^7 - 1/7*a, 1/7*a^8 - 1/7*a^2, 1/7*a^9 - 1/7*a^3, 1/7*a^10 - 1/7*a^4, 1/7*a^11 - 1/7*a^5, 1/7*a^12 - 1/7*a^6, 1/7*a^13 - 1/7*a, 1/49*a^14 - 2/49*a^8 + 1/49*a^2, 1/49*a^15 - 2/49*a^9 + 1/49*a^3, 1/49*a^16 - 2/49*a^10 + 1/49*a^4, 1/49*a^17 - 2/49*a^11 + 1/49*a^5, 1/49*a^18 - 2/49*a^12 + 1/49*a^6, 1/49*a^19 - 2/49*a^13 + 1/49*a^7, 1/49*a^20 - 3/49*a^8 + 2/49*a^2, 1/343*a^21 - 3/343*a^15 + 3/343*a^9 - 1/343*a^3, 1/343*a^22 - 3/343*a^16 + 3/343*a^10 - 1/343*a^4, 1/343*a^23 - 3/343*a^17 + 3/343*a^11 - 1/343*a^5, 1/343*a^24 - 3/343*a^18 + 3/343*a^12 - 1/343*a^6, 1/343*a^25 - 3/343*a^19 + 3/343*a^13 - 1/343*a^7, 1/343*a^26 - 3/343*a^20 + 3/343*a^14 - 1/343*a^8, 1/343*a^27 + 1/343*a^15 - 6/343*a^9 + 4/343*a^3, 1/2401*a^28 + 3/2401*a^22 - 15/2401*a^16 + 17/2401*a^10 - 6/2401*a^4, 1/2401*a^29 + 3/2401*a^23 - 15/2401*a^17 + 17/2401*a^11 - 6/2401*a^5, 1/16807*a^30 - 1/16807*a^29 - 3/2401*a^27 - 2/2401*a^26 + 3/16807*a^24 - 17/16807*a^23 + 2/2401*a^21 + 20/2401*a^20 + 3/343*a^19 - 15/16807*a^18 + 8/16807*a^17 + 2/343*a^16 + 19/2401*a^15 + 15/2401*a^14 + 1/343*a^13 - 326/16807*a^12 - 990/16807*a^11 - 18/343*a^10 + 115/2401*a^9 + 16/2401*a^8 - 4/343*a^7 + 2738/16807*a^6 - 6203/16807*a^5 + 163/343*a^4 - 68/343*a^3 + 20/49*a^2 - 3/7*a, 1/16807*a^31 - 1/16807*a^29 + 2/2401*a^27 - 2/2401*a^26 + 3/16807*a^25 - 2/2401*a^24 - 17/16807*a^23 - 3/2401*a^22 + 1/2401*a^21 - 8/2401*a^20 + 132/16807*a^19 - 1/2401*a^18 + 106/16807*a^17 - 19/2401*a^16 + 6/2401*a^15 + 22/2401*a^14 - 277/16807*a^13 + 155/2401*a^12 + 529/16807*a^11 + 96/2401*a^10 - 121/2401*a^9 + 135/2401*a^8 + 141/16807*a^7 - 838/2401*a^6 - 617/16807*a^5 + 612/2401*a^4 + 114/343*a^3 - 3/49*a^2 - 2/7*a, 1/16807*a^32 - 1/16807*a^29 + 2/2401*a^27 - 11/16807*a^26 - 2/2401*a^25 - 2/2401*a^24 + 11/16807*a^23 + 2/2401*a^22 + 1/2401*a^21 - 71/16807*a^20 + 20/2401*a^19 + 13/2401*a^18 + 71/16807*a^17 - 20/2401*a^16 - 22/2401*a^15 + 171/16807*a^14 + 162/2401*a^13 + 29/2401*a^12 - 857/16807*a^11 - 162/2401*a^10 - 16/2401*a^9 + 596/16807*a^8 + 163/2401*a^7 + 303/2401*a^6 - 1625/16807*a^5 - 506/2401*a^4 - 44/343*a^3 + 5/49*a^2 + 1/7*a, 1/16807*a^33 - 1/16807*a^29 + 17/16807*a^27 + 3/2401*a^26 - 2/2401*a^25 + 2/2401*a^24 - 3/16807*a^23 + 2/2401*a^22 - 8/16807*a^21 + 19/2401*a^20 - 15/2401*a^19 + 8/2401*a^18 - 132/16807*a^17 + 1/2401*a^16 - 137/16807*a^15 + 2/2401*a^14 + 134/2401*a^13 - 169/2401*a^12 + 277/16807*a^11 - 155/2401*a^10 - 461/16807*a^9 - 122/2401*a^8 - 117/2401*a^7 + 159/2401*a^6 + 4661/16807*a^5 + 838/2401*a^4 + 12/343*a^3 - 12/49*a^2 - 2/7*a, 1/117649*a^34 - 1/117649*a^32 - 1/117649*a^31 + 22/117649*a^29 - 18/117649*a^28 + 17/16807*a^27 - 3/117649*a^26 + 74/117649*a^25 - 10/16807*a^24 + 17/117649*a^23 + 90/117649*a^22 + 12/16807*a^21 + 505/117649*a^20 + 127/117649*a^19 - 138/16807*a^18 + 356/117649*a^17 - 515/117649*a^16 + 128/16807*a^15 - 997/117649*a^14 + 2272/117649*a^13 + 61/16807*a^12 + 4294/117649*a^11 - 6719/117649*a^10 - 801/16807*a^9 - 2248/117649*a^8 + 4731/117649*a^7 - 5744/16807*a^6 - 4689/117649*a^5 + 4453/16807*a^4 + 582/2401*a^3 + 8/343*a^2 - 13/49*a + 1/7, 1/117649*a^35 - 1/117649*a^33 - 1/117649*a^32 + 1/117649*a^30 + 3/117649*a^29 + 3/16807*a^28 + 95/117649*a^27 + 25/117649*a^26 - 10/16807*a^25 - 46/117649*a^24 + 104/117649*a^23 + 19/16807*a^22 - 132/117649*a^21 + 617/117649*a^20 + 107/16807*a^19 + 671/117649*a^18 + 346/117649*a^17 - 103/16807*a^16 - 703/117649*a^15 - 962/117649*a^14 + 943/16807*a^13 - 5667/117649*a^12 - 3765/117649*a^11 - 647/16807*a^10 - 6119/117649*a^9 - 4481/117649*a^8 + 332/16807*a^7 - 45380/117649*a^6 - 8102/16807*a^5 - 92/2401*a^4 + 167/343*a^3 - 22/49*a^2, 1/117649*a^36 - 1/117649*a^33 - 1/117649*a^32 + 3/117649*a^30 - 6/117649*a^29 - 3/16807*a^28 + 144/117649*a^27 - 73/117649*a^26 + 4/16807*a^25 + 34/117649*a^24 + 3/117649*a^23 + 1/16807*a^22 + 15/117649*a^21 - 1147/117649*a^20 + 114/16807*a^19 - 620/117649*a^18 + 370/117649*a^17 - 111/16807*a^16 - 409/117649*a^15 + 802/117649*a^14 - 485/16807*a^13 - 3338/117649*a^12 - 1068/117649*a^11 + 68/2401*a^10 - 7344/117649*a^9 + 76/117649*a^8 - 1005/16807*a^7 + 423/2401*a^6 - 8903/117649*a^5 - 6537/16807*a^4 - 531/2401*a^3 + 29/343*a^2 + 22/49*a + 1/7, 1/494949343*a^37 - 1212/494949343*a^36 + 627/494949343*a^35 - 282/70707049*a^34 + 367/494949343*a^33 - 2839/494949343*a^32 - 12213/494949343*a^31 + 3145/494949343*a^30 - 75756/494949343*a^29 - 11313/70707049*a^28 - 539271/494949343*a^27 - 284520/494949343*a^26 + 571980/494949343*a^25 + 287737/494949343*a^24 + 448080/494949343*a^23 + 41357/70707049*a^22 + 510710/494949343*a^21 - 453386/494949343*a^20 - 4757014/494949343*a^19 + 3884460/494949343*a^18 - 4544465/494949343*a^17 - 551521/70707049*a^16 - 1284372/494949343*a^15 - 481479/494949343*a^14 - 35298692/494949343*a^13 + 67651/10101007*a^12 + 86293/494949343*a^11 + 101530/10101007*a^10 + 33296630/494949343*a^9 - 18350728/494949343*a^8 - 1020937/494949343*a^7 - 90868556/494949343*a^6 + 14210993/70707049*a^5 - 4001775/10101007*a^4 - 66935/1443001*a^3 + 24135/206143*a^2 - 1156/29449*a + 1730/4207, 1/494949343*a^38 - 74/494949343*a^36 + 690/494949343*a^35 + 1662/494949343*a^34 - 3977/494949343*a^33 + 9280/494949343*a^32 + 5422/494949343*a^31 - 1178/70707049*a^30 + 44315/494949343*a^29 + 10852/494949343*a^28 + 286493/494949343*a^27 - 428150/494949343*a^26 + 96101/494949343*a^25 + 332470/494949343*a^24 + 709943/494949343*a^23 - 628813/494949343*a^22 - 545537/494949343*a^21 + 747629/494949343*a^20 + 4123269/494949343*a^19 - 3109711/494949343*a^18 - 527536/494949343*a^17 - 1741766/494949343*a^16 - 2451907/494949343*a^15 + 506423/70707049*a^14 + 29784354/494949343*a^13 + 7370647/494949343*a^12 - 21199888/494949343*a^11 + 34611139/494949343*a^10 - 31587473/494949343*a^9 - 20783964/494949343*a^8 + 28668959/494949343*a^7 - 126827199/494949343*a^6 - 9147161/70707049*a^5 - 2203196/10101007*a^4 + 533916/1443001*a^3 + 51756/206143*a^2 - 12672/29449*a - 276/601, 1/3464645401*a^39 - 2/3464645401*a^38 - 2/3464645401*a^37 - 6493/3464645401*a^36 + 11770/3464645401*a^35 + 2092/494949343*a^34 + 85728/3464645401*a^33 + 10391/494949343*a^32 - 2335/3464645401*a^31 - 66141/3464645401*a^30 + 323934/3464645401*a^29 - 66928/494949343*a^28 - 2861739/3464645401*a^27 + 3041723/3464645401*a^26 - 4726994/3464645401*a^25 - 2978034/3464645401*a^24 + 5034166/3464645401*a^23 + 447652/494949343*a^22 - 3819/70707049*a^21 - 8984988/3464645401*a^20 - 2782900/3464645401*a^19 - 22213385/3464645401*a^18 - 8240314/3464645401*a^17 + 2329967/494949343*a^16 - 20407755/3464645401*a^15 + 21381040/3464645401*a^14 - 224788462/3464645401*a^13 - 1636100/3464645401*a^12 - 190660103/3464645401*a^11 + 14613862/494949343*a^10 + 172600249/3464645401*a^9 - 139231639/3464645401*a^8 - 84028656/3464645401*a^7 + 20378566/494949343*a^6 - 2077690/10101007*a^5 + 165906/1443001*a^4 + 8846/206143*a^3 - 30/29449*a^2 - 4020/29449*a - 1916/4207, 1/897343158859*a^40 + 24/897343158859*a^39 - 789/897343158859*a^38 + 18/18313125691*a^37 + 97778/24252517807*a^36 + 52893/897343158859*a^35 + 250872/897343158859*a^34 - 20762306/897343158859*a^33 + 8349757/897343158859*a^32 + 18766821/897343158859*a^31 - 3163498/897343158859*a^30 - 86653998/897343158859*a^29 - 110242922/897343158859*a^28 + 905257770/897343158859*a^27 - 1174887585/897343158859*a^26 + 561374214/897343158859*a^25 + 11193544/24252517807*a^24 + 488563032/897343158859*a^23 - 74755622/128191879837*a^22 + 1261648775/897343158859*a^21 + 6740488008/897343158859*a^20 + 2234021577/897343158859*a^19 + 8253630740/897343158859*a^18 + 3934233852/897343158859*a^17 + 8507819008/897343158859*a^16 - 6823683640/897343158859*a^15 + 1170479311/128191879837*a^14 + 6382540110/897343158859*a^13 - 47250096918/897343158859*a^12 + 45598348685/897343158859*a^11 - 25083229021/897343158859*a^10 + 7211067362/128191879837*a^9 - 22169001417/897343158859*a^8 + 51676814598/897343158859*a^7 - 30363556143/128191879837*a^6 + 4242962939/18313125691*a^5 - 892650607/2616160813*a^4 + 40872865/373737259*a^3 + 20239021/53391037*a^2 + 540234/7627291*a - 208682/1089613, 1/6281402112013*a^41 + 2/6281402112013*a^40 - 540/6281402112013*a^39 + 369/6281402112013*a^38 + 3462/6281402112013*a^37 - 7126661/6281402112013*a^36 + 1611440/6281402112013*a^35 + 26547517/6281402112013*a^34 + 124487833/6281402112013*a^33 + 543105/24252517807*a^32 + 163229523/6281402112013*a^31 + 76237866/6281402112013*a^30 + 242697481/6281402112013*a^29 + 550359302/6281402112013*a^28 + 2284779405/6281402112013*a^27 - 7793861398/6281402112013*a^26 + 8977203285/6281402112013*a^25 - 745174588/6281402112013*a^24 + 7779824186/6281402112013*a^23 - 3603369215/6281402112013*a^22 - 1225610836/897343158859*a^21 + 22684189957/6281402112013*a^20 + 61516664616/6281402112013*a^19 - 29732775578/6281402112013*a^18 + 19975211/3464645401*a^17 + 1020474144/897343158859*a^16 + 53600537785/6281402112013*a^15 + 34617514619/6281402112013*a^14 - 143858754562/6281402112013*a^13 - 35984697437/6281402112013*a^12 + 221886549593/6281402112013*a^11 + 402634367790/6281402112013*a^10 - 155563854218/6281402112013*a^9 + 326061343229/6281402112013*a^8 - 127634000994/6281402112013*a^7 + 289837900286/897343158859*a^6 - 18399309094/128191879837*a^5 - 3207840431/18313125691*a^4 - 540012618/2616160813*a^3 + 34623192/373737259*a^2 + 3153414/53391037*a - 839967/7627291, 1/6281402112013*a^42 + 2/6281402112013*a^40 + 1/128191879837*a^39 - 5641/6281402112013*a^38 + 1697/6281402112013*a^37 + 6894556/6281402112013*a^36 - 2576174/897343158859*a^35 + 12787910/6281402112013*a^34 - 21879965/6281402112013*a^33 - 78053988/6281402112013*a^32 - 2247388/169767624649*a^31 - 118941674/6281402112013*a^30 - 138230195/897343158859*a^29 - 60361075/897343158859*a^28 + 7812019307/6281402112013*a^27 + 6783331831/6281402112013*a^26 - 6165020210/6281402112013*a^25 + 201988760/169767624649*a^24 - 355465283/897343158859*a^23 - 1288753008/6281402112013*a^22 - 6422428038/6281402112013*a^21 + 41636197383/6281402112013*a^20 - 41128528760/6281402112013*a^19 - 8123714245/6281402112013*a^18 + 787120345/128191879837*a^17 - 49068622809/6281402112013*a^16 + 64051973574/6281402112013*a^15 - 2637578498/6281402112013*a^14 + 62821022393/897343158859*a^13 - 151460850498/6281402112013*a^12 + 21090761883/897343158859*a^11 + 92698219218/6281402112013*a^10 + 365896284010/6281402112013*a^9 + 353020606126/6281402112013*a^8 + 253078916306/6281402112013*a^7 - 332241535760/897343158859*a^6 - 50780969684/128191879837*a^5 - 377817122/18313125691*a^4 - 291161413/2616160813*a^3 + 86411496/373737259*a^2 - 21402160/53391037*a - 2813254/7627291, 1/31473549452637553709*a^43 + 2246028/31473549452637553709*a^42 + 1544883/31473549452637553709*a^41 + 3375938/31473549452637553709*a^40 - 66942509/850636471692906857*a^39 - 319831544/642317335768113341*a^38 - 21921513249/31473549452637553709*a^37 + 45992265557306/31473549452637553709*a^36 - 66316461578166/31473549452637553709*a^35 + 23044999689795/31473549452637553709*a^34 + 457238278716781/31473549452637553709*a^33 + 505255007124472/31473549452637553709*a^32 + 41632241401890/4496221350376793387*a^31 + 634241678523367/31473549452637553709*a^30 - 2249708236523521/31473549452637553709*a^29 - 52994565579530/4496221350376793387*a^28 + 13607879595566461/31473549452637553709*a^27 - 6910011604569750/31473549452637553709*a^26 - 24947589809255948/31473549452637553709*a^25 + 18548775882956992/31473549452637553709*a^24 - 86518834162304/107418257517534313*a^23 + 14977511724112716/31473549452637553709*a^22 - 26957745504632370/31473549452637553709*a^21 + 229012149645948435/31473549452637553709*a^20 + 218964307696807255/31473549452637553709*a^19 - 8913450634521089/4496221350376793387*a^18 - 167461940783231307/31473549452637553709*a^17 - 269848209337343142/31473549452637553709*a^16 + 2471574891007825/642317335768113341*a^15 - 31564608294064207/31473549452637553709*a^14 - 1030928495487939015/31473549452637553709*a^13 - 1736161199467879063/31473549452637553709*a^12 - 103202815685501522/4496221350376793387*a^11 - 220545547221409681/31473549452637553709*a^10 - 699494174173858177/31473549452637553709*a^9 + 321290029065411213/31473549452637553709*a^8 - 34275481147911722/4496221350376793387*a^7 - 200245937741035014/642317335768113341*a^6 + 31426362759729617/91759619395444763*a^5 - 1672398411813261/13108517056492109*a^4 - 554249054969287/1872645293784587*a^3 + 78843938009891/267520756254941*a^2 + 17526092675552/38217250893563*a - 1662962192027/5459607270509, 1/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^44 + 41008860360689003369124120161553137712922749292260179506896743311240698830488361691843183557894105704528585219057389586208752518770271188654222467159876436480142109055374649469127718357742194161168952879607727958990248271426289296456557352304582822803634488376655860/2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341*a^43 + 255268015531640380988299099675749722327746936740280488737193274042171264657211227782223361257511424163616933129993525332593866888741916014261954388805103175945103232798600156045134832995853751726327313541561773782481876531760909904249174255187629928322431359737926112929152/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^42 + 1466685587211913427820738416809462428645980740098303123965419346590000632724852906932265771574016170949551973206578423562348852768261019648975938231871125251995545631216386599125433244605622434907925660564554651151359024645814621492733096836280405862262947922396696596142324/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^41 - 1239725025882780166998551515552330060328520171191941954221612289047681869191875887774992702940630961173093282349092089272923512945998463329976122463958387237650402853425175861909661313132638348337755059318420397258283176203304468709286006263021057554135096924112345591803398/2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341*a^40 - 1482782933044570511971863736398705489920431245263333239293395772367261455028287564583956966782840787859132716737259460918551931276044049831822509683313405688122354068038731388113291205107869443246151654835358456863663288005002432305309698904296489355326204464295307015149997042/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^39 - 14374379491332274602742283102176488315131909664347660171454816550823385934135744591207344693497319383752236918844791743531370713635337534450477929626757945277545357332023382023914465050975931191398435560122655979782896327505357122022916393326096640269633614291167897646895533937/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^38 + 17924041437024662895122108010976152334480735791858407809356631729503425475939302831002494061943939756441558507403236087571418578159443052711756933953670814134422910156954759118838154015214210057852718678171873838804631820947628864419915730237446604783505925970014077779249195415/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^37 + 2742564272134255731266300479775528692438995171073754369284939871890865105091596089716068669198864931369911576959991434870370675532497766735743799252605026502195464086574506361743234159244758405943829550441029981401796497122933223487725609044484111622104802219971719367979790146566/2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341*a^36 + 24277915610906650422849088420239131298216367585834498430041635713472134055294224019785657001234007274376689317983942540192883501353377234979794032527112472117372914706169588862587265038650371862930424221019089953395565350158506639604816353926482317890151489344501759567502785069924/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^35 - 76163570133726395715407573888792786721140020772310710002030619426340676279635326639072936592190784889077075026030391401915047394906985013668813560439322676031949475808523354436665980050215061640889033841106945767058702903041961240026814799242928333221077522942746544168103145443862/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^34 - 463173643038510842206908446875801347422671718917943938720737449441276993134867838056097583571979553363502912924007733072299303480138966660506906197639688455493564231470664836777253286128767007769623069018615619295318434547655702186672123075576756153376427984041552676746560737986429/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^33 + 50033142153495463142725454183968855778793525913303425486778443391524845983193887135429025639910007142165139132043684911683443920491864682473841314917678804683628861081617328853511020585408285312675553755269400717479210765704883221353570283757285211482101721333037489435129939460081/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^32 + 119059447698831093832523789653574493655815239255641940934223741130985227694259983696771391752681584218353461344001241048302275232836011472337052123936835335682737559039183106515186904922273116202217729071337485433847502031839286353972962957591000706649926145170883467569137936252952/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^31 + 537600305253724601480614884939937458512970277605042041673682449729229237147804054539091937200423768603128728467584226232188701587643398203507258890649190547047276182983553357227988441701405746111016329907939503637147570580112323113469225275275901195927911158973562433250212503627847/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^30 + 1557238111400534937912285414563711768263810871940576620661112237102220655053375144442913135199330247170248644783985852586169610860737217768485207866734644559364525552493061680199805112430171260862113323167760931116104291957955577825056209861079799446285555780427089919861264272055002/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^29 + 1589167680023821787888691469097027418724331654585646198543843006910343512599177217340977592288058964157595452901652718229447928275545304864738811571268795974359909308850831667394078030571964488403204291358393078486324488526726007259436196913014565679773283961039779637134874461360522/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^28 + 3009495104283215649958286172161246145877150608996206826886561271941822019756059453041255848957702724411874498332787392535686262788047544490198660935237982524784143159256111280786865787576657223580109512761931893414091961828494124450629499365729233054653011225477330814760002357839919/2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341*a^27 + 10646809205611443282868253219744324011585642493959206135958228100009804897432797267445238275297121098633632756649474412507075533145858780726916995893970391168088106222668557614550577199469267842377646223730397024497484567883484648126295093672308355438618875285160757390237349479921095/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^26 + 6243722354243092243791773952820486858561347840369669816287559167817390334821367786248252871162465910349743765175935522204804812141332407486227451369278962219883137388780464830931395090767653227504253446323533949258852886042065261568960940037393418987206873057525802385624029993070497/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^25 - 5432859964001033160260011785227144722943574413429885467729030904391310358259746089243115835698785151219594854667418053023561492077034788065222680282995438987254078658519530411812792947716113744000247564034158054717206851139372596586545008353785376912094863127133052185985340327519098/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^24 + 21702832175989275957452575788599887647234044783610385722927870670862157800096244715808006807481098055823828569833857997849923750869040555143047142094870003988348554130521227506271038524037906428307017836501064534947423950019318266096484750061274798343336419832489229765006150789614776/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^23 - 1461250625733251286682597842890845743757118280116329504626742332548344772474986266976795850112256250148588018354192707516740211176694297815553482017923452978067300280878303737153378808860320807972523935748625256696129476201295295022538111987346552008167293922237567863323434185131455/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^22 - 1967625034232451435984892394263443280506894985638521378831001515791374737587034598256492305250647505793500643964167238748188560510068020609100232197509426403287740211216680289293444476883316218307375136265438998186091629639849092281962253980970903859841246251855760649869678635315437/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^21 - 124079673327949757411931998528977259765808938705434715323345196144466996611616032233575281478397469448877696493034569449147316191469605438088301654156106038221380057582370657862816557648891717706373174253481539701508956987371126161550669854922705519611392420740347295806404235393841160/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^20 - 40664184463754961492355305047247801970868710400792890246960601851899341418415193924295867554134861766812505428933245777931977304538485915725763909895249989080665528768376537978355192105466359717154486489353631330314370609420199411736951929782539004812361132110982813386701344249853924/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^19 - 4326576050733769553378446419097246505828981583824486186946295715742979555715234163512230349315665775993830979046869106411986582737759748543468500920657270613489243746540396881567559039717187906232238449627334871359354311648840955462870191630703118675278275451129429996763237090180383/504168466540725883148471449818738290507553938932709991394391895219226252630268908854995009659367399028863184308361366980329451034739843990990014877747186095715587481240618447287957346735928003153798374727597783955098393181030151138746051747449111374653507526446093802806523189700748551*a^18 - 31345021233990434290841921650737205246140513791017927758112694594375480173983739720770069967333382282172703741775898792069914359159459342646298874964721352463565605478994234394958753723433972921205117609829419914084677591675374191384718806443017848316920308785695856070420082451248554/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^17 - 165129654566545977064859053518327787269901536209529890140058508670326782478041493240957118364240258697605896400715741267604885718401956622906397346899608166981729479415990064086850990691062712716194173516892609786167844502073988140444911269867859326031293600921445028713854084708400569/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^16 + 26569732306569057837700598880473139730960576637355029699251715578812405491538235428893001971130768735288843340729074318633681585531383923343467817802882616819811184211767329879348021445712358432499942837814629547310428724460111828311366266139111734514170863609273339938675200762737450/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^15 + 72487340881810141858061083449218338640427652343308525649130971649113176164446491289112676532740049060690634710244830907286020399873237847905368657704540163435978441529891850231728642741935061293246280702730384492455539800000104894222753615808937586980289851032353764497882820133268966/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^14 - 796102699581161382908789114856986520887749122370136843751216599502699842993447442995974165465536184393492512324854328231823009721822550877862052377689640360949770015141558149530383221128134660497701185539542621344522003601219133555849276858795279205178282432077332631627570224705915560/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^13 - 312259803849301214798461241000315080489400219767442990498109010944944685319827161583544547358953602274626586140567535769515468122985036020276933766618800581953158127325356510841131404627079523722911734129106003355990333762547657295222980374053648471171820989287006647931999502725099061/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^12 - 395519169061003249488188275557985454282710316715888949915355524533704381265426967568912170045601705833944154832616397003644297506776398491241393619273724183334159191301730009249047434639272694804104453338569713186238753307653478310537692109648564360739368569037028175106615430070885811/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^11 + 208746115775475248366201640003820751505281876108162150368647778465898688350096623349251598852731265114462584060336782130400377067153459804543541588757439215021381556617639620865919609676078008670645929998035949483571383787070028569538322758228973996826076713628318956499640146368851674/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^10 - 468727977302035997979669772806275898116940658313841672074670636930226620858729456178988219663489060596233509020421609751919593992321078209331482861381813911014540348951782164801603257399745185815725829340695082539440583214940285172868433838442345618209664213116980545471726958574115804/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^9 - 443653673957501055862231799016737745358349460125596777440554918525256329822407713347302044788410749308694973619093444684082220854043751200749519608458821154198259874733157878302011727275324514836247186464963731153053738602641552101988278234489527738208354480576311008493213644818451463/18654233262006857676493443643293316748779495740510269681592500123111371347319949627634815357396593764067937819409370578272189688285374227666630550476645885541476736805902882549654421829229336116690539864921118006338640547698115592133603914655617120862179778478505470703841358018927696387*a^8 - 49413071451013057626715483684442724856871755614216503858201559122709642526874824193468758692595474643087954794753898582013598222506574453859318660009105088833279340043626402490399121077412122936238780531598052768301799945449914222660790319632840091951949469058489175053636155347671868/2664890466000979668070491949041902392682785105787181383084642874730195906759992803947830765342370537723991117058481511181741384040767746809518650068092269363068105257986126078522060261318476588098648552131588286619805792528302227447657702093659588694597111211215067243405908288418242341*a^7 - 113799796502599383952944908028205545016324324309064097692647162544207480325135715445848623646187502095889398097767268743844077805267634583746303991182015107067380317267812798746635914535865647785372546654900238801167394994542197771476275190144424785450297407858631812636665073982594117/380698638000139952581498849863128913240397872255311626154948982104313700965713257706832966477481505389141588151211644454534483434395392401359807152584609909009729322569446582646008608759782369728378364590226898088543684646900318206808243156237084099228158744459295320486558326916891763*a^6 + 17570924356875312808697281267321920927726019861167073048798537776986651813877358303358583484681468004153605999098289123144403767991032099245466780952836750378382213346842824034873478752987864175182921057961474751944905165348484086018988575727093747496063684463111590524181784134125671/54385519714305707511642692837589844748628267465044518022135568872044814423673322529547566639640215055591655450173092064933497633485056057337115307512087129858532760367063797520858372679968909961196909227175271155506240663842902600972606165176726299889736963494185045783794046702413109*a^5 + 377102918507141396220210849700033032406335780078841948032002486477024722054912186443565267675126041516081193395141344030244828817708308850707996118471210963242413386983440403741742874619838405295866830007510481719910935760754443548961033537303216551907707448100388843530637556643478/7769359959186529644520384691084263535518323923577788288876509838863544917667617504221080948520030722227379350024727437847642519069293722476730758216012447122647537195294828217265481811424129994456701318167895879358034380548986085853229452168103757127105280499169292254827720957487587*a^4 - 337698163048322909668935943575643468624442806876026677392477115946259594982165806382506190842244886699509576363987026713414488373610954867718522819865004623130276518014354801511707725737344504542190706538792534805245979353059949221921384402514660581993708256528818506490293108391449/1109908565598075663502912098726323362216903417653969755553787119837649273952516786317297278360004388889625621432103919692520359867041960353818679745144635303235362456470689745323640258774875713493814474023985125622576340078426583693318493166871965303872182928452756036403960136783941*a^3 + 19987253129840186298803549226496790108343565783478503889991516138927618121112785975885747958710620205048135732660007767085442979631824891473759444975924198437207314897137214631682843275350880893572565015563980561334875680011185974307007872677969740593477848347065085114015849771655/158558366514010809071844585532331908888129059664852822221969588548235610564645255188185325480000626984232231633157702813217194266720280050545525677877805043319337493781527106474805751253553673356259210574855017946082334296918083384759784738124566471981740418350393719486280019540563*a^2 + 5527101952924224326021335175475614233951653559129663025624616080874595390521747420534357345375826891936356382386048006302119923402340375767398091620064274533871033347216589300962937119652851827214051044199701112604154135661282990406868833886641369048587549284025432720444005328159/22651195216287258438834940790333129841161294237836117460281369792605087223520750741169332211428660997747461661879671830459599180960040007220789382553972149045619641968789586639257964464793381908037030082122145420868904899559726197822826391160652353140248631192913388498040002791509*a + 712782591146650885983249382868025938638344468783390420117516471633968588498576109614649371318365626077844389631654942576421108253601645975325567786181151902595317897935437929418286595025687887588719244417144822368773026818277050897116297171472612388703418583672981266174713649322/3235885030898179776976420112904732834451613462548016780040195684657869603360107248738476030204094428249637380268524547208514168708577143888684197507710307006517091709827083805608280637827625986862432868874592202981272128508532313974689484451521764734321233027559055499720000398787

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$7$

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$44$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	not computed	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	not computed	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^45 - 375*x^43 - 145*x^42 + 62685*x^41 + 49134*x^40 - 6198800*x^39 - 7301640*x^38 + 405212745*x^37 + 633225580*x^36 - 18515552766*x^35 - 35880354285*x^34 + 609401918395*x^33 + 1407069380505*x^32 - 14662989897075*x^31 - 39430737714133*x^30 + 258904609331790*x^29 + 803647539003645*x^28 - 3332732396750215*x^27 - 12011385759895155*x^26 + 30650093495497956*x^25 + 131819211406605930*x^24 - 192196786938802635*x^23 - 1057224481807912770*x^22 + 722222599349933155*x^21 + 6129151913159003580*x^20 - 711672366769923975*x^19 - 25209329328115882410*x^18 - 7970415692531247030*x^17 + 71378553982345787340*x^16 + 47808566459444990013*x^15 - 132272188924099938150*x^14 - 132999693696797582370*x^13 + 145276749446118582630*x^12 + 210689048973120959475*x^11 - 69556523186917537542*x^10 - 189351482828504000840*x^9 - 19988900412305351625*x^8 + 85498017677547162030*x^7 + 36152509600010281240*x^6 - 10977768335382909711*x^5 - 10777109138913999420*x^4 - 2541306685350213655*x^3 - 198465349661296935*x^2 - 3128562863964930*x - 10835225954749);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A cyclic group of order 45

The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$

Character table for $C_{45}$

Intermediate fields

3.3.361.1, 5.5.390625.1, 9.9.9025761726072081.2, 15.15.365440026390612125396728515625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$45$	R	R	${\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }^{45}$	$15^{3}$	$45$	$45$	R	$45$	$45$	$15^{3}$	${\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }^{9}$	$45$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{5}$	$45$	$45$	$45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Polynomial	$e$	$f$	$c$
$3$ 3	Deg $45$	$3$	$15$	$60$
$5$ 5	Deg $45$	$5$	$9$	$72$
$19$ 19	Deg $45$	$9$	$5$	$40$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more