Properties

Label 45.45.113...889.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $1.136\times 10^{96}$
Root discriminant $136.32$
Ramified primes $13, 31$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_3\times C_{15}$ (as 45T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 12*x^44 - 38*x^43 + 936*x^42 - 488*x^41 - 32994*x^40 + 61155*x^39 + 695151*x^38 - 1826452*x^37 - 9745559*x^36 + 31398650*x^35 + 95576968*x^34 - 363031278*x^33 - 668271620*x^32 + 3006554151*x^31 + 3299628259*x^30 - 18405469866*x^29 - 10819187452*x^28 + 84606290574*x^27 + 17798672756*x^26 - 293624042239*x^25 + 25779977473*x^24 + 766879229695*x^23 - 259704306954*x^22 - 1488735953755*x^21 + 843265985246*x^20 + 2094958274346*x^19 - 1672596038928*x^18 - 2036992655261*x^17 + 2211683013511*x^16 + 1229593352332*x^15 - 1960884055901*x^14 - 305227614428*x^13 + 1128154934100*x^12 - 126915280282*x^11 - 391023252143*x^10 + 124192084723*x^9 + 69369604379*x^8 - 37452923715*x^7 - 3334757683*x^6 + 4610823573*x^5 - 413774775*x^4 - 188088413*x^3 + 35065204*x^2 - 872335*x + 619)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 12*x^44 - 38*x^43 + 936*x^42 - 488*x^41 - 32994*x^40 + 61155*x^39 + 695151*x^38 - 1826452*x^37 - 9745559*x^36 + 31398650*x^35 + 95576968*x^34 - 363031278*x^33 - 668271620*x^32 + 3006554151*x^31 + 3299628259*x^30 - 18405469866*x^29 - 10819187452*x^28 + 84606290574*x^27 + 17798672756*x^26 - 293624042239*x^25 + 25779977473*x^24 + 766879229695*x^23 - 259704306954*x^22 - 1488735953755*x^21 + 843265985246*x^20 + 2094958274346*x^19 - 1672596038928*x^18 - 2036992655261*x^17 + 2211683013511*x^16 + 1229593352332*x^15 - 1960884055901*x^14 - 305227614428*x^13 + 1128154934100*x^12 - 126915280282*x^11 - 391023252143*x^10 + 124192084723*x^9 + 69369604379*x^8 - 37452923715*x^7 - 3334757683*x^6 + 4610823573*x^5 - 413774775*x^4 - 188088413*x^3 + 35065204*x^2 - 872335*x + 619, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![619, -872335, 35065204, -188088413, -413774775, 4610823573, -3334757683, -37452923715, 69369604379, 124192084723, -391023252143, -126915280282, 1128154934100, -305227614428, -1960884055901, 1229593352332, 2211683013511, -2036992655261, -1672596038928, 2094958274346, 843265985246, -1488735953755, -259704306954, 766879229695, 25779977473, -293624042239, 17798672756, 84606290574, -10819187452, -18405469866, 3299628259, 3006554151, -668271620, -363031278, 95576968, 31398650, -9745559, -1826452, 695151, 61155, -32994, -488, 936, -38, -12, 1]);
 

\( x^{45} - 12 x^{44} - 38 x^{43} + 936 x^{42} - 488 x^{41} - 32994 x^{40} + 61155 x^{39} + 695151 x^{38} - 1826452 x^{37} - 9745559 x^{36} + 31398650 x^{35} + 95576968 x^{34} - 363031278 x^{33} - 668271620 x^{32} + 3006554151 x^{31} + 3299628259 x^{30} - 18405469866 x^{29} - 10819187452 x^{28} + 84606290574 x^{27} + 17798672756 x^{26} - 293624042239 x^{25} + 25779977473 x^{24} + 766879229695 x^{23} - 259704306954 x^{22} - 1488735953755 x^{21} + 843265985246 x^{20} + 2094958274346 x^{19} - 1672596038928 x^{18} - 2036992655261 x^{17} + 2211683013511 x^{16} + 1229593352332 x^{15} - 1960884055901 x^{14} - 305227614428 x^{13} + 1128154934100 x^{12} - 126915280282 x^{11} - 391023252143 x^{10} + 124192084723 x^{9} + 69369604379 x^{8} - 37452923715 x^{7} - 3334757683 x^{6} + 4610823573 x^{5} - 413774775 x^{4} - 188088413 x^{3} + 35065204 x^{2} - 872335 x + 619 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(113\!\cdots\!889\)\(\medspace = 13^{30}\cdot 31^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $136.32$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $13, 31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(403=13\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{403}(256,·)$, $\chi_{403}(1,·)$, $\chi_{403}(386,·)$, $\chi_{403}(131,·)$, $\chi_{403}(133,·)$, $\chi_{403}(391,·)$, $\chi_{403}(9,·)$, $\chi_{403}(14,·)$, $\chi_{403}(16,·)$, $\chi_{403}(107,·)$, $\chi_{403}(276,·)$, $\chi_{403}(152,·)$, $\chi_{403}(157,·)$, $\chi_{403}(287,·)$, $\chi_{403}(289,·)$, $\chi_{403}(35,·)$, $\chi_{403}(165,·)$, $\chi_{403}(295,·)$, $\chi_{403}(40,·)$, $\chi_{403}(94,·)$, $\chi_{403}(183,·)$, $\chi_{403}(159,·)$, $\chi_{403}(191,·)$, $\chi_{403}(66,·)$, $\chi_{403}(196,·)$, $\chi_{403}(326,·)$, $\chi_{403}(328,·)$, $\chi_{403}(204,·)$, $\chi_{403}(81,·)$, $\chi_{403}(211,·)$, $\chi_{403}(87,·)$, $\chi_{403}(222,·)$, $\chi_{403}(224,·)$, $\chi_{403}(144,·)$, $\chi_{403}(315,·)$, $\chi_{403}(100,·)$, $\chi_{403}(360,·)$, $\chi_{403}(235,·)$, $\chi_{403}(237,·)$, $\chi_{403}(113,·)$, $\chi_{403}(373,·)$, $\chi_{403}(118,·)$, $\chi_{403}(250,·)$, $\chi_{403}(380,·)$, $\chi_{403}(126,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $\frac{1}{5} a^{39} + \frac{2}{5} a^{38} - \frac{1}{5} a^{36} - \frac{1}{5} a^{35} + \frac{1}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{31} - \frac{1}{5} a^{30} - \frac{1}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} - \frac{2}{5} a^{27} + \frac{2}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{16} - \frac{2}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{40} + \frac{1}{5} a^{38} - \frac{1}{5} a^{37} + \frac{1}{5} a^{36} - \frac{2}{5} a^{35} - \frac{2}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{32} + \frac{1}{5} a^{30} - \frac{2}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} + \frac{1}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} - \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} + \frac{2}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{41} + \frac{2}{5} a^{38} + \frac{1}{5} a^{37} - \frac{1}{5} a^{36} - \frac{1}{5} a^{35} - \frac{1}{5} a^{34} + \frac{2}{5} a^{33} - \frac{1}{5} a^{31} - \frac{1}{5} a^{30} + \frac{2}{5} a^{29} - \frac{2}{5} a^{27} + \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{23} - \frac{2}{5} a^{22} - \frac{2}{5} a^{21} + \frac{2}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{42} + \frac{2}{5} a^{38} - \frac{1}{5} a^{37} + \frac{1}{5} a^{36} + \frac{1}{5} a^{35} - \frac{1}{5} a^{32} - \frac{1}{5} a^{30} + \frac{2}{5} a^{29} + \frac{1}{5} a^{28} - \frac{2}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{6} + \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{3954365} a^{43} + \frac{139139}{3954365} a^{42} + \frac{11330}{790873} a^{41} + \frac{3541}{3954365} a^{40} - \frac{279824}{3954365} a^{39} + \frac{1812486}{3954365} a^{38} + \frac{1814426}{3954365} a^{37} - \frac{1484408}{3954365} a^{36} - \frac{828827}{3954365} a^{35} + \frac{641927}{3954365} a^{34} - \frac{208161}{3954365} a^{33} + \frac{1322943}{3954365} a^{32} + \frac{605952}{3954365} a^{31} - \frac{316670}{790873} a^{30} + \frac{8613}{3954365} a^{29} - \frac{104056}{3954365} a^{28} + \frac{1224078}{3954365} a^{27} + \frac{362882}{3954365} a^{26} - \frac{163405}{790873} a^{25} + \frac{319669}{3954365} a^{24} - \frac{1829576}{3954365} a^{23} - \frac{362348}{790873} a^{22} + \frac{633621}{3954365} a^{21} + \frac{1506991}{3954365} a^{20} + \frac{973826}{3954365} a^{19} - \frac{303099}{3954365} a^{18} - \frac{840401}{3954365} a^{17} - \frac{1836818}{3954365} a^{16} + \frac{307124}{790873} a^{15} - \frac{1454053}{3954365} a^{14} - \frac{1973834}{3954365} a^{13} - \frac{389537}{3954365} a^{12} - \frac{1697687}{3954365} a^{11} - \frac{744176}{3954365} a^{10} - \frac{1245754}{3954365} a^{9} - \frac{208297}{3954365} a^{8} - \frac{251837}{790873} a^{7} - \frac{136378}{790873} a^{6} - \frac{1079719}{3954365} a^{5} - \frac{1472134}{3954365} a^{4} - \frac{935654}{3954365} a^{3} - \frac{1696366}{3954365} a^{2} - \frac{344266}{3954365} a + \frac{1276769}{3954365}$, $\frac{1}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{44} + \frac{17792658999854409420531280823571796369025676488138934796944374069743174955270682104254192051538829764561550466255132452090041878224375631125467665413591168986235510649556435095113074723}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{43} - \frac{66895076715266012442470723037323611534904207732207462107207789651220801562851429265580055904255685952454616442529238026928962312994757379317845362862723559796506628460515534684819254629845149}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{42} - \frac{6981466717185384398342957027078096617867276230193146142353435866756665259832118932199252902516193060858063356253557961232978830768398746966675606373269548176800766967165856041476448395286561}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{41} + \frac{805353198515861455581065888985012121365865324122413543134252721096266117325021543853469016216553954909072919386290615878094861936209828686109287321244890487436089071692763937989363403475836}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{40} - \frac{69484101297801972212175341549076690117684355191950676757035407258973032381639314022851129427429805109898095377298559963195434802058343767301939679643354677028134637513387847999626379491656693}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{39} + \frac{56618319269152925908359177847510772990962182923080465318590338533855042985109044018988673492543460855546324858771414943348987408284638067932785326461529031623948601799145314961941829144804776}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{38} + \frac{44121775015677686958344540087674419714253389898336050892004088143493727016794016166329858265104012035335677477032610348509931524466549934969310694648935476496604519512036199121178100172195166}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{37} - \frac{42715470611530978237784558756217065298569151185020482523374138321459841455491159809695787826728429700323901375660677822681689531162300275662526054445913393161952417991845405246068026978465978}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{36} - \frac{25810755997598874148640461041998087443969663994882964390567200271958328567638255674615264295372920389636018334417040408064111137652891819750782656624205635542518731409131264602187699380919887}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{35} + \frac{14915118025907299226352900611495282575601870325167485074802332523758177525436970943195036077922547722389457274744525879522386303186083021647242414711717644631057838468781527768761248744284697}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{34} - \frac{85529481163875268262698384903722251839863133905971138033632389008813237725284458657602059999624515953712765450596506084554886763312592791856211244377105712206047108421639698302948613004915422}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{33} - \frac{239707676794175865058044296770125391005816096660327032352417182501608724578665331763788034095404795415258060883629311020319072982234201438570938336584008566602546631232718955977054716604638121}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{32} + \frac{51769936797061609064861366296884514241573111870511062539307959528176344520776336209260072208384513640055783045479857347079694067681952947677956623711528422133560017160665156215730310799654589}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{31} + \frac{357865309316522160945013634682430835010795674675160277386102034378669355736239596052712450596382094788996404253194136572524999177475104236469374144291252352914396614253516354074159678305656941}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{30} + \frac{320804313511983277834654785497513545646859004187564110816552142983590631905396012971885820134339192909989336894312266831996429043078997590700537395970613242529391326938521995135939842140780261}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{29} - \frac{1165845188046921358883611401961618030261984945281322978723422065225976297621233565836793371757336718302746932877411454352254891350625223506006131057869143181405107870043235978490002682367238}{2587308985920240526070836648969713531340346815546136419034735616926967195593588314002617744676225773563757576593056008947462402328982965174286877141797955735198768386425954617468885042844785} a^{28} - \frac{188651463943461818775719326641831409680688206562955170439870247422385886854854808995963613800138718717675372781205032082984295723336999009652401702552971832208629782309821901494401932704381038}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{27} - \frac{41088814438629761766135923715786646405073178886375956996399033628045761386283096670679756122878700611143782917209255670296653211742936598575460812501290489108189488120945098805015111562447797}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{26} + \frac{182826280062670067355106516219568371765290014277710353924424285319149994008801943593415320045544876304113673329475355409157732901150967950336072219510687445950410598913913754295226320139927991}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{25} - \frac{79781892735646256467267106575725959560890515169234107905205789460794878046836221416835807516439177911751699602437647730976992211335318385233038965276071125151626293411813572927967766762780501}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{24} - \frac{243612010850720908888717786416092706213938354378941574581073991796408418315943454542196689567949780551850620771791498533631667095661425080745790111392746269710954568394131786654955238439279819}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{23} + \frac{50090747628564538407993941258097793368968074554617756735570600480315288894442107079359197572046535588391501571873370433206594220027205890038074284808162428947693281654732986578958587454847881}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{22} + \frac{35801021483405555353578195046631762208057244978385407582092359784059837355568891902571091089851778352561127275955831403493710426229126890713141883109526434487668085851708179750378595663000298}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{21} - \frac{68206785097930733588346965056558761259475505492935100318656064698085025362047722314565809542268465963696906175354677627452414452687021983008939118357889285853419284363681452006703188454645277}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{20} + \frac{234477339755945107658595409664495015542436241749045263738753104612049764852710455296293665081036243163930334365578055172461126322942563019435424009879610980767733907194761427759861468754984723}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{19} + \frac{146440804758585411203764779197772054436479133007073776487521408742383766094052465261670090919444886732087725433554732311992929933320759675600570462354915674210116451319268978006170858375149407}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{18} - \frac{256801054222218791310059193309379154221577181311035860110506455746204809732332434765119818811851830757705269517678073904745711565926708834777253929054983332977333766316655858718745827421604448}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{17} - \frac{193730708095646639518480457221038482945406891117869327677534134482260933068105794998029406655595938902294613813654347436518151943554608550599555372285137964377811524019157076730283898402668777}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{16} - \frac{160960887879002382914487724811149300331770925766589834675494462126381128508138431802855980043037627257023372690695898175085891285010120601088201311991267215518295957330585375862923697610411803}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{15} - \frac{342009782137581400015828438454418035847573295181351899807908551852170064141873135505478360739716926862912121289699908241278212345208240970386898409648192892481693359671340773480365542323082861}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{14} + \frac{71858538219119001253180062194163677438137128166449716177941299533045647073766356321950918428733764147209319338380477370620403010127095500624940609346864451295952039729500823629530250592815244}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{13} - \frac{339529964589699198016048172258565616285872293516328307605489573140623329816191500373500985794117372081903190314209734451625818947676827146101518552601003552307489919281992087192053574611257902}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{12} - \frac{15205257907156046240042450459782262076187082159403106709881669443691451279912688728453905479212102104482803652722172142200443642931432839481488749198878349930223524953397411075762853521398163}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{11} - \frac{19671702323554500592597224181598940473002001886370712665343849552290169107232466180620310006359866184466811032301918375703031481933936222540521433174561694151471548919910124625816972659074619}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{10} + \frac{68653894248570300305510022710709355212584042901325612161033300998740102552094834680607447935137873431763360790748669541206392999647374825476228103764689691662835304089859733641874502274490427}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{9} + \frac{190340750673342436276818031806915838038628507096851142480938880781656168536086437559496643195333058638488537740426451314637243252801393510905588924367599551281271705089985800866474081545445821}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{8} - \frac{306356975813441348423583830552446177270925673115902703130294802009285070667629047369859367553916579669855666804476615527850910936619503195653392770052057833883393915516726887165687689830393651}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{7} - \frac{19717514487370696456087086384639659320542251413389751254985071826262592161961072590940981935985974438296617742680496850418081339387973533306687957177898422000863733554597688181276569950143739}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{6} - \frac{945331525667453802306666834549737350501834215081405314977232718311339244757028601875836735538391252293346040745144134397705163950062953807520001396764106669002825059420268202342593820704024}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{5} - \frac{59569432781364732125206412440816446875627133546660091498089104716728721569194852084562062711194198665532133630135755458448113545116697478814593362402510628122571044361962364806967789006824617}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{4} - \frac{79095803198742414748056861122505569680014680154202369929145668086983932666399798657591017218742103604193381056202446460988326970022532093441878975792020755298776864798426484538007900998373229}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a^{3} - \frac{257583546088362150632572793097277629957851950552214486121550852174906834189438922700520355043300384338315092626409193000759215660830688648230023608321031721992643942821988664440959681817853054}{804653094621194803608030197829580908246847859634848426319802776864286797829605965654814118594306215578328606320440418782660807124313702169203218791099164233646816968178471886032823248324728135} a^{2} - \frac{2999529818924913502137683328513015582144298655605769594271082977179605900869743297806097298005593149059359517508689476635791494032792118069824286468081944653774049692787497890050334698550442}{160930618924238960721606039565916181649369571926969685263960555372857359565921193130962823718861243115665721264088083756532161424862740433840643758219832846729363393635694377206564649664945627} a + \frac{244481441839192125412095029693335408569519864487049288171492915548308017173390247502371682550193740384465924103261657619564852566104144239272565027330042677896211206922342366491965027520284}{1299924223943771895974200642697222791998138707002986149143461675063468170968668765193560773173354144714585793732537025497028767567550407381588398693213512493775148575409486084059488284854165}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_3\times C_{15}$ (as 45T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{15}$
Character table for $C_3\times C_{15}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.162409.1, 3.3.961.1, 3.3.169.1, 3.3.162409.2, 5.5.923521.1, 9.9.4283810754983929.1, 15.15.104351149323786133540261771563529.1, \(\Q(\zeta_{31})^+\), 15.15.108586003458674436566349398089.1, 15.15.104351149323786133540261771563529.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/5.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ R $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ $15^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{15}$ $15^{3}$ $15^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{9}$ $15^{3}$ $15^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
$31$31.15.14.1$x^{15} - 31$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.1$x^{15} - 31$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$
31.15.14.1$x^{15} - 31$$15$$1$$14$$C_{15}$$[\ ]_{15}$