Properties

Label 45.45.105...761.1
Degree $45$
Signature $[45, 0]$
Discriminant $1.055\times 10^{112}$
Root discriminant $308.60$
Ramified primes $11, 73$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{45}$ (as 45T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^45 - 4*x^44 - 194*x^43 + 836*x^42 + 16500*x^41 - 76882*x^40 - 811248*x^39 + 4130184*x^38 + 25559474*x^37 - 145049280*x^36 - 538597921*x^35 + 3530594867*x^34 + 7615564821*x^33 - 61610572814*x^32 - 68317895227*x^31 + 786429242050*x^30 + 287086043611*x^29 - 7425134094508*x^28 + 1391788361320*x^27 + 52087220030130*x^26 - 32183862662002*x^25 - 271116028008606*x^24 + 264064430436474*x^23 + 1039304723755570*x^22 - 1345885450620938*x^21 - 2889398096911074*x^20 + 4691240971935913*x^19 + 5661912712400497*x^18 - 11481658937434788*x^17 - 7388527635358822*x^16 + 19748315799639590*x^15 + 5543796759733632*x^14 - 23515522924776395*x^13 - 895060410571712*x^12 + 18817979236586386*x^11 - 2391413888018270*x^10 - 9652129249107031*x^9 + 2328285637187904*x^8 + 2951322314183680*x^7 - 960094366581828*x^6 - 477351520888160*x^5 + 190413802657905*x^4 + 31093339218140*x^3 - 15654659537914*x^2 - 188842256201*x + 306884845321)
 
gp: K = bnfinit(x^45 - 4*x^44 - 194*x^43 + 836*x^42 + 16500*x^41 - 76882*x^40 - 811248*x^39 + 4130184*x^38 + 25559474*x^37 - 145049280*x^36 - 538597921*x^35 + 3530594867*x^34 + 7615564821*x^33 - 61610572814*x^32 - 68317895227*x^31 + 786429242050*x^30 + 287086043611*x^29 - 7425134094508*x^28 + 1391788361320*x^27 + 52087220030130*x^26 - 32183862662002*x^25 - 271116028008606*x^24 + 264064430436474*x^23 + 1039304723755570*x^22 - 1345885450620938*x^21 - 2889398096911074*x^20 + 4691240971935913*x^19 + 5661912712400497*x^18 - 11481658937434788*x^17 - 7388527635358822*x^16 + 19748315799639590*x^15 + 5543796759733632*x^14 - 23515522924776395*x^13 - 895060410571712*x^12 + 18817979236586386*x^11 - 2391413888018270*x^10 - 9652129249107031*x^9 + 2328285637187904*x^8 + 2951322314183680*x^7 - 960094366581828*x^6 - 477351520888160*x^5 + 190413802657905*x^4 + 31093339218140*x^3 - 15654659537914*x^2 - 188842256201*x + 306884845321, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![306884845321, -188842256201, -15654659537914, 31093339218140, 190413802657905, -477351520888160, -960094366581828, 2951322314183680, 2328285637187904, -9652129249107031, -2391413888018270, 18817979236586386, -895060410571712, -23515522924776395, 5543796759733632, 19748315799639590, -7388527635358822, -11481658937434788, 5661912712400497, 4691240971935913, -2889398096911074, -1345885450620938, 1039304723755570, 264064430436474, -271116028008606, -32183862662002, 52087220030130, 1391788361320, -7425134094508, 287086043611, 786429242050, -68317895227, -61610572814, 7615564821, 3530594867, -538597921, -145049280, 25559474, 4130184, -811248, -76882, 16500, 836, -194, -4, 1]);
 

\(x^{45} - 4 x^{44} - 194 x^{43} + 836 x^{42} + 16500 x^{41} - 76882 x^{40} - 811248 x^{39} + 4130184 x^{38} + 25559474 x^{37} - 145049280 x^{36} - 538597921 x^{35} + 3530594867 x^{34} + 7615564821 x^{33} - 61610572814 x^{32} - 68317895227 x^{31} + 786429242050 x^{30} + 287086043611 x^{29} - 7425134094508 x^{28} + 1391788361320 x^{27} + 52087220030130 x^{26} - 32183862662002 x^{25} - 271116028008606 x^{24} + 264064430436474 x^{23} + 1039304723755570 x^{22} - 1345885450620938 x^{21} - 2889398096911074 x^{20} + 4691240971935913 x^{19} + 5661912712400497 x^{18} - 11481658937434788 x^{17} - 7388527635358822 x^{16} + 19748315799639590 x^{15} + 5543796759733632 x^{14} - 23515522924776395 x^{13} - 895060410571712 x^{12} + 18817979236586386 x^{11} - 2391413888018270 x^{10} - 9652129249107031 x^{9} + 2328285637187904 x^{8} + 2951322314183680 x^{7} - 960094366581828 x^{6} - 477351520888160 x^{5} + 190413802657905 x^{4} + 31093339218140 x^{3} - 15654659537914 x^{2} - 188842256201 x + 306884845321\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $45$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[45, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(105\!\cdots\!761\)\(\medspace = 11^{36}\cdot 73^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $308.60$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $11, 73$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $45$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(803=11\cdot 73\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{803}(256,·)$, $\chi_{803}(1,·)$, $\chi_{803}(515,·)$, $\chi_{803}(4,·)$, $\chi_{803}(137,·)$, $\chi_{803}(397,·)$, $\chi_{803}(621,·)$, $\chi_{803}(16,·)$, $\chi_{803}(785,·)$, $\chi_{803}(658,·)$, $\chi_{803}(147,·)$, $\chi_{803}(148,·)$, $\chi_{803}(661,·)$, $\chi_{803}(665,·)$, $\chi_{803}(543,·)$, $\chi_{803}(548,·)$, $\chi_{803}(37,·)$, $\chi_{803}(300,·)$, $\chi_{803}(566,·)$, $\chi_{803}(575,·)$, $\chi_{803}(64,·)$, $\chi_{803}(324,·)$, $\chi_{803}(694,·)$, $\chi_{803}(454,·)$, $\chi_{803}(201,·)$, $\chi_{803}(586,·)$, $\chi_{803}(75,·)$, $\chi_{803}(588,·)$, $\chi_{803}(592,·)$, $\chi_{803}(81,·)$, $\chi_{803}(210,·)$, $\chi_{803}(89,·)$, $\chi_{803}(731,·)$, $\chi_{803}(221,·)$, $\chi_{803}(223,·)$, $\chi_{803}(738,·)$, $\chi_{803}(356,·)$, $\chi_{803}(746,·)$, $\chi_{803}(235,·)$, $\chi_{803}(493,·)$, $\chi_{803}(366,·)$, $\chi_{803}(367,·)$, $\chi_{803}(762,·)$, $\chi_{803}(251,·)$, $\chi_{803}(639,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{3} a^{30} - \frac{1}{3} a^{29} - \frac{1}{3} a^{27} - \frac{1}{3} a^{25} - \frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{22} + \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{12} - \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{31} - \frac{1}{3} a^{29} - \frac{1}{3} a^{28} - \frac{1}{3} a^{27} - \frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{25} - \frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{22} + \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{3} a^{13} - \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{32} + \frac{1}{3} a^{29} - \frac{1}{3} a^{28} + \frac{1}{3} a^{27} + \frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{25} - \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{13} - \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{591} a^{33} + \frac{17}{591} a^{32} + \frac{64}{591} a^{31} + \frac{71}{591} a^{30} - \frac{220}{591} a^{29} + \frac{229}{591} a^{28} + \frac{55}{591} a^{27} - \frac{82}{591} a^{26} - \frac{286}{591} a^{25} + \frac{33}{197} a^{24} - \frac{140}{591} a^{23} + \frac{68}{197} a^{22} - \frac{6}{197} a^{21} - \frac{101}{591} a^{20} + \frac{151}{591} a^{19} - \frac{29}{591} a^{18} - \frac{101}{591} a^{17} + \frac{154}{591} a^{16} - \frac{32}{197} a^{15} - \frac{25}{197} a^{14} - \frac{187}{591} a^{13} - \frac{179}{591} a^{12} + \frac{112}{591} a^{11} - \frac{36}{197} a^{10} - \frac{182}{591} a^{9} - \frac{193}{591} a^{8} - \frac{61}{197} a^{7} + \frac{64}{197} a^{6} + \frac{90}{197} a^{5} + \frac{37}{197} a^{4} + \frac{113}{591} a^{3} - \frac{224}{591} a^{2} - \frac{104}{591} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{591} a^{34} - \frac{28}{591} a^{32} - \frac{32}{591} a^{31} - \frac{16}{197} a^{30} + \frac{29}{591} a^{29} - \frac{292}{591} a^{28} - \frac{229}{591} a^{27} - \frac{271}{591} a^{26} + \frac{12}{197} a^{25} - \frac{50}{591} a^{24} - \frac{58}{197} a^{23} + \frac{257}{591} a^{22} + \frac{8}{591} a^{21} - \frac{34}{197} a^{20} - \frac{35}{591} a^{19} - \frac{199}{591} a^{18} - \frac{33}{197} a^{17} - \frac{51}{197} a^{16} - \frac{72}{197} a^{15} + \frac{103}{591} a^{14} + \frac{15}{197} a^{13} - \frac{194}{591} a^{12} - \frac{239}{591} a^{11} + \frac{275}{591} a^{10} - \frac{18}{197} a^{9} + \frac{143}{591} a^{8} - \frac{81}{197} a^{7} + \frac{158}{591} a^{6} + \frac{52}{591} a^{5} - \frac{66}{197} a^{4} + \frac{73}{197} a^{3} - \frac{236}{591} a^{2} - \frac{5}{591} a$, $\frac{1}{591} a^{35} + \frac{50}{591} a^{32} - \frac{29}{591} a^{31} + \frac{47}{591} a^{30} - \frac{148}{591} a^{29} + \frac{76}{591} a^{28} - \frac{110}{591} a^{27} - \frac{290}{591} a^{26} + \frac{19}{591} a^{25} - \frac{160}{591} a^{24} + \frac{277}{591} a^{23} + \frac{7}{591} a^{22} + \frac{182}{591} a^{21} + \frac{92}{591} a^{20} + \frac{286}{591} a^{19} - \frac{41}{197} a^{18} - \frac{26}{591} a^{17} - \frac{238}{591} a^{16} - \frac{8}{197} a^{15} + \frac{112}{591} a^{14} - \frac{37}{197} a^{13} - \frac{43}{197} a^{12} + \frac{62}{591} a^{11} - \frac{41}{197} a^{10} - \frac{28}{591} a^{9} + \frac{263}{591} a^{8} + \frac{52}{197} a^{7} - \frac{95}{197} a^{6} - \frac{124}{591} a^{5} - \frac{73}{197} a^{4} + \frac{170}{591} a^{3} - \frac{170}{591} a^{2} - \frac{154}{591} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{591} a^{36} - \frac{91}{591} a^{32} - \frac{1}{591} a^{31} + \frac{15}{197} a^{30} + \frac{241}{591} a^{29} - \frac{134}{591} a^{28} - \frac{94}{197} a^{27} - \frac{6}{197} a^{26} + \frac{51}{197} a^{25} + \frac{84}{197} a^{24} - \frac{85}{591} a^{23} - \frac{56}{197} a^{22} + \frac{7}{591} a^{21} + \frac{214}{591} a^{20} + \frac{69}{197} a^{19} - \frac{152}{591} a^{18} + \frac{281}{591} a^{17} + \frac{52}{197} a^{16} - \frac{70}{197} a^{15} + \frac{31}{197} a^{14} - \frac{38}{591} a^{13} - \frac{247}{591} a^{12} - \frac{69}{197} a^{11} + \frac{250}{591} a^{10} - \frac{31}{197} a^{9} + \frac{51}{197} a^{8} + \frac{42}{197} a^{6} + \frac{71}{591} a^{5} + \frac{136}{591} a^{4} + \frac{30}{197} a^{3} - \frac{61}{197} a^{2} + \frac{275}{591} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{591} a^{37} - \frac{10}{197} a^{32} - \frac{41}{591} a^{31} + \frac{4}{591} a^{30} - \frac{257}{591} a^{29} + \frac{266}{591} a^{28} + \frac{62}{591} a^{27} - \frac{20}{591} a^{26} + \frac{11}{197} a^{25} + \frac{256}{591} a^{24} - \frac{103}{591} a^{23} - \frac{48}{197} a^{22} - \frac{15}{197} a^{21} - \frac{119}{591} a^{20} - \frac{67}{197} a^{19} + \frac{203}{591} a^{18} - \frac{170}{591} a^{17} + \frac{14}{591} a^{16} - \frac{172}{591} a^{15} + \frac{32}{591} a^{14} - \frac{125}{591} a^{13} - \frac{145}{591} a^{12} + \frac{1}{591} a^{11} + \frac{42}{197} a^{10} - \frac{85}{197} a^{9} + \frac{167}{591} a^{8} - \frac{176}{591} a^{7} + \frac{10}{591} a^{6} + \frac{27}{197} a^{5} + \frac{48}{197} a^{4} + \frac{250}{591} a^{3} + \frac{182}{591} a^{2} - \frac{8}{591} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{591} a^{38} + \frac{25}{197} a^{32} - \frac{46}{591} a^{31} - \frac{97}{591} a^{30} + \frac{167}{591} a^{29} - \frac{160}{591} a^{28} - \frac{143}{591} a^{27} - \frac{260}{591} a^{26} + \frac{49}{197} a^{25} - \frac{95}{197} a^{24} - \frac{10}{591} a^{23} - \frac{32}{591} a^{22} - \frac{68}{591} a^{21} + \frac{118}{591} a^{20} - \frac{64}{197} a^{19} - \frac{55}{591} a^{18} - \frac{86}{197} a^{17} + \frac{38}{197} a^{16} - \frac{30}{197} a^{15} + \frac{62}{197} a^{14} - \frac{239}{591} a^{13} - \frac{247}{591} a^{12} - \frac{257}{591} a^{11} - \frac{146}{591} a^{10} + \frac{223}{591} a^{9} - \frac{253}{591} a^{8} + \frac{233}{591} a^{7} - \frac{266}{591} a^{6} - \frac{10}{197} a^{5} - \frac{163}{591} a^{4} + \frac{223}{591} a^{3} - \frac{227}{591} a^{2} + \frac{229}{591} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{591} a^{39} + \frac{58}{591} a^{32} + \frac{28}{591} a^{31} - \frac{12}{197} a^{30} - \frac{11}{591} a^{29} + \frac{6}{197} a^{28} - \frac{17}{197} a^{27} - \frac{68}{197} a^{26} - \frac{37}{197} a^{25} + \frac{248}{591} a^{24} - \frac{170}{591} a^{23} - \frac{2}{591} a^{22} + \frac{89}{591} a^{21} - \frac{103}{591} a^{20} + \frac{81}{197} a^{19} + \frac{48}{197} a^{18} + \frac{203}{591} a^{17} - \frac{17}{591} a^{16} + \frac{98}{197} a^{15} + \frac{67}{591} a^{14} - \frac{4}{197} a^{13} - \frac{31}{591} a^{12} - \frac{272}{591} a^{11} + \frac{82}{197} a^{10} + \frac{1}{591} a^{9} + \frac{130}{591} a^{8} + \frac{260}{591} a^{7} - \frac{82}{197} a^{6} + \frac{25}{197} a^{5} - \frac{74}{197} a^{4} - \frac{77}{197} a^{3} + \frac{284}{591} a^{2} - \frac{277}{591} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{49053} a^{40} + \frac{29}{49053} a^{39} + \frac{11}{16351} a^{38} - \frac{7}{49053} a^{37} + \frac{28}{49053} a^{36} + \frac{25}{49053} a^{35} + \frac{28}{49053} a^{34} + \frac{11}{16351} a^{33} - \frac{4219}{49053} a^{32} + \frac{2797}{49053} a^{31} - \frac{8120}{49053} a^{30} + \frac{19915}{49053} a^{29} - \frac{4060}{16351} a^{28} - \frac{7241}{16351} a^{27} - \frac{13772}{49053} a^{26} - \frac{9074}{49053} a^{25} + \frac{3917}{16351} a^{24} - \frac{9445}{49053} a^{23} + \frac{14098}{49053} a^{22} - \frac{10579}{49053} a^{21} - \frac{1876}{49053} a^{20} - \frac{18703}{49053} a^{19} + \frac{21076}{49053} a^{18} + \frac{1051}{16351} a^{17} - \frac{14131}{49053} a^{16} + \frac{22900}{49053} a^{15} - \frac{23756}{49053} a^{14} + \frac{19724}{49053} a^{13} - \frac{7519}{16351} a^{12} + \frac{18791}{49053} a^{11} - \frac{4}{249} a^{10} - \frac{20513}{49053} a^{9} - \frac{20275}{49053} a^{8} + \frac{7144}{16351} a^{7} + \frac{3169}{49053} a^{6} + \frac{11129}{49053} a^{5} - \frac{3539}{49053} a^{4} - \frac{14960}{49053} a^{3} + \frac{8512}{49053} a^{2} + \frac{9239}{49053} a + \frac{5}{83}$, $\frac{1}{49053} a^{41} + \frac{22}{49053} a^{39} + \frac{32}{49053} a^{38} - \frac{6}{16351} a^{37} - \frac{40}{49053} a^{36} - \frac{11}{16351} a^{35} - \frac{32}{49053} a^{34} - \frac{10}{16351} a^{33} - \frac{2357}{16351} a^{32} + \frac{3976}{49053} a^{31} - \frac{992}{49053} a^{30} - \frac{89}{591} a^{29} - \frac{14945}{49053} a^{28} + \frac{15358}{49053} a^{27} + \frac{3202}{49053} a^{26} - \frac{15935}{49053} a^{25} - \frac{6545}{16351} a^{24} - \frac{11461}{49053} a^{23} + \frac{5692}{16351} a^{22} + \frac{655}{16351} a^{21} - \frac{5336}{16351} a^{20} + \frac{6300}{16351} a^{19} + \frac{2852}{16351} a^{18} + \frac{1054}{16351} a^{17} + \frac{1473}{16351} a^{16} + \frac{7320}{16351} a^{15} + \frac{7879}{49053} a^{14} + \frac{21805}{49053} a^{13} + \frac{395}{49053} a^{12} + \frac{2932}{16351} a^{11} - \frac{991}{16351} a^{10} + \frac{2875}{16351} a^{9} + \frac{22514}{49053} a^{8} + \frac{14599}{49053} a^{7} + \frac{5695}{16351} a^{6} - \frac{10631}{49053} a^{5} + \frac{976}{16351} a^{4} - \frac{21452}{49053} a^{3} + \frac{4046}{16351} a^{2} - \frac{4606}{16351} a - \frac{103}{249}$, $\frac{1}{21534267} a^{42} - \frac{2}{7178089} a^{41} + \frac{176}{21534267} a^{40} - \frac{16135}{21534267} a^{39} + \frac{1054}{21534267} a^{38} + \frac{4634}{21534267} a^{37} - \frac{5355}{7178089} a^{36} - \frac{5744}{7178089} a^{35} - \frac{10715}{21534267} a^{34} - \frac{2429}{7178089} a^{33} + \frac{1756283}{21534267} a^{32} - \frac{579901}{21534267} a^{31} - \frac{1656706}{21534267} a^{30} - \frac{7404541}{21534267} a^{29} + \frac{4966999}{21534267} a^{28} + \frac{1416811}{7178089} a^{27} + \frac{1746560}{7178089} a^{26} - \frac{2820554}{7178089} a^{25} + \frac{148933}{21534267} a^{24} + \frac{2057054}{21534267} a^{23} + \frac{34621}{86483} a^{22} + \frac{2382314}{21534267} a^{21} - \frac{8396102}{21534267} a^{20} - \frac{2753003}{7178089} a^{19} + \frac{4442281}{21534267} a^{18} + \frac{5815877}{21534267} a^{17} - \frac{3424151}{21534267} a^{16} + \frac{2689666}{21534267} a^{15} - \frac{3742159}{21534267} a^{14} + \frac{1452108}{7178089} a^{13} + \frac{2815582}{21534267} a^{12} - \frac{139394}{21534267} a^{11} + \frac{8848942}{21534267} a^{10} + \frac{257618}{7178089} a^{9} - \frac{3102078}{7178089} a^{8} - \frac{388526}{7178089} a^{7} + \frac{738885}{7178089} a^{6} - \frac{885878}{21534267} a^{5} - \frac{247906}{7178089} a^{4} + \frac{7587850}{21534267} a^{3} + \frac{10222315}{21534267} a^{2} - \frac{92656}{21534267} a + \frac{20192}{109311}$, $\frac{1}{1022382394359} a^{43} + \frac{18515}{1022382394359} a^{42} + \frac{501455}{1022382394359} a^{41} + \frac{1243617}{340794131453} a^{40} + \frac{88410330}{340794131453} a^{39} - \frac{337660436}{1022382394359} a^{38} + \frac{136685948}{340794131453} a^{37} + \frac{455856898}{1022382394359} a^{36} - \frac{340090400}{1022382394359} a^{35} - \frac{5988171}{340794131453} a^{34} + \frac{100067381}{1022382394359} a^{33} + \frac{49098147717}{340794131453} a^{32} - \frac{120081598709}{1022382394359} a^{31} + \frac{2798534901}{340794131453} a^{30} + \frac{478980741439}{1022382394359} a^{29} - \frac{476480382272}{1022382394359} a^{28} + \frac{447560823590}{1022382394359} a^{27} - \frac{290717647823}{1022382394359} a^{26} - \frac{133383683896}{1022382394359} a^{25} - \frac{386788360343}{1022382394359} a^{24} - \frac{15531017920}{1022382394359} a^{23} + \frac{480043414285}{1022382394359} a^{22} - \frac{466277710057}{1022382394359} a^{21} + \frac{117526599584}{1022382394359} a^{20} - \frac{24594582855}{340794131453} a^{19} - \frac{91184523535}{340794131453} a^{18} - \frac{120008502092}{340794131453} a^{17} - \frac{11238903816}{340794131453} a^{16} - \frac{30269337359}{340794131453} a^{15} - \frac{77261448956}{1022382394359} a^{14} + \frac{450234916376}{1022382394359} a^{13} - \frac{1693038539}{4242250599} a^{12} + \frac{168519642659}{1022382394359} a^{11} - \frac{75935231130}{340794131453} a^{10} - \frac{426871526732}{1022382394359} a^{9} - \frac{146496197221}{340794131453} a^{8} + \frac{189347226652}{1022382394359} a^{7} - \frac{291417588770}{1022382394359} a^{6} - \frac{156149123920}{340794131453} a^{5} - \frac{98525967802}{340794131453} a^{4} - \frac{294363528529}{1022382394359} a^{3} + \frac{12808478123}{1022382394359} a^{2} + \frac{2170906724}{5189758347} a - \frac{3596653}{8781317}$, $\frac{1}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{44} + \frac{35308922910680391086650124423775530233869324467738548514319423001332158412125993691557324769829170188708113858084759346837802905574203632650970041679134262882236369279958920321000230661186917711798686904687025392522018682812938572500590621606129508595252939374}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{43} - \frac{2923120831238363409075074548229988628773305894067590163490443616197277686872902728515305273871241919050015683022396586907555359590202378700526703863020970593181465864132759376166146735899762627702953616187850191172706334189277326639523299149808441799638082886979195}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{42} - \frac{313790666478418876423930179108645929580313941689976232759970571703515285534720235984101373223376041532234670275381351836442079120919208171280828590590366407095340931518805123074211878641701458626178424662301904276600253937662530997100465897906361254535137493548175757}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{41} + \frac{1349526734417813782351710067318137012487790483023311765632294421277484885346122430913514390122005544622791120466951015305957984179404609682494442149324114944354458401803212733792401845123590236578164148925094050443193636201191273109424520785361527798931126951293809487}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{40} + \frac{29631903414161168528609550476849665063380542519999021401827520152764383659295693424591279987985457539198927486548455698939668794868531672766565537054073856162398429669595452318350571780027149216936053270421401605279294000633453626459003790981533086560255210244283395619}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{39} + \frac{36398488222638594243422483054284842897268490926646963195768986448956566548595588152400360546619482907973189424735478138515412341866737428144353276132413912681729020995516405913441450265961536426662871428869163151340062767061504043164140882736431146975116643927966231405}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{38} - \frac{7387079324963448797418004831824280438009756814041928449207741667314843169314571624678610811022595335741347592689941282819537011079623637796313858693445318360610411739172451225204210796930535864393381914534399160673726992382735427888561624292748523621931409840851330251}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{37} - \frac{100259565396386356720090298794338238429107746464602997521685703621585448253701547809324910881577030603441131961811078233587146472704669691087172394649969717907108984213865380899369853794230691369168235828914608843626922237642658163795990285364160704525884734256516592203}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{36} - \frac{11285227683478066569427652121939239652398743525945162916246616720356270245251798866420355229932773772197258570240845672588322251406387554960507703555349007426060714088649861311369527321173899024948495256703174891126896350643776878474781721702214353179845276897043225623}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{35} + \frac{55650692749230859405524285537206903733737985200362859878623376188634232843717099179645718392938134430642651060888903648691281013969792585011396363977425907030287545618236977342467423600131810081526610798827699308287407639021987062037696501512725100034798819912229353890}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{34} + \frac{31840216871977154671358198885146286811899706150882967912162377678780905351974345300382528167231541934035141619343180091140077454194134853107005817908982184012755829766255016046849558043160978328914240110449865699992814757248426525069449728183093764824261676849186370967}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{33} - \frac{16828929927337009427514000076176952495166526267039451299957603699454247664233409285128217355546496693300862867468982879331248542640381459421073644463920546698813906491848869220406674698106915436798159889552042992386466446726131025037808440681449249127566768294577715377874}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{32} - \frac{6143112700800524905390108938699160419958203159368050400999852951673121108951630637092527349368056028332913203800646502799778205875581213540294475209249226015355249028834691659722509525578891025741204429425807953799110427788935000144365033806772707548703308912773252125425}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{31} + \frac{3603455129050838532690475284583998365931623180596405474028791168446938820860492974042276736480136006717896575144272815238157198592455311506188928770863823341542669097919891957049664131015102410473128784769958847157988768211969918212183534726047088089595702459376629658938}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{30} + \frac{21691208750566300627618064136024713362399128485306737826542153156773910945197618454563644715575780390398495188771560155487593372131211103546714715305591590335187748726974251063825489019869684827047030918628999472233341396156511491732162715736296288315795253214743287128772}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{29} - \frac{17148159536731920459030752659350132524141118132744272658475258307491176534557331901468403112966660473152266333006586262850183555720084835885564266813713931653964098533050766849215001096595829410413052949189462455438669635411731478051659071752867576335643295801918960614436}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{28} + \frac{6901773533720134623714725529903438316486208594366948460275095897719206832106829211786497223047135949460984274675061510421874109267385682304374705449588834003170119191655579223573816265527889992215772702896603478011795157726273963779325782524588240662086541460474620210278}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{27} + \frac{8376680072495092690439413651264025717157112971382685146265441926368289611179216059360632859262079878992788032920748184904764381242088668903702216606941614037611014990493870776152352075665966448476780255294745433634482243680181527778747548488734338440876513520249732756486}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{26} - \frac{65373703702943680932489692361192719264579380509231188140926797012799077028722431995077749849663591399057511525695553425875216823080108958715404471618485445740072761508712079596679261607764615050627203030707763746764048826897194181227579474408389719420758606899831108240535}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{25} + \frac{47823889844318075070734731576875939847282371106858483784271324419349052894759352485058264345782378243700527264846434073070342013996051175884741577529145238417473650540644640351229085374991212705305825524634439200379383677963274587009769821697520838038840649103272831459196}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{24} + \frac{28210119506076578242255981836888970173653011664671170937333524037064422053123010942231362614983867662312628602837187634570435319314854035898712424702689240228354303194869207394824856254879281226342221058071309506355745240761192747956672424515081605976533614432708506942474}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{23} + \frac{9222385747170487790865973916026664966890491341249873022926747083151590068443687421456010680870279083896002772228154942274047248524013961818886010347916234770464090921263704610972047145298260712731875621056052256530291904547896893595097124933099892634976392596852171366362}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{22} - \frac{23623286287771639204322178685203947427766025405573000037102222634840241515562191963553984362853803528371549342636849502454028275503727612316643176472299416042727619183147451530471009157566989968008569287016504521001444132469084309125534793808670013145696167726818371012138}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{21} - \frac{35631635024590249707530220892631241917250245230135757789390570482418724707736306197300030354200049650347446460366655234382212559785649457725546677274951536664309795554172555271878117973605696000324575230983372428739804247716352839057746533404395461957859063039226905803848}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{20} - \frac{15532241715988931421633736002303437311400894069125027874088500678195985443216025617840520243218550103099244433962241739899713453401731031745888075870400409502650624031520616161626236859918223575720889553730728708236408230844767543665003551804457183704373902917736003418330}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{19} - \frac{1874680457916908034278606707821415637075926799924376993336127437581190073008488492201797259376842598025222291883195397607315989950211603273771916868789511924841013291736114475755783635421668782022699511495587992466504796117489067385899860289697807415009989916176431410808}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{18} - \frac{66194902406507155158235441225567880254439258727894450211262300495379413546929309613346315482281359766669121976984406942361194111138012234495521625803282518050680619138088453307723331677994636752139053929217402149313930874225053228311744175900042216223644845482961258333333}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{17} + \frac{30489301327125341337083923765935496869538448758814408611006414042319875753243129634982880390539032933537225415421307138018125141994215808055947154575656557895955425484796810088210574383783608523401188619789352619094248181297286055095589674800346021133983930839975067628500}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{16} - \frac{4038151860882266719498404091309832258554964715807074746268382481153458596861244877625460627584033250149906057205245656132086061874076559900634987710816808351483340301012125903369803939814642121044102597179691068277025304932747874677403008026115575254850396787444851540045}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{15} + \frac{67094642768619866500017836287303992886853567421877617971534557953822366474307128737934501100427142388952174107264338869208490172816821889006086018370547091751923655515540313976736070234339488435724578242516007496202837582911413108483893959156063242932177898335952289263613}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{14} - \frac{48520220898163027948549578755871551254925029636130301743728771490183834921319873130952571489003866722494139826576788940898990227168259426089465015133539406523876328608017779961686167543496383221165389066164832943822154525236562502221579212920412608370469119885224162401840}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{13} - \frac{701346098644346098309457815502999830036949825722086779259389314778598325890103596851259055343308377498410241672217367349694294820237462627987728285592426394358359767330373590705120322872033114721505742535620278805739566051598007705534939257134650516771522916242908544288}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{12} + \frac{15141624565451498998939969913431556324214110577323168469364741475624314790550113343487690706861445544585568189450372972275453943170339068954749901135476138942713048385892046993904174777027518908899401899200154790979122672744343608377822316854316375424682219776019998630446}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{11} - \frac{14633659890937592832504205619263993120323832993496997108259579572280645196787126405129916792865673948756244970817487887991052254487532152430503754446697943185701075943234481720789745428032143071443358262023300749575148090370225490772354295685495693311563312314460332156305}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{10} - \frac{30749096963799423277414063566099730275184021157286355373973901126320123602811362116178929870455897858931007122040425803610631261904085798576462798812509383188893013296927185066357488967260639374162997895168446264955786836979885066548823995058431887771858063932386339337}{546463114468242443721041915390995773958320690609529349251851911411710155498633970178575630994168446088355715608224690135482021737383319911379584939129396212204054145914845595696649568128902345070002204940907427812566708311702541934915456078592340609499122057807233772029} a^{9} + \frac{12865734727930487171308798280438266735140254343852905555978531649774393003561739309237377620289298660691415920313142516824439581294739203139584386753672118605081126169880882833887418301313624733361786397881305509251072489440581612956711672873606855387664036291256120731753}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{8} - \frac{33334096291719730921955401468534883068672931288454320969367369429220057171370415788519266559175508090550443296952225519184164059194385455559819811362842609282376450298028297300359570090522336017515136900635250641664716105618838469704134177893844154625008857001244354739524}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{7} + \frac{13502418814080165882869837011080595007920353651676055037785940905460240780053606739812219265187066644411210693079161261612535545422695887776315471964936509277375338690775535607827854625583622424599380030754846407285277470295240222064857152490236098062585388041582846832783}{45356438500864122828846478977452649238540617320590935987903708647171942906386619524821777372515981025333524395482649281245007804202815552644505549947739885612936494110932184442821914154698894640810183010095316508443036789871310980597982854523164270588427130798000403078407} a^{6} - \frac{56267245237773872792604208465635013167686624427262162977074993771937310020098870618228006896418668063519192011574149563230943196899707368688046414213526247414368614501128177636720145513914832883592951446396770379654330919997407995111192824439092599251778145800196668005833}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{5} - \frac{12656895250387282430034863193564889398171127803260275000748543711422256915762570117591149782746059144666349046818101223064278296607195330699977415871109000827833142640954376119289629637656465264663306537167214840571520605486618364781967619409377887699202495021564315182216}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{4} + \frac{37943569024882527494821451928923618982385913249317463986050381421500308514123075516435408905004037259483043396856772275823082197426110827755910241545873697217013415301088480849506845978541344122044227361705373926804876231135450336766282291627868858716351976204272291439397}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{3} + \frac{47504561463774380047845387067894508872866947208294710280802005601851545143326072341842422204612849400479081958652324895582725853922063391751834447869575939565498231222367888095842674869234864894060754635380037326721915449642057953184283552874587417630420844692774868963832}{136069315502592368486539436932357947715621851961772807963711125941515828719159858574465332117547943076000573186447947843735023412608446657933516649843219656838809482332796553328465742464096683922430549030285949525329110369613932941793948563569492811765281392394001209235221} a^{2} - \frac{103200061034944129721315872194328148954666787157523668185040168203838324876614214683813798641100847398289923443769276031084360227275889351667375268742673880954484519911401447363539989464848627005186544442382387342939067059217064116094273926168480693949199478915771026504}{690707185292347048155022522499278922414324121633364507430005715439166643244466287180027066586537782111678036479431207328604179759433739380373180963671165770755378082907596717403379403371049156966652533148659642260553859744233162141086033317611638638402443616213204107793} a + \frac{9659657077192351370144431584931595095795831267612746249396456291513690101901568166762279311827470060412022901712228413489367414356444425644854626160679986235602665335929469235110382398243156040660296308071580301002541286784406056063538611877603701216705138456798915}{3506127844123589076929048337559791484336670668189667550406120382939932199210488767411304906530648640160802215631630494053828323651947915636412086110005917618047604481764450342149134027264208918612449406845988031779461216975802853508050930546251972783768749320879208669}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $44$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed  Toggle raw display
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{45}$ (as 45T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 45
The 45 conjugacy class representatives for $C_{45}$
Character table for $C_{45}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.5329.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 9.9.806460091894081.1, 15.15.13487790856470777216989713088929.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $45$ $15^{3}$ $45$ $15^{3}$ R $45$ $15^{3}$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }^{5}$ $45$ $45$ $45$ $45$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{15}$ $45$ $45$ $45$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
11Data not computed
73Data not computed