↑

Properties

Label 44.44.5769681722...8125.1
Degree $44$
Signature $[44, 0]$
Discriminant $5^{33}\cdot 67^{42}$
Root discriminant $185.05$
Ramified primes $5, 67$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-215069, 16422117, -10114401, -1031359974, 54760783, 20461360797, 8576764156, -186420518356, -127476458594, 902043228936, 659704565348, -2724687389461, -1774390295890, 5623685086734, 2815756227137, -8267166900667, -2701422052577, 8784959795618, 1431182547858, -6777424820140, -169117650533, 3807787546527, -324159144950, -1564104309645, 268829517530, 471438587020, -113803293756, -104442409979, 31267083742, 16977674434, -5953080558, -2012223025, 803790504, 171714508, -77259269, -10324428, 5231229, 421787, -242871, -10994, 7330, 162, -129, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 - 129*x^42 + 162*x^41 + 7330*x^40 - 10994*x^39 - 242871*x^38 + 421787*x^37 + 5231229*x^36 - 10324428*x^35 - 77259269*x^34 + 171714508*x^33 + 803790504*x^32 - 2012223025*x^31 - 5953080558*x^30 + 16977674434*x^29 + 31267083742*x^28 - 104442409979*x^27 - 113803293756*x^26 + 471438587020*x^25 + 268829517530*x^24 - 1564104309645*x^23 - 324159144950*x^22 + 3807787546527*x^21 - 169117650533*x^20 - 6777424820140*x^19 + 1431182547858*x^18 + 8784959795618*x^17 - 2701422052577*x^16 - 8267166900667*x^15 + 2815756227137*x^14 + 5623685086734*x^13 - 1774390295890*x^12 - 2724687389461*x^11 + 659704565348*x^10 + 902043228936*x^9 - 127476458594*x^8 - 186420518356*x^7 + 8576764156*x^6 + 20461360797*x^5 + 54760783*x^4 - 1031359974*x^3 - 10114401*x^2 + 16422117*x - 215069)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 - 129*x^42 + 162*x^41 + 7330*x^40 - 10994*x^39 - 242871*x^38 + 421787*x^37 + 5231229*x^36 - 10324428*x^35 - 77259269*x^34 + 171714508*x^33 + 803790504*x^32 - 2012223025*x^31 - 5953080558*x^30 + 16977674434*x^29 + 31267083742*x^28 - 104442409979*x^27 - 113803293756*x^26 + 471438587020*x^25 + 268829517530*x^24 - 1564104309645*x^23 - 324159144950*x^22 + 3807787546527*x^21 - 169117650533*x^20 - 6777424820140*x^19 + 1431182547858*x^18 + 8784959795618*x^17 - 2701422052577*x^16 - 8267166900667*x^15 + 2815756227137*x^14 + 5623685086734*x^13 - 1774390295890*x^12 - 2724687389461*x^11 + 659704565348*x^10 + 902043228936*x^9 - 127476458594*x^8 - 186420518356*x^7 + 8576764156*x^6 + 20461360797*x^5 + 54760783*x^4 - 1031359974*x^3 - 10114401*x^2 + 16422117*x - 215069, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - x^{43} - 129 x^{42} + 162 x^{41} + 7330 x^{40} - 10994 x^{39} - 242871 x^{38} + 421787 x^{37} + 5231229 x^{36} - 10324428 x^{35} - 77259269 x^{34} + 171714508 x^{33} + 803790504 x^{32} - 2012223025 x^{31} - 5953080558 x^{30} + 16977674434 x^{29} + 31267083742 x^{28} - 104442409979 x^{27} - 113803293756 x^{26} + 471438587020 x^{25} + 268829517530 x^{24} - 1564104309645 x^{23} - 324159144950 x^{22} + 3807787546527 x^{21} - 169117650533 x^{20} - 6777424820140 x^{19} + 1431182547858 x^{18} + 8784959795618 x^{17} - 2701422052577 x^{16} - 8267166900667 x^{15} + 2815756227137 x^{14} + 5623685086734 x^{13} - 1774390295890 x^{12} - 2724687389461 x^{11} + 659704565348 x^{10} + 902043228936 x^{9} - 127476458594 x^{8} - 186420518356 x^{7} + 8576764156 x^{6} + 20461360797 x^{5} + 54760783 x^{4} - 1031359974 x^{3} - 10114401 x^{2} + 16422117 x - 215069 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[44, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(5769681722973112639196821168549004411214468274227153473067543998508362785597448237240314483642578125=5^{33}\cdot 67^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $185.05$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(335=5\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{335}(1,·)$, $\chi_{335}(3,·)$, $\chi_{335}(133,·)$, $\chi_{335}(129,·)$, $\chi_{335}(8,·)$, $\chi_{335}(9,·)$, $\chi_{335}(267,·)$, $\chi_{335}(269,·)$, $\chi_{335}(14,·)$, $\chi_{335}(273,·)$, $\chi_{335}(131,·)$, $\chi_{335}(149,·)$, $\chi_{335}(24,·)$, $\chi_{335}(27,·)$, $\chi_{335}(156,·)$, $\chi_{335}(159,·)$, $\chi_{335}(64,·)$, $\chi_{335}(42,·)$, $\chi_{335}(43,·)$, $\chi_{335}(174,·)$, $\chi_{335}(177,·)$, $\chi_{335}(52,·)$, $\chi_{335}(53,·)$, $\chi_{335}(137,·)$, $\chi_{335}(313,·)$, $\chi_{335}(58,·)$, $\chi_{335}(59,·)$, $\chi_{335}(192,·)$, $\chi_{335}(196,·)$, $\chi_{335}(72,·)$, $\chi_{335}(76,·)$, $\chi_{335}(81,·)$, $\chi_{335}(142,·)$, $\chi_{335}(216,·)$, $\chi_{335}(89,·)$, $\chi_{335}(91,·)$, $\chi_{335}(226,·)$, $\chi_{335}(187,·)$, $\chi_{335}(228,·)$, $\chi_{335}(112,·)$, $\chi_{335}(241,·)$, $\chi_{335}(243,·)$, $\chi_{335}(253,·)$, $\chi_{335}(126,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{75944523630144346291} a^{42} - \frac{3063728991637490927}{75944523630144346291} a^{41} - \frac{35251563226886607602}{75944523630144346291} a^{40} - \frac{12525366479006543361}{75944523630144346291} a^{39} - \frac{3301360488584928038}{75944523630144346291} a^{38} + \frac{32520034282445284049}{75944523630144346291} a^{37} - \frac{10141582182029071602}{75944523630144346291} a^{36} - \frac{12751520337121278935}{75944523630144346291} a^{35} + \frac{4107885699803622077}{75944523630144346291} a^{34} - \frac{9051865201147138956}{75944523630144346291} a^{33} - \frac{5205695533528773380}{75944523630144346291} a^{32} - \frac{2511182461568092989}{75944523630144346291} a^{31} + \frac{28187516330220604674}{75944523630144346291} a^{30} - \frac{30732633407751873135}{75944523630144346291} a^{29} + \frac{5050419367572927940}{75944523630144346291} a^{28} + \frac{10586859896222928527}{75944523630144346291} a^{27} + \frac{37614014557127016659}{75944523630144346291} a^{26} - \frac{27173070360167321505}{75944523630144346291} a^{25} - \frac{15844030452330809612}{75944523630144346291} a^{24} - \frac{32868603071377859141}{75944523630144346291} a^{23} - \frac{32953594980286033768}{75944523630144346291} a^{22} - \frac{35555932351197755806}{75944523630144346291} a^{21} + \frac{11566266795158303909}{75944523630144346291} a^{20} + \frac{26305287116450802841}{75944523630144346291} a^{19} + \frac{28465676748943241742}{75944523630144346291} a^{18} - \frac{35615907333240021022}{75944523630144346291} a^{17} - \frac{21086228190302288788}{75944523630144346291} a^{16} - \frac{33300761855978762247}{75944523630144346291} a^{15} + \frac{16863961812636503003}{75944523630144346291} a^{14} - \frac{14401705302757791178}{75944523630144346291} a^{13} + \frac{10169143072225061214}{75944523630144346291} a^{12} + \frac{16101479218479999214}{75944523630144346291} a^{11} + \frac{2885367926874105867}{75944523630144346291} a^{10} - \frac{13428142651014654814}{75944523630144346291} a^{9} - \frac{11745174106240735490}{75944523630144346291} a^{8} + \frac{15141690580199551320}{75944523630144346291} a^{7} + \frac{9400142934139057810}{75944523630144346291} a^{6} + \frac{21673258040210970458}{75944523630144346291} a^{5} + \frac{37908606634108624895}{75944523630144346291} a^{4} + \frac{3180784115477329110}{75944523630144346291} a^{3} + \frac{6885024024809728676}{75944523630144346291} a^{2} - \frac{4299409722843810976}{75944523630144346291} a - \frac{25746278625437018839}{75944523630144346291}$, $\frac{1}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{43} - \frac{2374681790289889921194209891954597399275399162534321114191657797628303296407679848098021196148478379234682985503509321064563425529509693743137651801467578328617433885953218940}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{42} - \frac{3237432123572424473243873510141992197110566325951498013761572304517398735091855330348303797898156414049729563178119295384882919615586036543400102968393901134660516641225333344899518710545593570574}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{41} + \frac{2363085112142248082286402995077644720095951030882733821517109624292092192260732076549895411876584026731802776719547865874134844878462976871441747759369089976781916568201957663864141061680898829365}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{40} + \frac{2895118809342477191000346761720485332942874867813648235918480570792441477622554520153816805707332838237209978619052134334420403367296548675121655457382567163713851965068243520022782659357206256292}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{39} + \frac{2050100278358946696814302498609221142044508947672314820161071204238190133257550517884905785535489960078966138674000140143661408460897340582077392857312576477658354456414669377115820389238045587492}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{38} + \frac{434022922168457715225259942486774821532461687983885228578680580377616289210902598305578427187197687163236881130226178129621044448474037819860152317783771483409644612299638195614357218749987945142}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{37} + \frac{3295771258566737615942940478598582464984329837661749499239108447576776237902207241848411941485686430068262101736010515774603937111235545556444961344099460764727011259887488849280068330232902390115}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{36} - \frac{2315756183722992629942065684860837735935490385517380488582884829014132385027241827137059300896231023836795481134757464856718459861471908340424274033344458335087815738805732589410953436867269165881}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{35} - \frac{3777607044748662783215702804365617706125442997203961406706861028076387418043878875335846159075003689707541960784620059430783542888457426614754101306886562771121753264570589152932082524113478144706}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{34} + \frac{5271856008870745257405739537815009166296859294046675982599211857702902368636752474224125631458018248789931400177286845569554651427714377825076543201554318374793832386762493482029735914831440080459}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{33} + \frac{5141451028041826185258861389056432389048580901655645982699459893369479681815904557058979307243144307726215741142025612862229618133424462062357848329579998432044259087665357853830295094133932766607}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{32} + \frac{3738830248750886525532936609142010124412180810455779820122220729144716598475902535785426541097371899212563183940885437122561830493513741271412745155670264166130251171083348810198462493269882782572}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{31} - \frac{1019798486295393743440114680072141166472802872371858095397762785869382605890176681180011620806802310425220302879720148394254155649600720851154954042506378208320278026800575690032495330129886338566}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{30} + \frac{285881125548619451758560824312627922176997785164154955698677822199120903353020022408396189579045618285645020601024367801412972467731619311934055979805879244434509308608322679053026233287336501723}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{29} + \frac{3658400474721455270540780266485882928021693710356554064161471787657627581746481599648391867372796397260280108611062321583452940402837698546629678641345821006491882065588396526247460034673525165285}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{28} + \frac{3929702709458262949603680647820294767769849084167219317151880994429917503862957651100184092398138146106886893789957976477078562650485892173705722998210814533579512057547341617153262505370747261543}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{27} - \frac{4149549062697595875537726236055938386162473111761164174907352324433218072387501060862888493348468314090225410839252953488991907449397006849119609353340704419871569060226919286777983986023599597237}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{26} + \frac{1851714966113228652848857129433220694286221231942227715381772482128015925166570841042423264383445745707556423688513167864921864793877058640136579990896819736002236448983671972713363342265318859079}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{25} - \frac{5194648373340384361839316479572345852779862169983814069297593976424980508860807303156804449246823958891944815211673305800099373598010757152436470943317054720723542970242836930554471481028301489625}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{24} - \frac{1356504921663350242298674179786715666362464284493467757743651719698868587243357314059392072444644126181293208929643968027541431720277466073054411128222037013441855025354428906434097748359926116793}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{23} - \frac{1803220285271628397290571049804950569590243330351672554518422023915929950085532167736059388417349470210739706885219054799313851661105916167397862593596398950502642433245870390400105073498075178281}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{22} - \frac{3450147234913371480537080348181722316164371096062950484070797249181138014355688875270195328120900448704335785514134103537417611847538099986384076290374911919644539162035851066894446840239075444140}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{21} - \frac{2816632812127690580873176255897885453123883621475316755615704465673012722471226031846839082547200852508607251405683878192915237770623563858782608024241260346238543334661952418209380247320693842172}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{20} - \frac{210343428496884097866541630640206573360576622471875323603164845431317368819555883998463163139463176470011067136126640684765978178445303450017960788533303793155070659506673458452147694694674587964}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{19} + \frac{1138412479544258053866353137497869745406877941717497769324221511766704997754169484298795787095086069914737149252879616716035458820030879450921443082584120443973600992020139530087364093267283396469}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{18} + \frac{2638024490968958193488937947964542183051239404452907069004456441631482221733245390232213484976172596765752018065503538579739408272494944828529164985239951379006554995208150893734868157966250943125}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{17} + \frac{632724225898056340380208247425759188153208160001278173472824236599223381247579171950462299835108231603805707525951719842555828190642695220498402718781794751624259866659800868305885578484157752918}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{16} - \frac{3541379306069450992235164173710915846094038570258158170982622404573860490455320531408216856446814323587306705631505046944078004105644611005420445865890601139693939488923248413425604395306887419045}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{15} - \frac{1895211397934736277952900900424010666672988650808587671009263620346659547826955529140180480900952045647261091072915350344210315580328306053297816580831834031759651254226142894409231353053956193812}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{14} - \frac{3231546252837467105789461913541555587625150389667714937468705007858344745271582706517440310420986533744729639188781901519699248729054395575763686216732348788233867376553466412388575917567019719250}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{13} + \frac{3430631000127657098061502013224751210685648679628506354915194913517194660166039875697518581484063380367389911070344137631109682423058475931634640167696569494122420835178075065744441559790509638853}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{12} + \frac{633782408465390642530583237243480524345296361875306737022634619673512467875480780589778802913208666430765955856863983237725375435094700957819231161960191287149029731927716919846994419236961354516}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{11} - \frac{6146977314749358575600794692685653438105642713391494360753095298981067696931154380432987760043949078912080346423699471784892515444653993699441859527213213500775003298348866619669150171875178648}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{10} + \frac{3012865272246971315563195364328993153297019299699391532866806461973116662161361885481606782816588929596855397999610750014400007845709754884147544102004776652858814315492677401061743238889576419733}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{9} + \frac{120508684179189897749755658498435665788190673516115195036619752662839337920005083086219331462852910054415420279709616524120624411747765525734831650746078424190167088723293495205368446791240636287}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{8} + \frac{1660638512965337420782090547694863310906509476256368796868060700016355184400742406080454367205031142618046624036812271064554743766186095468546840531374482377387755719945579451983807625695707908561}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{7} - \frac{317974136077271217127563306865046134948311559378876337630966250416092358731325929087984334129498541895257513757657256762443823493528806745932311777673461146959411097024629703951670779467295818831}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{6} - \frac{1441338475795620549174551483658404689801010803389743500851333641738866000332574673290143716900950989046262768149755968102769363522297423847962242392849168146841799243925588389865567848645036354577}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{5} + \frac{5087992732355333148820291061817479504573163794797290643096294753526022034186096167298913943689011520337736878277467900449898060913607471688499106147337828638912345658773071072236596850550208309681}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{4} - \frac{3432837525790926387925337148732210898087387365900227187478121920344139624699431617165846929327358299098537690677883492283725381179195160449030950922793181032010495156387790017498791691376045253007}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{3} - \frac{989638142164097245091772320545262149382714999175518678085744233254547006150613088005646227533699515517386574717602055656695011860420200580224437056688063396941390478602178246547124356073237167381}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a^{2} + \frac{5081126762399749526626536882887283148592815573764011609099753024245462209163332206045919626400374748812780366347258758161005578774960137674793386650738927147088908097812857287151797188354881357148}{10800068139347477959534746345178176853993523070742665830193491309993406148139879630176802353305786967845921754907271172017741665268280988004273682706739257581053869843602712289929406730414908468851} a - \frac{7056824728495773427940138992157933776554338592312479600744216545364430944360813874652405399984926667602428418784576825648141821351986846088119315969211457617342203524319998844602130527688683061}{21643423124944845610290072836028410529045136414313959579546074769525864024328416092538682070753080095883610731277096537109702736008579134277101568550579674511129999686578581743345504469769355649}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $43$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.561125.1, 11.11.1822837804551761449.1, 22.22.162243049887845980095628744560672832080078125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ $44$ R $44$ $22^{2}$ $44$ $44$ $22^{2}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/29.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{11}$ $22^{2}$ $44$ $44$ $44$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
67Data not computed