↑

Properties

Label 44.44.3583540620...0577.1
Degree $44$
Signature $[44, 0]$
Discriminant $353^{43}$
Root discriminant $308.94$
Ramified prime $353$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![49969973, -6990995742, 61717010127, -76232533113, -796446561316, 2208022950865, 3695756591386, -17219902800039, -5042756266332, 70083168707125, -18656557773155, -173562489138026, 98600723799035, 279089245597176, -211702575417363, -301310750795816, 269101369640280, 223131946685026, -222840076664114, -115607203794108, 126059083895790, 42861401558413, -50405294086920, -11618898969470, 14618460563958, 2343953665267, -3131515916162, -356385728257, 501017019075, 41140267068, -60127664477, -3611287516, 5399038792, 239726431, -359017799, -11850873, 17326532, 422948, -586139, -10274, 13088, 151, -172, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 - 172*x^42 + 151*x^41 + 13088*x^40 - 10274*x^39 - 586139*x^38 + 422948*x^37 + 17326532*x^36 - 11850873*x^35 - 359017799*x^34 + 239726431*x^33 + 5399038792*x^32 - 3611287516*x^31 - 60127664477*x^30 + 41140267068*x^29 + 501017019075*x^28 - 356385728257*x^27 - 3131515916162*x^26 + 2343953665267*x^25 + 14618460563958*x^24 - 11618898969470*x^23 - 50405294086920*x^22 + 42861401558413*x^21 + 126059083895790*x^20 - 115607203794108*x^19 - 222840076664114*x^18 + 223131946685026*x^17 + 269101369640280*x^16 - 301310750795816*x^15 - 211702575417363*x^14 + 279089245597176*x^13 + 98600723799035*x^12 - 173562489138026*x^11 - 18656557773155*x^10 + 70083168707125*x^9 - 5042756266332*x^8 - 17219902800039*x^7 + 3695756591386*x^6 + 2208022950865*x^5 - 796446561316*x^4 - 76232533113*x^3 + 61717010127*x^2 - 6990995742*x + 49969973)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 - 172*x^42 + 151*x^41 + 13088*x^40 - 10274*x^39 - 586139*x^38 + 422948*x^37 + 17326532*x^36 - 11850873*x^35 - 359017799*x^34 + 239726431*x^33 + 5399038792*x^32 - 3611287516*x^31 - 60127664477*x^30 + 41140267068*x^29 + 501017019075*x^28 - 356385728257*x^27 - 3131515916162*x^26 + 2343953665267*x^25 + 14618460563958*x^24 - 11618898969470*x^23 - 50405294086920*x^22 + 42861401558413*x^21 + 126059083895790*x^20 - 115607203794108*x^19 - 222840076664114*x^18 + 223131946685026*x^17 + 269101369640280*x^16 - 301310750795816*x^15 - 211702575417363*x^14 + 279089245597176*x^13 + 98600723799035*x^12 - 173562489138026*x^11 - 18656557773155*x^10 + 70083168707125*x^9 - 5042756266332*x^8 - 17219902800039*x^7 + 3695756591386*x^6 + 2208022950865*x^5 - 796446561316*x^4 - 76232533113*x^3 + 61717010127*x^2 - 6990995742*x + 49969973, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - x^{43} - 172 x^{42} + 151 x^{41} + 13088 x^{40} - 10274 x^{39} - 586139 x^{38} + 422948 x^{37} + 17326532 x^{36} - 11850873 x^{35} - 359017799 x^{34} + 239726431 x^{33} + 5399038792 x^{32} - 3611287516 x^{31} - 60127664477 x^{30} + 41140267068 x^{29} + 501017019075 x^{28} - 356385728257 x^{27} - 3131515916162 x^{26} + 2343953665267 x^{25} + 14618460563958 x^{24} - 11618898969470 x^{23} - 50405294086920 x^{22} + 42861401558413 x^{21} + 126059083895790 x^{20} - 115607203794108 x^{19} - 222840076664114 x^{18} + 223131946685026 x^{17} + 269101369640280 x^{16} - 301310750795816 x^{15} - 211702575417363 x^{14} + 279089245597176 x^{13} + 98600723799035 x^{12} - 173562489138026 x^{11} - 18656557773155 x^{10} + 70083168707125 x^{9} - 5042756266332 x^{8} - 17219902800039 x^{7} + 3695756591386 x^{6} + 2208022950865 x^{5} - 796446561316 x^{4} - 76232533113 x^{3} + 61717010127 x^{2} - 6990995742 x + 49969973 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[44, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(35835406203814951479694647910185633079666581776176301713385706009212329177523219833640506320292452723709900577=353^{43}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $308.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $353$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(353\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{353}(256,·)$, $\chi_{353}(1,·)$, $\chi_{353}(131,·)$, $\chi_{353}(4,·)$, $\chi_{353}(135,·)$, $\chi_{353}(136,·)$, $\chi_{353}(265,·)$, $\chi_{353}(140,·)$, $\chi_{353}(16,·)$, $\chi_{353}(146,·)$, $\chi_{353}(22,·)$, $\chi_{353}(289,·)$, $\chi_{353}(34,·)$, $\chi_{353}(35,·)$, $\chi_{353}(166,·)$, $\chi_{353}(295,·)$, $\chi_{353}(168,·)$, $\chi_{353}(42,·)$, $\chi_{353}(171,·)$, $\chi_{353}(182,·)$, $\chi_{353}(311,·)$, $\chi_{353}(185,·)$, $\chi_{353}(58,·)$, $\chi_{353}(187,·)$, $\chi_{353}(318,·)$, $\chi_{353}(191,·)$, $\chi_{353}(64,·)$, $\chi_{353}(331,·)$, $\chi_{353}(162,·)$, $\chi_{353}(207,·)$, $\chi_{353}(337,·)$, $\chi_{353}(213,·)$, $\chi_{353}(88,·)$, $\chi_{353}(217,·)$, $\chi_{353}(218,·)$, $\chi_{353}(349,·)$, $\chi_{353}(222,·)$, $\chi_{353}(352,·)$, $\chi_{353}(97,·)$, $\chi_{353}(231,·)$, $\chi_{353}(232,·)$, $\chi_{353}(121,·)$, $\chi_{353}(122,·)$, $\chi_{353}(319,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $\frac{1}{311} a^{41} + \frac{85}{311} a^{40} - \frac{67}{311} a^{39} + \frac{13}{311} a^{38} + \frac{8}{311} a^{37} + \frac{57}{311} a^{36} - \frac{131}{311} a^{35} - \frac{133}{311} a^{34} + \frac{96}{311} a^{33} + \frac{103}{311} a^{32} + \frac{6}{311} a^{31} + \frac{116}{311} a^{30} - \frac{33}{311} a^{29} + \frac{90}{311} a^{28} - \frac{2}{311} a^{27} - \frac{132}{311} a^{26} + \frac{17}{311} a^{25} - \frac{114}{311} a^{24} + \frac{130}{311} a^{23} - \frac{87}{311} a^{22} - \frac{120}{311} a^{21} + \frac{145}{311} a^{20} + \frac{123}{311} a^{19} + \frac{35}{311} a^{18} + \frac{26}{311} a^{17} + \frac{96}{311} a^{16} + \frac{136}{311} a^{15} - \frac{129}{311} a^{14} + \frac{41}{311} a^{13} - \frac{69}{311} a^{12} - \frac{80}{311} a^{11} + \frac{85}{311} a^{10} - \frac{111}{311} a^{9} + \frac{106}{311} a^{8} - \frac{144}{311} a^{7} + \frac{90}{311} a^{6} + \frac{82}{311} a^{5} + \frac{150}{311} a^{4} + \frac{9}{311} a^{3} + \frac{78}{311} a^{2} + \frac{129}{311} a + \frac{13}{311}$, $\frac{1}{88013} a^{42} + \frac{56}{88013} a^{41} - \frac{33943}{88013} a^{40} - \frac{1776}{88013} a^{39} - \frac{14675}{88013} a^{38} + \frac{13198}{88013} a^{37} + \frac{18120}{88013} a^{36} - \frac{36764}{88013} a^{35} + \frac{41273}{88013} a^{34} + \frac{15046}{88013} a^{33} + \frac{32784}{88013} a^{32} + \frac{7717}{88013} a^{31} - \frac{32320}{88013} a^{30} - \frac{24455}{88013} a^{29} + \frac{21335}{88013} a^{28} + \frac{35691}{88013} a^{27} + \frac{35567}{88013} a^{26} + \frac{18986}{88013} a^{25} - \frac{6205}{88013} a^{24} + \frac{33774}{88013} a^{23} - \frac{38338}{88013} a^{22} + \frac{41256}{88013} a^{21} - \frac{4704}{88013} a^{20} - \frac{15972}{88013} a^{19} - \frac{10941}{88013} a^{18} + \frac{4318}{88013} a^{17} - \frac{31571}{88013} a^{16} + \frac{26094}{88013} a^{15} - \frac{42246}{88013} a^{14} - \frac{6856}{88013} a^{13} + \frac{22136}{88013} a^{12} + \frac{4893}{88013} a^{11} - \frac{35853}{88013} a^{10} + \frac{18564}{88013} a^{9} + \frac{14509}{88013} a^{8} - \frac{27767}{88013} a^{7} + \frac{5869}{88013} a^{6} - \frac{31151}{88013} a^{5} - \frac{8695}{88013} a^{4} - \frac{183}{88013} a^{3} + \frac{9685}{88013} a^{2} - \frac{34517}{88013} a - \frac{30233}{88013}$, $\frac{1}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{43} + \frac{44449636720309617889740424336166701997476426968017660199300550179384908879386803750632048757873457292688651131935178514376377514308963058009244970451165036248158762840117081900948706941206538565854574619677464624745542945901592026499610251256980056651099}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{42} - \frac{37920865556575624455698664546434601387485592587071003512874747308787441057696925598350229889395499254972859301423140709138806421107840946430514091237241787408182892438355828492662968681208851443309881511020008260757615429478116599761675939556792707554502019}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{41} - \frac{28991917569832846678572694185241390365997668084233701479132930811106009931926876380708980435868256504225423947416982059288947622673890703817406557044019923156805154066476412335094869047581702337240116465107458089049046875762558520571648019810565810928336522715}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{40} + \frac{7476807416489066543034861845012509811656798867026787282167442176560590396638165726440364922248840199244713780136060562362494879933279233622761876195584693732652745397731408187687988395752238613588601520300225049743127137371053159742772155017188255213314489643}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{39} + \frac{42207472089923222717717025761529267106143756695656322692274517420782970489738509421708198568644890681809519028368938173919471262590378742167568931565764625113838342175117879993939825505007061228861856067212787640434860823136580621192652821757863732798085457414}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{38} + \frac{22175955388348724818851761292672685797568429256347686906282122329102980822357491883824911783080251769040137596673135071152376716017897932590364381806140835662652104660063115758833957047790805900317547240239847866905898584378280881738476806314178314047970880636}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{37} + \frac{22037276137136089633219471227787248726141891923831233109978780387627890834804161079577333112024995087213928930368593664287019789238386099984075558977191582308548556299059490734554370290879198603569140710455643115337154294471256992717816582891092530868396513327}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{36} + \frac{34423097539020525077964642604965907737082743060062564924719606890023900870178137955612335778343919187928424926395676708742974666834771850842490529151385369713955516761324297067730121814994548080034859585935107332264884655674124314050285432423167101726960388414}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{35} + \frac{75254180423305495005905549371510253549109419446918618124391880119182852743906432006508389440180262229002520487124749881237574533720124926601643419131613877314916624772886392201438211651144493619621867525479475492930229229917238722182130121377080322222345857}{336813553799374096299603808310810372393141395979918070514111672465842398366905247928084593676510737221150953329947408751194510436292055693225302748331665499377900841740751031307918529908114732362874838951255938067823533409729877083837281730518445626858088761} a^{34} + \frac{48239978359236533287471500710307646557309635566652739949855329583221391779766784054073914304866561941239527794748599275630704450250116322150081008904955859566798035478720526756589453706712230058715885433907109089204162794513361254316314660972530907511021526516}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{33} + \frac{21731870239672725926733795350530544182108436839765412962543006511047181453276012654151264203215510167957873163255199008026312733350493722257750032234677093685580332671171433004122727409772030064641711710352082998785121029874067697212965256544740707158311237884}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{32} + \frac{1186638886567884863478230433238883024041106238794371896286700659010624774449977780214074677680999743350261138434281654818531323316866326286944455197683551972439041093460507010733431238989788416120674259585183628136575021983462795670313216338530732796525088976}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{31} + \frac{12366347378508512467905626336261080230607424511214732365338710319523096594262834046196013925134117493584118170841630306315458607193306162404826618540713978757008554757100246762143106072670500792010168935082933948210976266226948310861270272816026492862374402940}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{30} + \frac{40335141804400495933539289576264831003613779706678862545691033964008558758342283985281907372297921543949748033987642310680041042931766300617743246609175757056764712279515148430002783257852767099591526410328951271422966005217017954972618838773743846121582327540}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{29} - \frac{29100784774500495269225407936974872787671808457075444088039226238434454822656826692138242021342726106108040891970601454496229455163494765613566033389138532973819644398833826842260245370774750044496965632671401583366676974688418372154814657922103573811893178177}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{28} + \frac{11551521142450026278660380879650577755522625857970697971430042042448399524533578261747723237032288671543022700543139708362116540914340577772800426788151489975427634653499247317634661236361136775453887208243693560527479279667295071365172843000988181970461286304}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{27} + \frac{41251772888856631851177704097954784689816386973524030798951893698162028470660464952041241932040520774523826661673784633618481529233737276790099733732958600317172875095193877652606721561395778254852279797228787848449691826947582676345266744665748074866785466059}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{26} + \frac{29940036336671153752432232365826709207801528253853431853206516440652703776053135465189462922961858598542475479539567103421994392090207269429067852182078140871432685944093497449839643262660635880207289149016234285740074449914809933572299579077494777468742874594}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{25} + \frac{49927233619396112309618269094974684439950373051661841338668120727729771228564087002299260310147249620172983414306769826176957530684850214599832575275557048627510869253392337227013211818117813801468749069662044591456235864005889854609432467743104057510842422590}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{24} + \frac{9025202992703117269006473426477486784941176588783695336580308936159969823375856569941627941634147002820517893690626095996526684824828992966342765004622337464837698985194144865573316915656667017812565063375755155107982123720109099297941324970776045748458315837}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{23} + \frac{46072161217114015680062925698490445299716528185766795492932056997820040468126264592710363346794213224213154492861411563437897179774956604226687655736410256551004809808069403499808544727804607441420235599216246446026337569553859305899324228342757793977075494705}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{22} - \frac{24532946966605782730434639993545008920707805753724375154672889685753014718156482411894243918127032043887800798904825854707929609892655615021786185087646228267486391693199240661062395588757736809365220159543745310603486098856026737119130410167431226394225133906}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{21} + \frac{13999697413434866757108827815080489833579089846571652773070447637772697213848169485965402737649775847901991136212524852910484879223077154660942454876225900894060448022831234825270944213124429319091758276119789562726821012828297641840291434102951989500345001368}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{20} - \frac{31115860661195707615480639028772053689207776917281007539708521226530017379356316264279420778000565857996692715483786694593580729959301981167070648871981594940593208293362351991223133183141197033269174185298249062090044783550870256593474284328096446197646028400}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{19} + \frac{12362008510025339886281293253535262403575014769780760425711241044526783087418177015475804287880905995213370085991111577476740190783746585520906985522547554847756849032402643136795943498737008937356983694390807348142235566535113788506508182306315906696214695488}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{18} - \frac{33432071355797326245979645623323578030034215637049546481235427098193585906952265700561243302111351921291166776202230976477789386923147164495171994362048006946446236661124539023102272057833622827514007259231232142627636962985810532180503425798163604726531004120}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{17} + \frac{19186652724803813410242329994521045893868211777929727372843242410557036984562388020536915596964177905382141237127864381590053366508642565218586191709562715183894341069610787643986195614624836094617382093523807695788733526144498173201744063264678396108607841998}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{16} + \frac{32588355896074780595730271748446604324487679611961788819482867620056134713015268716714819826574698316209239902915025294566715107912598770447353206578972106164961668577002412372173487624713361945575810138544215272937319866950298457843174235575571101312052166843}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{15} - \frac{9596929701466969374747330897672786268765862551954789014109218738272999058974095564789772718593169109448994348504320960955658383692375582635337770040587119169391016084310719173458918282534116395672289935092490835619929614687517314057678089320578942630717569574}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{14} + \frac{31720854530540225130105149317540553128228822331087726846132622455147144795669783201241080969755448380751480479080184611664939402592491403876078389704724748691634791937353655032453946950924437184001067647206665914424496635870912337425320039885955892659142264100}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{13} + \frac{5737275077548653440659956658077704053123371364065768062544194236526220943140874404289820361419711772900013356879196935228513482896796724520508144245003797223473361270525102378786706629515135502499646984349831881934141449325358431095215437599048412478626402686}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{12} + \frac{21972193476082163238194074333973477655120810683866822958374826994830553439614403768995030272297489660983986464114627248795701735163033386317634465274000300686611832006343952555379004688522570349653719647180092558657037169207779757812068973071333833156275876980}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{11} - \frac{1839561809748375607394701249911844394867115287942949152510234206138639926589936393032834935641998574912981746736627314552024758410011788984759927333430790608761790228651340456848048815311155387527954101511546781302125843160039521667676737078403500917538820972}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{10} + \frac{19389250140246691341611018070485137891353470993866937687570123825199039477808673121207710334317541990502801770323024529465545234147919430870204565461718574986150063813594997870726438335469858312412182231788986700339963111132017306724141562668716600511872610937}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{9} - \frac{17075796226916000195659868532600908777369411108124490919372977729513422622767176896479521999239497106705046024536555092656602092332244850494431550486116925945491286929102821130467423123549899329162780280228410720059212833417752575457028616894838948334521215004}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{8} - \frac{5800053050709959618796623361462846216036529292363966922978587483634264097224578106887912670434661650354581332843621333418149609550540114974702048200183395664346393054075130326664801897532686267818652962683679191115288535125593417195792710289746423497979634624}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{7} - \frac{39254558151697527947330676294581692849462115376959963407243214088172917996863522019378436106680966195925586841915407219337131263547892254497626044704415143570773149027529656084725302403734620717611695690311410893633724498133489259884716850916704792321476471719}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{6} + \frac{31981744568911318403850902238975853264485964697103236999900031365300072305212673719062516601698117876520186932184082337086067800785523402817176521297680300744525506456950351382035002518325675998695668400315261645378110694254423434846070042515173127123695582495}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{5} + \frac{1161728363804349233288902551179047502638637987042255229412786426949438667101565570670150694256652965298975683791529054370730585759980015456582289275769302416469161018996279434030856718618955792341261888623527600212221964571531494890358801919682008170568097818}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{4} + \frac{4976088245898570660864696108042600985519811827250736398579899554834644007289544296272494725035945440016851235889959660525697085479476543323960275681736045259764730159760991686185588818170570061573366732274243335835642429310843255039909483292631923392151056820}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{3} - \frac{48480461755464917165950243556811346714378979944176585982604433938574844386090169280086325713822522396654208891869433845325277498482778921362071547254055670936470935159086890200601937420622029726115291446476917088532239435070560315432518397350705357642882920786}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a^{2} + \frac{37315916931136255285766694056267854290017590696150544780878481493029952179027383029597990822888410272405260067465664942473062381272056195560085313091616253106179856313964875919075419433026164685253071513599847919936811118261429268664847637421088277384944471336}{104749015231605343949176784384662025814266974149754519929888730136876985892107532105634308633394839275777946485613644121621492745686829320593069154731147970306527161781373570736762662801423681764854074913840596739093118890425991773073394618191236589952865604671} a - \frac{3706208756041030318539981967824160711998119097703926104753162116071744164783928767555665823528525159997370733669562095461029307698638143305336419386180763582379810510606259715700694493906758738968971759974036606680052129613831490047025076489224816930280903}{13912739438385621456923467178199233074016067757969786150868472590898789466344472321109617297568712880299899918397349464951719052422211358824952736715519719791011709626958901678411829300228939004496490226303705238291023893003850680445397080381356965062141799}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $43$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{353}) \), 4.4.43986977.1, 11.11.30043259834681392663962049.1, 22.22.318616903907445618105221556406323103529996534834275553.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/7.4.0.1}{4} }^{11}$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/17.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/59.4.0.1}{4} }^{11}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
353Data not computed