↑

Properties

Label 44.44.2885428559...8125.1
Degree $44$
Signature $[44, 0]$
Discriminant $5^{33}\cdot 11^{82}$
Root discriminant $291.75$
Ramified primes $5, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![120479225931, -933606953532, -4075128443628, 32226422103315, 12739811734177, -342259375179865, 299898985022747, 1451337173692670, -2359643391597569, -2661785715378317, 7365821541199693, 957434807749984, -12203382842191332, 4393746476170084, 11523515860045816, -8398422330744292, -6029837555150244, 7347001349815809, 1312694870221295, -3794529543097249, 299309842984273, 1257117283481356, -301517323082924, -279251313680889, 102737513917819, 42660979223775, -21225667294843, -4526855999655, 2991668736100, 331232200717, -301173777069, -16165568980, 22064059116, 480261528, -1178457973, -6153015, 45279839, -76087, -1212739, 3531, 21340, -33, -220, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 220*x^42 - 33*x^41 + 21340*x^40 + 3531*x^39 - 1212739*x^38 - 76087*x^37 + 45279839*x^36 - 6153015*x^35 - 1178457973*x^34 + 480261528*x^33 + 22064059116*x^32 - 16165568980*x^31 - 301173777069*x^30 + 331232200717*x^29 + 2991668736100*x^28 - 4526855999655*x^27 - 21225667294843*x^26 + 42660979223775*x^25 + 102737513917819*x^24 - 279251313680889*x^23 - 301517323082924*x^22 + 1257117283481356*x^21 + 299309842984273*x^20 - 3794529543097249*x^19 + 1312694870221295*x^18 + 7347001349815809*x^17 - 6029837555150244*x^16 - 8398422330744292*x^15 + 11523515860045816*x^14 + 4393746476170084*x^13 - 12203382842191332*x^12 + 957434807749984*x^11 + 7365821541199693*x^10 - 2661785715378317*x^9 - 2359643391597569*x^8 + 1451337173692670*x^7 + 299898985022747*x^6 - 342259375179865*x^5 + 12739811734177*x^4 + 32226422103315*x^3 - 4075128443628*x^2 - 933606953532*x + 120479225931)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 220*x^42 - 33*x^41 + 21340*x^40 + 3531*x^39 - 1212739*x^38 - 76087*x^37 + 45279839*x^36 - 6153015*x^35 - 1178457973*x^34 + 480261528*x^33 + 22064059116*x^32 - 16165568980*x^31 - 301173777069*x^30 + 331232200717*x^29 + 2991668736100*x^28 - 4526855999655*x^27 - 21225667294843*x^26 + 42660979223775*x^25 + 102737513917819*x^24 - 279251313680889*x^23 - 301517323082924*x^22 + 1257117283481356*x^21 + 299309842984273*x^20 - 3794529543097249*x^19 + 1312694870221295*x^18 + 7347001349815809*x^17 - 6029837555150244*x^16 - 8398422330744292*x^15 + 11523515860045816*x^14 + 4393746476170084*x^13 - 12203382842191332*x^12 + 957434807749984*x^11 + 7365821541199693*x^10 - 2661785715378317*x^9 - 2359643391597569*x^8 + 1451337173692670*x^7 + 299898985022747*x^6 - 342259375179865*x^5 + 12739811734177*x^4 + 32226422103315*x^3 - 4075128443628*x^2 - 933606953532*x + 120479225931, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - 220 x^{42} - 33 x^{41} + 21340 x^{40} + 3531 x^{39} - 1212739 x^{38} - 76087 x^{37} + 45279839 x^{36} - 6153015 x^{35} - 1178457973 x^{34} + 480261528 x^{33} + 22064059116 x^{32} - 16165568980 x^{31} - 301173777069 x^{30} + 331232200717 x^{29} + 2991668736100 x^{28} - 4526855999655 x^{27} - 21225667294843 x^{26} + 42660979223775 x^{25} + 102737513917819 x^{24} - 279251313680889 x^{23} - 301517323082924 x^{22} + 1257117283481356 x^{21} + 299309842984273 x^{20} - 3794529543097249 x^{19} + 1312694870221295 x^{18} + 7347001349815809 x^{17} - 6029837555150244 x^{16} - 8398422330744292 x^{15} + 11523515860045816 x^{14} + 4393746476170084 x^{13} - 12203382842191332 x^{12} + 957434807749984 x^{11} + 7365821541199693 x^{10} - 2661785715378317 x^{9} - 2359643391597569 x^{8} + 1451337173692670 x^{7} + 299898985022747 x^{6} - 342259375179865 x^{5} + 12739811734177 x^{4} + 32226422103315 x^{3} - 4075128443628 x^{2} - 933606953532 x + 120479225931 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[44, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2885428559557085084648615903962269104974580506944665166312236845353556846511909399754484184086322784423828125=5^{33}\cdot 11^{82}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $291.75$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(605=5\cdot 11^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{605}(1,·)$, $\chi_{605}(386,·)$, $\chi_{605}(263,·)$, $\chi_{605}(142,·)$, $\chi_{605}(527,·)$, $\chi_{605}(144,·)$, $\chi_{605}(529,·)$, $\chi_{605}(276,·)$, $\chi_{605}(153,·)$, $\chi_{605}(538,·)$, $\chi_{605}(32,·)$, $\chi_{605}(417,·)$, $\chi_{605}(34,·)$, $\chi_{605}(419,·)$, $\chi_{605}(166,·)$, $\chi_{605}(551,·)$, $\chi_{605}(43,·)$, $\chi_{605}(428,·)$, $\chi_{605}(307,·)$, $\chi_{605}(309,·)$, $\chi_{605}(56,·)$, $\chi_{605}(441,·)$, $\chi_{605}(318,·)$, $\chi_{605}(197,·)$, $\chi_{605}(582,·)$, $\chi_{605}(199,·)$, $\chi_{605}(584,·)$, $\chi_{605}(331,·)$, $\chi_{605}(208,·)$, $\chi_{605}(593,·)$, $\chi_{605}(87,·)$, $\chi_{605}(472,·)$, $\chi_{605}(89,·)$, $\chi_{605}(474,·)$, $\chi_{605}(221,·)$, $\chi_{605}(98,·)$, $\chi_{605}(483,·)$, $\chi_{605}(362,·)$, $\chi_{605}(364,·)$, $\chi_{605}(111,·)$, $\chi_{605}(496,·)$, $\chi_{605}(373,·)$, $\chi_{605}(252,·)$, $\chi_{605}(254,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{18} - \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{5}$, $\frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{6}$, $\frac{1}{3} a^{23} + \frac{1}{3} a^{15} - \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{10} - \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{27} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{28} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{3} a^{29} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{5}$, $\frac{1}{3} a^{30} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6}$, $\frac{1}{3} a^{31} + \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7}$, $\frac{1}{9} a^{32} + \frac{1}{9} a^{31} - \frac{1}{9} a^{30} - \frac{1}{9} a^{28} - \frac{1}{9} a^{27} - \frac{1}{9} a^{26} + \frac{1}{9} a^{25} - \frac{1}{9} a^{24} - \frac{1}{9} a^{22} - \frac{1}{9} a^{21} + \frac{1}{9} a^{20} + \frac{1}{9} a^{18} + \frac{1}{9} a^{17} + \frac{1}{9} a^{16} - \frac{1}{9} a^{15} + \frac{4}{9} a^{14} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{4}{9} a^{12} - \frac{2}{9} a^{11} + \frac{4}{9} a^{9} + \frac{4}{9} a^{7} + \frac{4}{9} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{9} a^{3} - \frac{4}{9} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{9} a^{33} + \frac{1}{9} a^{31} + \frac{1}{9} a^{30} - \frac{1}{9} a^{29} - \frac{1}{9} a^{26} + \frac{1}{9} a^{25} + \frac{1}{9} a^{24} - \frac{1}{9} a^{23} - \frac{1}{9} a^{21} - \frac{1}{9} a^{20} + \frac{1}{9} a^{19} - \frac{2}{9} a^{16} + \frac{2}{9} a^{15} - \frac{1}{9} a^{14} + \frac{1}{9} a^{13} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{2}{9} a^{11} + \frac{1}{9} a^{10} - \frac{1}{9} a^{9} + \frac{1}{9} a^{8} - \frac{1}{9} a^{7} + \frac{4}{9} a^{6} - \frac{4}{9} a^{5} + \frac{1}{9} a^{4} - \frac{2}{9} a^{3} - \frac{2}{9} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{9} a^{34} + \frac{1}{9} a^{28} - \frac{1}{9} a^{26} - \frac{1}{9} a^{18} + \frac{1}{9} a^{16} - \frac{1}{3} a^{14} - \frac{2}{9} a^{12} - \frac{4}{9} a^{10} - \frac{4}{9} a^{8} - \frac{4}{9} a^{6} - \frac{2}{9} a^{4} - \frac{2}{9} a^{2}$, $\frac{1}{9} a^{35} + \frac{1}{9} a^{29} - \frac{1}{9} a^{27} - \frac{1}{9} a^{19} + \frac{1}{9} a^{17} - \frac{1}{3} a^{15} - \frac{2}{9} a^{13} - \frac{4}{9} a^{11} - \frac{4}{9} a^{9} - \frac{4}{9} a^{7} - \frac{2}{9} a^{5} - \frac{2}{9} a^{3}$, $\frac{1}{9} a^{36} + \frac{1}{9} a^{30} - \frac{1}{9} a^{28} - \frac{1}{9} a^{20} + \frac{1}{9} a^{18} - \frac{1}{3} a^{16} - \frac{2}{9} a^{14} - \frac{4}{9} a^{12} - \frac{4}{9} a^{10} - \frac{4}{9} a^{8} - \frac{2}{9} a^{6} - \frac{2}{9} a^{4}$, $\frac{1}{9} a^{37} + \frac{1}{9} a^{31} - \frac{1}{9} a^{29} - \frac{1}{9} a^{21} + \frac{1}{9} a^{19} - \frac{2}{9} a^{15} - \frac{4}{9} a^{13} + \frac{2}{9} a^{11} - \frac{1}{9} a^{9} - \frac{2}{9} a^{7} + \frac{1}{9} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{2259} a^{38} + \frac{5}{251} a^{37} + \frac{53}{2259} a^{36} - \frac{25}{2259} a^{35} + \frac{47}{2259} a^{34} - \frac{34}{2259} a^{33} + \frac{14}{753} a^{32} + \frac{139}{2259} a^{31} - \frac{257}{2259} a^{30} - \frac{41}{251} a^{29} + \frac{67}{2259} a^{28} + \frac{179}{2259} a^{27} - \frac{47}{753} a^{26} + \frac{124}{2259} a^{25} + \frac{77}{753} a^{24} - \frac{230}{2259} a^{23} - \frac{35}{251} a^{22} + \frac{221}{2259} a^{21} - \frac{28}{2259} a^{20} - \frac{25}{251} a^{19} + \frac{227}{2259} a^{18} - \frac{257}{2259} a^{17} - \frac{227}{2259} a^{16} - \frac{169}{2259} a^{15} - \frac{185}{2259} a^{14} - \frac{851}{2259} a^{13} + \frac{775}{2259} a^{12} - \frac{311}{2259} a^{11} + \frac{367}{753} a^{10} + \frac{259}{2259} a^{9} + \frac{242}{2259} a^{8} - \frac{653}{2259} a^{7} - \frac{268}{753} a^{6} + \frac{365}{2259} a^{5} - \frac{320}{753} a^{4} - \frac{271}{753} a^{3} - \frac{1036}{2259} a^{2} - \frac{272}{753} a - \frac{45}{251}$, $\frac{1}{1619703} a^{39} - \frac{155}{1619703} a^{38} - \frac{36557}{1619703} a^{37} + \frac{5188}{1619703} a^{36} - \frac{12272}{1619703} a^{35} + \frac{13756}{539901} a^{34} + \frac{62815}{1619703} a^{33} - \frac{22568}{1619703} a^{32} - \frac{3914}{539901} a^{31} + \frac{4795}{539901} a^{30} - \frac{4757}{59989} a^{29} - \frac{86764}{1619703} a^{28} - \frac{40459}{1619703} a^{27} + \frac{16051}{539901} a^{26} - \frac{64}{59989} a^{25} + \frac{82246}{539901} a^{24} + \frac{185492}{1619703} a^{23} - \frac{253039}{1619703} a^{22} - \frac{38504}{539901} a^{21} + \frac{3397}{59989} a^{20} - \frac{56794}{539901} a^{19} + \frac{83608}{1619703} a^{18} - \frac{79849}{1619703} a^{17} - \frac{448235}{1619703} a^{16} - \frac{45772}{539901} a^{15} - \frac{19438}{179967} a^{14} - \frac{2968}{1619703} a^{13} - \frac{18014}{1619703} a^{12} - \frac{35023}{179967} a^{11} + \frac{469807}{1619703} a^{10} - \frac{3115}{1619703} a^{9} - \frac{27622}{179967} a^{8} + \frac{768340}{1619703} a^{7} - \frac{249973}{1619703} a^{6} + \frac{2093}{1619703} a^{5} + \frac{795595}{1619703} a^{4} + \frac{301120}{1619703} a^{3} - \frac{24661}{539901} a^{2} - \frac{12199}{179967} a - \frac{1518}{59989}$, $\frac{1}{1619703} a^{40} - \frac{118}{539901} a^{38} - \frac{2645}{59989} a^{37} + \frac{914}{59989} a^{36} + \frac{52781}{1619703} a^{35} - \frac{68213}{1619703} a^{34} - \frac{2688}{59989} a^{33} - \frac{80371}{1619703} a^{32} - \frac{30904}{539901} a^{31} - \frac{19934}{539901} a^{30} + \frac{73304}{1619703} a^{29} - \frac{10591}{179967} a^{28} + \frac{238612}{1619703} a^{27} + \frac{16547}{539901} a^{26} + \frac{91}{2151} a^{25} - \frac{27847}{1619703} a^{24} + \frac{82807}{539901} a^{23} + \frac{180898}{1619703} a^{22} - \frac{114}{59989} a^{21} + \frac{13547}{179967} a^{20} - \frac{104195}{1619703} a^{19} - \frac{83969}{1619703} a^{18} - \frac{228574}{1619703} a^{17} - \frac{680644}{1619703} a^{16} - \frac{107732}{539901} a^{15} - \frac{648055}{1619703} a^{14} - \frac{621454}{1619703} a^{13} - \frac{342625}{1619703} a^{12} + \frac{9505}{1619703} a^{11} - \frac{526394}{1619703} a^{10} - \frac{609533}{1619703} a^{9} - \frac{333365}{1619703} a^{8} - \frac{391505}{1619703} a^{7} + \frac{218954}{539901} a^{6} + \frac{787322}{1619703} a^{5} - \frac{22819}{539901} a^{4} - \frac{386110}{1619703} a^{3} + \frac{39223}{179967} a^{2} + \frac{22576}{179967} a + \frac{1081}{59989}$, $\frac{1}{1619703} a^{41} - \frac{31}{539901} a^{38} - \frac{13060}{539901} a^{37} - \frac{60907}{1619703} a^{36} - \frac{8687}{1619703} a^{35} - \frac{16306}{539901} a^{34} + \frac{48878}{1619703} a^{33} - \frac{3045}{59989} a^{32} + \frac{740}{179967} a^{31} + \frac{269201}{1619703} a^{30} + \frac{5177}{539901} a^{29} + \frac{114961}{1619703} a^{28} + \frac{24112}{179967} a^{27} - \frac{46162}{539901} a^{26} - \frac{108979}{1619703} a^{25} + \frac{41803}{539901} a^{24} + \frac{107638}{1619703} a^{23} + \frac{82292}{539901} a^{22} - \frac{34412}{539901} a^{21} + \frac{216202}{1619703} a^{20} - \frac{68666}{1619703} a^{19} + \frac{244835}{1619703} a^{18} + \frac{170180}{1619703} a^{17} + \frac{26842}{179967} a^{16} - \frac{217270}{1619703} a^{15} - \frac{592084}{1619703} a^{14} + \frac{97346}{1619703} a^{13} + \frac{727981}{1619703} a^{12} - \frac{363071}{1619703} a^{11} + \frac{675274}{1619703} a^{10} + \frac{293329}{1619703} a^{9} - \frac{87326}{1619703} a^{8} - \frac{233047}{539901} a^{7} - \frac{196138}{1619703} a^{6} - \frac{199592}{539901} a^{5} - \frac{780298}{1619703} a^{4} - \frac{167906}{539901} a^{3} + \frac{129827}{539901} a^{2} + \frac{6832}{59989} a + \frac{29297}{59989}$, $\frac{1}{4859109} a^{42} - \frac{1}{4859109} a^{41} + \frac{1}{4859109} a^{40} + \frac{1}{4859109} a^{39} - \frac{953}{4859109} a^{38} - \frac{8965}{179967} a^{37} - \frac{8248}{179967} a^{36} - \frac{127897}{4859109} a^{35} - \frac{8479}{539901} a^{34} + \frac{117662}{4859109} a^{33} - \frac{21473}{1619703} a^{32} - \frac{397603}{4859109} a^{31} - \frac{1432}{19359} a^{30} + \frac{245053}{1619703} a^{29} + \frac{264907}{4859109} a^{28} - \frac{13391}{179967} a^{27} + \frac{2275}{20331} a^{26} + \frac{60892}{4859109} a^{25} - \frac{21824}{179967} a^{24} + \frac{761458}{4859109} a^{23} + \frac{20159}{179967} a^{22} - \frac{75719}{4859109} a^{21} + \frac{74908}{539901} a^{20} - \frac{29734}{4859109} a^{19} + \frac{308258}{4859109} a^{18} - \frac{242749}{4859109} a^{17} + \frac{1191890}{4859109} a^{16} + \frac{574343}{1619703} a^{15} - \frac{303655}{4859109} a^{14} + \frac{92150}{539901} a^{13} + \frac{162184}{539901} a^{12} + \frac{89071}{4859109} a^{11} + \frac{2148626}{4859109} a^{10} + \frac{133745}{1619703} a^{9} - \frac{465068}{1619703} a^{8} - \frac{104486}{4859109} a^{7} - \frac{131294}{1619703} a^{6} + \frac{364070}{1619703} a^{5} + \frac{2102399}{4859109} a^{4} + \frac{804382}{1619703} a^{3} + \frac{234865}{539901} a^{2} + \frac{3865}{179967} a - \frac{2318}{59989}$, $\frac{1}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{43} - \frac{19071909671727073407462389728077671067063143948444609232475786445284967847134284377510059063473330416282839539982070990458840118767379437050096135738731463819814066645885926706465878890854900959512115171881925763627566934680895308764545859120030261788211629504137183594}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{42} + \frac{74908266623733307943937618775165848088787268571069857844570696656772192241512947889460756140921541070622707051402060093130380268525739034569427277345286144190423829424574446187618686060060026163110944635802297104397124255347362468935312411094882788035599466112964403253}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{41} - \frac{2452859064895549448320964921661745130832708849572838518658219067556359386724290402403695336317450382394491912876492092129461777146821839127458921818977404611440100733968794346991251268401441870600840632096545696181726313368566626800787367460084045410918782902858880143}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{40} + \frac{276215962997911234149085602819337343127720332019125983637923394554653593681264429650954858878218384919074272145689872148890571174652229073894526725948552282044678354979511394162681331100143702244294955415767552277289334626316984717904909668927715792484076753363425465770}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{39} + \frac{19560566092406641655984215108010196325363097361799022707734559624263107818029136148609261980548662150528749264617120888265143631587596593854273608371542907316017677275031743523174278992464283986652163709296661425133552493062611554696649978709214834908347553688130100735572}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{38} + \frac{12136534700423114234698279118103599840801991030494402873008641303170657438411564407917017855613942859680791586476195915291789196492430881005183829089088239977462400967327999341044687044852052214944818592578682945965953793488234246086530913496674093141748437248524266723790369}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{37} - \frac{59743193327156516308996055669903520786989755401757198374401176959255374729506585397924293919904459816521119514628234094046293964082186393706405714634878056716954001152354302246630552880274815612839082704562948086682370600055361049400286554541517017205807318467530598825516941}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{36} + \frac{13725162716997304831427149122563994925607441192893305230718582872321461691079780527864999138109001855973388411347802286617930901258377044586353254183200540597278832694205132841647967765253268678013963301726840275319030761970507347354013418869847632956354235366899175749633140}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{35} - \frac{11656901159560102581379790164575152789773239171827509214598710059285727135572647158755455518054945513552002669372987806179178417351905333241852184680896204984922951095891262949976570375638879711362737762477368658206332530395886004328492922398465354560562401720859305110423647}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{34} + \frac{6446785761489025179513067254630873630904753333526209039691485849083102736204478168316637495915839850222536935025234298960607106540420122439845239142827743756302102109380226529208892256046378206473477034195990225617763668058186128530229533270652365774808768449046216891007514}{146753879385945234426605116553059771107049843677822054380776512331122784371579364074944384830888735375305801635588979492243966196808934612723863174724488766815825297185662689128231742280831368270510084933733026985593136813482584173675786953933747221970134835865048280224382749} a^{33} + \frac{63565089144769982442315092503177126761764247244901060019202007154374631237625399101229284090993116283062517835603592387813867075329918105316184365154620471051886623529762682780863942168730028567433459005283892519183092713951426832528042821508152516828017548794995313048864606}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{32} - \frac{204657873122847358330005985987394445359656395511409039076756309040344852570895812856735468977195216653645525832561163092333993865008841722710899949590700364055723210902157997073735608286139671047506613282425914738635577060592676996313123215561203605807569218468593574687228886}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{31} + \frac{57131806648575184904368653890145161325550949636096879689250293007384303032530480562521527219507016746690184002527384269475665516155327135792832070250192837564383887825774115807072786304327381836468075678482650299602087239892356383444984286990742260044112446626078331473099850}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{30} - \frac{21646035462243468485128717469823985012161348866646942919373609782672452659984007647121503031769277685534972605189549985658562144454997245346147437341542376634156389071075791163653658081333104167263443544263744766967733878564510824034550617599432387322338647644207055857842934}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{29} - \frac{67155503108956491656455825290484479630517516884567340021620974714385995476633512352565640030655501152423364973531182510704099881596595997821523484297760468656612485109904378550106230773229407181395396453940171239631055376153750548594099161706453601359689639457498757660522264}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{28} + \frac{176431561146716358866299257400238999208415317017754565326044331871706521836443216447766848810996744279015078757904480292380438246750653742924193434593064125132589225012233563943966373339740950816127190896186351904066435175691448174668732996283466845417304273363161128212552978}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{27} + \frac{103199967872880464960569647489866973610053698202269641914176682786789479566908601609653703084340060307440152017225687464582674420215593250531634025336228808864532236081143068851551145514918327197573301371443558319775289773721814754492040917265684588556552246741395002853255686}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{26} + \frac{1019327902537984039118525120281268376196565976694636136637137301051747737931214132046372318511866185086032552235415551700895509209730905457948299836132291258743303971160545555270032593252398354306132694269542273479722535464165462948436292902866809153809825769045690714763661}{16305986598438359380733901839228863456338871519758006042308501370124753819064373786104931647876526152811755737287664388027107355200992734747095908302720974090647255242851409903136860253425707585612231659303669665065904090386953797075087439325971913552237203985005364469375861} a^{25} + \frac{35085045888857737395587533144640806326344160894146581790415147593324699813021777686056251007468957571986267665418977012833004197786269305662074722631611198428832650993367836069408380472064141186495751006147921944793629939742212680249178938735234914421577801497951062535648045}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{24} + \frac{13984932235159164210163613959300563298130471645614532690280110632121026431665737115746139221484602761617408798417337178595680966942293689321237392592854219112757894058755209453962837321342413487360224580497065262474813233591647239690416008375692163287135143695796141208434836}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{23} + \frac{145419705154409133825893825226263229382712905316039374616637168137867951633240148527568348668949316271309473497153450125465889352613273691981835372253822999260187462034721249516897625232238992141833960358160485851532446132321297492670888643115738233858995332628220132918455142}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{22} + \frac{8202779769050518620836059382915449550123278471936607436395516470060862137135687805930977032046007386273228622092664135871439756076317384325121048002983165605384584719729234775692835855040290602379523633618187403052890763134389587930677947583422881989145624484784343980475805}{146753879385945234426605116553059771107049843677822054380776512331122784371579364074944384830888735375305801635588979492243966196808934612723863174724488766815825297185662689128231742280831368270510084933733026985593136813482584173675786953933747221970134835865048280224382749} a^{21} - \frac{219254635937860549740297788839768909452889898886103644691464386462495475933425188009190662238031086217280962267914446390021786528287822760655816380007272049999613686807605062402897172425234458829725913959688374345804521468847000876402622327705808353110650756108790567601874810}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{20} - \frac{76972578217698202063126392673073564113147876396304847921458349944858592273508400160197908300528521416465618172001862677035580950533635465682043075430726321843337910502220144547997017492019313745983453603604442437092371812028816603015043096621857248938617563292402594891718848}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{19} + \frac{162477637523215724210833820632600143906880498502819830888418837896565101724172444550469395847116123830751871316363444042662561031133830455530428546375126564709932808156709160155750674500514132594786532229970633745637764968196166350126182483470196511700909910761893982249721}{5262091292723135895774685454093776653240831048208758922019874944143844857945076799499997862462145889951204042710361814462931058849722755037907444512033461758336365237732925108183608288954112806512313802404769891913698132754355607821044153726708067720044675389583404470196991} a^{18} - \frac{200200553046867978023648739537484659557123556523119925609611621887052865605145816045506870317262627656588834469208069005203760111538728839206766289217623950848043264439981110090240745809810787258337056680110841871620011363386489493008356559788243383461136300152157308090059890}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{17} - \frac{178994684454391222187524382679675952115555059046385236433161384401442314241462146865978460066625025207787370948971855792637143862679363131454491028548796290997387154173254793776718629869730454486208148552524141535149500136884769166818265316459681497427469354265179617686953032}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{16} - \frac{514475984260040067931351597539161875731976089314458185001280424006559381770816982648046887330583331189012640637050379895119634658305935655804884565302787182949476719410446038152769208395775292652331823150151115171166678089910128405093418029331548518346644313698616495681438965}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{15} + \frac{246791353381343455682313665130535647704756253782326648325087911047508415102828531337736488767095593786946336810886184022334854832491567419985986218100031170644098783149995651866385326744327648004879593782241594863693368298642550587344129977474115463188348199765563826942548}{16305986598438359380733901839228863456338871519758006042308501370124753819064373786104931647876526152811755737287664388027107355200992734747095908302720974090647255242851409903136860253425707585612231659303669665065904090386953797075087439325971913552237203985005364469375861} a^{14} + \frac{113733345368581279283196660184059763210415751817546509967523502769666021148102042605717310103541743830017699345157180539502456878655127672153902660339059133182087861841213354220597632830697240991104418242469644722720436643809744771966369640351055629527667754126779434319755311}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{13} + \frac{338743289329323571721142400303816207434147574640615715512447566780239153230474442354058052552627289323504878766933128785323794512031537861411610810274132058034727129111347274108805407165839851154246243644549186507634740283600932098904598425697042027392544459840046708851467345}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{12} + \frac{239107096634136387244637449023036795859910167210502990601354952477766915846468872113601311522173037882190939045255215913856487290035043176594749150987961307441762367072819024533159861870047058301187033421023792958836976830963398155813716176512804984315469212537984938411143707}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{11} + \frac{154786922269763803392163656778396999860140268222426259806713131497433328742444560167000787835211149718936793821641995033520945789883772462910700241002822719383948851308211722815470099942125449031303335935246630654197680504712288182102483300990534048361816860281039915470173485}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{10} - \frac{45274162302247561071211636041642340177713441691216209459840578456905904060801108938913017216764567301612374681884474685863281975646364808853544768809475090396552011071080669618527494896739725801741308440412889250687938996079915215943203875170791082391774601570600973186556605}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{9} + \frac{88882425618074874711105680610798117403485871518234913704776617281932676961893943195302993739284207839634077469688240561519592425095934486511605308416256676175702601510249371312854150458813310233006504112208269733940235030059637482952765815095635113658002053680215258226191613}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{8} + \frac{9183102930670202795262531840466366686582244463332063503299958267591723713053020083780059487010609196919014259010846415868966712830591587242228872989560963017601965316804830961355978153273358028893053728465152668998642435628345164462577584678218106912523463167221521228912888}{146753879385945234426605116553059771107049843677822054380776512331122784371579364074944384830888735375305801635588979492243966196808934612723863174724488766815825297185662689128231742280831368270510084933733026985593136813482584173675786953933747221970134835865048280224382749} a^{7} + \frac{72931936647221353393061032522581580734896634976386613222755386421131026452113459375598534596835903462804350148774341122950990620726836292910131245438169633712027404187612596357618877396966096333658190068266061121010622409709033347950963410759655093065831148877469710805579776}{146753879385945234426605116553059771107049843677822054380776512331122784371579364074944384830888735375305801635588979492243966196808934612723863174724488766815825297185662689128231742280831368270510084933733026985593136813482584173675786953933747221970134835865048280224382749} a^{6} + \frac{483672372364560489219151389596116784246275060129581751979254023011912098958830656669129303983926336908654795293091509818267384812703921498044057181830949557036964538501248955030225429607143062692198459852673607339709238393814472164823319183532503751387766546843408422174161856}{1320784914473507109839446048977537939963448593100398489426988610980105059344214276674499463477998618377752214720300815430195695771280411514514768572520398901342427674670964202154085680527482314434590764403597242870338231321343257563082082585403724997731213522785434522019444741} a^{5} + \frac{934246376236170643505658525935257303488742004798637107533458029821767154752144512558900082824212728013726045404634664774557348626795570644075721370015447566110446545146124559870889764029649828239284049755605825733677905019699588464443672400009248718941617551474335829119605}{16305986598438359380733901839228863456338871519758006042308501370124753819064373786104931647876526152811755737287664388027107355200992734747095908302720974090647255242851409903136860253425707585612231659303669665065904090386953797075087439325971913552237203985005364469375861} a^{4} + \frac{210556509791658845018918568521286285129715983212959260967192736428666703916032839471548830430412292435828628908333530117362821370526969222127987815814488094218334072618802564840322001673680157089354532804881209572997257231537633439682418826345449422636920890159515831675845205}{440261638157835703279815349659179313321149531033466163142329536993368353114738092224833154492666206125917404906766938476731898590426803838171589524173466300447475891556988067384695226842494104811530254801199080956779410440447752521027360861801241665910404507595144840673148247} a^{3} + \frac{61038032725714862390188436456101466314815426751935077340990053828944569752512394060436405804197150457521151096750721791919137710842413783495351316622990226748767334388194830070720256326919431464857716179968195337133464036926661837106867868920013134992574641898906176759777997}{146753879385945234426605116553059771107049843677822054380776512331122784371579364074944384830888735375305801635588979492243966196808934612723863174724488766815825297185662689128231742280831368270510084933733026985593136813482584173675786953933747221970134835865048280224382749} a^{2} - \frac{23860263211344623736904026328587937809449747366925889645890242449685973330348862732931592435047050506770257391278886240319372824871606719409326854080732755981878635492840636959740832279085296995051879823807658699676477091038024725028915558364165832785438310134218279063310695}{48917959795315078142201705517686590369016614559274018126925504110374261457193121358314794943629578458435267211862993164081322065602978204241287724908162922271941765728554229709410580760277122756836694977911008995197712271160861391225262317977915740656711611955016093408127583} a + \frac{5660108000386529260122665698147963741030921865987073115680837906557067807694564962667524622483392238767449511955805343178935381484706573091883449153507421440665534268626169985718512065745671286072616521977397756841641259639906145915252106947409999020809833929913276649377190}{16305986598438359380733901839228863456338871519758006042308501370124753819064373786104931647876526152811755737287664388027107355200992734747095908302720974090647255242851409903136860253425707585612231659303669665065904090386953797075087439325971913552237203985005364469375861}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $43$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.15125.1, 11.11.672749994932560009201.1, 22.22.22099245882898413967719412126414511946210986328125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ ${\href{/LocalNumberField/3.4.0.1}{4} }^{11}$ R $44$ R $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/19.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $22^{2}$ $44$ $44$ $44$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
11Data not computed