↑

Properties

Label 44.44.1185571760...9937.1
Degree $44$
Signature $[44, 0]$
Discriminant $17^{33}\cdot 23^{40}$
Root discriminant $144.80$
Ramified primes $17, 23$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![633419, -661689, -123685094, -575642581, 1754129835, 11503450135, -7705956625, -89721768777, 6367227620, 385052498708, 52157657666, -1049247779809, -212369843472, 1959519375393, 410982495471, -2625944308261, -499389386269, 2600730832622, 413581457240, -1941009161875, -240498796164, 1105535644003, 98017226696, -484180445639, -26719079861, 163597162935, 3978279143, -42622785169, 156064766, 8524105316, -245279219, -1296806573, 66390103, 147876072, -10523213, -12352221, 1098565, 729106, -76390, -28645, 3406, 669, -88, -7, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 7*x^43 - 88*x^42 + 669*x^41 + 3406*x^40 - 28645*x^39 - 76390*x^38 + 729106*x^37 + 1098565*x^36 - 12352221*x^35 - 10523213*x^34 + 147876072*x^33 + 66390103*x^32 - 1296806573*x^31 - 245279219*x^30 + 8524105316*x^29 + 156064766*x^28 - 42622785169*x^27 + 3978279143*x^26 + 163597162935*x^25 - 26719079861*x^24 - 484180445639*x^23 + 98017226696*x^22 + 1105535644003*x^21 - 240498796164*x^20 - 1941009161875*x^19 + 413581457240*x^18 + 2600730832622*x^17 - 499389386269*x^16 - 2625944308261*x^15 + 410982495471*x^14 + 1959519375393*x^13 - 212369843472*x^12 - 1049247779809*x^11 + 52157657666*x^10 + 385052498708*x^9 + 6367227620*x^8 - 89721768777*x^7 - 7705956625*x^6 + 11503450135*x^5 + 1754129835*x^4 - 575642581*x^3 - 123685094*x^2 - 661689*x + 633419)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 7*x^43 - 88*x^42 + 669*x^41 + 3406*x^40 - 28645*x^39 - 76390*x^38 + 729106*x^37 + 1098565*x^36 - 12352221*x^35 - 10523213*x^34 + 147876072*x^33 + 66390103*x^32 - 1296806573*x^31 - 245279219*x^30 + 8524105316*x^29 + 156064766*x^28 - 42622785169*x^27 + 3978279143*x^26 + 163597162935*x^25 - 26719079861*x^24 - 484180445639*x^23 + 98017226696*x^22 + 1105535644003*x^21 - 240498796164*x^20 - 1941009161875*x^19 + 413581457240*x^18 + 2600730832622*x^17 - 499389386269*x^16 - 2625944308261*x^15 + 410982495471*x^14 + 1959519375393*x^13 - 212369843472*x^12 - 1049247779809*x^11 + 52157657666*x^10 + 385052498708*x^9 + 6367227620*x^8 - 89721768777*x^7 - 7705956625*x^6 + 11503450135*x^5 + 1754129835*x^4 - 575642581*x^3 - 123685094*x^2 - 661689*x + 633419, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - 7 x^{43} - 88 x^{42} + 669 x^{41} + 3406 x^{40} - 28645 x^{39} - 76390 x^{38} + 729106 x^{37} + 1098565 x^{36} - 12352221 x^{35} - 10523213 x^{34} + 147876072 x^{33} + 66390103 x^{32} - 1296806573 x^{31} - 245279219 x^{30} + 8524105316 x^{29} + 156064766 x^{28} - 42622785169 x^{27} + 3978279143 x^{26} + 163597162935 x^{25} - 26719079861 x^{24} - 484180445639 x^{23} + 98017226696 x^{22} + 1105535644003 x^{21} - 240498796164 x^{20} - 1941009161875 x^{19} + 413581457240 x^{18} + 2600730832622 x^{17} - 499389386269 x^{16} - 2625944308261 x^{15} + 410982495471 x^{14} + 1959519375393 x^{13} - 212369843472 x^{12} - 1049247779809 x^{11} + 52157657666 x^{10} + 385052498708 x^{9} + 6367227620 x^{8} - 89721768777 x^{7} - 7705956625 x^{6} + 11503450135 x^{5} + 1754129835 x^{4} - 575642581 x^{3} - 123685094 x^{2} - 661689 x + 633419 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[44, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(118557176056203989275209857639450624638781471578957277433348778616997634183163033047395826969937=17^{33}\cdot 23^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $144.80$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $17, 23$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(391=17\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{391}(256,·)$, $\chi_{391}(1,·)$, $\chi_{391}(259,·)$, $\chi_{391}(4,·)$, $\chi_{391}(140,·)$, $\chi_{391}(13,·)$, $\chi_{391}(271,·)$, $\chi_{391}(16,·)$, $\chi_{391}(18,·)$, $\chi_{391}(302,·)$, $\chi_{391}(154,·)$, $\chi_{391}(285,·)$, $\chi_{391}(288,·)$, $\chi_{391}(35,·)$, $\chi_{391}(169,·)$, $\chi_{391}(370,·)$, $\chi_{391}(174,·)$, $\chi_{391}(47,·)$, $\chi_{391}(305,·)$, $\chi_{391}(50,·)$, $\chi_{391}(307,·)$, $\chi_{391}(52,·)$, $\chi_{391}(55,·)$, $\chi_{391}(186,·)$, $\chi_{391}(188,·)$, $\chi_{391}(64,·)$, $\chi_{391}(324,·)$, $\chi_{391}(353,·)$, $\chi_{391}(72,·)$, $\chi_{391}(208,·)$, $\chi_{391}(81,·)$, $\chi_{391}(220,·)$, $\chi_{391}(225,·)$, $\chi_{391}(98,·)$, $\chi_{391}(101,·)$, $\chi_{391}(358,·)$, $\chi_{391}(361,·)$, $\chi_{391}(234,·)$, $\chi_{391}(239,·)$, $\chi_{391}(242,·)$, $\chi_{391}(118,·)$, $\chi_{391}(123,·)$, $\chi_{391}(200,·)$, $\chi_{391}(254,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{47} a^{31} + \frac{10}{47} a^{30} + \frac{14}{47} a^{29} + \frac{3}{47} a^{27} + \frac{17}{47} a^{26} - \frac{21}{47} a^{25} + \frac{5}{47} a^{24} + \frac{3}{47} a^{23} - \frac{6}{47} a^{22} + \frac{10}{47} a^{21} - \frac{7}{47} a^{20} - \frac{4}{47} a^{18} + \frac{8}{47} a^{17} + \frac{17}{47} a^{16} - \frac{20}{47} a^{15} - \frac{15}{47} a^{14} - \frac{10}{47} a^{13} - \frac{22}{47} a^{12} + \frac{11}{47} a^{11} - \frac{16}{47} a^{10} + \frac{14}{47} a^{9} + \frac{20}{47} a^{8} + \frac{23}{47} a^{7} + \frac{13}{47} a^{6} + \frac{5}{47} a^{5} - \frac{12}{47} a^{4} - \frac{3}{47} a^{3} - \frac{2}{47} a^{2} + \frac{7}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{32} + \frac{8}{47} a^{30} + \frac{1}{47} a^{29} + \frac{3}{47} a^{28} - \frac{13}{47} a^{27} - \frac{3}{47} a^{26} - \frac{20}{47} a^{25} + \frac{11}{47} a^{23} + \frac{23}{47} a^{22} - \frac{13}{47} a^{21} + \frac{23}{47} a^{20} - \frac{4}{47} a^{19} + \frac{1}{47} a^{18} - \frac{16}{47} a^{17} - \frac{2}{47} a^{16} - \frac{3}{47} a^{15} - \frac{1}{47} a^{14} - \frac{16}{47} a^{13} - \frac{4}{47} a^{12} + \frac{15}{47} a^{11} - \frac{14}{47} a^{10} + \frac{21}{47} a^{9} + \frac{11}{47} a^{8} + \frac{18}{47} a^{7} + \frac{16}{47} a^{6} - \frac{15}{47} a^{5} + \frac{23}{47} a^{4} - \frac{19}{47} a^{3} - \frac{20}{47} a^{2} - \frac{23}{47} a$, $\frac{1}{94} a^{33} - \frac{1}{94} a^{32} - \frac{1}{94} a^{31} - \frac{3}{94} a^{30} - \frac{15}{47} a^{29} + \frac{31}{94} a^{28} - \frac{17}{94} a^{27} + \frac{9}{47} a^{26} - \frac{13}{47} a^{25} + \frac{13}{94} a^{24} + \frac{16}{47} a^{23} + \frac{9}{47} a^{22} + \frac{20}{47} a^{21} - \frac{11}{94} a^{20} - \frac{21}{47} a^{19} + \frac{19}{94} a^{18} - \frac{11}{94} a^{17} - \frac{13}{94} a^{16} + \frac{41}{94} a^{15} - \frac{21}{94} a^{14} - \frac{39}{94} a^{13} + \frac{29}{94} a^{12} + \frac{13}{94} a^{11} + \frac{19}{47} a^{10} - \frac{21}{47} a^{9} + \frac{15}{94} a^{8} + \frac{13}{47} a^{7} - \frac{7}{94} a^{6} + \frac{20}{47} a^{5} - \frac{14}{47} a^{4} - \frac{21}{94} a^{3} - \frac{16}{47} a^{2} + \frac{7}{94} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{94} a^{34} + \frac{23}{94} a^{30} - \frac{35}{94} a^{29} + \frac{10}{47} a^{28} - \frac{13}{94} a^{27} - \frac{20}{47} a^{26} - \frac{43}{94} a^{25} - \frac{29}{94} a^{24} - \frac{5}{47} a^{23} - \frac{7}{47} a^{22} + \frac{43}{94} a^{21} - \frac{35}{94} a^{20} - \frac{31}{94} a^{19} - \frac{3}{47} a^{18} - \frac{12}{47} a^{17} - \frac{1}{47} a^{16} + \frac{14}{47} a^{15} - \frac{14}{47} a^{14} + \frac{6}{47} a^{13} + \frac{20}{47} a^{12} + \frac{31}{94} a^{11} - \frac{1}{47} a^{10} - \frac{23}{94} a^{9} - \frac{45}{94} a^{8} - \frac{41}{94} a^{7} + \frac{23}{94} a^{6} + \frac{1}{47} a^{5} + \frac{43}{94} a^{4} - \frac{9}{94} a^{3} + \frac{21}{94} a^{2} + \frac{18}{47} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{94} a^{35} - \frac{1}{94} a^{31} + \frac{7}{94} a^{30} - \frac{17}{47} a^{29} - \frac{13}{94} a^{28} - \frac{9}{47} a^{27} + \frac{19}{94} a^{26} + \frac{5}{94} a^{25} - \frac{18}{47} a^{24} + \frac{4}{47} a^{23} - \frac{1}{94} a^{22} + \frac{7}{94} a^{21} + \frac{43}{94} a^{20} - \frac{3}{47} a^{19} - \frac{11}{47} a^{18} - \frac{3}{47} a^{17} - \frac{2}{47} a^{16} - \frac{9}{47} a^{15} - \frac{2}{47} a^{14} - \frac{1}{47} a^{13} - \frac{5}{94} a^{12} + \frac{8}{47} a^{11} - \frac{15}{94} a^{10} - \frac{5}{94} a^{9} + \frac{43}{94} a^{8} + \frac{35}{94} a^{7} - \frac{14}{47} a^{6} + \frac{17}{94} a^{5} - \frac{3}{94} a^{4} - \frac{1}{94} a^{3} - \frac{5}{47} a^{2} - \frac{27}{94} a$, $\frac{1}{94} a^{36} - \frac{1}{94} a^{32} - \frac{1}{94} a^{31} - \frac{10}{47} a^{30} - \frac{31}{94} a^{29} - \frac{9}{47} a^{28} - \frac{5}{94} a^{27} - \frac{37}{94} a^{26} + \frac{19}{47} a^{25} - \frac{16}{47} a^{24} - \frac{25}{94} a^{23} - \frac{39}{94} a^{22} - \frac{37}{94} a^{21} - \frac{22}{47} a^{20} - \frac{11}{47} a^{19} + \frac{13}{47} a^{18} + \frac{13}{47} a^{17} + \frac{17}{47} a^{16} - \frac{16}{47} a^{15} + \frac{12}{47} a^{14} - \frac{19}{94} a^{13} + \frac{2}{47} a^{12} - \frac{9}{94} a^{11} + \frac{29}{94} a^{10} + \frac{25}{94} a^{9} - \frac{31}{94} a^{8} - \frac{12}{47} a^{7} + \frac{7}{94} a^{6} - \frac{43}{94} a^{5} + \frac{1}{94} a^{4} + \frac{7}{47} a^{3} - \frac{11}{94} a^{2} + \frac{19}{47} a$, $\frac{1}{94} a^{37} - \frac{1}{94} a^{31} - \frac{3}{47} a^{30} + \frac{23}{47} a^{29} + \frac{16}{47} a^{28} - \frac{10}{47} a^{27} + \frac{7}{47} a^{26} + \frac{23}{47} a^{25} - \frac{3}{47} a^{24} - \frac{19}{94} a^{23} + \frac{1}{94} a^{22} - \frac{9}{47} a^{21} - \frac{33}{94} a^{20} - \frac{12}{47} a^{19} - \frac{33}{94} a^{18} - \frac{37}{94} a^{17} + \frac{9}{94} a^{16} + \frac{35}{94} a^{15} + \frac{17}{47} a^{14} + \frac{15}{94} a^{13} + \frac{21}{47} a^{12} + \frac{5}{47} a^{11} - \frac{3}{94} a^{10} - \frac{33}{94} a^{9} + \frac{37}{94} a^{8} - \frac{35}{94} a^{7} - \frac{20}{47} a^{6} + \frac{17}{94} a^{5} - \frac{10}{47} a^{4} - \frac{18}{47} a^{3} + \frac{10}{47} a^{2} + \frac{7}{94} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{94} a^{38} - \frac{1}{94} a^{32} + \frac{6}{47} a^{30} + \frac{11}{47} a^{29} - \frac{10}{47} a^{28} + \frac{16}{47} a^{27} - \frac{20}{47} a^{26} - \frac{19}{47} a^{25} + \frac{11}{94} a^{24} + \frac{19}{94} a^{23} + \frac{20}{47} a^{22} + \frac{27}{94} a^{21} + \frac{14}{47} a^{20} - \frac{33}{94} a^{19} + \frac{33}{94} a^{18} - \frac{37}{94} a^{17} + \frac{43}{94} a^{16} + \frac{4}{47} a^{15} + \frac{19}{94} a^{14} - \frac{9}{47} a^{13} - \frac{14}{47} a^{12} - \frac{31}{94} a^{11} - \frac{35}{94} a^{10} + \frac{27}{94} a^{9} - \frac{9}{94} a^{8} + \frac{2}{47} a^{7} + \frac{1}{94} a^{6} + \frac{5}{47} a^{5} - \frac{7}{47} a^{4} + \frac{1}{47} a^{3} - \frac{5}{94} a^{2} - \frac{5}{94} a$, $\frac{1}{94} a^{39} - \frac{1}{94} a^{32} - \frac{1}{94} a^{31} - \frac{7}{94} a^{30} - \frac{15}{47} a^{29} - \frac{31}{94} a^{28} + \frac{1}{94} a^{27} - \frac{18}{47} a^{26} - \frac{45}{94} a^{25} - \frac{14}{47} a^{24} + \frac{18}{47} a^{23} + \frac{23}{94} a^{22} + \frac{21}{47} a^{21} + \frac{20}{47} a^{20} - \frac{9}{94} a^{19} + \frac{15}{47} a^{18} + \frac{15}{47} a^{17} - \frac{21}{94} a^{16} + \frac{9}{47} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{41}{94} a^{13} - \frac{10}{47} a^{12} + \frac{17}{47} a^{11} - \frac{25}{94} a^{10} - \frac{31}{94} a^{9} - \frac{33}{94} a^{8} + \frac{33}{94} a^{7} + \frac{35}{94} a^{6} - \frac{17}{47} a^{5} + \frac{12}{47} a^{4} + \frac{5}{47} a^{3} - \frac{13}{94} a^{2} + \frac{17}{94} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{12878} a^{40} + \frac{43}{12878} a^{39} - \frac{15}{6439} a^{38} + \frac{9}{12878} a^{37} + \frac{25}{6439} a^{36} - \frac{29}{12878} a^{35} - \frac{3}{6439} a^{34} - \frac{37}{12878} a^{33} - \frac{44}{6439} a^{32} + \frac{17}{6439} a^{31} - \frac{463}{6439} a^{30} - \frac{3569}{12878} a^{29} + \frac{3445}{12878} a^{28} - \frac{2353}{12878} a^{27} - \frac{1114}{6439} a^{26} - \frac{1346}{6439} a^{25} - \frac{254}{6439} a^{24} + \frac{2957}{6439} a^{23} - \frac{6091}{12878} a^{22} - \frac{3573}{12878} a^{21} + \frac{4549}{12878} a^{20} - \frac{6185}{12878} a^{19} - \frac{5347}{12878} a^{18} - \frac{1126}{6439} a^{17} - \frac{1526}{6439} a^{16} - \frac{710}{6439} a^{15} - \frac{2431}{6439} a^{14} + \frac{2952}{6439} a^{13} - \frac{4279}{12878} a^{12} + \frac{847}{12878} a^{11} + \frac{912}{6439} a^{10} - \frac{2007}{6439} a^{9} + \frac{2802}{6439} a^{8} - \frac{1056}{6439} a^{7} - \frac{4075}{12878} a^{6} + \frac{1894}{6439} a^{5} + \frac{1545}{12878} a^{4} - \frac{2991}{6439} a^{3} - \frac{28}{137} a^{2} - \frac{912}{6439} a + \frac{52}{137}$, $\frac{1}{12878} a^{41} + \frac{39}{12878} a^{39} + \frac{33}{6439} a^{38} - \frac{63}{12878} a^{37} + \frac{13}{12878} a^{36} + \frac{4}{6439} a^{35} - \frac{53}{12878} a^{34} - \frac{2}{6439} a^{33} - \frac{9}{6439} a^{32} + \frac{39}{6439} a^{31} - \frac{741}{12878} a^{30} + \frac{640}{6439} a^{29} - \frac{990}{6439} a^{28} - \frac{461}{6439} a^{27} - \frac{4843}{12878} a^{26} - \frac{791}{12878} a^{25} + \frac{3193}{6439} a^{24} + \frac{1392}{6439} a^{23} + \frac{95}{12878} a^{22} - \frac{2010}{6439} a^{21} - \frac{1982}{6439} a^{20} - \frac{3665}{12878} a^{19} + \frac{3263}{12878} a^{18} - \frac{510}{6439} a^{17} - \frac{2770}{6439} a^{16} + \frac{1261}{12878} a^{15} - \frac{3074}{6439} a^{14} + \frac{184}{6439} a^{13} - \frac{2519}{6439} a^{12} - \frac{621}{12878} a^{11} - \frac{1904}{6439} a^{10} - \frac{3098}{6439} a^{9} - \frac{731}{12878} a^{8} - \frac{1223}{6439} a^{7} + \frac{5845}{12878} a^{6} - \frac{2511}{6439} a^{5} + \frac{2905}{6439} a^{4} + \frac{709}{6439} a^{3} + \frac{2437}{12878} a^{2} - \frac{3401}{12878} a + \frac{49}{274}$, $\frac{1}{7713922} a^{42} + \frac{52}{3856961} a^{41} + \frac{1}{7713922} a^{40} - \frac{19032}{3856961} a^{39} - \frac{11990}{3856961} a^{38} - \frac{10222}{3856961} a^{37} - \frac{11089}{7713922} a^{36} + \frac{20052}{3856961} a^{35} - \frac{541}{164126} a^{34} - \frac{5193}{7713922} a^{33} - \frac{2423}{7713922} a^{32} - \frac{32281}{7713922} a^{31} + \frac{2551307}{7713922} a^{30} - \frac{1446229}{3856961} a^{29} + \frac{1491290}{3856961} a^{28} + \frac{536793}{3856961} a^{27} - \frac{3608063}{7713922} a^{26} + \frac{1135239}{3856961} a^{25} + \frac{2272281}{7713922} a^{24} + \frac{58137}{3856961} a^{23} - \frac{1110899}{7713922} a^{22} - \frac{204922}{3856961} a^{21} + \frac{148551}{7713922} a^{20} - \frac{3476351}{7713922} a^{19} + \frac{3851027}{7713922} a^{18} + \frac{1462187}{7713922} a^{17} - \frac{1514179}{3856961} a^{16} - \frac{818969}{3856961} a^{15} + \frac{1918971}{3856961} a^{14} + \frac{2118017}{7713922} a^{13} + \frac{1051595}{7713922} a^{12} - \frac{1226845}{3856961} a^{11} + \frac{1243556}{3856961} a^{10} - \frac{1179056}{3856961} a^{9} - \frac{1306786}{3856961} a^{8} - \frac{140243}{3856961} a^{7} - \frac{1014573}{3856961} a^{6} - \frac{1797111}{7713922} a^{5} - \frac{3311657}{7713922} a^{4} + \frac{936427}{3856961} a^{3} + \frac{1615929}{3856961} a^{2} - \frac{2736855}{7713922} a + \frac{61013}{164126}$, $\frac{1}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{43} + \frac{7386407185058232713919074812466524953080680678795636794492222061059435552810396779186807900148000076194187671543155055931145184358168886788852660501101875736800989}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{42} - \frac{1557456466012737226058915927146229044737223922737739683808915941496777431692165118398996848434999352352832419162362896907326278355962766756671588118372795879736348186}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{41} - \frac{758395510982201271680578377828547065253682506447914128303071564218656902591300070416231469135256857726745506082627096341837681761864051089112696518205920687783059619}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{40} + \frac{41739746733223371591487453045912411449305551885728657576351832825189222877077546538644719628206407403188643573974402587229047470649178245425864386694088870657516467896}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{39} - \frac{168114200023326660314397154034318587250402273814710988560478436391405228650523852387667064637315257373378627089513831663913415479550398829598581457939693472585518991296}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{38} - \frac{857844974895051440509578440528966395412276828626076032987850656890933937764249366759228869718374560979898506984711616020867680050581573805277982052896647556264600561283}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{37} - \frac{156912939360035528762372581340485502430941318511088521955603922666845291767900643785399178453054079703169265341925032458163205047469044267673608194911737013234697093988}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{36} - \frac{243867008038596651213013968607333760363667739923296598463801641228386293520884996088569347034417041406113914441286843145839871755108021518214167038328759506514756446609}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{35} + \frac{693365355663427593545096584699407419213937907798827660991634791258500820459381947802254458444834527608661809359020595309102924706915684055637965288561643261728157192104}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{34} + \frac{489039566827748150954093787723140643297099556522672399063683005520233916510832687323024397685921714532280228677301805510341203574305609684525723667716856216574196293114}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{33} - \frac{761340912424027986318713004785606741196597887525774098594393325494694087889806099177677450459046628277389049670377500132425972345720665867388603635824947135410473154561}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{32} + \frac{1902176428273450708883189580124548637078780572320490423703010682146306542106415263855750980021846708070793222510333724835440117000027488938033770360681416440405837884465}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{31} - \frac{56916699496730882258135353720521800877857235134882591865206068615964838680714126744572659272111851844454081612159757227421307293459433151152826853903179079372376198503303}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{30} - \frac{47827838710235372867224099088507566520646944319958252800744044980918322202554170684509031245860220398208715440886340316253387349203281124278527966203242262668750518618168}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{29} - \frac{43477501511182222402031692710992369657884822197465875151949342429804673041654015068145915075685360866418957757902011452505040663687130855062057526103780168477231793739705}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{28} - \frac{69031763938717989072514857994432684401471122507403716621065750242630429954010168615714018477021938817648701141140614884814741465869476659784979683893065240816987310039681}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{27} + \frac{113249203305290511664729132047301379119372171385678420135832640455067985055718693318682279993513564279901396556146371170769043048958206635016678076884985688322473716194835}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{26} + \frac{67907694615093949834289008602706468508021318304779880153319798080321738786899724845061404801970093565613143635862483348003632444729715775244258671441877942366424243011283}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{25} + \frac{35839763781603716230732991048597979386347689820729631642478530893280884664010195519033118817248622108777254073112001065490719011874160678689398896729996314830614771488025}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{24} + \frac{46620101120029072425116757178942480175820256173124880978648884503032747707802140094359781037305681181692083697695090183574494709553372932271626853626092874656020191934287}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{23} + \frac{58310033158246811251594846361800109780848445721033067416086129738814265516488350570396669218451863365083446296394325320583120795941904809450886429681374342354864394374353}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{22} - \frac{43305244995952075734710912996070486539446149778992506831697450376608806500164632997809737170669492361183361564848726412537884186953195711967152183191603777825717097376952}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{21} - \frac{96226180717727038123787352004338526918920671190093796884609642662572450386818354454535030634323746896841825423904883997079488933234929644717327949781995517360842705755571}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{20} + \frac{2665807998757702100411888345117439067776203325452949115256014881697687805203176125343806330151545057956868178378357381771731773887637604796668743727838625103600749715}{64327477115576398358263689630927467538531578786074883892116013891193512140355361526540710013306378281921877523610072135904765171195990010244839110446864049873950061018} a^{19} + \frac{64963547338824678197754949165745098212488524681120775335532920965936336048903627663163911684082132017767127610014446252092268049294205446892675119443746396422837208762799}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{18} + \frac{45574538576231745053623804929041659914085718643672702192215111099789087671556744427652309394688356851047349524900683750298180382971475672961935894714373497774544273604659}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{17} + \frac{12222098904894355850937695168688586879531972861826230112520874170343368323179727520948659819083356588204016012260483664210429784376710356633944417071939526472636336034643}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{16} - \frac{45857494300330871225481842146312449233185004844507845791656531643562493494019042442518118890141963511133353148158038089106979863039785146343360769505373717391565430568347}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{15} - \frac{49565101775686366431417943563420360552908527799282782036629837493049608063573200159601071980190544353616240540970960774817720631315634611714397420711172447602981145090593}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{14} - \frac{10505100163116466423476996401732452033934323169573016681631606270079218664425970409087518250043779302593310136242045034343270089842659733632784365986045953222149781162284}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{13} - \frac{5592353464854951192185924265676535598885419123387124525889798033015605581382422582889555309904185371554551963456474025571267219323500460249938375534002343419560016506234}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{12} - \frac{72224614845529946955269665580060901418507759580470507546303878091847511992704561328483272014911419195634114893958659560004907450533617780527720005033887646276270247709873}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{11} + \frac{59313905822916821667953307156752301369310445139077852906143292529421795654280884575515684702368414514754480601831689599053059958730189696322312942782100576789602520437694}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{10} - \frac{45327904308052072974370309108847407042054249096972604652323413495859146618420166275502473521038879636229693283328408298681246777762428017685436272554779877195175912967951}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{9} + \frac{2053349619787345429030071496943122177897778966356930206234275354110252123870271123970265791355795975865277007852231094742294989809548205313705216372023439478265568274751}{5601965187958599967667516631050768609259781956838393612136826486311809472137755206981513320946021410806515844768851601111876677568195470466640988916149245875193140420142} a^{8} - \frac{83536435750312508453097846172022352062904721123422932430894009709286121291706344899219017858056095476241875941758136721806248846290767146914774031509879552724229087312299}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{7} - \frac{4603171587455414009910729751198522279533467317034252858916227064427481835492144978705364351075455763601622941174551467067735120395887405486851334109527648110224407141814}{131646181917027099240186640829693062317604875985702249885215422428327522595237247364065563042231503153953122352068012626129101922852593555966063239529507278067038799873337} a^{6} + \frac{27160266688663027528817407253661404781955074191423651986168264391611847301657338702434186749744374271997069938670157910709988256271177819326174130436706996897783539026693}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{5} - \frac{100419347466522836502790401829941795162173284235335816852998392548480717623302934878843541369337899396469594459124625427880734802204263333129683248226314630898877592097633}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{4} + \frac{82293267361132982225378174117124025729004029417048545345738253543126853673240476633194628742532916986666012932298597789120330541806978796071799295626738303101570103157593}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{3} + \frac{78648376217832543455380276470583748562680779167100522808090830219166411856861040727128070455294081911063749455128722804095642524045429091914177809003151432747028034592101}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a^{2} - \frac{115199091141645316928894881768791901333731298782769355915746993098334573503475737088760072941767122785810668190214914835422242816801409248751572559252193257145492463314041}{263292363834054198480373281659386124635209751971404499770430844856655045190474494728131126084463006307906244704136025252258203845705187111932126479059014556134077599746674} a - \frac{1291638554533728463829265634957232183144384887744332649929919422332736443724892900850070923471009447722205987213166643160225806398839302781686564321043006306426066079805}{5601965187958599967667516631050768609259781956838393612136826486311809472137755206981513320946021410806515844768851601111876677568195470466640988916149245875193140420142}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $43$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 12810630597372827000000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.58815914699238651208660872676277748369233.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $22^{2}$ $44$ $44$ $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/13.11.0.1}{11} }^{4}$ R $22^{2}$ R $44$ $44$ $44$ $44$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{44}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
17Data not computed
23Data not computed