↑

Properties

Label 44.44.1075947764...8125.1
Degree $44$
Signature $[44, 0]$
Discriminant $3^{22}\cdot 5^{33}\cdot 23^{40}$
Root discriminant $100.17$
Ramified primes $3, 5, 23$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, 173, 5033, 2442, -421384, -844136, 12933432, 29955131, -187650701, -426836789, 1463078116, 2941066020, -7078535331, -11327499031, 22856874181, 26255051326, -50658097643, -37641887903, 77809999062, 32792735601, -83374965226, -15146871202, 62805890420, 334405458, -33511081479, 4277128917, 12717458583, -2979407109, -3423302012, 1128196411, 644077168, -277310073, -81521596, 46344567, 6265099, -5299813, -182845, 406992, -13648, -19996, 1631, 566, -66, -7, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 7*x^43 - 66*x^42 + 566*x^41 + 1631*x^40 - 19996*x^39 - 13648*x^38 + 406992*x^37 - 182845*x^36 - 5299813*x^35 + 6265099*x^34 + 46344567*x^33 - 81521596*x^32 - 277310073*x^31 + 644077168*x^30 + 1128196411*x^29 - 3423302012*x^28 - 2979407109*x^27 + 12717458583*x^26 + 4277128917*x^25 - 33511081479*x^24 + 334405458*x^23 + 62805890420*x^22 - 15146871202*x^21 - 83374965226*x^20 + 32792735601*x^19 + 77809999062*x^18 - 37641887903*x^17 - 50658097643*x^16 + 26255051326*x^15 + 22856874181*x^14 - 11327499031*x^13 - 7078535331*x^12 + 2941066020*x^11 + 1463078116*x^10 - 426836789*x^9 - 187650701*x^8 + 29955131*x^7 + 12933432*x^6 - 844136*x^5 - 421384*x^4 + 2442*x^3 + 5033*x^2 + 173*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 7*x^43 - 66*x^42 + 566*x^41 + 1631*x^40 - 19996*x^39 - 13648*x^38 + 406992*x^37 - 182845*x^36 - 5299813*x^35 + 6265099*x^34 + 46344567*x^33 - 81521596*x^32 - 277310073*x^31 + 644077168*x^30 + 1128196411*x^29 - 3423302012*x^28 - 2979407109*x^27 + 12717458583*x^26 + 4277128917*x^25 - 33511081479*x^24 + 334405458*x^23 + 62805890420*x^22 - 15146871202*x^21 - 83374965226*x^20 + 32792735601*x^19 + 77809999062*x^18 - 37641887903*x^17 - 50658097643*x^16 + 26255051326*x^15 + 22856874181*x^14 - 11327499031*x^13 - 7078535331*x^12 + 2941066020*x^11 + 1463078116*x^10 - 426836789*x^9 - 187650701*x^8 + 29955131*x^7 + 12933432*x^6 - 844136*x^5 - 421384*x^4 + 2442*x^3 + 5033*x^2 + 173*x + 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - 7 x^{43} - 66 x^{42} + 566 x^{41} + 1631 x^{40} - 19996 x^{39} - 13648 x^{38} + 406992 x^{37} - 182845 x^{36} - 5299813 x^{35} + 6265099 x^{34} + 46344567 x^{33} - 81521596 x^{32} - 277310073 x^{31} + 644077168 x^{30} + 1128196411 x^{29} - 3423302012 x^{28} - 2979407109 x^{27} + 12717458583 x^{26} + 4277128917 x^{25} - 33511081479 x^{24} + 334405458 x^{23} + 62805890420 x^{22} - 15146871202 x^{21} - 83374965226 x^{20} + 32792735601 x^{19} + 77809999062 x^{18} - 37641887903 x^{17} - 50658097643 x^{16} + 26255051326 x^{15} + 22856874181 x^{14} - 11327499031 x^{13} - 7078535331 x^{12} + 2941066020 x^{11} + 1463078116 x^{10} - 426836789 x^{9} - 187650701 x^{8} + 29955131 x^{7} + 12933432 x^{6} - 844136 x^{5} - 421384 x^{4} + 2442 x^{3} + 5033 x^{2} + 173 x + 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[44, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(10759477646680772288556262812807675479811013525016604751482416550745256245136260986328125=3^{22}\cdot 5^{33}\cdot 23^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $100.17$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 23$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(345=3\cdot 5\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{345}(256,·)$, $\chi_{345}(1,·)$, $\chi_{345}(2,·)$, $\chi_{345}(259,·)$, $\chi_{345}(4,·)$, $\chi_{345}(257,·)$, $\chi_{345}(8,·)$, $\chi_{345}(128,·)$, $\chi_{345}(139,·)$, $\chi_{345}(271,·)$, $\chi_{345}(16,·)$, $\chi_{345}(278,·)$, $\chi_{345}(151,·)$, $\chi_{345}(154,·)$, $\chi_{345}(31,·)$, $\chi_{345}(32,·)$, $\chi_{345}(289,·)$, $\chi_{345}(167,·)$, $\chi_{345}(169,·)$, $\chi_{345}(301,·)$, $\chi_{345}(302,·)$, $\chi_{345}(47,·)$, $\chi_{345}(49,·)$, $\chi_{345}(308,·)$, $\chi_{345}(188,·)$, $\chi_{345}(317,·)$, $\chi_{345}(62,·)$, $\chi_{345}(64,·)$, $\chi_{345}(323,·)$, $\chi_{345}(196,·)$, $\chi_{345}(197,·)$, $\chi_{345}(331,·)$, $\chi_{345}(77,·)$, $\chi_{345}(334,·)$, $\chi_{345}(173,·)$, $\chi_{345}(338,·)$, $\chi_{345}(211,·)$, $\chi_{345}(94,·)$, $\chi_{345}(98,·)$, $\chi_{345}(233,·)$, $\chi_{345}(242,·)$, $\chi_{345}(248,·)$, $\chi_{345}(121,·)$, $\chi_{345}(124,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $a^{42}$, $\frac{1}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{43} + \frac{2663457178188743760515585241945189649023847495292991623723613460002725136554703923300723841659858794281523542715997720568426439194717339398801640245437654977}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{42} + \frac{16832278550832459437749972989347220031984971460341397079990272150278881891189049751485016698584536363042678080159682595742299008558065720634091729489898534996}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{41} + \frac{9101357714888871313194427870729505993213655318153169437055055272098069073844660199090061524932190374972010410182493119839222602319073105252335529223167965822}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{40} - \frac{16637167736134522116428388268177204173238678510303385708932060949988445894539146126927241170760998195510896801574124050511275293037640439381659630472673094319}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{39} + \frac{2399140058356580473024846677258938207427497542690345553681252964712553434265397526680510924580186907833132291281355740003477145591204445915252070790702364230}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{38} + \frac{14190990286772453767221820321123265548666564099413944096703417028930273989948933204233874205687334419252549948034836727886293919892070577300808223402131603953}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{37} + \frac{3740553450879269261420090226906010303912240429848580213559424958571206294534743762974706028695350873099571481312051648728353535372450056119916079901297423758}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{36} - \frac{23333438499988274348458921152686436467336087376764872077326139824596295656017576972346064777526046806899086840437885738941974913106621471969699895987155189151}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{35} - \frac{4535767203018591097405784168946052264954018034268233597450164717370193269623606410935236606204695453260870902963591323736315019105603200692024070765439105156}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{34} + \frac{17962983336115165510853037845400528970707816510067428087778884067094830589913467618028136657183062394593577388846876752164277357885196726891431675988269901296}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{33} - \frac{8186243052702726869558307047996970783509299835821471771886203638204781667207606085010408564249075985454072826912717829389343396504511086836064385280623249699}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{32} + \frac{9832483206214418381616474398512641713578944042112963786409128384138008296643062189657500006351581136319610609281521943951502647449181416180509221184813838166}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{31} - \frac{10597478713815701517290471585895212629780072420160127969859916189760034993086986547961242628043311489124215778710495208823951609177742938646085411398895255353}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{30} + \frac{15884970588776803307500826796417794719330343759620961724347048818459804192718595700026295808571785642140837040219723546305031711695867715410701134678124593027}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{29} + \frac{11280768082493765558028432977503736993498883459905447703459531711817129965990498217444243972986119941734326487934707235105808922853958625607575383465841057069}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{28} + \frac{4708823024522918643430302162465355422401404151612545048406260279780283080595284694705507066748883570868557111782986197375380723646416064015823536749882055130}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{27} + \frac{23382864600587115546522168139723707510022504693236532191251415606379141776648398695304980847222975260379088444360684023296274675895855549993838698554975423485}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{26} + \frac{21751398969685218940968967856554172283569575860990581726349579188755948500552815378416295596914536539642332289383987226262258323889148269345155502618796739884}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{25} - \frac{2376535284097539898181985471474816062555145765726473313338379437014170687864879542050515526077176835414944718618839979945287875441025964224523233311199955020}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{24} - \frac{13524852720000456275455703263804324194642633163778018795355189126906565254474651295646339186896115327738683935019694510143106102441983534748612358765365724367}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{23} - \frac{14366360629549707099732404699942672799133966748809745401164178955077245784643000098670022211941214749235930853353494764551246475009697097785321741812213185927}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{22} + \frac{21498981921912143254461840056209835769906207713213893339871909047396551576913458545397847589045854958663409572277859969247593782546980218015450999296194373757}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{21} + \frac{2825295642432351289356060806383190065283999745348814934101905519361943434210864082707727995840134795502861571522340291632911801372401297102035800439064624552}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{20} + \frac{8112637692628834945626007934818905474402205757709416425662816033214478566232388307490315074325744198702222799239064402487649494840431165369837375051281882496}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{19} + \frac{11642367685839036145836396461325137642124032270193827745324534481222850222424376549554565050072289138767438737865683600268858099236739007399921948605911490205}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{18} + \frac{1186469687679979916827177826121400109382213231512140209104799792134542829492940924980410480379729745411057825817369748820477614153420674456741660502251709080}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{17} + \frac{10897937471996610848953277021183576113437206746176720489059294439024907599877323554971731023003528827039588871423297797884336123916650387326849064808132491117}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{16} - \frac{13860348567199708159662161669595599059222776492318168825736258230378005625587415893326968314582428783339238322296762650908708107026534363192596592363363398770}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{15} + \frac{8582420796483233183896610881179288329278725467433890337526381559610580029701087093486506793224649877336718753071284764822385845932010466223531184069084097355}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{14} - \frac{22184040407555950678420518644082662604037896832196031911484028472598814414651046486022071228287971480836289643753800996733025489365602909565205906142930644859}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{13} + \frac{23660232585816423409719985909154425107720259845527785579040824328813026528317584605394417399221423173487611128319460346689835855172661036590323759411817256237}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{12} + \frac{20623281191420461632646920424600937988255323970903883809677729742948867255389122325008521550970491346691072887812763440890251242566016701983646652079011162407}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{11} - \frac{18906006925007194699609308087937794593742469915750163077966688492126642507959458156245371491467593815719242381214905396193612296336379493106884721606794071221}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{10} + \frac{21036565433770968069324719355641707920315704257034157172361845059958609930659243872070857930636057031952666202801488138768410822837433498888169796887365391818}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{9} + \frac{22911545083069326352783222571814425541434127596147146661898804829512103339682779555361588440892735918742361977633850551285455713255040812562133346575705271859}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{8} + \frac{15647105171866322139388261366945940047812130355064590634863053709493731848078575397951874459023141221275606586858862967980366179614520386775150225706270555856}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{7} - \frac{19328486329341881886618005140343369350362374042456871808887111256477410347274380687504231726110548201569058125336368611645004013553345683132310498824806463684}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{6} - \frac{15152394649505720717264174560981589324080712464267391647679386581443952542441558314864809659258108338800971487122762444845987492293061846622273417612698740183}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{5} + \frac{23377168480508873476132554656076398148374866542159687108099666850331169674480877879355845027402344480697539304260719992097853231333408240887945800115871803677}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{4} - \frac{5440210518183776587318197948098133147631488957354836295110575922798096447210103980084752674271057094281002005278785933737909726611638524176092427597114520024}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{3} + \frac{6078817452656503884240028394761832225665435003723785074615683849124612937255030871938987357483080504590292750948725616715471422044790286275768468877772892155}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a^{2} - \frac{9787644976902694274616791998619408888069350995439986842509347348737334516708175412635123228688276673530177526005295336420414355176723931817135489755292741422}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751} a - \frac{15839637801477167557015803662906482901749992721825343414731922285248242764295768315232290336375787381929709731510085762235103017515514762148155770913518450600}{47446383305575750584709853338669181728497307261892597827876323949244328170198993541839786623007174427832880718568205326851937631220351431432736148987244694751}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $43$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{15})^+\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.83796671451884098775580820361328125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ R R $44$ $22^{2}$ $44$ $44$ $22^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $22^{2}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }^{11}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/59.11.0.1}{11} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
23Data not computed