↑

Properties

Label 44.0.87174692109...3125.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $5^{33}\cdot 89^{42}$
Root discriminant $242.67$
Ramified primes $5, 89$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![9380892213701, 33768235858932, 195105349023168, 453685166118276, 1280592983792440, 2158154130607707, 3696697839845676, 4580288104276687, 5069938300794264, 4330512451618829, 3468079685863132, 1681541590786119, 1102130569859740, 318894457174819, 32168228576932, -40783961230241, -75357535508658, -59439662561311, -16909433110831, -9216585343466, 157000941256, 1107399939239, 1092266982960, 492457350409, 277668691290, 80077822563, 35858044676, 9707422020, 3601349272, 909313260, 375413539, 29260373, 37399445, -4810706, 1395410, -787423, -70986, -45125, -5918, -1823, 566, -72, 51, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 51*x^42 - 72*x^41 + 566*x^40 - 1823*x^39 - 5918*x^38 - 45125*x^37 - 70986*x^36 - 787423*x^35 + 1395410*x^34 - 4810706*x^33 + 37399445*x^32 + 29260373*x^31 + 375413539*x^30 + 909313260*x^29 + 3601349272*x^28 + 9707422020*x^27 + 35858044676*x^26 + 80077822563*x^25 + 277668691290*x^24 + 492457350409*x^23 + 1092266982960*x^22 + 1107399939239*x^21 + 157000941256*x^20 - 9216585343466*x^19 - 16909433110831*x^18 - 59439662561311*x^17 - 75357535508658*x^16 - 40783961230241*x^15 + 32168228576932*x^14 + 318894457174819*x^13 + 1102130569859740*x^12 + 1681541590786119*x^11 + 3468079685863132*x^10 + 4330512451618829*x^9 + 5069938300794264*x^8 + 4580288104276687*x^7 + 3696697839845676*x^6 + 2158154130607707*x^5 + 1280592983792440*x^4 + 453685166118276*x^3 + 195105349023168*x^2 + 33768235858932*x + 9380892213701)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 + 51*x^42 - 72*x^41 + 566*x^40 - 1823*x^39 - 5918*x^38 - 45125*x^37 - 70986*x^36 - 787423*x^35 + 1395410*x^34 - 4810706*x^33 + 37399445*x^32 + 29260373*x^31 + 375413539*x^30 + 909313260*x^29 + 3601349272*x^28 + 9707422020*x^27 + 35858044676*x^26 + 80077822563*x^25 + 277668691290*x^24 + 492457350409*x^23 + 1092266982960*x^22 + 1107399939239*x^21 + 157000941256*x^20 - 9216585343466*x^19 - 16909433110831*x^18 - 59439662561311*x^17 - 75357535508658*x^16 - 40783961230241*x^15 + 32168228576932*x^14 + 318894457174819*x^13 + 1102130569859740*x^12 + 1681541590786119*x^11 + 3468079685863132*x^10 + 4330512451618829*x^9 + 5069938300794264*x^8 + 4580288104276687*x^7 + 3696697839845676*x^6 + 2158154130607707*x^5 + 1280592983792440*x^4 + 453685166118276*x^3 + 195105349023168*x^2 + 33768235858932*x + 9380892213701, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - x^{43} + 51 x^{42} - 72 x^{41} + 566 x^{40} - 1823 x^{39} - 5918 x^{38} - 45125 x^{37} - 70986 x^{36} - 787423 x^{35} + 1395410 x^{34} - 4810706 x^{33} + 37399445 x^{32} + 29260373 x^{31} + 375413539 x^{30} + 909313260 x^{29} + 3601349272 x^{28} + 9707422020 x^{27} + 35858044676 x^{26} + 80077822563 x^{25} + 277668691290 x^{24} + 492457350409 x^{23} + 1092266982960 x^{22} + 1107399939239 x^{21} + 157000941256 x^{20} - 9216585343466 x^{19} - 16909433110831 x^{18} - 59439662561311 x^{17} - 75357535508658 x^{16} - 40783961230241 x^{15} + 32168228576932 x^{14} + 318894457174819 x^{13} + 1102130569859740 x^{12} + 1681541590786119 x^{11} + 3468079685863132 x^{10} + 4330512451618829 x^{9} + 5069938300794264 x^{8} + 4580288104276687 x^{7} + 3696697839845676 x^{6} + 2158154130607707 x^{5} + 1280592983792440 x^{4} + 453685166118276 x^{3} + 195105349023168 x^{2} + 33768235858932 x + 9380892213701 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 22]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(871746921094944771449848205771382779505485929234078522687429203531140066182491174084134399890899658203125=5^{33}\cdot 89^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $242.67$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 89$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(445=5\cdot 89\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{445}(256,·)$, $\chi_{445}(1,·)$, $\chi_{445}(4,·)$, $\chi_{445}(133,·)$, $\chi_{445}(134,·)$, $\chi_{445}(263,·)$, $\chi_{445}(269,·)$, $\chi_{445}(271,·)$, $\chi_{445}(16,·)$, $\chi_{445}(401,·)$, $\chi_{445}(22,·)$, $\chi_{445}(156,·)$, $\chi_{445}(413,·)$, $\chi_{445}(278,·)$, $\chi_{445}(292,·)$, $\chi_{445}(39,·)$, $\chi_{445}(299,·)$, $\chi_{445}(434,·)$, $\chi_{445}(177,·)$, $\chi_{445}(306,·)$, $\chi_{445}(179,·)$, $\chi_{445}(437,·)$, $\chi_{445}(57,·)$, $\chi_{445}(186,·)$, $\chi_{445}(443,·)$, $\chi_{445}(317,·)$, $\chi_{445}(64,·)$, $\chi_{445}(194,·)$, $\chi_{445}(203,·)$, $\chi_{445}(73,·)$, $\chi_{445}(331,·)$, $\chi_{445}(162,·)$, $\chi_{445}(334,·)$, $\chi_{445}(87,·)$, $\chi_{445}(88,·)$, $\chi_{445}(91,·)$, $\chi_{445}(348,·)$, $\chi_{445}(222,·)$, $\chi_{445}(352,·)$, $\chi_{445}(228,·)$, $\chi_{445}(364,·)$, $\chi_{445}(367,·)$, $\chi_{445}(121,·)$, $\chi_{445}(378,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{210263330603} a^{42} + \frac{86374319650}{210263330603} a^{41} + \frac{58402938669}{210263330603} a^{40} - \frac{103027668576}{210263330603} a^{39} - \frac{62382945342}{210263330603} a^{38} + \frac{4767334415}{210263330603} a^{37} - \frac{75650898133}{210263330603} a^{36} + \frac{82562465189}{210263330603} a^{35} - \frac{53232215545}{210263330603} a^{34} - \frac{102482714472}{210263330603} a^{33} + \frac{28957602617}{210263330603} a^{32} + \frac{104820047174}{210263330603} a^{31} + \frac{5738319175}{210263330603} a^{30} + \frac{23238614055}{210263330603} a^{29} + \frac{52980079450}{210263330603} a^{28} + \frac{31200190187}{210263330603} a^{27} + \frac{71235850674}{210263330603} a^{26} - \frac{95753142401}{210263330603} a^{25} + \frac{75609993357}{210263330603} a^{24} - \frac{46193821326}{210263330603} a^{23} - \frac{101215507307}{210263330603} a^{22} - \frac{58768359090}{210263330603} a^{21} - \frac{15629409434}{210263330603} a^{20} + \frac{6713434155}{210263330603} a^{19} - \frac{102356883470}{210263330603} a^{18} - \frac{80021844649}{210263330603} a^{17} - \frac{71500365357}{210263330603} a^{16} - \frac{46136863854}{210263330603} a^{15} - \frac{98685967407}{210263330603} a^{14} - \frac{11514720379}{210263330603} a^{13} + \frac{95607792270}{210263330603} a^{12} + \frac{39065077242}{210263330603} a^{11} - \frac{31123888088}{210263330603} a^{10} - \frac{96148531684}{210263330603} a^{9} - \frac{22271477098}{210263330603} a^{8} + \frac{76154887550}{210263330603} a^{7} + \frac{103282392914}{210263330603} a^{6} + \frac{87595562806}{210263330603} a^{5} - \frac{2405980949}{5682792719} a^{4} - \frac{20120505834}{210263330603} a^{3} - \frac{69565839262}{210263330603} a^{2} + \frac{77421794523}{210263330603} a - \frac{49988316487}{210263330603}$, $\frac{1}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{43} - \frac{37520802800500890379431176105766173469638180919454484358589576966236992633175587338858043191164558871800563821181527786130646547252449928864891494379173022882967840294869245351927276968511136278449256572302422524266353642837012777704742638054089477722759783958427691859308092093524004366152081547557708762413666843684567118377414123858350109926640459158462673714938723730598686950}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{42} - \frac{9350165924289920860005651184445833169443339215313514112221760883751448061991173096912014902250449565080329880718597369971552269902636140907980101820276831318452639079895738370204061302533522081627431960394939391270647672582363089234778924003166362481282447232157201299825428849313623661315465663351042170662210067858291848323161320507745813171104959588514923218418179032567201418041391264646}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{41} - \frac{6883053629423895255385450024603712906869228668090304410913788350007653466644546264762670003067760040868009077403711343265024942481819710108784107828126945057302153514120058200580771134557032972585347025987703268163358388514070679218051271424808996712974093426589710918918867703375298704811435940153266443534567789918841666206420124117841485056862877446197251380486271804351807621688372193106}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{40} - \frac{7426256550758320485750194083800799996215579049454759385360157508212030354299002443263866288936205108884895882013029973278698640465289351428248098064572194272955062273045657510561894413374448953708068876467799417125906824125113672668501951232177294698749811886682986957159432033826750942356094560027950075740050045558725518643875703559078825399733366827553304126024737812354255134173568105255}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{39} - \frac{6593519665116966648815694695726409449742718553620878739066362112968247091430993708789989524714793086453262301826662477904596761914126633895567956914088245116605531844829470550249416440315394923924098708596710079684530706473382634981381844195652609920665567399078787803568041682494829287122373280432136058453900276908533381131466318738653144207928772547299379952063548478407587910430277940}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{38} - \frac{2113512363950345907995488393698345757825389764961871144187011700801087922630341932261707256710614525065899542289965949381524057350603789920646031597154610969653074681565023709513960911617418359669912757617974640211167449030668362783335584854455431384710698905851677924247025073472464144379705788312370088504745876856101154223701733621885336511592278785807006291803237693756660989421601109828}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{37} + \frac{207427580983254729713325737495329062527679589304916289771740742645723019838262929828361278503917495567803559954170064803976046028670508441909548001615132112775838906280148728706611733318912960951469248126743590075636874919823957233736722793300279570853463398226322298393857291144542245197383158194968368873386103462845690360831317365879488638582185501584132286735363030019347630449944167709}{631650286122836271181347093963591663845699427940514923948496283648471194554919848373634925654916896271194477740605110160026389585462694904282469295912125835741307972944299184874518351749088481450138839915766018567916060639645208111563047717734756836897406528029700240628790340722244280329134455002546708881749607419798411474916142581385834387357598517718750433743801437472270553750934068509} a^{36} - \frac{809120180552006983160208430727430145080986948752540838283548445061307505995970034411533243429580702142535570398911954837042248911350555228955188938982765661294242852845001021061861262375839424756664970836315752626552266502894086546324674203909973904983347050575622370908031531114483937379238027928632354727360593546985889391229623672291036446021878781545886337219191399466837820396459859987}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{35} - \frac{9033706829161853154824899062580138016198578491538986894994349973315564210632625756290425945085061190076504791998056208763668260228153367094827090811115189959870295266713926579591630260151071490962530651833678858931528378957697429508151177775950202589675600629061648479490821282903470750414808257676921150040290041945329492116334366974296104913371623985931491461835795943308926000930248143906}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{34} + \frac{4968104879850442367730017623035392130450464265127350533181456057849491744816012651396432323803027871961509530982999125425816956230066510786586320571449619205107649176096563961006147898428440516274121807173894094566488366854505874871581199187863854799550889463145890609853808070242769076591678130688898737956438185807332127062995760850498134320680473862562232791504440960835232451477678469424}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{33} - \frac{10378136646361074911735150045913112932992165975637220052109671816907390001776049307454153421039155145138306118681580621924816582402636231828652428824347697664360337179092807884351741593515981870323024574506127751342981663602575596949931667665653583413015173992121190978402618869900686370876588174723087024846077702725114563309292232835560581258044456584938778733773534851645106845880248475668}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{32} - \frac{6806251110460377021263699954846769445920971613497038101440015625860438756566550937131770633271101423940762382757868634458261707238518421915302669787294144239943580369292204080981229569981589128478716863457164419857306701139480845221261339562817622060911464731540360621727398482733220671508473331384176983407875057635243525675470976537522404197482668079552971751964040694601828407845065286603}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{31} - \frac{10803693648955248666311149620550499885400443403525587822189110862908975372552312897509786591429150040410101263414763038949240076058472310481147093850280604997340729498411471156877159622146471143976092758076404622954394138735469733566167481869041470679037647987879434446743320368505699987029603837142696237268836473272623771957969646027046644902896404932583807881452305267577755273014500640701}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{30} + \frac{6875973422343414506274718702558762090913919381690535419935078449121184712263795579804169910572167978142559949022193863491456805102515733268972650391892835857496759301662256131747684758721076726087583532220879481937043034696103837059307981423765705381976135118870569453221285303240937824214302816985228985847254121633786390441160881517089234856046316792623788246853698420148662041745198670362}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{29} - \frac{5875652121121557734384539634179645789904004068465330059387410623689545190841110393942190184630052636827180799600340566061213038010894137868700828976151990793874143091025910133863241898120628527418867624219143602506643344031675232831304554038945692603309870284227731507230427749071737635730112103625758577670336356133279333186485629325698285249109594624655366130820331007554068489652148134437}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{28} + \frac{4966210563559024058274028415978799995914623547679769920574259776330719585204008276902820298882435322589259195013730512087292421855263840728469266380349852821075659486806431628166073735820250460610565244016813938545276865789148453773586813505860920810714955833853447311196648694042820110621326073937738091937798888905847736810701724792021269805286630939700185493941961677158334505011329996854}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{27} - \frac{684423243519083175771990222592682988700850804506229749775429018879391911017344359956063245037414538781368233557522254586378901627901635048163790304867847787066136106184738120834378848860696930763586658857066542358565039518302584105757110624414442750808599068829115466250737086200593571290568314743650399211721822910486721215136282204040548975727906846720198248453432918160281378492942200869}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{26} + \frac{790526661920274726099617199985115237521831886745232005522854564226650275398281777772872078293575632038366669980643516225321367152664836925449068898669647306281996094402314000575915371235829657337305141495536564369573371121768261400898438318357844237585191484590662355515656279520777102148587646301134597134809838675268265712535257759020665478926293474572261915347773181724132158121176149541}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{25} - \frac{3311286176727119133006852618062265533607041278754983571968514355159488884892600217691675611095971852574018972607149676733965337255240292168294448723360432030668710223936485975593178356163384373460240682996235122629244212052982583422349999419242167409836598322906315899044747017558514804186124547517206796097818223029103385184496093807126472498136894859138344457351644420411248854975044409668}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{24} + \frac{10412530539679315015288119361988526307452589113697468406954273398615486415985992546346199169155747187901818773894066111805112892933519913453801982900816952160166054959029495904547577734809342019373240182549628136080773812064355886987723586534232354318734961172911552276407390844090420338167205503347136695711804883969948366431449919025880515775952993102751621787946640463699823215538414187610}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{23} + \frac{6946134409086554723377060024495501027688898916489169526107801777099409189984527163644050052453102329196169035869587217275028753823987222885890613608945683162879564138935426287562271646255012554295148468503776853036224899936394364147135216168337384641939014219654133404513978360889706239328491548338018477371353288880296026686643155555916558673628143911062759868350710835031979464583355252308}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{22} + \frac{9404805681764464961413166686178557269518506411003190148824957710083358666517931631869656211032640490036950463547092165813684575262326900896563135692970828042217648964976546720619942347013683597528985466035472666690738574931494021914986664052911257597054497397007317402505173332552307375756689678327052631688348134470562275463052738443816246766882324213001884992916329162085159211316684172162}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{21} - \frac{10327538092735146074419581787198593447114484835118350140830988460140607042794963372668491997897909505159156276070320136543654205766338324493543448721393484093144450388350459357607427435056368699937010553567587995444929453180733393493156570970793599327566951423467290204236921187421808008527913787622481514061209715278956471398684751523738123236323183403605777003105851181587006636281755566312}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{20} - \frac{3889896238893638217939183674855147149269354715933623851439252163292203970681479460397094372789859077104068334623609699147033084590940474369397405991649245770488134218114296684823945884748398445207521853723534612079096179907144195943839491528273258445855902376636260074847190467991518075849864495576981620127266919146067360000285788829144590843068030639627405310209075482713008162471676156981}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{19} + \frac{5744730072698923210883769843276619776958019181305743689761201974146447349486946872203750225444965204545229277879664209502917343571061317973577804561518097627851569731408743960431600654593884801051294115219500284502152734608148805711063370424230767859188814131096008060458683776471135333814678589079494176680430486970263985686331056276942403885594197604773112769603691847531353669283003601291}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{18} + \frac{1458244558553278817397450979207079604604209298735502002951037654812557689721158522105676169333844787081210956535000399082361334340681521406996737477704693099151330502278493888771299062619607831258441810014241459371071151667269441818894932426383553090810899399325008969551112510025936580519432869056126936690922331030129195117214048163246646156008106393097187464702986156475911714683727033821}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{17} + \frac{9241934984421063524381961675239555734286409144925496867767289292077169067037475593982523230150687979117657290956962263369075621945184167998667180411846989179302791687959008786556775304466305752839415696555710816772627114719165600486691863587976042165790491160588918665933228306356880471976379803362860176165861796713326029135408641739452639974797132740170322060906340653564436670656134711982}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{16} + \frac{3587271602473554670354908594803207348930007974644014404534934806138770170809506882766845008569495515508359211931064624868111118822185102260127767794904432996105395975166918506686625566585756183092736718437211737636712148211979039590044274976138193488594967890452202336065978012354916412928415262643969152836247542840359359317302019551017932645686494936359026805413832399913313314826415771126}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{15} - \frac{4728170650225837082746557684829759813530068945305927223902647547318381989534363026921465404947575165153970146335768868001930781252746820537429010115867680169465167872492014150402741360905256569345765416053067219717755014532760320294554171734648514509278538388582128784320979308081909321097307739004343254874255460284637743567339404738833715758598005426694844728281942050728187193597622256132}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{14} + \frac{4009654347273230053289888571542917324322127181347312022263795216259379727228398812028406255244302815902025778814307245219753784361011704095965023885736543883354530760015268914586693646384466969150462124218815634827767878935905249918575024932292913286672012189080709198344074900738804628513030189094496647579552788519360671031526729137710927046317908097607268039646618862357291046560035023589}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{13} + \frac{5434578742854243599642785029053403979786574729768790251692004372407336329852701081218801614171668845450863203920807552606983511778998777764947482365431404315390630054481935596987596830555287394137194727531769207469622760303500986486555309340959250615929630970606822612623456600533648102323589910033961493157274600613824709198362880960224341368311131199541316777699534792039330605527146245853}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{12} - \frac{1455172533726936618244727297887051999059216105356730492695025415850992105171780413190762019762469669557834925956478964570418564347282183293174586808148045184889167511580157853310837505469494869718600584446721843379717540533912531985862469903232863417642849614755829841738028977398062021616315256468889863884279315950065483027594752231961174638798203348320011271751011734338106774178844294357}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{11} - \frac{5508600915566881606526310324296896366845602358751717461369356264550871355226767574464002408199937759513412089317838909541088947016528209167509865174795485460483105279360295354169708549363852792787557236788749106899490393251469301769529942946279335332998766914097843261006466607252532507468108250768269763089123242283807710443148700725139199834965488567325270123642694745245492029749016338759}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{10} + \frac{8765686823564151857406023723848357117679339439870607394672835869367606627975099122839326941470808283352807230212367771928536274796585953664537532327589679603908576288981515756498108495083951595538507581826713205775026566554371381883636473072953598251493294048907655792368067232617827665477472743160234565705897870193719189155969363765613531356396924508295711161306668049760053616119998463374}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{9} - \frac{1565334905094128281429622871601722319469804005542081857337904701706497772370760984771891961776248812238108063795500446311695698366873504661439108395514810833128531744550852130529409979035527164607619995134744219581832844292192086740222321399983870817109974610833812334564823749079002659775239231449475992783205125309376573387092646055397355899909726864881056093071542062979771615200973691407}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{8} - \frac{10856855700071228478435447720326485165954500304324697634824925239879963769905562242253510928655761014517211102903102147965095318631722126322954678980225107454156996802369693101668904438324323743466184679978027355535979890436641499484637590272083663004912049281976644667459593030372185076191556433797897799222651461887353363596330691041406568259332033259758548284054245151987808234079981698917}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{7} + \frac{121697181458806878018318609858639246306620976205682258521850492040850103291841252208220788075624650590365102089796232994672899518614578748782277722274925783295707984606910030896657331565417861532395573527862651914392256949098076178850317454447536497157327599016421276529367315500208194842071764462253482478894151264886650829793693363316273779340961768787033879014480507003136454272030921333}{631650286122836271181347093963591663845699427940514923948496283648471194554919848373634925654916896271194477740605110160026389585462694904282469295912125835741307972944299184874518351749088481450138839915766018567916060639645208111563047717734756836897406528029700240628790340722244280329134455002546708881749607419798411474916142581385834387357598517718750433743801437472270553750934068509} a^{6} - \frac{4094474235000597472267766611559643363566004101282147033832491368559904236083933879065110319367774524755308987385911116222772638955538933480035832742101183887322334643622457189374510459921614882721110936358548389021811917102917529699578857558153634481340386169375666015781660338769630691057611957404367595483782084654044665961835796832008031378963935778170877272564542244886820780953785157748}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{5} - \frac{5529460266434745488706269252610522813571395130904002324971018782964645745659096630482681757742780382658943540420123197672254694932019295511635604843999715516508883382006234271919079292434625015465669287100888484318251169602959070381035342465075245619067400105021229029983419868016278520266303774735667264314093585208897520194355994408177306165141386645860230528648387634731805702936277886358}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{4} + \frac{384735717691969583315559809428785235782527756659821937521372121575303887714313271299554216813264243143468297651919779713618249615037758059220566158480951191815527659004258867449203929872930087955246856468892483094692943131123776726505298340921964467875922632586972668475855752651808862561477857993697136629544339362681800228899114758844519688744581520962586588400173624221104213725218653035}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{3} + \frac{1753219348536070840822662229611782358154388068153105316364139767427598084788433759139134861252635218358779816093011281287118474327928972458232578562245540936978022902845506092468796099638238045318879007166483935974253632704044241757888256629892309570078227130105687459844363152426801890739119585904223169944020120502074195977032174455527365093751925967600525677156476307276305074993185729665}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a^{2} - \frac{5044879281151911671705604776241180218441716654920406531692231905732193807840937971147545686624691740919492933564475882215714844304785412446015584456601649148950533427584704689293660951382060496402317447785413991200492705006163402594908344191808320368629745356516181630147919183996995618704522741510801246576351492310567297688083031555307055193093936613969420832341498805316294620661086402405}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833} a + \frac{7044025917009735186719017972169473974334011371670002980752258021796564213869864963796890772081897765422298326017498811240644470613463859421339297002044293904003647102693696000694810357845369088504142410638810309354036528664461398858781094187046714944756860529874962541554036823991326647151880656427521502210871521964096155567887590926037358059089256111026329585526599683330773004144451969950}{23371060586544942033709842476652891562290878833799052186094362494993434198532034389824492249231925162034195676402389075920976414662119711458451363948748655922428394998939069840357179014716273813655137076883342687012894243666872700127832765556186002965204041537098908903265242606723038372177974835094228228624735474532541224571897275511275872332231145155593766048520653186474010488784560534833}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 4.0.990125.2, 11.11.31181719929966183601.1, 22.22.47475569228068862203841937471134830429736328125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ $44$ R $44$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/19.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{11}$ $22^{2}$ $44$ $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/59.11.0.1}{11} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
89Data not computed