↑

Properties

Label 44.0.77585475977...8125.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $5^{33}\cdot 89^{43}$
Root discriminant $268.73$
Ramified primes $5, 89$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3033550844805431, -9522126521026368, 23684548337191503, -39468700453637824, 57707011951741390, -68958090177933733, 76402710809874371, -72968813297711373, 64926814287050439, -49091119860089206, 33905835107525892, -19690479891452526, 11148716367452975, -5634610133492386, 3168243981907192, -1518218568490401, 734100939620087, -268079177298866, 93774885990329, -31781584647001, 9644185539226, -3322585528251, 209880892930, -144055141516, 51190951460, -28254892927, 5825255746, -3384252805, 3550403737, -4801625, 488448869, -55120652, 34478590, -10014031, 1930750, -1021468, 133754, -63990, 12302, -2333, 861, -47, 46, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 47*x^41 + 861*x^40 - 2333*x^39 + 12302*x^38 - 63990*x^37 + 133754*x^36 - 1021468*x^35 + 1930750*x^34 - 10014031*x^33 + 34478590*x^32 - 55120652*x^31 + 488448869*x^30 - 4801625*x^29 + 3550403737*x^28 - 3384252805*x^27 + 5825255746*x^26 - 28254892927*x^25 + 51190951460*x^24 - 144055141516*x^23 + 209880892930*x^22 - 3322585528251*x^21 + 9644185539226*x^20 - 31781584647001*x^19 + 93774885990329*x^18 - 268079177298866*x^17 + 734100939620087*x^16 - 1518218568490401*x^15 + 3168243981907192*x^14 - 5634610133492386*x^13 + 11148716367452975*x^12 - 19690479891452526*x^11 + 33905835107525892*x^10 - 49091119860089206*x^9 + 64926814287050439*x^8 - 72968813297711373*x^7 + 76402710809874371*x^6 - 68958090177933733*x^5 + 57707011951741390*x^4 - 39468700453637824*x^3 + 23684548337191503*x^2 - 9522126521026368*x + 3033550844805431)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 + 46*x^42 - 47*x^41 + 861*x^40 - 2333*x^39 + 12302*x^38 - 63990*x^37 + 133754*x^36 - 1021468*x^35 + 1930750*x^34 - 10014031*x^33 + 34478590*x^32 - 55120652*x^31 + 488448869*x^30 - 4801625*x^29 + 3550403737*x^28 - 3384252805*x^27 + 5825255746*x^26 - 28254892927*x^25 + 51190951460*x^24 - 144055141516*x^23 + 209880892930*x^22 - 3322585528251*x^21 + 9644185539226*x^20 - 31781584647001*x^19 + 93774885990329*x^18 - 268079177298866*x^17 + 734100939620087*x^16 - 1518218568490401*x^15 + 3168243981907192*x^14 - 5634610133492386*x^13 + 11148716367452975*x^12 - 19690479891452526*x^11 + 33905835107525892*x^10 - 49091119860089206*x^9 + 64926814287050439*x^8 - 72968813297711373*x^7 + 76402710809874371*x^6 - 68958090177933733*x^5 + 57707011951741390*x^4 - 39468700453637824*x^3 + 23684548337191503*x^2 - 9522126521026368*x + 3033550844805431, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - x^{43} + 46 x^{42} - 47 x^{41} + 861 x^{40} - 2333 x^{39} + 12302 x^{38} - 63990 x^{37} + 133754 x^{36} - 1021468 x^{35} + 1930750 x^{34} - 10014031 x^{33} + 34478590 x^{32} - 55120652 x^{31} + 488448869 x^{30} - 4801625 x^{29} + 3550403737 x^{28} - 3384252805 x^{27} + 5825255746 x^{26} - 28254892927 x^{25} + 51190951460 x^{24} - 144055141516 x^{23} + 209880892930 x^{22} - 3322585528251 x^{21} + 9644185539226 x^{20} - 31781584647001 x^{19} + 93774885990329 x^{18} - 268079177298866 x^{17} + 734100939620087 x^{16} - 1518218568490401 x^{15} + 3168243981907192 x^{14} - 5634610133492386 x^{13} + 11148716367452975 x^{12} - 19690479891452526 x^{11} + 33905835107525892 x^{10} - 49091119860089206 x^{9} + 64926814287050439 x^{8} - 72968813297711373 x^{7} + 76402710809874371 x^{6} - 68958090177933733 x^{5} + 57707011951741390 x^{4} - 39468700453637824 x^{3} + 23684548337191503 x^{2} - 9522126521026368 x + 3033550844805431 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 22]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(77585475977450084659036490313653067375988247701832988519181199114271465890241714493487961590290069580078125=5^{33}\cdot 89^{43}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $268.73$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 89$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(445=5\cdot 89\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{445}(256,·)$, $\chi_{445}(1,·)$, $\chi_{445}(258,·)$, $\chi_{445}(259,·)$, $\chi_{445}(262,·)$, $\chi_{445}(257,·)$, $\chi_{445}(392,·)$, $\chi_{445}(139,·)$, $\chi_{445}(271,·)$, $\chi_{445}(16,·)$, $\chi_{445}(401,·)$, $\chi_{445}(403,·)$, $\chi_{445}(68,·)$, $\chi_{445}(156,·)$, $\chi_{445}(289,·)$, $\chi_{445}(42,·)$, $\chi_{445}(44,·)$, $\chi_{445}(429,·)$, $\chi_{445}(174,·)$, $\chi_{445}(306,·)$, $\chi_{445}(53,·)$, $\chi_{445}(183,·)$, $\chi_{445}(186,·)$, $\chi_{445}(187,·)$, $\chi_{445}(188,·)$, $\chi_{445}(189,·)$, $\chi_{445}(322,·)$, $\chi_{445}(324,·)$, $\chi_{445}(198,·)$, $\chi_{445}(72,·)$, $\chi_{445}(331,·)$, $\chi_{445}(338,·)$, $\chi_{445}(121,·)$, $\chi_{445}(218,·)$, $\chi_{445}(91,·)$, $\chi_{445}(354,·)$, $\chi_{445}(227,·)$, $\chi_{445}(444,·)$, $\chi_{445}(107,·)$, $\chi_{445}(114,·)$, $\chi_{445}(373,·)$, $\chi_{445}(247,·)$, $\chi_{445}(377,·)$, $\chi_{445}(123,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $a^{41}$, $\frac{1}{16909} a^{42} + \frac{6424}{16909} a^{41} + \frac{6322}{16909} a^{40} - \frac{4786}{16909} a^{39} + \frac{1899}{16909} a^{38} - \frac{5232}{16909} a^{37} - \frac{5580}{16909} a^{36} + \frac{427}{16909} a^{35} + \frac{11}{37} a^{34} + \frac{1797}{16909} a^{33} - \frac{4568}{16909} a^{32} + \frac{2044}{16909} a^{31} - \frac{7930}{16909} a^{30} + \frac{8184}{16909} a^{29} - \frac{7441}{16909} a^{28} + \frac{580}{16909} a^{27} + \frac{6777}{16909} a^{26} + \frac{4308}{16909} a^{25} - \frac{5732}{16909} a^{24} + \frac{2087}{16909} a^{23} - \frac{2498}{16909} a^{22} + \frac{2001}{16909} a^{21} - \frac{1063}{16909} a^{20} - \frac{1593}{16909} a^{19} + \frac{5219}{16909} a^{18} + \frac{5611}{16909} a^{17} - \frac{1888}{16909} a^{16} + \frac{6534}{16909} a^{15} + \frac{3315}{16909} a^{14} + \frac{6156}{16909} a^{13} - \frac{668}{16909} a^{12} + \frac{3421}{16909} a^{11} - \frac{4338}{16909} a^{10} + \frac{8010}{16909} a^{9} - \frac{8308}{16909} a^{8} - \frac{5570}{16909} a^{7} - \frac{1269}{16909} a^{6} - \frac{3981}{16909} a^{5} - \frac{4269}{16909} a^{4} - \frac{5051}{16909} a^{3} - \frac{997}{16909} a^{2} + \frac{96}{16909} a + \frac{276}{16909}$, $\frac{1}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{43} - \frac{7162503021901030217146685051444036085939737962796140463294901211631385425170882188990843278493520470699674701654489752404003427053323807310187007955399274785743924489450651455873349099293488924496848146671015547047090248156503336391925602466157705206250511572612465294599376555833790535559495710370063349936474720275774099477652577049691819659474504534819508075401953027246979327660390220519201615545773395}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{42} + \frac{131269732288762852746947630795789777690035136624175313696704270170949469332808954472419495184683557139386525045251688020695169694249015519278442753801013432699233058639548819981424000949928079257029651351367782679756473395475239956156360361507713191194609165661670824406925195349825912569313553426827869381306962597939422828012170165722673738736209264992055575172621222931916518365640521999622944267929554190926}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{41} + \frac{169517629096394505220958245883787025659177056199496129122338515015331884069677056794003844149542565463018794786429390678405240159091349923503520832743197270139511436141824580361179628070656115164356435823531217812155897927432617059779330061448161484192888548532963686799721165645764467848892163236472586591364644922199261004510727671979892168564004572219123706530620114765943921685663144958958776650802869948842}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{40} + \frac{238361655362089534831267307731151997457596227084915214417110935043963744906463590999829229008824408263149727075793107302076980850387901744825655293842775372321932794309742617314006108815683564185550504790345490722340498824777464528884458319347433419988709986973598935876180886630318789149034220464339024898908404182640746864127757339681352543809956436007102502405101945941306728637179709083429780326058009283164}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{39} - \frac{135573856754567982418721569183918857172438974756198490130849267608189388584071886888032792284579857001025732520982633594806193889200762843577820494445438924299625065536353050160306366001105803795611864854614293816926474375055402450243389925061085686103932125267245997617273574685480006688162209124666298660577083586309720014266863631510324514961495288025723203216678856126434135695337793830421166943068822315060}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{38} - \frac{6574249874678516784484311033535535132441172399136603830130416288079056478757198832492328550588810309108983653615268616908854785774341144407146101567594669083353167868672967093209507591306242919682900728480144076954320468528379646702717491764124547388023437947189695675115294421263922924564112517018903524056396284086125019463629815518405466882529547319064628064886786027139936226089520614639810291053681463312}{15336958389814908765087424774881029058661524166942958651665776005023858200715042943573874510452656318053619880825761716592958374932076703402095808185126586879985828226376814781377123456935176248262240659168745460336239934330876915154700431304432883385997600151423083448208704080060211545030647919067516728802395698091154027662085417760143482356671211444174000099668645500091068613158499009538923459331202922533} a^{37} - \frac{25442483440626946846103476144428747867828406804276426508733572054974191781022589193645506716520277427146404029789605476642360556134452877441373560685756095119499544824205384039738202635598786009938176982740767745257316016007566927979082471433636261347516330569598693125897543128949322717658340399082016840040450110655472816585753657954798901397064301228481404658959643482206919766602241031162484258501000525518}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{36} + \frac{17069740458876764686996592195823027015528369555161835622564810353148137627927905002854440438115000628682292908370658624586823904176490138553894161692924820130383946214354805790347370676903251526243374599404414304231853884638107741286160240109814493933267866559622311439786373745633043577254320931699111237160422405492191293072597946756932612671929611837043200550411667000059767478722239113072229961644483808545}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{35} - \frac{104512507147286344636563422990101476844467356126164585960440969791877230703882149251019130739065364214279729160744336291227500976626710884766540206876339442470330833783778964245009773013410285426983479096909090318182597905446639382433546596754284910492335371081069925407962082981877765922572991763417910193016646009048166734621845145536598058415332714250355044661998752174595121290995066290376824010566683315923}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{34} + \frac{164017927932494831817832185702621068082705133163054784246636379866065783554244623459743718194533329653245301309536735565179173624757715075319216242553510483977798468389684842341361575250494939160206127622398953801837229142954089958087983391101242754726991724234453078798508642971581268760841338238253632873602109344068624186346744037053927303862357576666873972420719415126290366170908980823374535593759939159698}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{33} + \frac{43303679411466155236414934440552336394483908047640154330610864742876805503173785425904870891372667882322700464268042073747680010712399259762324906400330245449057535050118747965605105603273610192690564433899283725651331836741847503775272184738497844612818168926068467768134642000337862149263134512064291113519415796311910786030009474936964576376722983701473117950842750897531669933272574133474158061384002370749}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{32} - \frac{211555425187539613317907420756151747888402426683756948665735802130598320790541218116694735955425552474224541059611346944708813836204091081956507274158338897607431565220211410216082645692664765028177425247516486867389020549200266010205824841100360917750201396962373039741075257350678399541957903581063355490124252761012831078634608345846535786055094759194174010685415714521044712655521729691653843191292450658999}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{31} + \frac{224214601149388377615525798670452501043876827621899214394626545958110502419119032457526303821834790399927996891642757673687630925845417164949796225727250976022962909625130677815121582598039728881323525902066354470730916051335822126290705526402400308070831474393006102609921601645742650961049113643674766617163992645624735028325242853928887205444804263093401694885850468159003184542538422675689184282562407031647}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{30} - \frac{51463138639649069312382987176456752773469777653253012668144523790519739496539201327747404327749699388682957986126269256365705605525380540822638541672267664005485923027636237892964046102454647476819653661813581300421537912558298550585432652511891257758196172962566041315059417876166360309207281595609027532051590510633071746564037603174410045097260934440053950324529075271850666902884368868122177673715330867452}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{29} - \frac{57892287404420305073880342790648247909588958463645599207292456474993799425452140883896061093585292836543401227785177916501142181201241620133782697853799681171685783965938424119285748503146420676246408030209009317890638925375683922351393329733983482278850302467565965619976611514975305864853864995017812178163521779583132503763297808333892863505837691659411288684294225563140177266353059514634159185647362861604}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{28} - \frac{47214190756603470160805012544968358865401689375447059895697553535738187317371544413341340901223161004801179063724396614562707067333761856783379670413728471312829069543158292088997970934573284937122772170011366565346125603590642779859010904448145878623589958994139558157161789441482019709045075043249964753529248069108854572238250465304256259719340512020017850267109086621208303739331302103233421968032780439116}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{27} + \frac{31347024880516656379132110186680411873317118703687903242005066163159083687334621584277854656624296927079286321728254888087841641540290037662185447967563025959192695504726331694009328654144933638660332113210028894801208136624370854258276487190230429538096362805448832700058777578915172730863107890376979366056217335318966063116703073300570661718483538362212792680843020150636959232363274848084234381956206395475}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{26} - \frac{55478831661371151854414346761760358701684701570006348812825535858703352460763611967369425805061406083735642188958380631642654319574385794390678673460204723769521142656764885165382022289679792175200892527574528784849184434625524579880487459233232805649695079684147999814739726104290753547484069620299570206470194527776819158596405129595209339281154486705946401223264973097313600343949493987102747387036656002120}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{25} - \frac{222911492157204095513657337124871662401923512235976037277315819677761203039375944929225868829479521273820254904294034394109615420758470224465823025202709816542007765601934876218548665355277338551815497210847605033910803701599125214248206909937684790537594712081571211648731815062133274231898536798514983491082657951170849216518090731741508087247078320762858549003988740083407389520007306713384419136380156728840}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{24} - \frac{50612766631089738929010438960570808324522348474235930622039809953438744771433151609556459578660767257355423359272728266646019012098307173437358623042664933590321540210169479846533187854150604611098581831475594541145755538378898321781446466033160719585472021528204243573396216856636371321508418343392431493643459669625737147141166325444505045944480591887665289440837378977974402850965609602800956277241939247832}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{23} + \frac{151846901790671233245695841335440070690332587225570109299786789793315235823788286677795028313029715370749801604044316298153383699459532665724724552245977771702979778250658422427943617292438140568636397298549745221333301040044970805656511055166191235353871029263524603591924360228058995495635457588178097471182896065204727523866556117368435533643709428454254999632192541842074718263717012460424525969358677479466}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{22} - \frac{258190358470359294267719872493371258487419682331809524291974922699653298040402073203236665818977566932460590038716880734209535138276628060394240339261277355852771508517138196191363585831467823694288955395229419159919700251693871800591195059914352761199749856371665082450192001023846390570569103948710291674877625966208662411228582395963685020934875998623471349766687512743177113176423295964067742737684029909741}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{21} - \frac{15387719963638449984530159403655388250197777208957522437539517648511392589993100096633894607353411934480053224834272434486989081374912980095447715876672922387677801782365564932984849833699434883712670163559115576746180734659420412777550821630345598742864664377827368078109516505758824986784273135901000181758807353748123291429351005191953185380301991465475151408141670054018503124876129692299393000273262054501}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{20} + \frac{239031450876695432704702108617983878066753544274400089153422861296119999094774586359757744378076223252539630685971667571498990599583252679907934251489015177441924385441645348087400290962168755182831656797186484573834588392195285940153652137492530131067533216948044659097112711975714375911742796678133232297986402735073956640368844622236552086144563839076292193819473031153933804253312696211991722400936489763479}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{19} - \frac{47457217057004515868384502446061651545893614493440723659610144207719433775696909311855200024481889817421557842485658021046100845474246410720182469109210878352033131763108041453001251683684545890418141010305296625988749535589781936602091626487781617769841782185397879517484691196179060176077498894626882638559212962957234436714688968797047087232484521512512005576656839399229523403302646551876137093137737867562}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{18} - \frac{173697588943677785143023266471189662451301674231221714645597420251060697505370529504145641175883074548073106974663216764955560417782998245211034390654807200080333535466593633643650790732699488134356827935184814463591580779940495859372109339736444934232822719982546958735176049912504664603459624060110507978609447494061191678191226833027560382372622210510601013268260412253502114079274542427588520711489828795714}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{17} + \frac{181758460433157683485144524419918080414586535919072599916312838963915981027910135131035785974978090278939778073751002614415597266482905257004305917978170925323906122389931576385887332051170519123130992851883908057987115314558657626006219157233917698582986448303212514197905080255838206854246080440444874776529576609731716502048707848779916077441401909419465867883924639649974828598953343067267476684175164549002}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{16} + \frac{269726999658305756450037510294325651713806651589126404982328637671811523718009667403180073934181886967402688607767207632974060678952818912540136016200656566620622481792463450647273663537657489256481216934249796159250907578094699191996004949133338122909253037318950131217970743260853280371359608647079242952654111115445819335888412965527822981261019064539452030283994193767198158013216807345189032423155412694318}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{15} - \frac{122349835322248515969590282346909515269794149323528678414993935639981811843079554999701132055819420414681645266430402575658037564333974179673217196300229144545905232676871424405333033667118610639955375910719981324614043745483506364779126356399160147570949615234333421533201996577212787401796598739156258726362123042627812101214753783594337640069336303028953810978755510906645525174292375149261547613261996135816}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{14} + \frac{7930870695649827557699541839989476167363675200314170698040863334445000084942202868759246250090623872033449679805482386002405906370093997049236108035327582436239987241246915056193389876488580752697725444269339885734482243473611724446016521558528718164362316988264890685091609777443048861182355967377813273752996255241765461029645126854117671386008052521603495640414964866537552472576998954648238821593821913968}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{13} - \frac{222299878523560619017661591748133512466301984587010084545341114831882870792805190055770510447112743043803771650799252078167889019733148745164327606055878696860941637091294862933355463904303056761344588671009317596446642299484685231684010291163456189373959021749838076558794264902650769743666834007180611886797698208465788935462406733898983420360411444827755261560681124367193221097185843272496940622046810074762}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{12} - \frac{85690092000084329760915807449749248627749816868456441231705086348668339586155399920211349853522205773241491408518258396811327023390572560338056967816432750459672784245704558726872861649844552567898741618211013493594745379605772229396488821981238182586813355932680717936848369606486898388023912284825192724191111930997433862563818593472947006802018035111765227868034862085507410122010638596988612516814856448828}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{11} - \frac{49579211275396085895228130532174280746622399257755642869374203840313163501157942539644982839770819905805470116965988874127393598934155983159189006728972726041847556621232658484408204193857346926886588540486592961702247943965657300601275570673106384373417406096438980857430627537711214747486872212321061823081247285622376117580830832985413082070146749082802051548655218795528146158514132896624320021054119394775}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{10} + \frac{163232678514056636822689183035759529862500367684171445289011859772458353811573079961855694465485721441935862423508039611893346559294799452408595134263013064823210508713913700089366081420830222778047835510010126690304178873145123801345152513538906638943116496169467159415100614204022622412349198517560113901792231199593329434021996568372741341986973951999703099627052345342958351203565085028453111837138212534005}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{9} + \frac{40364234261385661844937950165688358756739178280376244034099822902625116418981845071189528123937436786275699885193879522662319830290932858264964554338735058992126618046641107291604498090151049074922242107492198467007939996181263422253157274429851118802547158770258775417121905490907422048100485137860140682435556959859250707413840441050521137296251249244277592501448389870560608292959199035169972518460723539601}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{8} - \frac{175100396956539449414280027365062221435270183615342822606683237513541951508075764928772745767564339383572932978297994312871038286192417505845538654792947252947029071291381570446922805192050130728058474468737100671388738766635582133824160983323170714104360410108034784100459114975749343725379512991379848683319985378641638215140995876447648882485953920730099605638181509721673183296139337707862471346062542477958}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{7} - \frac{2902510487763060164916155851546511410202960634216045841482959164639439272605512639948401316132378639482646591003181608731988382553373408486853774813828117725396733855979332542649546653844522343767445423827296661907464153402878699695455945638252925695669063205056248077284111440482625388154862979423670119493093978261802350209813582141535488113870739567057777457368085685620725771116781093728918874195500071039}{15336958389814908765087424774881029058661524166942958651665776005023858200715042943573874510452656318053619880825761716592958374932076703402095808185126586879985828226376814781377123456935176248262240659168745460336239934330876915154700431304432883385997600151423083448208704080060211545030647919067516728802395698091154027662085417760143482356671211444174000099668645500091068613158499009538923459331202922533} a^{6} - \frac{95561150912668836478227868784498306698600812312080832015586707495801872418332918564733984691707295113850788480166349116122487584364390109447248273354289570082469458541807598807608069467846662865305929713557271367835742170044368460705738833003829587205975947898947600138480323192140937508556467285818959013282255398930008586190569122986791754933811532276208086901426297497994487000545433515295318374367820885934}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{5} + \frac{122220376161215857254707992870029466356660522314382395631365647018918958085564979760295360065239769131799082907175797882435281432930332243139465194101801896848201927721143077351164347044427177315524576182614979002277110476712741751427954671960704342766479912692332628676716442684052600292166519934218434343475005079876144142590107707778882895550962486726463298031677573058520467468083009137186350750837326950858}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{4} - \frac{36767887653917025061539829152829942197123642764535330250550655864855458218041097527672330632827069637266534098412345748118044460925507761710069064788580338139328033313131780972780344867596510158190876238815205885392135958724637528437007563103855984725520058517763469542457950073417653806065450518450089792343982157847217517204139032490481378203827468384077847826306136830794007188863886527234384630213214092883}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{3} + \frac{7763284511617388188130682386074840742158080894096928459956510785670755869676728699407685703029806217466535473800960821517183049606658928543778086750070575737933999979925168376629983646271874683926460319798334452974522052414566791351964948616419184504313652016129289190241018801900850779963909814470599375944634847654386681198562619810467559470920949185772143350971972487635751616523047811140392225491819184029}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a^{2} - \frac{194357615488761367802802106451485577946166026296893562822190036010250669953747188070057788701392380408239299440248866116815360294575326721027875910945563524235344868823802355240162197679651942956399839738483704909008754767740065572927830888727346515089175691200165390859943018272163689042815000819818989660710966169971679989479945100610635745271739520232755554406576526535922447085150914582962559073869770576825}{567467460423151624308234716670598075170476394176889470111633712185882753426456588912233356886748283767983935590553183513939459872486838025877544902849683714559475644375942146910953567906601521185702904389243582032440877570242445860723915958264016685281911205602654087583722050962227827166133973005498118965688640829372699023497160457125308847196834823434438003687739883503369538686864463352940167995254508133721} a - \frac{82726451394487029514522360666942007391029475342439148270924833656057168805743724320120398925473624561955800446976494618552644531686284390838206747141345566659831922066278665493571516682769265342884803393710065612191946335765533095939310471801567997987983880389489021736402391221266116447847563000390657347056400312384127492120332808127238102031482766474600913280457710148816209816674151198203615801904532547}{442297319113913970622162678620887042221727509101238869923331030542387181158578791046167854159585568018693636469643946620373702160940637588369091896219550829742381640199487254022567083325488325164226737637758053026064596703228718519660105969028851664288317385504796638802589283680614050791998420113404613379336430888053545614573001135717310091345935170252874515734793362044715150964040891155838010908226428787}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{445}) \), 4.0.88121125.2, 11.11.31181719929966183601.1, 22.22.4225325661298128736141932434930999908246533203125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ $22^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/7.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/13.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ $22^{2}$ $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/37.2.0.1}{2} }^{22}$ $44$ $22^{2}$ $44$ $44$ $44$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
89Data not computed