↑

Properties

Label 44.0.63735586932...0592.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $2^{121}\cdot 11^{22}\cdot 23^{40}$
Root discriminant $385.89$
Ramified primes $2, 11, 23$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4261581640413011116141369057, -1021208505276065935211161352, 4840346129829289788210382520, -1097811866899303633376184156, 2711240748706355837313730686, -581679407650510662543408668, 992905136657073086108322990, -201251578078840046061089680, 265871502086628031896736617, -50811367810969170459257440, 55177014296826057984352506, -9915451857640942707235084, 9182221521270632077265647, -1545994678195125737706904, 1250953936009105860804974, -196435665083615705294760, 141251615396772952843075, -20569608214806383894840, 13304629870600067621984, -1784203887396236578908, 1047347442861854229432, -128259317837580249532, 68785024359507662624, -7615609064474320416, 3750658087111474564, -371193178297827952, 168602100536112036, -14733546436300584, 6195716143526136, -471779938027168, 184321188359002, -12047214773252, 4387101211849, -241573595600, 82234067400, -3719731600, 1186619666, -42479344, 12725514, -339364, 95623, -1696, 450, -4, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 4*x^43 + 450*x^42 - 1696*x^41 + 95623*x^40 - 339364*x^39 + 12725514*x^38 - 42479344*x^37 + 1186619666*x^36 - 3719731600*x^35 + 82234067400*x^34 - 241573595600*x^33 + 4387101211849*x^32 - 12047214773252*x^31 + 184321188359002*x^30 - 471779938027168*x^29 + 6195716143526136*x^28 - 14733546436300584*x^27 + 168602100536112036*x^26 - 371193178297827952*x^25 + 3750658087111474564*x^24 - 7615609064474320416*x^23 + 68785024359507662624*x^22 - 128259317837580249532*x^21 + 1047347442861854229432*x^20 - 1784203887396236578908*x^19 + 13304629870600067621984*x^18 - 20569608214806383894840*x^17 + 141251615396772952843075*x^16 - 196435665083615705294760*x^15 + 1250953936009105860804974*x^14 - 1545994678195125737706904*x^13 + 9182221521270632077265647*x^12 - 9915451857640942707235084*x^11 + 55177014296826057984352506*x^10 - 50811367810969170459257440*x^9 + 265871502086628031896736617*x^8 - 201251578078840046061089680*x^7 + 992905136657073086108322990*x^6 - 581679407650510662543408668*x^5 + 2711240748706355837313730686*x^4 - 1097811866899303633376184156*x^3 + 4840346129829289788210382520*x^2 - 1021208505276065935211161352*x + 4261581640413011116141369057)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 4*x^43 + 450*x^42 - 1696*x^41 + 95623*x^40 - 339364*x^39 + 12725514*x^38 - 42479344*x^37 + 1186619666*x^36 - 3719731600*x^35 + 82234067400*x^34 - 241573595600*x^33 + 4387101211849*x^32 - 12047214773252*x^31 + 184321188359002*x^30 - 471779938027168*x^29 + 6195716143526136*x^28 - 14733546436300584*x^27 + 168602100536112036*x^26 - 371193178297827952*x^25 + 3750658087111474564*x^24 - 7615609064474320416*x^23 + 68785024359507662624*x^22 - 128259317837580249532*x^21 + 1047347442861854229432*x^20 - 1784203887396236578908*x^19 + 13304629870600067621984*x^18 - 20569608214806383894840*x^17 + 141251615396772952843075*x^16 - 196435665083615705294760*x^15 + 1250953936009105860804974*x^14 - 1545994678195125737706904*x^13 + 9182221521270632077265647*x^12 - 9915451857640942707235084*x^11 + 55177014296826057984352506*x^10 - 50811367810969170459257440*x^9 + 265871502086628031896736617*x^8 - 201251578078840046061089680*x^7 + 992905136657073086108322990*x^6 - 581679407650510662543408668*x^5 + 2711240748706355837313730686*x^4 - 1097811866899303633376184156*x^3 + 4840346129829289788210382520*x^2 - 1021208505276065935211161352*x + 4261581640413011116141369057, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - 4 x^{43} + 450 x^{42} - 1696 x^{41} + 95623 x^{40} - 339364 x^{39} + 12725514 x^{38} - 42479344 x^{37} + 1186619666 x^{36} - 3719731600 x^{35} + 82234067400 x^{34} - 241573595600 x^{33} + 4387101211849 x^{32} - 12047214773252 x^{31} + 184321188359002 x^{30} - 471779938027168 x^{29} + 6195716143526136 x^{28} - 14733546436300584 x^{27} + 168602100536112036 x^{26} - 371193178297827952 x^{25} + 3750658087111474564 x^{24} - 7615609064474320416 x^{23} + 68785024359507662624 x^{22} - 128259317837580249532 x^{21} + 1047347442861854229432 x^{20} - 1784203887396236578908 x^{19} + 13304629870600067621984 x^{18} - 20569608214806383894840 x^{17} + 141251615396772952843075 x^{16} - 196435665083615705294760 x^{15} + 1250953936009105860804974 x^{14} - 1545994678195125737706904 x^{13} + 9182221521270632077265647 x^{12} - 9915451857640942707235084 x^{11} + 55177014296826057984352506 x^{10} - 50811367810969170459257440 x^{9} + 265871502086628031896736617 x^{8} - 201251578078840046061089680 x^{7} + 992905136657073086108322990 x^{6} - 581679407650510662543408668 x^{5} + 2711240748706355837313730686 x^{4} - 1097811866899303633376184156 x^{3} + 4840346129829289788210382520 x^{2} - 1021208505276065935211161352 x + 4261581640413011116141369057 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 22]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(637355869329332251201071317246647563330929205499488362752542693433916506945636309928088212472341047144500892270592=2^{121}\cdot 11^{22}\cdot 23^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $385.89$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 11, 23$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(4048=2^{4}\cdot 11\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{4048}(1,·)$, $\chi_{4048}(901,·)$, $\chi_{4048}(1409,·)$, $\chi_{4048}(265,·)$, $\chi_{4048}(3981,·)$, $\chi_{4048}(3629,·)$, $\chi_{4048}(2837,·)$, $\chi_{4048}(2201,·)$, $\chi_{4048}(285,·)$, $\chi_{4048}(2309,·)$, $\chi_{4048}(3873,·)$, $\chi_{4048}(1957,·)$, $\chi_{4048}(2993,·)$, $\chi_{4048}(2221,·)$, $\chi_{4048}(177,·)$, $\chi_{4048}(2485,·)$, $\chi_{4048}(969,·)$, $\chi_{4048}(1849,·)$, $\chi_{4048}(2749,·)$, $\chi_{4048}(3893,·)$, $\chi_{4048}(3521,·)$, $\chi_{4048}(197,·)$, $\chi_{4048}(353,·)$, $\chi_{4048}(3785,·)$, $\chi_{4048}(1869,·)$, $\chi_{4048}(1605,·)$, $\chi_{4048}(461,·)$, $\chi_{4048}(725,·)$, $\chi_{4048}(441,·)$, $\chi_{4048}(1497,·)$, $\chi_{4048}(2377,·)$, $\chi_{4048}(1761,·)$, $\chi_{4048}(2661,·)$, $\chi_{4048}(3169,·)$, $\chi_{4048}(3433,·)$, $\chi_{4048}(2925,·)$, $\chi_{4048}(637,·)$, $\chi_{4048}(2289,·)$, $\chi_{4048}(2025,·)$, $\chi_{4048}(2465,·)$, $\chi_{4048}(1145,·)$, $\chi_{4048}(813,·)$, $\chi_{4048}(3453,·)$, $\chi_{4048}(1429,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $\frac{1}{11} a^{22} - \frac{2}{11} a^{21} + \frac{3}{11} a^{20} + \frac{5}{11} a^{19} - \frac{2}{11} a^{16} + \frac{4}{11} a^{15} - \frac{2}{11} a^{14} + \frac{4}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{10} - \frac{4}{11} a^{9} - \frac{3}{11} a^{8} - \frac{5}{11} a^{7} - \frac{1}{11} a^{6} + \frac{2}{11} a^{5} - \frac{4}{11} a^{4} - \frac{3}{11} a^{3} - \frac{5}{11} a^{2} - \frac{1}{11} a + \frac{1}{11}$, $\frac{1}{11} a^{23} - \frac{1}{11} a^{21} - \frac{1}{11} a^{19} - \frac{2}{11} a^{17} - \frac{5}{11} a^{15} - \frac{3}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{24} - \frac{2}{11} a^{21} + \frac{2}{11} a^{20} + \frac{5}{11} a^{19} - \frac{2}{11} a^{18} + \frac{4}{11} a^{16} + \frac{4}{11} a^{15} - \frac{5}{11} a^{14} + \frac{4}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{12} + \frac{2}{11} a^{10} - \frac{4}{11} a^{9} - \frac{3}{11} a^{8} - \frac{5}{11} a^{7} - \frac{1}{11} a^{6} + \frac{2}{11} a^{5} - \frac{4}{11} a^{4} - \frac{3}{11} a^{3} + \frac{5}{11} a^{2} + \frac{1}{11} a + \frac{1}{11}$, $\frac{1}{11} a^{25} - \frac{2}{11} a^{21} - \frac{3}{11} a^{19} + \frac{4}{11} a^{17} + \frac{3}{11} a^{15} - \frac{1}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a^{3} + \frac{2}{11} a^{2} - \frac{1}{11} a + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{26} - \frac{4}{11} a^{21} + \frac{3}{11} a^{20} - \frac{1}{11} a^{19} + \frac{4}{11} a^{18} - \frac{1}{11} a^{16} - \frac{3}{11} a^{15} - \frac{5}{11} a^{14} - \frac{3}{11} a^{13} + \frac{2}{11} a^{12} + \frac{4}{11} a^{10} + \frac{3}{11} a^{9} + \frac{5}{11} a^{8} + \frac{1}{11} a^{7} - \frac{2}{11} a^{6} + \frac{4}{11} a^{5} + \frac{2}{11} a^{4} - \frac{4}{11} a^{3} + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{11} a^{27} - \frac{5}{11} a^{21} + \frac{2}{11} a^{19} - \frac{1}{11} a^{17} - \frac{4}{11} a^{13} + \frac{4}{11} a^{11} - \frac{1}{11} a^{5} + \frac{2}{11} a^{4} - \frac{1}{11} a^{3} + \frac{2}{11} a^{2} - \frac{2}{11} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{517} a^{28} - \frac{7}{517} a^{27} - \frac{4}{517} a^{26} + \frac{3}{517} a^{25} + \frac{1}{47} a^{24} + \frac{2}{517} a^{23} + \frac{2}{47} a^{22} - \frac{11}{47} a^{21} - \frac{6}{517} a^{20} - \frac{205}{517} a^{19} + \frac{5}{517} a^{18} + \frac{114}{517} a^{17} - \frac{248}{517} a^{16} + \frac{207}{517} a^{15} + \frac{17}{517} a^{14} - \frac{136}{517} a^{13} + \frac{238}{517} a^{12} - \frac{29}{517} a^{11} + \frac{258}{517} a^{10} + \frac{67}{517} a^{9} - \frac{57}{517} a^{8} - \frac{73}{517} a^{7} - \frac{251}{517} a^{6} - \frac{184}{517} a^{5} + \frac{23}{517} a^{4} - \frac{136}{517} a^{3} + \frac{119}{517} a^{2} + \frac{250}{517} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{517} a^{29} - \frac{6}{517} a^{27} + \frac{2}{47} a^{26} - \frac{15}{517} a^{25} - \frac{15}{517} a^{24} - \frac{1}{47} a^{23} - \frac{14}{517} a^{22} + \frac{181}{517} a^{21} + \frac{82}{517} a^{20} + \frac{168}{517} a^{19} + \frac{8}{517} a^{18} - \frac{108}{517} a^{17} + \frac{210}{517} a^{16} - \frac{179}{517} a^{15} - \frac{205}{517} a^{14} + \frac{12}{47} a^{13} - \frac{8}{517} a^{12} + \frac{5}{47} a^{11} + \frac{228}{517} a^{10} + \frac{83}{517} a^{9} + \frac{186}{517} a^{8} - \frac{10}{517} a^{7} + \frac{174}{517} a^{6} + \frac{145}{517} a^{5} - \frac{257}{517} a^{4} - \frac{81}{517} a^{3} - \frac{186}{517} a^{2} - \frac{177}{517} a + \frac{5}{11}$, $\frac{1}{517} a^{30} - \frac{20}{517} a^{27} + \frac{8}{517} a^{26} + \frac{3}{517} a^{25} + \frac{8}{517} a^{24} - \frac{2}{517} a^{23} - \frac{16}{517} a^{22} - \frac{80}{517} a^{21} + \frac{226}{517} a^{20} - \frac{1}{11} a^{19} + \frac{204}{517} a^{18} - \frac{140}{517} a^{17} - \frac{210}{517} a^{16} - \frac{91}{517} a^{15} - \frac{142}{517} a^{14} + \frac{116}{517} a^{13} - \frac{68}{517} a^{12} + \frac{54}{517} a^{11} + \frac{3}{47} a^{10} + \frac{15}{47} a^{9} - \frac{23}{517} a^{8} + \frac{112}{517} a^{7} - \frac{45}{517} a^{6} + \frac{13}{47} a^{5} + \frac{104}{517} a^{4} - \frac{62}{517} a^{3} - \frac{11}{47} a^{2} - \frac{51}{517} a - \frac{4}{11}$, $\frac{1}{517} a^{31} + \frac{9}{517} a^{27} + \frac{17}{517} a^{26} + \frac{21}{517} a^{25} - \frac{17}{517} a^{24} - \frac{23}{517} a^{23} - \frac{16}{517} a^{22} + \frac{156}{517} a^{21} + \frac{68}{517} a^{20} + \frac{146}{517} a^{19} - \frac{228}{517} a^{18} - \frac{233}{517} a^{17} - \frac{163}{517} a^{16} - \frac{185}{517} a^{15} - \frac{155}{517} a^{14} - \frac{203}{517} a^{13} - \frac{11}{47} a^{12} - \frac{171}{517} a^{11} - \frac{174}{517} a^{10} - \frac{93}{517} a^{9} + \frac{241}{517} a^{8} + \frac{93}{517} a^{7} + \frac{199}{517} a^{6} + \frac{90}{517} a^{5} + \frac{210}{517} a^{4} + \frac{73}{517} a^{3} + \frac{120}{517} a^{2} + \frac{112}{517} a + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{517} a^{32} - \frac{14}{517} a^{27} + \frac{10}{517} a^{26} + \frac{3}{517} a^{25} + \frac{19}{517} a^{24} + \frac{13}{517} a^{23} + \frac{5}{517} a^{22} - \frac{23}{47} a^{21} - \frac{35}{517} a^{20} + \frac{160}{517} a^{19} - \frac{21}{47} a^{18} + \frac{3}{47} a^{17} - \frac{21}{517} a^{16} - \frac{185}{517} a^{15} + \frac{114}{517} a^{14} + \frac{116}{517} a^{13} - \frac{57}{517} a^{12} - \frac{101}{517} a^{11} - \frac{159}{517} a^{10} - \frac{221}{517} a^{9} - \frac{193}{517} a^{8} - \frac{131}{517} a^{7} + \frac{17}{47} a^{6} + \frac{80}{517} a^{5} - \frac{134}{517} a^{4} - \frac{19}{517} a^{3} - \frac{6}{47} a^{2} + \frac{100}{517} a - \frac{5}{11}$, $\frac{1}{517} a^{33} + \frac{6}{517} a^{27} - \frac{6}{517} a^{26} + \frac{14}{517} a^{25} - \frac{21}{517} a^{24} - \frac{14}{517} a^{23} + \frac{8}{517} a^{22} - \frac{225}{517} a^{21} + \frac{217}{517} a^{20} + \frac{189}{517} a^{19} + \frac{150}{517} a^{18} - \frac{164}{517} a^{17} - \frac{226}{517} a^{16} - \frac{43}{517} a^{15} + \frac{119}{517} a^{14} - \frac{128}{517} a^{13} - \frac{153}{517} a^{12} + \frac{140}{517} a^{11} + \frac{7}{517} a^{10} - \frac{22}{47} a^{9} + \frac{1}{47} a^{8} - \frac{130}{517} a^{7} - \frac{191}{517} a^{6} + \frac{16}{517} a^{5} - \frac{26}{517} a^{4} + \frac{51}{517} a^{3} + \frac{11}{47} a^{2} - \frac{72}{517} a + \frac{2}{11}$, $\frac{1}{517} a^{34} - \frac{1}{47} a^{27} - \frac{9}{517} a^{26} + \frac{8}{517} a^{25} + \frac{14}{517} a^{24} - \frac{4}{517} a^{23} + \frac{19}{517} a^{22} - \frac{185}{517} a^{21} - \frac{151}{517} a^{20} - \frac{7}{47} a^{19} - \frac{53}{517} a^{18} - \frac{158}{517} a^{17} + \frac{82}{517} a^{16} + \frac{5}{517} a^{15} - \frac{183}{517} a^{14} + \frac{240}{517} a^{13} - \frac{160}{517} a^{12} + \frac{87}{517} a^{11} - \frac{4}{517} a^{10} + \frac{173}{517} a^{9} + \frac{118}{517} a^{8} - \frac{82}{517} a^{7} + \frac{112}{517} a^{6} - \frac{191}{517} a^{5} - \frac{87}{517} a^{4} + \frac{232}{517} a^{3} - \frac{128}{517} a^{2} - \frac{90}{517} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{517} a^{35} + \frac{8}{517} a^{27} + \frac{1}{47} a^{26} + \frac{23}{517} a^{24} - \frac{6}{517} a^{23} + \frac{10}{517} a^{22} - \frac{166}{517} a^{21} + \frac{186}{517} a^{20} - \frac{9}{47} a^{19} - \frac{244}{517} a^{18} + \frac{114}{517} a^{17} + \frac{50}{517} a^{16} - \frac{68}{517} a^{15} + \frac{239}{517} a^{14} + \frac{36}{517} a^{13} + \frac{26}{517} a^{12} - \frac{135}{517} a^{11} - \frac{185}{517} a^{10} + \frac{9}{517} a^{9} - \frac{51}{517} a^{8} + \frac{61}{517} a^{7} + \frac{197}{517} a^{6} - \frac{21}{47} a^{5} - \frac{20}{47} a^{4} + \frac{115}{517} a^{3} + \frac{4}{47} a^{2} + \frac{212}{517} a + \frac{3}{11}$, $\frac{1}{517} a^{36} + \frac{20}{517} a^{27} - \frac{15}{517} a^{26} - \frac{1}{517} a^{25} - \frac{6}{517} a^{23} - \frac{13}{517} a^{22} + \frac{214}{517} a^{21} - \frac{51}{517} a^{20} - \frac{155}{517} a^{19} + \frac{215}{517} a^{18} + \frac{219}{517} a^{17} + \frac{130}{517} a^{16} - \frac{101}{517} a^{15} + \frac{41}{517} a^{14} + \frac{3}{47} a^{13} + \frac{123}{517} a^{12} - \frac{3}{11} a^{11} + \frac{14}{47} a^{10} + \frac{15}{47} a^{9} + \frac{1}{11} a^{8} + \frac{170}{517} a^{7} - \frac{103}{517} a^{6} - \frac{111}{517} a^{5} + \frac{119}{517} a^{4} + \frac{98}{517} a^{3} + \frac{59}{517} a^{2} + \frac{68}{517} a + \frac{4}{11}$, $\frac{1}{517} a^{37} - \frac{16}{517} a^{27} - \frac{15}{517} a^{26} - \frac{13}{517} a^{25} + \frac{9}{517} a^{24} - \frac{6}{517} a^{23} + \frac{9}{517} a^{22} - \frac{216}{517} a^{21} - \frac{16}{47} a^{20} + \frac{85}{517} a^{19} - \frac{210}{517} a^{18} + \frac{153}{517} a^{17} + \frac{23}{47} a^{16} + \frac{37}{517} a^{15} + \frac{69}{517} a^{14} + \frac{211}{517} a^{13} + \frac{34}{517} a^{12} - \frac{159}{517} a^{11} + \frac{222}{517} a^{10} + \frac{164}{517} a^{9} - \frac{53}{517} a^{8} - \frac{53}{517} a^{7} - \frac{26}{517} a^{6} - \frac{149}{517} a^{5} - \frac{127}{517} a^{4} - \frac{229}{517} a^{3} + \frac{85}{517} a^{2} + \frac{29}{517} a - \frac{5}{11}$, $\frac{1}{517} a^{38} + \frac{14}{517} a^{27} + \frac{17}{517} a^{26} + \frac{10}{517} a^{25} - \frac{18}{517} a^{24} - \frac{6}{517} a^{23} - \frac{5}{517} a^{22} + \frac{191}{517} a^{21} - \frac{1}{47} a^{20} - \frac{106}{517} a^{19} - \frac{49}{517} a^{18} - \frac{226}{517} a^{17} + \frac{158}{517} a^{16} - \frac{191}{517} a^{15} + \frac{201}{517} a^{14} + \frac{20}{517} a^{13} - \frac{158}{517} a^{12} + \frac{134}{517} a^{11} - \frac{126}{517} a^{10} + \frac{32}{517} a^{9} - \frac{25}{517} a^{8} + \frac{28}{517} a^{7} + \frac{112}{517} a^{6} + \frac{125}{517} a^{5} - \frac{13}{47} a^{4} - \frac{23}{517} a^{3} - \frac{182}{517} a^{2} - \frac{89}{517} a + \frac{3}{11}$, $\frac{1}{517} a^{39} + \frac{21}{517} a^{27} + \frac{19}{517} a^{26} - \frac{13}{517} a^{25} - \frac{19}{517} a^{24} + \frac{14}{517} a^{23} - \frac{23}{517} a^{22} + \frac{179}{517} a^{21} - \frac{116}{517} a^{20} + \frac{48}{517} a^{19} - \frac{249}{517} a^{18} - \frac{216}{517} a^{17} + \frac{85}{517} a^{16} - \frac{159}{517} a^{15} + \frac{158}{517} a^{14} - \frac{87}{517} a^{13} + \frac{92}{517} a^{12} + \frac{92}{517} a^{11} - \frac{196}{517} a^{10} + \frac{24}{517} a^{9} - \frac{114}{517} a^{8} - \frac{8}{47} a^{7} - \frac{11}{47} a^{6} + \frac{224}{517} a^{5} - \frac{16}{517} a^{4} + \frac{218}{517} a^{3} - \frac{63}{517} a^{2} - \frac{116}{517} a - \frac{2}{11}$, $\frac{1}{517} a^{40} - \frac{2}{47} a^{27} - \frac{23}{517} a^{26} + \frac{12}{517} a^{25} + \frac{18}{517} a^{24} - \frac{18}{517} a^{23} - \frac{1}{517} a^{22} - \frac{113}{517} a^{21} + \frac{174}{517} a^{20} - \frac{174}{517} a^{19} - \frac{133}{517} a^{18} + \frac{229}{517} a^{17} - \frac{168}{517} a^{16} - \frac{241}{517} a^{15} - \frac{162}{517} a^{14} + \frac{128}{517} a^{13} + \frac{29}{517} a^{12} - \frac{57}{517} a^{11} - \frac{83}{517} a^{10} - \frac{252}{517} a^{9} + \frac{122}{517} a^{8} - \frac{233}{517} a^{7} - \frac{4}{517} a^{6} + \frac{41}{517} a^{5} + \frac{205}{517} a^{4} + \frac{161}{517} a^{3} + \frac{64}{517} a^{2} + \frac{14}{517} a + \frac{1}{11}$, $\frac{1}{24299} a^{41} - \frac{12}{24299} a^{39} - \frac{2}{24299} a^{38} + \frac{15}{24299} a^{37} - \frac{16}{24299} a^{36} - \frac{15}{24299} a^{35} + \frac{6}{24299} a^{34} - \frac{6}{24299} a^{33} + \frac{1}{24299} a^{32} - \frac{2}{24299} a^{31} + \frac{21}{24299} a^{30} + \frac{1}{24299} a^{29} - \frac{14}{24299} a^{28} - \frac{189}{24299} a^{27} - \frac{613}{24299} a^{26} + \frac{301}{24299} a^{25} + \frac{117}{24299} a^{24} - \frac{1060}{24299} a^{23} - \frac{1068}{24299} a^{22} - \frac{5891}{24299} a^{21} - \frac{11548}{24299} a^{20} + \frac{2107}{24299} a^{19} - \frac{11739}{24299} a^{18} + \frac{2492}{24299} a^{17} + \frac{4475}{24299} a^{16} + \frac{53}{517} a^{15} + \frac{5977}{24299} a^{14} + \frac{8280}{24299} a^{13} - \frac{608}{2209} a^{12} + \frac{11661}{24299} a^{11} - \frac{322}{2209} a^{10} + \frac{2328}{24299} a^{9} + \frac{4364}{24299} a^{8} + \frac{4828}{24299} a^{7} + \frac{2395}{24299} a^{6} - \frac{8276}{24299} a^{5} - \frac{4883}{24299} a^{4} - \frac{4815}{24299} a^{3} + \frac{5408}{24299} a^{2} - \frac{10579}{24299} a + \frac{24}{517}$, $\frac{1}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{42} + \frac{2374833976653185323387023550482908075612307710363343436483534161816195219312251030514328370962395385892220497924898423573522691601947634856352874352313924053259}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{41} - \frac{149858174270279439645426443045585768822271575980465092578918171601697750075316479197677682326076949606513118061501043063121603707374601426359157080998941651003853}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{40} + \frac{98994225205077662401547049580102823915487994725060998133520283406657966229503190933870169033395011117929748805690248976676689568708254739879143532168072402566706}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{39} + \frac{89298301683366261560310090813405220821726843659965691881173596653604121925707471817251309465101742884529185360940833284856116515748836251071547313722497484023645}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{38} - \frac{5604973736996598740781316735447206970095531830809648966501256162032759807873602335928376796442239763060166228039569316080422225300157655861903040714551928728721}{14266890224123521478748707028243379561780964442183887623903158520422446289881327571719788366729018682902664940592966591402621076051638921117021599477203702872113583} a^{37} + \frac{129162629467351264429079213583135857296175634682647838394727759402912429625987028811177185869811172514663766088553798660727575924745915895443469274035067047916349}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{36} + \frac{51843846738290106415093523629702831224410448488339414219313080056883140099906529008092521729242513207909396081927161260239392868705166358038587580730520876479665}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{35} + \frac{83222131381852096564893523909370634673607989290381352346224806408264451487427989026679380836502361283952939629350270764585767138496807270579028450384664998245696}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{34} - \frac{98747695461388327943827510125280805636064686261237304525021611766804926201884405249679998309754936249727047208509955418479173323360626321129419772503746858675147}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{33} + \frac{113049537412634127055703551962223047288347321844016953797008251703309867063192295968810117451662916466834615792959832329694035932347804062374028601685288275463414}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{32} + \frac{12364601612949955192682904813401970303847465187967383453828925635581271392921366945634892090785676492372842233883310133932984136113477480109379786133071449460754}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{31} + \frac{25883708772014696555480694956424629514985346427435719263412852416989855960117580017170359865936690512174808459624963244316258146246326179830518771051735077946778}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{30} - \frac{41470271338285455713383073998403970428433071782156555931668382602003102750495761855889985982956196885138799099392018955938822015416301564732371006558590695051069}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{29} + \frac{65582263129333885123095084953812938740996132659079600169474007393474577503315725276380416807594781932690122672914847994379049953010062571456360923094168488763321}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{28} + \frac{1129861776164427496313455058594173808392688478578850445379554660640995987590704330467010286884922187217539025284861965446238774536146765305301201396263019259475292}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{27} - \frac{3355971838613405787411133063365525593258107944776560346783663989755719741778322441850543975558680093187575617448598278847266504070430900747509179264560851945422382}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{26} + \frac{4585666760351106757255395606307306511054180106135266032823522991124710244506849288314549736008000712013050085634716878948253118784303323055275604487888540627921705}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{25} + \frac{3366569683128394676536035723218921087065128631259421549318583579427076239974823962589196323780947117042280656501879878926896660129136990527264487995267244999802910}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{24} + \frac{6973593640438351304135651058515922371547045587756282420284134795174251277213678765358855261422079027530381806973586862794216065789562211695850297986977844736118628}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{23} - \frac{5210348454290674022582900879713909546825512840573330563605250680458139130729189406767731618477890388089013845193576535481812025763484091400410816399200009244280182}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{22} - \frac{64564177192523346681983694524323483562411868659294260265981633182901694642698733182919842107859904777092535509968796134047237096545647671584005621852584919449838923}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{21} - \frac{71821761658123211710377685380363129358663312412660910875748571789596407822714699035448188525733693015090282361088984748731086557255189593802963788195537890375435002}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{20} - \frac{18533105265707133128580428667718376306157669828198987445058272919502499110154456217672395293774440206636843854113968036396367673338685421631465971996350963237706191}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{19} - \frac{14493779750060082056728585885663532204872600470898871784565078118118542890852603879972797203906550827189279056245261243868709896279745917622720173417253875160494463}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{18} + \frac{4995873848802578669814952747393658521677242480228559294930949119477070073785182719459404122521485895206231219568872815820971094987969646618821428870659299567296079}{14266890224123521478748707028243379561780964442183887623903158520422446289881327571719788366729018682902664940592966591402621076051638921117021599477203702872113583} a^{17} - \frac{4209503897087979472076609329491050758013721177198372052402338928666666987428374543400092980953574275521616668106067570844951646731603847890719990587265844242899564}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{16} + \frac{51318899002511136536416062197992184011385933656307340172885971557968571389934240986479554415133310381471717951379820543496793351803967810345366377345306623779785254}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{15} - \frac{74626648982090003439257511619202776907101315617320863128317953319799529858290996114675398517076207328971183386160820506681188758738918947422015731007460555673430370}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{14} + \frac{53483263668886798156217959798072008241077983013470442422518386611497601487824194993610029991530362999916901589328782612939290356364671022062387763015973134901442644}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{13} + \frac{37174484923410461560044597438352500600463885290889142478026683237306769737659652356445031717448983229093610524643329048416367791301777591908778357570404646300057801}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{12} + \frac{16168952144938686213979002500018042652501508439787656621251322213426741681434505726430603506577032543935808848740651738280781538067141986648313665906194396630788818}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{11} - \frac{11335729985054713749451889652935115112369929978349899633427742366534214990447770669725362891174746134539917162153050595433300697746518930172040354971719175596123231}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{10} + \frac{54291174476610069772799450310054852356034522960015728150379021853519866678045384418954111524066162955776232537886027591798020183994269950230374941965240023667000340}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{9} + \frac{2525189020120226465167606707850099064474812736595966433770494236927114450926664231179629182041583758017552872227611615506958374968852809230550133705353808082280533}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{8} + \frac{68757811756922748283538704418891112705128642486468492022025164005802474449724904007630506538012353762877707714988049558310815361142882089637920700583073580715227592}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{7} + \frac{77953390182274815728824788878798169754541283879464734396812868114540802939898599550509254612125263396870729082919197085755758355738364895073356885868144864833823628}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{6} - \frac{28257003531798830147786710888857862007608785164850483859085381331117305807708055532358372666364245057254004377088291504630711805871596318558511216717811771744994249}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{5} - \frac{54688926545566592556294817762456318633557035785800637221965249948194854691930092969403180861671154676659577539296804007925744939913840420650621970006216538065793639}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{4} + \frac{19938515395556651776016067369249501140270154617829521621883904773854308494249591127851092786746407871088677826279282585673318315243167992226642185240759832219382}{303550855832415350611674617622199565144275839195401864338365074902605240210241012164250816313383376231971594480701416838353639915992317470574927648451142614300289} a^{3} - \frac{23472876145286150693317216452059921657445213868355577357448860947804686990557023159065470048597661729160475560690820332122333330023429769978671986507015498556988081}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a^{2} - \frac{69715682476621077400357319094864023325184458315683873507645413248746348122458168233216604094430900513315014256436335627179427429608455857954473748609895299835894320}{156935792465358736266235777310677175179590608864022763862934743724646909188694603288917672034019205511929314346522632505428831836568028132287237594249240731593249413} a - \frac{128567147049235977472636158980081280693173469691122464707802174478041105069045334708546892837452533001784954533608990036710175971771529613296416463163935839107941}{303550855832415350611674617622199565144275839195401864338365074902605240210241012164250816313383376231971594480701416838353639915992317470574927648451142614300289}$, $\frac{1}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{43} - \frac{207204974161377120146497727423537457912040505669392008009695955285349701037671878592611027030227706247794699025829602921585118704320485213814265448453044443365042166670685902090988252774108838}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{42} + \frac{557177281481022933429376887831375175036920057834360599155764808138947598375942313107875430610491502694007271451689389645436371016535654515731980432329368423118625519820570048723482337876633850624156706966949988660091533102862491112818688662042135646818880898285976469852831780590130805675991840300851989713322083814114638190211911802124481823865703475}{138053790334125787324502458949190885967428722840082635181870680720861855177675094980513160585102898447276307428215777394758549822731288378065704531761951798455612334095613258226656040811003164083245576644342204289181937137500731847045620481184947400620058846433891464152763673231316732122960123798860437739392616433996696672759909965776679412576484226333329} a^{41} + \frac{152530438955343265542416288875123223275123312513590426854393494322254056536702378841811953516043697117856021193358137274616865541641169159913439120279957374617729475306168694451231137922911712397742020707253590534996811585064985945262747098180653491964199119485642186753434362887036529579866743165520103810018707005944415070094910513435755584317537594582}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{40} + \frac{530594415437882300880028064581502963354291059849302156042370761449970823070409831403146545767809489904526197706921905561489571334854012625430801175866246128258784001613075013873712292655898054642415826083948476896101890364757311355821850022152604079406176493688484282999571674110630404489034832926769858103495251028795283896297324987818344048076094258710}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{39} + \frac{194784873679170186868395553241898044024371719677302941680868598694747108656577230643451485578279870232750231742389348399152880918065196410654655738710296549270365373569356727178861993074781419844012132196817884956295187789703598687398099337341000375582297007992252316807078818003862340055682846970548075441427736884655324025562202267185743716234349559406}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{38} + \frac{58106059300646478579875094879459174944576673469369305910645031470538527017300214130444503575366289897661241768648414182327878052553937386666417346310713415034994308665919635755275845654149953790821742734804782396387279539517820399907835864567127151570558424883492910193841306580369510087429880292233685434086741685200574488190339772336360899498548335430}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{37} - \frac{1278290709260908462284606522967786220032710072512287707689288567467541853773678695268772804332406680059231020737230160371544524687557650859024909692027355991587357257113134078179086757326781892650156230608820407966508984827027644656315844466619062272452719836000671593830089759284716449862836424174316877820880719319568935377582614750987126700215866008557}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{36} - \frac{673819733972713154430858158468423527032119965169477478285728593108423252342208071335185678287529451390222570658883608379148221026247790791881489610971211904442850302072789033025415586961855107408142587415353721194015257797154897832976086352551059347009455194363586152521491154775264967120140503419098302909580539732023270957242737369473104430539828174920}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{35} - \frac{762741122823862086455956677714571327413209628762843012985226936108586947479873573257574236553126414644764534826908526451591425715153538067249313988489012558456018575786230141543491282557805097922666734162292861141806516201918120365882040565355642088781674248378769694561305762347230613277449227511240973888904380539079773278205167714948069241490701921428}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{34} - \frac{437610507770536153736264930615807979965194995633918892709739996585827280047952800493372460831868030374838479925341524675379952325464405087273163585706165419478071327603718647285537442337291073004459899675360535032416820813665543311136343338813150761825255518235937516239923584550002771797077127610496258047131699466560430780587960970137662927910954131717}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{33} + \frac{1228060181969184782841340336914076559468212179760026963061450182995582886820351023958192323225261058663446972221877024133405299943266650691778671056319238667726170497716597560653001006744709005209511686942341172341570989224969059972639183209625671052213526257613380223972436190407490852799936323255199540277226492958741189640025702789416921824564825096346}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{32} - \frac{1041340319285795069393438304087350583750580016006870069443992159738458206729859888562825517184121907305884147103913208188191880470350602617545489251187657790641698739190362017462354524540196817198210575444552884302922183077799089298600113003613305220309312927696253732329183321051796077363796486087310836050277803151376140164684931883298489998268641415193}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{31} - \frac{912382738181505335039895953829458739539300367915037195727955273889915555845086364734146151024158056203845489864317429139652905622209868654582053170811488007021169034412011473124767453106052856978391662942635692540984069378438271936434656539467933026779201285446276629914264214673483837152098384578241593178932385297078135099656564667181478766274740619807}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{30} - \frac{992388713448468101083993597142071039019676538036186688352327422089118884369245805585940345051340122918525937219812983080928340620703298138870477952796883908040310513435981630383216810787119921995498581434647088610550978089932644516201987480947788986059998850209192139941465299353918912073006963103303161701883916641178921327490668846205303521738638280458}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{29} - \frac{1268446948982462965609354890167656320956285801450323966454771818443557493588687986367378103697223296294850575434053487842323918222541500673343166789044737141900925851592860169113541288406035469753448088246569056600317501443658499929972692083474775492932404940203718467384472831019970849575015756245135283144682504146130221117060815900363008189259275641314}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{28} - \frac{21702115354879401875781885838429318773659905481689080157609610398194123352598043246624264139850138971670980611002581295203765974599729327495799938862248864668950468379846083196663647363748889326369498327782379637792661279924098380510857682379480967201880491809598779695905185536572038448850285889324991921845366599965246266188198890498876572393453641885865}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{27} - \frac{62295779417913472375983394842665547160206339505837947304386607579511714084175415300266762874130826043963226799319840383923043660628653714373142431943127294316968694548170199757705755070430066278137144478683832530319405483972584240954574987316213562143348150731837031441101744311134727038452699281115112743529793779460018721103926632041383701638150525257774}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{26} - \frac{6041379106205725083144078895266715768349272961436149653142731839509246644808012764268410350940967776904462785575181376329679644501490032625468743158471871251388514338443618293477129078936827490701168362339138889004594511465738682823977625836065111337813935092259069120220673895837888162670225092247714921300255935676805855914681308927387560123480649432800}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{25} - \frac{10185838478805100179196335879005939757634732418623385348293931692471243403564829191436922472299425700630897582712148084348901339613084968077433729015512344699783502030833253774525199515476585638143009044543984274115204191323288737602950769280240458847880894615427829045986277722497731262055166063588398212032011794053689613106783715797174359186770749723596}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{24} - \frac{7480612024676469756909577924035962251372046677424213002240078101140847049615677154612873090405905672280906355256136764795714849345340284254621394655492224028398921375274382596007861709222318110083524376890468793486060745793933086198531773787219571034244694691644598544501650797868853116079749987942414741646326516890479517356922903145018335546686037420957}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{23} + \frac{27784315436073198193064914472202101203666225071518012189085039050954557655884518753353509492740132486304497538135195388924991973069978566733895760663638849501673732074907903708588333624996088089267626709547593549403860807618942720850379294366751345244823314729091267018012755682898247994114425717896425362401221060580849285751725795330206454913085349116118}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{22} + \frac{144228073890914176653747273585161318185881447527949439486007490804106982604296978959652431235927776389455613049603172455812398162387507644097026502390867516035344486827067407774281671773760473550469870322364475271299610121226540889615139235341090738559027936391410095027237511162451101534622901288320524110457482683239673365958345623304024055513644956818012}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{21} + \frac{248378583945363919288551264776708644789123244660958427757398396278976386455979496984657033056346184984199938880840367405960284733869528575217639091371694858068554208537747233867650938296003927642785631429389181332324968109734816168967926726907829815722597312542459475442623984301262873968067602022019638374306097446507990147415745580777095460975850146695238}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{20} + \frac{284917965639486142631295845921534158298439663001897365263716085086965620464285174258310865761860977385034560230991615063257483626873370134341415847096248143210579965515142167299120473429281294711792478967069913026146068957057284849694522245179187660743169331456712241225164753922869180630766243590599136954377458325994140409777094854908671478554962261064184}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{19} - \frac{116687289848283337051073360547823957959412873919709515780369677653102238445870860346230113880468240590119765648252359894983852746362605018918725379094112548519273168875162213170265081335317363916622303958434796650398017749955112817821068753054836464287507409674177273630125358844349830227507373556005726459309658080363776401484380715923253742448537319096615}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{18} - \frac{617386110056448874933706641386391957289688885916187958197046166740801175537888798879489391574085945614605112058817877813084513106557279118125455451907791916981365259515411981797215996740986030499657595542627286096813076624959241876109238964245636725958634992266854877729813621790022014321865424382884965811365623518648632981545598790994811204117012102707210}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{17} - \frac{27537368165179901011625940486464553252360339342934905546900873553411196071814743872644795238441051655562869082933246202596408275864962756438986214938159327882627154936928688652346769617348461517769702348689350663074642772731514166806670919023152664595702076194849864115591864820608491936673278359428166620027906826830407206309301963026407678860261286520366}{138053790334125787324502458949190885967428722840082635181870680720861855177675094980513160585102898447276307428215777394758549822731288378065704531761951798455612334095613258226656040811003164083245576644342204289181937137500731847045620481184947400620058846433891464152763673231316732122960123798860437739392616433996696672759909965776679412576484226333329} a^{16} + \frac{748673526528200378668603974073626937337393409355825224257267609649190087306014143519180912830834876984537561720878327559015166703275853977112261758477060437955604440460407949539405052692633427654382549477261326959198179741184135952908341356152361290277494252922621169280867952464636335932850636564464784312335821492071715034321809458900040786081264919950456}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{15} - \frac{578000096817125935195463896886502362275436361966609265869375179319275592943647245506855588186504722650582842136718339996838050315047921391039575050205981687591232222488110323336108501202038395690133771325745135906900915459059279982187539669981950696899753120956711074427428023524242380337812887119693239793203091314166761439426731330930472994552132481556955}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{14} + \frac{417578737832171536105482606925324837372344745109604106793155202895988004412039320719102894974554955737600835194755378408617752976590599413078230413672326470954451484235730678549990426042953352317195360333434979878420096504596725195996633478680239023323996012850795708640566028926456127773358654086450985001655784367341841695004587906988280207099643129264775}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{13} - \frac{503581282263202357548834069874901484057812526101740602677019207579264381918834503549197923853539415712846315917864437156872379737623536228581046877856314270749529397708178272248123277039442435546065893020753978717008758129939271158002926139180349435630230969706027031836969740435549532274776119716072571427506812893430060342357821438904767582989402076938222}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{12} + \frac{40753704367025761466783432207366218798118660235748835539431364227269023686354414668266782075733424166930464972954460748064413930439761537627498502187204490684569072080191227655727405699426078404918062102298112697763075902472034477889734503560602237583532739160269838034954856370470681271050379076747875465517699550308997841706924956048075382908393161878615}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{11} - \frac{156322849034122199259884737364370548731933359871590313992572769197537013027562564198982611186655384863797481533786670171084652813913792995257298771963791402401177067705305531111218349680536700278880136387038513672781757355116431715436751516392515815606227662540837588964696281314218879514145694371168752652131910199183546259877051499152547605028198472502262}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{10} - \frac{666247995577621403956561400414438886798971953960638682177187622960847814328720039363455306361191171935906071990221169764394305242916025120922409692700734624438949563285159608640490281756044375529753244086910430681349439929048445496627922490134579615000757520042967669721889698607321496734829558223312621108847184782500872336719325301085392905846316330449754}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{9} + \frac{644550438191768372863427431808849128888274777411851934202871898841823991127822530281089300678142649014071932334950955062583527296886010141570890538781111388280184590157369653455503178730404737112295223060423826463120173964692387181020568497463854862453453848499278686984812090105536535467959150021848387327980301190045877898269402730980068163827708972393493}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{8} + \frac{550374681048254671731598381952333780750766518135938882668931315264299746647442993387562108080416821362163262703293844577419064825174519241252542826547888354234532429410460619378472074916989562219919721904589244847374351381439862441618840467205460969126520344649802727678496354372150886037343005017425371819961913585438653882833747760749567382627320455149533}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{7} + \frac{126945122139863052416094669894515879000266332674980333388835901973685229237141959616903882344888966335048707869492091978563402170441274762270015899010604449494334811627243814914937339437853804334607023765831965974998390614312082352738756172233939268213082454703250196661055089453295826629086825829345425035082249147720039419313636004950993621125722860049465}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{6} - \frac{491050785557557944958300676984487994596413021263906258011792158475438193880991871138914457210088845740806774617284924060125855676015493225318050917157063664598973888602708775153185943829704399040976748078830210038658507992991857528252847837827396025248912411607753662034450616029691908241172871688588939696224958208830513042619728524785602595882772991073148}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{5} + \frac{30475006329043812738054565030683900581762324138774573809875020060846826557957461823788304471339594721178579411084970574606624287633140327631996223028470971579198054451242504996223708409873639546491075660532723947436023724050568581179610703712704401807579476375483234749808217534099341972183818010836617130426092682542674700752105917920933190710226762379829}{138053790334125787324502458949190885967428722840082635181870680720861855177675094980513160585102898447276307428215777394758549822731288378065704531761951798455612334095613258226656040811003164083245576644342204289181937137500731847045620481184947400620058846433891464152763673231316732122960123798860437739392616433996696672759909965776679412576484226333329} a^{4} + \frac{308627910341337424356981261073738020902767595639173213628372525349048050829192719102944838236834082360961049601626948802047315356889283159663233938765955427824663261715520720192113527031535779079901123508725944597878582459145865770302684440219712296126411458306618141922538629043071844943821098188940275535286954197686349788541345135354768473498742443667390}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{3} + \frac{684819555692260289847567793998182516497864400962442104362845423528585775440122792311814238795710185761894375086894222703365871701479222333925340977020765576607444357668505304809357909252263116004389023070313906089262390052201496161329350576161369467628895453832415527975859480061761476759335037667055982972982330125432430968593879581794711728427167483364281}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a^{2} + \frac{354733358358112617645198640729598206245025877916001327455297725696847442580104408513436281803908881879528585227929842511591274198561766173628611597158432534891146641560418878919893977270878064635897205745640129197581006090039107482103514987643836161490341889844435793343925904379201548655281893092224273207268899615948166051947140785625909910089280836702474}{1518591693675383660569527048441099745641715951240908987000577487929480406954426044785644766436131882920039381710373551342344048050044172158722749849381469783011735675051745840493216448921034804915701343087764247181001308512508050317501825293034421406820647310772806105680400405544484053352561361787464815133318780773963663400359009623543473538341326489666619} a - \frac{1628421324515617980061289325444185489162604337033494833547262286717401760679139777288420991310588484559713862987337398436252523427691726098765324820150755576676584540354768332486560851562269923307713297515710825762310598731051861975834869880616658858628727139913927083333166812658054329952144374826241444299114767830388725973556862181969788542380015797933}{32310461567561354480202703158321271183866296834912957170225052934669795892647362655013718434811316657873178334263267049837107405320088769334526592540031271978973099469186081712621626572787974572674496661441792493212793798138469155691528197724136625677035049165378853312348944798818809645799177910371591811347208101573694965965085311139222841241304818929077}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), 4.0.247808.2, \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.14741666340843480753092741810452692992.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $44$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/7.11.0.1}{11} }^{4}$ R $44$ $22^{2}$ $44$ R $44$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{44}$ $44$ $44$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
11Data not computed
23Data not computed