↑

Properties

Label 44.0.63551050545...6253.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $13^{33}\cdot 67^{40}$
Root discriminant $312.99$
Ramified primes $13, 67$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2992687973023867, 17397715430033410, 50595038485039529, 88338620979877382, 97753327289750598, 63409218010169152, 13877504288525086, -13608243403109311, -13514361021220195, -3424205946114953, 2771924286233300, 3425163151568555, 2098770287951443, 954852400831730, 331804719314932, 72154298324505, 4045552101840, -2107004364145, -6419320454918, -9870101050710, -5954799824528, -485642556632, 1304665306642, 609232289246, -36503501079, -78055446468, 17367055761, 25727686097, 1841063319, -4933131298, -1503421461, 435898070, 284480456, -4495683, -29872005, -2990792, 2041052, 334620, -97586, -18282, 3371, 542, -80, -7, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 7*x^43 - 80*x^42 + 542*x^41 + 3371*x^40 - 18282*x^39 - 97586*x^38 + 334620*x^37 + 2041052*x^36 - 2990792*x^35 - 29872005*x^34 - 4495683*x^33 + 284480456*x^32 + 435898070*x^31 - 1503421461*x^30 - 4933131298*x^29 + 1841063319*x^28 + 25727686097*x^27 + 17367055761*x^26 - 78055446468*x^25 - 36503501079*x^24 + 609232289246*x^23 + 1304665306642*x^22 - 485642556632*x^21 - 5954799824528*x^20 - 9870101050710*x^19 - 6419320454918*x^18 - 2107004364145*x^17 + 4045552101840*x^16 + 72154298324505*x^15 + 331804719314932*x^14 + 954852400831730*x^13 + 2098770287951443*x^12 + 3425163151568555*x^11 + 2771924286233300*x^10 - 3424205946114953*x^9 - 13514361021220195*x^8 - 13608243403109311*x^7 + 13877504288525086*x^6 + 63409218010169152*x^5 + 97753327289750598*x^4 + 88338620979877382*x^3 + 50595038485039529*x^2 + 17397715430033410*x + 2992687973023867)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 7*x^43 - 80*x^42 + 542*x^41 + 3371*x^40 - 18282*x^39 - 97586*x^38 + 334620*x^37 + 2041052*x^36 - 2990792*x^35 - 29872005*x^34 - 4495683*x^33 + 284480456*x^32 + 435898070*x^31 - 1503421461*x^30 - 4933131298*x^29 + 1841063319*x^28 + 25727686097*x^27 + 17367055761*x^26 - 78055446468*x^25 - 36503501079*x^24 + 609232289246*x^23 + 1304665306642*x^22 - 485642556632*x^21 - 5954799824528*x^20 - 9870101050710*x^19 - 6419320454918*x^18 - 2107004364145*x^17 + 4045552101840*x^16 + 72154298324505*x^15 + 331804719314932*x^14 + 954852400831730*x^13 + 2098770287951443*x^12 + 3425163151568555*x^11 + 2771924286233300*x^10 - 3424205946114953*x^9 - 13514361021220195*x^8 - 13608243403109311*x^7 + 13877504288525086*x^6 + 63409218010169152*x^5 + 97753327289750598*x^4 + 88338620979877382*x^3 + 50595038485039529*x^2 + 17397715430033410*x + 2992687973023867, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - 7 x^{43} - 80 x^{42} + 542 x^{41} + 3371 x^{40} - 18282 x^{39} - 97586 x^{38} + 334620 x^{37} + 2041052 x^{36} - 2990792 x^{35} - 29872005 x^{34} - 4495683 x^{33} + 284480456 x^{32} + 435898070 x^{31} - 1503421461 x^{30} - 4933131298 x^{29} + 1841063319 x^{28} + 25727686097 x^{27} + 17367055761 x^{26} - 78055446468 x^{25} - 36503501079 x^{24} + 609232289246 x^{23} + 1304665306642 x^{22} - 485642556632 x^{21} - 5954799824528 x^{20} - 9870101050710 x^{19} - 6419320454918 x^{18} - 2107004364145 x^{17} + 4045552101840 x^{16} + 72154298324505 x^{15} + 331804719314932 x^{14} + 954852400831730 x^{13} + 2098770287951443 x^{12} + 3425163151568555 x^{11} + 2771924286233300 x^{10} - 3424205946114953 x^{9} - 13514361021220195 x^{8} - 13608243403109311 x^{7} + 13877504288525086 x^{6} + 63409218010169152 x^{5} + 97753327289750598 x^{4} + 88338620979877382 x^{3} + 50595038485039529 x^{2} + 17397715430033410 x + 2992687973023867 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 22]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(63551050545913863471811529446920903763579858331394038975633390400878224010328544261995298990242730581609246253=13^{33}\cdot 67^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $312.99$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(871=13\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{871}(1,·)$, $\chi_{871}(131,·)$, $\chi_{871}(129,·)$, $\chi_{871}(265,·)$, $\chi_{871}(14,·)$, $\chi_{871}(528,·)$, $\chi_{871}(148,·)$, $\chi_{871}(174,·)$, $\chi_{871}(662,·)$, $\chi_{871}(25,·)$, $\chi_{871}(411,·)$, $\chi_{871}(671,·)$, $\chi_{871}(417,·)$, $\chi_{871}(805,·)$, $\chi_{871}(551,·)$, $\chi_{871}(40,·)$, $\chi_{871}(135,·)$, $\chi_{871}(684,·)$, $\chi_{871}(558,·)$, $\chi_{871}(560,·)$, $\chi_{871}(818,·)$, $\chi_{871}(694,·)$, $\chi_{871}(64,·)$, $\chi_{871}(196,·)$, $\chi_{871}(710,·)$, $\chi_{871}(545,·)$, $\chi_{871}(330,·)$, $\chi_{871}(844,·)$, $\chi_{871}(226,·)$, $\chi_{871}(625,·)$, $\chi_{871}(216,·)$, $\chi_{871}(729,·)$, $\chi_{871}(92,·)$, $\chi_{871}(350,·)$, $\chi_{871}(863,·)$, $\chi_{871}(866,·)$, $\chi_{871}(612,·)$, $\chi_{871}(359,·)$, $\chi_{871}(746,·)$, $\chi_{871}(493,·)$, $\chi_{871}(424,·)$, $\chi_{871}(759,·)$, $\chi_{871}(762,·)$, $\chi_{871}(801,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{29} a^{23} + \frac{2}{29} a^{22} + \frac{3}{29} a^{21} + \frac{5}{29} a^{20} + \frac{4}{29} a^{19} - \frac{11}{29} a^{18} - \frac{8}{29} a^{17} + \frac{8}{29} a^{16} - \frac{3}{29} a^{15} + \frac{12}{29} a^{14} + \frac{1}{29} a^{13} + \frac{5}{29} a^{12} - \frac{8}{29} a^{11} - \frac{13}{29} a^{10} + \frac{4}{29} a^{9} - \frac{8}{29} a^{8} + \frac{14}{29} a^{7} - \frac{6}{29} a^{6} - \frac{9}{29} a^{5} - \frac{10}{29} a^{4} - \frac{8}{29} a^{3} - \frac{13}{29} a^{2} + \frac{9}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{24} - \frac{1}{29} a^{22} - \frac{1}{29} a^{21} - \frac{6}{29} a^{20} + \frac{10}{29} a^{19} + \frac{14}{29} a^{18} - \frac{5}{29} a^{17} + \frac{10}{29} a^{16} - \frac{11}{29} a^{15} + \frac{6}{29} a^{14} + \frac{3}{29} a^{13} + \frac{11}{29} a^{12} + \frac{3}{29} a^{11} + \frac{1}{29} a^{10} + \frac{13}{29} a^{9} + \frac{1}{29} a^{8} - \frac{5}{29} a^{7} + \frac{3}{29} a^{6} + \frac{8}{29} a^{5} + \frac{12}{29} a^{4} + \frac{3}{29} a^{3} + \frac{6}{29} a^{2} + \frac{11}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{25} + \frac{1}{29} a^{22} - \frac{3}{29} a^{21} - \frac{14}{29} a^{20} - \frac{11}{29} a^{19} + \frac{13}{29} a^{18} + \frac{2}{29} a^{17} - \frac{3}{29} a^{16} + \frac{3}{29} a^{15} - \frac{14}{29} a^{14} + \frac{12}{29} a^{13} + \frac{8}{29} a^{12} - \frac{7}{29} a^{11} + \frac{5}{29} a^{9} - \frac{13}{29} a^{8} - \frac{12}{29} a^{7} + \frac{2}{29} a^{6} + \frac{3}{29} a^{5} - \frac{7}{29} a^{4} - \frac{2}{29} a^{3} - \frac{2}{29} a^{2} + \frac{9}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{26} - \frac{5}{29} a^{22} + \frac{12}{29} a^{21} + \frac{13}{29} a^{20} + \frac{9}{29} a^{19} + \frac{13}{29} a^{18} + \frac{5}{29} a^{17} - \frac{5}{29} a^{16} - \frac{11}{29} a^{15} + \frac{7}{29} a^{13} - \frac{12}{29} a^{12} + \frac{8}{29} a^{11} - \frac{11}{29} a^{10} + \frac{12}{29} a^{9} - \frac{4}{29} a^{8} - \frac{12}{29} a^{7} + \frac{9}{29} a^{6} + \frac{2}{29} a^{5} + \frac{8}{29} a^{4} + \frac{6}{29} a^{3} - \frac{7}{29} a^{2} - \frac{9}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{27} - \frac{7}{29} a^{22} - \frac{1}{29} a^{21} + \frac{5}{29} a^{20} + \frac{4}{29} a^{19} + \frac{8}{29} a^{18} + \frac{13}{29} a^{17} + \frac{14}{29} a^{15} + \frac{9}{29} a^{14} - \frac{7}{29} a^{13} + \frac{4}{29} a^{12} + \frac{7}{29} a^{11} + \frac{5}{29} a^{10} - \frac{13}{29} a^{9} + \frac{6}{29} a^{8} - \frac{8}{29} a^{7} + \frac{1}{29} a^{6} - \frac{8}{29} a^{5} + \frac{14}{29} a^{4} + \frac{11}{29} a^{3} + \frac{13}{29} a^{2} - \frac{13}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{28} + \frac{13}{29} a^{22} - \frac{3}{29} a^{21} + \frac{10}{29} a^{20} + \frac{7}{29} a^{19} - \frac{6}{29} a^{18} + \frac{2}{29} a^{17} + \frac{12}{29} a^{16} - \frac{12}{29} a^{15} - \frac{10}{29} a^{14} + \frac{11}{29} a^{13} + \frac{13}{29} a^{12} + \frac{7}{29} a^{11} + \frac{12}{29} a^{10} + \frac{5}{29} a^{9} - \frac{6}{29} a^{8} + \frac{12}{29} a^{7} + \frac{8}{29} a^{6} + \frac{9}{29} a^{5} - \frac{1}{29} a^{4} - \frac{14}{29} a^{3} + \frac{12}{29} a^{2} + \frac{5}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{29} - \frac{1}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{30} - \frac{1}{29} a^{2}$, $\frac{1}{29} a^{31} - \frac{1}{29} a^{3}$, $\frac{1}{29} a^{32} - \frac{1}{29} a^{4}$, $\frac{1}{87} a^{33} + \frac{1}{87} a^{31} + \frac{1}{87} a^{29} - \frac{1}{87} a^{27} + \frac{12}{29} a^{22} + \frac{10}{29} a^{21} + \frac{8}{29} a^{20} - \frac{11}{29} a^{19} + \frac{7}{29} a^{18} - \frac{14}{29} a^{17} + \frac{5}{29} a^{15} - \frac{3}{29} a^{14} + \frac{12}{29} a^{13} - \frac{4}{87} a^{12} - \frac{12}{29} a^{11} - \frac{5}{87} a^{10} - \frac{16}{87} a^{9} - \frac{2}{29} a^{8} + \frac{8}{87} a^{7} + \frac{28}{87} a^{6} - \frac{22}{87} a^{5} - \frac{43}{87} a^{4} - \frac{4}{29} a^{3} - \frac{14}{29} a^{2} - \frac{17}{87} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{87} a^{34} + \frac{1}{87} a^{32} + \frac{1}{87} a^{30} - \frac{1}{87} a^{28} - \frac{14}{29} a^{22} + \frac{1}{29} a^{21} - \frac{13}{29} a^{20} - \frac{12}{29} a^{19} + \frac{2}{29} a^{18} + \frac{9}{29} a^{17} - \frac{4}{29} a^{16} + \frac{4}{29} a^{15} + \frac{13}{29} a^{14} - \frac{40}{87} a^{13} - \frac{14}{29} a^{12} + \frac{22}{87} a^{11} + \frac{17}{87} a^{10} + \frac{8}{29} a^{9} + \frac{35}{87} a^{8} - \frac{41}{87} a^{7} + \frac{20}{87} a^{6} + \frac{20}{87} a^{5} - \frac{5}{29} a^{3} + \frac{16}{87} a^{2} - \frac{5}{87} a$, $\frac{1}{87} a^{35} + \frac{1}{87} a^{29} + \frac{1}{87} a^{27} - \frac{12}{29} a^{22} - \frac{10}{29} a^{21} - \frac{8}{29} a^{20} + \frac{11}{29} a^{19} - \frac{7}{29} a^{18} + \frac{14}{29} a^{17} - \frac{5}{29} a^{15} + \frac{38}{87} a^{14} - \frac{12}{29} a^{13} - \frac{25}{87} a^{12} - \frac{22}{87} a^{11} + \frac{5}{87} a^{10} - \frac{14}{29} a^{9} - \frac{23}{87} a^{8} - \frac{3}{29} a^{7} + \frac{1}{87} a^{6} - \frac{8}{87} a^{5} + \frac{43}{87} a^{4} + \frac{40}{87} a^{3} + \frac{13}{87} a^{2} - \frac{43}{87} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{87} a^{36} + \frac{1}{87} a^{30} + \frac{1}{87} a^{28} + \frac{14}{29} a^{22} - \frac{1}{29} a^{21} + \frac{13}{29} a^{20} + \frac{12}{29} a^{19} - \frac{2}{29} a^{18} - \frac{9}{29} a^{17} + \frac{4}{29} a^{16} + \frac{17}{87} a^{15} - \frac{13}{29} a^{14} + \frac{11}{87} a^{13} - \frac{16}{87} a^{12} - \frac{22}{87} a^{11} + \frac{4}{29} a^{10} + \frac{34}{87} a^{9} - \frac{12}{29} a^{8} - \frac{17}{87} a^{7} + \frac{37}{87} a^{6} - \frac{20}{87} a^{5} + \frac{28}{87} a^{4} - \frac{14}{87} a^{3} + \frac{11}{87} a^{2} + \frac{5}{87} a$, $\frac{1}{2523} a^{37} + \frac{1}{2523} a^{36} - \frac{4}{2523} a^{35} + \frac{7}{2523} a^{34} + \frac{4}{841} a^{33} + \frac{43}{2523} a^{32} - \frac{41}{2523} a^{31} - \frac{43}{2523} a^{30} - \frac{11}{841} a^{29} + \frac{10}{841} a^{28} - \frac{19}{2523} a^{27} - \frac{13}{841} a^{26} + \frac{5}{841} a^{25} - \frac{3}{841} a^{24} - \frac{12}{841} a^{23} - \frac{86}{841} a^{22} + \frac{391}{841} a^{21} - \frac{14}{29} a^{20} - \frac{302}{841} a^{19} + \frac{88}{841} a^{18} - \frac{103}{841} a^{17} + \frac{1118}{2523} a^{16} - \frac{1018}{2523} a^{15} - \frac{70}{841} a^{14} + \frac{170}{841} a^{13} + \frac{275}{2523} a^{12} - \frac{311}{2523} a^{11} + \frac{1240}{2523} a^{10} + \frac{931}{2523} a^{9} + \frac{728}{2523} a^{8} + \frac{202}{841} a^{7} + \frac{37}{841} a^{6} + \frac{316}{841} a^{5} - \frac{1055}{2523} a^{4} - \frac{40}{2523} a^{3} + \frac{523}{2523} a^{2} - \frac{28}{87} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{2523} a^{38} - \frac{5}{2523} a^{36} + \frac{11}{2523} a^{35} + \frac{5}{2523} a^{34} + \frac{2}{2523} a^{33} + \frac{1}{841} a^{32} - \frac{31}{2523} a^{31} + \frac{10}{2523} a^{30} + \frac{34}{2523} a^{29} + \frac{38}{2523} a^{28} + \frac{3}{841} a^{27} - \frac{11}{841} a^{26} - \frac{8}{841} a^{25} - \frac{9}{841} a^{24} + \frac{13}{841} a^{23} - \frac{16}{841} a^{22} - \frac{420}{841} a^{21} + \frac{220}{841} a^{20} + \frac{158}{841} a^{19} - \frac{220}{841} a^{18} + \frac{296}{2523} a^{17} - \frac{364}{841} a^{16} - \frac{497}{2523} a^{15} + \frac{240}{841} a^{14} - \frac{670}{2523} a^{13} + \frac{487}{2523} a^{12} + \frac{140}{841} a^{11} + \frac{967}{2523} a^{10} + \frac{8}{29} a^{9} + \frac{313}{2523} a^{8} - \frac{31}{2523} a^{7} + \frac{895}{2523} a^{6} - \frac{194}{841} a^{5} - \frac{14}{29} a^{4} - \frac{394}{2523} a^{3} + \frac{222}{841} a^{2} + \frac{23}{87} a$, $\frac{1}{2523} a^{39} - \frac{13}{2523} a^{36} + \frac{14}{2523} a^{35} + \frac{8}{2523} a^{34} + \frac{5}{2523} a^{33} - \frac{19}{2523} a^{32} + \frac{8}{2523} a^{31} + \frac{22}{2523} a^{30} + \frac{6}{841} a^{29} - \frac{5}{841} a^{28} - \frac{41}{2523} a^{27} + \frac{14}{841} a^{26} - \frac{13}{841} a^{25} - \frac{2}{841} a^{24} + \frac{11}{841} a^{23} - \frac{415}{841} a^{22} + \frac{12}{29} a^{21} - \frac{335}{841} a^{20} + \frac{271}{841} a^{19} + \frac{224}{2523} a^{18} - \frac{96}{841} a^{17} - \frac{997}{2523} a^{16} - \frac{258}{841} a^{15} + \frac{316}{841} a^{14} - \frac{124}{2523} a^{13} + \frac{722}{2523} a^{12} + \frac{253}{2523} a^{11} + \frac{661}{2523} a^{10} + \frac{821}{2523} a^{9} - \frac{161}{2523} a^{8} - \frac{686}{2523} a^{7} + \frac{988}{2523} a^{6} + \frac{304}{841} a^{5} + \frac{218}{2523} a^{4} - \frac{56}{2523} a^{3} + \frac{440}{2523} a^{2} - \frac{38}{87} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{22310889} a^{40} - \frac{8}{602997} a^{39} + \frac{1084}{22310889} a^{38} - \frac{2698}{22310889} a^{37} - \frac{23783}{7436963} a^{36} - \frac{53218}{22310889} a^{35} - \frac{5014}{7436963} a^{34} - \frac{90218}{22310889} a^{33} + \frac{50725}{22310889} a^{32} - \frac{57426}{7436963} a^{31} + \frac{99664}{7436963} a^{30} + \frac{122}{769341} a^{29} - \frac{253706}{22310889} a^{28} - \frac{141274}{22310889} a^{27} - \frac{62260}{7436963} a^{26} - \frac{70857}{7436963} a^{25} - \frac{4723}{7436963} a^{24} + \frac{76397}{7436963} a^{23} - \frac{3391950}{7436963} a^{22} - \frac{1346269}{7436963} a^{21} - \frac{92593}{200999} a^{20} + \frac{923720}{22310889} a^{19} - \frac{683860}{22310889} a^{18} + \frac{5877274}{22310889} a^{17} - \frac{296060}{769341} a^{16} - \frac{3280228}{7436963} a^{15} - \frac{3045611}{7436963} a^{14} - \frac{9199135}{22310889} a^{13} + \frac{2156371}{7436963} a^{12} - \frac{2907538}{22310889} a^{11} - \frac{2285737}{7436963} a^{10} - \frac{234109}{7436963} a^{9} - \frac{7889113}{22310889} a^{8} - \frac{5264}{26529} a^{7} + \frac{977082}{7436963} a^{6} + \frac{3892564}{22310889} a^{5} - \frac{10437001}{22310889} a^{4} + \frac{2811746}{22310889} a^{3} + \frac{104395}{769341} a^{2} + \frac{8026}{256447} a - \frac{350}{26529}$, $\frac{1}{22310889} a^{41} + \frac{1898}{22310889} a^{39} - \frac{182}{22310889} a^{38} - \frac{3343}{22310889} a^{37} - \frac{39113}{7436963} a^{36} + \frac{43714}{22310889} a^{35} + \frac{126454}{22310889} a^{34} - \frac{36373}{22310889} a^{33} - \frac{279208}{22310889} a^{32} + \frac{541}{7436963} a^{31} - \frac{4417}{22310889} a^{30} + \frac{148003}{22310889} a^{29} - \frac{90436}{22310889} a^{28} + \frac{177226}{22310889} a^{27} + \frac{105855}{7436963} a^{26} - \frac{117758}{7436963} a^{25} + \frac{49054}{7436963} a^{24} + \frac{14566}{7436963} a^{23} - \frac{2363880}{7436963} a^{22} - \frac{73329}{200999} a^{21} - \frac{73211}{769341} a^{20} - \frac{3521977}{7436963} a^{19} - \frac{1857286}{7436963} a^{18} + \frac{6490132}{22310889} a^{17} + \frac{392554}{22310889} a^{16} + \frac{328641}{7436963} a^{15} + \frac{904751}{22310889} a^{14} + \frac{8124197}{22310889} a^{13} + \frac{5708615}{22310889} a^{12} - \frac{1267164}{7436963} a^{11} + \frac{3187910}{7436963} a^{10} + \frac{10726697}{22310889} a^{9} + \frac{1261430}{22310889} a^{8} - \frac{3385181}{7436963} a^{7} - \frac{4799920}{22310889} a^{6} + \frac{10459267}{22310889} a^{5} + \frac{18514}{7436963} a^{4} + \frac{1525055}{7436963} a^{3} - \frac{5010727}{22310889} a^{2} - \frac{1239}{8843} a + \frac{68}{717}$, $\frac{1}{226783560350967} a^{42} + \frac{2125982}{226783560350967} a^{41} - \frac{1143095}{226783560350967} a^{40} + \frac{7740641269}{226783560350967} a^{39} - \frac{13630558048}{226783560350967} a^{38} - \frac{245956274}{2606707590241} a^{37} - \frac{303424112396}{226783560350967} a^{36} + \frac{206506784333}{75594520116989} a^{35} - \frac{543894015605}{226783560350967} a^{34} - \frac{354916763743}{226783560350967} a^{33} - \frac{1224073671454}{226783560350967} a^{32} + \frac{636068225234}{75594520116989} a^{31} + \frac{3133378422331}{226783560350967} a^{30} - \frac{1159317076171}{75594520116989} a^{29} - \frac{3730036902518}{226783560350967} a^{28} + \frac{23484826820}{6129285414891} a^{27} - \frac{114398071043}{75594520116989} a^{26} - \frac{4569405957}{316295063251} a^{25} + \frac{577007087996}{75594520116989} a^{24} - \frac{104558444014}{75594520116989} a^{23} + \frac{7351580994130}{75594520116989} a^{22} - \frac{84784579180819}{226783560350967} a^{21} + \frac{58595528188588}{226783560350967} a^{20} - \frac{4366002832}{843061562643} a^{19} + \frac{53844200027963}{226783560350967} a^{18} - \frac{5441265742819}{75594520116989} a^{17} + \frac{64503351349685}{226783560350967} a^{16} - \frac{34747439680847}{75594520116989} a^{15} + \frac{92961516035071}{226783560350967} a^{14} - \frac{1759522310681}{226783560350967} a^{13} - \frac{32659961554676}{226783560350967} a^{12} - \frac{31147633141778}{226783560350967} a^{11} + \frac{71098436216263}{226783560350967} a^{10} + \frac{9465184095530}{226783560350967} a^{9} - \frac{29403676316288}{226783560350967} a^{8} + \frac{12206353213729}{226783560350967} a^{7} + \frac{72552676991530}{226783560350967} a^{6} - \frac{33912865843626}{75594520116989} a^{5} - \frac{1091635240216}{6129285414891} a^{4} + \frac{104465343782306}{226783560350967} a^{3} + \frac{30557214658300}{75594520116989} a^{2} - \frac{869565511483}{2606707590241} a - \frac{65036745824}{269659405887}$, $\frac{1}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{43} + \frac{2112751792930296847969340171347455995579508760635405195690760510039962579630622896661146828138848097711446870992907070212966071718064005442085094441747269159203071163760617003924845135356916118289927956631796261078896324482560716096575295326993364433158418577687710698163845339645602642309272085995363}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{42} + \frac{1190649471113697971701717581008995366106626697173750141033203422452254317029991478534991150897576301289087948446526270687028947800379100793479172552482669122222449338656712139260382281332324877087759140706086832257662576306422926281338006671550475555644165642729558839386138206568625854200222916152822989312}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{41} + \frac{29877079735280502598751944996825302631923224186673332882917032412240393273624165496226182668111940842912640398147618215898696540583231928371669406273598149869743481508535606822397874347699663682919118386562351768786905871598803668658417109669077433509289034959705930279709300439320048433210963139226776094310}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{40} + \frac{82105615969873057389926127228386556505489118513606259415060203576687550393226084121619543384996904175862519874400895332556300593087695554714051515750028686774963141830661577150396476833540249885868462971306411539824858025966179081120940445555203591841090186806728460231833815115682154493089056541792131911653590}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{39} - \frac{282107930814961749491225368537776549774449062480419860709886321534348434348045120650038012668492298653221477598174383971957304914146504294327054633371821996441976784763999400596527388544317643113510620798932429808686426237961172598716489736504917263819153383987450379790906472686314422572366101905164289809683523}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{38} - \frac{31095853070337727893158399995631965235460979153031639467409610624230141779589200444692215870968933451911871450044381729000861518865755336789597704399645030486022620091574940801889547369560539543264078554864590435787873344042211827290855086403381998947271890273723113054928447880172786474158461787334134386160356}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{37} - \frac{3103303142140020491033273200891755514269901145827315128542781835876861891277718021045097422560740542140946496842574653778246067389795425842657163370530839297125750360747311369087827924470762631092753643136434386543973998334236755410745911332836301495036632152368988861324561527614437613194464669977022042505265277}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{36} + \frac{1990560595547872571250273314294051934713394303149222099144376492041972602848184331768004703965178722322374175401100327469938598684686412367082605006307248941349665213587935470627055990775496189685602156862021863800077530927991747408192085186098919941923814783487762256477867361875148522532002172795803374445659164}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{35} + \frac{439394315039277999728955120839407684538307630891371865705402123638825842326678287574362764970619033789187384765937705787088291945155057869316162018738550081214567115970594210505151639036783019634090069198628745410027441372498818398644915783067936430262381954611073640939698082234108909541650318160777196292564213}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{34} + \frac{6505558800939157496880026796655065113099747477287431050179771988588571216554040087977976737431978356441837747061336454235711970232794687133699951575922002334322072324836345502698516740047286398764910426195433570291061881429255262458215245319595664301597983229430848524931725241911736517034177992987189788460510840}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{33} - \frac{9359603772074006365643587734697709330436797966893971796010132151750209413833805214092563481534825534800930688919100363022618622949944632605608733576859342474275557684699352156449639343450411669698251361288376762550186437182658992376456885636168168581350548951450103180866300916617273221506069409342548407789326833}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{32} + \frac{1800743026208454175266060263035127752429994119889276382923125271457552591622529052417134834316370483276221238113777947289475212097132817235064040084816432216165871113197454960364476337957990304619122643323939505543451244472987584742863252862362806164334687136129872820257773762437061025184659487795695203123557997}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{31} + \frac{11513758755804807904967492497867605317871703767190292411873165165298116856699756612908187055229707940249137216045142315939697164618581169697342179878519203864931708892163697561169433855038875812956976219416135106301540971776791963356767569511930271961657935612931504075327067962292797149250023328114340310870929411}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{30} + \frac{24082482808664206199822287506108331769288128526230592860928922749487085242564256549066831499348495956232275563289093674987213439330177967641400931060339434732125193231683246261555441411315610654138331721559848942466143075238577077581657540250653197417216080909402085912236854955977922275992448551783811085380861658}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{29} - \frac{14444149402221842298924380592769774084834391993480697947711127759599889128252522451600798837178562008377222622058465347245706925085650599196300003767876094165842136261011112901233580862795877140230905768683011868618031879531727232878683260642676703465380296557575489428527354443110611219133125172578421121195797960}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{28} + \frac{23229464458573120886906927268797179760316362379062185545745848903640503695964382503585262994213405787872879209934898205406111113627338402446013956027551844220324710307691263299858622652178114157646015785720143718129293157219883832228315906119485174123359591479621758841363956130038672323517437324586409187476162618}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{27} - \frac{4178915005441781883986771164794483392963530965270723649559696572473599633437474214007346675115379877811218124224438829673214684078397594789006678520790814800847981770703403924167139078299431788469307705246417900365969255694252794386626138528398761053944617147498832578719918047023669256241608573785162705979612180}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{26} - \frac{9844619909241625414163633360502132743360800237763665342973499264459608323789127535128362566394794723941197587661954966733759929285523995297638190371257038399886956171052347036506479291124809749747234256479875266998436268777778733720898284689284644977066189403828172881457638415302729308280395438736933983850956319}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{25} - \frac{6291574761359485351067667530533504136892180914665038493285904980345754414879839408396251343359611476591448602580950984182964744951469083888470119046703598703547708439820532022290704706675764256619609617917639944929222737732453962438526795618295839239371711422878275602669305647028807930835126334726900120090181020}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{24} + \frac{4007425394730143842498446304443630865306638436320516684898836300682839018724375592809625284942108120405468921708632803921652919827725765778452412266604198727816165449894319131107334818329852486921607889974099315347077635220486072865858394085602418201955844425423197391281477662071094837366876720773157582429331178}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{23} - \frac{716448127430315106915748331725698409840862724344204961459669683535183853831024547876128851210124727157877268954685128848870708918833046259589216975844605917788207678675056692923591256315321480769561909082413192923864331902599051800716134362047558108522142986289948065708568346442232759241788169529107278068608383139}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{22} + \frac{432207593618567672798627725150442053853510576106467997952158636863072376969503693009524661883742577043483022334875878333495509009568679741041176590540830463777871810119840737293453131292908147948006477961387293154015414881562087066292050883556332333292993344459102765528817557511144107839438878223095216344705085354}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{21} - \frac{882971211654320205785180645478373573422811292977843020189249072804667969248629972613623198061947084725682882912517683672331718569362185873308124243473020212802036065522189657969090516233262450269568262707365797649708425267774004852418275849090306702717233179738726907787753813526600504276538698024690878790744232488}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{20} - \frac{4244212215925237813270574390196626278057543482960308420768273654863519865426232165796824339630890443382130638887813913952873716184559456080618886113766633413938121344561166887673959487847712831905004963499121030906123137997596172098068344489975876152383157884049277562548961728621885855807574030911997041331740939}{65591647501150083476385029508002598857537912052852682865691614942714619076305241855962211031073958472563788994532648270810337344023858859033003018570979663796263809282290188381462355716986522537328556557652611075192633913658638895389290848454677741461006031560895300634854649455204784178492657059343932966435019713} a^{19} - \frac{264954308088555987157996456778263982325637782584443893142669597289220792512289996528100205017813321713903096701588341518450042120870386922802877774895285788025765533094652803325394178755547359187994293744584233826158140041292022535147009940665118264518455169874340053338701472242140012973329166491908880336610886579}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{18} - \frac{232207801807190943790328870785310591059446368629128167310489800108516005764164422202913828145152403012490242364103400976368140163863166830976682741834175988580615879760744095384036399060653201881180228026982731401342895853089281969301451916066358135946951871146320355529258242063143604197951903176919649056559031627}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{17} - \frac{32778385221563927383535474473193102667288705939948673624076100027062891484664654945907576834883631755577974363233458547743775455233676892184790595400867666587724392229449380999768241707228487900866281783739356098088329301860565838186308778295386267248343404089455731861136372110643809289065848089345484858422100657}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{16} + \frac{237889927041704141633579866792569935397018519542718071683193143981951157647689708201347843920055893588621856959160722402209248645612250628773729295789396040816995190737333520415713396035369539719414175169109269304981759251154743538513918919745723253410995179741529039082421853733310864096533103502697446699171152404}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{15} + \frac{78178225677848633015261804611298653474841904978238810472452426955159613357967141568156694473627648906308185762778815097069270530507507878569279681292946065797079144143678523776542552734273277672227514799390383063947982429348660544809472207850076034400245181704976074724700529699376002397195045885972600265864341821}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{14} + \frac{338519646574231757484736169929542552901865048597347364768257827522255652506455809493389847845724940480254167387250750825293183987105806762556442101640022560484251942918391835776751305857043942246891990300219498718448896709286992267850092189663338454769816723978652081162519290372658889245115527036159150427697718015}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{13} - \frac{14672604286388101947191005634928926594470327313301153041392766053398855160946576018192315674494832357253878424249025054898181325814132003627663952450899811097541483075107172198182304076930187763229514315789678425068893317890027148137338963192055082183558354544472258289791936977054441922892189936909062489041685207}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{12} - \frac{8814727093235380340398869366573602442409200866518684047979536379101513406721020390554189659839144032367424326795392716985938385088540713412674053370974905215752577986664473415547167187116186875729513896373014352006228609800246034621878424740604143234105150348386736592435931186900272759372621987829744999827921205}{21863882500383361158795009836000866285845970684284227621897204980904873025435080618654070343691319490854596331510882756936779114674619619677667672856993221265421269760763396127154118572328840845776185519217537025064211304552879631796430282818225913820335343853631766878284883151734928059497552353114644322145006571} a^{11} - \frac{275843453942770808723754245633770573393190543287285517250368571886788844391875627945201819348208715854604169046777363759653326052294417103469543068554579822140058648544653053719968119337042176215888929999778221829096555970375205860675013935104023195633191640241915633038805199064503435594282554922843545773739371157}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{10} - \frac{152058231461915417038555775945741056043848395180208172860852439503714297956301127323722760066509726645564825930573225417290609342246754813856934996064879678818976367125275535015901850400415361381039222412742417325092215711513891121475957384672431289289036523711137212932875210968611095142976698537694869921238159032}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{9} + \frac{262894535459569616432480941986835845410813754885244262287819556082039762776577375711023506267241124905467275330180630546766143486249429134574742047727404460190121896804795242941029201458379946908749138607203436561456354442452850943035354982206722214173951160856445967814965062843395892278905308106838958390576878799}{634052592511117473605055285244025122289533149844242601035018944446241317737617337940968039967048265234783293613815599951166594325563968970652362512852803416697216823062138487687469438597536384527509380057308573726862127832033509322096478201728551500789724971755321239470261611400312913725429018240324685342205190559} a^{8} - \frac{3572836636617498067543118571112799607245946304175028386703200686390363482930041544692313599295711246390530495246758467310462712798295870966320948586882441945075422792876625344928326207482108929435058489761490629879983551571023003438350315844618779736291724561124621584377133361167162756130416138979385591689917397}{17136556554354526313650142844433111413230625671466016244189701201249765344259928052458595674785088249588737665238259458139637684474701864071685473320346038289113968190868607775337011853987469852094848109656988479104381833298202954651256167614285175697019593831224898364061124632440889560146730222711477982221761907} a^{7} + \frac{897346345295128553458605978871146535002661590707611282752375726379933702952436361213998169904456835896667212220547630605888291389554329084029956313583182475428208283431489403028975218884203603259582790334116370936000221225903706112637727111878453492996826212299579091764610558457319315343406577178041961425960517090}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{6} + \frac{359677635528156250103013542276333103010348121207886021114966025952644970725170996423149296008791755899727056768068807572116028068683363470991381082237288029902327077010396187617157086756904263624591796133396048049273389264300818399988471491704845001774192114215626114067771675182118309213903445952551734412182116552}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{5} - \frac{27156211279649306117343718262952506430747008862968143535628643939078174431760185637282327977011272939780098455259923682712594270006336243900965748008729807053194909824592654774504391386212762549164215877926639184574032561632356452213980431086543210621640677967358002462767372871188930796615900180628746876174530489}{65591647501150083476385029508002598857537912052852682865691614942714619076305241855962211031073958472563788994532648270810337344023858859033003018570979663796263809282290188381462355716986522537328556557652611075192633913658638895389290848454677741461006031560895300634854649455204784178492657059343932966435019713} a^{4} + \frac{699427917040715660033970495762261145012784826029341237817970904544749378947591619493954242062980771470781473323448541160082456013010229435101649536330352780266564656877192597243533749240436010934740300357453953022991324365056808217626270650828013473465457186921001825136200184546633777866368275044570451735179830599}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{3} - \frac{306629272966793990429041636853351896197381940167994002634775515068195632537326708126334097630997902060120554069141405306223380490185333528374715137137924360430038584196364834269881200678419028767099571424847340292965260178012712715971500055166178695572958528900785885983106264202416804486823663792120098703876695216}{1902157777533352420815165855732075366868599449532727803105056833338723953212852013822904119901144795704349880841446799853499782976691906911957087538558410250091650469186415463062408315792609153582528140171925721180586383496100527966289434605185654502369174915265963718410784834200938741176287054720974056026615571677} a^{2} - \frac{5301625587806213129959632579156452014271828079811184122611199740732690034379728037790640050787729573796735965773925214120669812629694184547512292697482137040085795910380440590595282784169813809756758977043894835331292475474074855506895747002151941911779286053869704815587682013300489820025206400641727396728966969}{21863882500383361158795009836000866285845970684284227621897204980904873025435080618654070343691319490854596331510882756936779114674619619677667672856993221265421269760763396127154118572328840845776185519217537025064211304552879631796430282818225913820335343853631766878284883151734928059497552353114644322145006571} a - \frac{1939876905876678895783964341101582177095026640193329735663671955029446113190560848178330703114245064793392760497232713042124236262142736027268977676861555902378155279412485508015859637841549906400623547384204279425797044276429796482095413854644384180238564823715686009533690036232947806201089640333689348812075}{6063755893607292546582696635666321425306269025871561696005511227023631235675810470182325139232130763849846444904562103245847956367186730057594806191271116187137266273670166255104220737449063745708473380572488774631841907521368114577913547975841521813904597537292715229255306411685752443236817699856146155721089}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{13}) \), 4.0.2197.1, 11.11.1822837804551761449.1, 22.22.5954878837079382023072736661363078004622818239237.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ ${\href{/LocalNumberField/3.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ $44$ R $22^{2}$ $44$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.1.0.1}{1} }^{44}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{11}$ $44$ $22^{2}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
67Data not computed