Properties

Label 44.0.361...241.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $3.614\times 10^{83}$
Root discriminant $79.26$
Ramified primes $3, 7, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 - 31*x^42 + 18*x^41 + 509*x^40 - 128*x^39 - 6323*x^38 + 711*x^37 + 64913*x^36 - 2855*x^35 - 548822*x^34 - 30450*x^33 + 3909507*x^32 + 497028*x^31 - 24053724*x^30 - 3501489*x^29 + 127000724*x^28 + 22049413*x^27 - 570173510*x^26 - 120800376*x^25 + 2191193723*x^24 + 441547756*x^23 - 7154579015*x^22 - 1235011630*x^21 + 19357719068*x^20 + 3692553824*x^19 - 42800540592*x^18 - 8560769600*x^17 + 77181753152*x^16 + 8780862080*x^15 - 109191557376*x^14 - 4336701952*x^13 + 115169783808*x^12 + 13857435648*x^11 - 86371995648*x^10 - 18961448960*x^9 + 47011856384*x^8 + 1711374336*x^7 - 14905901056*x^6 + 3448373248*x^5 + 3020947456*x^4 - 373293056*x^3 - 84934656*x^2 - 12582912*x + 4194304)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 - 31*x^42 + 18*x^41 + 509*x^40 - 128*x^39 - 6323*x^38 + 711*x^37 + 64913*x^36 - 2855*x^35 - 548822*x^34 - 30450*x^33 + 3909507*x^32 + 497028*x^31 - 24053724*x^30 - 3501489*x^29 + 127000724*x^28 + 22049413*x^27 - 570173510*x^26 - 120800376*x^25 + 2191193723*x^24 + 441547756*x^23 - 7154579015*x^22 - 1235011630*x^21 + 19357719068*x^20 + 3692553824*x^19 - 42800540592*x^18 - 8560769600*x^17 + 77181753152*x^16 + 8780862080*x^15 - 109191557376*x^14 - 4336701952*x^13 + 115169783808*x^12 + 13857435648*x^11 - 86371995648*x^10 - 18961448960*x^9 + 47011856384*x^8 + 1711374336*x^7 - 14905901056*x^6 + 3448373248*x^5 + 3020947456*x^4 - 373293056*x^3 - 84934656*x^2 - 12582912*x + 4194304, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4194304, -12582912, -84934656, -373293056, 3020947456, 3448373248, -14905901056, 1711374336, 47011856384, -18961448960, -86371995648, 13857435648, 115169783808, -4336701952, -109191557376, 8780862080, 77181753152, -8560769600, -42800540592, 3692553824, 19357719068, -1235011630, -7154579015, 441547756, 2191193723, -120800376, -570173510, 22049413, 127000724, -3501489, -24053724, 497028, 3909507, -30450, -548822, -2855, 64913, 711, -6323, -128, 509, 18, -31, -1, 1]);
 

\( x^{44} - x^{43} - 31 x^{42} + 18 x^{41} + 509 x^{40} - 128 x^{39} - 6323 x^{38} + 711 x^{37} + 64913 x^{36} - 2855 x^{35} - 548822 x^{34} - 30450 x^{33} + 3909507 x^{32} + 497028 x^{31} - 24053724 x^{30} - 3501489 x^{29} + 127000724 x^{28} + 22049413 x^{27} - 570173510 x^{26} - 120800376 x^{25} + 2191193723 x^{24} + 441547756 x^{23} - 7154579015 x^{22} - 1235011630 x^{21} + 19357719068 x^{20} + 3692553824 x^{19} - 42800540592 x^{18} - 8560769600 x^{17} + 77181753152 x^{16} + 8780862080 x^{15} - 109191557376 x^{14} - 4336701952 x^{13} + 115169783808 x^{12} + 13857435648 x^{11} - 86371995648 x^{10} - 18961448960 x^{9} + 47011856384 x^{8} + 1711374336 x^{7} - 14905901056 x^{6} + 3448373248 x^{5} + 3020947456 x^{4} - 373293056 x^{3} - 84934656 x^{2} - 12582912 x + 4194304 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(361\!\cdots\!241\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 7^{22}\cdot 23^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $79.26$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 7, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(483=3\cdot 7\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{483}(1,·)$, $\chi_{483}(386,·)$, $\chi_{483}(8,·)$, $\chi_{483}(265,·)$, $\chi_{483}(139,·)$, $\chi_{483}(13,·)$, $\chi_{483}(400,·)$, $\chi_{483}(146,·)$, $\chi_{483}(407,·)$, $\chi_{483}(29,·)$, $\chi_{483}(167,·)$, $\chi_{483}(41,·)$, $\chi_{483}(302,·)$, $\chi_{483}(50,·)$, $\chi_{483}(307,·)$, $\chi_{483}(55,·)$, $\chi_{483}(440,·)$, $\chi_{483}(188,·)$, $\chi_{483}(190,·)$, $\chi_{483}(64,·)$, $\chi_{483}(449,·)$, $\chi_{483}(323,·)$, $\chi_{483}(197,·)$, $\chi_{483}(71,·)$, $\chi_{483}(328,·)$, $\chi_{483}(202,·)$, $\chi_{483}(461,·)$, $\chi_{483}(335,·)$, $\chi_{483}(209,·)$, $\chi_{483}(211,·)$, $\chi_{483}(85,·)$, $\chi_{483}(463,·)$, $\chi_{483}(349,·)$, $\chi_{483}(223,·)$, $\chi_{483}(358,·)$, $\chi_{483}(104,·)$, $\chi_{483}(239,·)$, $\chi_{483}(232,·)$, $\chi_{483}(370,·)$, $\chi_{483}(62,·)$, $\chi_{483}(118,·)$, $\chi_{483}(169,·)$, $\chi_{483}(377,·)$, $\chi_{483}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{23} + \frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} + \frac{1}{4} a^{20} + \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{4} a^{17} + \frac{1}{4} a^{16} + \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8} a^{25} - \frac{1}{8} a^{24} + \frac{1}{8} a^{23} + \frac{1}{4} a^{22} - \frac{3}{8} a^{21} - \frac{3}{8} a^{19} - \frac{1}{8} a^{18} + \frac{1}{8} a^{17} + \frac{1}{8} a^{16} + \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{4} a^{14} + \frac{3}{8} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{3}{8} a^{8} + \frac{1}{4} a^{7} + \frac{3}{8} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{16} a^{26} - \frac{1}{16} a^{25} + \frac{1}{16} a^{24} + \frac{1}{8} a^{23} - \frac{3}{16} a^{22} - \frac{3}{16} a^{20} + \frac{7}{16} a^{19} + \frac{1}{16} a^{18} - \frac{7}{16} a^{17} - \frac{3}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{15} + \frac{3}{16} a^{14} + \frac{1}{4} a^{13} + \frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{16} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} + \frac{5}{16} a^{9} - \frac{3}{8} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{5}{16} a^{6} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{7}{16} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{32} a^{27} - \frac{1}{32} a^{26} + \frac{1}{32} a^{25} + \frac{1}{16} a^{24} - \frac{3}{32} a^{23} - \frac{3}{32} a^{21} - \frac{9}{32} a^{20} + \frac{1}{32} a^{19} + \frac{9}{32} a^{18} + \frac{5}{16} a^{17} + \frac{7}{16} a^{16} + \frac{3}{32} a^{15} - \frac{3}{8} a^{14} + \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{32} a^{12} + \frac{1}{8} a^{11} + \frac{5}{32} a^{10} + \frac{5}{16} a^{9} - \frac{1}{4} a^{8} + \frac{11}{32} a^{7} - \frac{1}{8} a^{6} - \frac{7}{32} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} + \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{64} a^{28} - \frac{1}{64} a^{27} + \frac{1}{64} a^{26} + \frac{1}{32} a^{25} - \frac{3}{64} a^{24} + \frac{29}{64} a^{22} + \frac{23}{64} a^{21} - \frac{31}{64} a^{20} - \frac{23}{64} a^{19} - \frac{11}{32} a^{18} - \frac{9}{32} a^{17} - \frac{29}{64} a^{16} - \frac{3}{16} a^{15} - \frac{7}{16} a^{14} + \frac{31}{64} a^{13} - \frac{7}{16} a^{12} + \frac{5}{64} a^{11} - \frac{11}{32} a^{10} - \frac{1}{8} a^{9} - \frac{21}{64} a^{8} - \frac{1}{16} a^{7} + \frac{25}{64} a^{6} + \frac{1}{32} a^{5} + \frac{3}{16} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{128} a^{29} - \frac{1}{128} a^{28} + \frac{1}{128} a^{27} + \frac{1}{64} a^{26} - \frac{3}{128} a^{25} + \frac{29}{128} a^{23} - \frac{41}{128} a^{22} - \frac{31}{128} a^{21} + \frac{41}{128} a^{20} + \frac{21}{64} a^{19} - \frac{9}{64} a^{18} - \frac{29}{128} a^{17} + \frac{13}{32} a^{16} + \frac{9}{32} a^{15} + \frac{31}{128} a^{14} - \frac{7}{32} a^{13} - \frac{59}{128} a^{12} + \frac{21}{64} a^{11} - \frac{1}{16} a^{10} + \frac{43}{128} a^{9} - \frac{1}{32} a^{8} + \frac{25}{128} a^{7} + \frac{1}{64} a^{6} - \frac{13}{32} a^{5} - \frac{3}{8} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{256} a^{30} - \frac{1}{256} a^{29} + \frac{1}{256} a^{28} + \frac{1}{128} a^{27} - \frac{3}{256} a^{26} + \frac{29}{256} a^{24} - \frac{41}{256} a^{23} + \frac{97}{256} a^{22} + \frac{41}{256} a^{21} + \frac{21}{128} a^{20} - \frac{9}{128} a^{19} + \frac{99}{256} a^{18} - \frac{19}{64} a^{17} - \frac{23}{64} a^{16} + \frac{31}{256} a^{15} - \frac{7}{64} a^{14} + \frac{69}{256} a^{13} + \frac{21}{128} a^{12} + \frac{15}{32} a^{11} - \frac{85}{256} a^{10} + \frac{31}{64} a^{9} + \frac{25}{256} a^{8} + \frac{1}{128} a^{7} + \frac{19}{64} a^{6} - \frac{3}{16} a^{5} - \frac{3}{8} a^{4}$, $\frac{1}{512} a^{31} - \frac{1}{512} a^{30} + \frac{1}{512} a^{29} + \frac{1}{256} a^{28} - \frac{3}{512} a^{27} + \frac{29}{512} a^{25} - \frac{41}{512} a^{24} + \frac{97}{512} a^{23} + \frac{41}{512} a^{22} - \frac{107}{256} a^{21} + \frac{119}{256} a^{20} + \frac{99}{512} a^{19} + \frac{45}{128} a^{18} + \frac{41}{128} a^{17} - \frac{225}{512} a^{16} + \frac{57}{128} a^{15} + \frac{69}{512} a^{14} - \frac{107}{256} a^{13} - \frac{17}{64} a^{12} + \frac{171}{512} a^{11} + \frac{31}{128} a^{10} - \frac{231}{512} a^{9} + \frac{1}{256} a^{8} + \frac{19}{128} a^{7} + \frac{13}{32} a^{6} - \frac{3}{16} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{1024} a^{32} - \frac{1}{1024} a^{31} + \frac{1}{1024} a^{30} + \frac{1}{512} a^{29} - \frac{3}{1024} a^{28} + \frac{29}{1024} a^{26} - \frac{41}{1024} a^{25} + \frac{97}{1024} a^{24} + \frac{41}{1024} a^{23} + \frac{149}{512} a^{22} - \frac{137}{512} a^{21} + \frac{99}{1024} a^{20} + \frac{45}{256} a^{19} + \frac{41}{256} a^{18} - \frac{225}{1024} a^{17} + \frac{57}{256} a^{16} + \frac{69}{1024} a^{15} - \frac{107}{512} a^{14} + \frac{47}{128} a^{13} - \frac{341}{1024} a^{12} - \frac{97}{256} a^{11} - \frac{231}{1024} a^{10} + \frac{1}{512} a^{9} + \frac{19}{256} a^{8} - \frac{19}{64} a^{7} + \frac{13}{32} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} + \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2048} a^{33} - \frac{1}{2048} a^{32} + \frac{1}{2048} a^{31} + \frac{1}{1024} a^{30} - \frac{3}{2048} a^{29} + \frac{29}{2048} a^{27} - \frac{41}{2048} a^{26} + \frac{97}{2048} a^{25} + \frac{41}{2048} a^{24} + \frac{149}{1024} a^{23} - \frac{137}{1024} a^{22} - \frac{925}{2048} a^{21} - \frac{211}{512} a^{20} + \frac{41}{512} a^{19} - \frac{225}{2048} a^{18} + \frac{57}{512} a^{17} - \frac{955}{2048} a^{16} - \frac{107}{1024} a^{15} + \frac{47}{256} a^{14} + \frac{683}{2048} a^{13} + \frac{159}{512} a^{12} - \frac{231}{2048} a^{11} - \frac{511}{1024} a^{10} - \frac{237}{512} a^{9} + \frac{45}{128} a^{8} - \frac{19}{64} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} - \frac{3}{8} a^{5} + \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4096} a^{34} - \frac{1}{4096} a^{33} + \frac{1}{4096} a^{32} + \frac{1}{2048} a^{31} - \frac{3}{4096} a^{30} + \frac{29}{4096} a^{28} - \frac{41}{4096} a^{27} + \frac{97}{4096} a^{26} + \frac{41}{4096} a^{25} + \frac{149}{2048} a^{24} - \frac{137}{2048} a^{23} - \frac{925}{4096} a^{22} + \frac{301}{1024} a^{21} + \frac{41}{1024} a^{20} + \frac{1823}{4096} a^{19} + \frac{57}{1024} a^{18} - \frac{955}{4096} a^{17} + \frac{917}{2048} a^{16} + \frac{47}{512} a^{15} - \frac{1365}{4096} a^{14} + \frac{159}{1024} a^{13} + \frac{1817}{4096} a^{12} - \frac{511}{2048} a^{11} - \frac{237}{1024} a^{10} + \frac{45}{256} a^{9} + \frac{45}{128} a^{8} - \frac{3}{8} a^{7} + \frac{5}{16} a^{6} - \frac{3}{8} a^{5} - \frac{1}{16} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{8192} a^{35} - \frac{1}{8192} a^{34} + \frac{1}{8192} a^{33} + \frac{1}{4096} a^{32} - \frac{3}{8192} a^{31} + \frac{29}{8192} a^{29} - \frac{41}{8192} a^{28} + \frac{97}{8192} a^{27} + \frac{41}{8192} a^{26} + \frac{149}{4096} a^{25} - \frac{137}{4096} a^{24} - \frac{925}{8192} a^{23} + \frac{301}{2048} a^{22} - \frac{983}{2048} a^{21} + \frac{1823}{8192} a^{20} + \frac{57}{2048} a^{19} - \frac{955}{8192} a^{18} + \frac{917}{4096} a^{17} + \frac{47}{1024} a^{16} - \frac{1365}{8192} a^{15} - \frac{865}{2048} a^{14} - \frac{2279}{8192} a^{13} + \frac{1537}{4096} a^{12} - \frac{237}{2048} a^{11} + \frac{45}{512} a^{10} + \frac{45}{256} a^{9} - \frac{3}{16} a^{8} - \frac{11}{32} a^{7} - \frac{3}{16} a^{6} - \frac{1}{32} a^{5} + \frac{7}{16} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{16384} a^{36} - \frac{1}{16384} a^{35} + \frac{1}{16384} a^{34} + \frac{1}{8192} a^{33} - \frac{3}{16384} a^{32} + \frac{29}{16384} a^{30} - \frac{41}{16384} a^{29} + \frac{97}{16384} a^{28} + \frac{41}{16384} a^{27} + \frac{149}{8192} a^{26} - \frac{137}{8192} a^{25} - \frac{925}{16384} a^{24} + \frac{301}{4096} a^{23} - \frac{983}{4096} a^{22} + \frac{1823}{16384} a^{21} + \frac{57}{4096} a^{20} + \frac{7237}{16384} a^{19} - \frac{3179}{8192} a^{18} - \frac{977}{2048} a^{17} + \frac{6827}{16384} a^{16} - \frac{865}{4096} a^{15} - \frac{2279}{16384} a^{14} - \frac{2559}{8192} a^{13} + \frac{1811}{4096} a^{12} - \frac{467}{1024} a^{11} - \frac{211}{512} a^{10} + \frac{13}{32} a^{9} - \frac{11}{64} a^{8} + \frac{13}{32} a^{7} + \frac{31}{64} a^{6} + \frac{7}{32} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{32768} a^{37} - \frac{1}{32768} a^{36} + \frac{1}{32768} a^{35} + \frac{1}{16384} a^{34} - \frac{3}{32768} a^{33} + \frac{29}{32768} a^{31} - \frac{41}{32768} a^{30} + \frac{97}{32768} a^{29} + \frac{41}{32768} a^{28} + \frac{149}{16384} a^{27} - \frac{137}{16384} a^{26} - \frac{925}{32768} a^{25} + \frac{301}{8192} a^{24} - \frac{983}{8192} a^{23} + \frac{1823}{32768} a^{22} - \frac{4039}{8192} a^{21} + \frac{7237}{32768} a^{20} + \frac{5013}{16384} a^{19} - \frac{977}{4096} a^{18} + \frac{6827}{32768} a^{17} - \frac{865}{8192} a^{16} + \frac{14105}{32768} a^{15} + \frac{5633}{16384} a^{14} + \frac{1811}{8192} a^{13} + \frac{557}{2048} a^{12} - \frac{211}{1024} a^{11} + \frac{13}{64} a^{10} + \frac{53}{128} a^{9} + \frac{13}{64} a^{8} - \frac{33}{128} a^{7} + \frac{7}{64} a^{6} + \frac{1}{32} a^{5} - \frac{1}{8} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{65536} a^{38} - \frac{1}{65536} a^{37} + \frac{1}{65536} a^{36} + \frac{1}{32768} a^{35} - \frac{3}{65536} a^{34} + \frac{29}{65536} a^{32} - \frac{41}{65536} a^{31} + \frac{97}{65536} a^{30} + \frac{41}{65536} a^{29} + \frac{149}{32768} a^{28} - \frac{137}{32768} a^{27} - \frac{925}{65536} a^{26} + \frac{301}{16384} a^{25} - \frac{983}{16384} a^{24} + \frac{1823}{65536} a^{23} - \frac{4039}{16384} a^{22} + \frac{7237}{65536} a^{21} - \frac{11371}{32768} a^{20} - \frac{977}{8192} a^{19} - \frac{25941}{65536} a^{18} - \frac{865}{16384} a^{17} + \frac{14105}{65536} a^{16} - \frac{10751}{32768} a^{15} - \frac{6381}{16384} a^{14} + \frac{557}{4096} a^{13} - \frac{211}{2048} a^{12} + \frac{13}{128} a^{11} - \frac{75}{256} a^{10} - \frac{51}{128} a^{9} + \frac{95}{256} a^{8} - \frac{57}{128} a^{7} + \frac{1}{64} a^{6} + \frac{7}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} + \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{131072} a^{39} - \frac{1}{131072} a^{38} + \frac{1}{131072} a^{37} + \frac{1}{65536} a^{36} - \frac{3}{131072} a^{35} + \frac{29}{131072} a^{33} - \frac{41}{131072} a^{32} + \frac{97}{131072} a^{31} + \frac{41}{131072} a^{30} + \frac{149}{65536} a^{29} - \frac{137}{65536} a^{28} - \frac{925}{131072} a^{27} + \frac{301}{32768} a^{26} - \frac{983}{32768} a^{25} + \frac{1823}{131072} a^{24} - \frac{4039}{32768} a^{23} + \frac{7237}{131072} a^{22} - \frac{11371}{65536} a^{21} - \frac{977}{16384} a^{20} - \frac{25941}{131072} a^{19} + \frac{15519}{32768} a^{18} - \frac{51431}{131072} a^{17} + \frac{22017}{65536} a^{16} - \frac{6381}{32768} a^{15} - \frac{3539}{8192} a^{14} - \frac{211}{4096} a^{13} - \frac{115}{256} a^{12} + \frac{181}{512} a^{11} - \frac{51}{256} a^{10} - \frac{161}{512} a^{9} + \frac{71}{256} a^{8} - \frac{63}{128} a^{7} - \frac{9}{32} a^{6} - \frac{15}{32} a^{5} - \frac{5}{16} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{262144} a^{40} - \frac{1}{262144} a^{39} + \frac{1}{262144} a^{38} + \frac{1}{131072} a^{37} - \frac{3}{262144} a^{36} + \frac{29}{262144} a^{34} - \frac{41}{262144} a^{33} + \frac{97}{262144} a^{32} + \frac{41}{262144} a^{31} + \frac{149}{131072} a^{30} - \frac{137}{131072} a^{29} - \frac{925}{262144} a^{28} + \frac{301}{65536} a^{27} - \frac{983}{65536} a^{26} + \frac{1823}{262144} a^{25} - \frac{4039}{65536} a^{24} + \frac{7237}{262144} a^{23} + \frac{54165}{131072} a^{22} + \frac{15407}{32768} a^{21} - \frac{25941}{262144} a^{20} - \frac{17249}{65536} a^{19} - \frac{51431}{262144} a^{18} - \frac{43519}{131072} a^{17} + \frac{26387}{65536} a^{16} + \frac{4653}{16384} a^{15} + \frac{3885}{8192} a^{14} - \frac{115}{512} a^{13} - \frac{331}{1024} a^{12} - \frac{51}{512} a^{11} - \frac{161}{1024} a^{10} - \frac{185}{512} a^{9} - \frac{63}{256} a^{8} - \frac{9}{64} a^{7} - \frac{15}{64} a^{6} - \frac{5}{32} a^{5} + \frac{3}{8} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{145227776} a^{41} + \frac{11}{145227776} a^{40} - \frac{259}{145227776} a^{39} - \frac{545}{72613888} a^{38} - \frac{27}{145227776} a^{37} - \frac{951}{36306944} a^{36} + \frac{7413}{145227776} a^{35} - \frac{13685}{145227776} a^{34} + \frac{13149}{145227776} a^{33} - \frac{47419}{145227776} a^{32} - \frac{877}{72613888} a^{31} - \frac{94349}{72613888} a^{30} - \frac{145197}{145227776} a^{29} + \frac{71327}{18153472} a^{28} + \frac{138671}{36306944} a^{27} + \frac{71959}{145227776} a^{26} - \frac{507301}{18153472} a^{25} - \frac{5746739}{145227776} a^{24} + \frac{6171623}{72613888} a^{23} - \frac{4591889}{18153472} a^{22} - \frac{66852557}{145227776} a^{21} + \frac{2863599}{9076736} a^{20} - \frac{20534015}{145227776} a^{19} + \frac{10703227}{72613888} a^{18} - \frac{2267437}{36306944} a^{17} + \frac{5027693}{18153472} a^{16} - \frac{4060197}{9076736} a^{15} + \frac{1488833}{4538368} a^{14} - \frac{46931}{1134592} a^{13} + \frac{411149}{1134592} a^{12} + \frac{65421}{141824} a^{11} + \frac{20795}{141824} a^{10} + \frac{51437}{141824} a^{9} + \frac{22293}{70912} a^{8} + \frac{1457}{8864} a^{7} + \frac{97}{17728} a^{6} + \frac{1107}{4432} a^{5} - \frac{1227}{4432} a^{4} - \frac{41}{2216} a^{3} - \frac{225}{554} a^{2} - \frac{243}{554} a + \frac{29}{277}$, $\frac{1}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{42} - \frac{1325258143586797050374207983338981920237069689564421855013}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{41} + \frac{6930637258780917235724329079405737448571219485763776886642309}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{40} + \frac{17561972928858041428336529001828936036371102433923291389482271}{5158748136754082494474422450359932641033510646562510109546924998656} a^{39} + \frac{54306669696471188361129949879944807726457432533063953823667029}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{38} + \frac{14947403696244786854523652393250177040175265228574453812330931}{2579374068377041247237211225179966320516755323281255054773462499328} a^{37} - \frac{15259364748578565704772863445095030259469130153162985469958435}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{36} - \frac{44937335426425216597384326363471347908179925975619251971487}{16045872898146446328069743235956244606636113986197543109010653184} a^{35} - \frac{318077321451248984503871809970859449791760370334131761748754043}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{34} - \frac{2229463962341579228556071618690034860138840221083888328651369915}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{33} - \frac{639563785983896722576333013726473468947203706090008000418448221}{5158748136754082494474422450359932641033510646562510109546924998656} a^{32} - \frac{1650746795303769080520230353451040211023333261155027054137746941}{5158748136754082494474422450359932641033510646562510109546924998656} a^{31} + \frac{9649650336296852851265136172466456929090919053378299008796877515}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{30} + \frac{3829836315727692966955469103078070979119794178377584942744142229}{1289687034188520623618605612589983160258377661640627527386731249664} a^{29} - \frac{8887284415309651110352737902696761751755323645542051381937290523}{2579374068377041247237211225179966320516755323281255054773462499328} a^{28} - \frac{43373904109610907251111135670102399481404661786554308406407350449}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{27} - \frac{1578228030491786999802217068479406741761458197391573675858413}{109938371339913104050686694449747094046405051712609967384428544} a^{26} + \frac{533775294293176914353592001290431842760295451153596475939969938677}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{25} - \frac{423172309209174037182327185322299207196896172102596259015580398917}{5158748136754082494474422450359932641033510646562510109546924998656} a^{24} - \frac{84171533323184743185639881133642931500042508381231374383531996425}{644843517094260311809302806294991580129188830820313763693365624832} a^{23} + \frac{25691954371525854360196049816151222031425858114742373922842256211}{75310191777431861233203247450509965562533002139598687730612043776} a^{22} - \frac{131056693389074517966123647038303332404282936513949428652211682733}{644843517094260311809302806294991580129188830820313763693365624832} a^{21} + \frac{1881255944973240166812135001499987875164182394637059568043229436585}{10317496273508164988948844900719865282067021293125020219093849997312} a^{20} - \frac{491451392965311941820073730357893324376521323142933503517256026209}{5158748136754082494474422450359932641033510646562510109546924998656} a^{19} - \frac{1124540805538306405357339174435059852940096412370242511398922928551}{2579374068377041247237211225179966320516755323281255054773462499328} a^{18} + \frac{74564500470730161826409996214220343670782297354340099107001218249}{161210879273565077952325701573747895032297207705078440923341406208} a^{17} - \frac{158190461742934831616033978814473043268564271105987668454728503299}{322421758547130155904651403147495790064594415410156881846682812416} a^{16} + \frac{142114301389625456667334310377657263085091630887562033138412563343}{322421758547130155904651403147495790064594415410156881846682812416} a^{15} - \frac{4060471172953325166059191993009937177665160485332461655175015155}{20151359909195634744040712696718486879037150963134805115417675776} a^{14} - \frac{22719420515480431338132010380162439822161221260487388663481348639}{80605439636782538976162850786873947516148603852539220461670703104} a^{13} - \frac{6880598308301687964723015399058370495566914203317645305261084503}{40302719818391269488081425393436973758074301926269610230835351552} a^{12} - \frac{4922465247099503833279376529151946999939769461617727537296734791}{10075679954597817372020356348359243439518575481567402557708837888} a^{11} + \frac{582369919777772021346775016691586838320391995051137899576054487}{1259459994324727171502544543544905429939821935195925319713604736} a^{10} + \frac{1542321897194063640636789247920350509589497390464498076264529657}{5037839977298908686010178174179621719759287740783701278854418944} a^{9} - \frac{779701318211163015412181122377568962616360875124353678313169131}{2518919988649454343005089087089810859879643870391850639427209472} a^{8} + \frac{200612213446285793240302643049525288204868079850181113251628237}{1259459994324727171502544543544905429939821935195925319713604736} a^{7} - \frac{43891572347497728687438035052115694770150176435096005125556625}{157432499290590896437818067943113178742477741899490664964200592} a^{6} + \frac{67731114096195626809829596071882787105562889700306504498282843}{314864998581181792875636135886226357484955483798981329928401184} a^{5} + \frac{19573391534188457406304438065341873489303014236863773931529961}{157432499290590896437818067943113178742477741899490664964200592} a^{4} + \frac{29726151362423457216912866125152768374398269037209229374251817}{78716249645295448218909033971556589371238870949745332482100296} a^{3} - \frac{2524846997776612735257625947480263544735845970631060759691421}{9839531205661931027363629246444573671404858868718166560262537} a^{2} - \frac{933940816563366478944569136746498880686773476967901036843710}{9839531205661931027363629246444573671404858868718166560262537} a + \frac{2331662497847776625321169396880068296512001352326431110778904}{9839531205661931027363629246444573671404858868718166560262537}$, $\frac{1}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{43} + \frac{2531699656957926149670422015099655558224041984788411789780737368379012726281}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{42} - \frac{268423441632478442255192205299729776786298399874992026307451979315339927852700948482250447629298875150960566340196968544498967490714717}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{41} - \frac{27172440429589620610278090053502259377784360322658710061795782785524886741604020173612043219306197295790070188084429250999861639800154661}{29794794699667090407333661641860360948309419462941131540772883356009321428747279354254239840940662195360754588166970768139559394812533654552576} a^{40} + \frac{1159194512928989849805489997426620117566366354269382240576655499826536289852465470962438364253555674501922730496900875355066774570693915261}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{39} + \frac{569426331508493151723632766555693341443178012615458054080498214394107297805979323910155611659077356042896630496330631186875925901269717373}{238358357597336723258669293134882887586475355703529052326183066848074571429978234834033918727525297562886036705335766145116475158500269236420608} a^{38} - \frac{3635222982917228557465604190807856606882773642415044196705674674658035490098349615622701914174584731364057897169755445199082640006704292407}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{37} - \frac{1038481887548198012886283843374299049679787133871421687716950374155312064673969983804007381472408732699570597744638751481827771920410403927}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{36} + \frac{27491686988398207529924214058473811350760473398020594368468184769022983658018768950444739097740336594113830140947784738763094698088982243347}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{35} - \frac{18278558237568815267400177681413587667700495254691876252478838253444474765639001963263531539359210548879336645400256024496776072421415785097}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{34} + \frac{2505916996658522285671035358329699177392306781734180617688235228853297169881445780872748275812777904323057822518282312182062462721459938855}{29794794699667090407333661641860360948309419462941131540772883356009321428747279354254239840940662195360754588166970768139559394812533654552576} a^{33} + \frac{73450602234406939532800404817479929334714686550674851509774617084053336345223235298738651681227870536462038972436468318159245194815904020335}{238358357597336723258669293134882887586475355703529052326183066848074571429978234834033918727525297562886036705335766145116475158500269236420608} a^{32} - \frac{261723103506614053808227884951838690488098830572240984447995429796716764185449839562946355476889989258292366171721371450384818412982394449977}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{31} - \frac{156359592800481848921033145261479606286628551838692632765976090328514400493924185778903728683040223962396725545112056347006920758800228320427}{238358357597336723258669293134882887586475355703529052326183066848074571429978234834033918727525297562886036705335766145116475158500269236420608} a^{30} - \frac{75560428936733504028350363335015543400305510719877746924331738688416907267933472400274478570812830501063325226294085674673980436163730355093}{29794794699667090407333661641860360948309419462941131540772883356009321428747279354254239840940662195360754588166970768139559394812533654552576} a^{29} + \frac{2757320091201694408610628449000230134284627062552365745452279186475928655674750398456028051638605545041619849253889219771544059979168795040071}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{28} - \frac{3006308588592166279207304636808942975984824337481026293636803251917035016838922525242207834770321886766942197550253387928762820152982699407715}{238358357597336723258669293134882887586475355703529052326183066848074571429978234834033918727525297562886036705335766145116475158500269236420608} a^{27} - \frac{487583221168817382917548630964788163237871880062619265019761846820949239576043926097562491721977349271097531660822579383194866371007437032191}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{26} + \frac{1014600791190408949754223915723308101185162085923535231006833702797658887467534925274192102396728881703692062034852843854731068094065395121311}{119179178798668361629334646567441443793237677851764526163091533424037285714989117417016959363762648781443018352667883072558237579250134618210304} a^{25} + \frac{1183386804218606104820630372429824289509142634450809105213295696553687197197751749475443169343716655303740795190605095750133535967114909260901}{59589589399334180814667323283720721896618838925882263081545766712018642857494558708508479681881324390721509176333941536279118789625067309105152} a^{24} - \frac{21344964786211296662974643792308582482531422028016311942106627658043802816609336622421491321067971898109660887868709876254806900041486518171677}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{23} - \frac{49603203833306502362393525488015641597890920709147680787183577090982103107846555899241758559866688641116891441364134322851512906573364672206755}{238358357597336723258669293134882887586475355703529052326183066848074571429978234834033918727525297562886036705335766145116475158500269236420608} a^{22} + \frac{176757749546490837697294916374295026083860589397872832885039012114677888739663201382565087256176290111657338274047142944307087966828553771226613}{476716715194673446517338586269765775172950711407058104652366133696149142859956469668067837455050595125772073410671532290232950317000538472841216} a^{21} - \frac{42613160872919639603028071021882464914429260665798615149710395403606842870996575326633124251242215242294518434354190522252052014217621224017169}{119179178798668361629334646567441443793237677851764526163091533424037285714989117417016959363762648781443018352667883072558237579250134618210304} a^{20} + \frac{52836081520422676568673140023442504486628224399199043586636471737465166482062087099350929007557542808582087464841966511715663996000414650671047}{119179178798668361629334646567441443793237677851764526163091533424037285714989117417016959363762648781443018352667883072558237579250134618210304} a^{19} + \frac{4178976718755313732201221123433112440845641849566532675920571859946093168065832806126222359549491893138176811828859199208177822404958748940675}{29794794699667090407333661641860360948309419462941131540772883356009321428747279354254239840940662195360754588166970768139559394812533654552576} a^{18} + \frac{671301884256197698414489987769708081434622102116088104218371784036956768944591259557354822523787378374004459194185612729404496077618219972589}{3724349337458386300916707705232545118538677432867641442596610419501165178593409919281779980117582774420094323520871346017444924351566706819072} a^{17} + \frac{5288614005032169227128829785433188210553762439544322621376383380326759590851266307688534599292737457212982944531357293375291366813824691448239}{14897397349833545203666830820930180474154709731470565770386441678004660714373639677127119920470331097680377294083485384069779697406266827276288} a^{16} - \frac{1557632263440170921823321760167385531312546421952914934950773109937603508528067148348492354895672976022873297439060602835711745478266318789809}{7448698674916772601833415410465090237077354865735282885193220839002330357186819838563559960235165548840188647041742692034889848703133413638144} a^{15} + \frac{724693982019895561583440600891115100048668458940768458512984987933125660106469912744834161787746756180681117108922611517342144966991198541065}{3724349337458386300916707705232545118538677432867641442596610419501165178593409919281779980117582774420094323520871346017444924351566706819072} a^{14} - \frac{128086488326124012464408107212823996617260658066369942177016611850686480022014193589355347724158679417792501726977488887338999139907292245089}{931087334364596575229176926308136279634669358216910360649152604875291294648352479820444995029395693605023580880217836504361231087891676704768} a^{13} - \frac{13640409049796568020852100453587782504240304388332532866384535142948499862949406354986406249457833107875390883444601018503676743229310582289}{931087334364596575229176926308136279634669358216910360649152604875291294648352479820444995029395693605023580880217836504361231087891676704768} a^{12} - \frac{21460599656680833762656100436415260420210074435804659253578988378607978623023081332025074217167589185699852011676165613694618939417461224807}{465543667182298287614588463154068139817334679108455180324576302437645647324176239910222497514697846802511790440108918252180615543945838352384} a^{11} + \frac{13219128584651885114858468852251604720628027444702985528819254648893468031069218693648577506501550193838183763264915376521467687110186083027}{58192958397787285951823557894258517477166834888556897540572037804705705915522029988777812189337230850313973805013614781522576942993229794048} a^{10} + \frac{39331151430865696453166879116376098707088675300086184454336320612434898362523057157906385658157416717016721798580278230280712678501524165957}{116385916795574571903647115788517034954333669777113795081144075609411411831044059977555624378674461700627947610027229563045153885986459588096} a^{9} + \frac{6637500418150409014799625894894441097728748894027846624917730170473377008208724953406891568212259692644481267149279735269760919220411630649}{58192958397787285951823557894258517477166834888556897540572037804705705915522029988777812189337230850313973805013614781522576942993229794048} a^{8} + \frac{6814278402795945191591088622186284151285918742314530724362841164997832745611903734399163910139009758392404665552388335503623104670752427953}{14548239599446821487955889473564629369291708722139224385143009451176426478880507497194453047334307712578493451253403695380644235748307448512} a^{7} + \frac{2252275601914908140662573330164793958899854428008746764957745194962845296866113283496458420683170293575469032847863467740019178824521729805}{14548239599446821487955889473564629369291708722139224385143009451176426478880507497194453047334307712578493451253403695380644235748307448512} a^{6} - \frac{3462539254614630167563720066579132017077523831925077104432266036789388874316909571046383394039147568250314706382082142177429151572692314429}{7274119799723410743977944736782314684645854361069612192571504725588213239440253748597226523667153856289246725626701847690322117874153724256} a^{5} + \frac{1486007016889204915747004218636881643005524546547771823707964857634829975851014788348398239690319199074658807518684300733479673036259082355}{3637059899861705371988972368391157342322927180534806096285752362794106619720126874298613261833576928144623362813350923845161058937076862128} a^{4} - \frac{13618506635972623191791956255393768322723246120804414438668825717352174881157561799319777035520997450493936344117773885571770406207059296}{227316243741356585749310773024447333895182948783425381017859522674631663732507929643663328864598558009038960175834432740322566183567303883} a^{3} - \frac{245740533711086689981169812375805322994239435466178032953009091286487627517659659981714746654859588578923522996544602892887283482553844577}{909264974965426342997243092097789335580731795133701524071438090698526654930031718574653315458394232036155840703337730961290264734269215532} a^{2} - \frac{30410801823944205957301136712864405037029979140934295679134816364734254706208993098334846330577909511462996069347167402443103189793438341}{227316243741356585749310773024447333895182948783425381017859522674631663732507929643663328864598558009038960175834432740322566183567303883} a - \frac{27818845906012404844027276096863221801196002978844989226932704470201082235100328501190354229246954613214855609387024791217291491651984368}{227316243741356585749310773024447333895182948783425381017859522674631663732507929643663328864598558009038960175834432740322566183567303883}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{59838665153067160308102478878484539824480056922996626813673049472303180365121279112484782633535721185}{1006351277064325307064667407457681010366404206095502051237714880270238652718031429111830593120898374879870976} a^{43} + \frac{651470009122725157247350178378432883282436014307628080387437333425456189220329283080297624969180739541}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{42} + \frac{29958835976203850355238480119536536945427696205701793084693641906215186332231013714585536080744082885555}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{41} - \frac{7741339186307442958396550314303865852571863007490090387198049670650103652248267109921690033996826290727}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{40} - \frac{245986830561550650931370421947024640066333055315634808461124729512941854790992210586902482711193669572469}{8050810216514602456517339259661448082931233648764016409901719042161909221744251432894644744967186999038967808} a^{39} - \frac{33073628065961557686547307010443844140777950894174945825928731302195422108131547724483477786805324314659}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{38} + \frac{379923528047704466794658213125334947887978584759056195028084342738804234931770127470447906359037056071729}{1006351277064325307064667407457681010366404206095502051237714880270238652718031429111830593120898374879870976} a^{37} + \frac{1247611840649057471512668824067395581905107879989564843343187155868721378177380313648729579760847965407709}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{36} - \frac{62192580642797943491972384127862228262346530046178231783711125979024183896539636518684794234073003727508517}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{35} - \frac{17026679736589819781015605776436126563390670637098005720927912606350698186323631581155940758727747913670647}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{34} + \frac{524551839518729717455198610366902506401961656091111370117843196698347210493803511147150635916587171117992585}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{33} + \frac{97961928651767511335190330948432400077061265931926075677862296723230035244579073972112301867019765595981195}{8050810216514602456517339259661448082931233648764016409901719042161909221744251432894644744967186999038967808} a^{32} - \frac{1859387031515792759389053349860325573005787176706820013631917063724165118548972678113492872775367541946396879}{8050810216514602456517339259661448082931233648764016409901719042161909221744251432894644744967186999038967808} a^{31} - \frac{1660905670127505826108209825320031290098413568969020845759619048082995930200418944498888782503370410458135209}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{30} + \frac{5692974077435418532628892105004647620617221694141165880069787814022023242507506943731615169460485983915195301}{4025405108257301228258669629830724041465616824382008204950859521080954610872125716447322372483593499519483904} a^{29} + \frac{1328198712412357928891369456786614036563813860813694111812654029413837801951832625505271591942974552468959959}{2012702554128650614129334814915362020732808412191004102475429760540477305436062858223661186241796749759741952} a^{28} - \frac{119877854000314062669197534586026076256345823929065735905629316477039263898723392562386561403734037596034881285}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{27} - \frac{14856886559211176463417727597137076386544670584027641098706894752611544684328344736879559285663997325293823977}{4025405108257301228258669629830724041465616824382008204950859521080954610872125716447322372483593499519483904} a^{26} + \frac{535763833102983933552271566938744363265422486383340949697842084010981634814207447520624565867085865972116009085}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{25} + \frac{143588050090245975013791934994349222707716979166681357081104902193656997931896233310512235838929492534721863181}{8050810216514602456517339259661448082931233648764016409901719042161909221744251432894644744967186999038967808} a^{24} - \frac{511460817442399027241420379850820290550087377065327816701530237676948139567276922782498341650529121297059781667}{4025405108257301228258669629830724041465616824382008204950859521080954610872125716447322372483593499519483904} a^{23} - \frac{2941438964681803633749003103454691975066359662481063578231457572099049816195645088368111253125214685663789871}{43873625158117724558677598145293995002350047132228972261044790420500867693429163122041660735516005444354048} a^{22} + \frac{1664368959074039639483888947312203921233742436120401032189706349293114103784079562839027751179132273860306796297}{4025405108257301228258669629830724041465616824382008204950859521080954610872125716447322372483593499519483904} a^{21} + \frac{3319953336050242347893975086616992702299767275481496316493817531430344519237868981456507585069536443065758690129}{16101620433029204913034678519322896165862467297528032819803438084323818443488502865789289489934373998077935616} a^{20} - \frac{8984423850939982113062009276608922889159702605482605182612437760986792122662693937555677789129510184032783677047}{8050810216514602456517339259661448082931233648764016409901719042161909221744251432894644744967186999038967808} a^{19} - \frac{1162128019247399626921858826117898370905295073398737694230520378074335947747461030774201769349924123800123076993}{2012702554128650614129334814915362020732808412191004102475429760540477305436062858223661186241796749759741952} a^{18} + \frac{4917865188218440591053943686002765218621008248916287662140234879914142012124300734710369037181801814076402752459}{2012702554128650614129334814915362020732808412191004102475429760540477305436062858223661186241796749759741952} a^{17} + \frac{40726464536546734100010892719205881580991107959648299209252972584605545017349288025516622893546593759943128933}{31448477408260165845770856483052531573950131440484439101178590008444957897438482159744706035028074214995968} a^{16} - \frac{1096484985443518501688486317341035231595797499679871858671401410063888180135767098808074742605041568207867764509}{251587819266081326766166851864420252591601051523875512809428720067559663179507857277957648280224593719967744} a^{15} - \frac{121302981166394235601334722441505081417517036613921700563617031235404321146592146969826662748957253212363077743}{62896954816520331691541712966105063147900262880968878202357180016889915794876964319489412070056148429991936} a^{14} + \frac{780446453962642854979362618367097835240939311481010188777240108773044754748432744916855193560535882234251426087}{125793909633040663383083425932210126295800525761937756404714360033779831589753928638978824140112296859983872} a^{13} + \frac{70363025880705449010588767253618094863797762418966104126587422058437411355405039778066519092164290402445329585}{31448477408260165845770856483052531573950131440484439101178590008444957897438482159744706035028074214995968} a^{12} - \frac{207198891152168512315981875581609481631837243823446010019320527065340552104513557415986838732750933098896217417}{31448477408260165845770856483052531573950131440484439101178590008444957897438482159744706035028074214995968} a^{11} - \frac{45526249985803258317824767218367820664795004704832403424481455057014193832543102394439795747859216331970544117}{15724238704130082922885428241526265786975065720242219550589295004222478948719241079872353017514037107497984} a^{10} + \frac{36794525126079605772830083621298273582194153761487415077516938711881275347405583900377296923937550920948888547}{7862119352065041461442714120763132893487532860121109775294647502111239474359620539936176508757018553748992} a^{9} + \frac{10361329822635635552078149775002640945903296885740447791132213828613147426218240423559217697043677848481149707}{3931059676032520730721357060381566446743766430060554887647323751055619737179810269968088254378509276874496} a^{8} - \frac{2264121517767584691428690777457925714608529730651525921570061247256203448196429859427815574471779669328154519}{982764919008130182680339265095391611685941607515138721911830937763904934294952567492022063594627319218624} a^{7} - \frac{871767240630232873163226505271728710711627523367500454601010585092155940656128105935306375037213961689309577}{982764919008130182680339265095391611685941607515138721911830937763904934294952567492022063594627319218624} a^{6} + \frac{389194039147362857525680194762640234175145339498090566777013938869200508183991090359645107719678528909696723}{491382459504065091340169632547695805842970803757569360955915468881952467147476283746011031797313659609312} a^{5} + \frac{4571276639754770089152055695847707822664352390497028187589958546888045697375222538750827155916689441432151}{122845614876016272835042408136923951460742700939392340238978867220488116786869070936502757949328414902328} a^{4} - \frac{6684898508994028885202491294986170943122651828539284227252017862249879083078178690750581814286317227480707}{30711403719004068208760602034230987865185675234848085059744716805122029196717267734125689487332103725582} a^{3} - \frac{2035685747753984286004199298598514010253725515859738686198585955428439367389699467882154798706499435563529}{61422807438008136417521204068461975730371350469696170119489433610244058393434535468251378974664207451164} a^{2} + \frac{125183976851136400012965776548819870282519490676377800594681232065737711932320785910276899753828182957211}{30711403719004068208760602034230987865185675234848085059744716805122029196717267734125689487332103725582} a + \frac{32616111369500136765372718269021861971469753006145111097021476736707178163301599645570112088629862023082}{15355701859502034104380301017115493932592837617424042529872358402561014598358633867062844743666051862791} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{21}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-7})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.601130775140836298755595442714814879781421.1, 22.0.304011857053427966889939263171547.1, 22.0.3393400820453274956705986794666660343.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed
23Data not computed