↑

Properties

Label 44.0.36075838195...4304.4
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $2^{66}\cdot 3^{22}\cdot 23^{42}$
Root discriminant $97.71$
Ramified primes $2, 3, 23$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4760716702561, -3173834791936, 11065288394632, -6318592552612, 12768663644816, -6407408568958, 9896004307466, -4459787108112, 5860415317602, -2421646596474, 2847578340843, -1090649084292, 1177823357679, -421782473222, 425588997760, -143117336230, 136381343684, -43216075824, 39267998773, -11773277034, 10236234869, -2899731254, 2435275925, -656940198, 525362877, -131261852, 105670141, -26692810, 19028237, -3787888, 3165221, -847518, 509181, -56948, 59284, -20540, 10492, -148, 542, -312, 150, 4, 1, -2, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 2*x^43 + x^42 + 4*x^41 + 150*x^40 - 312*x^39 + 542*x^38 - 148*x^37 + 10492*x^36 - 20540*x^35 + 59284*x^34 - 56948*x^33 + 509181*x^32 - 847518*x^31 + 3165221*x^30 - 3787888*x^29 + 19028237*x^28 - 26692810*x^27 + 105670141*x^26 - 131261852*x^25 + 525362877*x^24 - 656940198*x^23 + 2435275925*x^22 - 2899731254*x^21 + 10236234869*x^20 - 11773277034*x^19 + 39267998773*x^18 - 43216075824*x^17 + 136381343684*x^16 - 143117336230*x^15 + 425588997760*x^14 - 421782473222*x^13 + 1177823357679*x^12 - 1090649084292*x^11 + 2847578340843*x^10 - 2421646596474*x^9 + 5860415317602*x^8 - 4459787108112*x^7 + 9896004307466*x^6 - 6407408568958*x^5 + 12768663644816*x^4 - 6318592552612*x^3 + 11065288394632*x^2 - 3173834791936*x + 4760716702561)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 2*x^43 + x^42 + 4*x^41 + 150*x^40 - 312*x^39 + 542*x^38 - 148*x^37 + 10492*x^36 - 20540*x^35 + 59284*x^34 - 56948*x^33 + 509181*x^32 - 847518*x^31 + 3165221*x^30 - 3787888*x^29 + 19028237*x^28 - 26692810*x^27 + 105670141*x^26 - 131261852*x^25 + 525362877*x^24 - 656940198*x^23 + 2435275925*x^22 - 2899731254*x^21 + 10236234869*x^20 - 11773277034*x^19 + 39267998773*x^18 - 43216075824*x^17 + 136381343684*x^16 - 143117336230*x^15 + 425588997760*x^14 - 421782473222*x^13 + 1177823357679*x^12 - 1090649084292*x^11 + 2847578340843*x^10 - 2421646596474*x^9 + 5860415317602*x^8 - 4459787108112*x^7 + 9896004307466*x^6 - 6407408568958*x^5 + 12768663644816*x^4 - 6318592552612*x^3 + 11065288394632*x^2 - 3173834791936*x + 4760716702561, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - 2 x^{43} + x^{42} + 4 x^{41} + 150 x^{40} - 312 x^{39} + 542 x^{38} - 148 x^{37} + 10492 x^{36} - 20540 x^{35} + 59284 x^{34} - 56948 x^{33} + 509181 x^{32} - 847518 x^{31} + 3165221 x^{30} - 3787888 x^{29} + 19028237 x^{28} - 26692810 x^{27} + 105670141 x^{26} - 131261852 x^{25} + 525362877 x^{24} - 656940198 x^{23} + 2435275925 x^{22} - 2899731254 x^{21} + 10236234869 x^{20} - 11773277034 x^{19} + 39267998773 x^{18} - 43216075824 x^{17} + 136381343684 x^{16} - 143117336230 x^{15} + 425588997760 x^{14} - 421782473222 x^{13} + 1177823357679 x^{12} - 1090649084292 x^{11} + 2847578340843 x^{10} - 2421646596474 x^{9} + 5860415317602 x^{8} - 4459787108112 x^{7} + 9896004307466 x^{6} - 6407408568958 x^{5} + 12768663644816 x^{4} - 6318592552612 x^{3} + 11065288394632 x^{2} - 3173834791936 x + 4760716702561 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 22]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(3607583819545152459027384276140645884702253651640471494457079112798455926939134201954304=2^{66}\cdot 3^{22}\cdot 23^{42}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $97.71$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 23$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(552=2^{3}\cdot 3\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{552}(1,·)$, $\chi_{552}(259,·)$, $\chi_{552}(65,·)$, $\chi_{552}(521,·)$, $\chi_{552}(11,·)$, $\chi_{552}(17,·)$, $\chi_{552}(275,·)$, $\chi_{552}(73,·)$, $\chi_{552}(25,·)$, $\chi_{552}(409,·)$, $\chi_{552}(539,·)$, $\chi_{552}(265,·)$, $\chi_{552}(289,·)$, $\chi_{552}(547,·)$, $\chi_{552}(113,·)$, $\chi_{552}(169,·)$, $\chi_{552}(427,·)$, $\chi_{552}(419,·)$, $\chi_{552}(49,·)$, $\chi_{552}(307,·)$, $\chi_{552}(155,·)$, $\chi_{552}(137,·)$, $\chi_{552}(187,·)$, $\chi_{552}(193,·)$, $\chi_{552}(83,·)$, $\chi_{552}(139,·)$, $\chi_{552}(211,·)$, $\chi_{552}(329,·)$, $\chi_{552}(331,·)$, $\chi_{552}(403,·)$, $\chi_{552}(467,·)$, $\chi_{552}(163,·)$, $\chi_{552}(203,·)$, $\chi_{552}(89,·)$, $\chi_{552}(227,·)$, $\chi_{552}(401,·)$, $\chi_{552}(361,·)$, $\chi_{552}(107,·)$, $\chi_{552}(497,·)$, $\chi_{552}(499,·)$, $\chi_{552}(425,·)$, $\chi_{552}(121,·)$, $\chi_{552}(251,·)$, $\chi_{552}(281,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $\frac{1}{137} a^{41} - \frac{66}{137} a^{40} + \frac{58}{137} a^{39} - \frac{38}{137} a^{38} + \frac{5}{137} a^{37} + \frac{34}{137} a^{36} - \frac{67}{137} a^{35} - \frac{39}{137} a^{34} - \frac{21}{137} a^{33} + \frac{14}{137} a^{32} + \frac{16}{137} a^{31} + \frac{17}{137} a^{30} - \frac{48}{137} a^{29} + \frac{47}{137} a^{28} + \frac{55}{137} a^{27} + \frac{23}{137} a^{26} + \frac{7}{137} a^{25} + \frac{27}{137} a^{24} - \frac{10}{137} a^{23} + \frac{4}{137} a^{22} - \frac{43}{137} a^{21} + \frac{29}{137} a^{20} + \frac{46}{137} a^{19} - \frac{33}{137} a^{18} - \frac{49}{137} a^{17} + \frac{2}{137} a^{16} - \frac{16}{137} a^{15} - \frac{53}{137} a^{14} - \frac{63}{137} a^{13} - \frac{6}{137} a^{12} + \frac{48}{137} a^{11} + \frac{38}{137} a^{10} + \frac{39}{137} a^{9} - \frac{51}{137} a^{8} - \frac{14}{137} a^{7} - \frac{60}{137} a^{6} + \frac{25}{137} a^{5} - \frac{65}{137} a^{4} - \frac{7}{137} a^{3} - \frac{42}{137} a^{2} - \frac{14}{137} a$, $\frac{1}{15748561} a^{42} + \frac{30585}{15748561} a^{41} - \frac{4887989}{15748561} a^{40} - \frac{6303362}{15748561} a^{39} + \frac{2844572}{15748561} a^{38} + \frac{2330767}{15748561} a^{37} - \frac{6142487}{15748561} a^{36} + \frac{4565225}{15748561} a^{35} - \frac{2602948}{15748561} a^{34} - \frac{7318845}{15748561} a^{33} + \frac{397483}{15748561} a^{32} - \frac{5428515}{15748561} a^{31} + \frac{6535867}{15748561} a^{30} + \frac{4135661}{15748561} a^{29} + \frac{1427911}{15748561} a^{28} - \frac{6681858}{15748561} a^{27} + \frac{1677543}{15748561} a^{26} + \frac{7735747}{15748561} a^{25} + \frac{6776655}{15748561} a^{24} - \frac{6986352}{15748561} a^{23} + \frac{1204176}{15748561} a^{22} - \frac{2941414}{15748561} a^{21} - \frac{6466194}{15748561} a^{20} - \frac{1358994}{15748561} a^{19} + \frac{6039584}{15748561} a^{18} + \frac{6085574}{15748561} a^{17} + \frac{878902}{15748561} a^{16} - \frac{2802070}{15748561} a^{15} - \frac{6506972}{15748561} a^{14} + \frac{1706605}{15748561} a^{13} - \frac{7458147}{15748561} a^{12} - \frac{2659675}{15748561} a^{11} + \frac{872419}{15748561} a^{10} + \frac{7764488}{15748561} a^{9} + \frac{7349868}{15748561} a^{8} - \frac{2088244}{15748561} a^{7} + \frac{2498248}{15748561} a^{6} + \frac{4991427}{15748561} a^{5} + \frac{6846370}{15748561} a^{4} + \frac{4031853}{15748561} a^{3} + \frac{4338686}{15748561} a^{2} + \frac{3157409}{15748561} a + \frac{52796}{114953}$, $\frac{1}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{43} - \frac{3501173991610861279641119644587814950724171907223206516435955850389525412636583034100031949643884650868524813751825374456568860630768545410096662538070160674198256475226843627756349473550717567306490878915318896991337073759150271}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{42} + \frac{38003237228353544981461309709210116653691530785117324868299611087153272294189713887565765332446670045166581262878384432347844487211156621476813986701077504121287955531767649003760776792892051707100814148462710645921650707326873088578}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{41} + \frac{44602620360592039928662937501594652783823169621879832706992066635092462353429659456678174610857514022242810438828322379556291280121851936143549803645465751024169469006926174730436007738345267001156929210022548998169341855661630106948074}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{40} + \frac{31289375667904299818653878768701267890321311405392763126820233304245092000266889164429160761680990715301473884763361862996715908985592252959824400907090064188919633276889667352091022132727621707900979192000996785887491840235056485810628}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{39} - \frac{55243324434432947903262440530026417932459749005273658036368608823678864723281917631199433929771181587733089813468754640773553715666588869997227477499264291974612818262435043853051938459709722967487618764437012268788100540302714759080524}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{38} - \frac{63262359195889696837914944028999136841662366460410793149002793672341214934358633032405889362945141002807013281830224146721488909404614134128468072634499806290616810170779934687204431612055217541268106260902878169811590741011588587738626}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{37} + \frac{297874181090170424026554559021990842570531490777005393584124794256975020662867638912967709707674326909158779684740586297262436498500820747803093469891150895841083984830048496321022558391688129734610644993986441717438899968387376289454}{951120748204208440337450122584243633530661919458468109555022002106538112256742138923225799727133721977927792070116339544300723370495257938063241333410675849837249573264324274308950793408482532243127619325034476835025452554302624788701} a^{36} - \frac{61006868458692455824641055593302034366869013337316568643685747444390654572531689757715830763934278810969209039180591694610640080939005802686144319805695826344947306324799595668351901812827909657293951972245315255318142396490775330370839}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{35} - \frac{51221772304431596466543755757110669310355623445886195385874200646860719406468131905109260591454989892795140897710021399420015526565066423360903671222753161179995717008304004413273086281563915543506901190559847724706111279075758719039446}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{34} - \frac{46019797916662900621508856272029203651222188182539765348062721112375878562848893582198029946437878976386014701744570522547573731095021770078093479530618950188564390964806679164137883644107557420540179716687941403841783668805018368245798}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{33} - \frac{54443428299311417424808821715957355368625654252399049499728670587189453482926579731907767546232659872228282668314049322817439289521911238553368316683631915345790107780764249869961027418744147807969980183617212009355134357178231851261352}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{32} + \frac{38430609466211727053471033409332245928671694662161251383975641855611691234245707819200073387507446488384549026681843148287304683577494222275852464067407484667650430532538597660895750405764730442123438277634964875006879348579175211858704}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{31} + \frac{42850648489601407891825445508808751861598571430807982035991164872918934849979007194901454028742237727244338254836061417685451307134601798714158415987812212962846190773516633090316022555729334541161545635371547332229440505944722428128711}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{30} + \frac{52080379553460725735304803652119224360642561345044903565413958055582797769809332875880359531424738978233136550008796978937279505565797342891531689578463925838294401694213175045643672912000265905899040886640429234777985054668259500759609}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{29} + \frac{40504036073812777371476464074413977213729181066293583912192263183599351091837991069291843259894785776190230148520332642276203147935134871967712213273603685155765304499052047498160249595457431212485626530096629836367209396812380611162955}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{28} - \frac{42342429494741689434606325194114705059944019147380930204688793120248293802180419699701812083692404103087250271693645746030379296312493271265515101098573487135699773694118348691460392550759175426477849370867373968556392634354276209586666}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{27} - \frac{47574535444644364962768727601164866798883574394785649548251549011025899326341774570307528679943795616754582846380273469456299698868586816507197818988367439045688648525463391030014026411477794039989675386786666068032022345816196617382485}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{26} + \frac{45883747535206328237803316381444475100556648188627101699344629584889446439520354182767620413162048129165365386969394422595466836917668144541788367744985534885228629335079820423912043102400779404630009047947146245200556809846011418518051}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{25} + \frac{23078222723920781225473657411831867254073755601044986131252807659719178408087704436887862763700905581814851043720591694952910066456981646779068016694590215693421555648078285816801484766008792795660091526581121435476866659054883553166984}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{24} + \frac{52571874951489349373192016905246516045284198067695738141232316904597675300421072183198521705553957908851011321296517592155695144305923114917148396533910317610914060497948488909539437114542428058576827174249257467355921042690451557203534}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{23} + \frac{12355250377527513226543785956645935901244939799529432726957184664706923480102046168067061044715816153109764730632326539543567971129616680058866413714285002792123830512754834486181649083570954964017451399299236366813938347890325653593507}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{22} + \frac{27206791881603815640969592482572847610033659856304061933108373625467637573900104870479789872131578298915511259014571420436357604218109542502457265928986452644497874222813526660897867598115440507344588483572092188917256768027948312796894}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{21} + \frac{5251125615514973460554311457583080046528459071931400402638472187657377152394140615972108604615515363156175933306413130847182110361680124001949322392578021078222587365445946849330734517742214273668128601048314134615527327235458831870264}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{20} + \frac{39680385022304662254099768502620342697094210736570827112836028046909744187972821568841277420296993214180540984706455068568552110984508318768866735099874418083348916634277516710714063294274285204447880751110737066290900235710632255473894}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{19} - \frac{57638777802881025653812899341136089815516516821493400471843963334490685019675796343031551895337513116840049763264189633408845828322729193164293333655531158490018539258718424825630845827973808705338736470887254411954756023804967261585714}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{18} + \frac{9281337531745184655324037375992187997572962578586532574815373746037746208970100257590071528924268625815346231649602984774577718954778571175001231365876618770832077844908807885421796378156427348798442403682860322652012490242762391654336}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{17} - \frac{38074222508099280438921160403227937037370648063002050604470168670825674619477344739455782351044399117031123042648357355321016614532573164704556548625910886761320858300673851549872889672820690179041177613173751678986326792157983910958112}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{16} - \frac{55195943839547049058851952098654388951253862960477635937236044984730243479441996855728506814084833236346449440288064375849196677585660970763638953609545781998396073971266690756862106794657154575416634342033385786002526331535668439044701}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{15} - \frac{60045713108055709563385018832198634290247312872295509686815001422226085468581650152803261954641804116654582718632362991688281884812221542343255767892069501622968992004625370227739946212209324506337469520799634929109865040311822816929917}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{14} - \frac{57739044020955600632217558623225693075932515895936652622758565856273752951816277319296124793689116874135724282492245482627424879930214693213875669867656672422754903002122398971886171025427944210236709830735417122897212584980130062187334}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{13} + \frac{41731777682539332521246839257503607434352613593948274508396194799998989785389664648307661221132527736723144147821017695689819620108511503097035101107065302364519143950988943362877440001580735937360803708110309571792073049590739761104112}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{12} - \frac{61993917871955315836204151160554504081033524095279592779917983973195909455004272160409167257858412178043312047395760255940691849832891070423264113725854937139067711323135484526160806024192775488443070453901625568336558312933719809071802}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{11} + \frac{45741402806913213219847643841740503724873183398482725419052626376787402425177693547980515686711550197654121925202949944624883452318088758730639732394694098541166471021620141953995915431805195293196853685320354349523922898527936728974025}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{10} - \frac{58944048784909840279134959759109574191525200503401609232807130569740265454302882791435395306251507138534169419977444320619036062738879780029139300852244369292401483272402381441934817311958723835666941107461934403216105038856465575097574}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{9} + \frac{52263801554506971490828315492290488807112048460245061613495198836605949909365042888032655305328636966864921090088858997762271856792873702170531173692489358273581952531632877705548908724551282545892714696225694067648834715560218491365331}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{8} + \frac{58419029910960449863457497275703792107601731516841096261566220223572887189078612726902311006282995983275363920896058577273587764011936087769242433033547448106336379073199444987798574979871504539027678137897471695485940077322945154173104}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{7} - \frac{63973510928577827348013836873348369480743883692208432367445283962939623978633248657539324825599567896734817970441109013256248410540566924664566603333959450985072528206313077428497031910566164874658376477768951490194794342373733219298140}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{6} - \frac{45320734665131083037062276344560037851411061056816525739521981490713634262606557420154691345392362464455740609995614092419442043330750858932874522128632410096366356519258002576848989439934967764041321008352296324744575666079837372759047}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{5} - \frac{5552730910171947167937317403239492309468304529962921710764024928657609911086067961096033076121965234465148272051035371701173895642650348698517867240203128912602262050373001102296074466430533998437969723713624387779838917328643944239119}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{4} - \frac{33616152878663429703700744288353262767896776995820217529946118039435269800264026933944781711975796354168985216311721895814394757685856806259120878886799024066457152641234022739092736985103844970892627870764337152113384583163752720133367}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{3} - \frac{35560213113396750023912727163167701348326897571639077931366671077712178683951694352164833804279854873354030367610341189926322128700066533083493794851250823869729369333969197024746557743095329808208989474398273832874738716145596200917816}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a^{2} - \frac{13948922840073240530486244710623234795333053111205305619526056256896226727080567584020329467210709284475928562523003500421507007692156866478701352733257631121308863492698054170515096566117947488142088344228291299660784918489241932066388}{130303542503976556326230666794041377793700682965810131009038014288595721379173673032481934562617319910976107513605938517569199101757850337514664062677262591427703191537212425580326258696962106917308483847529723326398486999939459596052037} a + \frac{358419939877740790607108475045607675425474478442639314685863456533822023376956382624399919840225178283019874336932840760301820188829425510595828990065655603952387974840762328234109522129617251605301476290386525718241643512472044617143}{951120748204208440337450122584243633530661919458468109555022002106538112256742138923225799727133721977927792070116339544300723370495257938063241333410675849837249573264324274308950793408482532243127619325034476835025452554302624788701}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-2}) \), \(\Q(\sqrt{69}) \), \(\Q(\sqrt{-138}) \), \(\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{69})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.0.14741666340843480753092741810452692992.1, \(\Q(\zeta_{69})^+\), 22.0.60063165247472201954266758470414053725437952.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/17.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
3Data not computed
23Data not computed