Properties

Label 44.0.220...625.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $2.204\times 10^{80}$
Root discriminant $66.99$
Ramified primes $3, 5, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 32*x^42 - 21*x^41 + 608*x^40 - 302*x^39 + 7441*x^38 - 2334*x^37 + 66293*x^36 - 12644*x^35 + 432280*x^34 - 28161*x^33 + 2141316*x^32 + 33285*x^31 + 8001765*x^30 + 693375*x^29 + 23077394*x^28 + 2792911*x^27 + 51292654*x^26 + 7229970*x^25 + 89635724*x^24 + 12947356*x^23 + 123068074*x^22 + 17592284*x^21 + 133953248*x^20 + 17840654*x^19 + 114270996*x^18 + 13803865*x^17 + 76240835*x^16 + 7576064*x^15 + 38619954*x^14 + 2830121*x^13 + 14698338*x^12 + 489978*x^11 + 3921204*x^10 - 46901*x^9 + 736586*x^8 - 41505*x^7 + 78482*x^6 - 8849*x^5 + 5761*x^4 - 386*x^3 + 117*x^2 + 6*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 + 32*x^42 - 21*x^41 + 608*x^40 - 302*x^39 + 7441*x^38 - 2334*x^37 + 66293*x^36 - 12644*x^35 + 432280*x^34 - 28161*x^33 + 2141316*x^32 + 33285*x^31 + 8001765*x^30 + 693375*x^29 + 23077394*x^28 + 2792911*x^27 + 51292654*x^26 + 7229970*x^25 + 89635724*x^24 + 12947356*x^23 + 123068074*x^22 + 17592284*x^21 + 133953248*x^20 + 17840654*x^19 + 114270996*x^18 + 13803865*x^17 + 76240835*x^16 + 7576064*x^15 + 38619954*x^14 + 2830121*x^13 + 14698338*x^12 + 489978*x^11 + 3921204*x^10 - 46901*x^9 + 736586*x^8 - 41505*x^7 + 78482*x^6 - 8849*x^5 + 5761*x^4 - 386*x^3 + 117*x^2 + 6*x + 1, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, 6, 117, -386, 5761, -8849, 78482, -41505, 736586, -46901, 3921204, 489978, 14698338, 2830121, 38619954, 7576064, 76240835, 13803865, 114270996, 17840654, 133953248, 17592284, 123068074, 12947356, 89635724, 7229970, 51292654, 2792911, 23077394, 693375, 8001765, 33285, 2141316, -28161, 432280, -12644, 66293, -2334, 7441, -302, 608, -21, 32, -1, 1]);
 

\( x^{44} - x^{43} + 32 x^{42} - 21 x^{41} + 608 x^{40} - 302 x^{39} + 7441 x^{38} - 2334 x^{37} + 66293 x^{36} - 12644 x^{35} + 432280 x^{34} - 28161 x^{33} + 2141316 x^{32} + 33285 x^{31} + 8001765 x^{30} + 693375 x^{29} + 23077394 x^{28} + 2792911 x^{27} + 51292654 x^{26} + 7229970 x^{25} + 89635724 x^{24} + 12947356 x^{23} + 123068074 x^{22} + 17592284 x^{21} + 133953248 x^{20} + 17840654 x^{19} + 114270996 x^{18} + 13803865 x^{17} + 76240835 x^{16} + 7576064 x^{15} + 38619954 x^{14} + 2830121 x^{13} + 14698338 x^{12} + 489978 x^{11} + 3921204 x^{10} - 46901 x^{9} + 736586 x^{8} - 41505 x^{7} + 78482 x^{6} - 8849 x^{5} + 5761 x^{4} - 386 x^{3} + 117 x^{2} + 6 x + 1 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(220\!\cdots\!625\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 5^{22}\cdot 23^{40}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $66.99$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 5, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(345=3\cdot 5\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{345}(256,·)$, $\chi_{345}(1,·)$, $\chi_{345}(259,·)$, $\chi_{345}(4,·)$, $\chi_{345}(266,·)$, $\chi_{345}(139,·)$, $\chi_{345}(269,·)$, $\chi_{345}(271,·)$, $\chi_{345}(16,·)$, $\chi_{345}(146,·)$, $\chi_{345}(131,·)$, $\chi_{345}(151,·)$, $\chi_{345}(154,·)$, $\chi_{345}(284,·)$, $\chi_{345}(26,·)$, $\chi_{345}(31,·)$, $\chi_{345}(289,·)$, $\chi_{345}(164,·)$, $\chi_{345}(41,·)$, $\chi_{345}(301,·)$, $\chi_{345}(29,·)$, $\chi_{345}(49,·)$, $\chi_{345}(179,·)$, $\chi_{345}(311,·)$, $\chi_{345}(59,·)$, $\chi_{345}(64,·)$, $\chi_{345}(196,·)$, $\chi_{345}(326,·)$, $\chi_{345}(71,·)$, $\chi_{345}(331,·)$, $\chi_{345}(334,·)$, $\chi_{345}(209,·)$, $\chi_{345}(211,·)$, $\chi_{345}(94,·)$, $\chi_{345}(101,·)$, $\chi_{345}(104,·)$, $\chi_{345}(236,·)$, $\chi_{345}(239,·)$, $\chi_{345}(116,·)$, $\chi_{345}(169,·)$, $\chi_{345}(121,·)$, $\chi_{345}(119,·)$, $\chi_{345}(124,·)$, $\chi_{345}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{2} a^{33} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{34} - \frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{35} - \frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{36} - \frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{37} - \frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{38} - \frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{39} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{278} a^{40} - \frac{29}{278} a^{39} + \frac{11}{278} a^{38} - \frac{15}{139} a^{37} + \frac{27}{278} a^{36} + \frac{26}{139} a^{35} - \frac{8}{139} a^{34} - \frac{51}{278} a^{33} - \frac{99}{278} a^{32} + \frac{41}{139} a^{31} + \frac{39}{278} a^{30} + \frac{64}{139} a^{29} + \frac{45}{278} a^{28} + \frac{67}{139} a^{27} - \frac{64}{139} a^{26} + \frac{57}{139} a^{25} + \frac{39}{139} a^{24} + \frac{21}{139} a^{23} + \frac{30}{139} a^{22} - \frac{55}{139} a^{21} - \frac{61}{139} a^{20} - \frac{52}{139} a^{19} + \frac{7}{139} a^{18} - \frac{35}{139} a^{17} - \frac{40}{139} a^{16} - \frac{55}{139} a^{15} - \frac{20}{139} a^{14} - \frac{27}{278} a^{13} + \frac{61}{278} a^{12} + \frac{131}{278} a^{11} + \frac{77}{278} a^{10} + \frac{32}{139} a^{9} + \frac{17}{278} a^{8} + \frac{50}{139} a^{7} + \frac{5}{139} a^{6} - \frac{43}{278} a^{5} - \frac{127}{278} a^{4} + \frac{31}{278} a^{3} + \frac{20}{139} a^{2} + \frac{35}{278} a + \frac{27}{139}$, $\frac{1}{278} a^{41} + \frac{2}{139} a^{39} + \frac{11}{278} a^{38} - \frac{9}{278} a^{37} + \frac{1}{278} a^{36} - \frac{37}{278} a^{35} + \frac{41}{278} a^{34} - \frac{49}{278} a^{33} - \frac{9}{278} a^{32} - \frac{85}{278} a^{31} - \frac{131}{278} a^{30} + \frac{2}{139} a^{29} + \frac{49}{278} a^{28} + \frac{5}{278} a^{27} + \frac{8}{139} a^{26} + \frac{24}{139} a^{25} + \frac{40}{139} a^{24} - \frac{56}{139} a^{23} - \frac{19}{139} a^{22} + \frac{12}{139} a^{21} - \frac{14}{139} a^{20} + \frac{28}{139} a^{19} + \frac{29}{139} a^{18} + \frac{57}{139} a^{17} + \frac{36}{139} a^{16} + \frac{53}{139} a^{15} - \frac{75}{278} a^{14} + \frac{56}{139} a^{13} - \frac{23}{139} a^{12} - \frac{8}{139} a^{11} + \frac{73}{278} a^{10} - \frac{73}{278} a^{9} - \frac{51}{139} a^{8} + \frac{65}{139} a^{7} + \frac{54}{139} a^{6} - \frac{123}{278} a^{5} - \frac{19}{139} a^{4} - \frac{17}{139} a^{3} - \frac{28}{139} a^{2} - \frac{43}{278} a + \frac{37}{278}$, $\frac{1}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{42} - \frac{124337349450820310227702603837619732401491}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{41} - \frac{33444111601846319597283304428879200529605}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{40} + \frac{11279121027799021864682774012650322184545464}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{39} + \frac{39989822841130845095839661626478730653458147}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{38} + \frac{33248965397751350912299081408984118310807339}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{37} + \frac{1852532675378899445387875544627631542321590}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{36} - \frac{40461996711582304284232050846488776104786229}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{35} - \frac{18176319680358797945347737360600599466956199}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{34} - \frac{1574050945441159697977102475598168635790175}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{33} + \frac{107830010520275308141898814938003207740751665}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{32} + \frac{47522615439828643667561162009236363883800593}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{31} + \frac{34920619631982229399612778560355314787103335}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{30} - \frac{126543360784948037118825217555257254029311753}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{29} + \frac{26137958677073599217498427502764021714620028}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{28} - \frac{101991907800171938044445100939505381003074015}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{27} + \frac{65792457304497090187685666812444936771438717}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{26} - \frac{33376925172373382264397344828950989431388064}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{25} - \frac{722524425545463272236938815431271535985317}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{24} + \frac{57571700976385414798335799937276378845500393}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{23} + \frac{38266992810917851609450656154871981471635}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{22} + \frac{57296938422249082588380352551796578760804698}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{21} + \frac{47131705358390914322164813048421201210173952}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{20} + \frac{16188120898921731662687909491360088813342368}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{19} - \frac{51938409764767896438754458103790316654412967}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{18} - \frac{29814836118278649463131315848101593095212962}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{17} + \frac{59843490080086241815044878935521521465453836}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{16} + \frac{77695038344707570348334318039994169237865129}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{15} - \frac{54941730174611601673122129981332737498859313}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{14} - \frac{59691789129883436952554396932098298191300651}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{13} + \frac{58703537547831947129457030951676147419277547}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{12} - \frac{76756842002465164405668467856167323568101673}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{11} + \frac{12774753404448502942365360211206602686241753}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{10} - \frac{61401185893333754685752076875205712703608705}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{9} - \frac{1246097139478630341647154579787363620984847}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{8} + \frac{5871010637796659080698007870673254940799317}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{7} - \frac{42531329589965771536264907651882855146326126}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{6} + \frac{61039337174581514202776582963736248434181381}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{5} - \frac{45808730211095432519676497429405369254492969}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{4} - \frac{35768478759643882706427099321559637274728782}{135418168357364130650349119240492236944260443} a^{3} - \frac{2653582641348599626541532153894943460980873}{270836336714728261300698238480984473888520886} a^{2} - \frac{19908140683876091089363648355297168806583890}{135418168357364130650349119240492236944260443} a - \frac{48453085459002666533160288314213285700630419}{270836336714728261300698238480984473888520886}$, $\frac{1}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{43} + \frac{2649004454572727057790755039437910740611009401401677330741859}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{42} - \frac{49935399755463814564579747506153829691054046033460393050750862431179962352479630374292362317805965639821}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{41} - \frac{20608471923173785207500143251769107321337376499425711606634246343972783006774294969319958893141273520811}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{40} - \frac{1816144695203948729362610655340625359866199696666324286683486601360992689219594628724096570685169338491431}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{39} + \frac{5242198789726117304974142864761278641290215554368016580936429882494234798077682614299650894599579385588193}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{38} - \frac{2005954182957477257328755134708761397817833048718280210766997367971726582120833512017568981080794620489118}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{37} - \frac{3534715787054228096312564672439871506899891046287692288390175692409464286743325985846922003150033904158531}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{36} - \frac{3193340837416784024022872055791346228102412723078080076425890590396497700997294822017573316976179475822313}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{35} - \frac{2028911210629261993368549799085144424790422823700424630618140520331870890062217096780188333396595144733041}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{34} - \frac{5733208432848943329171570287391223112297387418979756113886866275125741287535848183465602936154831332395577}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{33} - \frac{13058215249816352734955800042705469773433375413002425875097590832426982767326851645549133414410534883657237}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{32} - \frac{11006590271811082036360392242469225952553287499799354537758660603518877881263077076597765620084206802371069}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{31} - \frac{827523384857136480587647625076560711265344139791472547300344540969975339438118169121166366968602846883179}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{30} + \frac{1101785353778239982311739310905642368104636619264784064096978751836373370113848305089588851752204867935429}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{29} - \frac{9814624131615772645912705590334422633676115748522084298215021777352335880929735036707638289915127857944545}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{28} + \frac{9894048895105276205669565171439313489116360507272173658745037156655340654682707832099704261905953787160352}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{27} - \frac{7018453616902932847860413215446413505976242038492189588348150562644678528613318866995774338888545993354718}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{26} + \frac{547694975114277402915766368141737715861061119167293191413142279813560843698577106478478667477145146954427}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{25} - \frac{5653692500264267144716405259676372837955856727548974290376178197306667241821219509386708399711478557081763}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{24} + \frac{2093784272338281940369351825432897409471871042815612441280764195977291298022779565509727218079952355768187}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{23} + \frac{7396297919768792307776907067705761909787531135306123204600068905708980906839056773272031112443733762202903}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{22} + \frac{2997076311224391903462931108346089841178019861014908570800003247317423332281161545689655613131471613699718}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{21} - \frac{8739091950490320048134432500525683789780803669341566998220338603909774772298936301815970534029556632874840}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{20} - \frac{3869786952837676715665457258366063836282043696753292826834885290587942798250556343386160723446788259202053}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{19} - \frac{671391265533443642855782459700869383107539010736212591440131068899686785343611908753824116632605005582609}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{18} + \frac{3631506239944324621206894341958455285768317142669073172315595409681680309802998443789706864689389325582578}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{17} - \frac{5218474000061069226737450248786472153939943557762726830686696272122079740279372430257365760403563092696247}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{16} - \frac{9096823165502446617809360572597231673640583151347325833212153155350782142722117414270797697147988542473791}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{15} + \frac{7241393334475507528061160215711817717133914919458092385514763465041496519113527626550100991496066938899073}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{14} + \frac{7788222663053931273388923658204510428760705786950563957205429729563248962804771660885288774526760145587980}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{13} + \frac{8138935825745766400118482653973261309539186470552985476955636638762109655011958595435735364885147484371353}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{12} + \frac{8198785203051399263994647606538939358211170400871719221731671235904427010998011871064932590891413432449664}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{11} - \frac{2083382270587962965167271797035466104448740423804654481259191722291145419624319889711915167923441088322801}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{10} + \frac{5406810625411730423255670690032123283695336311208741641678255714821198033969194420449270255842136854231475}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{9} + \frac{4391295078397080528549682306754656656718233981859087911093520782257050124842241435295418980207874474352241}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{8} - \frac{14951125102551275846228793190592994534774320536381783964597618190558258656856269912533180345449477304596065}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{7} + \frac{10771798477580125318942560430434939961010409986758914302577499331617293723216143838514163871986464823266587}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{6} - \frac{11494176798328471565083646718384790747513438098004979714638641612054436372907496267151901144232503772731597}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a^{5} + \frac{1368661098661740692677655344875438411001353660718839797772748796990709764164489275877180643498561667454675}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{4} - \frac{2985769918529563803598332003669005238587922340154418677413594063707009139035524635459647580681310136324833}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{3} - \frac{4047820811823984860174349155339358519962698346351731690428220322337404563202436265884923572756774595581905}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017} a^{2} - \frac{15902205389873612593310596655887418036551640247288344237344344565972231401706804853675069839149139509377957}{40088079608811229698658501172084469000989257584150287269274161061461609738870672845326070434528455434400034} a - \frac{4322399844463535657126722314580924256882461408974415520754242851382343490376690325117411491409361429865511}{20044039804405614849329250586042234500494628792075143634637080530730804869435336422663035217264227717200017}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{6792537412232801002582422064039516108762981549823466733020436687789928976142436901339171}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{43} + \frac{7862287986351534617270734220958010146390452828161249737916451883067457486006366617813055}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{42} - \frac{109171396861104011903136110132700282623844166962443384810696586294855644431390760778404037}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{41} + \frac{88377696366719351285027004520954977694878599726611594995810437454470061566879699174571232}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{40} - \frac{2074737833413453857497870010842034870596341325623721905541019992640211483070535452696431041}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{39} + \frac{2698892377114999965934202642720473295492445261665539208493079506239452805918450144263706537}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{38} - \frac{50812102483984794737244574375454751669030671216058350535478016482970660062502082468285945033}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{37} + \frac{11884010867066869156132457460931025607122610084745401001080017362503247432227338789110665101}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{36} - \frac{452129543082053920475876424755606692357315365725838645508537202412884158181241044688352792001}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{35} + \frac{156362639120498672083203133610923934580146316221562493779969934068377156865138102243488748067}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{34} - \frac{2943893527479993671004722122854516348643034913321253742069536768133355921724931991909933536537}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{33} + \frac{650530440242827947891460030127296486867072816190906942175510842965173206895647550340567117049}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{32} - \frac{7268326102570836808275091637009056707859352982703123228007913408502505473596540770382740750136}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{31} + \frac{2048667653533177086174343560380945338572128206056369226281585747344258296365671865695953883065}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{30} - \frac{54127446678058260660366163219124973275918596483952446631147897405507176447842215422936974057273}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{29} + \frac{3786905442078774953476028414534071839585288097110518214560317080112558212297580272951826927321}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{28} - \frac{155309958738887427320295918479949958516564902956521824874628165655447923893525568468143768796513}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{27} + \frac{2766042641865626289738720362165756051142887813362467586800295929835652993452157583780118930843}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{26} - \frac{171707008983546036794994132755831113050659321377966435322700304817457996437195690957641373200895}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{25} + \frac{2653251156095528940697405141551432281748093118032476883827877630173547528812767723252179819600}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{24} - \frac{298352045488683764644476593016163741561077853133871603655084945209969895003777035366987494204437}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{23} + \frac{3521579295410616217973245589959850943219621107149842499962709401451411871979664304591934518767}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{22} - \frac{407227944274716510138075460892987442029866387420365119973289519224941154368122115978120529641409}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{21} + \frac{5325647941403645676318037066739116579556454920890011603179457414966382693926186475813580864253}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{20} - \frac{440338284837480420571208828802953621725951048932460565060820394044660505662327020115600968140329}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{19} + \frac{10049597194458510232919951553651935759418407248730746590787897524844396468905730632681290061086}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{18} - \frac{372958155943165037373520606583179812471292708411050694656306316745415844276964000052334166419841}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{17} + \frac{26257124406217657000601742236210262673112914776931808514175620984917317044574625873914533387451}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{16} - \frac{493651764123536908188622087513321756717318767361330054253950349494350767510757973466025366388013}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{15} + \frac{14086971435991475501980149817873036438665362353029044205158570115067537362132910726213815466525}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{14} - \frac{247982499515803253894864255949532867111013763293409661501289912226209378141279312488956960116825}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{13} + \frac{20739404099681994415433082496450452372239266799245985525964304014579018549912445337146968917435}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{12} - \frac{93672318487042511772242679009357568650499876740282782839632521238421297416041969353124968240145}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{11} + \frac{11677301291614736173565342975030254902364131137917579714407394509264744533269317727953757422397}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{10} - \frac{12459185032534679325612269119511998160934557294134506836368389503733772580932051195932895261572}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{9} + \frac{2107113531750466663180543587545159079570086294827497964512981810976202619222337089372537220185}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{8} - \frac{4729953063596148730147699366911205728975516874871970440402045341548321207543318670276676336937}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{7} + \frac{493059912339677665081317578480511271500361584853201602471937715235206192146266315148488403522}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{6} - \frac{257162925933588249305324405735788761565898297631047619127132354446062206716039947554442339120}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{5} + \frac{127891062645071797144848197347299000675561705289038962183282348698023361701451363191549706923}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{4} - \frac{20713889971870654145296537508736805254303916619756916725443082538014323953372985186938622803}{49369298952027225966544120206804213417044314663304075659953654511118333257700095175718217} a^{3} + \frac{7554030412780138297658967978307955078043046087218370633160616699623320805938948656832700333}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a^{2} - \frac{634321657111916783033107771539107247088364790519949395901363365242274126840905014941805953}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} a + \frac{76078203866007790348609058080077629739289365921417811032630628455505768442701243858751599}{98738597904054451933088240413608426834088629326608151319907309022236666515400190351436434} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{5})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.83796671451884098775580820361328125.1, 22.0.304011857053427966889939263171547.1, 22.0.14844328957686912445797815584548193359375.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.11.0.1}{11} }^{4}$ R $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
23Data not computed