↑

Properties

Label 44.0.211...969.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $2.114\times 10^{85}$
Root discriminant $86.94$
Ramified primes $19, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 - 4*x^42 + 9*x^41 + 11*x^40 - 56*x^39 + x^38 + 279*x^37 - 284*x^36 - 1111*x^35 + 2531*x^34 + 3024*x^33 - 15679*x^32 + 559*x^31 + 77836*x^30 - 80631*x^29 - 308549*x^28 + 711704*x^27 + 831041*x^26 - 4389561*x^25 + 234356*x^24 + 21713449*x^23 - 22885229*x^22 + 108567245*x^21 + 5858900*x^20 - 548695125*x^19 + 519400625*x^18 + 2224075000*x^17 - 4821078125*x^16 - 6299296875*x^15 + 30404687500*x^14 + 1091796875*x^13 - 153115234375*x^12 + 147656250000*x^11 + 617919921875*x^10 - 1356201171875*x^9 - 1733398437500*x^8 + 8514404296875*x^7 + 152587890625*x^6 - 42724609375000*x^5 + 41961669921875*x^4 + 171661376953125*x^3 - 381469726562500*x^2 - 476837158203125*x + 2384185791015625)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 - 4*x^42 + 9*x^41 + 11*x^40 - 56*x^39 + x^38 + 279*x^37 - 284*x^36 - 1111*x^35 + 2531*x^34 + 3024*x^33 - 15679*x^32 + 559*x^31 + 77836*x^30 - 80631*x^29 - 308549*x^28 + 711704*x^27 + 831041*x^26 - 4389561*x^25 + 234356*x^24 + 21713449*x^23 - 22885229*x^22 + 108567245*x^21 + 5858900*x^20 - 548695125*x^19 + 519400625*x^18 + 2224075000*x^17 - 4821078125*x^16 - 6299296875*x^15 + 30404687500*x^14 + 1091796875*x^13 - 153115234375*x^12 + 147656250000*x^11 + 617919921875*x^10 - 1356201171875*x^9 - 1733398437500*x^8 + 8514404296875*x^7 + 152587890625*x^6 - 42724609375000*x^5 + 41961669921875*x^4 + 171661376953125*x^3 - 381469726562500*x^2 - 476837158203125*x + 2384185791015625, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2384185791015625, -476837158203125, -381469726562500, 171661376953125, 41961669921875, -42724609375000, 152587890625, 8514404296875, -1733398437500, -1356201171875, 617919921875, 147656250000, -153115234375, 1091796875, 30404687500, -6299296875, -4821078125, 2224075000, 519400625, -548695125, 5858900, 108567245, -22885229, 21713449, 234356, -4389561, 831041, 711704, -308549, -80631, 77836, 559, -15679, 3024, 2531, -1111, -284, 279, 1, -56, 11, 9, -4, -1, 1]);
 

\( x^{44} - x^{43} - 4 x^{42} + 9 x^{41} + 11 x^{40} - 56 x^{39} + x^{38} + 279 x^{37} - 284 x^{36} - 1111 x^{35} + 2531 x^{34} + 3024 x^{33} - 15679 x^{32} + 559 x^{31} + 77836 x^{30} - 80631 x^{29} - 308549 x^{28} + 711704 x^{27} + 831041 x^{26} - 4389561 x^{25} + 234356 x^{24} + 21713449 x^{23} - 22885229 x^{22} + 108567245 x^{21} + 5858900 x^{20} - 548695125 x^{19} + 519400625 x^{18} + 2224075000 x^{17} - 4821078125 x^{16} - 6299296875 x^{15} + 30404687500 x^{14} + 1091796875 x^{13} - 153115234375 x^{12} + 147656250000 x^{11} + 617919921875 x^{10} - 1356201171875 x^{9} - 1733398437500 x^{8} + 8514404296875 x^{7} + 152587890625 x^{6} - 42724609375000 x^{5} + 41961669921875 x^{4} + 171661376953125 x^{3} - 381469726562500 x^{2} - 476837158203125 x + 2384185791015625 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(211\!\cdots\!969\)\(\medspace = 19^{22}\cdot 23^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $86.94$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $19, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(437=19\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{437}(1,·)$, $\chi_{437}(132,·)$, $\chi_{437}(134,·)$, $\chi_{437}(265,·)$, $\chi_{437}(267,·)$, $\chi_{437}(398,·)$, $\chi_{437}(400,·)$, $\chi_{437}(18,·)$, $\chi_{437}(20,·)$, $\chi_{437}(151,·)$, $\chi_{437}(153,·)$, $\chi_{437}(284,·)$, $\chi_{437}(286,·)$, $\chi_{437}(417,·)$, $\chi_{437}(419,·)$, $\chi_{437}(37,·)$, $\chi_{437}(39,·)$, $\chi_{437}(170,·)$, $\chi_{437}(172,·)$, $\chi_{437}(303,·)$, $\chi_{437}(305,·)$, $\chi_{437}(436,·)$, $\chi_{437}(56,·)$, $\chi_{437}(58,·)$, $\chi_{437}(189,·)$, $\chi_{437}(191,·)$, $\chi_{437}(324,·)$, $\chi_{437}(75,·)$, $\chi_{437}(77,·)$, $\chi_{437}(208,·)$, $\chi_{437}(210,·)$, $\chi_{437}(341,·)$, $\chi_{437}(343,·)$, $\chi_{437}(94,·)$, $\chi_{437}(96,·)$, $\chi_{437}(227,·)$, $\chi_{437}(229,·)$, $\chi_{437}(360,·)$, $\chi_{437}(362,·)$, $\chi_{437}(113,·)$, $\chi_{437}(246,·)$, $\chi_{437}(248,·)$, $\chi_{437}(379,·)$, $\chi_{437}(381,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{114426145} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} - \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} - \frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{1171780}{22885229}$, $\frac{1}{572130725} a^{24} - \frac{1}{572130725} a^{23} - \frac{1}{25} a^{22} - \frac{4}{25} a^{21} + \frac{9}{25} a^{20} + \frac{11}{25} a^{19} - \frac{6}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{4}{25} a^{16} - \frac{9}{25} a^{15} - \frac{11}{25} a^{14} + \frac{6}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{4}{25} a^{11} + \frac{9}{25} a^{10} + \frac{11}{25} a^{9} - \frac{6}{25} a^{8} + \frac{1}{25} a^{7} + \frac{4}{25} a^{6} - \frac{9}{25} a^{5} - \frac{11}{25} a^{4} + \frac{6}{25} a^{3} - \frac{1}{25} a^{2} + \frac{21713449}{114426145} a + \frac{234356}{22885229}$, $\frac{1}{2860653625} a^{25} - \frac{1}{2860653625} a^{24} - \frac{4}{2860653625} a^{23} - \frac{54}{125} a^{22} + \frac{59}{125} a^{21} - \frac{39}{125} a^{20} - \frac{6}{125} a^{19} - \frac{49}{125} a^{18} - \frac{46}{125} a^{17} + \frac{41}{125} a^{16} - \frac{61}{125} a^{15} - \frac{19}{125} a^{14} - \frac{51}{125} a^{13} + \frac{21}{125} a^{12} - \frac{16}{125} a^{11} + \frac{36}{125} a^{10} + \frac{44}{125} a^{9} + \frac{26}{125} a^{8} + \frac{4}{125} a^{7} - \frac{9}{125} a^{6} - \frac{11}{125} a^{5} + \frac{56}{125} a^{4} - \frac{1}{125} a^{3} + \frac{21713449}{572130725} a^{2} + \frac{234356}{114426145} a - \frac{4389561}{22885229}$, $\frac{1}{14303268125} a^{26} - \frac{1}{14303268125} a^{25} - \frac{4}{14303268125} a^{24} + \frac{9}{14303268125} a^{23} - \frac{191}{625} a^{22} - \frac{164}{625} a^{21} - \frac{131}{625} a^{20} - \frac{299}{625} a^{19} - \frac{296}{625} a^{18} - \frac{84}{625} a^{17} - \frac{311}{625} a^{16} + \frac{106}{625} a^{15} + \frac{199}{625} a^{14} - \frac{104}{625} a^{13} - \frac{266}{625} a^{12} + \frac{161}{625} a^{11} - \frac{81}{625} a^{10} - \frac{99}{625} a^{9} - \frac{121}{625} a^{8} - \frac{9}{625} a^{7} - \frac{11}{625} a^{6} + \frac{56}{625} a^{5} - \frac{1}{625} a^{4} + \frac{21713449}{2860653625} a^{3} + \frac{234356}{572130725} a^{2} - \frac{4389561}{114426145} a + \frac{831041}{22885229}$, $\frac{1}{71516340625} a^{27} - \frac{1}{71516340625} a^{26} - \frac{4}{71516340625} a^{25} + \frac{9}{71516340625} a^{24} + \frac{11}{71516340625} a^{23} + \frac{461}{3125} a^{22} + \frac{494}{3125} a^{21} + \frac{326}{3125} a^{20} + \frac{329}{3125} a^{19} + \frac{1166}{3125} a^{18} + \frac{314}{3125} a^{17} + \frac{106}{3125} a^{16} + \frac{1449}{3125} a^{15} + \frac{1146}{3125} a^{14} + \frac{984}{3125} a^{13} - \frac{464}{3125} a^{12} - \frac{1331}{3125} a^{11} + \frac{526}{3125} a^{10} - \frac{121}{3125} a^{9} + \frac{616}{3125} a^{8} - \frac{11}{3125} a^{7} + \frac{56}{3125} a^{6} - \frac{1}{3125} a^{5} + \frac{21713449}{14303268125} a^{4} + \frac{234356}{2860653625} a^{3} - \frac{4389561}{572130725} a^{2} + \frac{831041}{114426145} a + \frac{711704}{22885229}$, $\frac{1}{357581703125} a^{28} - \frac{1}{357581703125} a^{27} - \frac{4}{357581703125} a^{26} + \frac{9}{357581703125} a^{25} + \frac{11}{357581703125} a^{24} - \frac{56}{357581703125} a^{23} + \frac{6744}{15625} a^{22} + \frac{6576}{15625} a^{21} + \frac{6579}{15625} a^{20} + \frac{7416}{15625} a^{19} + \frac{6564}{15625} a^{18} + \frac{3231}{15625} a^{17} - \frac{4801}{15625} a^{16} + \frac{4271}{15625} a^{15} + \frac{4109}{15625} a^{14} + \frac{5786}{15625} a^{13} + \frac{4919}{15625} a^{12} - \frac{2599}{15625} a^{11} - \frac{6371}{15625} a^{10} + \frac{3741}{15625} a^{9} - \frac{3136}{15625} a^{8} + \frac{56}{15625} a^{7} - \frac{1}{15625} a^{6} + \frac{21713449}{71516340625} a^{5} + \frac{234356}{14303268125} a^{4} - \frac{4389561}{2860653625} a^{3} + \frac{831041}{572130725} a^{2} + \frac{711704}{114426145} a - \frac{308549}{22885229}$, $\frac{1}{1787908515625} a^{29} - \frac{1}{1787908515625} a^{28} - \frac{4}{1787908515625} a^{27} + \frac{9}{1787908515625} a^{26} + \frac{11}{1787908515625} a^{25} - \frac{56}{1787908515625} a^{24} + \frac{1}{1787908515625} a^{23} - \frac{9049}{78125} a^{22} - \frac{24671}{78125} a^{21} - \frac{8209}{78125} a^{20} - \frac{24686}{78125} a^{19} - \frac{12394}{78125} a^{18} - \frac{20426}{78125} a^{17} + \frac{4271}{78125} a^{16} + \frac{19734}{78125} a^{15} + \frac{37036}{78125} a^{14} + \frac{20544}{78125} a^{13} + \frac{28651}{78125} a^{12} + \frac{24879}{78125} a^{11} - \frac{11884}{78125} a^{10} - \frac{34386}{78125} a^{9} + \frac{15681}{78125} a^{8} - \frac{1}{78125} a^{7} + \frac{21713449}{357581703125} a^{6} + \frac{234356}{71516340625} a^{5} - \frac{4389561}{14303268125} a^{4} + \frac{831041}{2860653625} a^{3} + \frac{711704}{572130725} a^{2} - \frac{308549}{114426145} a - \frac{80631}{22885229}$, $\frac{1}{8939542578125} a^{30} - \frac{1}{8939542578125} a^{29} - \frac{4}{8939542578125} a^{28} + \frac{9}{8939542578125} a^{27} + \frac{11}{8939542578125} a^{26} - \frac{56}{8939542578125} a^{25} + \frac{1}{8939542578125} a^{24} + \frac{279}{8939542578125} a^{23} + \frac{53454}{390625} a^{22} - \frac{8209}{390625} a^{21} + \frac{131564}{390625} a^{20} - \frac{90519}{390625} a^{19} - \frac{176676}{390625} a^{18} - \frac{151979}{390625} a^{17} - \frac{136516}{390625} a^{16} + \frac{115161}{390625} a^{15} + \frac{176794}{390625} a^{14} + \frac{28651}{390625} a^{13} - \frac{131371}{390625} a^{12} - \frac{11884}{390625} a^{11} - \frac{112511}{390625} a^{10} + \frac{171931}{390625} a^{9} - \frac{1}{390625} a^{8} + \frac{21713449}{1787908515625} a^{7} + \frac{234356}{357581703125} a^{6} - \frac{4389561}{71516340625} a^{5} + \frac{831041}{14303268125} a^{4} + \frac{711704}{2860653625} a^{3} - \frac{308549}{572130725} a^{2} - \frac{80631}{114426145} a + \frac{77836}{22885229}$, $\frac{1}{44697712890625} a^{31} - \frac{1}{44697712890625} a^{30} - \frac{4}{44697712890625} a^{29} + \frac{9}{44697712890625} a^{28} + \frac{11}{44697712890625} a^{27} - \frac{56}{44697712890625} a^{26} + \frac{1}{44697712890625} a^{25} + \frac{279}{44697712890625} a^{24} - \frac{284}{44697712890625} a^{23} + \frac{382416}{1953125} a^{22} - \frac{649686}{1953125} a^{21} + \frac{690731}{1953125} a^{20} + \frac{604574}{1953125} a^{19} - \frac{151979}{1953125} a^{18} - \frac{917766}{1953125} a^{17} - \frac{275464}{1953125} a^{16} + \frac{958044}{1953125} a^{15} + \frac{419276}{1953125} a^{14} + \frac{649879}{1953125} a^{13} - \frac{793134}{1953125} a^{12} - \frac{503136}{1953125} a^{11} + \frac{562556}{1953125} a^{10} - \frac{1}{1953125} a^{9} + \frac{21713449}{8939542578125} a^{8} + \frac{234356}{1787908515625} a^{7} - \frac{4389561}{357581703125} a^{6} + \frac{831041}{71516340625} a^{5} + \frac{711704}{14303268125} a^{4} - \frac{308549}{2860653625} a^{3} - \frac{80631}{572130725} a^{2} + \frac{77836}{114426145} a + \frac{559}{22885229}$, $\frac{1}{223488564453125} a^{32} - \frac{1}{223488564453125} a^{31} - \frac{4}{223488564453125} a^{30} + \frac{9}{223488564453125} a^{29} + \frac{11}{223488564453125} a^{28} - \frac{56}{223488564453125} a^{27} + \frac{1}{223488564453125} a^{26} + \frac{279}{223488564453125} a^{25} - \frac{284}{223488564453125} a^{24} - \frac{1111}{223488564453125} a^{23} - \frac{649686}{9765625} a^{22} - \frac{1262394}{9765625} a^{21} + \frac{4510824}{9765625} a^{20} + \frac{1801146}{9765625} a^{19} - \frac{4824016}{9765625} a^{18} - \frac{4181714}{9765625} a^{17} - \frac{995081}{9765625} a^{16} + \frac{2372401}{9765625} a^{15} + \frac{2603004}{9765625} a^{14} - \frac{4699384}{9765625} a^{13} + \frac{1449989}{9765625} a^{12} + \frac{2515681}{9765625} a^{11} - \frac{1}{9765625} a^{10} + \frac{21713449}{44697712890625} a^{9} + \frac{234356}{8939542578125} a^{8} - \frac{4389561}{1787908515625} a^{7} + \frac{831041}{357581703125} a^{6} + \frac{711704}{71516340625} a^{5} - \frac{308549}{14303268125} a^{4} - \frac{80631}{2860653625} a^{3} + \frac{77836}{572130725} a^{2} + \frac{559}{114426145} a - \frac{15679}{22885229}$, $\frac{1}{1117442822265625} a^{33} - \frac{1}{1117442822265625} a^{32} - \frac{4}{1117442822265625} a^{31} + \frac{9}{1117442822265625} a^{30} + \frac{11}{1117442822265625} a^{29} - \frac{56}{1117442822265625} a^{28} + \frac{1}{1117442822265625} a^{27} + \frac{279}{1117442822265625} a^{26} - \frac{284}{1117442822265625} a^{25} - \frac{1111}{1117442822265625} a^{24} + \frac{2531}{1117442822265625} a^{23} + \frac{8503231}{48828125} a^{22} - \frac{5254801}{48828125} a^{21} + \frac{11566771}{48828125} a^{20} + \frac{14707234}{48828125} a^{19} - \frac{23712964}{48828125} a^{18} - \frac{995081}{48828125} a^{17} + \frac{21903651}{48828125} a^{16} - \frac{16928246}{48828125} a^{15} + \frac{5066241}{48828125} a^{14} - \frac{18081261}{48828125} a^{13} - \frac{7249944}{48828125} a^{12} - \frac{1}{48828125} a^{11} + \frac{21713449}{223488564453125} a^{10} + \frac{234356}{44697712890625} a^{9} - \frac{4389561}{8939542578125} a^{8} + \frac{831041}{1787908515625} a^{7} + \frac{711704}{357581703125} a^{6} - \frac{308549}{71516340625} a^{5} - \frac{80631}{14303268125} a^{4} + \frac{77836}{2860653625} a^{3} + \frac{559}{572130725} a^{2} - \frac{15679}{114426145} a + \frac{3024}{22885229}$, $\frac{1}{5587214111328125} a^{34} - \frac{1}{5587214111328125} a^{33} - \frac{4}{5587214111328125} a^{32} + \frac{9}{5587214111328125} a^{31} + \frac{11}{5587214111328125} a^{30} - \frac{56}{5587214111328125} a^{29} + \frac{1}{5587214111328125} a^{28} + \frac{279}{5587214111328125} a^{27} - \frac{284}{5587214111328125} a^{26} - \frac{1111}{5587214111328125} a^{25} + \frac{2531}{5587214111328125} a^{24} + \frac{3024}{5587214111328125} a^{23} - \frac{5254801}{244140625} a^{22} - \frac{37261354}{244140625} a^{21} + \frac{63535359}{244140625} a^{20} - \frac{121369214}{244140625} a^{19} + \frac{47833044}{244140625} a^{18} + \frac{70731776}{244140625} a^{17} - \frac{65756371}{244140625} a^{16} - \frac{43761884}{244140625} a^{15} - \frac{115737511}{244140625} a^{14} + \frac{90406306}{244140625} a^{13} - \frac{1}{244140625} a^{12} + \frac{21713449}{1117442822265625} a^{11} + \frac{234356}{223488564453125} a^{10} - \frac{4389561}{44697712890625} a^{9} + \frac{831041}{8939542578125} a^{8} + \frac{711704}{1787908515625} a^{7} - \frac{308549}{357581703125} a^{6} - \frac{80631}{71516340625} a^{5} + \frac{77836}{14303268125} a^{4} + \frac{559}{2860653625} a^{3} - \frac{15679}{572130725} a^{2} + \frac{3024}{114426145} a + \frac{2531}{22885229}$, $\frac{1}{27936070556640625} a^{35} - \frac{1}{27936070556640625} a^{34} - \frac{4}{27936070556640625} a^{33} + \frac{9}{27936070556640625} a^{32} + \frac{11}{27936070556640625} a^{31} - \frac{56}{27936070556640625} a^{30} + \frac{1}{27936070556640625} a^{29} + \frac{279}{27936070556640625} a^{28} - \frac{284}{27936070556640625} a^{27} - \frac{1111}{27936070556640625} a^{26} + \frac{2531}{27936070556640625} a^{25} + \frac{3024}{27936070556640625} a^{24} - \frac{15679}{27936070556640625} a^{23} - \frac{281401979}{1220703125} a^{22} + \frac{307675984}{1220703125} a^{21} - \frac{121369214}{1220703125} a^{20} - \frac{196307581}{1220703125} a^{19} - \frac{417549474}{1220703125} a^{18} + \frac{178384254}{1220703125} a^{17} - \frac{532043134}{1220703125} a^{16} - \frac{359878136}{1220703125} a^{15} + \frac{578687556}{1220703125} a^{14} - \frac{1}{1220703125} a^{13} + \frac{21713449}{5587214111328125} a^{12} + \frac{234356}{1117442822265625} a^{11} - \frac{4389561}{223488564453125} a^{10} + \frac{831041}{44697712890625} a^{9} + \frac{711704}{8939542578125} a^{8} - \frac{308549}{1787908515625} a^{7} - \frac{80631}{357581703125} a^{6} + \frac{77836}{71516340625} a^{5} + \frac{559}{14303268125} a^{4} - \frac{15679}{2860653625} a^{3} + \frac{3024}{572130725} a^{2} + \frac{2531}{114426145} a - \frac{1111}{22885229}$, $\frac{1}{139680352783203125} a^{36} - \frac{1}{139680352783203125} a^{35} - \frac{4}{139680352783203125} a^{34} + \frac{9}{139680352783203125} a^{33} + \frac{11}{139680352783203125} a^{32} - \frac{56}{139680352783203125} a^{31} + \frac{1}{139680352783203125} a^{30} + \frac{279}{139680352783203125} a^{29} - \frac{284}{139680352783203125} a^{28} - \frac{1111}{139680352783203125} a^{27} + \frac{2531}{139680352783203125} a^{26} + \frac{3024}{139680352783203125} a^{25} - \frac{15679}{139680352783203125} a^{24} + \frac{559}{139680352783203125} a^{23} + \frac{307675984}{6103515625} a^{22} + \frac{1099333911}{6103515625} a^{21} - \frac{2637713831}{6103515625} a^{20} - \frac{2858955724}{6103515625} a^{19} - \frac{2263021996}{6103515625} a^{18} - \frac{1752746259}{6103515625} a^{17} + \frac{860824989}{6103515625} a^{16} + \frac{1799390681}{6103515625} a^{15} - \frac{1}{6103515625} a^{14} + \frac{21713449}{27936070556640625} a^{13} + \frac{234356}{5587214111328125} a^{12} - \frac{4389561}{1117442822265625} a^{11} + \frac{831041}{223488564453125} a^{10} + \frac{711704}{44697712890625} a^{9} - \frac{308549}{8939542578125} a^{8} - \frac{80631}{1787908515625} a^{7} + \frac{77836}{357581703125} a^{6} + \frac{559}{71516340625} a^{5} - \frac{15679}{14303268125} a^{4} + \frac{3024}{2860653625} a^{3} + \frac{2531}{572130725} a^{2} - \frac{1111}{114426145} a - \frac{284}{22885229}$, $\frac{1}{698401763916015625} a^{37} - \frac{1}{698401763916015625} a^{36} - \frac{4}{698401763916015625} a^{35} + \frac{9}{698401763916015625} a^{34} + \frac{11}{698401763916015625} a^{33} - \frac{56}{698401763916015625} a^{32} + \frac{1}{698401763916015625} a^{31} + \frac{279}{698401763916015625} a^{30} - \frac{284}{698401763916015625} a^{29} - \frac{1111}{698401763916015625} a^{28} + \frac{2531}{698401763916015625} a^{27} + \frac{3024}{698401763916015625} a^{26} - \frac{15679}{698401763916015625} a^{25} + \frac{559}{698401763916015625} a^{24} + \frac{77836}{698401763916015625} a^{23} + \frac{1099333911}{30517578125} a^{22} - \frac{2637713831}{30517578125} a^{21} - \frac{2858955724}{30517578125} a^{20} - \frac{14470053246}{30517578125} a^{19} - \frac{1752746259}{30517578125} a^{18} + \frac{13067856239}{30517578125} a^{17} - \frac{4304124944}{30517578125} a^{16} - \frac{1}{30517578125} a^{15} + \frac{21713449}{139680352783203125} a^{14} + \frac{234356}{27936070556640625} a^{13} - \frac{4389561}{5587214111328125} a^{12} + \frac{831041}{1117442822265625} a^{11} + \frac{711704}{223488564453125} a^{10} - \frac{308549}{44697712890625} a^{9} - \frac{80631}{8939542578125} a^{8} + \frac{77836}{1787908515625} a^{7} + \frac{559}{357581703125} a^{6} - \frac{15679}{71516340625} a^{5} + \frac{3024}{14303268125} a^{4} + \frac{2531}{2860653625} a^{3} - \frac{1111}{572130725} a^{2} - \frac{284}{114426145} a + \frac{279}{22885229}$, $\frac{1}{3492008819580078125} a^{38} - \frac{1}{3492008819580078125} a^{37} - \frac{4}{3492008819580078125} a^{36} + \frac{9}{3492008819580078125} a^{35} + \frac{11}{3492008819580078125} a^{34} - \frac{56}{3492008819580078125} a^{33} + \frac{1}{3492008819580078125} a^{32} + \frac{279}{3492008819580078125} a^{31} - \frac{284}{3492008819580078125} a^{30} - \frac{1111}{3492008819580078125} a^{29} + \frac{2531}{3492008819580078125} a^{28} + \frac{3024}{3492008819580078125} a^{27} - \frac{15679}{3492008819580078125} a^{26} + \frac{559}{3492008819580078125} a^{25} + \frac{77836}{3492008819580078125} a^{24} - \frac{80631}{3492008819580078125} a^{23} - \frac{2637713831}{152587890625} a^{22} - \frac{2858955724}{152587890625} a^{21} + \frac{16047524879}{152587890625} a^{20} - \frac{1752746259}{152587890625} a^{19} + \frac{74103012489}{152587890625} a^{18} - \frac{65339281194}{152587890625} a^{17} - \frac{1}{152587890625} a^{16} + \frac{21713449}{698401763916015625} a^{15} + \frac{234356}{139680352783203125} a^{14} - \frac{4389561}{27936070556640625} a^{13} + \frac{831041}{5587214111328125} a^{12} + \frac{711704}{1117442822265625} a^{11} - \frac{308549}{223488564453125} a^{10} - \frac{80631}{44697712890625} a^{9} + \frac{77836}{8939542578125} a^{8} + \frac{559}{1787908515625} a^{7} - \frac{15679}{357581703125} a^{6} + \frac{3024}{71516340625} a^{5} + \frac{2531}{14303268125} a^{4} - \frac{1111}{2860653625} a^{3} - \frac{284}{572130725} a^{2} + \frac{279}{114426145} a + \frac{1}{22885229}$, $\frac{1}{17460044097900390625} a^{39} - \frac{1}{17460044097900390625} a^{38} - \frac{4}{17460044097900390625} a^{37} + \frac{9}{17460044097900390625} a^{36} + \frac{11}{17460044097900390625} a^{35} - \frac{56}{17460044097900390625} a^{34} + \frac{1}{17460044097900390625} a^{33} + \frac{279}{17460044097900390625} a^{32} - \frac{284}{17460044097900390625} a^{31} - \frac{1111}{17460044097900390625} a^{30} + \frac{2531}{17460044097900390625} a^{29} + \frac{3024}{17460044097900390625} a^{28} - \frac{15679}{17460044097900390625} a^{27} + \frac{559}{17460044097900390625} a^{26} + \frac{77836}{17460044097900390625} a^{25} - \frac{80631}{17460044097900390625} a^{24} - \frac{308549}{17460044097900390625} a^{23} + \frac{302316825526}{762939453125} a^{22} - \frac{289128256371}{762939453125} a^{21} + \frac{303423034991}{762939453125} a^{20} + \frac{379278793739}{762939453125} a^{19} - \frac{370515062444}{762939453125} a^{18} - \frac{1}{762939453125} a^{17} + \frac{21713449}{3492008819580078125} a^{16} + \frac{234356}{698401763916015625} a^{15} - \frac{4389561}{139680352783203125} a^{14} + \frac{831041}{27936070556640625} a^{13} + \frac{711704}{5587214111328125} a^{12} - \frac{308549}{1117442822265625} a^{11} - \frac{80631}{223488564453125} a^{10} + \frac{77836}{44697712890625} a^{9} + \frac{559}{8939542578125} a^{8} - \frac{15679}{1787908515625} a^{7} + \frac{3024}{357581703125} a^{6} + \frac{2531}{71516340625} a^{5} - \frac{1111}{14303268125} a^{4} - \frac{284}{2860653625} a^{3} + \frac{279}{572130725} a^{2} + \frac{1}{114426145} a - \frac{56}{22885229}$, $\frac{1}{87300220489501953125} a^{40} - \frac{1}{87300220489501953125} a^{39} - \frac{4}{87300220489501953125} a^{38} + \frac{9}{87300220489501953125} a^{37} + \frac{11}{87300220489501953125} a^{36} - \frac{56}{87300220489501953125} a^{35} + \frac{1}{87300220489501953125} a^{34} + \frac{279}{87300220489501953125} a^{33} - \frac{284}{87300220489501953125} a^{32} - \frac{1111}{87300220489501953125} a^{31} + \frac{2531}{87300220489501953125} a^{30} + \frac{3024}{87300220489501953125} a^{29} - \frac{15679}{87300220489501953125} a^{28} + \frac{559}{87300220489501953125} a^{27} + \frac{77836}{87300220489501953125} a^{26} - \frac{80631}{87300220489501953125} a^{25} - \frac{308549}{87300220489501953125} a^{24} + \frac{711704}{87300220489501953125} a^{23} + \frac{1236750649879}{3814697265625} a^{22} + \frac{1066362488116}{3814697265625} a^{21} + \frac{379278793739}{3814697265625} a^{20} - \frac{1896393968694}{3814697265625} a^{19} - \frac{1}{3814697265625} a^{18} + \frac{21713449}{17460044097900390625} a^{17} + \frac{234356}{3492008819580078125} a^{16} - \frac{4389561}{698401763916015625} a^{15} + \frac{831041}{139680352783203125} a^{14} + \frac{711704}{27936070556640625} a^{13} - \frac{308549}{5587214111328125} a^{12} - \frac{80631}{1117442822265625} a^{11} + \frac{77836}{223488564453125} a^{10} + \frac{559}{44697712890625} a^{9} - \frac{15679}{8939542578125} a^{8} + \frac{3024}{1787908515625} a^{7} + \frac{2531}{357581703125} a^{6} - \frac{1111}{71516340625} a^{5} - \frac{284}{14303268125} a^{4} + \frac{279}{2860653625} a^{3} + \frac{1}{572130725} a^{2} - \frac{56}{114426145} a + \frac{11}{22885229}$, $\frac{1}{436501102447509765625} a^{41} - \frac{1}{436501102447509765625} a^{40} - \frac{4}{436501102447509765625} a^{39} + \frac{9}{436501102447509765625} a^{38} + \frac{11}{436501102447509765625} a^{37} - \frac{56}{436501102447509765625} a^{36} + \frac{1}{436501102447509765625} a^{35} + \frac{279}{436501102447509765625} a^{34} - \frac{284}{436501102447509765625} a^{33} - \frac{1111}{436501102447509765625} a^{32} + \frac{2531}{436501102447509765625} a^{31} + \frac{3024}{436501102447509765625} a^{30} - \frac{15679}{436501102447509765625} a^{29} + \frac{559}{436501102447509765625} a^{28} + \frac{77836}{436501102447509765625} a^{27} - \frac{80631}{436501102447509765625} a^{26} - \frac{308549}{436501102447509765625} a^{25} + \frac{711704}{436501102447509765625} a^{24} + \frac{831041}{436501102447509765625} a^{23} - \frac{2748334777509}{19073486328125} a^{22} - \frac{3435418471886}{19073486328125} a^{21} - \frac{1896393968694}{19073486328125} a^{20} - \frac{1}{19073486328125} a^{19} + \frac{21713449}{87300220489501953125} a^{18} + \frac{234356}{17460044097900390625} a^{17} - \frac{4389561}{3492008819580078125} a^{16} + \frac{831041}{698401763916015625} a^{15} + \frac{711704}{139680352783203125} a^{14} - \frac{308549}{27936070556640625} a^{13} - \frac{80631}{5587214111328125} a^{12} + \frac{77836}{1117442822265625} a^{11} + \frac{559}{223488564453125} a^{10} - \frac{15679}{44697712890625} a^{9} + \frac{3024}{8939542578125} a^{8} + \frac{2531}{1787908515625} a^{7} - \frac{1111}{357581703125} a^{6} - \frac{284}{71516340625} a^{5} + \frac{279}{14303268125} a^{4} + \frac{1}{2860653625} a^{3} - \frac{56}{572130725} a^{2} + \frac{11}{114426145} a + \frac{9}{22885229}$, $\frac{1}{2182505512237548828125} a^{42} - \frac{1}{2182505512237548828125} a^{41} - \frac{4}{2182505512237548828125} a^{40} + \frac{9}{2182505512237548828125} a^{39} + \frac{11}{2182505512237548828125} a^{38} - \frac{56}{2182505512237548828125} a^{37} + \frac{1}{2182505512237548828125} a^{36} + \frac{279}{2182505512237548828125} a^{35} - \frac{284}{2182505512237548828125} a^{34} - \frac{1111}{2182505512237548828125} a^{33} + \frac{2531}{2182505512237548828125} a^{32} + \frac{3024}{2182505512237548828125} a^{31} - \frac{15679}{2182505512237548828125} a^{30} + \frac{559}{2182505512237548828125} a^{29} + \frac{77836}{2182505512237548828125} a^{28} - \frac{80631}{2182505512237548828125} a^{27} - \frac{308549}{2182505512237548828125} a^{26} + \frac{711704}{2182505512237548828125} a^{25} + \frac{831041}{2182505512237548828125} a^{24} - \frac{4389561}{2182505512237548828125} a^{23} - \frac{3435418471886}{95367431640625} a^{22} + \frac{17177092359431}{95367431640625} a^{21} - \frac{1}{95367431640625} a^{20} + \frac{21713449}{436501102447509765625} a^{19} + \frac{234356}{87300220489501953125} a^{18} - \frac{4389561}{17460044097900390625} a^{17} + \frac{831041}{3492008819580078125} a^{16} + \frac{711704}{698401763916015625} a^{15} - \frac{308549}{139680352783203125} a^{14} - \frac{80631}{27936070556640625} a^{13} + \frac{77836}{5587214111328125} a^{12} + \frac{559}{1117442822265625} a^{11} - \frac{15679}{223488564453125} a^{10} + \frac{3024}{44697712890625} a^{9} + \frac{2531}{8939542578125} a^{8} - \frac{1111}{1787908515625} a^{7} - \frac{284}{357581703125} a^{6} + \frac{279}{71516340625} a^{5} + \frac{1}{14303268125} a^{4} - \frac{56}{2860653625} a^{3} + \frac{11}{572130725} a^{2} + \frac{9}{114426145} a - \frac{4}{22885229}$, $\frac{1}{10912527561187744140625} a^{43} - \frac{1}{10912527561187744140625} a^{42} - \frac{4}{10912527561187744140625} a^{41} + \frac{9}{10912527561187744140625} a^{40} + \frac{11}{10912527561187744140625} a^{39} - \frac{56}{10912527561187744140625} a^{38} + \frac{1}{10912527561187744140625} a^{37} + \frac{279}{10912527561187744140625} a^{36} - \frac{284}{10912527561187744140625} a^{35} - \frac{1111}{10912527561187744140625} a^{34} + \frac{2531}{10912527561187744140625} a^{33} + \frac{3024}{10912527561187744140625} a^{32} - \frac{15679}{10912527561187744140625} a^{31} + \frac{559}{10912527561187744140625} a^{30} + \frac{77836}{10912527561187744140625} a^{29} - \frac{80631}{10912527561187744140625} a^{28} - \frac{308549}{10912527561187744140625} a^{27} + \frac{711704}{10912527561187744140625} a^{26} + \frac{831041}{10912527561187744140625} a^{25} - \frac{4389561}{10912527561187744140625} a^{24} + \frac{234356}{10912527561187744140625} a^{23} + \frac{17177092359431}{476837158203125} a^{22} - \frac{1}{476837158203125} a^{21} + \frac{21713449}{2182505512237548828125} a^{20} + \frac{234356}{436501102447509765625} a^{19} - \frac{4389561}{87300220489501953125} a^{18} + \frac{831041}{17460044097900390625} a^{17} + \frac{711704}{3492008819580078125} a^{16} - \frac{308549}{698401763916015625} a^{15} - \frac{80631}{139680352783203125} a^{14} + \frac{77836}{27936070556640625} a^{13} + \frac{559}{5587214111328125} a^{12} - \frac{15679}{1117442822265625} a^{11} + \frac{3024}{223488564453125} a^{10} + \frac{2531}{44697712890625} a^{9} - \frac{1111}{8939542578125} a^{8} - \frac{284}{1787908515625} a^{7} + \frac{279}{357581703125} a^{6} + \frac{1}{71516340625} a^{5} - \frac{56}{14303268125} a^{4} + \frac{11}{2860653625} a^{3} + \frac{9}{572130725} a^{2} - \frac{4}{114426145} a - \frac{1}{22885229}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{831041}{436501102447509765625} a^{42} + \frac{10232276842424}{436501102447509765625} a^{19} \) (order $46$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{437}) \), \(\Q(\sqrt{-23}) \), \(\Q(\sqrt{-19}) \), \(\Q(\sqrt{-19}, \sqrt{-23})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.4598055053342647107748042243736831875581437.1, \(\Q(\zeta_{23})\), 22.0.199915437101854222076001836684210081547019.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ R R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{44}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed
23Data not computed