Properties

Label 44.0.191...489.3
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $1.912\times 10^{86}$
Root discriminant $91.40$
Ramified primes $3, 7, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 6*x^42 - 11*x^41 + 41*x^40 - 96*x^39 + 301*x^38 - 781*x^37 + 2286*x^36 - 6191*x^35 + 17621*x^34 - 48576*x^33 + 136681*x^32 - 379561*x^31 + 1062966*x^30 - 2960771*x^29 + 8275601*x^28 - 23079456*x^27 + 64457461*x^26 - 179854741*x^25 + 502142046*x^24 - 1401415751*x^23 + 3912125981*x^22 + 7007078755*x^21 + 12553551150*x^20 + 22481842625*x^19 + 40285913125*x^18 + 72123300000*x^17 + 129306265625*x^16 + 231310234375*x^15 + 415221093750*x^14 + 741330078125*x^13 + 1334775390625*x^12 + 2371875000000*x^11 + 4302001953125*x^10 + 7557373046875*x^9 + 13952636718750*x^8 + 23834228515625*x^7 + 45928955078125*x^6 + 73242187500000*x^5 + 156402587890625*x^4 + 209808349609375*x^3 + 572204589843750*x^2 + 476837158203125*x + 2384185791015625)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 + 6*x^42 - 11*x^41 + 41*x^40 - 96*x^39 + 301*x^38 - 781*x^37 + 2286*x^36 - 6191*x^35 + 17621*x^34 - 48576*x^33 + 136681*x^32 - 379561*x^31 + 1062966*x^30 - 2960771*x^29 + 8275601*x^28 - 23079456*x^27 + 64457461*x^26 - 179854741*x^25 + 502142046*x^24 - 1401415751*x^23 + 3912125981*x^22 + 7007078755*x^21 + 12553551150*x^20 + 22481842625*x^19 + 40285913125*x^18 + 72123300000*x^17 + 129306265625*x^16 + 231310234375*x^15 + 415221093750*x^14 + 741330078125*x^13 + 1334775390625*x^12 + 2371875000000*x^11 + 4302001953125*x^10 + 7557373046875*x^9 + 13952636718750*x^8 + 23834228515625*x^7 + 45928955078125*x^6 + 73242187500000*x^5 + 156402587890625*x^4 + 209808349609375*x^3 + 572204589843750*x^2 + 476837158203125*x + 2384185791015625, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2384185791015625, 476837158203125, 572204589843750, 209808349609375, 156402587890625, 73242187500000, 45928955078125, 23834228515625, 13952636718750, 7557373046875, 4302001953125, 2371875000000, 1334775390625, 741330078125, 415221093750, 231310234375, 129306265625, 72123300000, 40285913125, 22481842625, 12553551150, 7007078755, 3912125981, -1401415751, 502142046, -179854741, 64457461, -23079456, 8275601, -2960771, 1062966, -379561, 136681, -48576, 17621, -6191, 2286, -781, 301, -96, 41, -11, 6, -1, 1]);
 

\(x^{44} - x^{43} + 6 x^{42} - 11 x^{41} + 41 x^{40} - 96 x^{39} + 301 x^{38} - 781 x^{37} + 2286 x^{36} - 6191 x^{35} + 17621 x^{34} - 48576 x^{33} + 136681 x^{32} - 379561 x^{31} + 1062966 x^{30} - 2960771 x^{29} + 8275601 x^{28} - 23079456 x^{27} + 64457461 x^{26} - 179854741 x^{25} + 502142046 x^{24} - 1401415751 x^{23} + 3912125981 x^{22} + 7007078755 x^{21} + 12553551150 x^{20} + 22481842625 x^{19} + 40285913125 x^{18} + 72123300000 x^{17} + 129306265625 x^{16} + 231310234375 x^{15} + 415221093750 x^{14} + 741330078125 x^{13} + 1334775390625 x^{12} + 2371875000000 x^{11} + 4302001953125 x^{10} + 7557373046875 x^{9} + 13952636718750 x^{8} + 23834228515625 x^{7} + 45928955078125 x^{6} + 73242187500000 x^{5} + 156402587890625 x^{4} + 209808349609375 x^{3} + 572204589843750 x^{2} + 476837158203125 x + 2384185791015625\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(191\!\cdots\!489\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 7^{22}\cdot 23^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $91.40$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 7, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(483=3\cdot 7\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{483}(1,·)$, $\chi_{483}(398,·)$, $\chi_{483}(272,·)$, $\chi_{483}(274,·)$, $\chi_{483}(20,·)$, $\chi_{483}(22,·)$, $\chi_{483}(419,·)$, $\chi_{483}(293,·)$, $\chi_{483}(295,·)$, $\chi_{483}(41,·)$, $\chi_{483}(43,·)$, $\chi_{483}(440,·)$, $\chi_{483}(314,·)$, $\chi_{483}(316,·)$, $\chi_{483}(62,·)$, $\chi_{483}(64,·)$, $\chi_{483}(461,·)$, $\chi_{483}(335,·)$, $\chi_{483}(337,·)$, $\chi_{483}(83,·)$, $\chi_{483}(85,·)$, $\chi_{483}(377,·)$, $\chi_{483}(463,·)$, $\chi_{483}(442,·)$, $\chi_{483}(421,·)$, $\chi_{483}(400,·)$, $\chi_{483}(482,·)$, $\chi_{483}(379,·)$, $\chi_{483}(356,·)$, $\chi_{483}(358,·)$, $\chi_{483}(209,·)$, $\chi_{483}(104,·)$, $\chi_{483}(188,·)$, $\chi_{483}(106,·)$, $\chi_{483}(167,·)$, $\chi_{483}(146,·)$, $\chi_{483}(232,·)$, $\chi_{483}(211,·)$, $\chi_{483}(190,·)$, $\chi_{483}(169,·)$, $\chi_{483}(148,·)$, $\chi_{483}(251,·)$, $\chi_{483}(125,·)$, $\chi_{483}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{19560629905} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{1401415751}{3912125981}$, $\frac{1}{97803149525} a^{24} - \frac{1}{97803149525} a^{23} + \frac{1}{25} a^{22} - \frac{6}{25} a^{21} + \frac{11}{25} a^{20} + \frac{9}{25} a^{19} - \frac{4}{25} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{6}{25} a^{16} - \frac{11}{25} a^{15} - \frac{9}{25} a^{14} + \frac{4}{25} a^{13} + \frac{1}{25} a^{12} - \frac{6}{25} a^{11} + \frac{11}{25} a^{10} + \frac{9}{25} a^{9} - \frac{4}{25} a^{8} - \frac{1}{25} a^{7} + \frac{6}{25} a^{6} - \frac{11}{25} a^{5} - \frac{9}{25} a^{4} + \frac{4}{25} a^{3} + \frac{1}{25} a^{2} + \frac{1401415751}{19560629905} a + \frac{502142046}{3912125981}$, $\frac{1}{489015747625} a^{25} - \frac{1}{489015747625} a^{24} + \frac{6}{489015747625} a^{23} - \frac{6}{125} a^{22} + \frac{11}{125} a^{21} - \frac{41}{125} a^{20} - \frac{29}{125} a^{19} - \frac{51}{125} a^{18} + \frac{31}{125} a^{17} - \frac{36}{125} a^{16} - \frac{59}{125} a^{15} + \frac{4}{125} a^{14} - \frac{49}{125} a^{13} - \frac{56}{125} a^{12} + \frac{61}{125} a^{11} + \frac{34}{125} a^{10} + \frac{21}{125} a^{9} + \frac{24}{125} a^{8} - \frac{44}{125} a^{7} + \frac{39}{125} a^{6} - \frac{9}{125} a^{5} - \frac{46}{125} a^{4} + \frac{1}{125} a^{3} + \frac{1401415751}{97803149525} a^{2} + \frac{502142046}{19560629905} a + \frac{179854741}{3912125981}$, $\frac{1}{2445078738125} a^{26} - \frac{1}{2445078738125} a^{25} + \frac{6}{2445078738125} a^{24} - \frac{11}{2445078738125} a^{23} - \frac{114}{625} a^{22} + \frac{84}{625} a^{21} - \frac{29}{625} a^{20} - \frac{176}{625} a^{19} + \frac{31}{625} a^{18} - \frac{286}{625} a^{17} - \frac{184}{625} a^{16} + \frac{4}{625} a^{15} - \frac{299}{625} a^{14} - \frac{306}{625} a^{13} + \frac{61}{625} a^{12} + \frac{284}{625} a^{11} + \frac{21}{625} a^{10} + \frac{149}{625} a^{9} - \frac{44}{625} a^{8} + \frac{164}{625} a^{7} + \frac{241}{625} a^{6} - \frac{46}{625} a^{5} + \frac{1}{625} a^{4} + \frac{1401415751}{489015747625} a^{3} + \frac{502142046}{97803149525} a^{2} + \frac{179854741}{19560629905} a + \frac{64457461}{3912125981}$, $\frac{1}{12225393690625} a^{27} - \frac{1}{12225393690625} a^{26} + \frac{6}{12225393690625} a^{25} - \frac{11}{12225393690625} a^{24} + \frac{41}{12225393690625} a^{23} - \frac{1166}{3125} a^{22} + \frac{596}{3125} a^{21} - \frac{176}{3125} a^{20} + \frac{31}{3125} a^{19} - \frac{911}{3125} a^{18} + \frac{1066}{3125} a^{17} + \frac{629}{3125} a^{16} - \frac{1549}{3125} a^{15} - \frac{1556}{3125} a^{14} + \frac{61}{3125} a^{13} + \frac{1534}{3125} a^{12} - \frac{1229}{3125} a^{11} - \frac{476}{3125} a^{10} + \frac{581}{3125} a^{9} + \frac{164}{3125} a^{8} - \frac{384}{3125} a^{7} + \frac{1204}{3125} a^{6} + \frac{1}{3125} a^{5} + \frac{1401415751}{2445078738125} a^{4} + \frac{502142046}{489015747625} a^{3} + \frac{179854741}{97803149525} a^{2} + \frac{64457461}{19560629905} a + \frac{23079456}{3912125981}$, $\frac{1}{61126968453125} a^{28} - \frac{1}{61126968453125} a^{27} + \frac{6}{61126968453125} a^{26} - \frac{11}{61126968453125} a^{25} + \frac{41}{61126968453125} a^{24} - \frac{96}{61126968453125} a^{23} - \frac{5654}{15625} a^{22} - \frac{176}{15625} a^{21} + \frac{3156}{15625} a^{20} - \frac{4036}{15625} a^{19} + \frac{4191}{15625} a^{18} + \frac{6879}{15625} a^{17} - \frac{1549}{15625} a^{16} + \frac{4694}{15625} a^{15} + \frac{3186}{15625} a^{14} + \frac{4659}{15625} a^{13} - \frac{4354}{15625} a^{12} - \frac{3601}{15625} a^{11} - \frac{2544}{15625} a^{10} + \frac{164}{15625} a^{9} + \frac{2741}{15625} a^{8} - \frac{1921}{15625} a^{7} + \frac{1}{15625} a^{6} + \frac{1401415751}{12225393690625} a^{5} + \frac{502142046}{2445078738125} a^{4} + \frac{179854741}{489015747625} a^{3} + \frac{64457461}{97803149525} a^{2} + \frac{23079456}{19560629905} a + \frac{8275601}{3912125981}$, $\frac{1}{305634842265625} a^{29} - \frac{1}{305634842265625} a^{28} + \frac{6}{305634842265625} a^{27} - \frac{11}{305634842265625} a^{26} + \frac{41}{305634842265625} a^{25} - \frac{96}{305634842265625} a^{24} + \frac{301}{305634842265625} a^{23} + \frac{31074}{78125} a^{22} + \frac{18781}{78125} a^{21} - \frac{19661}{78125} a^{20} + \frac{35441}{78125} a^{19} + \frac{22504}{78125} a^{18} - \frac{1549}{78125} a^{17} + \frac{35944}{78125} a^{16} + \frac{34436}{78125} a^{15} - \frac{10966}{78125} a^{14} + \frac{26896}{78125} a^{13} - \frac{3601}{78125} a^{12} - \frac{18169}{78125} a^{11} + \frac{164}{78125} a^{10} - \frac{12884}{78125} a^{9} + \frac{13704}{78125} a^{8} + \frac{1}{78125} a^{7} + \frac{1401415751}{61126968453125} a^{6} + \frac{502142046}{12225393690625} a^{5} + \frac{179854741}{2445078738125} a^{4} + \frac{64457461}{489015747625} a^{3} + \frac{23079456}{97803149525} a^{2} + \frac{8275601}{19560629905} a + \frac{2960771}{3912125981}$, $\frac{1}{1528174211328125} a^{30} - \frac{1}{1528174211328125} a^{29} + \frac{6}{1528174211328125} a^{28} - \frac{11}{1528174211328125} a^{27} + \frac{41}{1528174211328125} a^{26} - \frac{96}{1528174211328125} a^{25} + \frac{301}{1528174211328125} a^{24} - \frac{781}{1528174211328125} a^{23} - \frac{137469}{390625} a^{22} - \frac{97786}{390625} a^{21} + \frac{191691}{390625} a^{20} + \frac{100629}{390625} a^{19} + \frac{76576}{390625} a^{18} + \frac{35944}{390625} a^{17} - \frac{43689}{390625} a^{16} - \frac{167216}{390625} a^{15} - \frac{51229}{390625} a^{14} - \frac{3601}{390625} a^{13} + \frac{138081}{390625} a^{12} - \frac{156086}{390625} a^{11} + \frac{65241}{390625} a^{10} - \frac{64421}{390625} a^{9} + \frac{1}{390625} a^{8} + \frac{1401415751}{305634842265625} a^{7} + \frac{502142046}{61126968453125} a^{6} + \frac{179854741}{12225393690625} a^{5} + \frac{64457461}{2445078738125} a^{4} + \frac{23079456}{489015747625} a^{3} + \frac{8275601}{97803149525} a^{2} + \frac{2960771}{19560629905} a + \frac{1062966}{3912125981}$, $\frac{1}{7640871056640625} a^{31} - \frac{1}{7640871056640625} a^{30} + \frac{6}{7640871056640625} a^{29} - \frac{11}{7640871056640625} a^{28} + \frac{41}{7640871056640625} a^{27} - \frac{96}{7640871056640625} a^{26} + \frac{301}{7640871056640625} a^{25} - \frac{781}{7640871056640625} a^{24} + \frac{2286}{7640871056640625} a^{23} + \frac{683464}{1953125} a^{22} + \frac{582316}{1953125} a^{21} + \frac{881879}{1953125} a^{20} + \frac{76576}{1953125} a^{19} + \frac{426569}{1953125} a^{18} - \frac{43689}{1953125} a^{17} + \frac{223409}{1953125} a^{16} - \frac{441854}{1953125} a^{15} - \frac{394226}{1953125} a^{14} + \frac{138081}{1953125} a^{13} - \frac{156086}{1953125} a^{12} + \frac{846491}{1953125} a^{11} + \frac{326204}{1953125} a^{10} + \frac{1}{1953125} a^{9} + \frac{1401415751}{1528174211328125} a^{8} + \frac{502142046}{305634842265625} a^{7} + \frac{179854741}{61126968453125} a^{6} + \frac{64457461}{12225393690625} a^{5} + \frac{23079456}{2445078738125} a^{4} + \frac{8275601}{489015747625} a^{3} + \frac{2960771}{97803149525} a^{2} + \frac{1062966}{19560629905} a + \frac{379561}{3912125981}$, $\frac{1}{38204355283203125} a^{32} - \frac{1}{38204355283203125} a^{31} + \frac{6}{38204355283203125} a^{30} - \frac{11}{38204355283203125} a^{29} + \frac{41}{38204355283203125} a^{28} - \frac{96}{38204355283203125} a^{27} + \frac{301}{38204355283203125} a^{26} - \frac{781}{38204355283203125} a^{25} + \frac{2286}{38204355283203125} a^{24} - \frac{6191}{38204355283203125} a^{23} + \frac{2535441}{9765625} a^{22} + \frac{881879}{9765625} a^{21} + \frac{2029701}{9765625} a^{20} + \frac{2379694}{9765625} a^{19} - \frac{1996814}{9765625} a^{18} + \frac{4129659}{9765625} a^{17} - \frac{4348104}{9765625} a^{16} - \frac{4300476}{9765625} a^{15} + \frac{2091206}{9765625} a^{14} - \frac{4062336}{9765625} a^{13} + \frac{4752741}{9765625} a^{12} + \frac{4232454}{9765625} a^{11} + \frac{1}{9765625} a^{10} + \frac{1401415751}{7640871056640625} a^{9} + \frac{502142046}{1528174211328125} a^{8} + \frac{179854741}{305634842265625} a^{7} + \frac{64457461}{61126968453125} a^{6} + \frac{23079456}{12225393690625} a^{5} + \frac{8275601}{2445078738125} a^{4} + \frac{2960771}{489015747625} a^{3} + \frac{1062966}{97803149525} a^{2} + \frac{379561}{19560629905} a + \frac{136681}{3912125981}$, $\frac{1}{191021776416015625} a^{33} - \frac{1}{191021776416015625} a^{32} + \frac{6}{191021776416015625} a^{31} - \frac{11}{191021776416015625} a^{30} + \frac{41}{191021776416015625} a^{29} - \frac{96}{191021776416015625} a^{28} + \frac{301}{191021776416015625} a^{27} - \frac{781}{191021776416015625} a^{26} + \frac{2286}{191021776416015625} a^{25} - \frac{6191}{191021776416015625} a^{24} + \frac{17621}{191021776416015625} a^{23} - \frac{18649371}{48828125} a^{22} - \frac{17501549}{48828125} a^{21} + \frac{21910944}{48828125} a^{20} - \frac{11762439}{48828125} a^{19} + \frac{23660909}{48828125} a^{18} + \frac{15183146}{48828125} a^{17} + \frac{5465149}{48828125} a^{16} + \frac{21622456}{48828125} a^{15} + \frac{5703289}{48828125} a^{14} + \frac{4752741}{48828125} a^{13} + \frac{23763704}{48828125} a^{12} + \frac{1}{48828125} a^{11} + \frac{1401415751}{38204355283203125} a^{10} + \frac{502142046}{7640871056640625} a^{9} + \frac{179854741}{1528174211328125} a^{8} + \frac{64457461}{305634842265625} a^{7} + \frac{23079456}{61126968453125} a^{6} + \frac{8275601}{12225393690625} a^{5} + \frac{2960771}{2445078738125} a^{4} + \frac{1062966}{489015747625} a^{3} + \frac{379561}{97803149525} a^{2} + \frac{136681}{19560629905} a + \frac{48576}{3912125981}$, $\frac{1}{955108882080078125} a^{34} - \frac{1}{955108882080078125} a^{33} + \frac{6}{955108882080078125} a^{32} - \frac{11}{955108882080078125} a^{31} + \frac{41}{955108882080078125} a^{30} - \frac{96}{955108882080078125} a^{29} + \frac{301}{955108882080078125} a^{28} - \frac{781}{955108882080078125} a^{27} + \frac{2286}{955108882080078125} a^{26} - \frac{6191}{955108882080078125} a^{25} + \frac{17621}{955108882080078125} a^{24} - \frac{48576}{955108882080078125} a^{23} - \frac{115157799}{244140625} a^{22} + \frac{21910944}{244140625} a^{21} - \frac{109418689}{244140625} a^{20} - \frac{25167216}{244140625} a^{19} - \frac{33644979}{244140625} a^{18} - \frac{92191101}{244140625} a^{17} - \frac{76033794}{244140625} a^{16} + \frac{103359539}{244140625} a^{15} + \frac{4752741}{244140625} a^{14} + \frac{23763704}{244140625} a^{13} + \frac{1}{244140625} a^{12} + \frac{1401415751}{191021776416015625} a^{11} + \frac{502142046}{38204355283203125} a^{10} + \frac{179854741}{7640871056640625} a^{9} + \frac{64457461}{1528174211328125} a^{8} + \frac{23079456}{305634842265625} a^{7} + \frac{8275601}{61126968453125} a^{6} + \frac{2960771}{12225393690625} a^{5} + \frac{1062966}{2445078738125} a^{4} + \frac{379561}{489015747625} a^{3} + \frac{136681}{97803149525} a^{2} + \frac{48576}{19560629905} a + \frac{17621}{3912125981}$, $\frac{1}{4775544410400390625} a^{35} - \frac{1}{4775544410400390625} a^{34} + \frac{6}{4775544410400390625} a^{33} - \frac{11}{4775544410400390625} a^{32} + \frac{41}{4775544410400390625} a^{31} - \frac{96}{4775544410400390625} a^{30} + \frac{301}{4775544410400390625} a^{29} - \frac{781}{4775544410400390625} a^{28} + \frac{2286}{4775544410400390625} a^{27} - \frac{6191}{4775544410400390625} a^{26} + \frac{17621}{4775544410400390625} a^{25} - \frac{48576}{4775544410400390625} a^{24} + \frac{136681}{4775544410400390625} a^{23} - \frac{466370306}{1220703125} a^{22} - \frac{109418689}{1220703125} a^{21} + \frac{218973409}{1220703125} a^{20} + \frac{454636271}{1220703125} a^{19} - \frac{580472351}{1220703125} a^{18} + \frac{412247456}{1220703125} a^{17} + \frac{347500164}{1220703125} a^{16} + \frac{493033991}{1220703125} a^{15} + \frac{23763704}{1220703125} a^{14} + \frac{1}{1220703125} a^{13} + \frac{1401415751}{955108882080078125} a^{12} + \frac{502142046}{191021776416015625} a^{11} + \frac{179854741}{38204355283203125} a^{10} + \frac{64457461}{7640871056640625} a^{9} + \frac{23079456}{1528174211328125} a^{8} + \frac{8275601}{305634842265625} a^{7} + \frac{2960771}{61126968453125} a^{6} + \frac{1062966}{12225393690625} a^{5} + \frac{379561}{2445078738125} a^{4} + \frac{136681}{489015747625} a^{3} + \frac{48576}{97803149525} a^{2} + \frac{17621}{19560629905} a + \frac{6191}{3912125981}$, $\frac{1}{23877722052001953125} a^{36} - \frac{1}{23877722052001953125} a^{35} + \frac{6}{23877722052001953125} a^{34} - \frac{11}{23877722052001953125} a^{33} + \frac{41}{23877722052001953125} a^{32} - \frac{96}{23877722052001953125} a^{31} + \frac{301}{23877722052001953125} a^{30} - \frac{781}{23877722052001953125} a^{29} + \frac{2286}{23877722052001953125} a^{28} - \frac{6191}{23877722052001953125} a^{27} + \frac{17621}{23877722052001953125} a^{26} - \frac{48576}{23877722052001953125} a^{25} + \frac{136681}{23877722052001953125} a^{24} - \frac{379561}{23877722052001953125} a^{23} - \frac{2550824939}{6103515625} a^{22} + \frac{218973409}{6103515625} a^{21} - \frac{766066854}{6103515625} a^{20} + \frac{1860933899}{6103515625} a^{19} + \frac{412247456}{6103515625} a^{18} + \frac{2788906414}{6103515625} a^{17} - \frac{727669134}{6103515625} a^{16} + \frac{2465169954}{6103515625} a^{15} + \frac{1}{6103515625} a^{14} + \frac{1401415751}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{502142046}{955108882080078125} a^{12} + \frac{179854741}{191021776416015625} a^{11} + \frac{64457461}{38204355283203125} a^{10} + \frac{23079456}{7640871056640625} a^{9} + \frac{8275601}{1528174211328125} a^{8} + \frac{2960771}{305634842265625} a^{7} + \frac{1062966}{61126968453125} a^{6} + \frac{379561}{12225393690625} a^{5} + \frac{136681}{2445078738125} a^{4} + \frac{48576}{489015747625} a^{3} + \frac{17621}{97803149525} a^{2} + \frac{6191}{19560629905} a + \frac{2286}{3912125981}$, $\frac{1}{119388610260009765625} a^{37} - \frac{1}{119388610260009765625} a^{36} + \frac{6}{119388610260009765625} a^{35} - \frac{11}{119388610260009765625} a^{34} + \frac{41}{119388610260009765625} a^{33} - \frac{96}{119388610260009765625} a^{32} + \frac{301}{119388610260009765625} a^{31} - \frac{781}{119388610260009765625} a^{30} + \frac{2286}{119388610260009765625} a^{29} - \frac{6191}{119388610260009765625} a^{28} + \frac{17621}{119388610260009765625} a^{27} - \frac{48576}{119388610260009765625} a^{26} + \frac{136681}{119388610260009765625} a^{25} - \frac{379561}{119388610260009765625} a^{24} + \frac{1062966}{119388610260009765625} a^{23} - \frac{11988057841}{30517578125} a^{22} - \frac{766066854}{30517578125} a^{21} + \frac{1860933899}{30517578125} a^{20} - \frac{5691268169}{30517578125} a^{19} + \frac{14995937664}{30517578125} a^{18} - \frac{12934700384}{30517578125} a^{17} - \frac{3638345671}{30517578125} a^{16} + \frac{1}{30517578125} a^{15} + \frac{1401415751}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{502142046}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{179854741}{955108882080078125} a^{12} + \frac{64457461}{191021776416015625} a^{11} + \frac{23079456}{38204355283203125} a^{10} + \frac{8275601}{7640871056640625} a^{9} + \frac{2960771}{1528174211328125} a^{8} + \frac{1062966}{305634842265625} a^{7} + \frac{379561}{61126968453125} a^{6} + \frac{136681}{12225393690625} a^{5} + \frac{48576}{2445078738125} a^{4} + \frac{17621}{489015747625} a^{3} + \frac{6191}{97803149525} a^{2} + \frac{2286}{19560629905} a + \frac{781}{3912125981}$, $\frac{1}{596943051300048828125} a^{38} - \frac{1}{596943051300048828125} a^{37} + \frac{6}{596943051300048828125} a^{36} - \frac{11}{596943051300048828125} a^{35} + \frac{41}{596943051300048828125} a^{34} - \frac{96}{596943051300048828125} a^{33} + \frac{301}{596943051300048828125} a^{32} - \frac{781}{596943051300048828125} a^{31} + \frac{2286}{596943051300048828125} a^{30} - \frac{6191}{596943051300048828125} a^{29} + \frac{17621}{596943051300048828125} a^{28} - \frac{48576}{596943051300048828125} a^{27} + \frac{136681}{596943051300048828125} a^{26} - \frac{379561}{596943051300048828125} a^{25} + \frac{1062966}{596943051300048828125} a^{24} - \frac{2960771}{596943051300048828125} a^{23} - \frac{31283644979}{152587890625} a^{22} - \frac{28656644226}{152587890625} a^{21} + \frac{24826309956}{152587890625} a^{20} - \frac{15521640461}{152587890625} a^{19} - \frac{12934700384}{152587890625} a^{18} - \frac{64673501921}{152587890625} a^{17} + \frac{1}{152587890625} a^{16} + \frac{1401415751}{119388610260009765625} a^{15} + \frac{502142046}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{179854741}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{64457461}{955108882080078125} a^{12} + \frac{23079456}{191021776416015625} a^{11} + \frac{8275601}{38204355283203125} a^{10} + \frac{2960771}{7640871056640625} a^{9} + \frac{1062966}{1528174211328125} a^{8} + \frac{379561}{305634842265625} a^{7} + \frac{136681}{61126968453125} a^{6} + \frac{48576}{12225393690625} a^{5} + \frac{17621}{2445078738125} a^{4} + \frac{6191}{489015747625} a^{3} + \frac{2286}{97803149525} a^{2} + \frac{781}{19560629905} a + \frac{301}{3912125981}$, $\frac{1}{2984715256500244140625} a^{39} - \frac{1}{2984715256500244140625} a^{38} + \frac{6}{2984715256500244140625} a^{37} - \frac{11}{2984715256500244140625} a^{36} + \frac{41}{2984715256500244140625} a^{35} - \frac{96}{2984715256500244140625} a^{34} + \frac{301}{2984715256500244140625} a^{33} - \frac{781}{2984715256500244140625} a^{32} + \frac{2286}{2984715256500244140625} a^{31} - \frac{6191}{2984715256500244140625} a^{30} + \frac{17621}{2984715256500244140625} a^{29} - \frac{48576}{2984715256500244140625} a^{28} + \frac{136681}{2984715256500244140625} a^{27} - \frac{379561}{2984715256500244140625} a^{26} + \frac{1062966}{2984715256500244140625} a^{25} - \frac{2960771}{2984715256500244140625} a^{24} + \frac{8275601}{2984715256500244140625} a^{23} + \frac{123931246399}{762939453125} a^{22} - \frac{280349471294}{762939453125} a^{21} + \frac{137066250164}{762939453125} a^{20} - \frac{12934700384}{762939453125} a^{19} - \frac{64673501921}{762939453125} a^{18} + \frac{1}{762939453125} a^{17} + \frac{1401415751}{596943051300048828125} a^{16} + \frac{502142046}{119388610260009765625} a^{15} + \frac{179854741}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{64457461}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{23079456}{955108882080078125} a^{12} + \frac{8275601}{191021776416015625} a^{11} + \frac{2960771}{38204355283203125} a^{10} + \frac{1062966}{7640871056640625} a^{9} + \frac{379561}{1528174211328125} a^{8} + \frac{136681}{305634842265625} a^{7} + \frac{48576}{61126968453125} a^{6} + \frac{17621}{12225393690625} a^{5} + \frac{6191}{2445078738125} a^{4} + \frac{2286}{489015747625} a^{3} + \frac{781}{97803149525} a^{2} + \frac{301}{19560629905} a + \frac{96}{3912125981}$, $\frac{1}{14923576282501220703125} a^{40} - \frac{1}{14923576282501220703125} a^{39} + \frac{6}{14923576282501220703125} a^{38} - \frac{11}{14923576282501220703125} a^{37} + \frac{41}{14923576282501220703125} a^{36} - \frac{96}{14923576282501220703125} a^{35} + \frac{301}{14923576282501220703125} a^{34} - \frac{781}{14923576282501220703125} a^{33} + \frac{2286}{14923576282501220703125} a^{32} - \frac{6191}{14923576282501220703125} a^{31} + \frac{17621}{14923576282501220703125} a^{30} - \frac{48576}{14923576282501220703125} a^{29} + \frac{136681}{14923576282501220703125} a^{28} - \frac{379561}{14923576282501220703125} a^{27} + \frac{1062966}{14923576282501220703125} a^{26} - \frac{2960771}{14923576282501220703125} a^{25} + \frac{8275601}{14923576282501220703125} a^{24} - \frac{23079456}{14923576282501220703125} a^{23} - \frac{1043288924419}{3814697265625} a^{22} + \frac{1662945156414}{3814697265625} a^{21} + \frac{750004752741}{3814697265625} a^{20} - \frac{64673501921}{3814697265625} a^{19} + \frac{1}{3814697265625} a^{18} + \frac{1401415751}{2984715256500244140625} a^{17} + \frac{502142046}{596943051300048828125} a^{16} + \frac{179854741}{119388610260009765625} a^{15} + \frac{64457461}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{23079456}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{8275601}{955108882080078125} a^{12} + \frac{2960771}{191021776416015625} a^{11} + \frac{1062966}{38204355283203125} a^{10} + \frac{379561}{7640871056640625} a^{9} + \frac{136681}{1528174211328125} a^{8} + \frac{48576}{305634842265625} a^{7} + \frac{17621}{61126968453125} a^{6} + \frac{6191}{12225393690625} a^{5} + \frac{2286}{2445078738125} a^{4} + \frac{781}{489015747625} a^{3} + \frac{301}{97803149525} a^{2} + \frac{96}{19560629905} a + \frac{41}{3912125981}$, $\frac{1}{74617881412506103515625} a^{41} - \frac{1}{74617881412506103515625} a^{40} + \frac{6}{74617881412506103515625} a^{39} - \frac{11}{74617881412506103515625} a^{38} + \frac{41}{74617881412506103515625} a^{37} - \frac{96}{74617881412506103515625} a^{36} + \frac{301}{74617881412506103515625} a^{35} - \frac{781}{74617881412506103515625} a^{34} + \frac{2286}{74617881412506103515625} a^{33} - \frac{6191}{74617881412506103515625} a^{32} + \frac{17621}{74617881412506103515625} a^{31} - \frac{48576}{74617881412506103515625} a^{30} + \frac{136681}{74617881412506103515625} a^{29} - \frac{379561}{74617881412506103515625} a^{28} + \frac{1062966}{74617881412506103515625} a^{27} - \frac{2960771}{74617881412506103515625} a^{26} + \frac{8275601}{74617881412506103515625} a^{25} - \frac{23079456}{74617881412506103515625} a^{24} + \frac{64457461}{74617881412506103515625} a^{23} + \frac{9292339687664}{19073486328125} a^{22} + \frac{4564702018366}{19073486328125} a^{21} + \frac{3750023763704}{19073486328125} a^{20} + \frac{1}{19073486328125} a^{19} + \frac{1401415751}{14923576282501220703125} a^{18} + \frac{502142046}{2984715256500244140625} a^{17} + \frac{179854741}{596943051300048828125} a^{16} + \frac{64457461}{119388610260009765625} a^{15} + \frac{23079456}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{8275601}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{2960771}{955108882080078125} a^{12} + \frac{1062966}{191021776416015625} a^{11} + \frac{379561}{38204355283203125} a^{10} + \frac{136681}{7640871056640625} a^{9} + \frac{48576}{1528174211328125} a^{8} + \frac{17621}{305634842265625} a^{7} + \frac{6191}{61126968453125} a^{6} + \frac{2286}{12225393690625} a^{5} + \frac{781}{2445078738125} a^{4} + \frac{301}{489015747625} a^{3} + \frac{96}{97803149525} a^{2} + \frac{41}{19560629905} a + \frac{11}{3912125981}$, $\frac{1}{373089407062530517578125} a^{42} - \frac{1}{373089407062530517578125} a^{41} + \frac{6}{373089407062530517578125} a^{40} - \frac{11}{373089407062530517578125} a^{39} + \frac{41}{373089407062530517578125} a^{38} - \frac{96}{373089407062530517578125} a^{37} + \frac{301}{373089407062530517578125} a^{36} - \frac{781}{373089407062530517578125} a^{35} + \frac{2286}{373089407062530517578125} a^{34} - \frac{6191}{373089407062530517578125} a^{33} + \frac{17621}{373089407062530517578125} a^{32} - \frac{48576}{373089407062530517578125} a^{31} + \frac{136681}{373089407062530517578125} a^{30} - \frac{379561}{373089407062530517578125} a^{29} + \frac{1062966}{373089407062530517578125} a^{28} - \frac{2960771}{373089407062530517578125} a^{27} + \frac{8275601}{373089407062530517578125} a^{26} - \frac{23079456}{373089407062530517578125} a^{25} + \frac{64457461}{373089407062530517578125} a^{24} - \frac{179854741}{373089407062530517578125} a^{23} + \frac{23638188346491}{95367431640625} a^{22} + \frac{22823510091829}{95367431640625} a^{21} + \frac{1}{95367431640625} a^{20} + \frac{1401415751}{74617881412506103515625} a^{19} + \frac{502142046}{14923576282501220703125} a^{18} + \frac{179854741}{2984715256500244140625} a^{17} + \frac{64457461}{596943051300048828125} a^{16} + \frac{23079456}{119388610260009765625} a^{15} + \frac{8275601}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{2960771}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{1062966}{955108882080078125} a^{12} + \frac{379561}{191021776416015625} a^{11} + \frac{136681}{38204355283203125} a^{10} + \frac{48576}{7640871056640625} a^{9} + \frac{17621}{1528174211328125} a^{8} + \frac{6191}{305634842265625} a^{7} + \frac{2286}{61126968453125} a^{6} + \frac{781}{12225393690625} a^{5} + \frac{301}{2445078738125} a^{4} + \frac{96}{489015747625} a^{3} + \frac{41}{97803149525} a^{2} + \frac{11}{19560629905} a + \frac{6}{3912125981}$, $\frac{1}{1865447035312652587890625} a^{43} - \frac{1}{1865447035312652587890625} a^{42} + \frac{6}{1865447035312652587890625} a^{41} - \frac{11}{1865447035312652587890625} a^{40} + \frac{41}{1865447035312652587890625} a^{39} - \frac{96}{1865447035312652587890625} a^{38} + \frac{301}{1865447035312652587890625} a^{37} - \frac{781}{1865447035312652587890625} a^{36} + \frac{2286}{1865447035312652587890625} a^{35} - \frac{6191}{1865447035312652587890625} a^{34} + \frac{17621}{1865447035312652587890625} a^{33} - \frac{48576}{1865447035312652587890625} a^{32} + \frac{136681}{1865447035312652587890625} a^{31} - \frac{379561}{1865447035312652587890625} a^{30} + \frac{1062966}{1865447035312652587890625} a^{29} - \frac{2960771}{1865447035312652587890625} a^{28} + \frac{8275601}{1865447035312652587890625} a^{27} - \frac{23079456}{1865447035312652587890625} a^{26} + \frac{64457461}{1865447035312652587890625} a^{25} - \frac{179854741}{1865447035312652587890625} a^{24} + \frac{502142046}{1865447035312652587890625} a^{23} + \frac{118190941732454}{476837158203125} a^{22} + \frac{1}{476837158203125} a^{21} + \frac{1401415751}{373089407062530517578125} a^{20} + \frac{502142046}{74617881412506103515625} a^{19} + \frac{179854741}{14923576282501220703125} a^{18} + \frac{64457461}{2984715256500244140625} a^{17} + \frac{23079456}{596943051300048828125} a^{16} + \frac{8275601}{119388610260009765625} a^{15} + \frac{2960771}{23877722052001953125} a^{14} + \frac{1062966}{4775544410400390625} a^{13} + \frac{379561}{955108882080078125} a^{12} + \frac{136681}{191021776416015625} a^{11} + \frac{48576}{38204355283203125} a^{10} + \frac{17621}{7640871056640625} a^{9} + \frac{6191}{1528174211328125} a^{8} + \frac{2286}{305634842265625} a^{7} + \frac{781}{61126968453125} a^{6} + \frac{301}{12225393690625} a^{5} + \frac{96}{2445078738125} a^{4} + \frac{41}{489015747625} a^{3} + \frac{11}{97803149525} a^{2} + \frac{6}{19560629905} a + \frac{1}{3912125981}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{6}{489015747625} a^{26} - \frac{85075858321}{489015747625} a^{3} \) (order $46$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed  Toggle raw display
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{21}) \), \(\Q(\sqrt{-23}) \), \(\Q(\sqrt{-483}) \), \(\Q(\sqrt{21}, \sqrt{-23})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.601130775140836298755595442714814879781421.1, \(\Q(\zeta_{23})\), 22.0.13826007828239234871378695182440742234972683.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{44}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/59.11.0.1}{11} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed
23Data not computed