Properties

Label 44.0.191...489.2
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $1.912\times 10^{86}$
Root discriminant $91.40$
Ramified primes $3, 7, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - 20*x^43 + 189*x^42 - 1124*x^41 + 4865*x^40 - 17456*x^39 + 58421*x^38 - 190050*x^37 + 582353*x^36 - 1651670*x^35 + 4443991*x^34 - 11616036*x^33 + 29347307*x^32 - 70941366*x^31 + 165084544*x^30 - 373261630*x^29 + 819539932*x^28 - 1741244694*x^27 + 3587123034*x^26 - 7185027240*x^25 + 13992949317*x^24 - 26465017896*x^23 + 48644839484*x^22 - 86902148486*x^21 + 150906753803*x^20 - 254398639764*x^19 + 416538699753*x^18 - 661207715179*x^17 + 1018298320297*x^16 - 1516385399452*x^15 + 2187310150678*x^14 - 3038199352295*x^13 + 4080627086016*x^12 - 5240849624589*x^11 + 6499724444701*x^10 - 7615237158361*x^9 + 8625505710097*x^8 - 9008819848319*x^7 + 9179431123587*x^6 - 8198182177669*x^5 + 7374297175226*x^4 - 5145387322896*x^3 + 3993217874024*x^2 - 1687064084492*x + 1104623059513)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - 20*x^43 + 189*x^42 - 1124*x^41 + 4865*x^40 - 17456*x^39 + 58421*x^38 - 190050*x^37 + 582353*x^36 - 1651670*x^35 + 4443991*x^34 - 11616036*x^33 + 29347307*x^32 - 70941366*x^31 + 165084544*x^30 - 373261630*x^29 + 819539932*x^28 - 1741244694*x^27 + 3587123034*x^26 - 7185027240*x^25 + 13992949317*x^24 - 26465017896*x^23 + 48644839484*x^22 - 86902148486*x^21 + 150906753803*x^20 - 254398639764*x^19 + 416538699753*x^18 - 661207715179*x^17 + 1018298320297*x^16 - 1516385399452*x^15 + 2187310150678*x^14 - 3038199352295*x^13 + 4080627086016*x^12 - 5240849624589*x^11 + 6499724444701*x^10 - 7615237158361*x^9 + 8625505710097*x^8 - 9008819848319*x^7 + 9179431123587*x^6 - 8198182177669*x^5 + 7374297175226*x^4 - 5145387322896*x^3 + 3993217874024*x^2 - 1687064084492*x + 1104623059513, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1104623059513, -1687064084492, 3993217874024, -5145387322896, 7374297175226, -8198182177669, 9179431123587, -9008819848319, 8625505710097, -7615237158361, 6499724444701, -5240849624589, 4080627086016, -3038199352295, 2187310150678, -1516385399452, 1018298320297, -661207715179, 416538699753, -254398639764, 150906753803, -86902148486, 48644839484, -26465017896, 13992949317, -7185027240, 3587123034, -1741244694, 819539932, -373261630, 165084544, -70941366, 29347307, -11616036, 4443991, -1651670, 582353, -190050, 58421, -17456, 4865, -1124, 189, -20, 1]);
 

\( x^{44} - 20 x^{43} + 189 x^{42} - 1124 x^{41} + 4865 x^{40} - 17456 x^{39} + 58421 x^{38} - 190050 x^{37} + 582353 x^{36} - 1651670 x^{35} + 4443991 x^{34} - 11616036 x^{33} + 29347307 x^{32} - 70941366 x^{31} + 165084544 x^{30} - 373261630 x^{29} + 819539932 x^{28} - 1741244694 x^{27} + 3587123034 x^{26} - 7185027240 x^{25} + 13992949317 x^{24} - 26465017896 x^{23} + 48644839484 x^{22} - 86902148486 x^{21} + 150906753803 x^{20} - 254398639764 x^{19} + 416538699753 x^{18} - 661207715179 x^{17} + 1018298320297 x^{16} - 1516385399452 x^{15} + 2187310150678 x^{14} - 3038199352295 x^{13} + 4080627086016 x^{12} - 5240849624589 x^{11} + 6499724444701 x^{10} - 7615237158361 x^{9} + 8625505710097 x^{8} - 9008819848319 x^{7} + 9179431123587 x^{6} - 8198182177669 x^{5} + 7374297175226 x^{4} - 5145387322896 x^{3} + 3993217874024 x^{2} - 1687064084492 x + 1104623059513 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(191\!\cdots\!489\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 7^{22}\cdot 23^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $91.40$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 7, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(483=3\cdot 7\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{483}(1,·)$, $\chi_{483}(260,·)$, $\chi_{483}(134,·)$, $\chi_{483}(265,·)$, $\chi_{483}(139,·)$, $\chi_{483}(13,·)$, $\chi_{483}(398,·)$, $\chi_{483}(272,·)$, $\chi_{483}(20,·)$, $\chi_{483}(281,·)$, $\chi_{483}(155,·)$, $\chi_{483}(419,·)$, $\chi_{483}(293,·)$, $\chi_{483}(169,·)$, $\chi_{483}(428,·)$, $\chi_{483}(176,·)$, $\chi_{483}(307,·)$, $\chi_{483}(55,·)$, $\chi_{483}(314,·)$, $\chi_{483}(190,·)$, $\chi_{483}(64,·)$, $\chi_{483}(328,·)$, $\chi_{483}(202,·)$, $\chi_{483}(463,·)$, $\chi_{483}(83,·)$, $\chi_{483}(85,·)$, $\chi_{483}(470,·)$, $\chi_{483}(344,·)$, $\chi_{483}(218,·)$, $\chi_{483}(349,·)$, $\chi_{483}(223,·)$, $\chi_{483}(400,·)$, $\chi_{483}(482,·)$, $\chi_{483}(356,·)$, $\chi_{483}(358,·)$, $\chi_{483}(232,·)$, $\chi_{483}(365,·)$, $\chi_{483}(113,·)$, $\chi_{483}(370,·)$, $\chi_{483}(211,·)$, $\chi_{483}(118,·)$, $\chi_{483}(251,·)$, $\chi_{483}(125,·)$, $\chi_{483}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $a^{40}$, $\frac{1}{137} a^{41} - \frac{51}{137} a^{40} - \frac{11}{137} a^{39} - \frac{20}{137} a^{38} + \frac{44}{137} a^{36} + \frac{12}{137} a^{35} + \frac{8}{137} a^{34} - \frac{1}{137} a^{33} + \frac{10}{137} a^{32} + \frac{25}{137} a^{31} + \frac{26}{137} a^{30} - \frac{37}{137} a^{29} + \frac{57}{137} a^{28} - \frac{58}{137} a^{27} - \frac{53}{137} a^{26} - \frac{35}{137} a^{25} - \frac{53}{137} a^{24} - \frac{51}{137} a^{23} + \frac{42}{137} a^{22} - \frac{68}{137} a^{21} + \frac{33}{137} a^{20} + \frac{68}{137} a^{19} + \frac{24}{137} a^{18} + \frac{28}{137} a^{17} - \frac{63}{137} a^{16} + \frac{37}{137} a^{15} + \frac{18}{137} a^{14} - \frac{30}{137} a^{13} - \frac{67}{137} a^{12} - \frac{54}{137} a^{11} + \frac{20}{137} a^{10} + \frac{45}{137} a^{9} + \frac{35}{137} a^{8} + \frac{51}{137} a^{7} + \frac{43}{137} a^{6} + \frac{46}{137} a^{5} - \frac{26}{137} a^{4} - \frac{19}{137} a^{3} + \frac{12}{137} a^{2} - \frac{5}{137} a + \frac{47}{137}$, $\frac{1}{182953499} a^{42} - \frac{615080}{182953499} a^{41} - \frac{39329368}{182953499} a^{40} + \frac{17985188}{182953499} a^{39} + \frac{14974957}{182953499} a^{38} + \frac{27318392}{182953499} a^{37} + \frac{80054104}{182953499} a^{36} + \frac{81994487}{182953499} a^{35} - \frac{77136495}{182953499} a^{34} - \frac{67994835}{182953499} a^{33} + \frac{84042315}{182953499} a^{32} - \frac{8763668}{182953499} a^{31} + \frac{19190124}{182953499} a^{30} + \frac{30376481}{182953499} a^{29} + \frac{20391025}{182953499} a^{28} + \frac{47087702}{182953499} a^{27} - \frac{30462406}{182953499} a^{26} + \frac{52132858}{182953499} a^{25} - \frac{67207192}{182953499} a^{24} - \frac{90286602}{182953499} a^{23} + \frac{13775962}{182953499} a^{22} + \frac{10620940}{182953499} a^{21} + \frac{80456788}{182953499} a^{20} + \frac{90073569}{182953499} a^{19} - \frac{78262771}{182953499} a^{18} - \frac{11697035}{182953499} a^{17} + \frac{30880324}{182953499} a^{16} - \frac{67514777}{182953499} a^{15} - \frac{63829800}{182953499} a^{14} - \frac{41269278}{182953499} a^{13} + \frac{64679099}{182953499} a^{12} + \frac{1340180}{182953499} a^{11} - \frac{2005259}{182953499} a^{10} + \frac{62359034}{182953499} a^{9} + \frac{23444149}{182953499} a^{8} - \frac{49563872}{182953499} a^{7} - \frac{88480897}{182953499} a^{6} - \frac{29702597}{182953499} a^{5} + \frac{63141751}{182953499} a^{4} + \frac{48873528}{182953499} a^{3} + \frac{6262381}{182953499} a^{2} + \frac{10566763}{182953499} a - \frac{53075492}{182953499}$, $\frac{1}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{43} + \frac{5931910378819562579014234601122205827338907101989596198429990413685703811129898829936175445302899072754701908682509018024167919225372796815394984557998432216008958254080631782507387379186070208294378238310868823907909}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{42} + \frac{6136810388370987916389931594163624936675806162554445129639890129855863824966478773684969368528438821750338301408032712637930188851931199783663113192094149901768425399099465104033465011835949602141701796621265360454587391008}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{41} - \frac{169764767343064273350305513324593172668612308431988664862941532836188890798248706610893891451912564210305301551454046835577060551398934424369655421525024149437347030462076900841791588453980284231171712142490117052425444817029}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{40} - \frac{1159047302903621952201343051031063193042536095077883277997178492193072480952138054004081813467927238523566496428547833091970167737676598188887699509110955479652150123115998196330718039796185999047481653785946061307283575085456}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{39} + \frac{732090186137317673782188912419503064352160449385081266646263725741360942609059035449723682316644472651285087898195139564492171995562957058757281825394168035091588845349447718105352172752404397068692735185516993103581977506129}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{38} + \frac{215923608318903309454615084172019170654029002873359578594743721203836399445841651207214675116542930166366840616998807742397056692828234716402966021953259622412443725123471670770978182708356663175269455100454974311713260337592}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{37} + \frac{158014741462371778695442132975824531089882823133998013250790386726978090009608190161440506031472952902349965527242842383855471974642912111106033729462558035218089206457256909121151944082923759084397202090388454606922015434892}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{36} + \frac{1020040173514966372326344728485236695025597296721060349162821781858896526701547333977045266709576290858763965007036052001158903933337077229394377930034600504808035648202815870221080792518470636968198010089660197706418475701137}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{35} - \frac{848817657164976453963241118046615733422291799251253520912310567319848101689637745611780729157665739802538958833424820292710935716041805216910775975352537648293054109056487535744415678568717623565288792407321734447165107515780}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{34} - \frac{598002294849100154763071944786801240193640080904000455869603630092434318023062755629383096031971770698390871415425435597138894860497294797632586956320020952738812878687226074784378308404111289583746700154285071588973649049190}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{33} + \frac{884652411724784435623856181190677424867977299055299068609615698092995449012100406729198220808262745701996103900052378047498424351924243483570185986619421288881971924394157698751709475512588854256427413903806385184549126028510}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{32} - \frac{569284718020158970271290827656524696971860609604718632057888864180512352535522968013605331117144644439939188127097312853756103401898924455914404356231652904601928840603296409624756076408586900443296832096943946367864039460450}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{31} + \frac{234272583573896308974602720293829749832824940836536875613786802715945016338468600080791213568996257357410694236409132710919747891712707977224378644960322649823714563400448506179464222885655688724458290400461062481470874059891}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{30} - \frac{126136175463702965677091406676054642089695383535822647894279660217870026849997666029313642864617460459369196207064055505190550065390371439591088248600957984820747961136480769167761398879117122338688805581302312102656965647244}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{29} + \frac{559163073802407483887751610738416739458270145206707714116919332055086910603028016878261588059942146560947613811694397035166407569886753935068224160035402714685515400408501849989812976890159023165381362641960543018430927100059}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{28} - \frac{16077499789669663011717691323126596120324044467635362541277693537188563283069498815293636237857335781271606643585924835478388111938093716421750851886570242657263650071262226052618742145743194534306501067631884143423352021828}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{27} - \frac{964010901195046106189398766862055407642519600335514772804378446616350086695208659795120826671128099796758382537889412378422098527135026504981850656804632307557998799941232679143564088208687659387458820564741485458147594543844}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{26} + \frac{1224452175078615842536803030269661492277523237624369108493355337064881287966194550984124341553041951162229687617994467746589332002187321569935069637796756641919009413358904598651075165171357519607473288804507155781555201592549}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{25} - \frac{352535516869221229514783571436002866922976053785582962396137917991952024425411552400446683772836802131539321356445068754195249037532627399559899868052277736402166608114705175460320750410835073016610406197215912618370644902671}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{24} - \frac{859173983667569635167246204891590892966867571884695502387123729286365248315845669695354314832241345416470580518621212206714195165809800573342289058446956165995303932525740920364177565182603160182438400039912116713442765205682}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{23} + \frac{685100869362354751127919107871737009956198912221705979718704793356751607871031672925312709926948129613672691247879252623994986199509832398767551258008562550742718257502724455715259556300031080729234025633475799126951058004660}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{22} - \frac{1075979170021436801830933099849723332224348631579993128013194167250783403202467177878930947606660337782617929258416952242244328886739231462021671945390673021158067142630659982923820983817379252090914047137950832633399718686261}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{21} - \frac{437164622247308447626018490861521008645492834011436309278864060354075847820152650283755910100272638146436614529562960163979851866994354487040529739631390318974202334854352614793509944288141099830987847785150202196002659628992}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{20} + \frac{283204594679570024883073799009549726403988391920928963995913954896972631414149383245945526999939262000995481332310084400068753054172042137750129153305684531380739877441924714548306342572234150066717832154888105768115935205845}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{19} - \frac{36668666174487925165834164947021228280693475525885814915136162367740148145401962217141609367940018678524093474495161958461826119640204788557961108142659442866452651992345727084248690690677831302072877625147220904143451644818}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{18} + \frac{671984660887037983327562694305453835853813467548918252953821029027637970895938589095287503691529215532120828330928855079868030887663927968988333585803990277524146932854552180528949993711206732785436012372542910384939025344336}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{17} + \frac{1099805314760020919847930728831080082256506806222046852260421181645534059392205912604123973624809757487726350986447331855620688067093443267022774100506825989717376419446866462187948399624314429675848171569051910466014368365864}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{16} + \frac{1144356955309696389448207015870570037229978191008330513719136750998713832207954542956885676768534974706484670070485793003163681315067719057144795091879402498678975448305679164396423856541754836530762365579451976369273862323866}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{15} - \frac{1192893393930021810666317573534579859449525691553591736738119646411461987650110583216803279310698762419026994476629861143405212963462871681423264100316056022806131059389834785967371574604444981141329922852098188163637048748990}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{14} - \frac{1009467802602914697403733934208713089968578613743706651658066847841448027246711324404361484875766337870339285520943150000562795523318705189018870829409781151556522514053953235990352746515505719022823692579099368165946619970265}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{13} - \frac{519319074115233022978305101509279580053008042709656593422381990649913555669103152828663740729733586716798063353769971888460698583818158231586979793927535404695223688484787869397490763906977272421927039638323969566723602285507}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{12} - \frac{355959347725321914335241905153755639646911876266965791012310580525818722456387808703023851874098613791596399306732913319454238233946865303029599549931734495869934338284735341070932655867404490881903527921112067039945765726466}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{11} - \frac{1002126751742792443851881558502672532883028664573356691741183942953629200778781860524401331470320488569762321119294738972711657145721705208028578491065049899512258582786640232339420169977079332287901719886147920399838216559}{8987765929519591194345548932643790185314306816513738466418182700033957738474714154669246808529825635112923630347497074734565693740060412333059170117818846087613795623975585062083789557455731830277019161800103451563109163203} a^{10} - \frac{789783767373897802772562954197722785243187011636325796484548131010002195332297423755418449316998101100378331842580506741805039418048930040169913203451787470995888387775324338389790630948047412128660095284877931955257924663166}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{9} - \frac{1672580693886623657766699589993865871262059132889454503428802385217313841147805371954548053468327970203632737091399757903204613851118967497275682573239485942591937233565920874800524097639482602606739753348667973273974772764}{8987765929519591194345548932643790185314306816513738466418182700033957738474714154669246808529825635112923630347497074734565693740060412333059170117818846087613795623975585062083789557455731830277019161800103451563109163203} a^{8} + \frac{621174498233597948477355254827450999424964556748838452428193034231939621045242143756202070221069021192720850836054843507886320380702994598104666181676638245413328957197409446405293333300761061799716010467134585459795578894280}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{7} + \frac{757105241892651602762246263365561595526014328662082095999367592480271272799305052127379094311758394601981745689540551104628709792309450854377304176873770497127492415171411901068905981846334860229474344377781746199732244921635}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{6} + \frac{780524821617092619158418369119719071115422104531515322714170861428016814243032882724098468953050172521929245106304003240438373689085288715911625501150404729924311411274836357074048621333688106318767795101500532550377087357204}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{5} + \frac{992695792475883058994276581373795056794312356122207963087041459242847642258341932588558116680590498260816314064888759358113404788670367171118725850239837539430451355359185138303637480824862110268177614406692673402204335906290}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{4} - \frac{1094656277556610965971182980740850448905581781861883398631440731643394876354807685103955007181356019573074375888285367970154160597507038095820332282712091024911095706957684416760837431070212418138329305483151745073066170045822}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{3} + \frac{1154057818846951351267569777148706787303088371005694293823109370393843662535779080527898202960173774274980580346851007442699087534451571739536551422257111373895236973740095782437037220320993097968327622666283011132083880831157}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a^{2} + \frac{1198911507755628266267105413898026711889701183117388528557764620418080647028015254742340034165892279035407625477703721574019460155213058683465451625084152918401616028385514349727374595626556868650560585356700790571586003712003}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231} a - \frac{744978003115360247470457502412058687119481081922292275350936392216574497036655789327133499072573901861823145689229174488602069644690441716498163795630732347027430505767121501781270407564797636865352783256134358106756505381265}{2489611162476926760833717054342329881332062988174305555197836607909406293557495820843381365962761700926279845606256689701474697165996734216257390122635820366269021387841237062197209707415237716986734307818628656082981238207231}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{69}) \), \(\Q(\sqrt{-483}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{69})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), \(\Q(\zeta_{69})^+\), 22.0.13826007828239234871378695182440742234972683.1, 22.0.3393400820453274956705986794666660343.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R $22^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed
23Data not computed