Properties

Label 44.0.155...001.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $1.555\times 10^{87}$
Root discriminant $95.86$
Ramified primes $3, 67$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 - x^42 - 82*x^41 + 77*x^40 + 73*x^39 + 2795*x^38 - 2452*x^37 - 2193*x^36 - 51847*x^35 + 42213*x^34 + 35713*x^33 + 576416*x^32 - 432884*x^31 - 345487*x^30 - 3995639*x^29 + 2790104*x^28 + 2010938*x^27 + 17436469*x^26 - 11948291*x^25 - 6590980*x^24 - 47156450*x^23 + 36319435*x^22 + 9637447*x^21 + 76421426*x^20 - 81395780*x^19 + 4175237*x^18 - 78460015*x^17 + 124870243*x^16 - 45435254*x^15 + 82436729*x^14 - 106904257*x^13 + 95684734*x^12 - 78566744*x^11 + 62868338*x^10 - 89632848*x^9 + 65796469*x^8 - 36457247*x^7 + 9020998*x^6 - 24902176*x^5 + 25739321*x^4 + 13163316*x^3 - 5336842*x^2 + 199578*x + 1151329)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 - x^42 - 82*x^41 + 77*x^40 + 73*x^39 + 2795*x^38 - 2452*x^37 - 2193*x^36 - 51847*x^35 + 42213*x^34 + 35713*x^33 + 576416*x^32 - 432884*x^31 - 345487*x^30 - 3995639*x^29 + 2790104*x^28 + 2010938*x^27 + 17436469*x^26 - 11948291*x^25 - 6590980*x^24 - 47156450*x^23 + 36319435*x^22 + 9637447*x^21 + 76421426*x^20 - 81395780*x^19 + 4175237*x^18 - 78460015*x^17 + 124870243*x^16 - 45435254*x^15 + 82436729*x^14 - 106904257*x^13 + 95684734*x^12 - 78566744*x^11 + 62868338*x^10 - 89632848*x^9 + 65796469*x^8 - 36457247*x^7 + 9020998*x^6 - 24902176*x^5 + 25739321*x^4 + 13163316*x^3 - 5336842*x^2 + 199578*x + 1151329, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1151329, 199578, -5336842, 13163316, 25739321, -24902176, 9020998, -36457247, 65796469, -89632848, 62868338, -78566744, 95684734, -106904257, 82436729, -45435254, 124870243, -78460015, 4175237, -81395780, 76421426, 9637447, 36319435, -47156450, -6590980, -11948291, 17436469, 2010938, 2790104, -3995639, -345487, -432884, 576416, 35713, 42213, -51847, -2193, -2452, 2795, 73, 77, -82, -1, -1, 1]);
 

\( x^{44} - x^{43} - x^{42} - 82 x^{41} + 77 x^{40} + 73 x^{39} + 2795 x^{38} - 2452 x^{37} - 2193 x^{36} - 51847 x^{35} + 42213 x^{34} + 35713 x^{33} + 576416 x^{32} - 432884 x^{31} - 345487 x^{30} - 3995639 x^{29} + 2790104 x^{28} + 2010938 x^{27} + 17436469 x^{26} - 11948291 x^{25} - 6590980 x^{24} - 47156450 x^{23} + 36319435 x^{22} + 9637447 x^{21} + 76421426 x^{20} - 81395780 x^{19} + 4175237 x^{18} - 78460015 x^{17} + 124870243 x^{16} - 45435254 x^{15} + 82436729 x^{14} - 106904257 x^{13} + 95684734 x^{12} - 78566744 x^{11} + 62868338 x^{10} - 89632848 x^{9} + 65796469 x^{8} - 36457247 x^{7} + 9020998 x^{6} - 24902176 x^{5} + 25739321 x^{4} + 13163316 x^{3} - 5336842 x^{2} + 199578 x + 1151329 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(155\!\cdots\!001\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 67^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $95.86$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 67$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(201=3\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{201}(68,·)$, $\chi_{201}(1,·)$, $\chi_{201}(131,·)$, $\chi_{201}(5,·)$, $\chi_{201}(8,·)$, $\chi_{201}(137,·)$, $\chi_{201}(139,·)$, $\chi_{201}(14,·)$, $\chi_{201}(143,·)$, $\chi_{201}(148,·)$, $\chi_{201}(149,·)$, $\chi_{201}(22,·)$, $\chi_{201}(25,·)$, $\chi_{201}(158,·)$, $\chi_{201}(133,·)$, $\chi_{201}(161,·)$, $\chi_{201}(40,·)$, $\chi_{201}(43,·)$, $\chi_{201}(176,·)$, $\chi_{201}(179,·)$, $\chi_{201}(52,·)$, $\chi_{201}(53,·)$, $\chi_{201}(58,·)$, $\chi_{201}(59,·)$, $\chi_{201}(62,·)$, $\chi_{201}(64,·)$, $\chi_{201}(193,·)$, $\chi_{201}(196,·)$, $\chi_{201}(70,·)$, $\chi_{201}(200,·)$, $\chi_{201}(76,·)$, $\chi_{201}(82,·)$, $\chi_{201}(142,·)$, $\chi_{201}(89,·)$, $\chi_{201}(91,·)$, $\chi_{201}(92,·)$, $\chi_{201}(94,·)$, $\chi_{201}(187,·)$, $\chi_{201}(107,·)$, $\chi_{201}(109,·)$, $\chi_{201}(110,·)$, $\chi_{201}(112,·)$, $\chi_{201}(119,·)$, $\chi_{201}(125,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{37} a^{29} - \frac{13}{37} a^{28} - \frac{8}{37} a^{27} - \frac{11}{37} a^{26} - \frac{17}{37} a^{25} + \frac{12}{37} a^{24} - \frac{5}{37} a^{23} - \frac{9}{37} a^{22} + \frac{5}{37} a^{21} - \frac{9}{37} a^{20} - \frac{14}{37} a^{19} - \frac{6}{37} a^{18} + \frac{6}{37} a^{17} + \frac{14}{37} a^{16} - \frac{8}{37} a^{15} - \frac{6}{37} a^{14} + \frac{16}{37} a^{13} + \frac{15}{37} a^{12} - \frac{17}{37} a^{11} + \frac{6}{37} a^{10} - \frac{9}{37} a^{9} - \frac{10}{37} a^{8} + \frac{10}{37} a^{7} - \frac{14}{37} a^{6} - \frac{6}{37} a^{5} + \frac{6}{37} a^{4} - \frac{11}{37} a^{3} - \frac{12}{37} a^{2} - \frac{17}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{30} + \frac{8}{37} a^{28} - \frac{4}{37} a^{27} - \frac{12}{37} a^{26} + \frac{13}{37} a^{25} + \frac{3}{37} a^{24} - \frac{1}{37} a^{22} - \frac{18}{37} a^{21} + \frac{17}{37} a^{20} - \frac{3}{37} a^{19} + \frac{2}{37} a^{18} + \frac{18}{37} a^{17} - \frac{11}{37} a^{16} + \frac{1}{37} a^{15} + \frac{12}{37} a^{14} + \frac{1}{37} a^{13} - \frac{7}{37} a^{12} + \frac{7}{37} a^{11} - \frac{5}{37} a^{10} - \frac{16}{37} a^{9} - \frac{9}{37} a^{8} + \frac{5}{37} a^{7} - \frac{3}{37} a^{6} + \frac{2}{37} a^{5} - \frac{7}{37} a^{4} - \frac{7}{37} a^{3} + \frac{12}{37} a^{2} + \frac{1}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{31} - \frac{11}{37} a^{28} + \frac{15}{37} a^{27} - \frac{10}{37} a^{26} - \frac{9}{37} a^{25} + \frac{15}{37} a^{24} + \frac{2}{37} a^{23} + \frac{17}{37} a^{22} + \frac{14}{37} a^{21} - \frac{5}{37} a^{20} + \frac{3}{37} a^{19} - \frac{8}{37} a^{18} + \frac{15}{37} a^{17} + \frac{2}{37} a^{15} + \frac{12}{37} a^{14} + \frac{13}{37} a^{13} - \frac{2}{37} a^{12} - \frac{17}{37} a^{11} + \frac{10}{37} a^{10} - \frac{11}{37} a^{9} + \frac{11}{37} a^{8} - \frac{9}{37} a^{7} + \frac{3}{37} a^{6} + \frac{4}{37} a^{5} - \frac{18}{37} a^{4} - \frac{11}{37} a^{3} - \frac{14}{37} a^{2} - \frac{12}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{32} - \frac{17}{37} a^{28} + \frac{13}{37} a^{27} + \frac{18}{37} a^{26} + \frac{13}{37} a^{25} - \frac{14}{37} a^{24} - \frac{1}{37} a^{23} - \frac{11}{37} a^{22} + \frac{13}{37} a^{21} + \frac{15}{37} a^{20} - \frac{14}{37} a^{19} - \frac{14}{37} a^{18} - \frac{8}{37} a^{17} + \frac{8}{37} a^{16} - \frac{2}{37} a^{15} - \frac{16}{37} a^{14} - \frac{11}{37} a^{13} + \frac{8}{37} a^{11} + \frac{18}{37} a^{10} - \frac{14}{37} a^{9} - \frac{8}{37} a^{8} + \frac{2}{37} a^{7} - \frac{2}{37} a^{6} - \frac{10}{37} a^{5} + \frac{18}{37} a^{4} + \frac{13}{37} a^{3} + \frac{4}{37} a^{2} - \frac{2}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{33} + \frac{14}{37} a^{28} - \frac{7}{37} a^{27} + \frac{11}{37} a^{26} - \frac{7}{37} a^{25} + \frac{18}{37} a^{24} + \frac{15}{37} a^{23} + \frac{8}{37} a^{22} - \frac{11}{37} a^{21} + \frac{18}{37} a^{20} + \frac{7}{37} a^{19} + \frac{1}{37} a^{18} - \frac{1}{37} a^{17} + \frac{14}{37} a^{16} - \frac{4}{37} a^{15} - \frac{2}{37} a^{14} + \frac{13}{37} a^{13} + \frac{4}{37} a^{12} - \frac{12}{37} a^{11} + \frac{14}{37} a^{10} - \frac{13}{37} a^{9} + \frac{17}{37} a^{8} - \frac{17}{37} a^{7} + \frac{11}{37} a^{6} - \frac{10}{37} a^{5} + \frac{4}{37} a^{4} + \frac{2}{37} a^{3} + \frac{16}{37} a^{2} + \frac{7}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{34} - \frac{10}{37} a^{28} + \frac{12}{37} a^{27} - \frac{1}{37} a^{26} - \frac{3}{37} a^{25} - \frac{5}{37} a^{24} + \frac{4}{37} a^{23} + \frac{4}{37} a^{22} - \frac{15}{37} a^{21} - \frac{15}{37} a^{20} + \frac{12}{37} a^{19} + \frac{9}{37} a^{18} + \frac{4}{37} a^{17} - \frac{15}{37} a^{16} - \frac{1}{37} a^{15} - \frac{14}{37} a^{14} + \frac{2}{37} a^{13} - \frac{7}{37} a^{11} + \frac{14}{37} a^{10} - \frac{5}{37} a^{9} + \frac{12}{37} a^{8} - \frac{18}{37} a^{7} + \frac{1}{37} a^{6} + \frac{14}{37} a^{5} - \frac{8}{37} a^{4} - \frac{15}{37} a^{3} - \frac{10}{37} a^{2} + \frac{16}{37} a$, $\frac{1}{1073} a^{35} + \frac{1}{1073} a^{33} + \frac{3}{1073} a^{32} + \frac{8}{1073} a^{31} - \frac{3}{1073} a^{30} - \frac{11}{1073} a^{29} - \frac{309}{1073} a^{28} + \frac{60}{1073} a^{27} + \frac{251}{1073} a^{26} - \frac{141}{1073} a^{25} - \frac{69}{1073} a^{24} + \frac{2}{29} a^{23} - \frac{373}{1073} a^{22} + \frac{137}{1073} a^{21} - \frac{155}{1073} a^{20} - \frac{423}{1073} a^{19} + \frac{121}{1073} a^{18} + \frac{205}{1073} a^{17} + \frac{19}{1073} a^{16} + \frac{404}{1073} a^{15} + \frac{166}{1073} a^{14} + \frac{250}{1073} a^{13} - \frac{235}{1073} a^{12} - \frac{336}{1073} a^{11} - \frac{33}{1073} a^{10} - \frac{4}{29} a^{9} - \frac{418}{1073} a^{8} - \frac{70}{1073} a^{7} + \frac{214}{1073} a^{6} - \frac{53}{1073} a^{5} + \frac{99}{1073} a^{4} + \frac{308}{1073} a^{3} - \frac{92}{1073} a^{2} + \frac{252}{1073} a$, $\frac{1}{1073} a^{36} + \frac{1}{1073} a^{34} + \frac{3}{1073} a^{33} + \frac{8}{1073} a^{32} - \frac{3}{1073} a^{31} - \frac{11}{1073} a^{30} + \frac{10}{1073} a^{29} + \frac{205}{1073} a^{28} - \frac{155}{1073} a^{27} - \frac{431}{1073} a^{26} - \frac{127}{1073} a^{25} - \frac{390}{1073} a^{24} + \frac{178}{1073} a^{23} + \frac{485}{1073} a^{22} + \frac{367}{1073} a^{21} - \frac{75}{1073} a^{20} - \frac{53}{1073} a^{19} + \frac{437}{1073} a^{18} - \frac{213}{1073} a^{17} - \frac{495}{1073} a^{16} - \frac{240}{1073} a^{15} + \frac{482}{1073} a^{14} - \frac{496}{1073} a^{13} + \frac{157}{1073} a^{12} - \frac{91}{1073} a^{11} - \frac{380}{1073} a^{10} - \frac{70}{1073} a^{9} - \frac{41}{1073} a^{8} + \frac{5}{29} a^{7} - \frac{227}{1073} a^{6} + \frac{331}{1073} a^{5} + \frac{76}{1073} a^{4} - \frac{382}{1073} a^{3} - \frac{357}{1073} a^{2} - \frac{2}{37} a$, $\frac{1}{174899} a^{37} - \frac{72}{174899} a^{36} - \frac{39}{174899} a^{35} - \frac{1867}{174899} a^{34} + \frac{2217}{174899} a^{33} + \frac{2085}{174899} a^{32} - \frac{86}{174899} a^{31} - \frac{673}{174899} a^{30} + \frac{1027}{174899} a^{29} - \frac{19433}{174899} a^{28} - \frac{84297}{174899} a^{27} - \frac{14631}{174899} a^{26} + \frac{41915}{174899} a^{25} - \frac{76630}{174899} a^{24} - \frac{3401}{174899} a^{23} - \frac{1053}{6031} a^{22} + \frac{38694}{174899} a^{21} - \frac{52021}{174899} a^{20} - \frac{33753}{174899} a^{19} - \frac{57397}{174899} a^{18} + \frac{1415}{6031} a^{17} - \frac{32118}{174899} a^{16} - \frac{61009}{174899} a^{15} - \frac{32531}{174899} a^{14} + \frac{1316}{4727} a^{13} - \frac{20294}{174899} a^{12} + \frac{36345}{174899} a^{11} + \frac{67528}{174899} a^{10} + \frac{39281}{174899} a^{9} + \frac{25860}{174899} a^{8} + \frac{44933}{174899} a^{7} - \frac{55656}{174899} a^{6} + \frac{12265}{174899} a^{5} - \frac{7262}{174899} a^{4} - \frac{47117}{174899} a^{3} + \frac{73696}{174899} a^{2} - \frac{29713}{174899} a - \frac{13}{163}$, $\frac{1}{174899} a^{38} - \frac{7}{174899} a^{36} + \frac{52}{174899} a^{35} + \frac{22}{6031} a^{34} - \frac{2269}{174899} a^{33} - \frac{2045}{174899} a^{32} + \frac{1122}{174899} a^{31} - \frac{811}{174899} a^{30} - \frac{2050}{174899} a^{29} - \frac{7671}{174899} a^{28} - \frac{76161}{174899} a^{27} - \frac{54707}{174899} a^{26} - \frac{4323}{174899} a^{25} - \frac{20163}{174899} a^{24} + \frac{85799}{174899} a^{23} + \frac{81443}{174899} a^{22} - \frac{78781}{174899} a^{21} + \frac{3476}{174899} a^{20} + \frac{10688}{174899} a^{19} + \frac{3011}{174899} a^{18} + \frac{67131}{174899} a^{17} - \frac{1529}{174899} a^{16} + \frac{75740}{174899} a^{15} - \frac{44140}{174899} a^{14} + \frac{28626}{174899} a^{13} - \frac{81214}{174899} a^{12} + \frac{35292}{174899} a^{11} - \frac{49339}{174899} a^{10} - \frac{11611}{174899} a^{9} + \frac{731}{174899} a^{8} + \frac{13082}{174899} a^{7} - \frac{47}{1073} a^{6} + \frac{11918}{174899} a^{5} + \frac{46}{6031} a^{4} + \frac{30270}{174899} a^{3} + \frac{43936}{174899} a^{2} - \frac{68678}{174899} a + \frac{42}{163}$, $\frac{1}{6471263} a^{39} + \frac{18}{6471263} a^{38} + \frac{16}{6471263} a^{37} + \frac{1204}{6471263} a^{36} + \frac{351}{6471263} a^{35} - \frac{44973}{6471263} a^{34} + \frac{21307}{6471263} a^{33} + \frac{15853}{6471263} a^{32} + \frac{15451}{6471263} a^{31} - \frac{1046}{223147} a^{30} - \frac{73110}{6471263} a^{29} - \frac{111545}{223147} a^{28} + \frac{3223372}{6471263} a^{27} + \frac{2220503}{6471263} a^{26} - \frac{2977472}{6471263} a^{25} - \frac{1421855}{6471263} a^{24} + \frac{424369}{6471263} a^{23} - \frac{11168}{6471263} a^{22} - \frac{1690559}{6471263} a^{21} - \frac{1571640}{6471263} a^{20} + \frac{2923087}{6471263} a^{19} - \frac{1062208}{6471263} a^{18} + \frac{376379}{6471263} a^{17} - \frac{428392}{6471263} a^{16} + \frac{1070176}{6471263} a^{15} - \frac{7760}{39701} a^{14} - \frac{2696092}{6471263} a^{13} - \frac{1464795}{6471263} a^{12} - \frac{1699435}{6471263} a^{11} - \frac{980155}{6471263} a^{10} + \frac{2343778}{6471263} a^{9} - \frac{1792684}{6471263} a^{8} + \frac{17030}{223147} a^{7} - \frac{2694909}{6471263} a^{6} + \frac{819878}{6471263} a^{5} + \frac{1056455}{6471263} a^{4} - \frac{3063286}{6471263} a^{3} - \frac{1020492}{6471263} a^{2} - \frac{10596}{174899} a + \frac{52}{163}$, $\frac{1}{6471263} a^{40} - \frac{12}{6471263} a^{38} - \frac{9}{6471263} a^{37} + \frac{990}{6471263} a^{36} + \frac{176}{6471263} a^{35} + \frac{80942}{6471263} a^{34} - \frac{68491}{6471263} a^{33} + \frac{6598}{6471263} a^{32} + \frac{54962}{6471263} a^{31} - \frac{79434}{6471263} a^{30} - \frac{49992}{6471263} a^{29} + \frac{114777}{6471263} a^{28} - \frac{1870843}{6471263} a^{27} - \frac{2574938}{6471263} a^{26} + \frac{6397}{39701} a^{25} - \frac{2264782}{6471263} a^{24} + \frac{1484861}{6471263} a^{23} + \frac{131546}{6471263} a^{22} + \frac{3050478}{6471263} a^{21} + \frac{974875}{6471263} a^{20} + \frac{2183790}{6471263} a^{19} - \frac{1636501}{6471263} a^{18} - \frac{1606076}{6471263} a^{17} - \frac{2629235}{6471263} a^{16} + \frac{245787}{6471263} a^{15} + \frac{133484}{6471263} a^{14} - \frac{219030}{6471263} a^{13} + \frac{2627270}{6471263} a^{12} + \frac{2058476}{6471263} a^{11} - \frac{462148}{6471263} a^{10} - \frac{1218234}{6471263} a^{9} - \frac{754379}{6471263} a^{8} + \frac{1855496}{6471263} a^{7} - \frac{486636}{6471263} a^{6} + \frac{11924}{6471263} a^{5} - \frac{1910147}{6471263} a^{4} - \frac{2438989}{6471263} a^{3} + \frac{96702}{6471263} a^{2} - \frac{28048}{174899} a + \frac{51}{163}$, $\frac{1}{6471263} a^{41} - \frac{15}{6471263} a^{38} - \frac{2}{6471263} a^{37} - \frac{1101}{6471263} a^{36} - \frac{834}{6471263} a^{35} - \frac{40994}{6471263} a^{34} - \frac{13442}{6471263} a^{33} + \frac{21755}{6471263} a^{32} + \frac{935}{6471263} a^{31} - \frac{46257}{6471263} a^{30} + \frac{2432}{6471263} a^{29} + \frac{451575}{6471263} a^{28} + \frac{1792614}{6471263} a^{27} + \frac{411126}{6471263} a^{26} + \frac{33525}{6471263} a^{25} - \frac{2187839}{6471263} a^{24} - \frac{3216799}{6471263} a^{23} - \frac{882513}{6471263} a^{22} - \frac{521975}{6471263} a^{21} - \frac{2576855}{6471263} a^{20} - \frac{1413013}{6471263} a^{19} + \frac{2107766}{6471263} a^{18} + \frac{397471}{6471263} a^{17} - \frac{1845303}{6471263} a^{16} + \frac{722121}{6471263} a^{15} - \frac{2592334}{6471263} a^{14} - \frac{625556}{6471263} a^{13} + \frac{1883812}{6471263} a^{12} + \frac{1746970}{6471263} a^{11} - \frac{211690}{6471263} a^{10} - \frac{2025395}{6471263} a^{9} - \frac{2810427}{6471263} a^{8} - \frac{2073305}{6471263} a^{7} + \frac{2823682}{6471263} a^{6} - \frac{1103348}{6471263} a^{5} - \frac{2067396}{6471263} a^{4} + \frac{950989}{6471263} a^{3} + \frac{1768475}{6471263} a^{2} - \frac{27400}{174899} a - \frac{27}{163}$, $\frac{1}{10462543534306317447259312358412770783} a^{42} + \frac{304571456906702084152472764127}{10462543534306317447259312358412770783} a^{41} - \frac{1868536545439890086824986283}{64187383646051027283799462321550741} a^{40} + \frac{376117561580039149790123755314}{10462543534306317447259312358412770783} a^{39} + \frac{29826327974877368525394432997191}{10462543534306317447259312358412770783} a^{38} + \frac{17409305045158215493284861657542}{10462543534306317447259312358412770783} a^{37} + \frac{3665612535758602260294577935642775}{10462543534306317447259312358412770783} a^{36} + \frac{2641070059058052241873291467776181}{10462543534306317447259312358412770783} a^{35} - \frac{87609572728859431077015868713581974}{10462543534306317447259312358412770783} a^{34} + \frac{99723526370436888613982264111699896}{10462543534306317447259312358412770783} a^{33} + \frac{117065323941085457273591664010441431}{10462543534306317447259312358412770783} a^{32} + \frac{32934112983876150730537080309481256}{10462543534306317447259312358412770783} a^{31} - \frac{90012500765728477769030405088466185}{10462543534306317447259312358412770783} a^{30} - \frac{38649171478910313284670982815989539}{10462543534306317447259312358412770783} a^{29} + \frac{108665860864407745282518121129267107}{360777363251941980939976288221130027} a^{28} + \frac{571582003963956046775393621149381994}{10462543534306317447259312358412770783} a^{27} + \frac{689331811625960708752423809726726101}{10462543534306317447259312358412770783} a^{26} + \frac{2954526473992918944645603972007628017}{10462543534306317447259312358412770783} a^{25} - \frac{77122917009637051713617652891373234}{282771446873143714790792225903047859} a^{24} + \frac{2552640003642994959368086985826034739}{10462543534306317447259312358412770783} a^{23} + \frac{699741786542279389869857470297784993}{10462543534306317447259312358412770783} a^{22} + \frac{2287600064913763348363984532251473728}{10462543534306317447259312358412770783} a^{21} - \frac{4890591799456168736793253614615655138}{10462543534306317447259312358412770783} a^{20} - \frac{71254416116916885961808399425009398}{360777363251941980939976288221130027} a^{19} - \frac{4766555458598556261698919688146032642}{10462543534306317447259312358412770783} a^{18} - \frac{953604419802824553491805894768107248}{10462543534306317447259312358412770783} a^{17} - \frac{2383102979758158963652817003101417077}{10462543534306317447259312358412770783} a^{16} - \frac{18571202076062946990316276088206889}{38894213882179618763045770849118107} a^{15} + \frac{68037103723668421025433912747211663}{282771446873143714790792225903047859} a^{14} + \frac{3577413362038792723276024459244463989}{10462543534306317447259312358412770783} a^{13} + \frac{2810809167867053212812988760807657876}{10462543534306317447259312358412770783} a^{12} + \frac{1781115689591942889727774753653760588}{10462543534306317447259312358412770783} a^{11} - \frac{4322008892562642268331312812603978208}{10462543534306317447259312358412770783} a^{10} - \frac{4338368031746314103121274810349925615}{10462543534306317447259312358412770783} a^{9} + \frac{2056782627265195233663611744727676075}{10462543534306317447259312358412770783} a^{8} + \frac{4409393872815196300806849798596495715}{10462543534306317447259312358412770783} a^{7} + \frac{1151833113245601669900767301027946096}{10462543534306317447259312358412770783} a^{6} + \frac{688936438245950192304062694070945031}{10462543534306317447259312358412770783} a^{5} + \frac{6726183112040650722634235513551830}{38894213882179618763045770849118107} a^{4} - \frac{2624585094242739213552409227774575499}{10462543534306317447259312358412770783} a^{3} + \frac{2914486074746610931912251026441610814}{10462543534306317447259312358412770783} a^{2} - \frac{404655075596764563513524421635724}{9750739547349783268648007789760271} a + \frac{2702239913539482825461652817963}{9087362113093926625021442488127}$, $\frac{1}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{43} + \frac{129076221065574438522749798491134547958050606777679592627021764402293908037681}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{42} - \frac{544818252215560008811722757004870318798503959090742768632599867507354791436863304678203880238099771183759608}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{41} - \frac{1013728815116295652498028941002132886326953370335021246475995955399516326064796000115274843920503889300371641}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{40} - \frac{720470055886734684209655516059974261299478060296799329542929924450730224265000014190966064511027797265920847}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{39} - \frac{38034585505994899919114554255757863166350356297450995048325708407154585536850567910363773457646777360187758573}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{38} - \frac{8258657053055472684589977680720974622091890110872602870111230118126713395116178694106932787663790865956984047}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{37} + \frac{374746603406685367984231882794460441739866290129714162563712027179490208083759938584366848844735607327594724979}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{36} - \frac{2363965770942276695030240891472548084498072161281320274968624924385278724647720685232058497723321594310508945040}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{35} + \frac{177769419559004821584100821783755946634770821905544204509765639156803745464780357747889849950671770959740458258396}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{34} - \frac{119224615399120230654770778771070758125282122137546661675911564828686624303944467300540546361744746483193351572468}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{33} - \frac{173010210471057192954007113537925135583907727138019500882143758657252604460099774049126763182805058403696794731277}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{32} + \frac{93766705827835665052656594031888286793125944515408986294641061645956253284583271093922174403364129870649608226338}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{31} - \frac{34950032535462715736786583630334031288583877156694527961860569222373407349462689155163636264503617394536557756342}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{30} + \frac{1394954786508522216585785406277547970635483588638268405105477086608636099424399080474310488813765292360908000141}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{29} + \frac{2572194106017565124363089655031991952154766271259952710462589740939527288189638883160205417116220509262986545589910}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{28} + \frac{2018338337715640274141557432597240921636105881718761720494976849182533150321199802522803544996931741568502593624702}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{27} + \frac{137251037745043260553147562485711926664334313882394383720457834288916640060827890246289117074573595929857009577019}{473577641393881191372348685807968278003677055381897476527963287764983034890721845598877352525604034552619724743937} a^{26} + \frac{6004191536880793504593819061502017771947327094968896526247840713702132280855664906993631762543300407255134609901689}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{25} - \frac{3478785486939977860572654883074879538166247264931680278053281186893834296923381926164968028833645291299245226708639}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{24} + \frac{3892409882107402511401977292118882077566970014969289830182996605103981847199362378191707646157000047157836024945279}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{23} + \frac{5997763304202323625921722554091522564361900057042368909791036498456106877757235841978404105499251098241389186393789}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{22} + \frac{6654634243652981655484047758092645545009100004403252401232299436897195653239305211200682829031115164954081908054504}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{21} - \frac{5334500220224879111143871069533765113517589358073083764276797379330010545221950796684588808107589769525190522161997}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{20} - \frac{377404102736404771585716341486971033211358697146000515375641586269632594866933774807081729151862862285154563886273}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{19} - \frac{4164715365123708755211511677862756212394569643530181669066742446716623885191346879719806383359363404763471389011744}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{18} - \frac{5287650344239847128535106912412981828130064064646771142820492336835159207185847834413953032910991563946695729514749}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{17} - \frac{373203486833660412649157244164118379785687020675978949219981471270898980233307102659761148120323486040194078268058}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{16} - \frac{6631584046886871547589071065006808257828857040453184775955129856709991859990619980144155653408747086636510778797912}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{15} + \frac{6225236629737162420422327188712463232179084049719801718213053220115779169646609173531170120972937603201222729435184}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{14} + \frac{1463144685525724744176156981029369614385439393220661368730088147126635468143021594748585531475907355098032727347575}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{13} + \frac{5607875805758098124850164461777004309292416326257040538941372016552460638052825355562629023240825517969308990584231}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{12} + \frac{684169766518424118907826143703255490204932497899086915197368696567648535747841580500177500448280420144046693833284}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{11} - \frac{412506553583610271953003899879132731553670944057325168936501057537242037725955090332792886188740956551184256475499}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{10} + \frac{6852620526952721191981115072039439217679255364070333454703595136244278358119296745753339875750783512868490332428365}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{9} - \frac{3936742150650124115861552408895380401519891863509440719442310095588102874522013222240814933183725550570912109819920}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{8} - \frac{3165072701772836485318449267269864284619217135225110508119773510498765464108961221092251944380167324680004970863998}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{7} - \frac{918930171142846930998555040130270767944413648865141164873845065957315453242852439409871194125730385017508629103416}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{6} + \frac{3865378241277138318895052589667919033518484225924634681529740302304635749745803873009280387877302616925026327957609}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{5} - \frac{635797629696921832325186549969694319201122033314386545352787380760431677534465561923940005486271867150679209209825}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{4} - \frac{4999397968944632315772899891650472747819189440093713221766577282060659741699706434657536732181187831653192682902753}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{3} + \frac{2164113453049918317617786157268629922834297092447717630073283971610466497681482033453970381388057241995596961087489}{13733751600422554549798111888431080062106634606075026819310935345184508011830933522367443223242517002025972017574173} a^{2} + \frac{1920766574855506552827218889551886290334235309467695574970976381631792817716810665307844286340543346498550214247}{12799395713348140307360775292107250756856136631943175041296305074729271213262752583753441960151460393314046614701} a - \frac{3107525000403501111052826760144719711891794656598365099472532100027364037443684473207536094284089382122982304}{11928607374974967667624208100752330621487545789322623524041290843177326387010953013749712917196142025455775037}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{6937131688345529328007373591143551910723134278712821266269655217453805952456264}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{43} + \frac{58890856133568143755317618269577102328768588173342081487041027620861703856809478}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{42} - \frac{42559613367468519276046950772743688972983773691830711125266985257536597756760786}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{41} + \frac{513768647440028903402699171408404722678459072177854931139155983619659691133683540}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{40} - \frac{4794952656083955491420006582251200761359698448452676475247891104903831372415846340}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{39} + \frac{3300065092086651931882661649113349608120851005274225678344944776035275684719525287}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{38} - \frac{15363941939961741032370815688987743702116839803849542584283807815299417614631168392}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{37} + \frac{162255352172082778932719795971654169807058352420995431399649831026571702420656829966}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{36} - \frac{105925746026399583194407573456986058780009424091360524741947248931255387234431185318}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{35} + \frac{238687080202806164702125988653653635483513796544620760716520606612270857109284181229}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{34} - \frac{2987373737707672768857540589661875777543899907864243750958527932151335394777554874327}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{33} + \frac{1838924208901655303388619205556499722371658830409003405953527853010625845203411885788}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{32} - \frac{2031132165207597716955101367811904024629334725345542441958401624182126504775400514832}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{31} + \frac{32965784290211625244880070770754619243316391501215779553238349818447360738987944130907}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{30} - \frac{19063478836954274966525096501681694301635356299550799827221120767433686453091802882734}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{29} + \frac{8758912813474165685552554946890935496632203734960336522008793293335090057829326103891}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{28} - \frac{227175200560801533317719454625935214801579093850982799475474343179873975198201735972783}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{27} + \frac{125442834402929005519765271803482059698739505445222760553482455205025093969362972019904}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{26} - \frac{11268706429617332211388051708639914069881992643704475183788641407628213914834337214722}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{25} + \frac{991208514977179844053919048499223437338126589170865531551757477516034823790526061183735}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{24} - \frac{561053242164599410600699216564472927332365739257262167544012811947041747957480140902054}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{23} - \frac{30499761338111028673318178447899548926792940421869119653890201503924957987458160958495}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{22} - \frac{2718222716702203172619265140266753242643456457412478253971489532131008658949194556988796}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{21} + \frac{1824908160683703912964020875851466799721000203971684438337878573962191288125443786343002}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{20} - \frac{5286159276685344976855145319986788203883897291072394018018681567583035750075074422314}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{19} + \frac{4606328298291157956933257444154331529909410796473384059065686443709795314566870464743462}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{18} - \frac{4376014943664307301533599901855015932482303002661826086231525416464168762818383217983002}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{17} + \frac{747999846406155189053711534677795791984621805981079716023328542844967101989455933104728}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{16} - \frac{5144698280982512333067480367102128620098228018384789100813011252957110597906148702525453}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{15} + \frac{7087370557572916907523523795913885498903593462979734367463566893588587648333068285589596}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{14} - \frac{2994876591335355235142502796569944404402410023968916383137680631793022539136803433088673}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{13} + \frac{5354808382730032684321638092475003086907144234902727992218154363202562234581377270834296}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{12} - \frac{6609441447253905371590970513945921752603149951243127699749125218612079949578600900466044}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{11} + \frac{5753674805100281192353582214857124896105940438888541112518621754118360946158558060912724}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{10} - \frac{4887928223070577124744893202881323445385532456651261571228794766933781366228175835248071}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{9} + \frac{4531877114596592394183577651790179676131873964321015715847589189036823801253801515406679}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{8} - \frac{5490130664202814153223512144152436612859499005576453404879318594952159910832473773023297}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{7} + \frac{4224914848604355251720519330540793046656231734888723765083417675011415297081857418105555}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{6} - \frac{2346362591931759498226327239540184321159875635690578889693597951737590966484604452776853}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{5} + \frac{1201235916959765930973198393037103949637595698306694586592638958823043651620170864404135}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{4} - \frac{1884310454521785491417212192587012229107761322292508494378175612712276215372990590414638}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{3} + \frac{1471168798928581361195051243185742459129639750414424644982822806302912810214369133694711}{314298772262094893614114900367499878564372315429048253667369859315597176734133730422961} a^{2} + \frac{10049664446044466160653877336465337687346594037318017207146286651855601340990515321243}{8494561412489051178759862172094591312550603119704006855874861062583707479300911633053} a - \frac{612313099473836487787005734078864093676214346667879797870965333056005989570009520}{7916646237175257389338175370078836265191615209416595392241249825334303335788361261} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-67}) \), \(\Q(\sqrt{201}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-67})\), 11.11.1822837804551761449.1, 22.0.222623423334106740048017938136372833267.1, 22.22.39437071573367006679286233687044038294749249.1, 22.0.588613008557716517601287069955881168578347.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }^{44}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
67Data not computed