Properties

Label 44.0.116...625.2
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $1.166\times 10^{83}$
Root discriminant $77.25$
Ramified primes $3, 5, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 - 23*x^42 + 24*x^41 + 298*x^40 - 322*x^39 - 2644*x^38 + 2966*x^37 + 17733*x^36 - 20699*x^35 - 93680*x^34 + 114379*x^33 + 400546*x^32 - 514925*x^31 - 1402310*x^30 + 1917235*x^29 + 4042594*x^28 - 5959829*x^27 - 9550726*x^26 + 15510555*x^25 + 18239299*x^24 - 33749854*x^23 - 27151731*x^22 + 60965664*x^21 + 28718628*x^20 - 92631926*x^19 - 11478724*x^18 + 118848820*x^17 - 33434940*x^16 - 1406311*x^15 - 22927136*x^14 - 576983889*x^13 + 635212253*x^12 + 643308528*x^11 - 1294716116*x^10 + 1724346364*x^9 - 424183664*x^8 - 3407721010*x^7 + 3830694322*x^6 + 209294181*x^5 - 4039808114*x^4 + 4041269764*x^3 - 1473288*x^2 - 4104644424*x + 4106118241)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 - 23*x^42 + 24*x^41 + 298*x^40 - 322*x^39 - 2644*x^38 + 2966*x^37 + 17733*x^36 - 20699*x^35 - 93680*x^34 + 114379*x^33 + 400546*x^32 - 514925*x^31 - 1402310*x^30 + 1917235*x^29 + 4042594*x^28 - 5959829*x^27 - 9550726*x^26 + 15510555*x^25 + 18239299*x^24 - 33749854*x^23 - 27151731*x^22 + 60965664*x^21 + 28718628*x^20 - 92631926*x^19 - 11478724*x^18 + 118848820*x^17 - 33434940*x^16 - 1406311*x^15 - 22927136*x^14 - 576983889*x^13 + 635212253*x^12 + 643308528*x^11 - 1294716116*x^10 + 1724346364*x^9 - 424183664*x^8 - 3407721010*x^7 + 3830694322*x^6 + 209294181*x^5 - 4039808114*x^4 + 4041269764*x^3 - 1473288*x^2 - 4104644424*x + 4106118241, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4106118241, -4104644424, -1473288, 4041269764, -4039808114, 209294181, 3830694322, -3407721010, -424183664, 1724346364, -1294716116, 643308528, 635212253, -576983889, -22927136, -1406311, -33434940, 118848820, -11478724, -92631926, 28718628, 60965664, -27151731, -33749854, 18239299, 15510555, -9550726, -5959829, 4042594, 1917235, -1402310, -514925, 400546, 114379, -93680, -20699, 17733, 2966, -2644, -322, 298, 24, -23, -1, 1]);
 

\( x^{44} - x^{43} - 23 x^{42} + 24 x^{41} + 298 x^{40} - 322 x^{39} - 2644 x^{38} + 2966 x^{37} + 17733 x^{36} - 20699 x^{35} - 93680 x^{34} + 114379 x^{33} + 400546 x^{32} - 514925 x^{31} - 1402310 x^{30} + 1917235 x^{29} + 4042594 x^{28} - 5959829 x^{27} - 9550726 x^{26} + 15510555 x^{25} + 18239299 x^{24} - 33749854 x^{23} - 27151731 x^{22} + 60965664 x^{21} + 28718628 x^{20} - 92631926 x^{19} - 11478724 x^{18} + 118848820 x^{17} - 33434940 x^{16} - 1406311 x^{15} - 22927136 x^{14} - 576983889 x^{13} + 635212253 x^{12} + 643308528 x^{11} - 1294716116 x^{10} + 1724346364 x^{9} - 424183664 x^{8} - 3407721010 x^{7} + 3830694322 x^{6} + 209294181 x^{5} - 4039808114 x^{4} + 4041269764 x^{3} - 1473288 x^{2} - 4104644424 x + 4106118241 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(116\!\cdots\!625\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 5^{22}\cdot 23^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $77.25$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 5, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(345=3\cdot 5\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{345}(256,·)$, $\chi_{345}(1,·)$, $\chi_{345}(131,·)$, $\chi_{345}(134,·)$, $\chi_{345}(266,·)$, $\chi_{345}(109,·)$, $\chi_{345}(14,·)$, $\chi_{345}(271,·)$, $\chi_{345}(16,·)$, $\chi_{345}(146,·)$, $\chi_{345}(19,·)$, $\chi_{345}(149,·)$, $\chi_{345}(151,·)$, $\chi_{345}(26,·)$, $\chi_{345}(31,·)$, $\chi_{345}(34,·)$, $\chi_{345}(41,·)$, $\chi_{345}(71,·)$, $\chi_{345}(44,·)$, $\chi_{345}(301,·)$, $\chi_{345}(304,·)$, $\chi_{345}(311,·)$, $\chi_{345}(116,·)$, $\chi_{345}(314,·)$, $\chi_{345}(319,·)$, $\chi_{345}(194,·)$, $\chi_{345}(196,·)$, $\chi_{345}(326,·)$, $\chi_{345}(199,·)$, $\chi_{345}(329,·)$, $\chi_{345}(74,·)$, $\chi_{345}(331,·)$, $\chi_{345}(79,·)$, $\chi_{345}(211,·)$, $\chi_{345}(214,·)$, $\chi_{345}(344,·)$, $\chi_{345}(89,·)$, $\chi_{345}(101,·)$, $\chi_{345}(224,·)$, $\chi_{345}(229,·)$, $\chi_{345}(236,·)$, $\chi_{345}(274,·)$, $\chi_{345}(244,·)$, $\chi_{345}(121,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{28657} a^{24} + \frac{10946}{28657} a^{23} - \frac{13}{28657} a^{22} + \frac{5168}{28657} a^{21} + \frac{101}{28657} a^{20} - \frac{754}{28657} a^{19} - \frac{501}{28657} a^{18} - \frac{7930}{28657} a^{17} + \frac{1797}{28657} a^{16} + \frac{11857}{28657} a^{15} - \frac{4598}{28657} a^{14} - \frac{3796}{28657} a^{13} + \frac{8635}{28657} a^{12} + \frac{9498}{28657} a^{11} - \frac{11284}{28657} a^{10} + \frac{14025}{28657} a^{9} + \frac{10152}{28657} a^{8} + \frac{12302}{28657} a^{7} - \frac{5510}{28657} a^{6} - \frac{6477}{28657} a^{5} + \frac{1691}{28657} a^{4} + \frac{6477}{28657} a^{3} - \frac{193}{28657} a^{2} + \frac{11556}{28657} a + \frac{4}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{25} - \frac{12}{28657} a^{23} + \frac{4181}{28657} a^{22} + \frac{91}{28657} a^{21} + \frac{11323}{28657} a^{20} - \frac{433}{28657} a^{19} + \frac{2529}{28657} a^{18} + \frac{1524}{28657} a^{17} + \frac{597}{28657} a^{16} - \frac{3767}{28657} a^{15} + \frac{4220}{28657} a^{14} + \frac{7001}{28657} a^{13} + \frac{1574}{28657} a^{12} - \frac{8796}{28657} a^{11} - \frac{11638}{28657} a^{10} + \frac{8051}{28657} a^{9} - \frac{8301}{28657} a^{8} - \frac{3959}{28657} a^{7} + \frac{11655}{28657} a^{6} + \frac{1515}{28657} a^{5} + \frac{9213}{28657} a^{4} - \frac{17}{28657} a^{3} + \frac{3516}{28657} a^{2} + \frac{26}{28657} a + \frac{13530}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{26} - \frac{7752}{28657} a^{23} - \frac{65}{28657} a^{22} - \frac{12632}{28657} a^{21} + \frac{779}{28657} a^{20} - \frac{6519}{28657} a^{19} - \frac{4488}{28657} a^{18} - \frac{8592}{28657} a^{17} - \frac{10860}{28657} a^{16} + \frac{3219}{28657} a^{15} + \frac{9139}{28657} a^{14} + \frac{13336}{28657} a^{13} + \frac{8853}{28657} a^{12} - \frac{12290}{28657} a^{11} - \frac{12729}{28657} a^{10} - \frac{11943}{28657} a^{9} + \frac{3237}{28657} a^{8} - \frac{12663}{28657} a^{7} - \frac{7291}{28657} a^{6} - \frac{11197}{28657} a^{5} - \frac{8382}{28657} a^{4} - \frac{4731}{28657} a^{3} - \frac{2290}{28657} a^{2} + \frac{8917}{28657} a + \frac{48}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{27} - \frac{50}{28657} a^{23} + \frac{1220}{28657} a^{22} + \frac{629}{28657} a^{21} + \frac{2694}{28657} a^{20} - \frac{3468}{28657} a^{19} + \frac{5008}{28657} a^{18} + \frac{13702}{28657} a^{17} + \frac{6261}{28657} a^{16} - \frac{7053}{28657} a^{15} - \frac{9709}{28657} a^{14} + \frac{13000}{28657} a^{13} + \frac{12135}{28657} a^{12} - \frac{4066}{28657} a^{11} + \frac{4310}{28657} a^{10} + \frac{379}{28657} a^{9} - \frac{6481}{28657} a^{8} - \frac{12683}{28657} a^{7} + \frac{2870}{28657} a^{6} - \frac{11022}{28657} a^{5} + \frac{7652}{28657} a^{4} + \frac{350}{28657} a^{3} + \frac{2945}{28657} a^{2} + \frac{378}{28657} a + \frac{2351}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{28} + \frac{4037}{28657} a^{23} - \frac{21}{28657} a^{22} + \frac{3181}{28657} a^{21} + \frac{1582}{28657} a^{20} - \frac{4035}{28657} a^{19} - \frac{11348}{28657} a^{18} + \frac{10959}{28657} a^{17} - \frac{3174}{28657} a^{16} + \frac{10001}{28657} a^{15} + \frac{12356}{28657} a^{14} - \frac{5723}{28657} a^{13} - \frac{2171}{28657} a^{12} - \frac{7959}{28657} a^{11} + \frac{9319}{28657} a^{10} + \frac{7001}{28657} a^{9} + \frac{7748}{28657} a^{8} - \frac{12484}{28657} a^{7} + \frac{48}{28657} a^{6} - \frac{971}{28657} a^{5} - \frac{1071}{28657} a^{4} + \frac{11568}{28657} a^{3} - \frac{9272}{28657} a^{2} + \frac{7011}{28657} a + \frac{200}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{29} + \frac{71}{28657} a^{23} - \frac{1652}{28657} a^{22} + \frac{662}{28657} a^{21} - \frac{10574}{28657} a^{20} - \frac{5092}{28657} a^{19} - \frac{1151}{28657} a^{18} + \frac{367}{28657} a^{17} + \frac{5733}{28657} a^{16} + \frac{2837}{28657} a^{15} - \frac{13333}{28657} a^{14} - \frac{9214}{28657} a^{13} + \frac{8115}{28657} a^{12} + \frac{8959}{28657} a^{11} - \frac{4121}{28657} a^{10} - \frac{13602}{28657} a^{9} + \frac{12059}{28657} a^{8} - \frac{545}{28657} a^{7} + \frac{5067}{28657} a^{6} + \frac{11394}{28657} a^{5} + \frac{5367}{28657} a^{4} + \frac{6920}{28657} a^{3} + \frac{12413}{28657} a^{2} + \frac{2224}{28657} a + \frac{12509}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{30} - \frac{5079}{28657} a^{23} + \frac{1585}{28657} a^{22} - \frac{4961}{28657} a^{21} - \frac{12263}{28657} a^{20} - \frac{4931}{28657} a^{19} + \frac{7281}{28657} a^{18} - \frac{4377}{28657} a^{17} - \frac{10122}{28657} a^{16} + \frac{4530}{28657} a^{15} + \frac{2017}{28657} a^{14} - \frac{8939}{28657} a^{13} - \frac{2329}{28657} a^{12} + \frac{9289}{28657} a^{11} + \frac{13823}{28657} a^{10} - \frac{9378}{28657} a^{9} - \frac{4912}{28657} a^{8} - \frac{8665}{28657} a^{7} + \frac{1406}{28657} a^{6} + \frac{6722}{28657} a^{5} + \frac{1487}{28657} a^{4} + \frac{11058}{28657} a^{3} - \frac{12730}{28657} a^{2} - \frac{5571}{28657} a - \frac{284}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{31} + \frac{1739}{28657} a^{23} - \frac{13674}{28657} a^{22} - \frac{13803}{28657} a^{21} - \frac{7778}{28657} a^{20} - \frac{10904}{28657} a^{19} + \frac{1517}{28657} a^{18} + \frac{5150}{28657} a^{17} - \frac{10090}{28657} a^{16} - \frac{13294}{28657} a^{15} - \frac{6726}{28657} a^{14} + \frac{3948}{28657} a^{13} - \frac{7413}{28657} a^{12} - \frac{4223}{28657} a^{11} - \frac{6814}{28657} a^{10} - \frac{13239}{28657} a^{9} - \frac{600}{28657} a^{8} + \frac{11004}{28657} a^{7} - \frac{9336}{28657} a^{6} + \frac{3040}{28657} a^{5} + \frac{2547}{28657} a^{4} - \frac{14283}{28657} a^{3} - \frac{11480}{28657} a^{2} + \frac{3104}{28657} a - \frac{8341}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{32} + \frac{8137}{28657} a^{23} + \frac{8804}{28657} a^{22} + \frac{3368}{28657} a^{21} + \frac{14056}{28657} a^{20} - \frac{5499}{28657} a^{19} - \frac{11978}{28657} a^{18} - \frac{3837}{28657} a^{17} + \frac{13993}{28657} a^{16} + \frac{6991}{28657} a^{15} + \frac{4567}{28657} a^{14} + \frac{2721}{28657} a^{13} - \frac{4220}{28657} a^{12} + \frac{11253}{28657} a^{11} + \frac{8249}{28657} a^{10} - \frac{2968}{28657} a^{9} + \frac{9388}{28657} a^{8} + \frac{4265}{28657} a^{7} + \frac{13492}{28657} a^{6} + \frac{3849}{28657} a^{5} - \frac{3261}{28657} a^{4} - \frac{12782}{28657} a^{3} - \frac{5153}{28657} a^{2} + \frac{12989}{28657} a - \frac{6956}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{33} + \frac{7158}{28657} a^{23} - \frac{5479}{28657} a^{22} + \frac{1859}{28657} a^{21} + \frac{3717}{28657} a^{20} - \frac{9278}{28657} a^{19} + \frac{3506}{28657} a^{18} + \frac{4839}{28657} a^{17} - \frac{128}{28657} a^{16} + \frac{12277}{28657} a^{15} - \frac{9395}{28657} a^{14} - \frac{8414}{28657} a^{13} - \frac{13435}{28657} a^{12} + \frac{10952}{28657} a^{11} - \frac{2088}{28657} a^{10} + \frac{137}{28657} a^{9} - \frac{13085}{28657} a^{8} + \frac{11019}{28657} a^{7} - \frac{9486}{28657} a^{6} - \frac{135}{28657} a^{5} + \frac{11568}{28657} a^{4} - \frac{8279}{28657} a^{3} + \frac{7295}{28657} a^{2} + \frac{14146}{28657} a - \frac{3891}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{34} - \frac{8709}{28657} a^{23} + \frac{8942}{28657} a^{22} + \frac{7360}{28657} a^{21} + \frac{12846}{28657} a^{20} + \frac{13122}{28657} a^{19} + \frac{8872}{28657} a^{18} - \frac{6705}{28657} a^{17} - \frac{12313}{28657} a^{16} + \frac{233}{28657} a^{15} + \frac{5834}{28657} a^{14} - \frac{8503}{28657} a^{13} - \frac{13886}{28657} a^{12} + \frac{14289}{28657} a^{11} - \frac{13074}{28657} a^{10} + \frac{10093}{28657} a^{9} - \frac{11502}{28657} a^{8} - \frac{4241}{28657} a^{7} + \frac{8413}{28657} a^{6} + \frac{6908}{28657} a^{5} + \frac{9454}{28657} a^{4} + \frac{11955}{28657} a^{3} - \frac{8553}{28657} a^{2} + \frac{11020}{28657} a + \frac{25}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{35} - \frac{4183}{28657} a^{23} + \frac{8771}{28657} a^{22} + \frac{811}{28657} a^{21} + \frac{4364}{28657} a^{20} + \frac{4739}{28657} a^{19} - \frac{14050}{28657} a^{18} - \frac{11313}{28657} a^{17} + \frac{3584}{28657} a^{16} - \frac{11381}{28657} a^{15} + \frac{10001}{28657} a^{14} - \frac{3072}{28657} a^{13} - \frac{8121}{28657} a^{12} + \frac{906}{28657} a^{11} + \frac{2590}{28657} a^{10} - \frac{3911}{28657} a^{9} + \frac{2682}{28657} a^{8} - \frac{1992}{28657} a^{7} - \frac{7864}{28657} a^{6} - \frac{1763}{28657} a^{5} + \frac{9176}{28657} a^{4} + \frac{2664}{28657} a^{3} - \frac{7711}{28657} a^{2} - \frac{2155}{28657} a + \frac{6179}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{36} + \frac{2003}{28657} a^{23} + \frac{3746}{28657} a^{22} - \frac{13927}{28657} a^{21} - \frac{2633}{28657} a^{20} + \frac{12895}{28657} a^{19} + \frac{13622}{28657} a^{18} - \frac{11457}{28657} a^{17} - \frac{2664}{28657} a^{16} + \frac{2565}{28657} a^{15} - \frac{7659}{28657} a^{14} - \frac{10811}{28657} a^{13} + \frac{13291}{28657} a^{12} + \frac{14122}{28657} a^{11} - \frac{6804}{28657} a^{10} + \frac{8378}{28657} a^{9} - \frac{5850}{28657} a^{8} + \frac{12087}{28657} a^{7} - \frac{9865}{28657} a^{6} - \frac{3250}{28657} a^{5} - \frac{2162}{28657} a^{4} + \frac{4715}{28657} a^{3} - \frac{7078}{28657} a^{2} + \frac{568}{28657} a - \frac{11925}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{37} + \frac{1513}{28657} a^{23} + \frac{12112}{28657} a^{22} - \frac{8960}{28657} a^{21} + \frac{11191}{28657} a^{20} + \frac{5063}{28657} a^{19} - \frac{10949}{28657} a^{18} + \frac{5148}{28657} a^{17} + \frac{13956}{28657} a^{16} - \frac{577}{28657} a^{15} + \frac{86}{28657} a^{14} - \frac{6083}{28657} a^{13} - \frac{1612}{28657} a^{12} - \frac{3050}{28657} a^{11} - \frac{143}{28657} a^{10} - \frac{14065}{28657} a^{9} - \frac{4556}{28657} a^{8} - \frac{5751}{28657} a^{7} + \frac{335}{28657} a^{6} - \frac{10352}{28657} a^{5} - \frac{832}{28657} a^{4} + \frac{1112}{28657} a^{3} - \frac{14051}{28657} a^{2} - \frac{3737}{28657} a - \frac{8012}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{38} - \frac{14097}{28657} a^{23} + \frac{10709}{28657} a^{22} - \frac{13289}{28657} a^{21} - \frac{4465}{28657} a^{20} + \frac{12230}{28657} a^{19} - \frac{10578}{28657} a^{18} + \frac{4763}{28657} a^{17} + \frac{2977}{28657} a^{16} - \frac{273}{28657} a^{15} - \frac{12960}{28657} a^{14} + \frac{10336}{28657} a^{13} - \frac{213}{28657} a^{12} - \frac{13460}{28657} a^{11} + \frac{7712}{28657} a^{10} + \frac{10456}{28657} a^{9} - \frac{5575}{28657} a^{8} - \frac{14198}{28657} a^{7} - \frac{12909}{28657} a^{6} - \frac{1825}{28657} a^{5} - \frac{6898}{28657} a^{4} - \frac{13058}{28657} a^{3} + \frac{1702}{28657} a^{2} - \frac{11470}{28657} a - \frac{6052}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{39} - \frac{1474}{28657} a^{23} + \frac{4049}{28657} a^{22} + \frac{2737}{28657} a^{21} + \frac{3177}{28657} a^{20} - \frac{7969}{28657} a^{19} - \frac{8212}{28657} a^{18} + \frac{4724}{28657} a^{17} - \frac{752}{28657} a^{16} + \frac{7545}{28657} a^{15} - \frac{14193}{28657} a^{14} - \frac{9806}{28657} a^{13} + \frac{7856}{28657} a^{12} - \frac{13143}{28657} a^{11} - \frac{13742}{28657} a^{10} + \frac{207}{28657} a^{9} + \frac{14145}{28657} a^{8} + \frac{4878}{28657} a^{7} + \frac{12832}{28657} a^{6} - \frac{11965}{28657} a^{5} + \frac{11002}{28657} a^{4} + \frac{6769}{28657} a^{3} - \frac{9776}{28657} a^{2} + \frac{12492}{28657} a - \frac{926}{28657}$, $\frac{1}{3983323} a^{40} - \frac{43}{3983323} a^{39} - \frac{47}{3983323} a^{38} - \frac{64}{3983323} a^{37} + \frac{13}{3983323} a^{36} - \frac{3}{3983323} a^{35} - \frac{68}{3983323} a^{34} + \frac{5}{3983323} a^{33} + \frac{23}{3983323} a^{32} - \frac{16}{3983323} a^{31} + \frac{45}{3983323} a^{30} + \frac{11}{3983323} a^{29} + \frac{7}{3983323} a^{28} - \frac{23}{3983323} a^{27} - \frac{30}{3983323} a^{26} + \frac{39}{3983323} a^{25} + \frac{60}{3983323} a^{24} - \frac{400398}{3983323} a^{23} - \frac{1528952}{3983323} a^{22} - \frac{103117}{3983323} a^{21} - \frac{506271}{3983323} a^{20} + \frac{273720}{3983323} a^{19} - \frac{815018}{3983323} a^{18} + \frac{1343695}{3983323} a^{17} - \frac{811089}{3983323} a^{16} - \frac{1679061}{3983323} a^{15} - \frac{477397}{3983323} a^{14} + \frac{1538586}{3983323} a^{13} + \frac{952302}{3983323} a^{12} - \frac{1877059}{3983323} a^{11} + \frac{814551}{3983323} a^{10} + \frac{1702555}{3983323} a^{9} - \frac{144244}{3983323} a^{8} + \frac{828752}{3983323} a^{7} - \frac{1090985}{3983323} a^{6} - \frac{1526087}{3983323} a^{5} - \frac{1595416}{3983323} a^{4} + \frac{269515}{3983323} a^{3} + \frac{777450}{3983323} a^{2} - \frac{181133}{3983323} a - \frac{5034}{28657}$, $\frac{1}{3983323} a^{41} + \frac{50}{3983323} a^{39} + \frac{41}{3983323} a^{37} - \frac{58}{3983323} a^{35} - \frac{40}{3983323} a^{33} + \frac{52}{3983323} a^{31} + \frac{63}{3983323} a^{29} - \frac{46}{3983323} a^{27} + \frac{69}{3983323} a^{25} + \frac{783156}{3983323} a^{23} + \frac{9062}{28657} a^{22} + \frac{1219205}{3983323} a^{21} - \frac{7223}{28657} a^{20} + \frac{277101}{3983323} a^{19} + \frac{13744}{28657} a^{18} - \frac{582513}{3983323} a^{17} - \frac{1119}{28657} a^{16} + \frac{1008826}{3983323} a^{15} - \frac{8359}{28657} a^{14} + \frac{230260}{3983323} a^{13} - \frac{9130}{28657} a^{12} + \frac{445655}{3983323} a^{11} - \frac{4052}{28657} a^{10} - \frac{903368}{3983323} a^{9} - \frac{4140}{28657} a^{8} + \frac{839797}{3983323} a^{7} - \frac{11119}{28657} a^{6} + \frac{151417}{3983323} a^{5} + \frac{1695}{28657} a^{4} + \frac{1165558}{3983323} a^{3} - \frac{9371}{28657} a^{2} - \frac{1386657}{3983323} a - \frac{6107}{28657}$, $\frac{1}{5500969063} a^{42} + \frac{114}{5500969063} a^{41} - \frac{154}{5500969063} a^{40} - \frac{31537}{5500969063} a^{39} - \frac{94482}{5500969063} a^{38} - \frac{15074}{5500969063} a^{37} - \frac{68596}{5500969063} a^{36} + \frac{80319}{5500969063} a^{35} - \frac{10632}{5500969063} a^{34} + \frac{5123}{5500969063} a^{33} + \frac{23716}{5500969063} a^{32} - \frac{65590}{5500969063} a^{31} - \frac{43311}{5500969063} a^{30} + \frac{71936}{5500969063} a^{29} + \frac{52319}{5500969063} a^{28} - \frac{55040}{5500969063} a^{27} - \frac{67064}{5500969063} a^{26} + \frac{12698}{5500969063} a^{25} - \frac{95471}{5500969063} a^{24} + \frac{1669779628}{5500969063} a^{23} - \frac{1795757706}{5500969063} a^{22} - \frac{2028011570}{5500969063} a^{21} + \frac{2411464291}{5500969063} a^{20} + \frac{142052597}{5500969063} a^{19} + \frac{1076196489}{5500969063} a^{18} + \frac{2583475676}{5500969063} a^{17} - \frac{860725813}{5500969063} a^{16} - \frac{1504518919}{5500969063} a^{15} - \frac{2517486720}{5500969063} a^{14} - \frac{608195519}{5500969063} a^{13} - \frac{629810102}{5500969063} a^{12} + \frac{2714969632}{5500969063} a^{11} + \frac{2004505629}{5500969063} a^{10} + \frac{2101227756}{5500969063} a^{9} - \frac{269093028}{5500969063} a^{8} + \frac{570400744}{5500969063} a^{7} + \frac{2714670997}{5500969063} a^{6} + \frac{51523621}{5500969063} a^{5} - \frac{650493013}{5500969063} a^{4} - \frac{977972298}{5500969063} a^{3} + \frac{2742876477}{5500969063} a^{2} - \frac{910393118}{5500969063} a - \frac{9053653}{39575317}$, $\frac{1}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{43} + \frac{663322316731053022879876111776901738612861773389558276560243967511013378052051498483205986016465063026605379957748640561848608252}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{42} + \frac{1389695180682739071060223992019585006160419524135136818125101902979227286436400528235317160951219229632906178957535596028914315281834}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{41} - \frac{311297362359138135920615165724564707445434046796533118873167136987759296410213272971701141330244309342584598859570811883961397902591}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{40} + \frac{189165366404028065045856401021773611277148818677694689697651650458058963797944675256611009697789826885378181815132071460048421931047820}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{39} + \frac{103184652463512436541622315768252053487039972021331072492406860887531332413766071114087338990647969543821724442802358072164970580143905}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{38} - \frac{73920805473058684466214576337539060256882296463783542893519679643271992544237985263346607525378706010703943288927737547594018463255294}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{37} - \frac{101104040242571016396140231922051402903768441472563328100843738425531383192832139545227448159048067738075451600358236963793815554789886}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{36} + \frac{23768688649150640886631431097125436126188297645516813533095149414433877518052767627747306912767827732909536151127311691949648143717996}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{35} + \frac{36586075802814272822719608211919111577526873587174941089093313532420432704025957996715157999642500842263378699229881615738546391136734}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{34} + \frac{121671598909224472148812374796528410186480483854589910342952157559607395708908814519812635291873833661367187729978467722244940084579682}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{33} + \frac{190829703746171108961067395976506456112286682165572801646058231002255207535723833382368179257746144790237454216782776902957594142611312}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{32} + \frac{119844104444770437210784953389338167360129425326848130033491686180904163403732479871893836971036358831454394566159981219246697562438840}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{31} - \frac{49188233547561483221035557325783284934808647466346608211928109672447234042981720686917348634564301899239422130319532217546243580033827}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{30} + \frac{56408025514397619447403225061125322262853577654153917540141137160763172249943694047443309499992577353302049026990397992728438168489240}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{29} + \frac{262526739292561937694499032741476576387081700756981715450827011882605305498447253191990859651974380808396944686243334987921081052295691}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{28} - \frac{70527724253283996000045077790629451433193381162277944908586807947978774026843481554707749128691929108796282858134984264489079572584919}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{27} + \frac{240619709006710061868068925586658162582215245619049051430362944934188936728967307830111699594643832457023727315124269702140936395248138}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{26} - \frac{102575135125716614918420475215458938843227093498709123996495456946721064297884659729576780887520835384161083117887618012198556988368950}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{25} - \frac{70873546909297275249139096583585644952397029430463195481749825454967918701514730648873553993537675581133509996294869108572495281021692}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{24} - \frac{1396487298558339995969764079937791273487915387112022248043524883406646531033713642458494132083335027921935458591885946848579761984997690409}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{23} + \frac{6552944443203237990180351187653809473663392887158968971733808092331998207835922427170848489118354987716008333655591297877181184760167059378}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{22} + \frac{2753116948490940912507943846616733084991952415820705818665536077921512038638493169318021950091049112659969404894105323897091918055819029241}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{21} - \frac{4739722147844353264716715566932600693698042875938450696929454712654915159601120405408468089547238559104056079702426708131736239673909309629}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{20} - \frac{6045875030833056667396753924250448853882034091330053077016107703650260900098305141469036828481667348562551850828014534892337705165591713373}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{19} - \frac{6989655192518212368210938764425434097015047317402108463820831641724156955862779244724955770684332299975006736531560065067009904303129538992}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{18} + \frac{1949808523993782381292978851889543578360509089507285234832288299519522750719838354174733671873402644665087230450976939463408223903538173620}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{17} - \frac{1934084157167762253888654539904631743850563813121846500865237165141381821668968605724140623586906689618213678234913578823436432399420836556}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{16} + \frac{5147626541589145616049016108785925921922844990585771686263736207281168073390791748317726043972835714926158590242955626132806922365237237688}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{15} + \frac{1348125911090769713686654458486118835104370531406891263012853395602728017018516359694618268332627593087225838175054148685598383762588930952}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{14} + \frac{6610033815900861308603719690658791451951794627214359132003724340431747889026363134124665050568738281447436050486986014219467603594815515044}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{13} + \frac{3905650446478822232138926629685954371971496722620903647726112478784581938578673998715482125989674544532334041108008551586455449655160871735}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{12} - \frac{4200813979779289611104331261183041896540584537463143853436288450629713516738684027527059952243048159424053629680244686832817933723754409202}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{11} - \frac{4720777129419331199073361958514853332341473140275460937878091986842065701539145233580481074246825606858302783929229442365851086870300678720}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{10} - \frac{2340501091220620892028005581507874408042240033067500150477145124324295270452939133264304914612632219471556007393625542598321089665505812562}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{9} + \frac{5611186530155818256608121870433941093551371137508368362892679324048772748755388837383684922694345643002708368646259854897042694725256523317}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{8} - \frac{7287585737239951959381544595631611560329161288249756234733459882815746117498550219352188969427916506879722247628792938914358854211231280152}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{7} - \frac{4419798294203972439419435576882670856451756706873381679452497291689103427728014031953202488446229440764850726334448014673525037273819330475}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{6} - \frac{5851451037656635487677186863512485634298926323188500772369420017808954542122259879361036026254721545732080877269534734297717220299249979056}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{5} - \frac{7613699376052171047933712058876363527692207956860374674006687390935780474254983967799000361123531509977444256175850711303360481492924663203}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{4} - \frac{6120928229035696784906806667948506390966881878570783560717862658396840479848282556019573296087472032208692588788559753523698154073495729677}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{3} - \frac{6323068115447294576202595885252326284829375901788296557332647111885185083996183579500752112267604354220404382948881994800656877850069933063}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a^{2} + \frac{5717505891007021129464956519660029337646096002656557246475428173312658074144547750873730195787822360294062995690831355087340263684361439544}{15548871779422679760733924651630165416533823791251887956811700137031266722304982404895289485804787291799575316024861565336925547503186431619} a + \frac{34926502859605264975420647184272472266842827014345368462986190711554966783269874432391543727811980632067469208582736868335721662669534}{242651598486597477500178290104873131861199828200375910310892806333295880433605118758021964852834583745058058272208704338971044296933261}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{30396202823626472809883862808913371608380021398424097524446400111803106595028279803557138639319633495530237165205872335129972}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{43} - \frac{16244059232468368819987914929694039806780558468851032754244454209648431429251629725845218144259362961200440049337307929888800}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{42} + \frac{968137064383691479455797790027366347478663284438929571650112883475526246919001940066012149891662258369411027161661740874094087}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{41} + \frac{284122481947603482556560960554884176187921625732525718680452049622648738230216359699266612936093171283406637978849786878228258}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{40} - \frac{14883588320661136659929700316490985428854579067225418325980625740019895978144572184835543089775237610359235308951150049410522859}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{39} - \frac{2462743070832765499617484195363019906262497395764846070892184381067966960650020706656551067152279969688802486999936456092964351}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{38} + \frac{1104575138588386186827193405875070672891618309240865751615711524130564373169868176855600885141759848674152108363983453498961016}{3903492581300256032647597157355847220156091733271915924671863199904016501374601659191406141506673521529530825400014401377173166098553} a^{37} + \frac{9571995544119863113726595260203225772324307488523262391189013931447753615447919392396936867407206613996299905554999844319760564}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{36} - \frac{1169970746852433326510935455880975723698005903073657939567948854056750930053535537166329904931749145569333888278024177117509265252}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{35} + \frac{31670898463367378090005780259162813051189868217223692691344080344872159253480862427039321527039904724070242911635551034163561209}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{34} + \frac{6996152673033287308700272995699466578326382458540889679724224204348258400144740567499402240207644002960359231160365230874935595571}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{33} - \frac{772437944830730513728819439271512979672367038243367244593188527328440724072927186150439019520472883197531142313657787875496139637}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{32} - \frac{33751144127957791376408336763214066199943378956596995109694931442343538641956560213269703544691198131854774188773656989706994314144}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{31} + \frac{6490338193883388350265965265857157785810555023445301815181929558856092572960658263361951407218833847207084096897211952106255862350}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{30} + \frac{134216350151836949377167596351755171737354381595125831992299036627946432241054240247154408978208082470670414546235712828676482374079}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{29} - \frac{36898831737542735710660465127603559239833584050939901625652609577704930438972880323184008551536056021210908595968056324466852038138}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{28} - \frac{443968286639389537687370538990850854941011795436105648613314885021585642208080929985591060644051470513715432789549536144845246629026}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{27} + \frac{160726411830574013792284855229708953347044942619661139309527621850180982725173067621408920838913949230131789272371856538871088441057}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{26} + \frac{1231933711184688417933492721837288724461445020220142242305151823444742019543667762620235057667050551853290560863749463704130852747875}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{25} - \frac{559909475811860824918017126765600716557920246969181757270720922850269024976144405888986980053518222548616488607626206070646765096040}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{24} - \frac{2868372626328137287741484936525240045737558568718016880276543514547368194996568054739630323321581826847280822510674240193600539687383}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{23} + \frac{1597012828417528991319614848312256354444111305822888928851514712055463031887532253632904577608088809194476347074868853262338092735613}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{22} + \frac{5624245425351843116992250953981742542442663811751689706605543680232778442369209766466230897925459316806040196185237973186167222380399}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{21} - \frac{3750467672988327205397646287351771740715980756666237767773197644018820936909966645334633714429796540793806152795295034491363470163978}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{20} - \frac{9254132208484057015290670213101617197631380875258143405485413283775368899291077259149452678474569365585604269853132632187960788580301}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{19} + \frac{7388166564284404154920579974771904248766662068553483294119660434590435792826029538443485541862338196573890655813377708325805588765174}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{18} + \frac{12985575172140954063708974669388355868004903096367656276893736372401966157132866574592995343920431340060727738097189364649746216263721}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{17} - \frac{12747746011507601680484551317941272004722197828793057556326359015640557764248399796756957815976427250696472181277859584546970687792603}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{16} - \frac{15506221765282796773733162148250114323158253476242987300888111561135837315442735260693992388644830590615550400610247771031190198854296}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{15} + \frac{15229536539553680463773706482699717647302704328176202426392833225450979822163671005991692011054238179087716909870031097983190791318820}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{14} + \frac{13922693004865941537839117779306028367678183787869340853522632851762262835905254719758966772149651396265801938489430795657012221834105}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{13} + \frac{29094700593615157317413103488766831379359986909155660694482678736300245006766123308764878637604319961054370995371425169742428909778985}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{12} - \frac{14131180285463567132638421687239915761091284302438857022198871718933769093115175039461099364872061415336967970361830876304247160904735}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{11} - \frac{130829983360154711532651293095460741229664091380445371146933513828650748909552601688795122817977293397727606392269100996657682424746686}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{10} + \frac{100086180798998278912854405561416875111966005683184860111957476119693861203424705490420934211564073833168087477430371919012130902355787}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{9} + \frac{23177173636597789063224518273870427668865499690994442966484673752878068206617690528206198912511356252697998130643697107232718136431335}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{8} - \frac{235576122257433666413887440259554852617359443937000754859662265714092516605708456857127358935014352923469748574082351467374623225266679}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{7} + \frac{327931366952256047738672216783892350953897830632542422738668819415741268520060454029566605695532979998135378303103112169782099131034938}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{6} + \frac{18836082930136174628636166387263271362527159077828686429710244491002347579984769108318817394798930828919986193283143698175872185246745}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{5} - \frac{438423885413599488414134181834383024435638706364497351381923530629376031522198619928034146620074586512323331916792344961812018480407259}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{4} + \frac{386886777460609735767238860245816411646468192718569229105292590785449723458023611276698815968243196931662995846780928056271625705779273}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{3} - \frac{96628510794923113424672257609959036731096430588468088795150846541105134619079078059603977821041921555150538186797206610715500793257744}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a^{2} - \frac{513093405889685415836534827638314283809859316346556566268285086476198000973543445336233066970142955379745039964017055465268694534211811}{542585468800735588538016004872462763601696750924796313529388984786658293691069630627605453669427619492604784730602001791427070087698867} a + \frac{10517775915641457695712169198631401228854761233558600729390777724711416516133785463229438130567557111588750896862676065546352633660}{8467445946421379680363551317474722820295209833561639749830505856624764645064211842063787725611005469695294632104152714484106650973} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{345}) \), \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{-115}) \), \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-115})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), 22.22.341419566026798986253349758444608447265625.1, 22.0.304011857053427966889939263171547.1, 22.0.1927323443393334271838358868310546875.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R R ${\href{/LocalNumberField/7.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ R $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ $22^{2}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
23Data not computed