Properties

Label 44.0.116...625.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $1.166\times 10^{83}$
Root discriminant $77.25$
Ramified primes $3, 5, 23$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_2\times C_{22}$ (as 44T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1026529561, -256263936, -192566274, 120313546, 18069001, 18093321, -8938748, 155778230, -35764283, 233441302, -44029406, 220881720, -23633656, 126072207, 30135721, 36112685, 94928616, -11758433, 148629623, -30533255, 170215728, -34552164, 151556799, -29235139, 106508095, -19318239, 59401115, -10020719, 26320891, -4075043, 9238279, -1290809, 2548537, -314432, 545008, -57644, 88356, -7678, 10478, -700, 856, -39, 43, -1, 1]);
 

\( x^{44} - x^{43} + 43 x^{42} - 39 x^{41} + 856 x^{40} - 700 x^{39} + 10478 x^{38} - 7678 x^{37} + 88356 x^{36} - 57644 x^{35} + 545008 x^{34} - 314432 x^{33} + 2548537 x^{32} - 1290809 x^{31} + 9238279 x^{30} - 4075043 x^{29} + 26320891 x^{28} - 10020719 x^{27} + 59401115 x^{26} - 19318239 x^{25} + 106508095 x^{24} - 29235139 x^{23} + 151556799 x^{22} - 34552164 x^{21} + 170215728 x^{20} - 30533255 x^{19} + 148629623 x^{18} - 11758433 x^{17} + 94928616 x^{16} + 36112685 x^{15} + 30135721 x^{14} + 126072207 x^{13} - 23633656 x^{12} + 220881720 x^{11} - 44029406 x^{10} + 233441302 x^{9} - 35764283 x^{8} + 155778230 x^{7} - 8938748 x^{6} + 18093321 x^{5} + 18069001 x^{4} + 120313546 x^{3} - 192566274 x^{2} - 256263936 x + 1026529561 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $44$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 22]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(116\!\cdots\!625\)\(\medspace = 3^{22}\cdot 5^{22}\cdot 23^{42}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $77.25$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 5, 23$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $44$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(345=3\cdot 5\cdot 23\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{345}(256,·)$, $\chi_{345}(1,·)$, $\chi_{345}(86,·)$, $\chi_{345}(11,·)$, $\chi_{345}(269,·)$, $\chi_{345}(271,·)$, $\chi_{345}(16,·)$, $\chi_{345}(274,·)$, $\chi_{345}(19,·)$, $\chi_{345}(151,·)$, $\chi_{345}(281,·)$, $\chi_{345}(284,·)$, $\chi_{345}(29,·)$, $\chi_{345}(31,·)$, $\chi_{345}(304,·)$, $\chi_{345}(34,·)$, $\chi_{345}(164,·)$, $\chi_{345}(296,·)$, $\chi_{345}(301,·)$, $\chi_{345}(176,·)$, $\chi_{345}(179,·)$, $\chi_{345}(56,·)$, $\chi_{345}(59,·)$, $\chi_{345}(191,·)$, $\chi_{345}(196,·)$, $\chi_{345}(199,·)$, $\chi_{345}(331,·)$, $\chi_{345}(206,·)$, $\chi_{345}(79,·)$, $\chi_{345}(209,·)$, $\chi_{345}(211,·)$, $\chi_{345}(341,·)$, $\chi_{345}(214,·)$, $\chi_{345}(221,·)$, $\chi_{345}(251,·)$, $\chi_{345}(229,·)$, $\chi_{345}(104,·)$, $\chi_{345}(109,·)$, $\chi_{345}(239,·)$, $\chi_{345}(244,·)$, $\chi_{345}(119,·)$, $\chi_{345}(121,·)$, $\chi_{345}(319,·)$, $\chi_{345}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{28657} a^{23} + \frac{23}{28657} a^{21} + \frac{230}{28657} a^{19} + \frac{1311}{28657} a^{17} + \frac{4692}{28657} a^{15} + \frac{10948}{28657} a^{13} - \frac{11913}{28657} a^{11} - \frac{12212}{28657} a^{9} + \frac{9867}{28657} a^{7} + \frac{3289}{28657} a^{5} + \frac{506}{28657} a^{3} + \frac{23}{28657} a - \frac{10946}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{24} + \frac{23}{28657} a^{22} + \frac{230}{28657} a^{20} + \frac{1311}{28657} a^{18} + \frac{4692}{28657} a^{16} + \frac{10948}{28657} a^{14} - \frac{11913}{28657} a^{12} - \frac{12212}{28657} a^{10} + \frac{9867}{28657} a^{8} + \frac{3289}{28657} a^{6} + \frac{506}{28657} a^{4} + \frac{23}{28657} a^{2} - \frac{10946}{28657} a$, $\frac{1}{28657} a^{25} - \frac{299}{28657} a^{21} - \frac{3979}{28657} a^{19} + \frac{3196}{28657} a^{17} - \frac{10997}{28657} a^{15} - \frac{5804}{28657} a^{13} + \frac{3874}{28657} a^{11} + \frac{4173}{28657} a^{9} + \frac{5604}{28657} a^{7} + \frac{10830}{28657} a^{5} - \frac{11615}{28657} a^{3} - \frac{10946}{28657} a^{2} - \frac{529}{28657} a - \frac{6155}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{26} - \frac{299}{28657} a^{22} - \frac{3979}{28657} a^{20} + \frac{3196}{28657} a^{18} - \frac{10997}{28657} a^{16} - \frac{5804}{28657} a^{14} + \frac{3874}{28657} a^{12} + \frac{4173}{28657} a^{10} + \frac{5604}{28657} a^{8} + \frac{10830}{28657} a^{6} - \frac{11615}{28657} a^{4} - \frac{10946}{28657} a^{3} - \frac{529}{28657} a^{2} - \frac{6155}{28657} a$, $\frac{1}{28657} a^{27} + \frac{2898}{28657} a^{21} - \frac{14005}{28657} a^{19} + \frac{8451}{28657} a^{17} - \frac{7089}{28657} a^{15} + \frac{10428}{28657} a^{13} - \frac{4346}{28657} a^{11} - \frac{6345}{28657} a^{9} + \frac{9392}{28657} a^{7} - \frac{2542}{28657} a^{5} - \frac{10946}{28657} a^{4} + \frac{7480}{28657} a^{3} - \frac{6155}{28657} a^{2} + \frac{6877}{28657} a - \frac{5956}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{28} + \frac{2898}{28657} a^{22} - \frac{14005}{28657} a^{20} + \frac{8451}{28657} a^{18} - \frac{7089}{28657} a^{16} + \frac{10428}{28657} a^{14} - \frac{4346}{28657} a^{12} - \frac{6345}{28657} a^{10} + \frac{9392}{28657} a^{8} - \frac{2542}{28657} a^{6} - \frac{10946}{28657} a^{5} + \frac{7480}{28657} a^{4} - \frac{6155}{28657} a^{3} + \frac{6877}{28657} a^{2} - \frac{5956}{28657} a$, $\frac{1}{28657} a^{29} + \frac{5312}{28657} a^{21} + \frac{1022}{28657} a^{19} + \frac{5014}{28657} a^{17} - \frac{3570}{28657} a^{15} - \frac{8351}{28657} a^{13} - \frac{14156}{28657} a^{11} + \frac{8373}{28657} a^{9} + \frac{2578}{28657} a^{7} - \frac{10946}{28657} a^{6} - \frac{9918}{28657} a^{5} - \frac{6155}{28657} a^{4} + \frac{1996}{28657} a^{3} - \frac{5956}{28657} a^{2} - \frac{9340}{28657} a - \frac{1791}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{30} + \frac{5312}{28657} a^{22} + \frac{1022}{28657} a^{20} + \frac{5014}{28657} a^{18} - \frac{3570}{28657} a^{16} - \frac{8351}{28657} a^{14} - \frac{14156}{28657} a^{12} + \frac{8373}{28657} a^{10} + \frac{2578}{28657} a^{8} - \frac{10946}{28657} a^{7} - \frac{9918}{28657} a^{6} - \frac{6155}{28657} a^{5} + \frac{1996}{28657} a^{4} - \frac{5956}{28657} a^{3} - \frac{9340}{28657} a^{2} - \frac{1791}{28657} a$, $\frac{1}{28657} a^{31} - \frac{6526}{28657} a^{21} - \frac{13152}{28657} a^{19} - \frac{3951}{28657} a^{17} - \frac{665}{28657} a^{15} + \frac{3778}{28657} a^{13} - \frac{13084}{28657} a^{11} - \frac{6726}{28657} a^{9} - \frac{10946}{28657} a^{8} - \frac{9769}{28657} a^{7} - \frac{6155}{28657} a^{6} + \frac{11598}{28657} a^{5} - \frac{5956}{28657} a^{4} - \frac{3454}{28657} a^{3} - \frac{1791}{28657} a^{2} - \frac{7548}{28657} a + \frac{99}{28657}$, $\frac{1}{28657} a^{32} - \frac{6526}{28657} a^{22} - \frac{13152}{28657} a^{20} - \frac{3951}{28657} a^{18} - \frac{665}{28657} a^{16} + \frac{3778}{28657} a^{14} - \frac{13084}{28657} a^{12} - \frac{6726}{28657} a^{10} - \frac{10946}{28657} a^{9} - \frac{9769}{28657} a^{8} - \frac{6155}{28657} a^{7} + \frac{11598}{28657} a^{6} - \frac{5956}{28657} a^{5} - \frac{3454}{28657} a^{4} - \frac{1791}{28657} a^{3} - \frac{7548}{28657} a^{2} + \frac{99}{28657} a$, $\frac{1}{57314} a^{33} - \frac{1}{57314} a^{31} - \frac{1}{57314} a^{30} - \frac{1}{57314} a^{29} - \frac{1}{57314} a^{27} - \frac{1}{57314} a^{26} - \frac{1}{57314} a^{24} - \frac{2518}{28657} a^{22} + \frac{10317}{28657} a^{21} - \frac{12965}{28657} a^{20} - \frac{12157}{28657} a^{19} + \frac{9568}{28657} a^{18} + \frac{5621}{57314} a^{17} - \frac{9391}{28657} a^{16} + \frac{761}{57314} a^{15} + \frac{3207}{57314} a^{14} + \frac{14465}{57314} a^{13} + \frac{22195}{57314} a^{12} + \frac{27063}{57314} a^{11} + \frac{17377}{57314} a^{10} + \frac{23191}{57314} a^{9} + \frac{15399}{57314} a^{8} - \frac{8551}{57314} a^{7} - \frac{21713}{57314} a^{6} - \frac{25173}{57314} a^{5} - \frac{26935}{57314} a^{4} + \frac{9933}{57314} a^{3} + \frac{23847}{57314} a^{2} - \frac{10799}{28657} a + \frac{15953}{57314}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{34} - \frac{484725595}{117669030460994} a^{33} - \frac{1568437177}{117669030460994} a^{32} - \frac{569818714}{58834515230497} a^{31} - \frac{401187488}{58834515230497} a^{30} + \frac{814392385}{117669030460994} a^{29} + \frac{287413409}{117669030460994} a^{28} - \frac{563909086}{58834515230497} a^{27} - \frac{532952199}{117669030460994} a^{26} - \frac{1698654685}{117669030460994} a^{25} - \frac{1442688621}{117669030460994} a^{24} - \frac{294765078}{58834515230497} a^{23} + \frac{27209261255395}{58834515230497} a^{22} + \frac{4801111248409}{58834515230497} a^{21} + \frac{10891066461473}{58834515230497} a^{20} - \frac{14859054580919}{58834515230497} a^{19} - \frac{30011264745749}{117669030460994} a^{18} + \frac{267071520501}{117669030460994} a^{17} + \frac{32251620577661}{117669030460994} a^{16} + \frac{16375674684463}{58834515230497} a^{15} + \frac{20238030995223}{58834515230497} a^{14} - \frac{6954696579339}{58834515230497} a^{13} - \frac{14522679185815}{58834515230497} a^{12} - \frac{6157330695185}{58834515230497} a^{11} + \frac{19728551592602}{58834515230497} a^{10} + \frac{17765838553212}{58834515230497} a^{9} - \frac{11125446285050}{58834515230497} a^{8} - \frac{3214632603253}{58834515230497} a^{7} - \frac{15064732083598}{58834515230497} a^{6} + \frac{17097450253339}{58834515230497} a^{5} - \frac{3202065823854}{58834515230497} a^{4} + \frac{6395032149385}{58834515230497} a^{3} - \frac{5787290835491}{117669030460994} a^{2} + \frac{12795556282539}{117669030460994} a - \frac{48378285179085}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{35} + \frac{39639}{117669030460994} a^{33} + \frac{1568165765}{117669030460994} a^{32} - \frac{1566873403}{117669030460994} a^{31} - \frac{330144767}{58834515230497} a^{30} - \frac{1260152859}{117669030460994} a^{29} + \frac{907610471}{117669030460994} a^{28} + \frac{136755129}{58834515230497} a^{27} - \frac{395711547}{117669030460994} a^{26} + \frac{497541660}{58834515230497} a^{25} + \frac{222765882}{58834515230497} a^{24} - \frac{107233312}{58834515230497} a^{23} + \frac{21526042678700}{58834515230497} a^{22} + \frac{3261663059129}{58834515230497} a^{21} + \frac{2868013190361}{58834515230497} a^{20} - \frac{35907021155005}{117669030460994} a^{19} + \frac{28222402146835}{58834515230497} a^{18} - \frac{46516896798009}{117669030460994} a^{17} + \frac{17978206507993}{117669030460994} a^{16} + \frac{48847105077343}{117669030460994} a^{15} - \frac{54074294928501}{117669030460994} a^{14} - \frac{9646517459797}{117669030460994} a^{13} + \frac{58541832198639}{117669030460994} a^{12} + \frac{10444830526653}{117669030460994} a^{11} + \frac{47864101400059}{117669030460994} a^{10} - \frac{28633240268773}{117669030460994} a^{9} - \frac{10978329714077}{117669030460994} a^{8} + \frac{30104982634689}{117669030460994} a^{7} + \frac{46907559502905}{117669030460994} a^{6} + \frac{19738492500763}{117669030460994} a^{5} + \frac{25878110711793}{117669030460994} a^{4} - \frac{28010142203431}{58834515230497} a^{3} - \frac{38327685895815}{117669030460994} a^{2} + \frac{25098293550611}{58834515230497} a - \frac{21707628580571}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{36} + \frac{1025712531}{117669030460994} a^{33} - \frac{510958211}{58834515230497} a^{32} - \frac{32120405}{117669030460994} a^{31} + \frac{71338697}{58834515230497} a^{30} - \frac{543579061}{117669030460994} a^{29} + \frac{1971512457}{117669030460994} a^{28} - \frac{86775707}{58834515230497} a^{27} - \frac{672057365}{58834515230497} a^{26} + \frac{1291658163}{117669030460994} a^{25} - \frac{721017130}{58834515230497} a^{24} - \frac{48735754}{58834515230497} a^{23} - \frac{24310693116032}{58834515230497} a^{22} - \frac{19902198626092}{58834515230497} a^{21} - \frac{42916210065839}{117669030460994} a^{20} - \frac{6646334487287}{58834515230497} a^{19} - \frac{22384704024872}{58834515230497} a^{18} + \frac{55049724978297}{117669030460994} a^{17} + \frac{22232566732089}{58834515230497} a^{16} - \frac{5931852666390}{58834515230497} a^{15} - \frac{3018019257300}{58834515230497} a^{14} + \frac{9922217694719}{58834515230497} a^{13} + \frac{555167399235}{58834515230497} a^{12} - \frac{7550880009596}{58834515230497} a^{11} - \frac{9151280858357}{58834515230497} a^{10} + \frac{7577057984707}{58834515230497} a^{9} + \frac{9342606081058}{58834515230497} a^{8} + \frac{3908953741088}{58834515230497} a^{7} - \frac{21569022295183}{58834515230497} a^{6} - \frac{14024884430213}{58834515230497} a^{5} + \frac{45362806612009}{117669030460994} a^{4} - \frac{22821077043348}{58834515230497} a^{3} - \frac{24957971435416}{58834515230497} a^{2} + \frac{15168745589679}{117669030460994} a + \frac{8452445334296}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{37} - \frac{733007}{58834515230497} a^{33} - \frac{268270998}{58834515230497} a^{32} + \frac{488667035}{117669030460994} a^{31} - \frac{104023611}{58834515230497} a^{30} + \frac{1458401001}{117669030460994} a^{29} - \frac{762374147}{117669030460994} a^{28} - \frac{1907410221}{117669030460994} a^{27} - \frac{2041512257}{117669030460994} a^{26} + \frac{137860125}{117669030460994} a^{25} - \frac{779825450}{58834515230497} a^{24} - \frac{137230288}{58834515230497} a^{23} + \frac{951783240745}{58834515230497} a^{22} + \frac{24089271209455}{117669030460994} a^{21} + \frac{13814147092743}{58834515230497} a^{20} + \frac{4734653309830}{58834515230497} a^{19} + \frac{21603208635426}{58834515230497} a^{18} + \frac{7910719119316}{58834515230497} a^{17} - \frac{2368855587115}{117669030460994} a^{16} + \frac{7031696844011}{117669030460994} a^{15} + \frac{26840381455845}{117669030460994} a^{14} - \frac{54832171362343}{117669030460994} a^{13} + \frac{11070800700029}{117669030460994} a^{12} + \frac{33687505119985}{117669030460994} a^{11} + \frac{30984328622439}{117669030460994} a^{10} + \frac{52700032922135}{117669030460994} a^{9} - \frac{9768599862601}{117669030460994} a^{8} + \frac{38604486494923}{117669030460994} a^{7} - \frac{30915323240443}{117669030460994} a^{6} + \frac{14766744390466}{58834515230497} a^{5} - \frac{10438909118253}{117669030460994} a^{4} - \frac{52260107898563}{117669030460994} a^{3} + \frac{38476844665415}{117669030460994} a^{2} - \frac{12641163709097}{117669030460994} a + \frac{27641227518419}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{38} + \frac{43285799}{117669030460994} a^{33} + \frac{1934456201}{117669030460994} a^{32} - \frac{552345681}{117669030460994} a^{31} - \frac{765791659}{58834515230497} a^{30} + \frac{282035738}{58834515230497} a^{29} + \frac{850568675}{117669030460994} a^{28} + \frac{548045935}{58834515230497} a^{27} - \frac{507528890}{58834515230497} a^{26} + \frac{422836109}{58834515230497} a^{25} - \frac{22747579}{117669030460994} a^{24} - \frac{630403290}{58834515230497} a^{23} - \frac{53319931378741}{117669030460994} a^{22} - \frac{24660725271053}{58834515230497} a^{21} - \frac{8333714329784}{58834515230497} a^{20} - \frac{11210942511752}{58834515230497} a^{19} - \frac{179358452604}{429449016281} a^{18} - \frac{1913247610420}{58834515230497} a^{17} + \frac{1876902249541}{117669030460994} a^{16} - \frac{24324914160481}{58834515230497} a^{15} + \frac{27146958436255}{58834515230497} a^{14} - \frac{8390621378704}{58834515230497} a^{13} + \frac{1831972664085}{58834515230497} a^{12} + \frac{8559107131375}{58834515230497} a^{11} - \frac{13952793828626}{58834515230497} a^{10} - \frac{24883074188258}{58834515230497} a^{9} + \frac{8649050313734}{58834515230497} a^{8} + \frac{26963340605436}{58834515230497} a^{7} + \frac{52840980599001}{117669030460994} a^{6} + \frac{12216416472387}{58834515230497} a^{5} - \frac{14392182256858}{58834515230497} a^{4} + \frac{18523831012962}{58834515230497} a^{3} + \frac{16237484767357}{58834515230497} a^{2} + \frac{18998333800063}{58834515230497} a + \frac{18284508087329}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{39} + \frac{29355703}{117669030460994} a^{33} - \frac{9065770}{58834515230497} a^{32} + \frac{978075239}{117669030460994} a^{31} - \frac{566567383}{117669030460994} a^{30} - \frac{1685897729}{117669030460994} a^{29} + \frac{2143201}{858898032562} a^{28} + \frac{1463535465}{117669030460994} a^{27} + \frac{75122484}{58834515230497} a^{26} - \frac{887356998}{58834515230497} a^{25} - \frac{835978608}{58834515230497} a^{24} + \frac{1130845599}{117669030460994} a^{23} + \frac{14082156572043}{58834515230497} a^{22} - \frac{19741980306922}{58834515230497} a^{21} + \frac{3452461081352}{58834515230497} a^{20} + \frac{20506552339666}{58834515230497} a^{19} + \frac{33922119470299}{117669030460994} a^{18} + \frac{3155651140671}{117669030460994} a^{17} - \frac{12201967893017}{117669030460994} a^{16} + \frac{40117926809671}{117669030460994} a^{15} - \frac{25681671001435}{117669030460994} a^{14} - \frac{7493144367815}{117669030460994} a^{13} - \frac{4027616323519}{117669030460994} a^{12} + \frac{37182009576511}{117669030460994} a^{11} - \frac{15352948756021}{117669030460994} a^{10} - \frac{34608832067499}{117669030460994} a^{9} - \frac{25614162233491}{117669030460994} a^{8} + \frac{2331788295535}{58834515230497} a^{7} - \frac{4386829099853}{117669030460994} a^{6} + \frac{808726381921}{117669030460994} a^{5} - \frac{41707853363801}{117669030460994} a^{4} - \frac{308247164693}{858898032562} a^{3} - \frac{23075302611470}{58834515230497} a^{2} + \frac{19077352041144}{58834515230497} a + \frac{18202414910139}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{40} - \frac{648069073}{117669030460994} a^{33} - \frac{165346009}{58834515230497} a^{32} + \frac{235340255}{117669030460994} a^{31} + \frac{606436987}{117669030460994} a^{30} - \frac{116635017}{58834515230497} a^{29} + \frac{905773922}{58834515230497} a^{28} + \frac{634333198}{58834515230497} a^{27} - \frac{412878645}{117669030460994} a^{26} - \frac{116812185}{117669030460994} a^{25} - \frac{92957174}{58834515230497} a^{24} - \frac{180914246}{58834515230497} a^{23} - \frac{2390631787874}{58834515230497} a^{22} + \frac{1169789197074}{58834515230497} a^{21} - \frac{10936305905011}{58834515230497} a^{20} + \frac{32989068883359}{117669030460994} a^{19} + \frac{9334195784156}{58834515230497} a^{18} + \frac{8398110279077}{58834515230497} a^{17} + \frac{10088508245314}{58834515230497} a^{16} - \frac{38676075674223}{117669030460994} a^{15} - \frac{23030509178373}{117669030460994} a^{14} - \frac{9747642416937}{117669030460994} a^{13} + \frac{38170772681953}{117669030460994} a^{12} + \frac{26742254113419}{117669030460994} a^{11} + \frac{25593043217681}{117669030460994} a^{10} + \frac{27253869071903}{117669030460994} a^{9} - \frac{16887741752103}{58834515230497} a^{8} - \frac{51979410756235}{117669030460994} a^{7} - \frac{24881674445153}{117669030460994} a^{6} + \frac{33784540099325}{117669030460994} a^{5} + \frac{2192861544827}{117669030460994} a^{4} + \frac{23874322097675}{58834515230497} a^{3} - \frac{54512938965471}{117669030460994} a^{2} - \frac{30625618239915}{117669030460994} a + \frac{38936778420327}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{41} - \frac{211139955}{58834515230497} a^{33} - \frac{346118249}{58834515230497} a^{32} - \frac{407577694}{58834515230497} a^{31} - \frac{879040069}{117669030460994} a^{30} - \frac{981487042}{58834515230497} a^{29} - \frac{778358085}{117669030460994} a^{28} - \frac{65824180}{58834515230497} a^{27} - \frac{84628549}{117669030460994} a^{26} - \frac{915104379}{117669030460994} a^{25} - \frac{52216636}{58834515230497} a^{24} + \frac{397127723}{58834515230497} a^{23} + \frac{9022964205826}{58834515230497} a^{22} + \frac{18723693453715}{58834515230497} a^{21} - \frac{48559943451147}{117669030460994} a^{20} + \frac{7357987880914}{58834515230497} a^{19} - \frac{40064405091063}{117669030460994} a^{18} + \frac{26723723302298}{58834515230497} a^{17} + \frac{25832401585442}{58834515230497} a^{16} - \frac{14251650874058}{58834515230497} a^{15} + \frac{18204326328606}{58834515230497} a^{14} - \frac{27803744202228}{58834515230497} a^{13} + \frac{18021028911835}{58834515230497} a^{12} + \frac{27659712385265}{58834515230497} a^{11} - \frac{8155948516}{58834515230497} a^{10} + \frac{3525048953767}{117669030460994} a^{9} + \frac{25820148242008}{58834515230497} a^{8} + \frac{11078931645592}{58834515230497} a^{7} + \frac{9917579752639}{58834515230497} a^{6} + \frac{10148265526085}{58834515230497} a^{5} + \frac{32270128839525}{117669030460994} a^{4} + \frac{28413133836317}{58834515230497} a^{3} - \frac{20490821908101}{117669030460994} a^{2} - \frac{2186273147753}{58834515230497} a - \frac{9564320593853}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{42} + \frac{121915397}{117669030460994} a^{33} + \frac{954630074}{58834515230497} a^{32} - \frac{292438039}{58834515230497} a^{31} + \frac{1203172945}{117669030460994} a^{30} + \frac{39230469}{58834515230497} a^{29} - \frac{770528450}{58834515230497} a^{28} - \frac{713543751}{58834515230497} a^{27} + \frac{432762001}{58834515230497} a^{26} + \frac{659143493}{58834515230497} a^{25} + \frac{1426266567}{117669030460994} a^{24} + \frac{547858696}{58834515230497} a^{23} - \frac{4852047845206}{58834515230497} a^{22} + \frac{30433306743555}{117669030460994} a^{21} - \frac{28085948056760}{58834515230497} a^{20} + \frac{1806405416799}{117669030460994} a^{19} + \frac{7999881940135}{58834515230497} a^{18} - \frac{5293540951793}{117669030460994} a^{17} + \frac{19507110861928}{58834515230497} a^{16} - \frac{11047132410353}{117669030460994} a^{15} - \frac{6598813883631}{117669030460994} a^{14} + \frac{8557124305631}{117669030460994} a^{13} - \frac{9097245853773}{117669030460994} a^{12} + \frac{30546081595971}{117669030460994} a^{11} + \frac{15628822577782}{58834515230497} a^{10} - \frac{12584670824583}{117669030460994} a^{9} - \frac{5349444303105}{117669030460994} a^{8} - \frac{54055934185355}{117669030460994} a^{7} - \frac{13595691196481}{117669030460994} a^{6} - \frac{19972089349828}{58834515230497} a^{5} + \frac{6022507588269}{117669030460994} a^{4} - \frac{18457604317166}{58834515230497} a^{3} + \frac{57987262035207}{117669030460994} a^{2} + \frac{28187377635029}{58834515230497} a - \frac{54294844921053}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994} a^{43} + \frac{391186998}{58834515230497} a^{33} - \frac{1437124355}{117669030460994} a^{32} + \frac{768132978}{58834515230497} a^{31} + \frac{196114809}{117669030460994} a^{30} - \frac{345905441}{58834515230497} a^{29} + \frac{1267860279}{117669030460994} a^{28} - \frac{332557285}{117669030460994} a^{27} - \frac{685585073}{58834515230497} a^{26} + \frac{975099215}{58834515230497} a^{25} - \frac{872905349}{58834515230497} a^{24} + \frac{949971132}{58834515230497} a^{23} + \frac{288496050837}{117669030460994} a^{22} - \frac{7997590521698}{58834515230497} a^{21} - \frac{37723005960987}{117669030460994} a^{20} - \frac{15910997923128}{58834515230497} a^{19} + \frac{24948159425567}{58834515230497} a^{18} - \frac{11998707844966}{58834515230497} a^{17} + \frac{11643716401220}{58834515230497} a^{16} + \frac{20711034957097}{58834515230497} a^{15} - \frac{16651128833223}{58834515230497} a^{14} + \frac{10220154996531}{58834515230497} a^{13} - \frac{1622937668133}{58834515230497} a^{12} - \frac{8138920764647}{117669030460994} a^{11} - \frac{13382131370907}{58834515230497} a^{10} + \frac{7844726929953}{58834515230497} a^{9} - \frac{17577921853318}{58834515230497} a^{8} + \frac{22964276883760}{58834515230497} a^{7} + \frac{31644694624531}{117669030460994} a^{6} - \frac{29259542748531}{58834515230497} a^{5} - \frac{35995154351015}{117669030460994} a^{4} + \frac{11968825006946}{58834515230497} a^{3} - \frac{7463829660495}{58834515230497} a^{2} - \frac{1349446312586}{58834515230497} a - \frac{248996622482}{58834515230497}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $21$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
An abelian group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$
Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{69}) \), \(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\sqrt{-115}) \), \(\Q(\sqrt{-15}, \sqrt{69})\), \(\Q(\zeta_{23})^+\), \(\Q(\zeta_{69})^+\), 22.0.14844328957686912445797815584548193359375.1, 22.0.1927323443393334271838358868310546875.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $22^{2}$ R R $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/17.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ R $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$ $22^{2}$ $22^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{22}$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{4}$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
23Data not computed