LMFDB - Number field 44.0.116567320065927752512435466812933331534234135648947894549180382317450046539306640625.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561)

gp: K = bnfinit(y^44 - y^43 + 43*y^42 - 39*y^41 + 856*y^40 - 700*y^39 + 10478*y^38 - 7678*y^37 + 88356*y^36 - 57644*y^35 + 545008*y^34 - 314432*y^33 + 2548537*y^32 - 1290809*y^31 + 9238279*y^30 - 4075043*y^29 + 26320891*y^28 - 10020719*y^27 + 59401115*y^26 - 19318239*y^25 + 106508095*y^24 - 29235139*y^23 + 151556799*y^22 - 34552164*y^21 + 170215728*y^20 - 30533255*y^19 + 148629623*y^18 - 11758433*y^17 + 94928616*y^16 + 36112685*y^15 + 30135721*y^14 + 126072207*y^13 - 23633656*y^12 + 220881720*y^11 - 44029406*y^10 + 233441302*y^9 - 35764283*y^8 + 155778230*y^7 - 8938748*y^6 + 18093321*y^5 + 18069001*y^4 + 120313546*y^3 - 192566274*y^2 - 256263936*y + 1026529561, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561)

$ x^{44} - x^{43} + 43 x^{42} - 39 x^{41} + 856 x^{40} - 700 x^{39} + 10478 x^{38} - 7678 x^{37} + 88356 x^{36} - 57644 x^{35} + 545008 x^{34} - 314432 x^{33} + 2548537 x^{32} + \cdots + 1026529561 $ x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$44$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 22]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$116\!\cdots\!625$ 116567320065927752512435466812933331534234135648947894549180382317450046539306640625 $\medspace = 3^{22}\cdot 5^{22}\cdot 23^{42}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$77.25$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Ramified primes:	$3$, $5$, $23$ 3, 5, 23	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$44$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$345=3\cdot 5\cdot 23$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{345}(256,·)$, $\chi_{345}(1,·)$, $\chi_{345}(86,·)$, $\chi_{345}(11,·)$, $\chi_{345}(269,·)$, $\chi_{345}(271,·)$, $\chi_{345}(16,·)$, $\chi_{345}(274,·)$, $\chi_{345}(19,·)$, $\chi_{345}(151,·)$, $\chi_{345}(281,·)$, $\chi_{345}(284,·)$, $\chi_{345}(29,·)$, $\chi_{345}(31,·)$, $\chi_{345}(304,·)$, $\chi_{345}(34,·)$, $\chi_{345}(164,·)$, $\chi_{345}(296,·)$, $\chi_{345}(301,·)$, $\chi_{345}(176,·)$, $\chi_{345}(179,·)$, $\chi_{345}(56,·)$, $\chi_{345}(59,·)$, $\chi_{345}(191,·)$, $\chi_{345}(196,·)$, $\chi_{345}(199,·)$, $\chi_{345}(331,·)$, $\chi_{345}(206,·)$, $\chi_{345}(79,·)$, $\chi_{345}(209,·)$, $\chi_{345}(211,·)$, $\chi_{345}(341,·)$, $\chi_{345}(214,·)$, $\chi_{345}(221,·)$, $\chi_{345}(251,·)$, $\chi_{345}(229,·)$, $\chi_{345}(104,·)$, $\chi_{345}(109,·)$, $\chi_{345}(239,·)$, $\chi_{345}(244,·)$, $\chi_{345}(119,·)$, $\chi_{345}(121,·)$, $\chi_{345}(319,·)$, $\chi_{345}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{2097152}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{28657}a^{23}+\frac{23}{28657}a^{21}+\frac{230}{28657}a^{19}+\frac{1311}{28657}a^{17}+\frac{4692}{28657}a^{15}+\frac{10948}{28657}a^{13}-\frac{11913}{28657}a^{11}-\frac{12212}{28657}a^{9}+\frac{9867}{28657}a^{7}+\frac{3289}{28657}a^{5}+\frac{506}{28657}a^{3}+\frac{23}{28657}a-\frac{10946}{28657}$, $\frac{1}{28657}a^{24}+\frac{23}{28657}a^{22}+\frac{230}{28657}a^{20}+\frac{1311}{28657}a^{18}+\frac{4692}{28657}a^{16}+\frac{10948}{28657}a^{14}-\frac{11913}{28657}a^{12}-\frac{12212}{28657}a^{10}+\frac{9867}{28657}a^{8}+\frac{3289}{28657}a^{6}+\frac{506}{28657}a^{4}+\frac{23}{28657}a^{2}-\frac{10946}{28657}a$, $\frac{1}{28657}a^{25}-\frac{299}{28657}a^{21}-\frac{3979}{28657}a^{19}+\frac{3196}{28657}a^{17}-\frac{10997}{28657}a^{15}-\frac{5804}{28657}a^{13}+\frac{3874}{28657}a^{11}+\frac{4173}{28657}a^{9}+\frac{5604}{28657}a^{7}+\frac{10830}{28657}a^{5}-\frac{11615}{28657}a^{3}-\frac{10946}{28657}a^{2}-\frac{529}{28657}a-\frac{6155}{28657}$, $\frac{1}{28657}a^{26}-\frac{299}{28657}a^{22}-\frac{3979}{28657}a^{20}+\frac{3196}{28657}a^{18}-\frac{10997}{28657}a^{16}-\frac{5804}{28657}a^{14}+\frac{3874}{28657}a^{12}+\frac{4173}{28657}a^{10}+\frac{5604}{28657}a^{8}+\frac{10830}{28657}a^{6}-\frac{11615}{28657}a^{4}-\frac{10946}{28657}a^{3}-\frac{529}{28657}a^{2}-\frac{6155}{28657}a$, $\frac{1}{28657}a^{27}+\frac{2898}{28657}a^{21}-\frac{14005}{28657}a^{19}+\frac{8451}{28657}a^{17}-\frac{7089}{28657}a^{15}+\frac{10428}{28657}a^{13}-\frac{4346}{28657}a^{11}-\frac{6345}{28657}a^{9}+\frac{9392}{28657}a^{7}-\frac{2542}{28657}a^{5}-\frac{10946}{28657}a^{4}+\frac{7480}{28657}a^{3}-\frac{6155}{28657}a^{2}+\frac{6877}{28657}a-\frac{5956}{28657}$, $\frac{1}{28657}a^{28}+\frac{2898}{28657}a^{22}-\frac{14005}{28657}a^{20}+\frac{8451}{28657}a^{18}-\frac{7089}{28657}a^{16}+\frac{10428}{28657}a^{14}-\frac{4346}{28657}a^{12}-\frac{6345}{28657}a^{10}+\frac{9392}{28657}a^{8}-\frac{2542}{28657}a^{6}-\frac{10946}{28657}a^{5}+\frac{7480}{28657}a^{4}-\frac{6155}{28657}a^{3}+\frac{6877}{28657}a^{2}-\frac{5956}{28657}a$, $\frac{1}{28657}a^{29}+\frac{5312}{28657}a^{21}+\frac{1022}{28657}a^{19}+\frac{5014}{28657}a^{17}-\frac{3570}{28657}a^{15}-\frac{8351}{28657}a^{13}-\frac{14156}{28657}a^{11}+\frac{8373}{28657}a^{9}+\frac{2578}{28657}a^{7}-\frac{10946}{28657}a^{6}-\frac{9918}{28657}a^{5}-\frac{6155}{28657}a^{4}+\frac{1996}{28657}a^{3}-\frac{5956}{28657}a^{2}-\frac{9340}{28657}a-\frac{1791}{28657}$, $\frac{1}{28657}a^{30}+\frac{5312}{28657}a^{22}+\frac{1022}{28657}a^{20}+\frac{5014}{28657}a^{18}-\frac{3570}{28657}a^{16}-\frac{8351}{28657}a^{14}-\frac{14156}{28657}a^{12}+\frac{8373}{28657}a^{10}+\frac{2578}{28657}a^{8}-\frac{10946}{28657}a^{7}-\frac{9918}{28657}a^{6}-\frac{6155}{28657}a^{5}+\frac{1996}{28657}a^{4}-\frac{5956}{28657}a^{3}-\frac{9340}{28657}a^{2}-\frac{1791}{28657}a$, $\frac{1}{28657}a^{31}-\frac{6526}{28657}a^{21}-\frac{13152}{28657}a^{19}-\frac{3951}{28657}a^{17}-\frac{665}{28657}a^{15}+\frac{3778}{28657}a^{13}-\frac{13084}{28657}a^{11}-\frac{6726}{28657}a^{9}-\frac{10946}{28657}a^{8}-\frac{9769}{28657}a^{7}-\frac{6155}{28657}a^{6}+\frac{11598}{28657}a^{5}-\frac{5956}{28657}a^{4}-\frac{3454}{28657}a^{3}-\frac{1791}{28657}a^{2}-\frac{7548}{28657}a+\frac{99}{28657}$, $\frac{1}{28657}a^{32}-\frac{6526}{28657}a^{22}-\frac{13152}{28657}a^{20}-\frac{3951}{28657}a^{18}-\frac{665}{28657}a^{16}+\frac{3778}{28657}a^{14}-\frac{13084}{28657}a^{12}-\frac{6726}{28657}a^{10}-\frac{10946}{28657}a^{9}-\frac{9769}{28657}a^{8}-\frac{6155}{28657}a^{7}+\frac{11598}{28657}a^{6}-\frac{5956}{28657}a^{5}-\frac{3454}{28657}a^{4}-\frac{1791}{28657}a^{3}-\frac{7548}{28657}a^{2}+\frac{99}{28657}a$, $\frac{1}{57314}a^{33}-\frac{1}{57314}a^{31}-\frac{1}{57314}a^{30}-\frac{1}{57314}a^{29}-\frac{1}{57314}a^{27}-\frac{1}{57314}a^{26}-\frac{1}{57314}a^{24}-\frac{2518}{28657}a^{22}+\frac{10317}{28657}a^{21}-\frac{12965}{28657}a^{20}-\frac{12157}{28657}a^{19}+\frac{9568}{28657}a^{18}+\frac{5621}{57314}a^{17}-\frac{9391}{28657}a^{16}+\frac{761}{57314}a^{15}+\frac{3207}{57314}a^{14}+\frac{14465}{57314}a^{13}+\frac{22195}{57314}a^{12}+\frac{27063}{57314}a^{11}+\frac{17377}{57314}a^{10}+\frac{23191}{57314}a^{9}+\frac{15399}{57314}a^{8}-\frac{8551}{57314}a^{7}-\frac{21713}{57314}a^{6}-\frac{25173}{57314}a^{5}-\frac{26935}{57314}a^{4}+\frac{9933}{57314}a^{3}+\frac{23847}{57314}a^{2}-\frac{10799}{28657}a+\frac{15953}{57314}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{34}-\frac{484725595}{117669030460994}a^{33}-\frac{1568437177}{117669030460994}a^{32}-\frac{569818714}{58834515230497}a^{31}-\frac{401187488}{58834515230497}a^{30}+\frac{814392385}{117669030460994}a^{29}+\frac{287413409}{117669030460994}a^{28}-\frac{563909086}{58834515230497}a^{27}-\frac{532952199}{117669030460994}a^{26}-\frac{1698654685}{117669030460994}a^{25}-\frac{1442688621}{117669030460994}a^{24}-\frac{294765078}{58834515230497}a^{23}+\frac{27209261255395}{58834515230497}a^{22}+\frac{4801111248409}{58834515230497}a^{21}+\frac{10891066461473}{58834515230497}a^{20}-\frac{14859054580919}{58834515230497}a^{19}-\frac{30011264745749}{117669030460994}a^{18}+\frac{267071520501}{117669030460994}a^{17}+\frac{32251620577661}{117669030460994}a^{16}+\frac{16375674684463}{58834515230497}a^{15}+\frac{20238030995223}{58834515230497}a^{14}-\frac{6954696579339}{58834515230497}a^{13}-\frac{14522679185815}{58834515230497}a^{12}-\frac{6157330695185}{58834515230497}a^{11}+\frac{19728551592602}{58834515230497}a^{10}+\frac{17765838553212}{58834515230497}a^{9}-\frac{11125446285050}{58834515230497}a^{8}-\frac{3214632603253}{58834515230497}a^{7}-\frac{15064732083598}{58834515230497}a^{6}+\frac{17097450253339}{58834515230497}a^{5}-\frac{3202065823854}{58834515230497}a^{4}+\frac{6395032149385}{58834515230497}a^{3}-\frac{5787290835491}{117669030460994}a^{2}+\frac{12795556282539}{117669030460994}a-\frac{48378285179085}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{35}+\frac{39639}{117669030460994}a^{33}+\frac{1568165765}{117669030460994}a^{32}-\frac{1566873403}{117669030460994}a^{31}-\frac{330144767}{58834515230497}a^{30}-\frac{1260152859}{117669030460994}a^{29}+\frac{907610471}{117669030460994}a^{28}+\frac{136755129}{58834515230497}a^{27}-\frac{395711547}{117669030460994}a^{26}+\frac{497541660}{58834515230497}a^{25}+\frac{222765882}{58834515230497}a^{24}-\frac{107233312}{58834515230497}a^{23}+\frac{21526042678700}{58834515230497}a^{22}+\frac{3261663059129}{58834515230497}a^{21}+\frac{2868013190361}{58834515230497}a^{20}-\frac{35907021155005}{117669030460994}a^{19}+\frac{28222402146835}{58834515230497}a^{18}-\frac{46516896798009}{117669030460994}a^{17}+\frac{17978206507993}{117669030460994}a^{16}+\frac{48847105077343}{117669030460994}a^{15}-\frac{54074294928501}{117669030460994}a^{14}-\frac{9646517459797}{117669030460994}a^{13}+\frac{58541832198639}{117669030460994}a^{12}+\frac{10444830526653}{117669030460994}a^{11}+\frac{47864101400059}{117669030460994}a^{10}-\frac{28633240268773}{117669030460994}a^{9}-\frac{10978329714077}{117669030460994}a^{8}+\frac{30104982634689}{117669030460994}a^{7}+\frac{46907559502905}{117669030460994}a^{6}+\frac{19738492500763}{117669030460994}a^{5}+\frac{25878110711793}{117669030460994}a^{4}-\frac{28010142203431}{58834515230497}a^{3}-\frac{38327685895815}{117669030460994}a^{2}+\frac{25098293550611}{58834515230497}a-\frac{21707628580571}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{36}+\frac{1025712531}{117669030460994}a^{33}-\frac{510958211}{58834515230497}a^{32}-\frac{32120405}{117669030460994}a^{31}+\frac{71338697}{58834515230497}a^{30}-\frac{543579061}{117669030460994}a^{29}+\frac{1971512457}{117669030460994}a^{28}-\frac{86775707}{58834515230497}a^{27}-\frac{672057365}{58834515230497}a^{26}+\frac{1291658163}{117669030460994}a^{25}-\frac{721017130}{58834515230497}a^{24}-\frac{48735754}{58834515230497}a^{23}-\frac{24310693116032}{58834515230497}a^{22}-\frac{19902198626092}{58834515230497}a^{21}-\frac{42916210065839}{117669030460994}a^{20}-\frac{6646334487287}{58834515230497}a^{19}-\frac{22384704024872}{58834515230497}a^{18}+\frac{55049724978297}{117669030460994}a^{17}+\frac{22232566732089}{58834515230497}a^{16}-\frac{5931852666390}{58834515230497}a^{15}-\frac{3018019257300}{58834515230497}a^{14}+\frac{9922217694719}{58834515230497}a^{13}+\frac{555167399235}{58834515230497}a^{12}-\frac{7550880009596}{58834515230497}a^{11}-\frac{9151280858357}{58834515230497}a^{10}+\frac{7577057984707}{58834515230497}a^{9}+\frac{9342606081058}{58834515230497}a^{8}+\frac{3908953741088}{58834515230497}a^{7}-\frac{21569022295183}{58834515230497}a^{6}-\frac{14024884430213}{58834515230497}a^{5}+\frac{45362806612009}{117669030460994}a^{4}-\frac{22821077043348}{58834515230497}a^{3}-\frac{24957971435416}{58834515230497}a^{2}+\frac{15168745589679}{117669030460994}a+\frac{8452445334296}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{37}-\frac{733007}{58834515230497}a^{33}-\frac{268270998}{58834515230497}a^{32}+\frac{488667035}{117669030460994}a^{31}-\frac{104023611}{58834515230497}a^{30}+\frac{1458401001}{117669030460994}a^{29}-\frac{762374147}{117669030460994}a^{28}-\frac{1907410221}{117669030460994}a^{27}-\frac{2041512257}{117669030460994}a^{26}+\frac{137860125}{117669030460994}a^{25}-\frac{779825450}{58834515230497}a^{24}-\frac{137230288}{58834515230497}a^{23}+\frac{951783240745}{58834515230497}a^{22}+\frac{24089271209455}{117669030460994}a^{21}+\frac{13814147092743}{58834515230497}a^{20}+\frac{4734653309830}{58834515230497}a^{19}+\frac{21603208635426}{58834515230497}a^{18}+\frac{7910719119316}{58834515230497}a^{17}-\frac{2368855587115}{117669030460994}a^{16}+\frac{7031696844011}{117669030460994}a^{15}+\frac{26840381455845}{117669030460994}a^{14}-\frac{54832171362343}{117669030460994}a^{13}+\frac{11070800700029}{117669030460994}a^{12}+\frac{33687505119985}{117669030460994}a^{11}+\frac{30984328622439}{117669030460994}a^{10}+\frac{52700032922135}{117669030460994}a^{9}-\frac{9768599862601}{117669030460994}a^{8}+\frac{38604486494923}{117669030460994}a^{7}-\frac{30915323240443}{117669030460994}a^{6}+\frac{14766744390466}{58834515230497}a^{5}-\frac{10438909118253}{117669030460994}a^{4}-\frac{52260107898563}{117669030460994}a^{3}+\frac{38476844665415}{117669030460994}a^{2}-\frac{12641163709097}{117669030460994}a+\frac{27641227518419}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{38}+\frac{43285799}{117669030460994}a^{33}+\frac{1934456201}{117669030460994}a^{32}-\frac{552345681}{117669030460994}a^{31}-\frac{765791659}{58834515230497}a^{30}+\frac{282035738}{58834515230497}a^{29}+\frac{850568675}{117669030460994}a^{28}+\frac{548045935}{58834515230497}a^{27}-\frac{507528890}{58834515230497}a^{26}+\frac{422836109}{58834515230497}a^{25}-\frac{22747579}{117669030460994}a^{24}-\frac{630403290}{58834515230497}a^{23}-\frac{53319931378741}{117669030460994}a^{22}-\frac{24660725271053}{58834515230497}a^{21}-\frac{8333714329784}{58834515230497}a^{20}-\frac{11210942511752}{58834515230497}a^{19}-\frac{179358452604}{429449016281}a^{18}-\frac{1913247610420}{58834515230497}a^{17}+\frac{1876902249541}{117669030460994}a^{16}-\frac{24324914160481}{58834515230497}a^{15}+\frac{27146958436255}{58834515230497}a^{14}-\frac{8390621378704}{58834515230497}a^{13}+\frac{1831972664085}{58834515230497}a^{12}+\frac{8559107131375}{58834515230497}a^{11}-\frac{13952793828626}{58834515230497}a^{10}-\frac{24883074188258}{58834515230497}a^{9}+\frac{8649050313734}{58834515230497}a^{8}+\frac{26963340605436}{58834515230497}a^{7}+\frac{52840980599001}{117669030460994}a^{6}+\frac{12216416472387}{58834515230497}a^{5}-\frac{14392182256858}{58834515230497}a^{4}+\frac{18523831012962}{58834515230497}a^{3}+\frac{16237484767357}{58834515230497}a^{2}+\frac{18998333800063}{58834515230497}a+\frac{18284508087329}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{39}+\frac{29355703}{117669030460994}a^{33}-\frac{9065770}{58834515230497}a^{32}+\frac{978075239}{117669030460994}a^{31}-\frac{566567383}{117669030460994}a^{30}-\frac{1685897729}{117669030460994}a^{29}+\frac{2143201}{858898032562}a^{28}+\frac{1463535465}{117669030460994}a^{27}+\frac{75122484}{58834515230497}a^{26}-\frac{887356998}{58834515230497}a^{25}-\frac{835978608}{58834515230497}a^{24}+\frac{1130845599}{117669030460994}a^{23}+\frac{14082156572043}{58834515230497}a^{22}-\frac{19741980306922}{58834515230497}a^{21}+\frac{3452461081352}{58834515230497}a^{20}+\frac{20506552339666}{58834515230497}a^{19}+\frac{33922119470299}{117669030460994}a^{18}+\frac{3155651140671}{117669030460994}a^{17}-\frac{12201967893017}{117669030460994}a^{16}+\frac{40117926809671}{117669030460994}a^{15}-\frac{25681671001435}{117669030460994}a^{14}-\frac{7493144367815}{117669030460994}a^{13}-\frac{4027616323519}{117669030460994}a^{12}+\frac{37182009576511}{117669030460994}a^{11}-\frac{15352948756021}{117669030460994}a^{10}-\frac{34608832067499}{117669030460994}a^{9}-\frac{25614162233491}{117669030460994}a^{8}+\frac{2331788295535}{58834515230497}a^{7}-\frac{4386829099853}{117669030460994}a^{6}+\frac{808726381921}{117669030460994}a^{5}-\frac{41707853363801}{117669030460994}a^{4}-\frac{308247164693}{858898032562}a^{3}-\frac{23075302611470}{58834515230497}a^{2}+\frac{19077352041144}{58834515230497}a+\frac{18202414910139}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{40}-\frac{648069073}{117669030460994}a^{33}-\frac{165346009}{58834515230497}a^{32}+\frac{235340255}{117669030460994}a^{31}+\frac{606436987}{117669030460994}a^{30}-\frac{116635017}{58834515230497}a^{29}+\frac{905773922}{58834515230497}a^{28}+\frac{634333198}{58834515230497}a^{27}-\frac{412878645}{117669030460994}a^{26}-\frac{116812185}{117669030460994}a^{25}-\frac{92957174}{58834515230497}a^{24}-\frac{180914246}{58834515230497}a^{23}-\frac{2390631787874}{58834515230497}a^{22}+\frac{1169789197074}{58834515230497}a^{21}-\frac{10936305905011}{58834515230497}a^{20}+\frac{32989068883359}{117669030460994}a^{19}+\frac{9334195784156}{58834515230497}a^{18}+\frac{8398110279077}{58834515230497}a^{17}+\frac{10088508245314}{58834515230497}a^{16}-\frac{38676075674223}{117669030460994}a^{15}-\frac{23030509178373}{117669030460994}a^{14}-\frac{9747642416937}{117669030460994}a^{13}+\frac{38170772681953}{117669030460994}a^{12}+\frac{26742254113419}{117669030460994}a^{11}+\frac{25593043217681}{117669030460994}a^{10}+\frac{27253869071903}{117669030460994}a^{9}-\frac{16887741752103}{58834515230497}a^{8}-\frac{51979410756235}{117669030460994}a^{7}-\frac{24881674445153}{117669030460994}a^{6}+\frac{33784540099325}{117669030460994}a^{5}+\frac{2192861544827}{117669030460994}a^{4}+\frac{23874322097675}{58834515230497}a^{3}-\frac{54512938965471}{117669030460994}a^{2}-\frac{30625618239915}{117669030460994}a+\frac{38936778420327}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{41}-\frac{211139955}{58834515230497}a^{33}-\frac{346118249}{58834515230497}a^{32}-\frac{407577694}{58834515230497}a^{31}-\frac{879040069}{117669030460994}a^{30}-\frac{981487042}{58834515230497}a^{29}-\frac{778358085}{117669030460994}a^{28}-\frac{65824180}{58834515230497}a^{27}-\frac{84628549}{117669030460994}a^{26}-\frac{915104379}{117669030460994}a^{25}-\frac{52216636}{58834515230497}a^{24}+\frac{397127723}{58834515230497}a^{23}+\frac{9022964205826}{58834515230497}a^{22}+\frac{18723693453715}{58834515230497}a^{21}-\frac{48559943451147}{117669030460994}a^{20}+\frac{7357987880914}{58834515230497}a^{19}-\frac{40064405091063}{117669030460994}a^{18}+\frac{26723723302298}{58834515230497}a^{17}+\frac{25832401585442}{58834515230497}a^{16}-\frac{14251650874058}{58834515230497}a^{15}+\frac{18204326328606}{58834515230497}a^{14}-\frac{27803744202228}{58834515230497}a^{13}+\frac{18021028911835}{58834515230497}a^{12}+\frac{27659712385265}{58834515230497}a^{11}-\frac{8155948516}{58834515230497}a^{10}+\frac{3525048953767}{117669030460994}a^{9}+\frac{25820148242008}{58834515230497}a^{8}+\frac{11078931645592}{58834515230497}a^{7}+\frac{9917579752639}{58834515230497}a^{6}+\frac{10148265526085}{58834515230497}a^{5}+\frac{32270128839525}{117669030460994}a^{4}+\frac{28413133836317}{58834515230497}a^{3}-\frac{20490821908101}{117669030460994}a^{2}-\frac{2186273147753}{58834515230497}a-\frac{9564320593853}{58834515230497}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{42}+\frac{121915397}{117669030460994}a^{33}+\frac{954630074}{58834515230497}a^{32}-\frac{292438039}{58834515230497}a^{31}+\frac{1203172945}{117669030460994}a^{30}+\frac{39230469}{58834515230497}a^{29}-\frac{770528450}{58834515230497}a^{28}-\frac{713543751}{58834515230497}a^{27}+\frac{432762001}{58834515230497}a^{26}+\frac{659143493}{58834515230497}a^{25}+\frac{1426266567}{117669030460994}a^{24}+\frac{547858696}{58834515230497}a^{23}-\frac{4852047845206}{58834515230497}a^{22}+\frac{30433306743555}{117669030460994}a^{21}-\frac{28085948056760}{58834515230497}a^{20}+\frac{1806405416799}{117669030460994}a^{19}+\frac{7999881940135}{58834515230497}a^{18}-\frac{5293540951793}{117669030460994}a^{17}+\frac{19507110861928}{58834515230497}a^{16}-\frac{11047132410353}{117669030460994}a^{15}-\frac{6598813883631}{117669030460994}a^{14}+\frac{8557124305631}{117669030460994}a^{13}-\frac{9097245853773}{117669030460994}a^{12}+\frac{30546081595971}{117669030460994}a^{11}+\frac{15628822577782}{58834515230497}a^{10}-\frac{12584670824583}{117669030460994}a^{9}-\frac{5349444303105}{117669030460994}a^{8}-\frac{54055934185355}{117669030460994}a^{7}-\frac{13595691196481}{117669030460994}a^{6}-\frac{19972089349828}{58834515230497}a^{5}+\frac{6022507588269}{117669030460994}a^{4}-\frac{18457604317166}{58834515230497}a^{3}+\frac{57987262035207}{117669030460994}a^{2}+\frac{28187377635029}{58834515230497}a-\frac{54294844921053}{117669030460994}$, $\frac{1}{117669030460994}a^{43}+\frac{391186998}{58834515230497}a^{33}-\frac{1437124355}{117669030460994}a^{32}+\frac{768132978}{58834515230497}a^{31}+\frac{196114809}{117669030460994}a^{30}-\frac{345905441}{58834515230497}a^{29}+\frac{1267860279}{117669030460994}a^{28}-\frac{332557285}{117669030460994}a^{27}-\frac{685585073}{58834515230497}a^{26}+\frac{975099215}{58834515230497}a^{25}-\frac{872905349}{58834515230497}a^{24}+\frac{949971132}{58834515230497}a^{23}+\frac{288496050837}{117669030460994}a^{22}-\frac{7997590521698}{58834515230497}a^{21}-\frac{37723005960987}{117669030460994}a^{20}-\frac{15910997923128}{58834515230497}a^{19}+\frac{24948159425567}{58834515230497}a^{18}-\frac{11998707844966}{58834515230497}a^{17}+\frac{11643716401220}{58834515230497}a^{16}+\frac{20711034957097}{58834515230497}a^{15}-\frac{16651128833223}{58834515230497}a^{14}+\frac{10220154996531}{58834515230497}a^{13}-\frac{1622937668133}{58834515230497}a^{12}-\frac{8138920764647}{117669030460994}a^{11}-\frac{13382131370907}{58834515230497}a^{10}+\frac{7844726929953}{58834515230497}a^{9}-\frac{17577921853318}{58834515230497}a^{8}+\frac{22964276883760}{58834515230497}a^{7}+\frac{31644694624531}{117669030460994}a^{6}-\frac{29259542748531}{58834515230497}a^{5}-\frac{35995154351015}{117669030460994}a^{4}+\frac{11968825006946}{58834515230497}a^{3}-\frac{7463829660495}{58834515230497}a^{2}-\frac{1349446312586}{58834515230497}a-\frac{248996622482}{58834515230497}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, a^18, a^19, a^20, a^21, a^22, 1/28657*a^23 + 23/28657*a^21 + 230/28657*a^19 + 1311/28657*a^17 + 4692/28657*a^15 + 10948/28657*a^13 - 11913/28657*a^11 - 12212/28657*a^9 + 9867/28657*a^7 + 3289/28657*a^5 + 506/28657*a^3 + 23/28657*a - 10946/28657, 1/28657*a^24 + 23/28657*a^22 + 230/28657*a^20 + 1311/28657*a^18 + 4692/28657*a^16 + 10948/28657*a^14 - 11913/28657*a^12 - 12212/28657*a^10 + 9867/28657*a^8 + 3289/28657*a^6 + 506/28657*a^4 + 23/28657*a^2 - 10946/28657*a, 1/28657*a^25 - 299/28657*a^21 - 3979/28657*a^19 + 3196/28657*a^17 - 10997/28657*a^15 - 5804/28657*a^13 + 3874/28657*a^11 + 4173/28657*a^9 + 5604/28657*a^7 + 10830/28657*a^5 - 11615/28657*a^3 - 10946/28657*a^2 - 529/28657*a - 6155/28657, 1/28657*a^26 - 299/28657*a^22 - 3979/28657*a^20 + 3196/28657*a^18 - 10997/28657*a^16 - 5804/28657*a^14 + 3874/28657*a^12 + 4173/28657*a^10 + 5604/28657*a^8 + 10830/28657*a^6 - 11615/28657*a^4 - 10946/28657*a^3 - 529/28657*a^2 - 6155/28657*a, 1/28657*a^27 + 2898/28657*a^21 - 14005/28657*a^19 + 8451/28657*a^17 - 7089/28657*a^15 + 10428/28657*a^13 - 4346/28657*a^11 - 6345/28657*a^9 + 9392/28657*a^7 - 2542/28657*a^5 - 10946/28657*a^4 + 7480/28657*a^3 - 6155/28657*a^2 + 6877/28657*a - 5956/28657, 1/28657*a^28 + 2898/28657*a^22 - 14005/28657*a^20 + 8451/28657*a^18 - 7089/28657*a^16 + 10428/28657*a^14 - 4346/28657*a^12 - 6345/28657*a^10 + 9392/28657*a^8 - 2542/28657*a^6 - 10946/28657*a^5 + 7480/28657*a^4 - 6155/28657*a^3 + 6877/28657*a^2 - 5956/28657*a, 1/28657*a^29 + 5312/28657*a^21 + 1022/28657*a^19 + 5014/28657*a^17 - 3570/28657*a^15 - 8351/28657*a^13 - 14156/28657*a^11 + 8373/28657*a^9 + 2578/28657*a^7 - 10946/28657*a^6 - 9918/28657*a^5 - 6155/28657*a^4 + 1996/28657*a^3 - 5956/28657*a^2 - 9340/28657*a - 1791/28657, 1/28657*a^30 + 5312/28657*a^22 + 1022/28657*a^20 + 5014/28657*a^18 - 3570/28657*a^16 - 8351/28657*a^14 - 14156/28657*a^12 + 8373/28657*a^10 + 2578/28657*a^8 - 10946/28657*a^7 - 9918/28657*a^6 - 6155/28657*a^5 + 1996/28657*a^4 - 5956/28657*a^3 - 9340/28657*a^2 - 1791/28657*a, 1/28657*a^31 - 6526/28657*a^21 - 13152/28657*a^19 - 3951/28657*a^17 - 665/28657*a^15 + 3778/28657*a^13 - 13084/28657*a^11 - 6726/28657*a^9 - 10946/28657*a^8 - 9769/28657*a^7 - 6155/28657*a^6 + 11598/28657*a^5 - 5956/28657*a^4 - 3454/28657*a^3 - 1791/28657*a^2 - 7548/28657*a + 99/28657, 1/28657*a^32 - 6526/28657*a^22 - 13152/28657*a^20 - 3951/28657*a^18 - 665/28657*a^16 + 3778/28657*a^14 - 13084/28657*a^12 - 6726/28657*a^10 - 10946/28657*a^9 - 9769/28657*a^8 - 6155/28657*a^7 + 11598/28657*a^6 - 5956/28657*a^5 - 3454/28657*a^4 - 1791/28657*a^3 - 7548/28657*a^2 + 99/28657*a, 1/57314*a^33 - 1/57314*a^31 - 1/57314*a^30 - 1/57314*a^29 - 1/57314*a^27 - 1/57314*a^26 - 1/57314*a^24 - 2518/28657*a^22 + 10317/28657*a^21 - 12965/28657*a^20 - 12157/28657*a^19 + 9568/28657*a^18 + 5621/57314*a^17 - 9391/28657*a^16 + 761/57314*a^15 + 3207/57314*a^14 + 14465/57314*a^13 + 22195/57314*a^12 + 27063/57314*a^11 + 17377/57314*a^10 + 23191/57314*a^9 + 15399/57314*a^8 - 8551/57314*a^7 - 21713/57314*a^6 - 25173/57314*a^5 - 26935/57314*a^4 + 9933/57314*a^3 + 23847/57314*a^2 - 10799/28657*a + 15953/57314, 1/117669030460994*a^34 - 484725595/117669030460994*a^33 - 1568437177/117669030460994*a^32 - 569818714/58834515230497*a^31 - 401187488/58834515230497*a^30 + 814392385/117669030460994*a^29 + 287413409/117669030460994*a^28 - 563909086/58834515230497*a^27 - 532952199/117669030460994*a^26 - 1698654685/117669030460994*a^25 - 1442688621/117669030460994*a^24 - 294765078/58834515230497*a^23 + 27209261255395/58834515230497*a^22 + 4801111248409/58834515230497*a^21 + 10891066461473/58834515230497*a^20 - 14859054580919/58834515230497*a^19 - 30011264745749/117669030460994*a^18 + 267071520501/117669030460994*a^17 + 32251620577661/117669030460994*a^16 + 16375674684463/58834515230497*a^15 + 20238030995223/58834515230497*a^14 - 6954696579339/58834515230497*a^13 - 14522679185815/58834515230497*a^12 - 6157330695185/58834515230497*a^11 + 19728551592602/58834515230497*a^10 + 17765838553212/58834515230497*a^9 - 11125446285050/58834515230497*a^8 - 3214632603253/58834515230497*a^7 - 15064732083598/58834515230497*a^6 + 17097450253339/58834515230497*a^5 - 3202065823854/58834515230497*a^4 + 6395032149385/58834515230497*a^3 - 5787290835491/117669030460994*a^2 + 12795556282539/117669030460994*a - 48378285179085/117669030460994, 1/117669030460994*a^35 + 39639/117669030460994*a^33 + 1568165765/117669030460994*a^32 - 1566873403/117669030460994*a^31 - 330144767/58834515230497*a^30 - 1260152859/117669030460994*a^29 + 907610471/117669030460994*a^28 + 136755129/58834515230497*a^27 - 395711547/117669030460994*a^26 + 497541660/58834515230497*a^25 + 222765882/58834515230497*a^24 - 107233312/58834515230497*a^23 + 21526042678700/58834515230497*a^22 + 3261663059129/58834515230497*a^21 + 2868013190361/58834515230497*a^20 - 35907021155005/117669030460994*a^19 + 28222402146835/58834515230497*a^18 - 46516896798009/117669030460994*a^17 + 17978206507993/117669030460994*a^16 + 48847105077343/117669030460994*a^15 - 54074294928501/117669030460994*a^14 - 9646517459797/117669030460994*a^13 + 58541832198639/117669030460994*a^12 + 10444830526653/117669030460994*a^11 + 47864101400059/117669030460994*a^10 - 28633240268773/117669030460994*a^9 - 10978329714077/117669030460994*a^8 + 30104982634689/117669030460994*a^7 + 46907559502905/117669030460994*a^6 + 19738492500763/117669030460994*a^5 + 25878110711793/117669030460994*a^4 - 28010142203431/58834515230497*a^3 - 38327685895815/117669030460994*a^2 + 25098293550611/58834515230497*a - 21707628580571/58834515230497, 1/117669030460994*a^36 + 1025712531/117669030460994*a^33 - 510958211/58834515230497*a^32 - 32120405/117669030460994*a^31 + 71338697/58834515230497*a^30 - 543579061/117669030460994*a^29 + 1971512457/117669030460994*a^28 - 86775707/58834515230497*a^27 - 672057365/58834515230497*a^26 + 1291658163/117669030460994*a^25 - 721017130/58834515230497*a^24 - 48735754/58834515230497*a^23 - 24310693116032/58834515230497*a^22 - 19902198626092/58834515230497*a^21 - 42916210065839/117669030460994*a^20 - 6646334487287/58834515230497*a^19 - 22384704024872/58834515230497*a^18 + 55049724978297/117669030460994*a^17 + 22232566732089/58834515230497*a^16 - 5931852666390/58834515230497*a^15 - 3018019257300/58834515230497*a^14 + 9922217694719/58834515230497*a^13 + 555167399235/58834515230497*a^12 - 7550880009596/58834515230497*a^11 - 9151280858357/58834515230497*a^10 + 7577057984707/58834515230497*a^9 + 9342606081058/58834515230497*a^8 + 3908953741088/58834515230497*a^7 - 21569022295183/58834515230497*a^6 - 14024884430213/58834515230497*a^5 + 45362806612009/117669030460994*a^4 - 22821077043348/58834515230497*a^3 - 24957971435416/58834515230497*a^2 + 15168745589679/117669030460994*a + 8452445334296/58834515230497, 1/117669030460994*a^37 - 733007/58834515230497*a^33 - 268270998/58834515230497*a^32 + 488667035/117669030460994*a^31 - 104023611/58834515230497*a^30 + 1458401001/117669030460994*a^29 - 762374147/117669030460994*a^28 - 1907410221/117669030460994*a^27 - 2041512257/117669030460994*a^26 + 137860125/117669030460994*a^25 - 779825450/58834515230497*a^24 - 137230288/58834515230497*a^23 + 951783240745/58834515230497*a^22 + 24089271209455/117669030460994*a^21 + 13814147092743/58834515230497*a^20 + 4734653309830/58834515230497*a^19 + 21603208635426/58834515230497*a^18 + 7910719119316/58834515230497*a^17 - 2368855587115/117669030460994*a^16 + 7031696844011/117669030460994*a^15 + 26840381455845/117669030460994*a^14 - 54832171362343/117669030460994*a^13 + 11070800700029/117669030460994*a^12 + 33687505119985/117669030460994*a^11 + 30984328622439/117669030460994*a^10 + 52700032922135/117669030460994*a^9 - 9768599862601/117669030460994*a^8 + 38604486494923/117669030460994*a^7 - 30915323240443/117669030460994*a^6 + 14766744390466/58834515230497*a^5 - 10438909118253/117669030460994*a^4 - 52260107898563/117669030460994*a^3 + 38476844665415/117669030460994*a^2 - 12641163709097/117669030460994*a + 27641227518419/58834515230497, 1/117669030460994*a^38 + 43285799/117669030460994*a^33 + 1934456201/117669030460994*a^32 - 552345681/117669030460994*a^31 - 765791659/58834515230497*a^30 + 282035738/58834515230497*a^29 + 850568675/117669030460994*a^28 + 548045935/58834515230497*a^27 - 507528890/58834515230497*a^26 + 422836109/58834515230497*a^25 - 22747579/117669030460994*a^24 - 630403290/58834515230497*a^23 - 53319931378741/117669030460994*a^22 - 24660725271053/58834515230497*a^21 - 8333714329784/58834515230497*a^20 - 11210942511752/58834515230497*a^19 - 179358452604/429449016281*a^18 - 1913247610420/58834515230497*a^17 + 1876902249541/117669030460994*a^16 - 24324914160481/58834515230497*a^15 + 27146958436255/58834515230497*a^14 - 8390621378704/58834515230497*a^13 + 1831972664085/58834515230497*a^12 + 8559107131375/58834515230497*a^11 - 13952793828626/58834515230497*a^10 - 24883074188258/58834515230497*a^9 + 8649050313734/58834515230497*a^8 + 26963340605436/58834515230497*a^7 + 52840980599001/117669030460994*a^6 + 12216416472387/58834515230497*a^5 - 14392182256858/58834515230497*a^4 + 18523831012962/58834515230497*a^3 + 16237484767357/58834515230497*a^2 + 18998333800063/58834515230497*a + 18284508087329/117669030460994, 1/117669030460994*a^39 + 29355703/117669030460994*a^33 - 9065770/58834515230497*a^32 + 978075239/117669030460994*a^31 - 566567383/117669030460994*a^30 - 1685897729/117669030460994*a^29 + 2143201/858898032562*a^28 + 1463535465/117669030460994*a^27 + 75122484/58834515230497*a^26 - 887356998/58834515230497*a^25 - 835978608/58834515230497*a^24 + 1130845599/117669030460994*a^23 + 14082156572043/58834515230497*a^22 - 19741980306922/58834515230497*a^21 + 3452461081352/58834515230497*a^20 + 20506552339666/58834515230497*a^19 + 33922119470299/117669030460994*a^18 + 3155651140671/117669030460994*a^17 - 12201967893017/117669030460994*a^16 + 40117926809671/117669030460994*a^15 - 25681671001435/117669030460994*a^14 - 7493144367815/117669030460994*a^13 - 4027616323519/117669030460994*a^12 + 37182009576511/117669030460994*a^11 - 15352948756021/117669030460994*a^10 - 34608832067499/117669030460994*a^9 - 25614162233491/117669030460994*a^8 + 2331788295535/58834515230497*a^7 - 4386829099853/117669030460994*a^6 + 808726381921/117669030460994*a^5 - 41707853363801/117669030460994*a^4 - 308247164693/858898032562*a^3 - 23075302611470/58834515230497*a^2 + 19077352041144/58834515230497*a + 18202414910139/58834515230497, 1/117669030460994*a^40 - 648069073/117669030460994*a^33 - 165346009/58834515230497*a^32 + 235340255/117669030460994*a^31 + 606436987/117669030460994*a^30 - 116635017/58834515230497*a^29 + 905773922/58834515230497*a^28 + 634333198/58834515230497*a^27 - 412878645/117669030460994*a^26 - 116812185/117669030460994*a^25 - 92957174/58834515230497*a^24 - 180914246/58834515230497*a^23 - 2390631787874/58834515230497*a^22 + 1169789197074/58834515230497*a^21 - 10936305905011/58834515230497*a^20 + 32989068883359/117669030460994*a^19 + 9334195784156/58834515230497*a^18 + 8398110279077/58834515230497*a^17 + 10088508245314/58834515230497*a^16 - 38676075674223/117669030460994*a^15 - 23030509178373/117669030460994*a^14 - 9747642416937/117669030460994*a^13 + 38170772681953/117669030460994*a^12 + 26742254113419/117669030460994*a^11 + 25593043217681/117669030460994*a^10 + 27253869071903/117669030460994*a^9 - 16887741752103/58834515230497*a^8 - 51979410756235/117669030460994*a^7 - 24881674445153/117669030460994*a^6 + 33784540099325/117669030460994*a^5 + 2192861544827/117669030460994*a^4 + 23874322097675/58834515230497*a^3 - 54512938965471/117669030460994*a^2 - 30625618239915/117669030460994*a + 38936778420327/117669030460994, 1/117669030460994*a^41 - 211139955/58834515230497*a^33 - 346118249/58834515230497*a^32 - 407577694/58834515230497*a^31 - 879040069/117669030460994*a^30 - 981487042/58834515230497*a^29 - 778358085/117669030460994*a^28 - 65824180/58834515230497*a^27 - 84628549/117669030460994*a^26 - 915104379/117669030460994*a^25 - 52216636/58834515230497*a^24 + 397127723/58834515230497*a^23 + 9022964205826/58834515230497*a^22 + 18723693453715/58834515230497*a^21 - 48559943451147/117669030460994*a^20 + 7357987880914/58834515230497*a^19 - 40064405091063/117669030460994*a^18 + 26723723302298/58834515230497*a^17 + 25832401585442/58834515230497*a^16 - 14251650874058/58834515230497*a^15 + 18204326328606/58834515230497*a^14 - 27803744202228/58834515230497*a^13 + 18021028911835/58834515230497*a^12 + 27659712385265/58834515230497*a^11 - 8155948516/58834515230497*a^10 + 3525048953767/117669030460994*a^9 + 25820148242008/58834515230497*a^8 + 11078931645592/58834515230497*a^7 + 9917579752639/58834515230497*a^6 + 10148265526085/58834515230497*a^5 + 32270128839525/117669030460994*a^4 + 28413133836317/58834515230497*a^3 - 20490821908101/117669030460994*a^2 - 2186273147753/58834515230497*a - 9564320593853/58834515230497, 1/117669030460994*a^42 + 121915397/117669030460994*a^33 + 954630074/58834515230497*a^32 - 292438039/58834515230497*a^31 + 1203172945/117669030460994*a^30 + 39230469/58834515230497*a^29 - 770528450/58834515230497*a^28 - 713543751/58834515230497*a^27 + 432762001/58834515230497*a^26 + 659143493/58834515230497*a^25 + 1426266567/117669030460994*a^24 + 547858696/58834515230497*a^23 - 4852047845206/58834515230497*a^22 + 30433306743555/117669030460994*a^21 - 28085948056760/58834515230497*a^20 + 1806405416799/117669030460994*a^19 + 7999881940135/58834515230497*a^18 - 5293540951793/117669030460994*a^17 + 19507110861928/58834515230497*a^16 - 11047132410353/117669030460994*a^15 - 6598813883631/117669030460994*a^14 + 8557124305631/117669030460994*a^13 - 9097245853773/117669030460994*a^12 + 30546081595971/117669030460994*a^11 + 15628822577782/58834515230497*a^10 - 12584670824583/117669030460994*a^9 - 5349444303105/117669030460994*a^8 - 54055934185355/117669030460994*a^7 - 13595691196481/117669030460994*a^6 - 19972089349828/58834515230497*a^5 + 6022507588269/117669030460994*a^4 - 18457604317166/58834515230497*a^3 + 57987262035207/117669030460994*a^2 + 28187377635029/58834515230497*a - 54294844921053/117669030460994, 1/117669030460994*a^43 + 391186998/58834515230497*a^33 - 1437124355/117669030460994*a^32 + 768132978/58834515230497*a^31 + 196114809/117669030460994*a^30 - 345905441/58834515230497*a^29 + 1267860279/117669030460994*a^28 - 332557285/117669030460994*a^27 - 685585073/58834515230497*a^26 + 975099215/58834515230497*a^25 - 872905349/58834515230497*a^24 + 949971132/58834515230497*a^23 + 288496050837/117669030460994*a^22 - 7997590521698/58834515230497*a^21 - 37723005960987/117669030460994*a^20 - 15910997923128/58834515230497*a^19 + 24948159425567/58834515230497*a^18 - 11998707844966/58834515230497*a^17 + 11643716401220/58834515230497*a^16 + 20711034957097/58834515230497*a^15 - 16651128833223/58834515230497*a^14 + 10220154996531/58834515230497*a^13 - 1622937668133/58834515230497*a^12 - 8138920764647/117669030460994*a^11 - 13382131370907/58834515230497*a^10 + 7844726929953/58834515230497*a^9 - 17577921853318/58834515230497*a^8 + 22964276883760/58834515230497*a^7 + 31644694624531/117669030460994*a^6 - 29259542748531/58834515230497*a^5 - 35995154351015/117669030460994*a^4 + 11968825006946/58834515230497*a^3 - 7463829660495/58834515230497*a^2 - 1349446312586/58834515230497*a - 248996622482/58834515230497

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$21$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	$ -1 $ -1 (order $2$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	not computed	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	not computed	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^44 - x^43 + 43*x^42 - 39*x^41 + 856*x^40 - 700*x^39 + 10478*x^38 - 7678*x^37 + 88356*x^36 - 57644*x^35 + 545008*x^34 - 314432*x^33 + 2548537*x^32 - 1290809*x^31 + 9238279*x^30 - 4075043*x^29 + 26320891*x^28 - 10020719*x^27 + 59401115*x^26 - 19318239*x^25 + 106508095*x^24 - 29235139*x^23 + 151556799*x^22 - 34552164*x^21 + 170215728*x^20 - 30533255*x^19 + 148629623*x^18 - 11758433*x^17 + 94928616*x^16 + 36112685*x^15 + 30135721*x^14 + 126072207*x^13 - 23633656*x^12 + 220881720*x^11 - 44029406*x^10 + 233441302*x^9 - 35764283*x^8 + 155778230*x^7 - 8938748*x^6 + 18093321*x^5 + 18069001*x^4 + 120313546*x^3 - 192566274*x^2 - 256263936*x + 1026529561);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2\times C_{22}$ (as 44T2):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 44

The 44 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{22}$

Character table for $C_2\times C_{22}$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{69}) $, $\Q(\sqrt{-15}) $, $\Q(\sqrt{-115}) $, $\Q(\sqrt{-15}, \sqrt{69})$, $\Q(\zeta_{23})^+$, $\Q(\zeta_{69})^+$, 22.0.14844328957686912445797815584548193359375.1, 22.0.1927323443393334271838358868310546875.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$22^{2}$	R	R	$22^{2}$	$22^{2}$	$22^{2}$	${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }^{4}$	$22^{2}$	R	$22^{2}$	${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }^{4}$	$22^{2}$	$22^{2}$	$22^{2}$	${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{22}$	${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{4}$	$22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3$ 3		Deg $44$	$2$	$22$	$22$
$5$ 5	5.22.11.2	$x^{22} + 29296875 x^{2} - 146484375$	$2$	$11$	$11$	22T1	$[\ ]_{2}^{11}$
$5$ 5	5.22.11.2	$x^{22} + 29296875 x^{2} - 146484375$	$2$	$11$	$11$	22T1	$[\ ]_{2}^{11}$
$23$ 23	23.22.21.1	$x^{22} + 506$	$22$	$1$	$21$	22T1	$[\ ]_{22}$
$23$ 23	23.22.21.1	$x^{22} + 506$	$22$	$1$	$21$	22T1	$[\ ]_{22}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more