Properties

Label 43.43.1015544873...2009.1
Degree $43$
Signature $[43, 0]$
Discriminant $947^{42}$
Root discriminant $807.48$
Ramified prime $947$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{43}$ (as 43T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![18221685305593614631, 193966087122261586736, -90731765675438007935, -2063406363097082700573, 1408273844297690430983, 6100770874409784770241, -5304980067316890480275, -8188607772821299311768, 8799946070456643867879, 5701308150866478483031, -8037383143222291539220, -1981830512581480780535, 4502348802434562518439, 139804498689687778120, -1650628224018564426381, 166866840849449475306, 413102772817597404709, -79441906767691419891, -72594260758345520281, 19125104314160845818, 9129779342869086290, -2983438147701667253, -832294062829303477, 325598895562519548, 55430418074111539, -25775660913572833, -2705517116526302, 1509193690295722, 96629348183472, -65969924993323, -2510570612339, 2155113502777, 47086072273, -52222121579, -636827636, 921810336, 6368083, -11463758, -49892, 94630, 301, -462, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^43 - x^42 - 462*x^41 + 301*x^40 + 94630*x^39 - 49892*x^38 - 11463758*x^37 + 6368083*x^36 + 921810336*x^35 - 636827636*x^34 - 52222121579*x^33 + 47086072273*x^32 + 2155113502777*x^31 - 2510570612339*x^30 - 65969924993323*x^29 + 96629348183472*x^28 + 1509193690295722*x^27 - 2705517116526302*x^26 - 25775660913572833*x^25 + 55430418074111539*x^24 + 325598895562519548*x^23 - 832294062829303477*x^22 - 2983438147701667253*x^21 + 9129779342869086290*x^20 + 19125104314160845818*x^19 - 72594260758345520281*x^18 - 79441906767691419891*x^17 + 413102772817597404709*x^16 + 166866840849449475306*x^15 - 1650628224018564426381*x^14 + 139804498689687778120*x^13 + 4502348802434562518439*x^12 - 1981830512581480780535*x^11 - 8037383143222291539220*x^10 + 5701308150866478483031*x^9 + 8799946070456643867879*x^8 - 8188607772821299311768*x^7 - 5304980067316890480275*x^6 + 6100770874409784770241*x^5 + 1408273844297690430983*x^4 - 2063406363097082700573*x^3 - 90731765675438007935*x^2 + 193966087122261586736*x + 18221685305593614631)
 
gp: K = bnfinit(x^43 - x^42 - 462*x^41 + 301*x^40 + 94630*x^39 - 49892*x^38 - 11463758*x^37 + 6368083*x^36 + 921810336*x^35 - 636827636*x^34 - 52222121579*x^33 + 47086072273*x^32 + 2155113502777*x^31 - 2510570612339*x^30 - 65969924993323*x^29 + 96629348183472*x^28 + 1509193690295722*x^27 - 2705517116526302*x^26 - 25775660913572833*x^25 + 55430418074111539*x^24 + 325598895562519548*x^23 - 832294062829303477*x^22 - 2983438147701667253*x^21 + 9129779342869086290*x^20 + 19125104314160845818*x^19 - 72594260758345520281*x^18 - 79441906767691419891*x^17 + 413102772817597404709*x^16 + 166866840849449475306*x^15 - 1650628224018564426381*x^14 + 139804498689687778120*x^13 + 4502348802434562518439*x^12 - 1981830512581480780535*x^11 - 8037383143222291539220*x^10 + 5701308150866478483031*x^9 + 8799946070456643867879*x^8 - 8188607772821299311768*x^7 - 5304980067316890480275*x^6 + 6100770874409784770241*x^5 + 1408273844297690430983*x^4 - 2063406363097082700573*x^3 - 90731765675438007935*x^2 + 193966087122261586736*x + 18221685305593614631, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{43} - x^{42} - 462 x^{41} + 301 x^{40} + 94630 x^{39} - 49892 x^{38} - 11463758 x^{37} + 6368083 x^{36} + 921810336 x^{35} - 636827636 x^{34} - 52222121579 x^{33} + 47086072273 x^{32} + 2155113502777 x^{31} - 2510570612339 x^{30} - 65969924993323 x^{29} + 96629348183472 x^{28} + 1509193690295722 x^{27} - 2705517116526302 x^{26} - 25775660913572833 x^{25} + 55430418074111539 x^{24} + 325598895562519548 x^{23} - 832294062829303477 x^{22} - 2983438147701667253 x^{21} + 9129779342869086290 x^{20} + 19125104314160845818 x^{19} - 72594260758345520281 x^{18} - 79441906767691419891 x^{17} + 413102772817597404709 x^{16} + 166866840849449475306 x^{15} - 1650628224018564426381 x^{14} + 139804498689687778120 x^{13} + 4502348802434562518439 x^{12} - 1981830512581480780535 x^{11} - 8037383143222291539220 x^{10} + 5701308150866478483031 x^{9} + 8799946070456643867879 x^{8} - 8188607772821299311768 x^{7} - 5304980067316890480275 x^{6} + 6100770874409784770241 x^{5} + 1408273844297690430983 x^{4} - 2063406363097082700573 x^{3} - 90731765675438007935 x^{2} + 193966087122261586736 x + 18221685305593614631 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $43$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[43, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(101554487341926844216969846221080781237895685553160643066505060271306560421136844000042773102578137815468250505123323781432009=947^{42}\)
magma: Discriminant(K);
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $807.48$
magma: Abs(Discriminant(K))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $947$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(K));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(947\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{947}(1,·)$, $\chi_{947}(131,·)$, $\chi_{947}(900,·)$, $\chi_{947}(902,·)$, $\chi_{947}(904,·)$, $\chi_{947}(523,·)$, $\chi_{947}(140,·)$, $\chi_{947}(142,·)$, $\chi_{947}(400,·)$, $\chi_{947}(914,·)$, $\chi_{947}(660,·)$, $\chi_{947}(277,·)$, $\chi_{947}(22,·)$, $\chi_{947}(793,·)$, $\chi_{947}(538,·)$, $\chi_{947}(283,·)$, $\chi_{947}(412,·)$, $\chi_{947}(541,·)$, $\chi_{947}(30,·)$, $\chi_{947}(927,·)$, $\chi_{947}(544,·)$, $\chi_{947}(41,·)$, $\chi_{947}(940,·)$, $\chi_{947}(301,·)$, $\chi_{947}(49,·)$, $\chi_{947}(58,·)$, $\chi_{947}(315,·)$, $\chi_{947}(609,·)$, $\chi_{947}(329,·)$, $\chi_{947}(472,·)$, $\chi_{947}(347,·)$, $\chi_{947}(604,·)$, $\chi_{947}(221,·)$, $\chi_{947}(734,·)$, $\chi_{947}(737,·)$, $\chi_{947}(484,·)$, $\chi_{947}(231,·)$, $\chi_{947}(860,·)$, $\chi_{947}(239,·)$, $\chi_{947}(115,·)$, $\chi_{947}(507,·)$, $\chi_{947}(636,·)$, $\chi_{947}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{17} a^{15} - \frac{3}{17} a^{14} + \frac{3}{17} a^{13} - \frac{8}{17} a^{12} + \frac{6}{17} a^{11} - \frac{4}{17} a^{10} - \frac{7}{17} a^{9} - \frac{6}{17} a^{8} - \frac{8}{17} a^{7} - \frac{8}{17} a^{6} + \frac{4}{17} a^{5} + \frac{2}{17} a^{4} + \frac{4}{17} a^{3} - \frac{7}{17} a^{2} - \frac{3}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{16} - \frac{6}{17} a^{14} + \frac{1}{17} a^{13} - \frac{1}{17} a^{12} - \frac{3}{17} a^{11} - \frac{2}{17} a^{10} + \frac{7}{17} a^{9} + \frac{8}{17} a^{8} + \frac{2}{17} a^{7} - \frac{3}{17} a^{6} - \frac{3}{17} a^{5} - \frac{7}{17} a^{4} + \frac{5}{17} a^{3} - \frac{7}{17} a^{2} + \frac{8}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{17} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{18} - \frac{1}{17} a^{2}$, $\frac{1}{17} a^{19} - \frac{1}{17} a^{3}$, $\frac{1}{17} a^{20} - \frac{1}{17} a^{4}$, $\frac{1}{17} a^{21} - \frac{1}{17} a^{5}$, $\frac{1}{17} a^{22} - \frac{1}{17} a^{6}$, $\frac{1}{17} a^{23} - \frac{1}{17} a^{7}$, $\frac{1}{17} a^{24} - \frac{1}{17} a^{8}$, $\frac{1}{17} a^{25} - \frac{1}{17} a^{9}$, $\frac{1}{17} a^{26} - \frac{1}{17} a^{10}$, $\frac{1}{289} a^{27} - \frac{5}{289} a^{26} + \frac{6}{289} a^{25} - \frac{4}{289} a^{24} + \frac{4}{289} a^{23} + \frac{3}{289} a^{22} - \frac{4}{289} a^{21} - \frac{5}{289} a^{20} - \frac{1}{289} a^{19} - \frac{5}{289} a^{18} - \frac{2}{289} a^{17} + \frac{7}{289} a^{16} + \frac{8}{289} a^{15} + \frac{2}{289} a^{14} + \frac{133}{289} a^{13} - \frac{37}{289} a^{12} + \frac{60}{289} a^{11} - \frac{58}{289} a^{10} + \frac{72}{289} a^{9} + \frac{12}{289} a^{8} - \frac{71}{289} a^{7} + \frac{133}{289} a^{6} - \frac{87}{289} a^{5} + \frac{6}{289} a^{4} + \frac{6}{17} a^{3} + \frac{121}{289} a^{2} - \frac{3}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{28} - \frac{2}{289} a^{26} - \frac{8}{289} a^{25} + \frac{1}{289} a^{24} + \frac{6}{289} a^{23} - \frac{6}{289} a^{22} - \frac{8}{289} a^{21} + \frac{8}{289} a^{20} + \frac{7}{289} a^{19} + \frac{7}{289} a^{18} - \frac{3}{289} a^{17} - \frac{8}{289} a^{16} + \frac{8}{289} a^{15} - \frac{27}{289} a^{14} - \frac{103}{289} a^{13} - \frac{91}{289} a^{12} - \frac{98}{289} a^{11} + \frac{3}{289} a^{10} - \frac{2}{289} a^{9} + \frac{57}{289} a^{8} - \frac{35}{289} a^{7} - \frac{8}{17} a^{6} - \frac{140}{289} a^{5} + \frac{98}{289} a^{4} - \frac{66}{289} a^{3} - \frac{41}{289} a^{2} + \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{29} - \frac{1}{289} a^{26} - \frac{4}{289} a^{25} - \frac{2}{289} a^{24} + \frac{2}{289} a^{23} - \frac{2}{289} a^{22} - \frac{3}{289} a^{20} + \frac{5}{289} a^{19} + \frac{4}{289} a^{18} + \frac{5}{289} a^{17} + \frac{5}{289} a^{16} + \frac{6}{289} a^{15} - \frac{48}{289} a^{14} - \frac{80}{289} a^{13} - \frac{2}{289} a^{12} - \frac{13}{289} a^{11} + \frac{120}{289} a^{10} - \frac{20}{289} a^{9} + \frac{40}{289} a^{8} + \frac{130}{289} a^{7} + \frac{41}{289} a^{6} + \frac{43}{289} a^{5} + \frac{99}{289} a^{4} - \frac{143}{289} a^{3} - \frac{47}{289} a^{2} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{30} + \frac{8}{289} a^{26} + \frac{4}{289} a^{25} - \frac{2}{289} a^{24} + \frac{2}{289} a^{23} + \frac{3}{289} a^{22} - \frac{7}{289} a^{21} + \frac{3}{289} a^{19} + \frac{3}{289} a^{17} - \frac{4}{289} a^{16} - \frac{6}{289} a^{15} - \frac{78}{289} a^{14} - \frac{73}{289} a^{13} - \frac{16}{289} a^{12} - \frac{143}{289} a^{11} + \frac{92}{289} a^{10} + \frac{44}{289} a^{9} + \frac{91}{289} a^{8} - \frac{47}{289} a^{7} - \frac{45}{289} a^{6} - \frac{90}{289} a^{5} + \frac{50}{289} a^{4} + \frac{106}{289} a^{3} - \frac{15}{289} a^{2}$, $\frac{1}{289} a^{31} - \frac{7}{289} a^{26} + \frac{1}{289} a^{25} + \frac{5}{289} a^{23} + \frac{3}{289} a^{22} - \frac{2}{289} a^{21} - \frac{8}{289} a^{20} + \frac{8}{289} a^{19} - \frac{8}{289} a^{18} - \frac{5}{289} a^{17} + \frac{6}{289} a^{16} - \frac{6}{289} a^{15} - \frac{38}{289} a^{14} - \frac{26}{289} a^{13} - \frac{8}{17} a^{12} - \frac{65}{289} a^{11} - \frac{121}{289} a^{10} + \frac{144}{289} a^{9} - \frac{92}{289} a^{8} + \frac{115}{289} a^{7} + \frac{121}{289} a^{6} - \frac{36}{289} a^{5} - \frac{95}{289} a^{4} + \frac{53}{289} a^{3} - \frac{33}{289} a^{2} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{32} + \frac{8}{289} a^{25} - \frac{6}{289} a^{24} - \frac{3}{289} a^{23} + \frac{2}{289} a^{22} - \frac{2}{289} a^{21} + \frac{7}{289} a^{20} + \frac{2}{289} a^{19} - \frac{6}{289} a^{18} - \frac{8}{289} a^{17} - \frac{8}{289} a^{16} + \frac{1}{289} a^{15} + \frac{56}{289} a^{14} + \frac{115}{289} a^{13} - \frac{137}{289} a^{12} + \frac{61}{289} a^{11} - \frac{126}{289} a^{10} - \frac{81}{289} a^{9} - \frac{124}{289} a^{8} - \frac{19}{289} a^{7} + \frac{45}{289} a^{6} - \frac{75}{289} a^{5} + \frac{95}{289} a^{4} + \frac{52}{289} a^{3} + \frac{116}{289} a^{2} - \frac{8}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{33} - \frac{3}{4913} a^{32} + \frac{6}{4913} a^{30} + \frac{3}{4913} a^{29} - \frac{8}{4913} a^{27} - \frac{43}{4913} a^{26} - \frac{134}{4913} a^{25} + \frac{29}{4913} a^{24} + \frac{14}{4913} a^{23} + \frac{14}{4913} a^{22} - \frac{14}{4913} a^{21} + \frac{80}{4913} a^{20} - \frac{56}{4913} a^{19} + \frac{45}{4913} a^{18} + \frac{14}{4913} a^{17} - \frac{23}{4913} a^{16} - \frac{97}{4913} a^{15} + \frac{2022}{4913} a^{14} + \frac{190}{4913} a^{13} + \frac{904}{4913} a^{12} + \frac{745}{4913} a^{11} - \frac{2288}{4913} a^{10} + \frac{988}{4913} a^{9} - \frac{556}{4913} a^{8} + \frac{472}{4913} a^{7} - \frac{1251}{4913} a^{6} + \frac{1455}{4913} a^{5} + \frac{860}{4913} a^{4} + \frac{694}{4913} a^{3} - \frac{128}{289} a^{2} - \frac{6}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{34} + \frac{8}{4913} a^{32} + \frac{6}{4913} a^{31} + \frac{4}{4913} a^{30} - \frac{8}{4913} a^{29} - \frac{8}{4913} a^{28} + \frac{1}{4913} a^{27} - \frac{144}{4913} a^{26} - \frac{118}{4913} a^{25} + \frac{84}{4913} a^{24} - \frac{80}{4913} a^{23} - \frac{40}{4913} a^{22} + \frac{140}{4913} a^{21} + \frac{14}{4913} a^{20} - \frac{4}{4913} a^{19} - \frac{72}{4913} a^{18} - \frac{100}{4913} a^{17} - \frac{132}{4913} a^{16} - \frac{20}{4913} a^{15} - \frac{88}{289} a^{14} - \frac{1977}{4913} a^{13} - \frac{1949}{4913} a^{12} - \frac{376}{4913} a^{11} - \frac{1405}{4913} a^{10} + \frac{317}{4913} a^{9} + \frac{1643}{4913} a^{8} + \frac{1984}{4913} a^{7} - \frac{2247}{4913} a^{6} - \frac{11}{4913} a^{5} + \frac{163}{4913} a^{4} + \frac{2286}{4913} a^{3} + \frac{74}{289} a^{2} - \frac{5}{17} a$, $\frac{1}{83521} a^{35} - \frac{6}{83521} a^{34} - \frac{8}{83521} a^{33} + \frac{91}{83521} a^{32} - \frac{117}{83521} a^{31} - \frac{26}{83521} a^{30} + \frac{111}{83521} a^{29} - \frac{138}{83521} a^{28} + \frac{114}{83521} a^{27} + \frac{1553}{83521} a^{26} - \frac{1161}{83521} a^{25} - \frac{2153}{83521} a^{24} - \frac{1467}{83521} a^{23} + \frac{1091}{83521} a^{22} - \frac{364}{83521} a^{21} - \frac{1759}{83521} a^{20} - \frac{1362}{83521} a^{19} - \frac{1442}{83521} a^{18} + \frac{2046}{83521} a^{17} + \frac{1140}{83521} a^{16} + \frac{1043}{83521} a^{15} - \frac{33513}{83521} a^{14} + \frac{14965}{83521} a^{13} - \frac{6121}{83521} a^{12} + \frac{7971}{83521} a^{11} - \frac{7192}{83521} a^{10} + \frac{4248}{83521} a^{9} + \frac{36841}{83521} a^{8} - \frac{2697}{83521} a^{7} - \frac{17309}{83521} a^{6} - \frac{29086}{83521} a^{5} - \frac{30744}{83521} a^{4} + \frac{1010}{4913} a^{3} + \frac{42}{289} a^{2} + \frac{5}{17} a$, $\frac{1}{83521} a^{36} + \frac{7}{83521} a^{34} - \frac{8}{83521} a^{33} + \frac{123}{83521} a^{32} - \frac{133}{83521} a^{31} + \frac{142}{83521} a^{30} - \frac{33}{83521} a^{29} + \frac{2}{4913} a^{28} + \frac{95}{83521} a^{27} - \frac{751}{83521} a^{26} + \frac{656}{83521} a^{25} - \frac{309}{83521} a^{24} - \frac{1523}{83521} a^{23} - \frac{1485}{83521} a^{22} - \frac{713}{83521} a^{21} - \frac{1410}{83521} a^{20} + \frac{263}{83521} a^{19} + \frac{1588}{83521} a^{18} + \frac{955}{83521} a^{17} + \frac{2035}{83521} a^{16} + \frac{81}{83521} a^{15} + \frac{31844}{83521} a^{14} + \frac{18525}{83521} a^{13} - \frac{24845}{83521} a^{12} + \frac{28547}{83521} a^{11} - \frac{3986}{83521} a^{10} + \frac{36778}{83521} a^{9} - \frac{18903}{83521} a^{8} + \frac{22524}{83521} a^{7} - \frac{81}{4913} a^{6} - \frac{274}{83521} a^{5} - \frac{8922}{83521} a^{4} + \frac{1911}{4913} a^{3} - \frac{77}{289} a^{2} - \frac{4}{17} a$, $\frac{1}{83521} a^{37} - \frac{8}{83521} a^{33} + \frac{97}{83521} a^{32} - \frac{110}{83521} a^{31} + \frac{47}{83521} a^{30} + \frac{124}{83521} a^{29} - \frac{112}{83521} a^{28} - \frac{87}{83521} a^{27} + \frac{121}{83521} a^{26} - \frac{1838}{83521} a^{25} + \frac{645}{83521} a^{24} - \frac{1229}{83521} a^{23} - \frac{1227}{83521} a^{22} - \frac{1871}{83521} a^{21} - \frac{1993}{83521} a^{20} + \frac{344}{83521} a^{19} - \frac{1854}{83521} a^{18} + \frac{1789}{83521} a^{17} - \frac{1133}{83521} a^{16} - \frac{1722}{83521} a^{15} + \frac{31929}{83521} a^{14} + \frac{7284}{83521} a^{13} + \frac{19765}{83521} a^{12} - \frac{20428}{83521} a^{11} + \frac{20006}{83521} a^{10} - \frac{6904}{83521} a^{9} - \frac{2004}{83521} a^{8} + \frac{35182}{83521} a^{7} + \frac{38184}{83521} a^{6} + \frac{4756}{83521} a^{5} + \frac{33070}{83521} a^{4} + \frac{1226}{4913} a^{3} - \frac{38}{289} a^{2} + \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{83521} a^{38} - \frac{8}{83521} a^{34} - \frac{5}{83521} a^{33} - \frac{93}{83521} a^{32} + \frac{47}{83521} a^{31} + \frac{90}{83521} a^{30} - \frac{129}{83521} a^{29} - \frac{87}{83521} a^{28} + \frac{70}{83521} a^{27} + \frac{1392}{83521} a^{26} - \frac{1871}{83521} a^{25} - \frac{719}{83521} a^{24} + \frac{1391}{83521} a^{23} - \frac{409}{83521} a^{22} - \frac{565}{83521} a^{21} - \frac{1458}{83521} a^{20} + \frac{2413}{83521} a^{19} - \frac{489}{83521} a^{18} - \frac{249}{83521} a^{17} + \frac{913}{83521} a^{16} - \frac{1527}{83521} a^{15} - \frac{35097}{83521} a^{14} + \frac{22349}{83521} a^{13} - \frac{31138}{83521} a^{12} - \frac{15524}{83521} a^{11} + \frac{37466}{83521} a^{10} - \frac{4231}{83521} a^{9} + \frac{9529}{83521} a^{8} + \frac{13449}{83521} a^{7} - \frac{5206}{83521} a^{6} + \frac{40431}{83521} a^{5} + \frac{996}{4913} a^{4} - \frac{1342}{4913} a^{3} + \frac{93}{289} a^{2} - \frac{3}{17} a$, $\frac{1}{1419857} a^{39} + \frac{8}{1419857} a^{38} + \frac{8}{1419857} a^{37} - \frac{3}{1419857} a^{36} - \frac{2}{1419857} a^{35} + \frac{27}{1419857} a^{34} - \frac{8}{83521} a^{33} + \frac{1225}{1419857} a^{32} - \frac{2111}{1419857} a^{31} - \frac{1383}{1419857} a^{30} - \frac{1198}{1419857} a^{29} + \frac{659}{1419857} a^{28} - \frac{2051}{1419857} a^{27} - \frac{22379}{1419857} a^{26} - \frac{5189}{1419857} a^{25} + \frac{18864}{1419857} a^{24} - \frac{10350}{1419857} a^{23} + \frac{2138}{83521} a^{22} - \frac{37175}{1419857} a^{21} - \frac{39339}{1419857} a^{20} + \frac{28909}{1419857} a^{19} - \frac{32375}{1419857} a^{18} + \frac{604}{83521} a^{17} - \frac{4762}{1419857} a^{16} + \frac{37661}{1419857} a^{15} - \frac{582043}{1419857} a^{14} + \frac{48891}{1419857} a^{13} + \frac{414526}{1419857} a^{12} - \frac{327830}{1419857} a^{11} - \frac{467435}{1419857} a^{10} - \frac{152140}{1419857} a^{9} - \frac{140967}{1419857} a^{8} + \frac{499549}{1419857} a^{7} + \frac{1212}{1419857} a^{6} - \frac{218328}{1419857} a^{5} + \frac{1169}{83521} a^{4} + \frac{345}{4913} a^{3} + \frac{71}{289} a^{2} - \frac{3}{17} a$, $\frac{1}{10451567377} a^{40} + \frac{2776}{10451567377} a^{39} + \frac{22543}{10451567377} a^{38} - \frac{44499}{10451567377} a^{37} + \frac{25252}{10451567377} a^{36} + \frac{5626}{10451567377} a^{35} - \frac{1022495}{10451567377} a^{34} - \frac{573545}{10451567377} a^{33} - \frac{13082934}{10451567377} a^{32} + \frac{1337512}{10451567377} a^{31} - \frac{9357028}{10451567377} a^{30} + \frac{16680046}{10451567377} a^{29} - \frac{10412431}{10451567377} a^{28} - \frac{5347426}{10451567377} a^{27} + \frac{14258277}{614798081} a^{26} - \frac{133833837}{10451567377} a^{25} + \frac{144594932}{10451567377} a^{24} + \frac{171036855}{10451567377} a^{23} + \frac{237977156}{10451567377} a^{22} + \frac{222834236}{10451567377} a^{21} - \frac{28457121}{10451567377} a^{20} + \frac{17678833}{614798081} a^{19} + \frac{154833165}{10451567377} a^{18} + \frac{295515}{24137569} a^{17} - \frac{139525091}{10451567377} a^{16} - \frac{174510540}{10451567377} a^{15} + \frac{592487900}{10451567377} a^{14} - \frac{854303515}{10451567377} a^{13} - \frac{3916260790}{10451567377} a^{12} + \frac{3838615711}{10451567377} a^{11} + \frac{4239005660}{10451567377} a^{10} - \frac{4389694966}{10451567377} a^{9} + \frac{3122528903}{10451567377} a^{8} + \frac{1211116747}{10451567377} a^{7} - \frac{2968261569}{10451567377} a^{6} - \frac{1968407518}{10451567377} a^{5} - \frac{54508598}{614798081} a^{4} + \frac{13089726}{36164593} a^{3} + \frac{553258}{2127329} a^{2} + \frac{17951}{125137} a - \frac{2019}{7361}$, $\frac{1}{8037255312913} a^{41} + \frac{131}{8037255312913} a^{40} + \frac{2234601}{8037255312913} a^{39} + \frac{19268630}{8037255312913} a^{38} + \frac{9084108}{8037255312913} a^{37} + \frac{18550159}{8037255312913} a^{36} + \frac{9035803}{8037255312913} a^{35} - \frac{668450171}{8037255312913} a^{34} - \frac{583091295}{8037255312913} a^{33} - \frac{4275324888}{8037255312913} a^{32} + \frac{3801211285}{8037255312913} a^{31} - \frac{8489403640}{8037255312913} a^{30} + \frac{13865130084}{8037255312913} a^{29} + \frac{13144225494}{8037255312913} a^{28} + \frac{12550337137}{8037255312913} a^{27} + \frac{51086660226}{8037255312913} a^{26} - \frac{43089213885}{8037255312913} a^{25} - \frac{206145237835}{8037255312913} a^{24} - \frac{92062393087}{8037255312913} a^{23} + \frac{199631690912}{8037255312913} a^{22} + \frac{124536435192}{8037255312913} a^{21} + \frac{220590600066}{8037255312913} a^{20} - \frac{23718093656}{8037255312913} a^{19} + \frac{110537912134}{8037255312913} a^{18} + \frac{8502823664}{8037255312913} a^{17} + \frac{84175459014}{8037255312913} a^{16} - \frac{5715863722}{8037255312913} a^{15} - \frac{569632670653}{8037255312913} a^{14} + \frac{3350489174460}{8037255312913} a^{13} - \frac{1059564394239}{8037255312913} a^{12} - \frac{2056003284537}{8037255312913} a^{11} + \frac{671506382869}{8037255312913} a^{10} - \frac{3661347524818}{8037255312913} a^{9} - \frac{3498916227405}{8037255312913} a^{8} + \frac{3675928987953}{8037255312913} a^{7} - \frac{3023125607470}{8037255312913} a^{6} - \frac{3617168699574}{8037255312913} a^{5} + \frac{212689746353}{472779724289} a^{4} - \frac{12307433659}{27810572017} a^{3} - \frac{221901950}{1635916001} a^{2} - \frac{32858967}{96230353} a - \frac{224661}{5660609}$, $\frac{1}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{42} - \frac{510457664135545538648000640733617778133563151053643693506635978126459179080384234259190996031367584371442822972354029370840744076386018538056545370634318792353820876265711941610544293746021757029072075661839164361736798976939982086707870884683288803796644846084919613015216534393175912676061999777484461300096459698841332299420444370661906821411294240}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{41} - \frac{96831964567066567851221145393208614779599358257853090362480272834367915089186850322638086582844805210740400260580247205328033496648128084584116509709794384495433343646965793776017161124739687752007862174316583661330032676528330273492141232622753506590000938191948644883921834749184847883010734787706693837592569522340599638500740492184190529711547151974}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{40} - \frac{179684344166286877272415480853117667846002967194530766362588360492584290939033106781915261168454395100169571172009096525685510807947850227829158733491647733465649914170006368981943610060141597752801617435556904942067032021497025740580102182480490669910351983856985359976448023611584545272023716833912259534384480803804401530459554343144347298490200302945236}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{39} - \frac{86609715356887456158683975314285448525889928619445773493951407819988632711040306549938882763322202835791732029572520746081759937385438150692169600182911809203671789403210932581251088653251150449938194705911361338622054213828774905706054404322022389971495387477501865017214106583347737927847268923633922660740911132871685572832420324804846697291763655844350817}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{38} - \frac{96546398740057415469908987355356347345735419141939737635583410911713299089248727067344785979661208215930760199319998783609220268791912918305979671335978596193845808171857066435577112040545415429221069129202064118016622044376872251582892624817383588409149294551960243466171570327176265006411662141095150800954620518017568585481094849419371521376292663459487668}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{37} + \frac{63072596674321913150304665796669234538089079237909491831646601015655918988241890852605313607293499343522090758064434949428509099162661265930553602979529572782640488465248181712966285997122741585535456847440317208097789424588332341180227102113785428090656130048166860389997261079831988384530376037045505962218727020926471312717937486595622209083218485260633226}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{36} - \frac{63792442396956958339036316132843349281633459861309045327915038929070817982287025988780217716516163001042591978471476997691093656051121745584945572012228264375738586633631353357816949430479071172824547433882691803326221665994650551592712694399084437943233593473138566115357943182586121100562832616110016838502392760078445626875519788556312547485486303895599068}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{35} + \frac{1755033817760568879825625319487248856132454304825098922551847786255177094495142066366014142344725605090204395954848006130973746846587927558519532664928867180584749731694805182035108109343774271779317367835997818468775206661965974201137008764578691036638878037276606318470326255204808509296932245049235504060582895127895920117964996125248685447051952330918210816}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{34} + \frac{557096615803097345163333932616230436148171708764251250992575976404739833464917473878678451005531666475074525668206147042237512591764622908983694202139573951164893246576787970574264656025808302834555399949526496672791769689480976538362317553028211754601305716932784971135291751173548455605979293516538623597834544021265526575645373181464938173758928670625736924}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{33} + \frac{3308111108179914149729543870392876366937103317860407352299949211132698941123468513958133233820149930053645062307941854524499182417343552160461887452930059070458518216583238514977092086994230051007963339071059111963917977847184409220851778091065221369638161919150800588639398809547071050733882078700719827262048950715171576545504999332787844179400919092662046014}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{32} + \frac{3003977206678121213664746197718652358961885978590423520263735122143196110818230301354191933972299213556455725986651488406698134129785825434767420769418737453304718339799038196497972234285568218319956374950039869237781525895865986554206841940843478028061727470676627983074207092065795776005923174730719129404626485661609727483475769435670523456265676224080455465}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{31} + \frac{33368077018558969867870319637887164110401691198848651905269325738985874565920125183607710063365691937174029705964671995901460681726646193859355808321107515876671091797405134220822066326275203397795140460508053774211790408901663222920219815191909609700125887339417601885262524039128413829033915246323198012356126778288684491315256906774766090583866373625661211992}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{30} - \frac{21544186500232363039868764874921647359770372481896116486634800183443920059313460113730995529863682322595513440307182448955107186064438544510969102169746230587576706470574993186918495159141076206077998254040431656841489175057765472998240597975033399670765335688093598078810326277008062003571183758134794629184444435048570074090421741420525136141154709165285596240}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{29} - \frac{1889645142406155655962967672693746400771910974189608771726356689316190580682072855423831538010559284167440379043300522728310856193020946095208255573697427786023624485557088815018916548448740765526878024563613427273789098264936136852652447907082765575193306012737048926109896417887950560372296470709827312357098861397853647602884103198772087560590218326464141804}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{28} + \frac{21321908921818931298591684205738472320756054505214055669622160225171653746119958109117520954883896044260934666044333185499641318688544511650770081975663135928399639600885705507186025790325339596861443054017544885900667811040952461353883702680296400619763390128012946597892377512939332592930933831496808907124349021725806141163248942545910143377237297159371111432}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{27} + \frac{309888051669502301181085264159168871359759494701354783695045802991963754220497113338645546146374832131545246491145356812497275839841622572749671268838222513575445626864368662783780691965194086788400137235041701458943827047057074282635371397027693187509933920311266317450399494878526864549993494249676106435281423944589737329774205003811803906414957379027627277926}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{26} - \frac{34288961269243051382872574840287674301255471337730094773745782131378664863265148581254479754202280828534072064150598466549392575389754706520182313952679153578981372815231040204944925381838531191037481772918576557573105986859149859756745637469273166318797293665137868087355290361763456211757098200877529643354277915531861790352142522381434385043619689072635013351}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{25} + \frac{318125559808525496944476647215971467903934404738703140766319873162285950607882139748233470762004624547166611897397620976567591308623664502775102012909560234404188732672800099004593278632499255061468574011504344069958184444493826672019893216853230622171646365427491575307397919460478009399141971839633815335352590418810223744625949139450331067299204054923892900395}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{24} - \frac{327003368685817734847580755103245277572958471708932001452776948256290985211122624037818465224634363782345918644247323492018796863419277936845403657999786516740054405578002035601114716208215063551590703655002681304918046464566490666332268020196346257683724034051464654367293191069818320723178515907722922166080017912399819088763696107049835051848380791426072290754}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{23} - \frac{1877418031917613551180091060427205802065050308057074288392509923825768259778561984765797818853410473648499820881680417607611762292928290856976506065112377497062360757458415753804960120878302210708211349193748865471842357489163795594197131243575523668347589261554193771464407146604820456058993095952472250858960542720034860984096048954660963547743245376406692426}{1142611521489169456440235039786120189350253449668144834145935272797922392506382714614027243313401725836974350481423216061931016706234303983441008767466074270618720613120852405271057113093253088298034493948803741617218718955841168228376554127967673222374182607938081999118389490832824458882534811079175109140786501934956239171084313264639037051254007908297910373017} a^{22} + \frac{208042589315286419613056458856547761498053351129360395522771850129687049029410377038698728695330389457272320199088999638000482661842476634076118986148436947244177308867760048347745820807462447115873640161476323659274645606718147833040393481137330666728207924393258289878380389690226813343593726104955056181505108214263352130169287415027676468697871671585520459857}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{21} - \frac{447485339159987536271822563792518554413815612952733138305974870226540179704352489215273909410791160749490714329551904433585165871573778985520095191999865610998861629248777882822808756328042890829809547428829257538910770697045727475840433368922088339498971146861104882044178747697867368484353694290841440141163406236969553829671861050628304885691227308541651414618}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{20} + \frac{544905233730588772627889507422831673026512989361119587398899413682727465528360158009247809932808421140929853454881587140881021170958244637146201089929682439967917744041951269540092674645087320778230526121805154101496996883313622658709915770228360045987279872323094965128313751777238691858686920251677469066421032969548776663194828305883686845012956190097861808859}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{19} - \frac{35389363278789682602445581160500691269615174625584464536667241184123701051843427162095888140379263748423433009940792359048668202088676891748987771818392485754364025816532590700381661508427273887350814875559598053876662798624020926119317726239600878215772575465512192782393682102373890092666192092634002986388474507913496824738185262724430531892731097230640655003}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{18} - \frac{28721231988209707632570311228260983207127858921143585640016744764317216532403990828466488331396070795141416571437240070711427860795657989757378246893462316819824960496762642507986563242515135942737938360414957424855225794397096329582380294048392199873374543296979715607008934328813180112143791995841534469728631526240099920917306575360600774945277467540889069953}{1142611521489169456440235039786120189350253449668144834145935272797922392506382714614027243313401725836974350481423216061931016706234303983441008767466074270618720613120852405271057113093253088298034493948803741617218718955841168228376554127967673222374182607938081999118389490832824458882534811079175109140786501934956239171084313264639037051254007908297910373017} a^{17} - \frac{87561713157041729779454949799309906820444730832996512673101594431907031972273783061295374682589670616679983726744917572909230670863768787654993493750196825644908742225221676686826473006110305662870858437686503951399637663539127623830251366101728964964050026989802942012557397257120087030931861325079508265895241288644512146871831678286196380515112360327522274274}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{16} + \frac{184554245807080536098949840361913659222398469470549944236223545486287049856581402893703194752948968016095040819549686834807258948205448347021166059764085482641572510487812090933287490112151337698962204191396662240358042990281830460460077429202588797945688015762700861465314942587532861267030528647661918291898984681804478751116714458842991885251630042390754390946}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{15} + \frac{4378766114594150023867791548979393155927347733255910152560294893364342319757128637362559835613580820085994800404488076240947559873041203443148509108918418418033025476857189312893638335362915443461787430976181140755778880099584939120175457442986637293445761452792092357538083660478921859553505178544169625118446391855915492653269619691457608415808860259342715969278}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{14} - \frac{2607068913604099228529735153470588298103901652054494006871679842771625232600208692205411734143525821963166269145370186756636381328123022535887032264970116213365743440573822403744500929251376555885198352435942006802873269970915540169383474413435594406162256193339739035961338499642604629677613189389450251410510122915053867564131868167279319082626449415087987302618}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{13} + \frac{125906732573738855718585490069391028208585847436188477112169220769863743953175854223216877657701052772452341959391600614116155280904333053496183546028720253023191832853853457895875730245258270767655013882131726693745131871783153107617879771620520367061282047862504357286320373534214898180933650910022066793111046337836380303243844602479498142846720267777985856508}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{12} - \frac{8923110874904376451845001309202866980920208675817209421133021799023342913333712166347054259672365095959785098447495197316848560231966449541284886699869723825259933009380195429687008801910595714731457115649435178508537318275572246979638372707282239623143094262109775695043095917731704566052488074483695397369082760943804158486712060122978715230712592064841309076044}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{11} + \frac{4753239214047758603506250033929664347315504873922229828983646852351371388849461409529104896329852239884218323220360752514693459000948902782704092035725087672688831065597809807012397165713871274421880754000272593487924444897767447832635750805610460973256114315499356263626272000089826639031757110452510383712603624639977956792162854435915613131582045885510138773012}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{10} + \frac{1321959118997919470967402129048797387705144393585441481853352967534172508320140028964177326141673253165387585046805057087888037917051306717463337269773845524994232345636139070084046628421906017654877095277293563406858205917006060959168458385003831704159715604972863572339291394100394359969035648623892347898685440758777535996860689064858150618657081112314429277514}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{9} + \frac{9350520131549008797840026189463487053750924234005677144335666794089252522421705909344757070890199768665170095360544533996929506466201612719053841741489690806860856463152258292982234952908150422767956864966870946305263328218396762242104235215779957649232310409712304652318221556601228517150834420771842461269873049516986211235714428731229363837469557636818833963965}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{8} + \frac{9426035774312384755244230930832391842993915853657734023498681073208646815775732755994663378642754403045783617320596086945570290619542766192106005761041784450371792169123329048587556863315013333736258526332135279464316497815039098362601280884599747355095933243191463794641643477681888567567388283929926064636066475475124449409878351029366242061662242017347626145016}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{7} - \frac{4909080199052698318119920789532403262597710062178266642773124825586058335845731670534854039203616905093992239233965507573322551900726979933132809821410559177235570820093950055269091764190156848209704223854539736409001185441758618873499571909369277977031482520970616456423400755201196771074836225343852747101480765543110914119809079569849520770286442392682502173409}{19424395865315880759483995676364043218954308644358462180480899637564680672608506148438463136327829339228563958184194673052827284005983167718497149046923262600518250423054490889607970922585302501066586397129663607492718222249299859882401420175450444780361104334947393985012621344158015801003091788345976855393370532894256065908433325498863629871318134441064476341289} a^{6} - \frac{163201754928492745742282429824551848496337184132544769940407771905950996039766614204585585633959379123259528799192855398801826811750754579897151628248846746587078507433089617750620127417895098344386432534429402156620946968655133351790021655490882396675565755941490484682044255737978499903845622437406482636010949133535586442611581761880597443391045046235388072126}{1142611521489169456440235039786120189350253449668144834145935272797922392506382714614027243313401725836974350481423216061931016706234303983441008767466074270618720613120852405271057113093253088298034493948803741617218718955841168228376554127967673222374182607938081999118389490832824458882534811079175109140786501934956239171084313264639037051254007908297910373017} a^{5} + \frac{1355566236131545897574562344069215207055469553103135414202073664687707429322905335975475947841601435170103927831076933747594858126832906674049052117951193756682733695713597974782451639543417121049312799427166217733675848293802972558510539192491074543672741822564964126436981028268088183448564846865365224012806481451435287068531288647839234050812852617314879082}{3953673084737610575917768303758201347232710898505691467632994023522222811440770638802862433610386594591606749070668567688342618360672332122633248330332436922556126688999489291595353332502605841861711051725964503865808716110177052693344477951445236063578486532657723180340448065165482556686971664633823907061544989394312246266727727559304626474927363004491039353} a^{4} - \frac{382589528670721302389913791176784891577069427417405087746020063224769334868328704906399002149903143526265220851142355190511438310901080372556212801767240364169555046864764809458949200960881018613353264866071708604351792564057866471862079799473499824238313353593599734623215345824767652800068689033698130228570402595289759802186203543453125141929209499946954112}{3953673084737610575917768303758201347232710898505691467632994023522222811440770638802862433610386594591606749070668567688342618360672332122633248330332436922556126688999489291595353332502605841861711051725964503865808716110177052693344477951445236063578486532657723180340448065165482556686971664633823907061544989394312246266727727559304626474927363004491039353} a^{3} - \frac{25258461188228779781124049155630447131654647883117275636233584917588858629591228472004130270173876520881327011871080628684860442370624888996934274937139340166587914284430414076104425294576569292917021608569926208709939997894794791431217424822028619932423419051837329307989582814610154994948137924486326135330769957962211826808556561216570890145259002794142809}{232569004984565327995162841397541255719571229323864203978411413148366047731810037576638966682963917328918044062980503981667212844745431301331367548843084524856242746411734664211491372500153284815394767748586147286224042124128061923137910467732072709622263913685748422372967533245028385687468921449048465121267352317312485074513395738782625086760433117911237609} a^{2} + \frac{3604500492146221859108010498330238961631712918037627347867219408307781208306668239554114199273708180629182948241523069083188202236655305795774084346996740368071976482637020870630746621270117584481330595104626894279002524520776684823771403381931118195874034728247268162900733196435730163976561388854878083953575693079078479988404973944978589400613610980855289}{13680529704974431058538990670443603277621837019050835528141847832256826337165296328037586275468465725230473180175323763627483108514437135372433385226063795579778985083043215541852433676479604989140868691093302781542590713184003642537524145160710159389544936099161671904292207837942846216909936555826380301251020724547793239677258572869566181574143124583013977} a - \frac{84409990060970845869134749838358662873618689792961725254639411114985615512682972427218877019947918024004966381506591527238599373982655579873523607696983092232631936111048083837985280052123109968606025055085165439755285491185876414710816864278749087825427796353770447674290283508703799229580612575286908498779085030294611305728884922483566814391176469307029}{804737041469084179914058274731976663389519824650049148714226343073930961009723313413975663262850925013557245892666103742793124030261007963084316778003752681163469710767247973050143157439976764067109923005488398914270041952000214266913185009453538787620290358774215994370129872820167424524113915048610605955942395561634896451603445462915657739655477916647881}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $42$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{43}$ (as 43T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 43
The 43 conjugacy class representatives for $C_{43}$
Character table for $C_{43}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ ${\href{/LocalNumberField/17.1.0.1}{1} }^{43}$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$ $43$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
947Data not computed