↑

Properties

Label 42.42.1674695227...2149.1
Degree $42$
Signature $[42, 0]$
Discriminant $13^{28}\cdot 29^{39}$
Root discriminant $126.06$
Ramified primes $13, 29$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-107879, -571960, 12164204, 3720322, -388414655, 814683575, 3006481030, -10643885842, -5965591823, 53466062414, -19125495852, -139473915065, 117787901857, 212535946309, -267201269148, -196924452375, 356140677145, 105231273490, -315397570060, -19239281180, 196509341707, -15842255719, -88874277035, 15413835995, 29667112443, -7074099484, -7353114607, 2115174860, 1347796144, -444181623, -179815522, 66963178, 16869732, -7227494, -1033317, 545538, 33459, -27344, 48, 817, -42, -11, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 11*x^41 - 42*x^40 + 817*x^39 + 48*x^38 - 27344*x^37 + 33459*x^36 + 545538*x^35 - 1033317*x^34 - 7227494*x^33 + 16869732*x^32 + 66963178*x^31 - 179815522*x^30 - 444181623*x^29 + 1347796144*x^28 + 2115174860*x^27 - 7353114607*x^26 - 7074099484*x^25 + 29667112443*x^24 + 15413835995*x^23 - 88874277035*x^22 - 15842255719*x^21 + 196509341707*x^20 - 19239281180*x^19 - 315397570060*x^18 + 105231273490*x^17 + 356140677145*x^16 - 196924452375*x^15 - 267201269148*x^14 + 212535946309*x^13 + 117787901857*x^12 - 139473915065*x^11 - 19125495852*x^10 + 53466062414*x^9 - 5965591823*x^8 - 10643885842*x^7 + 3006481030*x^6 + 814683575*x^5 - 388414655*x^4 + 3720322*x^3 + 12164204*x^2 - 571960*x - 107879)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 11*x^41 - 42*x^40 + 817*x^39 + 48*x^38 - 27344*x^37 + 33459*x^36 + 545538*x^35 - 1033317*x^34 - 7227494*x^33 + 16869732*x^32 + 66963178*x^31 - 179815522*x^30 - 444181623*x^29 + 1347796144*x^28 + 2115174860*x^27 - 7353114607*x^26 - 7074099484*x^25 + 29667112443*x^24 + 15413835995*x^23 - 88874277035*x^22 - 15842255719*x^21 + 196509341707*x^20 - 19239281180*x^19 - 315397570060*x^18 + 105231273490*x^17 + 356140677145*x^16 - 196924452375*x^15 - 267201269148*x^14 + 212535946309*x^13 + 117787901857*x^12 - 139473915065*x^11 - 19125495852*x^10 + 53466062414*x^9 - 5965591823*x^8 - 10643885842*x^7 + 3006481030*x^6 + 814683575*x^5 - 388414655*x^4 + 3720322*x^3 + 12164204*x^2 - 571960*x - 107879, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} - 11 x^{41} - 42 x^{40} + 817 x^{39} + 48 x^{38} - 27344 x^{37} + 33459 x^{36} + 545538 x^{35} - 1033317 x^{34} - 7227494 x^{33} + 16869732 x^{32} + 66963178 x^{31} - 179815522 x^{30} - 444181623 x^{29} + 1347796144 x^{28} + 2115174860 x^{27} - 7353114607 x^{26} - 7074099484 x^{25} + 29667112443 x^{24} + 15413835995 x^{23} - 88874277035 x^{22} - 15842255719 x^{21} + 196509341707 x^{20} - 19239281180 x^{19} - 315397570060 x^{18} + 105231273490 x^{17} + 356140677145 x^{16} - 196924452375 x^{15} - 267201269148 x^{14} + 212535946309 x^{13} + 117787901857 x^{12} - 139473915065 x^{11} - 19125495852 x^{10} + 53466062414 x^{9} - 5965591823 x^{8} - 10643885842 x^{7} + 3006481030 x^{6} + 814683575 x^{5} - 388414655 x^{4} + 3720322 x^{3} + 12164204 x^{2} - 571960 x - 107879 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $42$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[42, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(16746952273817622334282787455160968339334295298464789261534322823168437445505135025302149=13^{28}\cdot 29^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $126.06$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 29$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(377=13\cdot 29\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{377}(256,·)$, $\chi_{377}(1,·)$, $\chi_{377}(9,·)$, $\chi_{377}(139,·)$, $\chi_{377}(16,·)$, $\chi_{377}(274,·)$, $\chi_{377}(22,·)$, $\chi_{377}(152,·)$, $\chi_{377}(120,·)$, $\chi_{377}(289,·)$, $\chi_{377}(35,·)$, $\chi_{377}(165,·)$, $\chi_{377}(146,·)$, $\chi_{377}(295,·)$, $\chi_{377}(42,·)$, $\chi_{377}(178,·)$, $\chi_{377}(53,·)$, $\chi_{377}(183,·)$, $\chi_{377}(313,·)$, $\chi_{377}(315,·)$, $\chi_{377}(196,·)$, $\chi_{377}(198,·)$, $\chi_{377}(328,·)$, $\chi_{377}(74,·)$, $\chi_{377}(204,·)$, $\chi_{377}(209,·)$, $\chi_{377}(339,·)$, $\chi_{377}(326,·)$, $\chi_{377}(347,·)$, $\chi_{377}(92,·)$, $\chi_{377}(94,·)$, $\chi_{377}(352,·)$, $\chi_{377}(144,·)$, $\chi_{377}(354,·)$, $\chi_{377}(100,·)$, $\chi_{377}(81,·)$, $\chi_{377}(107,·)$, $\chi_{377}(237,·)$, $\chi_{377}(373,·)$, $\chi_{377}(248,·)$, $\chi_{377}(170,·)$, $\chi_{377}(341,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $\frac{1}{755971} a^{40} + \frac{127594}{755971} a^{39} + \frac{86602}{755971} a^{38} - \frac{104258}{755971} a^{37} + \frac{38825}{755971} a^{36} + \frac{321052}{755971} a^{35} + \frac{143476}{755971} a^{34} - \frac{253914}{755971} a^{33} - \frac{234995}{755971} a^{32} + \frac{340729}{755971} a^{31} - \frac{244556}{755971} a^{30} - \frac{203645}{755971} a^{29} + \frac{159070}{755971} a^{28} + \frac{20331}{755971} a^{27} - \frac{31350}{755971} a^{26} + \frac{126158}{755971} a^{25} - \frac{227399}{755971} a^{24} - \frac{194307}{755971} a^{23} - \frac{341236}{755971} a^{22} - \frac{104981}{755971} a^{21} + \frac{196578}{755971} a^{20} + \frac{32417}{755971} a^{19} + \frac{293820}{755971} a^{18} - \frac{293116}{755971} a^{17} - \frac{326373}{755971} a^{16} - \frac{6578}{755971} a^{15} + \frac{219498}{755971} a^{14} - \frac{133027}{755971} a^{13} - \frac{324450}{755971} a^{12} + \frac{325991}{755971} a^{11} - \frac{231691}{755971} a^{10} + \frac{197207}{755971} a^{9} + \frac{363119}{755971} a^{8} - \frac{244103}{755971} a^{7} + \frac{144276}{755971} a^{6} + \frac{164751}{755971} a^{5} + \frac{174150}{755971} a^{4} - \frac{281742}{755971} a^{3} - \frac{80223}{755971} a^{2} + \frac{319908}{755971} a - \frac{262068}{755971}$, $\frac{1}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{41} + \frac{873083781958250121469137734357564697434561280959686125737973248341680880134551119057548518810291506898137153576984174013291264834054671728049510285855621506322}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{40} - \frac{106428911977454087738366084724527769448136453107030344057173338787577688818874651312870996158397178133951336156494316547042897754361863989626911155154153776621000998911}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{39} - \frac{95186867561478477899157552484654416961397662958267936492366697221053417348018621956597325966753899374231608827693443612796861886289260952470811579926946456310971286073}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{38} - \frac{104427060473614586596236408287367141924499351305921324752025010807933899317186915706610922272564472564036804178895596855142868767435055114224285453570196802236951467636}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{37} - \frac{12500001369812007720622480674762450476930725972932899732846773367631364334072107988234600216756255852160592410208231300631028226567626994209568693116856188142739075209}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{36} + \frac{37521119340700725404053935839625491835408157114679706207849170948673268250853382985261269267128175236036805226711877629154599216140208535959564211657261208666888488970}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{35} + \frac{29892873567028031457820581059730479056224004583670440635554658773703328036339021560028369853244219635421695376059141353914141383201926652690197779545420612132739556723}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{34} - \frac{30361485880321057002761086659528980423409648462680683703936634693926415781962351933015327245288336422869046122345163023303607969461884578802089375834699196801468539431}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{33} - \frac{113017507126954049913704123784075495916817399613121435935853423997421011192550264029144387916282510423332662862835018760366710927273547715863434064021511038299274272550}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{32} - \frac{7905487539784854741791687548383306503569553553795315194918249223090887630747236377989503575090307586657074959885269168841598314354415863107126402473934581142162081461}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{31} + \frac{40188677275206465291113622822176006091887116098174825247575571540201419175655541141499323084682226224683739944444250523917669001869675117170824279824166704411911847048}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{30} - \frac{11707256383219504459709344221802003172936284166152720015169139702528343148207359423313846544741435486359433428947650620912090420722002787525084119023113342643386631194}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{29} - \frac{14167072781842436975680476685888407191288481028902825050638781969428059507142457301470978591028459042382364579330750725353356252502003640789440779869107458364458743038}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{28} + \frac{106446294219213829439205674391554388261032068237328109575847258262231712755026311535926063009111737834957854826231055544193115873048262056169192710318626007778518709648}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{27} + \frac{97787351176654500674488876475144485407027799011241599549756056983267538465797556002177326679332200331646700521256561132885389849162874263876030436197352102723720093146}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{26} + \frac{1881933443877620849895647432581282126488367127497205944652499883512858307252040964929075884245514853233587166055039814917245328790477133988684208683337328066457973841}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{25} - \frac{87654266050352088918041822800278959703764540006987188560812279017966648999857015144154564582694923315639128997709097664631233568882459815600978338846803587096022885351}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{24} + \frac{61643851464197111089150758883327588183844320476687512835933161805707856549723389969687237888156427906794546609807307031879871792975568616056607335029625339034392371334}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{23} - \frac{7039157014695399456476790123845265787038817129129302246585627234662436573650206804481810425825353460385758209564852093969332419471998798670343254493669006234331774228}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{22} + \frac{16744024437369014725602926034055801181786739986174377798716236121382614257207276610915432725523215899784871396262486883005192223122263497409887415188295471098527383537}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{21} + \frac{36899160538426550437216108475808803657092086287783792838388464482668175293449294833322674211822021528250826272697873091824814626979471251271694990035367533460890258936}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{20} - \frac{82243432953544342914010680673600793729877060064101016340982510379671039897753194267733062164196567753214200118412472342132073005163632474586638582882826832253120424541}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{19} - \frac{79995088929624380864297400115934656486779746638417185384704035263629127127514967843000782863593173223943039172684848492577863958150212218106346116163452927453201049117}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{18} - \frac{112415602225714223851304760666382873052060670138679768429158693814995074954901012973041729674497460634115812455744240827274656991213006504477872600244275778171970641505}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{17} + \frac{21257784084510497414014706643815016655052567566370648848488021128713157664019872269314631183573855052015791474449957876720723840342840065625097008311627528489412297382}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{16} - \frac{36130413727013722412843377649209733838885733702645658241586314601927101089822131457029049044757221231840273564768582681047519118423060126212178676752168285069522682849}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{15} + \frac{93887081848268018759921207281067765662142188932709663660850233591301557373641715717873092735503698881893981366884632319350946427680141181174578722775473102210181984455}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{14} - \frac{31907602562243910540785257248828471842658017498562030401582277425172568962084573467978187102038452896347413203089327902554329632109392166593404590488934816031998702954}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{13} - \frac{40514453151081093476992325875122362290467135141383935685233703773885149850996430669208767442901765546806011808090563383501780245754048084648280137977843925677094059731}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{12} + \frac{66388667372199980110440956490789628668126041133071595466207796017034700831181912133929070479011296899613818045798974540731937025357606120692614242559380984738730662126}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{11} - \frac{109698070051811016178492483800365664489055276355550488016312537881949621976700655244050548691872772773649802447011246237059539527020365095781738374937072547426429235818}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{10} + \frac{105499081163876505464475373105803035625259487484525242095274720694670513094583184295324205931670847744697362917664763668784073884952832583759345867858721270147299285665}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{9} - \frac{94149620335851577117193495225793873250987554968713786406892718291488813609564205433613320952612481514291262112072270107051769286621561759186029405262819911906268726329}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{8} + \frac{4215829459971230140287634713410795285703620966338007852942937916497151701958746313776947140362024339522813818098183533645850521260991831149444709677655681752159865009}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{7} + \frac{46732895758121639697452930585224848325800809261374686959167071622124983258683256379306996574029812252268289032999617754279551427499202054160700901162585815771140620727}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{6} + \frac{58962528947713714189081190681207644827929593402672965278177298146762692572726414612831181887692790304269457169370580540071301248912406756410875368376435912386349263823}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{5} - \frac{87175404223397995583179612488253641179654363121014247750146726293342081089959534649764578207648903348226684686644073666590600398750474399698394052066487990192789269401}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{4} - \frac{25365647353429717107695661311256211508689053865376981349571461633373014806508428454474676520330432612762233197095403029975644003666817917866914582893694266224192683040}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{3} - \frac{28485106955194295540619770081250598442591076774910937177748183620371132814541865177892738517803148761414335041668815855760642362306971778555424889679258322233663674000}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a^{2} + \frac{105450105087437313054883774074945898065629628627132856929935309208488600800821977761897860224061646871502787514004923385805930715068860653592412165765660865230379282518}{226875739904124326853709020579421016583550839564141432920291433039158092052779980503950355036164455899385741375419364268067162173442928568972793595005240731163848241531} a + \frac{69533745207503828168073754646294477198551600691585400720471468879024440170786439683085665796424903574650692039918551742506288969149795498065412487547465779901041549}{973715621906112990788450732100519384478758968086443918112838768408403828552703778986911395004997664804230649679911434626897691731514714888295251480709187687398490307}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $41$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 6982810145166159000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{29}) \), 3.3.169.1, 6.6.696574229.1, 7.7.594823321.1, \(\Q(\zeta_{29})^+\), 21.21.828649541657828886975358787618681750730529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $42$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/5.7.0.1}{7} }^{6}$ $21^{2}$ $42$ R ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{7}$ $42$ $21^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/31.14.0.1}{14} }^{3}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{7}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/47.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.7.0.1}{7} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/59.3.0.1}{3} }^{14}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
29Data not computed