↑

Properties

Label 42.42.1003562420...2112.1
Degree $42$
Signature $[42, 0]$
Discriminant $2^{42}\cdot 3^{21}\cdot 43^{40}$
Root discriminant $124.53$
Ramified primes $2, 3, 43$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, -88, 113, 25998, -52539, -2175416, 4203076, 77137968, -142084194, -1321132268, 2263842238, 11418862976, -17427236674, -50958308620, 67588515668, 125070475268, -144505967659, -181959180670, 185581713515, 167443491200, -153076609027, -102505559026, 85202060216, 43330843250, -33153371104, -12983673562, 9240612278, 2804213262, -1872876276, -440049902, 277850356, 50119894, -30105551, -4094384, 2352118, 233500, -128873, -8818, 4694, 198, -102, -2, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 2*x^41 - 102*x^40 + 198*x^39 + 4694*x^38 - 8818*x^37 - 128873*x^36 + 233500*x^35 + 2352118*x^34 - 4094384*x^33 - 30105551*x^32 + 50119894*x^31 + 277850356*x^30 - 440049902*x^29 - 1872876276*x^28 + 2804213262*x^27 + 9240612278*x^26 - 12983673562*x^25 - 33153371104*x^24 + 43330843250*x^23 + 85202060216*x^22 - 102505559026*x^21 - 153076609027*x^20 + 167443491200*x^19 + 185581713515*x^18 - 181959180670*x^17 - 144505967659*x^16 + 125070475268*x^15 + 67588515668*x^14 - 50958308620*x^13 - 17427236674*x^12 + 11418862976*x^11 + 2263842238*x^10 - 1321132268*x^9 - 142084194*x^8 + 77137968*x^7 + 4203076*x^6 - 2175416*x^5 - 52539*x^4 + 25998*x^3 + 113*x^2 - 88*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 2*x^41 - 102*x^40 + 198*x^39 + 4694*x^38 - 8818*x^37 - 128873*x^36 + 233500*x^35 + 2352118*x^34 - 4094384*x^33 - 30105551*x^32 + 50119894*x^31 + 277850356*x^30 - 440049902*x^29 - 1872876276*x^28 + 2804213262*x^27 + 9240612278*x^26 - 12983673562*x^25 - 33153371104*x^24 + 43330843250*x^23 + 85202060216*x^22 - 102505559026*x^21 - 153076609027*x^20 + 167443491200*x^19 + 185581713515*x^18 - 181959180670*x^17 - 144505967659*x^16 + 125070475268*x^15 + 67588515668*x^14 - 50958308620*x^13 - 17427236674*x^12 + 11418862976*x^11 + 2263842238*x^10 - 1321132268*x^9 - 142084194*x^8 + 77137968*x^7 + 4203076*x^6 - 2175416*x^5 - 52539*x^4 + 25998*x^3 + 113*x^2 - 88*x + 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} - 2 x^{41} - 102 x^{40} + 198 x^{39} + 4694 x^{38} - 8818 x^{37} - 128873 x^{36} + 233500 x^{35} + 2352118 x^{34} - 4094384 x^{33} - 30105551 x^{32} + 50119894 x^{31} + 277850356 x^{30} - 440049902 x^{29} - 1872876276 x^{28} + 2804213262 x^{27} + 9240612278 x^{26} - 12983673562 x^{25} - 33153371104 x^{24} + 43330843250 x^{23} + 85202060216 x^{22} - 102505559026 x^{21} - 153076609027 x^{20} + 167443491200 x^{19} + 185581713515 x^{18} - 181959180670 x^{17} - 144505967659 x^{16} + 125070475268 x^{15} + 67588515668 x^{14} - 50958308620 x^{13} - 17427236674 x^{12} + 11418862976 x^{11} + 2263842238 x^{10} - 1321132268 x^{9} - 142084194 x^{8} + 77137968 x^{7} + 4203076 x^{6} - 2175416 x^{5} - 52539 x^{4} + 25998 x^{3} + 113 x^{2} - 88 x + 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $42$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[42, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(10035624202034539637103988968517188444898850275578689462617123488283099248260768556122112=2^{42}\cdot 3^{21}\cdot 43^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $124.53$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 43$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(516=2^{2}\cdot 3\cdot 43\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{516}(1,·)$, $\chi_{516}(133,·)$, $\chi_{516}(385,·)$, $\chi_{516}(11,·)$, $\chi_{516}(13,·)$, $\chi_{516}(143,·)$, $\chi_{516}(145,·)$, $\chi_{516}(275,·)$, $\chi_{516}(23,·)$, $\chi_{516}(25,·)$, $\chi_{516}(47,·)$, $\chi_{516}(289,·)$, $\chi_{516}(35,·)$, $\chi_{516}(167,·)$, $\chi_{516}(169,·)$, $\chi_{516}(95,·)$, $\chi_{516}(299,·)$, $\chi_{516}(431,·)$, $\chi_{516}(49,·)$, $\chi_{516}(181,·)$, $\chi_{516}(311,·)$, $\chi_{516}(59,·)$, $\chi_{516}(445,·)$, $\chi_{516}(193,·)$, $\chi_{516}(325,·)$, $\chi_{516}(455,·)$, $\chi_{516}(203,·)$, $\chi_{516}(397,·)$, $\chi_{516}(337,·)$, $\chi_{516}(83,·)$, $\chi_{516}(479,·)$, $\chi_{516}(97,·)$, $\chi_{516}(443,·)$, $\chi_{516}(229,·)$, $\chi_{516}(359,·)$, $\chi_{516}(361,·)$, $\chi_{516}(107,·)$, $\chi_{516}(109,·)$, $\chi_{516}(239,·)$, $\chi_{516}(121,·)$, $\chi_{516}(251,·)$, $\chi_{516}(253,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $\frac{1}{619631} a^{40} + \frac{161304}{619631} a^{39} - \frac{79185}{619631} a^{38} + \frac{210550}{619631} a^{37} + \frac{28038}{619631} a^{36} - \frac{264494}{619631} a^{35} - \frac{118261}{619631} a^{34} + \frac{249242}{619631} a^{33} - \frac{115223}{619631} a^{32} + \frac{37737}{619631} a^{31} - \frac{237178}{619631} a^{30} - \frac{26714}{619631} a^{29} + \frac{248871}{619631} a^{28} - \frac{191673}{619631} a^{27} - \frac{195885}{619631} a^{26} + \frac{103069}{619631} a^{25} + \frac{94983}{619631} a^{24} + \frac{112881}{619631} a^{23} + \frac{169184}{619631} a^{22} + \frac{166790}{619631} a^{21} + \frac{284239}{619631} a^{20} - \frac{130111}{619631} a^{19} - \frac{187373}{619631} a^{18} - \frac{305162}{619631} a^{17} - \frac{252031}{619631} a^{16} - \frac{22369}{619631} a^{15} - \frac{215136}{619631} a^{14} + \frac{273825}{619631} a^{13} - \frac{260115}{619631} a^{12} + \frac{254636}{619631} a^{11} + \frac{267705}{619631} a^{10} - \frac{105114}{619631} a^{9} + \frac{56084}{619631} a^{8} + \frac{11173}{619631} a^{7} - \frac{165665}{619631} a^{6} - \frac{17691}{619631} a^{5} - \frac{848}{619631} a^{4} + \frac{227695}{619631} a^{3} - \frac{25241}{619631} a^{2} - \frac{249843}{619631} a - \frac{113196}{619631}$, $\frac{1}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{41} + \frac{2026387298532329562493096765203467519497416947996666915603771575263469528423366987602999455541137033687602185033996515452539138351963627729225659262153769319319}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{40} + \frac{690751429070702998056677709144568579850791560381107537536684506584265770753576940740893877898128907883216564580287828202101020791391877444901173897940387396369823298}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{39} + \frac{475985271406095471526702500539394667170135924647179382318865633557146655514091989915422277830979057933812664691061867927883244913690659291532742704090374210395114160}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{38} - \frac{639978752465092293602548376605896916555199206435401709555248453566699192404225005729678512865167293279907570349079722377628441545820308654039153022808739026268073777}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{37} + \frac{858598220943207816412981980764282868668621766238370394774554918293857217408964909303654121351617081407768426074455158621253670011944322345646999857667640807369775586}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{36} + \frac{693757118906209769935118320328879016327241064709007499758860658451876807644367964915400035560791802816773715104400921216570691599647075356600538092401735419828151850}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{35} + \frac{414415507011551748722181020785696263451040167942523115846333240988965935411141451155987693930146454292300315280647056095978154404782655675686542203685969791012979495}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{34} + \frac{933768723740760104500313898010793194108815391237607047529058505254403980986528700489590358655497213735156497549650516716637928949964487628429028663271980583428652129}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{33} - \frac{409438404772222247220946649491910408259174338072808264055028554232966723189535270041830414276405819543339778552212109636067097843690271307794906971512208193487056435}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{32} + \frac{781815701841365386784113885379324324601932101044853730609458038851992013249662810168238145945372657442428869299416382803289054132992783251034288280615320989179463555}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{31} + \frac{340747919730263117576043410900611358619760393969769798574933032478244344707197267645517218095797784632822355953149185805423684155496862262552493390384968888045147160}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{30} - \frac{320074247886820152110001523266615512713621520730261701719729494856963606660497855107292540467811331844026649486527859024625526131107828050740155159259205689499516869}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{29} - \frac{986352363217799777356790240648490606754100651127158303690622307049903896146694409569976490342383500185226961232879671500065727221893750860673643216986821457799211683}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{28} - \frac{68138688503904191369538743822498924518059550130033230493998713271331481050220943777544417657798922903046469585554051519815649901012124805673928555990004056443515298}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{27} - \frac{1241695474548425779136568044181723667753950661507307940183290639039837361911808798411025537298683463355517813801061056144526048899197063229490726166357412627385260081}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{26} - \frac{740601371835086993555951040818701487083264680022764418020273466570734949641549532508942725240660792106100507085801952553170090584360436490803086587979979671270355868}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{25} + \frac{146969046173309304689175385555573143080522970190089858552253113255442809989011805450589315571463502720589504564196922870777577097065963227299657492422919332386463427}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{24} + \frac{246025966997957970005278993513840071528399971152369304715959513710876047141260093363356421956660370090692522241542395544634998019639699042431267516243571644113103737}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{23} + \frac{313243271902985264378061672049006741811505617337496277779385179907207720875772880844460029450274030098123761576592959808704885813536237407710839290897940917461961378}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{22} - \frac{841696719291084281646508642366484247910096616305371649729305710646040862676356464870040078846196179570492067335979181992386708946330230857562407152020531454435286574}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{21} - \frac{1262161447166875392592554932536252580307753588790848931968846962789999558980246216567369655416210191195085352155188832718494883367515628300922907224029003664729362514}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{20} + \frac{272568736938958105557655143366199580340959678189830715193392188705099163926482149755190159986343247736029155131771597274552062259034015855909614957056340845142980932}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{19} - \frac{562400420704266788024546024704649235678471888621453250275684554001029838108883149509776332115652776713591626729593165530519809732547887862091397240549737752306475281}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{18} + \frac{1185942243007686320192002000613658374830489014314513694319506979834720214677267172545974775078725015428399691881981166228589099152951441942396920935662598879882610895}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{17} - \frac{1143226412007555840420044181337580054488668403174407908410267185728173427817085265866633852236668062942986127003974289428143845809038171801127983753516797613894932165}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{16} - \frac{840794359461445230460315208015238756883939191835102174048614587637210753153226180440880045099374296230045371080016671586414850216729740956259564235990159440152820083}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{15} - \frac{670827034003978044613876041984463917908029103612551541209581228579909812456575496154806698758089472619668496385811421648842937948280479648206991430254180180256704692}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{14} + \frac{135988680390113891667164362409451905278850455708523226350136786003233375313739082238035338070672827513380858515083330734920319528342243817561028070465655104667656755}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{13} + \frac{1030466660437587639977068899410533601892715758721966487912200030849019362146753067590443727661641633189104291641199856584389516671122416208480460150105679804346783963}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{12} + \frac{1143785898315081269653562160229528702582431433732175050012293379408006188910548631695059212181113780751616575739967777410875359863722025126208254423024034230425303635}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{11} - \frac{38270752234586329141252224957863370506630252975375073560260985008178302643051707860411264813399242853966516428508412256700547908645782084153663334498871874483868995}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{10} + \frac{1136873321579862149213143021830157326727237709936471142177556121478555194277294470730850780141363403086100566303610354501527187722065535620558477676245717830004783289}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{9} + \frac{791702487330071733820221534221366450548816818893561084613628143593414723230163665224913436164827395429411351400230435071591966176584952895856701944502069085422580790}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{8} + \frac{484280854187041239124224424575406367775374031045765834198627713863785654086056042503857182366264130682172374308260699988325219551312807982200387050611344052306272087}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{7} + \frac{490477234693523710300912179889739131881247243538523665546200090052894816087972394454046751354002945657478599196130433175447769850159121878809573760239111278475325557}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{6} + \frac{103307090648075331281690683812570458884788767713008440052037531086731393637887111779858528063287999891355481138734613194124294406221348217141818254820490410233474723}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{5} + \frac{1158298388610694634045677695597460252655958441323425035699091971807170396827775469839883049115102249878682810988955037654423662446461365250175732416758684879982919913}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{4} + \frac{1044933540440174689878701008807815744772881730432691425592808359601364160796158288234854118960636426162819275526829458194045572093273558303213012591401591995077320838}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{3} + \frac{658682828583118847168516982046314678570973441909602072499089372636520641246439123961425502577209204650723423967245399668109060777174458698423142081744945238735793338}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a^{2} - \frac{466549221021908233894119509450891358594609340713673687570562612358852613005417992381141320930909237057462051394844813661361533049909946006200216383698756378546309495}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299} a + \frac{1013670328971471623503716346977453508565966447572426309069100148580558428741894107075793519510681029806977488984788093053500942159936093215730654253717716702979283937}{2552684128998275104066166939497550826574255129375666806837030228879732868993507932346773751369831644845465784004201566550790457585981877286116323647836508257583625299}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $41$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{3}) \), 3.3.1849.1, 6.6.5907688128.1, 7.7.6321363049.1, 14.14.1431825818478399563185963008.1, \(\Q(\zeta_{43})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R $42$ ${\href{/LocalNumberField/7.6.0.1}{6} }^{7}$ ${\href{/LocalNumberField/11.7.0.1}{7} }^{6}$ $21^{2}$ $42$ $42$ $21^{2}$ $42$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{14}$ ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/47.7.0.1}{7} }^{6}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/59.7.0.1}{7} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.14.14.15$x^{14} + 2 x^{13} + x^{12} + 4 x^{11} - 2 x^{10} + 2 x^{9} + 4 x^{8} - 2 x^{6} + 4 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 1$$2$$7$$14$$C_{14}$$[2]^{7}$
2.14.14.15$x^{14} + 2 x^{13} + x^{12} + 4 x^{11} - 2 x^{10} + 2 x^{9} + 4 x^{8} - 2 x^{6} + 4 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 1$$2$$7$$14$$C_{14}$$[2]^{7}$
2.14.14.15$x^{14} + 2 x^{13} + x^{12} + 4 x^{11} - 2 x^{10} + 2 x^{9} + 4 x^{8} - 2 x^{6} + 4 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 1$$2$$7$$14$$C_{14}$$[2]^{7}$
3Data not computed
43Data not computed