↑

Properties

Label 42.0.84210739520...9375.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-\,3^{21}\cdot 5^{21}\cdot 7^{76}$
Root discriminant $131.00$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![7433430306500659, -14150805399115371, 27718191551848000, -36097133961134344, 44552632717949909, -45753860588601683, 44201407806971583, -38209725180477853, 31199498713039741, -23542726642699425, 16872229967198732, -11365090054919965, 7305389298198530, -4457321832534746, 2604826255482696, -1453722846905189, 779158657210402, -400335271581469, 197898468994436, -93996191647169, 42996057879012, -18918812870333, 8018737809327, -3269908010985, 1283701680345, -484464806133, 175759765881, -61182615781, 20420491105, -6518398635, 1986712735, -576096696, 158466091, -41126344, 10017910, -2270248, 474110, -89775, 15099, -2170, 252, -21, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - 21*x^41 + 252*x^40 - 2170*x^39 + 15099*x^38 - 89775*x^37 + 474110*x^36 - 2270248*x^35 + 10017910*x^34 - 41126344*x^33 + 158466091*x^32 - 576096696*x^31 + 1986712735*x^30 - 6518398635*x^29 + 20420491105*x^28 - 61182615781*x^27 + 175759765881*x^26 - 484464806133*x^25 + 1283701680345*x^24 - 3269908010985*x^23 + 8018737809327*x^22 - 18918812870333*x^21 + 42996057879012*x^20 - 93996191647169*x^19 + 197898468994436*x^18 - 400335271581469*x^17 + 779158657210402*x^16 - 1453722846905189*x^15 + 2604826255482696*x^14 - 4457321832534746*x^13 + 7305389298198530*x^12 - 11365090054919965*x^11 + 16872229967198732*x^10 - 23542726642699425*x^9 + 31199498713039741*x^8 - 38209725180477853*x^7 + 44201407806971583*x^6 - 45753860588601683*x^5 + 44552632717949909*x^4 - 36097133961134344*x^3 + 27718191551848000*x^2 - 14150805399115371*x + 7433430306500659)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - 21*x^41 + 252*x^40 - 2170*x^39 + 15099*x^38 - 89775*x^37 + 474110*x^36 - 2270248*x^35 + 10017910*x^34 - 41126344*x^33 + 158466091*x^32 - 576096696*x^31 + 1986712735*x^30 - 6518398635*x^29 + 20420491105*x^28 - 61182615781*x^27 + 175759765881*x^26 - 484464806133*x^25 + 1283701680345*x^24 - 3269908010985*x^23 + 8018737809327*x^22 - 18918812870333*x^21 + 42996057879012*x^20 - 93996191647169*x^19 + 197898468994436*x^18 - 400335271581469*x^17 + 779158657210402*x^16 - 1453722846905189*x^15 + 2604826255482696*x^14 - 4457321832534746*x^13 + 7305389298198530*x^12 - 11365090054919965*x^11 + 16872229967198732*x^10 - 23542726642699425*x^9 + 31199498713039741*x^8 - 38209725180477853*x^7 + 44201407806971583*x^6 - 45753860588601683*x^5 + 44552632717949909*x^4 - 36097133961134344*x^3 + 27718191551848000*x^2 - 14150805399115371*x + 7433430306500659, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} - 21 x^{41} + 252 x^{40} - 2170 x^{39} + 15099 x^{38} - 89775 x^{37} + 474110 x^{36} - 2270248 x^{35} + 10017910 x^{34} - 41126344 x^{33} + 158466091 x^{32} - 576096696 x^{31} + 1986712735 x^{30} - 6518398635 x^{29} + 20420491105 x^{28} - 61182615781 x^{27} + 175759765881 x^{26} - 484464806133 x^{25} + 1283701680345 x^{24} - 3269908010985 x^{23} + 8018737809327 x^{22} - 18918812870333 x^{21} + 42996057879012 x^{20} - 93996191647169 x^{19} + 197898468994436 x^{18} - 400335271581469 x^{17} + 779158657210402 x^{16} - 1453722846905189 x^{15} + 2604826255482696 x^{14} - 4457321832534746 x^{13} + 7305389298198530 x^{12} - 11365090054919965 x^{11} + 16872229967198732 x^{10} - 23542726642699425 x^{9} + 31199498713039741 x^{8} - 38209725180477853 x^{7} + 44201407806971583 x^{6} - 45753860588601683 x^{5} + 44552632717949909 x^{4} - 36097133961134344 x^{3} + 27718191551848000 x^{2} - 14150805399115371 x + 7433430306500659 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $42$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 21]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-84210739520843868988898078615875297955777796101582267830777690578346867562770843505859375=-\,3^{21}\cdot 5^{21}\cdot 7^{76}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $131.00$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(735=3\cdot 5\cdot 7^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{735}(256,·)$, $\chi_{735}(1,·)$, $\chi_{735}(389,·)$, $\chi_{735}(646,·)$, $\chi_{735}(526,·)$, $\chi_{735}(16,·)$, $\chi_{735}(659,·)$, $\chi_{735}(149,·)$, $\chi_{735}(151,·)$, $\chi_{735}(284,·)$, $\chi_{735}(29,·)$, $\chi_{735}(674,·)$, $\chi_{735}(676,·)$, $\chi_{735}(134,·)$, $\chi_{735}(554,·)$, $\chi_{735}(44,·)$, $\chi_{735}(46,·)$, $\chi_{735}(541,·)$, $\chi_{735}(179,·)$, $\chi_{735}(436,·)$, $\chi_{735}(569,·)$, $\chi_{735}(571,·)$, $\chi_{735}(316,·)$, $\chi_{735}(704,·)$, $\chi_{735}(449,·)$, $\chi_{735}(74,·)$, $\chi_{735}(331,·)$, $\chi_{735}(464,·)$, $\chi_{735}(466,·)$, $\chi_{735}(211,·)$, $\chi_{735}(599,·)$, $\chi_{735}(344,·)$, $\chi_{735}(421,·)$, $\chi_{735}(226,·)$, $\chi_{735}(359,·)$, $\chi_{735}(361,·)$, $\chi_{735}(106,·)$, $\chi_{735}(494,·)$, $\chi_{735}(239,·)$, $\chi_{735}(631,·)$, $\chi_{735}(121,·)$, $\chi_{735}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $\frac{1}{57721} a^{40} - \frac{528}{57721} a^{39} - \frac{11957}{57721} a^{38} + \frac{23404}{57721} a^{37} + \frac{27139}{57721} a^{36} - \frac{72}{197} a^{35} + \frac{2318}{57721} a^{34} - \frac{22355}{57721} a^{33} + \frac{17096}{57721} a^{32} - \frac{7244}{57721} a^{31} - \frac{11307}{57721} a^{30} - \frac{14314}{57721} a^{29} - \frac{16328}{57721} a^{28} - \frac{27236}{57721} a^{27} + \frac{24560}{57721} a^{26} - \frac{22369}{57721} a^{25} - \frac{27563}{57721} a^{24} - \frac{12247}{57721} a^{23} - \frac{18088}{57721} a^{22} + \frac{27330}{57721} a^{21} + \frac{15459}{57721} a^{20} + \frac{16333}{57721} a^{19} - \frac{3128}{57721} a^{18} - \frac{26107}{57721} a^{17} + \frac{19683}{57721} a^{16} + \frac{12173}{57721} a^{15} - \frac{21039}{57721} a^{14} - \frac{24724}{57721} a^{13} - \frac{17946}{57721} a^{12} - \frac{1133}{57721} a^{11} + \frac{13779}{57721} a^{10} - \frac{13868}{57721} a^{9} - \frac{4367}{57721} a^{8} - \frac{15795}{57721} a^{7} + \frac{15372}{57721} a^{6} - \frac{27034}{57721} a^{5} + \frac{27279}{57721} a^{4} - \frac{5706}{57721} a^{3} - \frac{1246}{57721} a^{2} - \frac{26065}{57721} a + \frac{88}{197}$, $\frac{1}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{41} + \frac{190813105166044737452062686926788475545130111797769031952627503654059432822646427969205005563939245451918037595293706876164856286786417489703811535783168418372069970946737338772631474336608340715902663411122270276854655255305391644630563449986539909412140143}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{40} - \frac{17993749027091090884163357415159594593064160880774872811063494283507137044256314148189897583272368614317028484419185624627496201084525430142342596995912890886284400326920120413521459903215442219166200827799414277127249686789833993299956177302930960727565944679}{155555021554759483724784784913289247288170099445556426980834500940615508720077603223524024130326995657805903343039498513794441882438625997821615053027140915796317428868270865665613769822092284429493774714612102504463913169030772026427899964913512620960437302387} a^{39} - \frac{11740191476923750590884309645853795465911155930756545819502451546691351546053355511893930663450885157293000777988980758263313226464801687896262443254631215329977607210236261292032925264170060820109287573693638220154538059421557402935166437560718347189228076792966}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{38} - \frac{12327599548437286579663036065826587143577831896932097826070810899048476018891483580868281179075060528674602294897540618598966838671661060735272441786049110304701091632906437478423823882759994207029854434180249306215432434726568897338867109318276502965976435502994}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{37} - \frac{531325728839751662805251518674268218516374330102259133101477865778847639393403040656246539530861847163358666587268589119891717927918731071308022312038282932353546929972272828273775711477752013390509149328012388186753334263412820184890526918699167716491570215540}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{36} - \frac{5822207672673561129418646999493081402487790026329516631756742414800788197483191903436271594189510807457189559241603098417332420399751304762262768078697089910988080430330755227017949273591937731496605672887655587133995004941200302336945997197855826832543276323821}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{35} - \frac{10096142299152927243352239396986608010325531114852327578013683194006246323884985554567412653645976940068091216014254802815562963107461056538699256962488375554308415353794393963515580958824428321030488280247421277424026520235906421624758916951468436016525959761474}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{34} + \frac{3611051551340133827393154777913846540515282320389372743169318588293026842335026852743087213283692892392353018833155078936707688999538130551634579216225258364703522484639323144095525645072029474973736152663834243169942214555584194527804963794098147675912432194734}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{33} + \frac{8364064683042106016870047885735267955394822278489020952110066528041427218943445060832789245996559972162052247107747552056268989327221800029634296691931798201875324188367924671231686129265244688891103960723461796861884301706511693451763414044501305836427515663172}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{32} + \frac{6954227002221759329388415428755708796184601806098307222878310471779865132978749216146720544590194152014187848694544498646235556335960228591790944708117446161296155595091132384575195414092560717030060835102459912080448894550569086115724201243497425083113434256143}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{31} + \frac{3593619282382377390765579530685036773753292665767832602268784796882996419368653308055995534128293687139797400219056451105414324285122133006673306631198817177112023131016970700909554440753869110168077271351628830806081360150380272627121825636593129015142052567191}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{30} + \frac{5702835828833453728767505390354399946304886195208253796424605477546245343052170247568742533576475460733794482605288101691494737059474665579184922890302841001049024441836137147601637893266333466029713802068215722622278394182129542473692465837151978873265060233001}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{29} - \frac{9751945290560148604545114216073026647988990769316552674603988528086108048549513297069912937582046886283400396729342271739592271100158581495023939419768365918058443354257764270085712419943283396581935427794228495675886752513688656533854414143910766000509336547206}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{28} + \frac{8041868563650689836774324897717086024986224609818185921680754998050374536872719363853653435899260640466882948124215336696545625107192927314276941686518046119651646699269457186987304610070927318650026790238047290616492789720874648169182710390401465861490065906637}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{27} + \frac{4289093045721106900110517346834207631214875745164820175161658102082004745610150913994236534272427912324245194833675826795742525638861462791745909644071217257165680160671586240499071198822359535988954093387663988571664156761327661524868659050734544645832377671918}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{26} + \frac{12748708082300007411719590370655193596877969353695057412550785902284977615675601021832791466059690013938402222624657992594872023573558861503065802498969396866617584527395169327332730476639125655969798910098641850430488549430682373436643089349734045782096111043220}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{25} + \frac{14442353092688429630893975211550005320051744738911852010894581951864844003504877561261177633548248786400201132456808466915698445879968920103403572140288844959654919602121381659987537265781994798560546286782088200341125902207176553676303942434357108528908411157064}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{24} - \frac{9687226476689542563914915147240781290836626465451769167298123382234219644518714937946261627670205558788408759867802804420458833709620735802469844405399634641179882698914124014203987250671147782907030618668136269715359768642369062194345921169075134100940452913579}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{23} + \frac{5298029227396427448502189383330368636031417793014858705312192949531983384620429592061406424023033526840465368493446252761035343406450015233553837298188315009804458830910176005732771326643329136969429701391327138790233971536956557138075325498123704366685151384379}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{22} - \frac{14091688791955072187156682780617777928733611384316723499947614231084189292893404627113503967270046059232296777873887792934265165008927407235874306647645690619075017002443862298266678921134651748389502020738225355967232189355845994057542533456701661136582685733941}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{21} - \frac{14378616441462466035221525447697897923792195857856966575321178356754117931431894608700914545307404906800588760340373001349497276301631811139791963036116200447356731880813541638316464085262405639067650722784406383973569894142434854979109739913042270887838219065573}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{20} + \frac{313936296751545224890258170596255976757090305832613487932994540913899899729321450091499015106565090468773520719001634961486508687061272626424218602138170275433112814552873899330577546682509235206512565172366308678009289659829782719954560769052009231133279044296}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{19} + \frac{10362270580998789474180187965048387476237856259677833175644392482778277078445079667290582241511117419331210155894707670771385297909768879263850604050702645114093222917101113535300020969363117960046275011613733847116251146183045255994031768832839690612623105748724}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{18} + \frac{3244136615993867482616374615984611632382165950146606385110775512799402600584905584144382211087045271767447638978026082823308248302306902715660798849919932274024074312866936386495569528640016224984888173283722210882496241537019671709142345929870769966344122547176}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{17} - \frac{13368868427536006366433014335474820272347237992986319054278727706253042779121180544966716661003750172419053011495755904491450260202896427291857206889551121365435587321583383500635832468823164774265680612925476255735529874101014333942916464583417289241795419454523}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{16} - \frac{10571031592810025799114013884926897445135169396519219202795588305815343604769199458837203679214288783190149470625797982085767670504565287983533336776982194494532919164491618604934507358720300540525944830258677391877262769004887635326250250831721270431168832687316}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{15} - \frac{5152324047225650621242012857799658990164882853236491884511260357924157054067863752777970646244818152551884183459403920979504579891836925307161404114492571103653353439368936582548178308942501807464813308139344597299367853931342919269912840235782891448978735497219}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{14} - \frac{8509767894120152140400841064750545251105662364484498001440257170981451854740090589158966119865607846016019370002710286433684617879370082013712228820887727881979291556475345892839814935169687275617694696996500606272539276094190492948681413963350009176542323892577}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{13} + \frac{2606205568721870793483164414041270979250942118247530283249634791013442452570316121589458592312380719537251508231042966116480981585750729348574498981386891048500035478865025141471814361516829566297951823887164473618053782256311001054311677583486846519526390488341}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{12} + \frac{11509120585264747908607494780063466387263842589881814407994573110200247810925980853319731077744483216998468921084567489321554962756891494332419506445180355951925379955226370646579296937481393884931251603031763981134428905704710921342003116272787677494788948754526}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{11} - \frac{7895963430502024220877188489155486399019580151708665877608415961795041132392415510718348871373490288366100651781351578445877755938748502173508736986847639418671448552254197196041873395029216777978757493938128392586965762913449944811535847201181713103122621205403}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{10} - \frac{9167455602542821079979452160051459756616551926704145233419281158856738755127800611148989479581211533316085040564873520208286076203327053170614860150207652696382447921074230332691349778271906971352534733704475140370830541585643910191792956325825575278548098691414}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{9} + \frac{11707314239218101966971703890741245565819016171815974794261718897477691754436751703321493909876234451673897959645907210142367048235026830961684802532980406933671086145550330482623277362507924009555943129442606379801581506913679211828437769204750096176614188413227}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{8} - \frac{9093280518323029762504623039735496719926613839798610883508389098574172106630652814567660065395153377915704628627996634282117331135539204634181547042244488922626738466614131591616728945161045003295265401945526301820054548206633805677687606362667393671877413591631}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{7} - \frac{2258239869902206599673664591947313885531213844636349517634136378164839348130786022367218315839653795827850688611983721334321182900124223562354022060043317814850595851468238995044272047370608064341798822372390798868693584968785239284216426664834716194155214647289}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{6} + \frac{14088569861815865605955414475795863041042337443398698724364504461145717219835209743353771660284377165693536045244194238079004327956578598820324162991811075113330558236274764458444886530815851759935979400707923462980494155831590333417786822238279686619661314106262}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{5} - \frac{11801301323049044262934080120379190841891270493717224504112705011768998783856868587486162040712444091514422646824221206810254131396079664709511404069851948584829098440011340238601797395290760604463311392801476191602469532599443385364880390717350993573342416136245}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{4} - \frac{2738479289518803832506379082776068218078126815511595813654040232689317789661992998148994776996081635776318488219648392725095268316021292410129277191219471548944811005502507820435669027104532592583027315090400367934951687893512930077056795843190042046849459171876}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{3} - \frac{5735502508140503788257274623082976657186198342110230123855138240428943574951856525450047065255760710037732684237012973812225659661194094408880675243890570356308769925878199524415937696513647494587567413951387184348575699431570369266892857413103660014788867278247}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a^{2} - \frac{14309012582180829929727476373312202281747914277072384220424513777266731239137989604219831822605875715497858612299371565424719861255074520088725960449222167551884862154122753524584412554745096469750541123206418755228117792568708553177579405315920573861263935628526}{30644339246287618293782602627917981715769509590774616115224396685301255217855287835034232753674418144587762958578781207217505050840409321570858165446346760411874533487049360536125912654952180032610273618778584193379390894299062089206296293087961986329206148570239} a - \frac{39584814847468829659408814160544793226429237268905147310200925304522381183819160889605825448240892363134071872234726701978163583045628546603844372493001708521726054708783362273767306890000544060788190924349171328649401415081228490741578011119792387371942220559}{104588188553882656292773387808593794251773070275681283669707838516386536579710879983051988920390505612927518629961710604837901197407540346658218994697429216422779977771499524014081613156833378950888305866138512605390412608529222147461762092450382205901727469523}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $20$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 6.0.8103375.1, 7.7.13841287201.1, 14.0.32733449455413964710545859375.1, \(\Q(\zeta_{49})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $21^{2}$ R R R $42$ ${\href{/LocalNumberField/13.14.0.1}{14} }^{3}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{14}$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{14}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.14.0.1}{14} }^{3}$ $21^{2}$ $21^{2}$ $42$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
7Data not computed