↑

Properties

Label 42.0.24171065840...1543.1
Degree $42$
Signature $[0, 21]$
Discriminant $-\,7^{35}\cdot 43^{36}$
Root discriminant $127.16$
Ramified primes $7, 43$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{42}$ (as 42T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![13841287201, 1977326743, 29659901145, 19167963325, 57336710746, 65378608141, 124269462177, -144933685484, 246402130394, -242806796505, 264672499763, -226068865134, 222268969336, -160314058986, 128805983063, -85161200010, 61621447876, -38408837927, 26067079020, -15231537886, 9989029801, -5645653463, 3592094903, -1945125506, 1176266118, -590381787, 304901371, -138820877, 65358420, -25634048, 10798139, -3068239, 1085421, -292837, 86865, -16879, 3891, 292, 271, -2, 19, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^42 - x^41 + 19*x^40 - 2*x^39 + 271*x^38 + 292*x^37 + 3891*x^36 - 16879*x^35 + 86865*x^34 - 292837*x^33 + 1085421*x^32 - 3068239*x^31 + 10798139*x^30 - 25634048*x^29 + 65358420*x^28 - 138820877*x^27 + 304901371*x^26 - 590381787*x^25 + 1176266118*x^24 - 1945125506*x^23 + 3592094903*x^22 - 5645653463*x^21 + 9989029801*x^20 - 15231537886*x^19 + 26067079020*x^18 - 38408837927*x^17 + 61621447876*x^16 - 85161200010*x^15 + 128805983063*x^14 - 160314058986*x^13 + 222268969336*x^12 - 226068865134*x^11 + 264672499763*x^10 - 242806796505*x^9 + 246402130394*x^8 - 144933685484*x^7 + 124269462177*x^6 + 65378608141*x^5 + 57336710746*x^4 + 19167963325*x^3 + 29659901145*x^2 + 1977326743*x + 13841287201)
 
gp: K = bnfinit(x^42 - x^41 + 19*x^40 - 2*x^39 + 271*x^38 + 292*x^37 + 3891*x^36 - 16879*x^35 + 86865*x^34 - 292837*x^33 + 1085421*x^32 - 3068239*x^31 + 10798139*x^30 - 25634048*x^29 + 65358420*x^28 - 138820877*x^27 + 304901371*x^26 - 590381787*x^25 + 1176266118*x^24 - 1945125506*x^23 + 3592094903*x^22 - 5645653463*x^21 + 9989029801*x^20 - 15231537886*x^19 + 26067079020*x^18 - 38408837927*x^17 + 61621447876*x^16 - 85161200010*x^15 + 128805983063*x^14 - 160314058986*x^13 + 222268969336*x^12 - 226068865134*x^11 + 264672499763*x^10 - 242806796505*x^9 + 246402130394*x^8 - 144933685484*x^7 + 124269462177*x^6 + 65378608141*x^5 + 57336710746*x^4 + 19167963325*x^3 + 29659901145*x^2 + 1977326743*x + 13841287201, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{42} - x^{41} + 19 x^{40} - 2 x^{39} + 271 x^{38} + 292 x^{37} + 3891 x^{36} - 16879 x^{35} + 86865 x^{34} - 292837 x^{33} + 1085421 x^{32} - 3068239 x^{31} + 10798139 x^{30} - 25634048 x^{29} + 65358420 x^{28} - 138820877 x^{27} + 304901371 x^{26} - 590381787 x^{25} + 1176266118 x^{24} - 1945125506 x^{23} + 3592094903 x^{22} - 5645653463 x^{21} + 9989029801 x^{20} - 15231537886 x^{19} + 26067079020 x^{18} - 38408837927 x^{17} + 61621447876 x^{16} - 85161200010 x^{15} + 128805983063 x^{14} - 160314058986 x^{13} + 222268969336 x^{12} - 226068865134 x^{11} + 264672499763 x^{10} - 242806796505 x^{9} + 246402130394 x^{8} - 144933685484 x^{7} + 124269462177 x^{6} + 65378608141 x^{5} + 57336710746 x^{4} + 19167963325 x^{3} + 29659901145 x^{2} + 1977326743 x + 13841287201 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $42$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 21]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-24171065840904350682705450546619679673666384064440608659456000911500372267562269048101543=-\,7^{35}\cdot 43^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $127.16$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 43$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(301=7\cdot 43\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{301}(256,·)$, $\chi_{301}(1,·)$, $\chi_{301}(130,·)$, $\chi_{301}(4,·)$, $\chi_{301}(262,·)$, $\chi_{301}(11,·)$, $\chi_{301}(269,·)$, $\chi_{301}(16,·)$, $\chi_{301}(145,·)$, $\chi_{301}(274,·)$, $\chi_{301}(150,·)$, $\chi_{301}(279,·)$, $\chi_{301}(164,·)$, $\chi_{301}(293,·)$, $\chi_{301}(41,·)$, $\chi_{301}(170,·)$, $\chi_{301}(299,·)$, $\chi_{301}(44,·)$, $\chi_{301}(173,·)$, $\chi_{301}(47,·)$, $\chi_{301}(176,·)$, $\chi_{301}(54,·)$, $\chi_{301}(183,·)$, $\chi_{301}(59,·)$, $\chi_{301}(188,·)$, $\chi_{301}(64,·)$, $\chi_{301}(193,·)$, $\chi_{301}(78,·)$, $\chi_{301}(207,·)$, $\chi_{301}(213,·)$, $\chi_{301}(87,·)$, $\chi_{301}(216,·)$, $\chi_{301}(90,·)$, $\chi_{301}(219,·)$, $\chi_{301}(97,·)$, $\chi_{301}(226,·)$, $\chi_{301}(102,·)$, $\chi_{301}(107,·)$, $\chi_{301}(236,·)$, $\chi_{301}(121,·)$, $\chi_{301}(250,·)$, $\chi_{301}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{7} a^{25} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{1}{7} a^{23} + \frac{1}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{16} + \frac{1}{7} a^{13} + \frac{2}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{3} + \frac{2}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{26} + \frac{2}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{1}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{18} + \frac{2}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} + \frac{1}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{13} + \frac{2}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{4} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{27} - \frac{3}{49} a^{26} + \frac{1}{49} a^{25} + \frac{1}{49} a^{24} + \frac{3}{7} a^{23} - \frac{1}{7} a^{22} + \frac{1}{49} a^{21} - \frac{15}{49} a^{20} - \frac{19}{49} a^{19} + \frac{10}{49} a^{18} + \frac{2}{49} a^{17} - \frac{3}{7} a^{16} - \frac{13}{49} a^{15} - \frac{15}{49} a^{14} + \frac{3}{7} a^{13} + \frac{23}{49} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} + \frac{5}{49} a^{10} - \frac{20}{49} a^{9} - \frac{1}{49} a^{8} + \frac{2}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} - \frac{1}{49} a^{5} + \frac{3}{49} a^{4} - \frac{8}{49} a^{3} + \frac{20}{49} a^{2} + \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{28} - \frac{1}{49} a^{26} - \frac{3}{49} a^{25} + \frac{3}{49} a^{24} - \frac{20}{49} a^{22} - \frac{12}{49} a^{21} - \frac{8}{49} a^{20} + \frac{9}{49} a^{19} - \frac{3}{49} a^{18} - \frac{15}{49} a^{17} + \frac{8}{49} a^{16} - \frac{5}{49} a^{15} - \frac{17}{49} a^{14} - \frac{5}{49} a^{13} + \frac{6}{49} a^{12} - \frac{23}{49} a^{11} + \frac{23}{49} a^{10} + \frac{2}{49} a^{9} + \frac{18}{49} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} - \frac{22}{49} a^{6} - \frac{6}{49} a^{4} + \frac{3}{49} a^{3} + \frac{4}{49} a^{2} + \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{29} + \frac{1}{49} a^{26} - \frac{3}{49} a^{25} - \frac{20}{49} a^{24} - \frac{6}{49} a^{23} - \frac{19}{49} a^{22} - \frac{1}{7} a^{21} + \frac{1}{49} a^{20} - \frac{15}{49} a^{19} + \frac{9}{49} a^{18} + \frac{10}{49} a^{17} + \frac{9}{49} a^{16} + \frac{19}{49} a^{15} - \frac{13}{49} a^{14} - \frac{15}{49} a^{13} + \frac{23}{49} a^{11} - \frac{2}{7} a^{10} + \frac{12}{49} a^{9} - \frac{1}{49} a^{8} - \frac{1}{49} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} - \frac{1}{7} a^{5} - \frac{1}{49} a^{4} + \frac{3}{49} a^{3} + \frac{13}{49} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{30} - \frac{12}{49} a^{23} - \frac{2}{49} a^{16} + \frac{12}{49} a^{9} + \frac{1}{49} a^{2}$, $\frac{1}{49} a^{31} - \frac{12}{49} a^{24} - \frac{2}{49} a^{17} + \frac{12}{49} a^{10} + \frac{1}{49} a^{3}$, $\frac{1}{49} a^{32} + \frac{2}{49} a^{25} + \frac{3}{7} a^{24} - \frac{2}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{19} - \frac{2}{49} a^{18} - \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} + \frac{2}{7} a^{13} + \frac{12}{49} a^{11} - \frac{3}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{2}{7} a^{7} + \frac{1}{49} a^{4} - \frac{2}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{343} a^{33} - \frac{1}{343} a^{32} - \frac{2}{343} a^{31} - \frac{2}{343} a^{30} - \frac{2}{343} a^{29} - \frac{2}{343} a^{28} - \frac{1}{343} a^{27} + \frac{12}{343} a^{26} + \frac{2}{343} a^{25} - \frac{6}{343} a^{24} - \frac{153}{343} a^{23} + \frac{134}{343} a^{22} - \frac{12}{343} a^{21} - \frac{146}{343} a^{20} - \frac{146}{343} a^{19} - \frac{125}{343} a^{18} + \frac{61}{343} a^{17} - \frac{100}{343} a^{16} - \frac{15}{343} a^{15} + \frac{145}{343} a^{14} + \frac{89}{343} a^{13} - \frac{72}{343} a^{12} + \frac{142}{343} a^{11} + \frac{37}{343} a^{10} + \frac{157}{343} a^{9} - \frac{159}{343} a^{8} + \frac{121}{343} a^{7} - \frac{33}{343} a^{6} + \frac{114}{343} a^{5} - \frac{109}{343} a^{4} + \frac{162}{343} a^{3} + \frac{1}{49} a^{2} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{2401} a^{34} - \frac{1}{2401} a^{33} + \frac{19}{2401} a^{32} - \frac{2}{2401} a^{31} - \frac{23}{2401} a^{30} - \frac{2}{2401} a^{29} + \frac{20}{2401} a^{28} - \frac{23}{2401} a^{27} + \frac{86}{2401} a^{26} - \frac{62}{2401} a^{25} + \frac{316}{2401} a^{24} + \frac{386}{2401} a^{23} - \frac{530}{2401} a^{22} - \frac{433}{2401} a^{21} + \frac{554}{2401} a^{20} - \frac{1035}{2401} a^{19} + \frac{292}{2401} a^{18} + \frac{789}{2401} a^{17} + \frac{1028}{2401} a^{16} + \frac{152}{2401} a^{15} - \frac{86}{2401} a^{14} + \frac{68}{2401} a^{13} + \frac{149}{2401} a^{12} - \frac{47}{2401} a^{11} + \frac{24}{2401} a^{10} - \frac{1139}{2401} a^{9} + \frac{191}{2401} a^{8} - \frac{719}{2401} a^{7} - \frac{103}{2401} a^{6} - \frac{74}{2401} a^{5} - \frac{734}{2401} a^{4} + \frac{57}{343} a^{3} + \frac{5}{49} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{16807} a^{35} - \frac{1}{16807} a^{34} + \frac{19}{16807} a^{33} - \frac{2}{16807} a^{32} - \frac{72}{16807} a^{31} - \frac{51}{16807} a^{30} + \frac{118}{16807} a^{29} - \frac{72}{16807} a^{28} + \frac{86}{16807} a^{27} - \frac{258}{16807} a^{26} - \frac{860}{16807} a^{25} - \frac{6964}{16807} a^{24} + \frac{8388}{16807} a^{23} + \frac{3487}{16807} a^{22} + \frac{2857}{16807} a^{21} - \frac{5690}{16807} a^{20} - \frac{933}{16807} a^{19} + \frac{8335}{16807} a^{18} + \frac{2498}{16807} a^{17} + \frac{1769}{16807} a^{16} - \frac{380}{16807} a^{15} - \frac{5518}{16807} a^{14} - \frac{7593}{16807} a^{13} - \frac{5143}{16807} a^{12} + \frac{318}{16807} a^{11} - \frac{8342}{16807} a^{10} + \frac{4454}{16807} a^{9} - \frac{4443}{16807} a^{8} - \frac{6375}{16807} a^{7} - \frac{6885}{16807} a^{6} + \frac{3382}{16807} a^{5} + \frac{134}{2401} a^{4} - \frac{17}{49} a^{3} + \frac{10}{49} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{117649} a^{36} - \frac{1}{117649} a^{35} + \frac{19}{117649} a^{34} - \frac{2}{117649} a^{33} + \frac{271}{117649} a^{32} + \frac{292}{117649} a^{31} - \frac{911}{117649} a^{30} - \frac{72}{117649} a^{29} + \frac{429}{117649} a^{28} + \frac{85}{117649} a^{27} + \frac{7372}{117649} a^{26} + \frac{5041}{117649} a^{25} + \frac{41659}{117649} a^{24} + \frac{37444}{117649} a^{23} + \frac{10403}{117649} a^{22} + \frac{40958}{117649} a^{21} - \frac{32832}{117649} a^{20} + \frac{57727}{117649} a^{19} + \frac{40228}{117649} a^{18} - \frac{34589}{117649} a^{17} + \frac{9224}{117649} a^{16} - \frac{28499}{117649} a^{15} + \frac{7842}{117649} a^{14} - \frac{47675}{117649} a^{13} + \frac{43879}{117649} a^{12} + \frac{52712}{117649} a^{11} - \frac{58658}{117649} a^{10} + \frac{15451}{117649} a^{9} + \frac{42674}{117649} a^{8} - \frac{52504}{117649} a^{7} - \frac{23372}{117649} a^{6} - \frac{2316}{16807} a^{5} + \frac{149}{343} a^{4} - \frac{92}{343} a^{3} + \frac{4}{49} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{37} - \frac{4533486364734810663975096686908218896126226680}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{36} - \frac{62168687071892701484210186145302478895673246057}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{35} - \frac{19434067493333890467341554219045461234598834148}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{34} - \frac{1258274322566453109487570180438186820251937528716}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{33} - \frac{1095170457969878665640880636487705925266608484207}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{32} - \frac{19400067019828620506038939880106299019246515302982}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{31} + \frac{13277218408963546357760147827748094867812959498641}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{30} - \frac{4744367694237046906720074444479153844359309170661}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{29} + \frac{7957718773511061294969873729127463012934334044725}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{28} - \frac{13866633741543734647000037417547328883551597757185}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{27} - \frac{94349364686818464903518863205276990825380763935649}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{26} - \frac{137090017166084485215174137080017602274722438457741}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{25} + \frac{704745860096878611819214623092561628427351937154569}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{24} + \frac{45214333373776417375999503272513771659648308504085}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{23} + \frac{1023505631766734490276896259345881268544310384334807}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{22} - \frac{801425483838192401660501540183470947182717249402006}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{21} + \frac{70674558279569369495482855860717616094441124898848}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{20} - \frac{975118675719350926428180472884205216371229046525465}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{19} - \frac{950034196186125262650283954773771538425422958854656}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{18} - \frac{344287705334530546513954695172262730085769880845093}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{17} - \frac{610040502428490387582020597548868660724065561676741}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{16} - \frac{449415600784701442022107745274663271605130771219870}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{15} - \frac{660333005586049025727308031430387539049025209215727}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{14} - \frac{818806929198619030210155388077162564061062971410227}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{13} + \frac{455771569244073669903633303355238402220178041133039}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{12} + \frac{562729648509572393246431267810996894309190783289263}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{11} - \frac{525865623034386303526907796309522103090125646130277}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{10} - \frac{978054617201695872884293826302059149302579493839127}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{9} - \frac{136708533171441417332029100400454392128619813968400}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{8} - \frac{1043289886403179305573876579062550243069689617969417}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{7} + \frac{1042669756961700787797231410387962398510235755163}{300316622856222657310214823476845273552474639777283} a^{6} + \frac{17831324705808673338177360306109431322738507517593}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{5} - \frac{615116941041905780717919264274895720745783065791}{6128910670535156271637037213813168848009686526067} a^{4} - \frac{91130775418646767291888300869923498225915238557}{875558667219308038805291030544738406858526646581} a^{3} - \frac{49514099915514905392240610065481525631413865}{17868544228965470179699816949892620548133196869} a^{2} + \frac{4398416220161419568844049505117916330836026313}{17868544228965470179699816949892620548133196869} a + \frac{1009880723929521949896066094545402574505117321}{2552649175566495739957116707127517221161885267}$, $\frac{1}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{38} - \frac{1}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{37} - \frac{13163152384901296507088477313731797198918075636}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{36} - \frac{5762543535172854879226744227808653032163659151}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{35} - \frac{231174199393050482248365847419363696548361702370}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{34} - \frac{333261917711606283325812254661804959992716809674}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{33} - \frac{3529362904468103050648346908938236140444635029006}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{32} + \frac{84323919100656748494255351706838533489206131010415}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{31} - \frac{150040552329700619013901922038065914652379458099946}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{30} + \frac{118155600945182787603135905191994261312758780644426}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{29} + \frac{88055388516711879444848454273752945116265497646572}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{28} - \frac{52591332025042177031837489684461683664907325126912}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{27} + \frac{10413861124979349954223024859642863588422951568375}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{26} + \frac{763630859464877768529098978981664129622426606875189}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{25} - \frac{7247153175244217719694371023611489393685438275760029}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{24} + \frac{6018627725428252221658398362698991992502882192577388}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{23} + \frac{6458468348141473973113505187467313222684787819204831}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{22} - \frac{2577503496531826301136622005433851281957888573084297}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{21} - \frac{5450696473197405336324009506873222216303077537596829}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{20} + \frac{1921434829297559747563062425932283911784846275678106}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{19} + \frac{5874817075251601812433355909086256805828744812720974}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{18} + \frac{6064077930039171623571668896222735672304842325396513}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{17} - \frac{5823227537539891387308151711048306286279443610679573}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{16} - \frac{1390633392609913826675293694788528341739216962169226}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{15} + \frac{4453436987945341792854099132488086360188869033128392}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{14} + \frac{1282275413326863939835326699789244770134454987987643}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{13} + \frac{2999569090023575619711392217769480561476308312069469}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{12} - \frac{409985485506243159683066408037136522070002029026811}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{11} + \frac{3440291459904913447538818691146301632840717361881417}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{10} - \frac{1693557654233021208451650295307866747350754731847548}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{9} + \frac{778871560976124704695027233950480385489357590678594}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{8} - \frac{61207214977453499775374122291667108009732700005968}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{7} - \frac{12515885280411352290677866898622068082062949541021}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{6} - \frac{298925628029625306027331733007253437090658937965}{875558667219308038805291030544738406858526646581} a^{5} + \frac{416980932732865010217907121989830570285744644466}{875558667219308038805291030544738406858526646581} a^{4} - \frac{49148267253115510203541750602069427319205871815}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{3} + \frac{15004077843074050797204306421935721793409949451}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{2} - \frac{980730064596248048477029468702253539042107356}{2552649175566495739957116707127517221161885267} a + \frac{480272396408454233423767273858213326918129220}{2552649175566495739957116707127517221161885267}$, $\frac{1}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{39} - \frac{1}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{38} + \frac{19}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{37} + \frac{350366256209652150680704035297970213190158385978}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{36} + \frac{1174663558351217608685326059318588028265413909983}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{35} + \frac{5131929053422521103567346576044875809157437038220}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{34} + \frac{28274833964237221126593163727118666161275556850079}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{33} + \frac{185195618995082015415755345496722491575535137242755}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{32} + \frac{422293603367826110686943121827888905402072981675119}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{31} - \frac{623216870587214294409191709419488798312357741226233}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{30} + \frac{526171310880989772101911637944604442415002475248251}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{29} + \frac{1049277794341807594970008361019001714752550762438211}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{28} - \frac{293769006782522997666468852908689927881252206724100}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{27} + \frac{4836270889150627527064481985276260163676078090993861}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{26} - \frac{7234262689677399986151009592900772559368008764682190}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{25} - \frac{14965273440387075284350350354119477997318033638751206}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{24} - \frac{27711275402441299387313690851928459674815893543040853}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{23} + \frac{43204431317816168807666963443229284134016107667460369}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{22} + \frac{29229594971462621683070729389014767801174946575583554}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{21} - \frac{43904060988100653121488065019677572192872008802422207}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{20} - \frac{19844621977540846881157663430048750950124697331461367}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{19} + \frac{38222320508812870882409650504198274422460634958360907}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{18} + \frac{3444884036835957130735852150061955032699228853670674}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{17} - \frac{46153644529937603473336480501555315993987321075794398}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{16} - \frac{29129410132382544745702611934221444906971672270664329}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{15} - \frac{3282277738794968851248714483335549372359296730695825}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{14} - \frac{7843443827627583265743426482273073696513240977576078}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{13} + \frac{37164932818508921211030927180440942542398239233867802}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{12} + \frac{23498726689264514907859579348277961131639439950749977}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{11} - \frac{44472440074105971253733179291049899235220943028312185}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{10} - \frac{9471789185958871164491833269684038017349918165241345}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{9} + \frac{3543088511995791363281089207767179342900857132041170}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{8} - \frac{17561699249826890160047259894409404509635161752971}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{7} - \frac{125517883535640479055236544130221887398757152788496}{300316622856222657310214823476845273552474639777283} a^{6} + \frac{2967221783119098378600887924546043980187622853923}{6128910670535156271637037213813168848009686526067} a^{5} - \frac{1909315164870929894571960262256677512552268912434}{6128910670535156271637037213813168848009686526067} a^{4} - \frac{24213033238089875147468249074775007783641590877}{875558667219308038805291030544738406858526646581} a^{3} - \frac{51694646165014389838333826054076934201114716387}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{2} - \frac{1836329777676904902899402783643376104699925603}{17868544228965470179699816949892620548133196869} a - \frac{675764517229513950529724585840900921785671855}{2552649175566495739957116707127517221161885267}$, $\frac{1}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{40} - \frac{1}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{39} + \frac{19}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{38} - \frac{2}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{37} + \frac{2818381245733440452288091178102851820810297728988}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{36} - \frac{13280557992008601787801981583116133104629676355693}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{35} + \frac{64011420415210529928987622788967465879215035476782}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{34} - \frac{111121697479306924179323487931252367750275430141967}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{33} + \frac{691409247894924663141083877955693725723316082573270}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{32} - \frac{239650533850031689955826045468658570844090845738779}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{31} - \frac{6990741549101216562517652798871511464741474163226731}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{30} + \frac{3840232197028621995740329398520741006666886295232358}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{29} + \frac{5577384793077880529027249607449454367861417158675610}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{28} - \frac{4566357157897197275186422436137272429484897672229270}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{27} + \frac{50175375609797070254218445970942096119475681292047008}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{26} + \frac{46736443450958475343064319650563548286004452873749304}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{25} + \frac{225473962695792071528504957849047555270825034266228993}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{24} + \frac{330431509283069621543755939176767544552614119639145692}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{23} + \frac{144982116956395553996785426828187047463218452247773336}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{22} + \frac{95347205068329525089865979368689239791798640433865344}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{21} + \frac{134715951788724529690990217037266203587008560822308756}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{20} + \frac{194260647362184979012009813150138616896485120705604299}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{19} - \frac{43277651832265693049523485662721056290638531737128682}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{18} - \frac{62965105757431617221323575865226504632288372367567575}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{17} - \frac{236067202709242333586933843514815920427329170239735797}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{16} - \frac{12051314215535551159950569341503744141317905661801373}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{15} - \frac{28619191411459963471185404567775900919142535069054265}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{14} + \frac{329013045608859472914860960095506583032041685156920709}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{13} - \frac{3307756166011334201275221651386218806281646148321199}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{12} - \frac{44973721676353206950473234153099633818939959203407886}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{11} - \frac{55103902501855179194606698689144945187373198531980964}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{10} + \frac{42436038357171597628301454388501294512188107408216828}{103008601639684371457403684452557928828498801443608069} a^{9} - \frac{100800725822577844930073751977894829290956995572686}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{8} + \frac{291783708098898495957226666703553037031249475792042}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{7} + \frac{34919286642045320611692638144174288901517354066997}{300316622856222657310214823476845273552474639777283} a^{6} + \frac{12585910184238514407745963047638809968452744658993}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{5} - \frac{2554089773492723170021218522677734655369580326608}{6128910670535156271637037213813168848009686526067} a^{4} - \frac{380680637805474643403578605005404994891028774582}{875558667219308038805291030544738406858526646581} a^{3} - \frac{18830053549441985055245243949151687494699068447}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{2} - \frac{8605528969946350746369127578007924407300763500}{17868544228965470179699816949892620548133196869} a - \frac{270125661619818312390153205009965227264725979}{2552649175566495739957116707127517221161885267}$, $\frac{1}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{41} - \frac{1}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{40} + \frac{19}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{39} - \frac{2}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{38} + \frac{271}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{37} - \frac{557949447695889827562984371421699504312056817948}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{36} + \frac{38113088290911271081749937413466357484275202483464}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{35} + \frac{45140244841950734122132956021148731722021134025666}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{34} + \frac{621367113725096001384661464421486220344010522038234}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{33} + \frac{1546317462624355514122372959544538043765860136399779}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{32} + \frac{9827928541401392446036239613698554696743065165879708}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{31} + \frac{34078449926100337996279519983650946715811545807137855}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{30} - \frac{37223666832729303926576686180928915548906145355082231}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{29} + \frac{24090790437516823457998578513188025769285095805408032}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{28} - \frac{6938592013674249242262118327840290666674330728081004}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{27} - \frac{275477572508784607914043198259209887671564615079079682}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{26} + \frac{107178404460011470738706124047753517219749082559418631}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{25} - \frac{1388734555594768355626983562518901375858887270559244049}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{24} - \frac{1587713716362058725777195991966767706848866134462240746}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{23} - \frac{2028443827310149491579663901818438314330403987075842598}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{22} - \frac{2029177279569992005741384804899311251586040320883777707}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{21} + \frac{527761038868370206722795801488587084998135829478864708}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{20} + \frac{2426695618445399344022056940708315518281709656210870632}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{19} + \frac{1734783495206026353167446366921897945611397592090351666}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{18} + \frac{241946014482721590165657741727125412887653302245875237}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{17} + \frac{1022924775988357759419726914561343643085579499991872839}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{16} + \frac{1414429776387110926104317701176851830034212893814403070}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{15} + \frac{916030227379378214640351208497685864694602176492072058}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{14} + \frac{1625697332051523229032724131309271548914180898208716965}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{13} + \frac{382051479234901368005137703290947199417376843012734821}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{12} + \frac{1837298896213284160099218711517922726395300282871293506}{5047421480344534201412780538175338512596441270736795381} a^{11} - \frac{89622304307727993824905794766329655832012573984724700}{721060211477790600201825791167905501799491610105256483} a^{10} + \frac{2662105199255901578762031347175028384473076271520172}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{9} - \frac{6620021732480690977398009996323716000677283407141596}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{8} - \frac{742887859583890025494523886466135583794535441206941}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{7} + \frac{58080662980139534343976656346228225448627920323743}{300316622856222657310214823476845273552474639777283} a^{6} - \frac{9849633613566632948095251310839196910841069123752}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{5} + \frac{1644864548361250320430324688461857716047375729150}{6128910670535156271637037213813168848009686526067} a^{4} - \frac{52178371663969033120063254239714801961065739202}{875558667219308038805291030544738406858526646581} a^{3} + \frac{33912645695543245137295203664741283311703769310}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{2} - \frac{306657177315908411637290230325149743534834691}{17868544228965470179699816949892620548133196869} a - \frac{530032867999694205284294142830737208513724811}{2552649175566495739957116707127517221161885267}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $20$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{37580809615593829793795136925370428519230}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{41} + \frac{35492986859171950360806518207294293601495}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{40} + \frac{561624321477485567473938435162480292870715}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{39} + \frac{1175444211865518120772592338276863958684805}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{38} + \frac{8733362590112721668191392097712472360885505}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{37} + \frac{26929777292134225559328034995703770454389236}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{36} + \frac{20874051918705950571020209943325196907514530}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{35} - \frac{430033028785727350571531774599577661275713420}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{34} + \frac{1654774911575878888515851378047655317638077240}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{33} - \frac{4139772542242918133559626989338285685313477230}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{32} + \frac{16138661124865485829058723828856715300599776500}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{31} - \frac{30974748422404168876790745337074192711238946115}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{30} + \frac{155988174305180624529946953005257121199025556051}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{29} - \frac{153376589467263791705110784066063184120305974895}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{28} + \frac{346746634770987408639189693075731216748078161090}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{27} - \frac{596032509037584812031434994901761715987113577760}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{26} + \frac{1223222638892808785359196208254113913342910510285}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{25} - \frac{1605242126754999290657416398545361630255162446180}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{24} + \frac{3438580186187020647355967277972764925552657555795}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{23} + \frac{2093715623180552006142390097151966067683216129945}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{22} + \frac{1295457136882961239247374737627968183455110793490}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{21} - \frac{10945427680588688598338049342496472951776547387475}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{20} + \frac{22622689357710537253736774673556309244851298611490}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{19} - \frac{25767405100307021941767394693443060025089648515645}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{18} + \frac{48463815287467122167470089658981715530881757545515}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{17} - \frac{49146830185895698586984547466545041304224380696490}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{16} + \frac{12592107902175445048056597424684292202799439067005}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{15} - \frac{65783277923107712992957589364041791482385739194405}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{14} + \frac{129350871700807427049318705248738863302776550057250}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{13} - \frac{7933508919096277172676074848641651717982302177530}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{12} + \frac{11513935265574556716083189501143067166964416035045}{2102216359993558601171503764337916914867322478440981} a^{11} + \frac{133095372732421077377208259419116987646547380410}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{10} + \frac{21884606152737537919813660141104561958801377905}{42902374693746093901459260496692181936067805682469} a^{9} - \frac{4756320180005403326675374035884377910471774553506624}{14715514519954910208200526350365418404071257349086867} a^{8} - \frac{366711452406208169248419957499046565355728605}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{7} + \frac{3365532702542454052147859578401804116960300770}{125079809602758291257898718649248343836932378083} a^{6} + \frac{44443483015952547490028726651686683993824945}{2552649175566495739957116707127517221161885267} a^{5} + \frac{27707495800474761955191959007588386493261185}{2552649175566495739957116707127517221161885267} a^{4} + \frac{17683858746893318797413600542104862753215450}{2552649175566495739957116707127517221161885267} a^{3} + \frac{11457971287243274328241539524801828428529680}{2552649175566495739957116707127517221161885267} a^{2} - \frac{27733337612296533894132435948418454240329635858}{17868544228965470179699816949892620548133196869} a + \frac{5012862438168932518605673542100799937481735}{2552649175566495739957116707127517221161885267} \) (order $14$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{42}$ (as 42T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 42
The 42 conjugacy class representatives for $C_{42}$
Character table for $C_{42}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\zeta_{7})\), 7.7.6321363049.1, 14.0.32908474225670013957008743.1, 21.21.171318696215827426793735775028238670573001.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $21^{2}$ $42$ $42$ R $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/13.14.0.1}{14} }^{3}$ $42$ $42$ $21^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.7.0.1}{7} }^{6}$ $42$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{14}$ ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{3}$ R $42$ $21^{2}$ $42$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$7$7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
7.6.5.5$x^{6} + 56$$6$$1$$5$$C_6$$[\ ]_{6}$
$43$43.7.6.1$x^{7} - 43$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
43.7.6.1$x^{7} - 43$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
43.7.6.1$x^{7} - 43$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
43.7.6.1$x^{7} - 43$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
43.7.6.1$x^{7} - 43$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
43.7.6.1$x^{7} - 43$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$