↑

Properties

Label 41.41.5569004076...8401.1
Degree $41$
Signature $[41, 0]$
Discriminant $739^{40}$
Root discriminant $629.04$
Ramified prime $739$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{41}$ (as 41T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![39010859256913, 926057723623551, 6001367177186495, 4140602930707759, -62873369979635247, -91861302074915780, 299252740781325936, 424335389068850481, -853943547109610470, -898680726508319339, 1514536703235322325, 995239432812617607, -1632560051818863682, -636716564586328491, 1105369786197101758, 246552011225708759, -489681930758553989, -56363172819685690, 146509496594642143, 5902126403913719, -30267239554430324, 474335495077459, 4379546308331567, -262923207247335, -446781341742247, 43177039971301, 32113136009541, -4112155095553, -1613716714335, 252777087235, 55807085286, -10337722909, -1293434183, 281906305, 19221892, -5037002, -169135, 56451, 745, -360, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^41 - x^40 - 360*x^39 + 745*x^38 + 56451*x^37 - 169135*x^36 - 5037002*x^35 + 19221892*x^34 + 281906305*x^33 - 1293434183*x^32 - 10337722909*x^31 + 55807085286*x^30 + 252777087235*x^29 - 1613716714335*x^28 - 4112155095553*x^27 + 32113136009541*x^26 + 43177039971301*x^25 - 446781341742247*x^24 - 262923207247335*x^23 + 4379546308331567*x^22 + 474335495077459*x^21 - 30267239554430324*x^20 + 5902126403913719*x^19 + 146509496594642143*x^18 - 56363172819685690*x^17 - 489681930758553989*x^16 + 246552011225708759*x^15 + 1105369786197101758*x^14 - 636716564586328491*x^13 - 1632560051818863682*x^12 + 995239432812617607*x^11 + 1514536703235322325*x^10 - 898680726508319339*x^9 - 853943547109610470*x^8 + 424335389068850481*x^7 + 299252740781325936*x^6 - 91861302074915780*x^5 - 62873369979635247*x^4 + 4140602930707759*x^3 + 6001367177186495*x^2 + 926057723623551*x + 39010859256913)
 
gp: K = bnfinit(x^41 - x^40 - 360*x^39 + 745*x^38 + 56451*x^37 - 169135*x^36 - 5037002*x^35 + 19221892*x^34 + 281906305*x^33 - 1293434183*x^32 - 10337722909*x^31 + 55807085286*x^30 + 252777087235*x^29 - 1613716714335*x^28 - 4112155095553*x^27 + 32113136009541*x^26 + 43177039971301*x^25 - 446781341742247*x^24 - 262923207247335*x^23 + 4379546308331567*x^22 + 474335495077459*x^21 - 30267239554430324*x^20 + 5902126403913719*x^19 + 146509496594642143*x^18 - 56363172819685690*x^17 - 489681930758553989*x^16 + 246552011225708759*x^15 + 1105369786197101758*x^14 - 636716564586328491*x^13 - 1632560051818863682*x^12 + 995239432812617607*x^11 + 1514536703235322325*x^10 - 898680726508319339*x^9 - 853943547109610470*x^8 + 424335389068850481*x^7 + 299252740781325936*x^6 - 91861302074915780*x^5 - 62873369979635247*x^4 + 4140602930707759*x^3 + 6001367177186495*x^2 + 926057723623551*x + 39010859256913, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{41} - x^{40} - 360 x^{39} + 745 x^{38} + 56451 x^{37} - 169135 x^{36} - 5037002 x^{35} + 19221892 x^{34} + 281906305 x^{33} - 1293434183 x^{32} - 10337722909 x^{31} + 55807085286 x^{30} + 252777087235 x^{29} - 1613716714335 x^{28} - 4112155095553 x^{27} + 32113136009541 x^{26} + 43177039971301 x^{25} - 446781341742247 x^{24} - 262923207247335 x^{23} + 4379546308331567 x^{22} + 474335495077459 x^{21} - 30267239554430324 x^{20} + 5902126403913719 x^{19} + 146509496594642143 x^{18} - 56363172819685690 x^{17} - 489681930758553989 x^{16} + 246552011225708759 x^{15} + 1105369786197101758 x^{14} - 636716564586328491 x^{13} - 1632560051818863682 x^{12} + 995239432812617607 x^{11} + 1514536703235322325 x^{10} - 898680726508319339 x^{9} - 853943547109610470 x^{8} + 424335389068850481 x^{7} + 299252740781325936 x^{6} - 91861302074915780 x^{5} - 62873369979635247 x^{4} + 4140602930707759 x^{3} + 6001367177186495 x^{2} + 926057723623551 x + 39010859256913 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $41$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[41, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(5569004076505768771305960217126445703759867401876857883756301108406604311389659436574913426754343247431380601178401=739^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $629.04$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $739$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(739\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{739}(1,·)$, $\chi_{739}(130,·)$, $\chi_{739}(133,·)$, $\chi_{739}(642,·)$, $\chi_{739}(270,·)$, $\chi_{739}(400,·)$, $\chi_{739}(401,·)$, $\chi_{739}(20,·)$, $\chi_{739}(277,·)$, $\chi_{739}(151,·)$, $\chi_{739}(538,·)$, $\chi_{739}(283,·)$, $\chi_{739}(541,·)$, $\chi_{739}(414,·)$, $\chi_{739}(416,·)$, $\chi_{739}(37,·)$, $\chi_{739}(687,·)$, $\chi_{739}(689,·)$, $\chi_{739}(692,·)$, $\chi_{739}(438,·)$, $\chi_{739}(57,·)$, $\chi_{739}(443,·)$, $\chi_{739}(191,·)$, $\chi_{739}(64,·)$, $\chi_{739}(579,·)$, $\chi_{739}(474,·)$, $\chi_{739}(731,·)$, $\chi_{739}(478,·)$, $\chi_{739}(293,·)$, $\chi_{739}(610,·)$, $\chi_{739}(227,·)$, $\chi_{739}(612,·)$, $\chi_{739}(487,·)$, $\chi_{739}(106,·)$, $\chi_{739}(367,·)$, $\chi_{739}(495,·)$, $\chi_{739}(630,·)$, $\chi_{739}(631,·)$, $\chi_{739}(376,·)$, $\chi_{739}(125,·)$, $\chi_{739}(383,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $\frac{1}{317} a^{37} - \frac{58}{317} a^{36} + \frac{145}{317} a^{35} - \frac{138}{317} a^{34} - \frac{7}{317} a^{33} + \frac{136}{317} a^{32} + \frac{93}{317} a^{31} + \frac{65}{317} a^{30} + \frac{148}{317} a^{29} - \frac{107}{317} a^{28} + \frac{63}{317} a^{27} - \frac{128}{317} a^{26} - \frac{102}{317} a^{25} - \frac{27}{317} a^{24} + \frac{8}{317} a^{23} + \frac{119}{317} a^{22} + \frac{156}{317} a^{21} - \frac{63}{317} a^{20} + \frac{46}{317} a^{19} + \frac{144}{317} a^{18} - \frac{21}{317} a^{17} - \frac{146}{317} a^{16} - \frac{108}{317} a^{15} + \frac{140}{317} a^{14} - \frac{52}{317} a^{13} + \frac{85}{317} a^{12} - \frac{17}{317} a^{11} - \frac{44}{317} a^{10} + \frac{14}{317} a^{9} + \frac{149}{317} a^{8} + \frac{140}{317} a^{7} + \frac{16}{317} a^{6} + \frac{143}{317} a^{5} + \frac{154}{317} a^{4} + \frac{90}{317} a^{3} - \frac{119}{317} a^{2} - \frac{115}{317} a - \frac{83}{317}$, $\frac{1}{26166131} a^{38} + \frac{37358}{26166131} a^{37} + \frac{3891374}{26166131} a^{36} + \frac{5387142}{26166131} a^{35} + \frac{4749809}{26166131} a^{34} - \frac{9097200}{26166131} a^{33} - \frac{10707124}{26166131} a^{32} - \frac{11016974}{26166131} a^{31} + \frac{10592085}{26166131} a^{30} - \frac{6067275}{26166131} a^{29} + \frac{4158984}{26166131} a^{28} + \frac{8459647}{26166131} a^{27} + \frac{9792650}{26166131} a^{26} - \frac{5182095}{26166131} a^{25} - \frac{8105635}{26166131} a^{24} - \frac{12874756}{26166131} a^{23} - \frac{7494119}{26166131} a^{22} - \frac{473369}{26166131} a^{21} - \frac{8122441}{26166131} a^{20} + \frac{7722724}{26166131} a^{19} + \frac{11574138}{26166131} a^{18} + \frac{5239337}{26166131} a^{17} + \frac{3925428}{26166131} a^{16} - \frac{4688736}{26166131} a^{15} + \frac{8551472}{26166131} a^{14} - \frac{12457267}{26166131} a^{13} + \frac{3657428}{26166131} a^{12} + \frac{5572329}{26166131} a^{11} + \frac{898269}{26166131} a^{10} - \frac{9005681}{26166131} a^{9} + \frac{10235658}{26166131} a^{8} - \frac{12802531}{26166131} a^{7} - \frac{2098554}{26166131} a^{6} - \frac{3757085}{26166131} a^{5} + \frac{9962087}{26166131} a^{4} + \frac{5793322}{26166131} a^{3} - \frac{10303488}{26166131} a^{2} - \frac{1070157}{26166131} a + \frac{11318923}{26166131}$, $\frac{1}{26166131} a^{39} + \frac{28733}{26166131} a^{37} + \frac{11038887}{26166131} a^{36} + \frac{7251057}{26166131} a^{35} + \frac{3101986}{26166131} a^{34} - \frac{11720881}{26166131} a^{33} + \frac{3474426}{26166131} a^{32} + \frac{5231860}{26166131} a^{31} - \frac{13021595}{26166131} a^{30} - \frac{11444247}{26166131} a^{29} + \frac{5017813}{26166131} a^{28} + \frac{6849210}{26166131} a^{27} + \frac{9899751}{26166131} a^{26} - \frac{1402}{82543} a^{25} + \frac{80637}{26166131} a^{24} - \frac{4725004}{26166131} a^{23} + \frac{924671}{26166131} a^{22} + \frac{1476786}{26166131} a^{21} - \frac{766573}{26166131} a^{20} + \frac{6134853}{26166131} a^{19} - \frac{5573440}{26166131} a^{18} - \frac{3905994}{26166131} a^{17} - \frac{6254848}{26166131} a^{16} + \frac{2714026}{26166131} a^{15} - \frac{3013070}{26166131} a^{14} - \frac{4440802}{26166131} a^{13} - \frac{12941740}{26166131} a^{12} + \frac{1874256}{26166131} a^{11} - \frac{3977382}{26166131} a^{10} - \frac{8808215}{26166131} a^{9} + \frac{607091}{26166131} a^{8} - \frac{2812211}{26166131} a^{7} + \frac{1037658}{26166131} a^{6} - \frac{12415895}{26166131} a^{5} + \frac{6907910}{26166131} a^{4} + \frac{9916841}{26166131} a^{3} - \frac{854601}{26166131} a^{2} - \frac{11661988}{26166131} a - \frac{54518}{26166131}$, $\frac{1}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{40} - \frac{20955017046459531790544000092625940365369366404372595648155313069651181995438377918435202550053198667447152204975461751266899973271627672257503926014882993361389130566920794238297215316483068508999968579437164627204841699850759597785352784254810155082759015893828091700791672136551351797636499319307779068621539640729426108019676782039739}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{39} - \frac{19590916198689962861528598748008342353941020220409497164904585001648562416441618343157331941554668462404147184897288599841525708587933789273780172563002536005038642493912361086964084090609791855166385707177467148559567874395405821769675511914927146272570808959578866430252092413047158575492757934106476153225149508501393443228468795744098}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{38} - \frac{663660092010337687043724712234656338103983271372687422137766988397784305913405785555192083051145842600878196996576832978116448018913170872964279974725784515745782823505037031720812875410740812069228509152006479437754982308079895917105259508088250971509465917928911073011586888711533678086757341241367854042077126081210431895127193578686039885}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{37} - \frac{395452668643480519802538484067327761001472228397318453145791591263243008924873256025195222538089387387635967950555226400360919219740838473271054895452430422903960367084001944176228691883143708184009218774321445636727487215434076512370356734835719286416286601089905172833762041153903445901494977421869575001315279906334122041619024134525499886129}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{36} + \frac{18967705986025432433682127112190764702837458545210409203846516917340073433365609628335663607181992026334052335206671915515827109678527586715872971565179680377831505563833844401265219555701391630859870205830043376953343585753941908020587006502246876967885796772147407877846838529370289315250403606160531388006638939590468176314529959095757192850}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{35} - \frac{380279970180947171897895581967288638076144335041179460728412150790016900160683647800392709728413706811355763294221449501689778694257075237872275897786925120085518691613319117070835928664972816765977648092688799681858702220580361533957904002919905119413929281516262999678164087351181478654373232232560012524226824714615008907089796890503591255369}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{34} - \frac{379040452276054081223203236726185612777282362200156321714539740296495582829417714082013683885207436748889901820180937460271821989395316515265964815819970022881026857547825398652951127387708183325155466854270055218441526976712979548341159893267534510798009710544976775751381583007306919789866496782207542153721425213798408435386229111179769171374}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{33} + \frac{186297087069607518018567251876181587357800818759044957307733700916709544201292036412108351174814837053864461403923543761865007962162020411507058751176149669479826222837871548304655629558475231138709296521500669371542322243599196532037413262950451933024759396109412529049172214513828960432777142989847054799851656126611927803352462151612852271407}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{32} - \frac{292861980418033685118333355399042883489486627708667746046757216799666734577513729623743101834193434039852679434905945877741212762839247556631262694226013298202275141644164272410304936212731564718400193818198307527599375697665848365728968221471310725450517350574411599719214819962283997224422898753586347950516386977717872329858946547657636254117}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{31} - \frac{399747382540431765635441120510184154789677606760339053898079391433643750090104922038785110416750494583493232697384560399960516752139970824943195425612590822924299249984708751107518245155919594228723107731442208775959560573949829349102356380599162113491083193762167342326825094664501492992646779608921143473304593701962953006555043646005523957001}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{30} - \frac{234042558972519863390907147284868070604395538478632743723731968887929076393642633375136008664593727207698644683153066675446413809281802849279695289388599042202246284569975358879439615069233850551195081407856388407433988543211221429625891519332388631741093107706999649664157492168553366430220967839923461818724612854089607819460052853393118493844}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{29} + \frac{145778933624987436937588439974447557919535534376089562850520807363533932548206078498997479116687040972491166886843074090496260528812993709242342189007124844025595074819704352635979256150170962713321742842778184447011052761362153566303351480557169577240316944539329800557624790603560214356713568463392541044060479973320821088067538551277317887210}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{28} + \frac{472588672908795863785801441958104513246319673655225674512628244778517303667060861150011072686183862979351419287098831164594684067986283868887356906464856927133496554181388305341484911415451881676698548984199883758959787732601107373162540384776936965312628803819827049102433235984412340548691938676736283050307982559578498670430836485322188243595}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{27} - \frac{279339714921694357105022409026366674296079073708213129939132087837427204939294681690162754712505726345085592319223613019682291874607810009141727703949300906988358599108355020464203554282738438757882870848650307625748972010643168945333147172513062688768809561507332924335727788454014136709975392282073603069342829235604830116472885963467386312313}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{26} + \frac{227760885983925861423040494151515979682134514223225294777099788898776276156321159342473296086215043167843011509991713556133881348763192717230583116020557114990049978112866310269531203551666798853943173014550081555270571611227453306523388065460253149260407172202703336895616932528494365566237930308941862319613510254853592299402896535694332966012}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{25} - \frac{322885893015135180699219491651345386849646618135604356115382918888029038857211235543492028863172603640847576783969682161068714850338604977874598641934889507404353395994592309565913015218814284257573390699214646465955737827869967845914845066909108566437816862119535613394497213446417491244000916106424783449193390000961782358520170299937953730885}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{24} + \frac{524376421331694991778361546828914389962345602107647953190431626793335415011599893580686642306693126047752417526497878619065386421977947761348925699255534602389694110156183211783041667044924883535167869402117286000387796284846525372333904741095296741705638983052841795499282776441907498584975998912932942638012784775063340308503675409233185319229}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{23} - \frac{148212886208715697206338437129082842195309589992014549055447426571702944078928924719902102527176091416739794015568415404461347504304053239014187583062087149024912376977677085052925363430199584126126386294252409320426605929146208178357115454421407904141462177530876156834261182261825981479523462496569195929653018483895779167309128256273713593539}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{22} + \frac{529869145493726917037257552177742280308081448605189536237828415932910809829729698081936268108828763170745024202476538781896158003311895632840971647740465298879241079084758547734263638217889824582176681842222591418191121875484234178028381798929246418457248197588465822404945910212138523754730802033305896011805427536403062641261035084411524457090}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{21} + \frac{255244457093786147806626111261535820319480511158013140761717219238077899915864662348587832777464700087192548383843589460261917739162540220800311307229885648130280158732995784162226720489683348075635958033490595065469199287757436384672374006149059344105412374837546925232373189824020778730133119714503120400425672815307775502886208988256702145544}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{20} - \frac{58103587736539999801206938172298639857235252017402064554412073171391540415700197655035695020456176782350975296380818849698053919110643500963903060496161877128147734052248377618990129625983739654181572293870305047867186333499502660068092141143754139053234463884155034410503318125642733874103559053982578626587080682119126303673129275522513532406}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{19} - \frac{532451331772389236308097514061236680653032804464862268500423314444717886004333736809053872796334026587364718381404473256903126612186115008215928888205044208261287463332491888695150826645225640017849981023407473684560249918385962261444210012646181828428776963384492680110849504187332500194469341953962543488883428659291381066160853666252173977891}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{18} + \frac{446472526963240505248843208226311155704349900655721872743028021440079919539050249966719011461314784222826940416952697778908940816755957438174313750186000566223301681158119889647276743777791523114776080717842079682179847368295300141193411592652791122441845211477871054309585414122113798695420105345835143895072087483761995424153145645567972966218}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{17} + \frac{229118741966107047509945654941381625813745278261435403450061883741755353832097022865216392782457364695306496205039479561726407965555721384355588784885003319757318683894769046841358729621552382872040884790284279140706438336407132572099779865936345300593533792372652185950991699541300324329747706143672778194406531065135523832501009254763973168912}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{16} + \frac{202942103565870660207709601414443601164263892304793158792353892815158016835713134209539045045323555431916482345567350189471688077311193511161046230550865912029722359501212925622399366090378067307186007996913281801718551702647817576960097485109826885153335772881190254674513539386722826681550592250131000240353400678334277859876045441564886338233}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{15} - \frac{512002319886513942364207588542370796357319273739605892872084944040180325030762064758072122577798358614037104368046644157637443117552091128254801831568416219070608465986606236744697445523538748824185370852516998072937285047183377606701595431374690976222539638190729081084169847081541988962761182684170467476999251763672186492133249247616995132759}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{14} + \frac{576396398050670978776752536182327466838294851746034608376847660546861412151843019194966378601186407275322022961871733872784240783197463615079585576716809505997081151424927415214046567322574950725688142446645429355706292895206470951095528350196468677314503085326303922113015786637254690855325991243637023872204120135501979180442393869998846960213}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{13} - \frac{88814070178528416652076752507914236394990964426503856474002161086110238144951323093621603602335969392241074806071362286859008621644623782346021004162048173528863275452033326689048711284097994987066746700088152091903675642142828209873530807000748448960998495824024211191741163696986517149517325895846206861415582239298123319222572376959923476655}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{12} + \frac{213738625222007602875623629879785223221677757932396790413374546311479326423467788681761480738151869510271071761374181456611396841542533581339483465201781993177021763953120303928395512956743928068785808610240539286016713501004524778945207205850318083781729215868610779212466543019630411217905632382768390975849173457399509621568659792778791475748}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{11} + \frac{544253969113449927033000117053422259785316596227600876679291365566198677737886444611650617579060269443354830742630312146569851204042287159054990437588008528496599187981134219014338684383643961270342090933107470245633944654408354387484814869794354698190544074671627896153790991057402550394305358761448393122422288768170914607488169145209074178667}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{10} - \frac{417075933328955204393714111751364564378605376868870005004142743792879783092796839411604822410158386622592199749255511501672050905052983059977044858812820076469816640310782110636584903924756980839406948271627765471293678947565557220990683419465043536445531455911585346443917861662043397435447501115716030950183605337788748617159202824703493988648}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{9} + \frac{212378631599520638338633916381977826017425868106675702033135234002043816507284044473487053376610127756545885743364496236392201168751582887876926292427094889258148689514281259412189734489714591899295725031620707724524182297070264102964068423902965781546601833592948843876575543245271073664255642217663777086792490523480849315182468438003750047397}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{8} - \frac{85229117986791634047382584736283666781638584666946546214100294314465424107017858854917169223366526088512912727426428869897348175989951894255582725892623045347855731851818138172869278552103967742188640482568882044485156988352377828332125595799818158825664613232030851256047365952242315065458533184918789082280874830999630074565326955264385619360}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{7} - \frac{31858997246341467644042355330141540445743324561251413317990221893264546472367660782111170437381442116124747400208839606762782253425758007538760717716389250388109969823429195516398903154236753452870798432983065023912441880142614991681973786956685097451629647795537033828650932104274332118351863012980964512644230759578871913950632388539385072953}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{6} - \frac{123909579500122825333876365299638521299551355399433924053973917190291983185177179348003892843657829570999700229840410043499617831776056342271859827717935941050298776440730367608947804663527772305594763291832773290444573317797869809601753163849286952581508966488262759076329368799537191336252425537476425896658220246340869274771862725653578678459}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{5} - \frac{86524751759007979078616659032766204485972204141560045148577988921400908058038611636935467195970043037511963399871948871773009747941825858300747496199042655996030825130600834348533225868729061406107933213705135125799518731778956827361419544368586611123281838319220343891715843214333797653970185687804820455368083552342564916216827614072944765437}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{4} - \frac{544072110762041534375690979934453514558786821161326623458278544982052174598185502467173044593100762847766381771590881352191717159319708316726378433150453926559033868149224756352269853887858135644618173625459843822034183490199132695324508373833296464084535657559433179788442446491369338410980985679917851912493703298372496390056481049881837832137}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{3} - \frac{218490242688057902692079708749576103312705315557914635987392414464156624755836094782312680038710741599487710770769628027014996054247615792166579349884422854768159282163456539562455004746477955191004364742541148035248597287271088768866893448697193434397380447789138561302058117987098673139853224858841013501562283659742182138972986493296058484872}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a^{2} + \frac{354820824593217264384536556645832895946945665442302399785592278206218616228707158150187302012662429360801879114375069269726341140966536289753035575444649573433682688107431140521361658283357866435291893463312903521575609464507641891850151469006429525833317690578229357801512175917696973133500147302948741453862537716217298437795134775278575548294}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189} a - \frac{89638141490533309576680304670769359214199269540781463233415320494762505263349750835329573894047043338639588882966100689648480861368689265720023642534372995599616811711532000291508330179936605984379764719695201746012120443204739311849708857282844749686966834366487925895393910086316889959592139724948454599800392909328514281237407738507673220772}{1229248461955924907601932717609715382283778489183411571639228539419531605565285948857917996212022641832181424250216347814559326495040658908608746737594480905885842849750412656672722846871835857869389205411549121740838115021611362051177551038287395227340860027083326300953026634445402048193245569467582274667342417358077158190357526879420593251189}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $40$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{41}$ (as 41T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 41
The 41 conjugacy class representatives for $C_{41}$
Character table for $C_{41}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
739Data not computed