↑

Properties

Label 41.41.3747367489...4801.1
Degree $41$
Signature $[41, 0]$
Discriminant $821^{40}$
Root discriminant $697.05$
Ramified prime $821$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{41}$ (as 41T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-149270874547838371, -499943870456762867, 4168134528839675291, 202102108745982587, -26391119726982867791, 23228035973272766493, 51180521959924527335, -67556477435299552660, -43840068640516285889, 82370621416601788582, 19074905803558500162, -57732002041736983193, -3641024063367368116, 26446416435739805624, -372233629251247247, -8467703539109471908, 410494333593592611, 1969458668208622674, -118610646663806737, -340291820674520880, 20209478217861146, 44211233079107427, -2288515231871121, -4339729918343900, 177909044828159, 321562652641396, -9479269329758, -17885796411269, 335708547372, 739255603225, -7251158053, -22359647160, 68617520, 483795648, 643597, -7231147, -25456, 70434, 267, -400, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^41 - x^40 - 400*x^39 + 267*x^38 + 70434*x^37 - 25456*x^36 - 7231147*x^35 + 643597*x^34 + 483795648*x^33 + 68617520*x^32 - 22359647160*x^31 - 7251158053*x^30 + 739255603225*x^29 + 335708547372*x^28 - 17885796411269*x^27 - 9479269329758*x^26 + 321562652641396*x^25 + 177909044828159*x^24 - 4339729918343900*x^23 - 2288515231871121*x^22 + 44211233079107427*x^21 + 20209478217861146*x^20 - 340291820674520880*x^19 - 118610646663806737*x^18 + 1969458668208622674*x^17 + 410494333593592611*x^16 - 8467703539109471908*x^15 - 372233629251247247*x^14 + 26446416435739805624*x^13 - 3641024063367368116*x^12 - 57732002041736983193*x^11 + 19074905803558500162*x^10 + 82370621416601788582*x^9 - 43840068640516285889*x^8 - 67556477435299552660*x^7 + 51180521959924527335*x^6 + 23228035973272766493*x^5 - 26391119726982867791*x^4 + 202102108745982587*x^3 + 4168134528839675291*x^2 - 499943870456762867*x - 149270874547838371)
 
gp: K = bnfinit(x^41 - x^40 - 400*x^39 + 267*x^38 + 70434*x^37 - 25456*x^36 - 7231147*x^35 + 643597*x^34 + 483795648*x^33 + 68617520*x^32 - 22359647160*x^31 - 7251158053*x^30 + 739255603225*x^29 + 335708547372*x^28 - 17885796411269*x^27 - 9479269329758*x^26 + 321562652641396*x^25 + 177909044828159*x^24 - 4339729918343900*x^23 - 2288515231871121*x^22 + 44211233079107427*x^21 + 20209478217861146*x^20 - 340291820674520880*x^19 - 118610646663806737*x^18 + 1969458668208622674*x^17 + 410494333593592611*x^16 - 8467703539109471908*x^15 - 372233629251247247*x^14 + 26446416435739805624*x^13 - 3641024063367368116*x^12 - 57732002041736983193*x^11 + 19074905803558500162*x^10 + 82370621416601788582*x^9 - 43840068640516285889*x^8 - 67556477435299552660*x^7 + 51180521959924527335*x^6 + 23228035973272766493*x^5 - 26391119726982867791*x^4 + 202102108745982587*x^3 + 4168134528839675291*x^2 - 499943870456762867*x - 149270874547838371, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{41} - x^{40} - 400 x^{39} + 267 x^{38} + 70434 x^{37} - 25456 x^{36} - 7231147 x^{35} + 643597 x^{34} + 483795648 x^{33} + 68617520 x^{32} - 22359647160 x^{31} - 7251158053 x^{30} + 739255603225 x^{29} + 335708547372 x^{28} - 17885796411269 x^{27} - 9479269329758 x^{26} + 321562652641396 x^{25} + 177909044828159 x^{24} - 4339729918343900 x^{23} - 2288515231871121 x^{22} + 44211233079107427 x^{21} + 20209478217861146 x^{20} - 340291820674520880 x^{19} - 118610646663806737 x^{18} + 1969458668208622674 x^{17} + 410494333593592611 x^{16} - 8467703539109471908 x^{15} - 372233629251247247 x^{14} + 26446416435739805624 x^{13} - 3641024063367368116 x^{12} - 57732002041736983193 x^{11} + 19074905803558500162 x^{10} + 82370621416601788582 x^{9} - 43840068640516285889 x^{8} - 67556477435299552660 x^{7} + 51180521959924527335 x^{6} + 23228035973272766493 x^{5} - 26391119726982867791 x^{4} + 202102108745982587 x^{3} + 4168134528839675291 x^{2} - 499943870456762867 x - 149270874547838371 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $41$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[41, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(374736748996787359631305155092300401320167420349192445441530719220110866474778641166604150096881944963931329952344801=821^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $697.05$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $821$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(821\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{821}(1,·)$, $\chi_{821}(515,·)$, $\chi_{821}(132,·)$, $\chi_{821}(649,·)$, $\chi_{821}(651,·)$, $\chi_{821}(784,·)$, $\chi_{821}(658,·)$, $\chi_{821}(404,·)$, $\chi_{821}(284,·)$, $\chi_{821}(543,·)$, $\chi_{821}(35,·)$, $\chi_{821}(548,·)$, $\chi_{821}(165,·)$, $\chi_{821}(166,·)$, $\chi_{821}(297,·)$, $\chi_{821}(42,·)$, $\chi_{821}(685,·)$, $\chi_{821}(434,·)$, $\chi_{821}(563,·)$, $\chi_{821}(566,·)$, $\chi_{821}(183,·)$, $\chi_{821}(159,·)$, $\chi_{821}(63,·)$, $\chi_{821}(198,·)$, $\chi_{821}(28,·)$, $\chi_{821}(463,·)$, $\chi_{821}(249,·)$, $\chi_{821}(88,·)$, $\chi_{821}(412,·)$, $\chi_{821}(347,·)$, $\chi_{821}(606,·)$, $\chi_{821}(355,·)$, $\chi_{821}(617,·)$, $\chi_{821}(618,·)$, $\chi_{821}(110,·)$, $\chi_{821}(106,·)$, $\chi_{821}(505,·)$, $\chi_{821}(122,·)$, $\chi_{821}(426,·)$, $\chi_{821}(362,·)$, $\chi_{821}(639,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $a^{39}$, $\frac{1}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{40} + \frac{19933512802520434791918832771949302492927303415757396259905754160374314544581506535480673647544564173871959426941812326206485906763345897463022916300606750362886185883924941183307767966864362064922379608379134076550685795650655432560256285750327981324248562678400055795051744525697493871288835368823582300323963221073673047133074810234437884843262731537397995539740480359058262253018134763399}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{39} - \frac{6720458084989765796476932245139970570009377752116049463735552659651033735395232489519281693404470605050049696916245485189144500460614256666849323204588526218527246679610550328431287383917647234633614203701466369519473179975196594166287737158274208209810518359088050734473958237366908058239142068473344669139953846603355450739452775928720244001168635378542234441701921652599957786111324413287}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{38} + \frac{1848548957784622277067536752498758137270785866657309514033306544448339338625598172731344796524556352986254173572638023486501331828365490665671933066732379676321097929807612200964776504389922091594902483583398085019445261010517132301321208375904029944899583732661667544058689500492483159264993749941067606818697409551097636050241516351539048720072441361443732322439581318432841849045387961890}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{37} + \frac{3974495937197449479174315271062157396808105839506787721966397041107869713968072325347093790104926392634876611039187773600858775220348414574896832063399363131004455159790862851442228366457837663597315674729007564857394701166305041490240122432542469297318274670477672050213038506703299867730897274582315400127889791553124486997517727198278574889365303604158099215007359086815950828341246413692}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{36} + \frac{6212821800205483930413663708929345975524969339313042486221690755957646482809565740206351072075288215038169752909816990597638819118902520010765348936684221316888032276182512406882453843292820689846123065402943868601128256299867059522763341963739891077463291493741784011009444777602794407735707994465645861480694888930931235245133233334547352842759936171818940036711077909039431002550299733995}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{35} - \frac{12434693490667379996316684055944698866080041864700807562495550709267016568648781803814861700000584476845333016553499089826499438540646373457899886705940721821332943865567931583895440588149996412440351183793420199062417959375800648093527302441108554491311795042112467114304881907968451495915801757040780334178661917748222986000169020563714696841374197239568619827147052557352373385736652437601}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{34} - \frac{35027003539930708844054623511381065540325449570751290628773910938966997803556780593746016564808126640370324043859588316416852289411346260712528427747681386940622378509012108341769999040301740612139716329787311132181671198572818480341861653177587892513670723285511764263787166682570924473061303721097282816868151924325981099413301108887595853838976823400495045290048618884391085311769230779147}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{33} + \frac{36087418146377089087827787111757199965073338220154865049492514924523405853288029193378841588293260139376207795275094112501475679212300806110657372688037054704563739837358809988849394052110890440609179860077708398638632024319908028365110249958957922831061663157972420921501952327998120199743055796133515264555423271456753214222549474322608146991749009059231078189180909832723895600259635684604}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{32} + \frac{10339040301642041004121076461593784440393211138606497831670167361752829640792673424899477680565744347866559149709325467840041344288021434466612237835511633620505323854107989078068722570912443564568000434271735068395118043536665656939274170927039789820540662707537367339022545157351878042314479127592228877476540556952231121511003202958846139830439320430331105514163664087015638177623061314555}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{31} - \frac{6780217117875624238053343898462175460655880355825672223815524759952961080589683930325199156824631840061134872670970855801927450817165207166298827006202784451631792485097015300970683483114852399155156996108775460836481088395726074821095031503460007604960219019650628732814571279762280621943608897308073626658042689696723950283170412724409252403892628754826186084582962876868253617062434545936}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{30} + \frac{22871853392136875457593513104918762978906999544636649198103322916040375438579014548232756840714094050404858344425831856615644275907391789864109340621366621759061353843306387075663889867897559966237600132738218495140740450957837221165558123680904568538525387337159411144757140838250454106993918367656087265888594290714161206673902467800084480744891281229910049448783236843394805248612033121749}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{29} + \frac{16878237847191225806266746522988480286481747854215711991836262167082902061967559824415565019625529174284136865893454092421696009687830900649046677680577612638891734255261433715569491305595396766538263595499044752731070327822860234602843561044353927700942009314391237740161078905269196419050411403620528377774750121211137728433343390304088695604344226511559499580845202382785265027618942281428}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{28} + \frac{22027064886657812980407985044219387006273094786782400852905972267533018409463598254553248115725963190871424356478517930883058999317733894423051317107659550080632385706561729158300450541913705293173123069209893530110221838890104525860557447113596087423572472177837632032904966966756759824207396227224126421242356182898084682933754438724376177415765301239727962033868617826830827173745416280870}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{27} + \frac{1959363112187705452662895886095013119281688782184530397678204543924251102848111637662830385805108397540304341215484412619806317584919430903314114236040929012394146688529992868437092677765444288972671121349645906125605802397174362303452904160596165014681169628833551383395873283359152031858117804690619665381942003415094352777672258719293872112298380784402686433897438354074724775742347177561}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{26} - \frac{22408919771304061115911552377561281210318328343612684874802224838772401584527504312344267128510411543892910036662855619814132035253925909170492037860033385153728179972831630037949654909683405713437887229377144612493511935471654961560630188041913954324092499342043026587318185610731832828043082195590692201545297850358363748145907138257473882723245993919841027597668755379799252209825021548877}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{25} - \frac{23203114703736191838976484014308597507080704124274877650147309267339440808212488742414287782348507907456380961197733450502832115954653162452665420993598805083988312191591163803225940543144576193426715864026735747403726745118400001290470917930361199799565988763151019775058169659111044166698500208765625916512286865222091081937339267637193990856410752505175129530106740583444759483550880192485}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{24} + \frac{10638343912504032768303280941725768595322552519116225444465086074588219105738741142398959707876963865803297945764776020072198504296970502483263607726466398816627347923847726350084928571880682369242056310323081171633160492679929206132553713293672735687991005288685633805092521422614397464811604210841723619007600346343531226998141012379593409871475086570273860154131177182174049932504149091985}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{23} - \frac{27458691813021998198625530375150768526850219725240145196474940795639920835948043522382426441200449039208516078876483101199164688079279962561909505404750760147400599328092779965887742187557114799799412601712872971224161264122431809495381336033602145521218064423269197599045867744302740692921309939067612943425343631490031615027703363696099985974722824191907064463877426400578574530070600940329}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{22} + \frac{15677754951649845373162613846944859307329505838545014566421298766861263368528639640730498057647755592544617731752944826867391093502295786951452698997009452186749766920463637683077802495497953401554814080419431457026697927231319507786794098802571071187444055984520184885609541089412600925816985465829628270729951109440063574853101589010392025059954002701652235035532928154631925574780130638093}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{21} - \frac{3764968755622940767754045413002461145348642887449858415602904607810700671681934962144118187740982653322077625815307326306813711600049724730074059347151972721460705623747112648158512185423739571832074224165352739423353455826171296830220184303554277548857495664222871736247849190999218366510866006198676305935630440028745555487082295380500442292287087030046457025565323921243480098558987584750}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{20} - \frac{18037352822668193414359179804565600880838162394722438202176356951560824558324086006382963980809011319892303984339210957363380045121471209972221425947284843313625025001278681576135367251576328558893993267461385270923772378159664719370671250432703569750592695898661959263557863139397339483268628319741555616641833060059875363208824609011101543848300380546721445629063024470157237403454050832186}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{19} - \frac{26765330703021874044977334321955266087625976462366028982722353968400508081988126753045671482964216807566410126746300917217880324972792014746279472532476958944413377281181455641921447245777056233905650423521722395241715763398397723058476230541557095574214491535808342111094386469640099194374919218550515477285747319937625363831605365537294617713672355817046834462546280176651602910363428955771}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{18} - \frac{10322660477597691231135420688871017699114537077917763764237611179367408442384027261520495311245564514900495381463726771703353548850557941160099731651546803988419411172448897124148348569219825781195238969219661866502734897356943841213683175095776166965370801480957854293442895349945277173821674784022315772527373770660627755929428214871984297259227508544155914101805990900666650227210879491011}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{17} - \frac{17970827108546541627457500833053370402230538502177945833705915528955730349213772247471138963103071980328408996142757181120393460293804370434124525888117749340267969572496976708164934190779873389925617941354806851964223263329201769159397023044674156225000152261464968854460749532707349978179273979037087973071360276781054834497635766550022360043758104716639693897160151650859179792824536010300}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{16} - \frac{2838874261037162436783525863889949817736257786512858959895840071308356295427980298773388297301653440443296275108537692581879691647629052100644230292187798547364728278028401444492341181963044482652099642727084056307321831848823992895808465010846213195865249471996712883519657727137066471732628255346342881613501812295628264078506663011745611364903653431761915707062506888309327048453069179159}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{15} - \frac{25533276005914880212129852395978439598274379374084724594069505534293398929785887057952275431843877302025643050413355511750378753447637507479197502902476926853398190830736839581248160506553059982796647944778714483634978238296780817415471707325733478494578958963673685068524568518455529701804090868844993532613428904550280051949215390914951663496695869568974436541531710023994440909681269555407}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{14} + \frac{18625599634862338551439654695307880162781176943682396618498703687180944092690885720468580161919827404994931138363467712869071427716406561642961390914643170190100823799031890448979588055182269195656448899251336725886319894582947553015092136800229320232405980624058898821451867852145746739288037990441033014886474516454173518520643437470619259392361227605694433366890127502008932714606170459523}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{13} - \frac{18004844932489794741883096231185507819161909380530663168379757123998005893557994945170253338651563907000032439245120614009676307320271358504687087667588383958086722804194554660916731055364651355302413538016799907134441463335328930537141986753481302461254686893079529612731882177649631296829645955083517137074719523482471156169343950859746771235917779640391546500149067317041454470492685215125}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{12} + \frac{33331469544679358316649413280358137342584769461062285251897516577877720758149723253128944423637592822794120463523584748542173885262218982419018741312227690438132535378025810782788941330359920335658271182463724564279959454438406012283234794199311964435079003550926501836208209157208380192942933669804652930265047082150724057732445538209751251737076882177578907803489581736482931283894736345502}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{11} + \frac{6238660782457818806424026101616225644483314925038006784407149498271508572403987638879988006609443059235907700872215668504994400940149562782689647542150168855025022573323897210499094458138232568176183857275757623781237318028459289583145130173737625625571641089765820853074920455858432785885970661167847591076737695987029257996127370057959264139761556532921936295514723110233796678859686128973}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{10} - \frac{5822787870223068143637178959898102147340414756796802601169842737382882828251326580923355621707783856748457716590706991438098367451744167822479126716524426698597773421399128258592151305316103586580710579673966933645219201482171565269580872766301456331204957222013680470199388805082498346377651069715294747569068191839101481549546439723694140116231453601937189483310194509967264149226191057521}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{9} - \frac{21215404982566772162374597755931923001801555206352129599517504124280274207208444695375136798906703801891077082289977115402978305131714038498217478838458496936533365536929596545415501162972761120126846907358228259265029904295590098408948187575358233589808713096917276419951021552926507891769741483196931527300903851074377474270643881224301738305919401486630735541346055305391452277886670728332}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{8} + \frac{3481829066996313919327535013670204726215955475167475557258274977029811478696130161528769877357305282376898647453499145014614273579595059269858405038925522931033126919086161405466594012639278662176569383512811657877488622572072834155448853969307656582830675758173107587057771744009501324812521665564303803209727351923581290410779410263442034753774691426045558529856404582821583768239904200197}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{7} + \frac{6047721565683738627594814011615685732877571504308418864420238877218080198546147286312464767738042513392108748640230892706784205804083965304127611420452297780877011933807348291917248901850810770366562602100863038143236746658954564183495497382949883319476555986626917731057017003295320405810396920098739750375276481807479752975125197972316184967006923589780074044298038335302544533947660940544}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{6} - \frac{9218100819810609959609744367336084350419939108034259663556910176927843244939380897269710143868680921258070493033065265449306998125263080061939478072000459686373446451155911335074255144765194596332137704205920853993885277817955099473353408496964885556890472161823738014925754458947611386852654691270921936954023819704778225534233799555743637600426709439754108733028175676886690770105995805637}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{5} + \frac{17350919488187296904233687925713188085319718730456846253357244121703467791514576680843600929100176383148359749254721030719203821763602594337613370799219915553005829034258753238486973601099937840608215149015413569378130605565409227334885784504861698308693816035133295178513991390375205476437080225417754677930082312101888036815564725054839168703329858165997607891253001157503936710943313181181}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{4} - \frac{15488252635863667694682836225345432746462751368781492166180998863915215012510644993009698181082718552052849944872651139268635316723079071860708756737462823235846233902231642816970993780695646704432881028471201115418460262628092943375139520781131541997936316495561120096660706030585023228992261538369785999409944519685040102619622723475186747076181503830624941236371446289998671652688480947373}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{3} + \frac{2548948296620018287355287373246636102239294617986423529768089398188225935884902018652845043639240620279464997790739839559004881856920799874585463153500407713755150620699869642973459445332965381996229524886956987168155167297936588075249827738201491282484552048986155223730064654549643868056835768271482944998701041817852801277924133462086096131523270920119554332862824031908436873150738392860}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a^{2} + \frac{17848907722203473471048863482178818433686527661454815877240233223650236782481703791310966562728514116224236638199968431546879776711310123521715399304507681679603100637797494049159045635213923705336994532249063075064614681622131938042712867628042307544638736811554362324193413497950586992187376904850929150344706620496436525071697091792319609916072424251783193125596335059993574210730569498428}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121} a + \frac{22098012109771169974621705573602939566037820475084661095755556020009104874045742918656181513534867357291008374149932426930369606125499086221626140352343509794652924975492707843706304992825456867633573776408820434083052984623776489254905523421012501272454535945785451005840356284670844921888872612893354197505175309004019547854201798420546522005182797304069473626823948265988550105933167298842}{72768094026149477505522250718963883082988336572177726828622580100283384190289834793435147860893132081611954810714717064121938155688110717703451780004975893358738847054737671114197259538739343231829532201647248233017617976133664307821782993726810182466724949529184843522076018569810110387812763401211594376758916209897738068495692126999053351523116195982402532873935915811868000870982162951121}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $40$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{41}$ (as 41T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 41
The 41 conjugacy class representatives for $C_{41}$
Character table for $C_{41}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
821Data not computed