↑

Properties

Label 41.41.1053679516...9201.1
Degree $41$
Signature $[41, 0]$
Discriminant $41^{80}$
Root discriminant $1402.48$
Ramified prime $41$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{41}$ (as 41T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2727257042363914863401, -10590850429623318361311, -256246929318582500140348, 333868055127333108898601, 3896754513924753580219610, -1349373804383563050067379, -16988637915887608842729071, 598853130650094992883999, 22013783610841586394614893, 1043523355082184352460715, -12510633939200726076347653, -1279320329561947245453521, 3855061119747652830292013, 544476915889889670403041, -724697045982659590514328, -123172673161638273736870, 89253263738667697145313, 17171487184711671438215, -7540369918979718461657, -1593603545898162906857, 450266165503910224663, 103087839028351278942, -19362795070723667202, -4783062094323192024, 605630162979885300, 161957213612863355, -13810013721005555, -4038255389081271, 228322554454083, 74276881167057, -2696024483356, -1002016650746, 22080920476, 9764169434, -118821690, -66737627, 376913, 303031, -533, -820, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^41 - 820*x^39 - 533*x^38 + 303031*x^37 + 376913*x^36 - 66737627*x^35 - 118821690*x^34 + 9764169434*x^33 + 22080920476*x^32 - 1002016650746*x^31 - 2696024483356*x^30 + 74276881167057*x^29 + 228322554454083*x^28 - 4038255389081271*x^27 - 13810013721005555*x^26 + 161957213612863355*x^25 + 605630162979885300*x^24 - 4783062094323192024*x^23 - 19362795070723667202*x^22 + 103087839028351278942*x^21 + 450266165503910224663*x^20 - 1593603545898162906857*x^19 - 7540369918979718461657*x^18 + 17171487184711671438215*x^17 + 89253263738667697145313*x^16 - 123172673161638273736870*x^15 - 724697045982659590514328*x^14 + 544476915889889670403041*x^13 + 3855061119747652830292013*x^12 - 1279320329561947245453521*x^11 - 12510633939200726076347653*x^10 + 1043523355082184352460715*x^9 + 22013783610841586394614893*x^8 + 598853130650094992883999*x^7 - 16988637915887608842729071*x^6 - 1349373804383563050067379*x^5 + 3896754513924753580219610*x^4 + 333868055127333108898601*x^3 - 256246929318582500140348*x^2 - 10590850429623318361311*x + 2727257042363914863401)
 
gp: K = bnfinit(x^41 - 820*x^39 - 533*x^38 + 303031*x^37 + 376913*x^36 - 66737627*x^35 - 118821690*x^34 + 9764169434*x^33 + 22080920476*x^32 - 1002016650746*x^31 - 2696024483356*x^30 + 74276881167057*x^29 + 228322554454083*x^28 - 4038255389081271*x^27 - 13810013721005555*x^26 + 161957213612863355*x^25 + 605630162979885300*x^24 - 4783062094323192024*x^23 - 19362795070723667202*x^22 + 103087839028351278942*x^21 + 450266165503910224663*x^20 - 1593603545898162906857*x^19 - 7540369918979718461657*x^18 + 17171487184711671438215*x^17 + 89253263738667697145313*x^16 - 123172673161638273736870*x^15 - 724697045982659590514328*x^14 + 544476915889889670403041*x^13 + 3855061119747652830292013*x^12 - 1279320329561947245453521*x^11 - 12510633939200726076347653*x^10 + 1043523355082184352460715*x^9 + 22013783610841586394614893*x^8 + 598853130650094992883999*x^7 - 16988637915887608842729071*x^6 - 1349373804383563050067379*x^5 + 3896754513924753580219610*x^4 + 333868055127333108898601*x^3 - 256246929318582500140348*x^2 - 10590850429623318361311*x + 2727257042363914863401, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{41} - 820 x^{39} - 533 x^{38} + 303031 x^{37} + 376913 x^{36} - 66737627 x^{35} - 118821690 x^{34} + 9764169434 x^{33} + 22080920476 x^{32} - 1002016650746 x^{31} - 2696024483356 x^{30} + 74276881167057 x^{29} + 228322554454083 x^{28} - 4038255389081271 x^{27} - 13810013721005555 x^{26} + 161957213612863355 x^{25} + 605630162979885300 x^{24} - 4783062094323192024 x^{23} - 19362795070723667202 x^{22} + 103087839028351278942 x^{21} + 450266165503910224663 x^{20} - 1593603545898162906857 x^{19} - 7540369918979718461657 x^{18} + 17171487184711671438215 x^{17} + 89253263738667697145313 x^{16} - 123172673161638273736870 x^{15} - 724697045982659590514328 x^{14} + 544476915889889670403041 x^{13} + 3855061119747652830292013 x^{12} - 1279320329561947245453521 x^{11} - 12510633939200726076347653 x^{10} + 1043523355082184352460715 x^{9} + 22013783610841586394614893 x^{8} + 598853130650094992883999 x^{7} - 16988637915887608842729071 x^{6} - 1349373804383563050067379 x^{5} + 3896754513924753580219610 x^{4} + 333868055127333108898601 x^{3} - 256246929318582500140348 x^{2} - 10590850429623318361311 x + 2727257042363914863401 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $41$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[41, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1053679516786758709720897165633610283654902079788240782212064028656008150674955537661019599453337948495954124897145643786946499201=41^{80}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1402.48$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1681=41^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1681}(1,·)$, $\chi_{1681}(1026,·)$, $\chi_{1681}(903,·)$, $\chi_{1681}(780,·)$, $\chi_{1681}(657,·)$, $\chi_{1681}(534,·)$, $\chi_{1681}(1559,·)$, $\chi_{1681}(411,·)$, $\chi_{1681}(1436,·)$, $\chi_{1681}(288,·)$, $\chi_{1681}(1313,·)$, $\chi_{1681}(165,·)$, $\chi_{1681}(1190,·)$, $\chi_{1681}(42,·)$, $\chi_{1681}(1067,·)$, $\chi_{1681}(944,·)$, $\chi_{1681}(821,·)$, $\chi_{1681}(698,·)$, $\chi_{1681}(575,·)$, $\chi_{1681}(1600,·)$, $\chi_{1681}(452,·)$, $\chi_{1681}(1477,·)$, $\chi_{1681}(329,·)$, $\chi_{1681}(1354,·)$, $\chi_{1681}(206,·)$, $\chi_{1681}(1231,·)$, $\chi_{1681}(83,·)$, $\chi_{1681}(1108,·)$, $\chi_{1681}(985,·)$, $\chi_{1681}(862,·)$, $\chi_{1681}(739,·)$, $\chi_{1681}(616,·)$, $\chi_{1681}(1641,·)$, $\chi_{1681}(493,·)$, $\chi_{1681}(1518,·)$, $\chi_{1681}(370,·)$, $\chi_{1681}(1395,·)$, $\chi_{1681}(247,·)$, $\chi_{1681}(1272,·)$, $\chi_{1681}(124,·)$, $\chi_{1681}(1149,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $a^{37}$, $a^{38}$, $\frac{1}{226315634441027} a^{39} + \frac{68829831999505}{226315634441027} a^{38} + \frac{85277659288374}{226315634441027} a^{37} + \frac{38071080404819}{226315634441027} a^{36} - \frac{66783777056075}{226315634441027} a^{35} - \frac{84838219747661}{226315634441027} a^{34} - \frac{104321769666912}{226315634441027} a^{33} + \frac{105923167280333}{226315634441027} a^{32} - \frac{32881735672093}{226315634441027} a^{31} + \frac{111120921179873}{226315634441027} a^{30} - \frac{104656276531248}{226315634441027} a^{29} + \frac{6451479135422}{226315634441027} a^{28} + \frac{22022404970817}{226315634441027} a^{27} - \frac{86986215702786}{226315634441027} a^{26} + \frac{73250616794429}{226315634441027} a^{25} - \frac{108712554878332}{226315634441027} a^{24} - \frac{13062077579154}{226315634441027} a^{23} - \frac{87899870433838}{226315634441027} a^{22} + \frac{68871135207400}{226315634441027} a^{21} + \frac{65758772582085}{226315634441027} a^{20} + \frac{100830015047028}{226315634441027} a^{19} + \frac{84937298981613}{226315634441027} a^{18} - \frac{21490156759819}{226315634441027} a^{17} - \frac{110536611130363}{226315634441027} a^{16} - \frac{97143126286265}{226315634441027} a^{15} - \frac{34189055557684}{226315634441027} a^{14} - \frac{44686178341650}{226315634441027} a^{13} + \frac{105254690102437}{226315634441027} a^{12} - \frac{49641316303647}{226315634441027} a^{11} + \frac{8096856417015}{226315634441027} a^{10} - \frac{29077702905279}{226315634441027} a^{9} - \frac{112928804397919}{226315634441027} a^{8} - \frac{82851895116003}{226315634441027} a^{7} + \frac{103782156306896}{226315634441027} a^{6} + \frac{106493691366112}{226315634441027} a^{5} - \frac{90006018752259}{226315634441027} a^{4} - \frac{87234973543257}{226315634441027} a^{3} + \frac{65333588526996}{226315634441027} a^{2} + \frac{52105551412211}{226315634441027} a + \frac{81780235767749}{226315634441027}$, $\frac{1}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{40} + \frac{667614688088592231234417978320095345072111150272688936252207391627512923133025631908368259389480883093035912614377199497315130797566070776409629700480466151365171457921585865359415038746265394652837174565979179443628907344385409919965822023467053017643358222483240649882347271952243095407335006856564157363316664350886264124057109519382824386789993613271591849564236531962468824134270448937220656782751250921083495352819051281608045891473510849745795129455318855668588805634347416927741841}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{39} - \frac{517512276450250674446805394051252857469121221955573874789237198285651376761647732284723687340118820868457192673517619623492440734830744174620806460039656175120975335165186917288311872884057672143764445481342218243311611516377161816877220311453048147258011596017428373145020165174000471198365580397930842568553320754629166852375364756006815413989635217820061983339127202223346648651980565214049883673407299276319838740871972227471137305281627006169097172355031375343992330220780280026776002767172046576108}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{38} + \frac{74776798635541210428243520336649189006176497785846155379361642344258253291808117426499801582545703389966983423563484008301285072953467764283748219752376285759558856900431111189680258795038577460719793300973384220278087754390655117688122824474541653684053704122846676953019600809070167111578519700756447539310223253698534799572986587587937063039162044420057733491902951768243242752087605278031724934609370489238716121388728214917268281061755556203310640771086925819366097491015667457508755461812121212000}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{37} + \frac{232878308457934116896404137081363399820472122585394466804767164387461923166053279160069567166567452075468970299335094230488493689546570439948307188217024548103961887324436312972249395339417551067710199557785991499804053006007312450933937094238726134141753183813217647475602765813120094427138179819651876588492362369322471710477970853985462899085199043652798147967065607439838897214506562564429450716171152806674078953501521771332750667186332845447701978072521746864967947572800655852370260297099052024740}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{36} + \frac{38675767988527215329886717831214574876276742572544227077431098679346250374564404777496437116930077346787526563465412599273187179060208494014094255096790521375220336409175885985872652732086196920585975812041215105494624722133075183197035037901210542238113031185471329474455518511327263104676428956472228043295561335553543921177083989814625672595675973099092762881355597410954109713585576484595259298407198455140118562408139620423116498408762860659648590885291797537363519144945665326014882555737600580643}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{35} - \frac{306986441371404495676915545523936054117639555277690984810865756020980128100332413743893001073865317808738126294488546805000770318443513032740639800140520409587220876248448642103912569086291152951721192789105955358752134113618824451462540575682800077242672327030658430787857981475822586288444730558688384076282369992220499305248437467956239093556219973413286968764526619252762283815405936832755713586768477548443457742352808406173263228713393512515117062905828500651011002454661596336169174786444978775375}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{34} - \frac{1078381066538731508980554218345518015877878944526626663885822701915571575893082449581685174389027026021950611836562382805661130581497176686497263806126366101932336298102074129778773480868746408813336634427079077160634461887404389784946118939971921125464162022072954206262573135331384628268399070270983540990414362236808149127092385316907811846930764842271107984592127946929935493141587078969081691151307096311453240710253860880161617830095897937430887408822334661299327075763532800001063155013934879231878}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{33} + \frac{463886274266086319279538763096865448564957775715858655770240691698450416703740381128298387067651460312265076912324003336552521191529105311111500627259676902680561765207300856445251615951555446277705351029092877752533934450949445720375581903882711677118630921995722946289683222127077182078827596276623973134165706275764274986450310371325444713680846432044275751204590960208640713404267896508098789598669546237289303291641779903225831291125322759378858597947623018413675321087902912764333209030180867210592}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{32} - \frac{217279330234934693182867998660223419189526365170348846683740592427136443506906253450174859333736545308930655779040360719267435163719534813659686957548159111229621668064547194774862107361019000358375483634973186170910110387572801906237049350879094441866575594342312843023054901232010955173728579043631762762064908805256063967479350160793518384785566699562460154063373191612029651023402792140554302985766014373906543324903749713762203133778938659185961152573925404565724610898502051017731084931067222786681}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{31} - \frac{655405746316097973495787279588067096220484659505762075893000267477400105912027520864527182338153950177884003639062518455364661556978283431349794930752185287518226832837454858443619438877387962145018333245983027638761059591487590410685944564850717616127449785923587930685375269654914880324934563377689848550888625216711875657241677431543326598562795824615316858503806208102946868110658728276421033385389537376106616502584498563271332778352177679012412487841843507456734430308606448748968441723967199794095}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{30} - \frac{595356638041529711603807298415101468333083338417387878261178878137212793154842879391405852710431512620587949734455698555238117232834930925706178070271994311182858045319849956449787398917166172957049515404949444027061255136391434807827577083586571591398683915166566634605981683727322203076194310305401710587761047158963530395624097765706817010779800869410119105418100996868094353769935640363557169152573992446226762568939109569794107782634170069069453288411404256229742367646349723112794368707599040924162}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{29} + \frac{609886663030689271162636061263518632137143188616651001915965602680566535164164473228455672449575690005434745578633037164329129730512079839611018945847475585670269284473693397488239446171083335176333918246226487395777825665295830800259636562157806960993411420022069700801874725374768657226812030864107446200500241130278444666116526496041471950788892494108979354463706791236371329373595462490769295657140142761747302104885157065120784877342913358038461749553223983168696850681961016725644520277546820253445}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{28} - \frac{803052681619984682943943096935531386959468005174429458967808599679641020926068200785745774537531557272685024153654948541789446052205053734484698336504069407113276972118620597724435905607305784093772605686343668753787235336115259654149869528369541034372015082077344717193842150869844479798162124079061521340585736965020051184379371549920137702271835399136549945492402224509749584400317863490447923737359035518214843940801417417616356024743618078944364155151440727730489636062841055777251697771714964497012}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{27} + \frac{737569476833190178290788973320042996988991514710451225330452543920213456876272978111380727099236903220634391421841107535595659800101597487248654249664768907201593828283551820805368492603866423108576477746525287829179500956572456842025383547454405367521806658632533744091780031264834128799490358539791378690935102931984086320921941361175535244926650125883605117856815751442926690961593767928573681168221665366086812056924862852270542426957214009586079236905012476013895487835819874745328285687388207963594}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{26} - \frac{514337284509979079684713120573229785229100804077534064754680578672179380970854866487124895692688206114615503008485426773648885500185264212254288748631146311643324339372605386498749638887627082468730846850673610153139331360754061381146877764859843780833291033074313207288573201149513480774385355518664669046614833520429155430157216199100590924501853021910385797065630904121344076828183838046267867176100502407304511438886575215748023003211183219473645512976859823198766896215031381588511954201310236916312}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{25} + \frac{1000180408823447273957113017579725728088768288905065794782713791801629959362422015330723022737028383532807479367624204071642439612275812814899736149139266455488723250929197072873408350624922901933244642041093842125859626452839090830941551475486243726921191116636651734404695631792146209869955629433282652619321824159290621735147275439135437461496200808629250551581035103363522495345969823844715378159378056345230318881318247373756867008993719414189555329118322246898987685350520029037440806296126135658359}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{24} - \frac{601500927963617659802704572988222566907695520235197165558651897813839019533518544059750305900151883810595765578657586980478391673575704129214154991443856416401583679725020524236859695873915725405812079752292238537313099781373955948247568432646272707515228168884274062500747435488650498939926764918583194452585347303685397142597692283523651905802653595514104439536434942913273101255631520903160347736657084504423418701758015565884916997656469867652447948411306255538990973336911444529274222734761018072549}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{23} + \frac{425097719754933087996147103528554707603009061663938592146537427146693696788153308712921002353683381112669555294132705827842459934338461569037333509544671634414501728418570730678143452455912779607881390234326043083599867617483605911598040683375850635438956225155251657336190958430928554072869827718819181601754954425234470090513255097902643900100354635737465645444898976207242297992588375169459953605163526051537107421650129836358438464489547095653217264812486461543248068212417134009881866195915436167046}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{22} - \frac{919599291203353693684361770674031413652237853034356043384851590346473997913973517627821350695113722375229182521396434653998626943139918831868279550320982057237000453041229610269737578156377059769783533761701360491281635337062243021756432188720108415211503658457747631380816180367317064403737951767675102918768688549048192937863605725419005702843883318036808292980142229296588338116422608653781717334424935847797655236561829092412640413047447372339271275275548439209138192047080245949609716362899544756517}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{21} + \frac{484163258814833680172222509239483727691927507750822627081156534469582955368482158586070963721009392926418660611004809635726156504116315593913105182826344700334392383573083064712287736478017985707455031600092108737719943117784740280371926700652835922846947052629614295259778961875851874880856024227671591525609865945724461944660400529477001477217156318786396058404754198612765691452806695219283966254945384135502016587353293658161267010188945128825848515181319498734194966829556505012142566938451579108487}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{20} + \frac{293896311759878862639192160021231952545095119092963103629985307739493914854492794956499249785345983715477761249212162922140081854370762447984981701176034808982327265881586241248885727434851473055780523654999055284045302539537623029445324621846161704810503234411271069927504819396594750091540880971707976552323870358485972134861148869233443058810973625325032981681349540228389504281671836984989261563789397605674807582778680517543995474993432686504098369039947347809357545626347063805754236546386737449486}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{19} + \frac{819149240841736601806226681364362133880521605484049200586733752742983468717753091003050894663409352263651646092976195229531327411326117459792788751479884196943796651787527008064998310410705714213577208540650515969907959136967808385683994798215482181315949389434255396078250130220901706864271965339087848467188011240862781862729403173722125065410958667150432677759643558875730437197886430451609588621109826321568206599340539222188521602728451437567150645298030792723083186849936537046461631875523402049008}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{18} + \frac{1012090213638934161304627129794185586785703609245804282016419815731143174269066993199344608338815545447544970469060291443172463806914868414672769185000956138299958828033646154470115846604189419825127788793641126529860923830538548610103717602750737712192313981171177834010810489804789229051063844421875350200323414553558590415490221445865755321700785962377129703484955307571954776256920971921842213598048644937790811468362396632394157859327456543375123180878684397640303026159876110060269976480291131768019}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{17} - \frac{922943310233435088276315099780061872290948519132813028633199115716008777251512203384588228308661997801088316168295704962975627296082890287020636817194884512530460111997212874435857136576428864298685299560768862359207433123893112461862082999574147838901386259894978280620066982309693680715895019269800464065374970449970266074306195776904570782870188880735938413731321341066609128142019568277946571920069744834657427066000071325964013886030574361202529465554981468041871913578032871279524593804107997481905}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{16} - \frac{625512458655558517580829289808973962931298222680625899256847705191663460997820099427904237492432625605584588906306951555088190662551058558665772789514251759715953560080532260823950404779315422671978664561699720236163372466791440439769425083427349890492956315186303468591862153827611635834039712196563850725441813721294346753245143434811394229852855401209173981516726220613149386585852962423668995205196249843553155344363774816808346984526077897022381334394190633922262318674969208390115598300894137702124}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{15} - \frac{947451198292027618995955531105297053196469977502228336640460916533353339577521678794119624192217130805109415541922883269244667080483099930988016445517108483839049653069639296066331589420537315341322225431405261482323741833135279918610204047305304459688739572964569608378834114083704068728378505252153400683575572049563997366217882225996913003565426457308204853250828602619922237851808148434981936019062740708349051080281684718210160829090127090460108253184548487943725814538987053727568264910112347358542}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{14} - \frac{697746798553620325311049970097533773848609360223771505356199739687635127136221208530548027080972554379390639635452081415781362504022731321595233898612270807991393676636186283746028991050557970144902440478056037159948930344746258021543184837733513987168376747961698321182245421920444597399020361960468377044330168366063444576358617786403330182568739589735874685434564788566852112245555030943941297172402281120206384593156628149814992198519604146213040093322170657257156527904453000507573192169807759161294}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{13} - \frac{489848677721134613123586147602547323714814654869623733076353486773110437039485745908779321431293256579032141272912503417548192407700457633544884907493894224456039253968101973975310640763603041521925728831368989836800309217562366419999527583003877553947647025040765708351037136740704642894650783789438489164983534336623322690720308580854503799421149569306344062217191516068851645180058761390879588152067322629037102831823932487964218192739382080866236274725482842592372632932419330209802213806058411483875}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{12} + \frac{372877171503228647773205719217883257439576378584261522928860280045540443043061257846317225015164489874030886485764663439285433614763129869276256025624635712518602856448254384726279611364497584821870740510750187018554835872487330417615992402578235054213811215672977892663002291428608337701942261785766424643348644677372834358073038091857865640107086326672254410905496109062143175739077686124024871975365477632754346217053392063783579485582677907721584723035798623829146618127455691101725809552136203836507}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{11} + \frac{200771584136838171202157826523780776628613315528702975930207936158627806995582473001889245532716537213279493407722809064126142141354598245760277833595400949324442355676184596674776258058333801600639350741370380553296580909160528599868139054840690553551563530404710686200178656029694844552237468644727656463005479759066276868879877883122042653043147664280870642864188102795380811566500856719526047575337744779081173475109467102321101104262846683167054220289622560668297290925189095777730433259976788370539}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{10} + \frac{795416134643481149355132965067827558322728333629410016443754504494761406707648260027593361546838400442865776314708915120026605551498067486956994770119290847680152892014013741609891106973853354450350184978169005878918144363728860574756520156644303923443508093242552614922500956178500732665414431142511106698867183210427156063316513586900328343503145265155766141584113063897802425760886983711822319062794021052237427707718601681457780679867138371057913358968702099932548352624794887510634946248697184790807}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{9} - \frac{117915910720249996155120537906140497539249830360549117084179801879434829212776124546228677080586654999972420328603296484093083156943172138883441602818397764654651659328073813488201676769036547946583250347140598572803154333823682399307346719686703583932334203482991903404161606949632512336643204512459561541381097475694153585420370318751367950575505438629866190030799480362781199879591730054307554098032958750143887045173413426557842950972072185981552563839874775591739585261601191396634694150643428309432}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{8} - \frac{1025239178228649864736497094400485073473089630409340540763331989820226904805731968030163755072831884802005959272018987786104800308916285125972404839794335504262065140237630929470491529224756806419939624777330598672856209213378188502725013325815288706994870524650929853333025057485320929129149118036336530145268935061948499669986868746643248858599807435532853659224946062806089623540141284505118890724137279661384003878591457399022736470007157102009033169707256179562236404820280138397378963045616917317022}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{7} - \frac{1069591009509987500910396389377361991093838045212294448317210047787979682267937237529385877334856193827006921127477380468439452883066425493040657796064853114487832868081751985890780540118695088982906669627970240190243038836775106483432317998030776582289321206605909139491204813756549327949474068257081797345174395083016205130737730558152179923374790669123272542757482308854764427255993889686541714081525445503901269524532996476060167804542199434337104287679666509589305982843627111485619798251629742729910}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{6} + \frac{436489658193611403264885516516465723902358138727172615971199759743276969695206939441299965448713128775274707526201446150557156753531781176375243129148431519829889132691446038304048073616081143992538287729023729270205245789335053003288240409429010196265896037079196859080392208408568006355311758150552945519744590781357555936949464133653757513877998157514173791448443218382464766625317458022200598949100024173292098577238570482053122239378755101769940331541242282431452015415599529438697746432958895251076}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{5} + \frac{732227432931424900910283252985359468941858254440653291042550083109894723854139044664472860466844451109440871337868930095156055651591112790971682085767890714050567609863774029863388215903443206645746733446743396890638160214997379989975949681574908302685096504800099758827074422950513110486955302411923466416061470662982418708082465773430413055826699025327420928369420898308337882194374571124952963336095775674470255419156115885526455376266646512071258159850067410415758502143372273736195040322314014574245}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{4} + \frac{178925989384500771597018193556890869014247198576673656921328651353918531511615689666666989383854963932082390081430463007440244841187181259150680394014383006749419013305006583301108131708360577308194854354933621074671212544495446280662910371972000326966575876905649256049886844155310051659669140309004909479092580075210928748300647968277029111067459231882898051515203154811030775856284860169045085546001129500535413990345071111062804935518765791624518015216447982565163621534871116018181208698555024242723}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{3} - \frac{729567523666140968367343748685704742199623688676223869641600181355508437133349474109797203621343737541503966106572518271228463222450560329206584914920368721428992443528909979564492531600519820612152470943071888845394603852209531256138167166588752068388589925234667756404048983059380321206642386225701975396206784516863136737361234220801134499007288750326395004079335373556219152776071343999784893108530729186399587682084499071518302503721431233736578133741653022023832495970203060057107881824177076344655}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a^{2} + \frac{831215254246331030204841182058625071118706120199577141418204982658869324615213827489788973918828337737565867889467984266045897602790866055824917947345266324771658030414540504630714326553594207875012868408754020417184169125887283489355288364717179173272262595798784184442242368827590938896318149662744704829234410984414211448992698880596216342163844646545826546517745655348351570257775478912098646938128548637853067945044367574796193025099377425215680667917874184036706092928401788114481933540260512585781}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153} a - \frac{239205472230089351386206959536841442271424943186632023111186749153945586750529691367000870491557917207301129981701439561263485295068456539476514952705834201048512346158325826118925193825581824129264396049785983885104208503530060391701691427986582807756960502760085834120915511851109122162124733811912013958648845310906479134349949676711293133856431956466448579577769256556989429028826358643606469014899651651496520599261412062810870215170557527062967828673990224255982438524296905050269446507873634148961}{2222005754588464472028744441535855948653604432109466826775360203719056552617663895022818499181874453497826147409460662771869555110575767758432517717354856051627306555251760572519029752354700419759859379136313726739673206396594649464070499796821643390390010006596009339071992869290123341224115049861070762659449312918474919292458130190896513023580830042714664709813286156554782604522219121715843285923316237692658002622284901930678788625594871628656431636642802061611699204538839359188012918970751609841153}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $40$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{41}$ (as 41T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 41
The 41 conjugacy class representatives for $C_{41}$
Character table for $C_{41}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ $41$ R $41$ $41$ $41$ $41$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
41Data not computed