↑

Properties

Label 40.40.9196346784...0000.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $2^{155}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}$
Root discriminant $223.40$
Ramified primes $2, 5, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-133762533290849, 3180520992223416, 2122743649838668, -32206098229064336, -15435513452886198, 121275201011881016, 44769231158906736, -236372195822350416, -65155892574199161, 273921377626897056, 55055961501360072, -205068449381240432, -29250529873849130, 105010062546234984, 10118341159568696, -38294083942738200, -2249920559167117, 10229996196094064, 281565079848076, -2040927491724992, -2349342771836, 307816033436648, -6577737720504, -35318559788544, 1438538919856, 3085601525144, -177222835520, -204288312968, 14681802538, 10134253432, -854680156, -369155336, 35104575, 9545088, -996144, -165248, 18562, 1712, -204, -8, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - 8*x^39 - 204*x^38 + 1712*x^37 + 18562*x^36 - 165248*x^35 - 996144*x^34 + 9545088*x^33 + 35104575*x^32 - 369155336*x^31 - 854680156*x^30 + 10134253432*x^29 + 14681802538*x^28 - 204288312968*x^27 - 177222835520*x^26 + 3085601525144*x^25 + 1438538919856*x^24 - 35318559788544*x^23 - 6577737720504*x^22 + 307816033436648*x^21 - 2349342771836*x^20 - 2040927491724992*x^19 + 281565079848076*x^18 + 10229996196094064*x^17 - 2249920559167117*x^16 - 38294083942738200*x^15 + 10118341159568696*x^14 + 105010062546234984*x^13 - 29250529873849130*x^12 - 205068449381240432*x^11 + 55055961501360072*x^10 + 273921377626897056*x^9 - 65155892574199161*x^8 - 236372195822350416*x^7 + 44769231158906736*x^6 + 121275201011881016*x^5 - 15435513452886198*x^4 - 32206098229064336*x^3 + 2122743649838668*x^2 + 3180520992223416*x - 133762533290849)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - 8*x^39 - 204*x^38 + 1712*x^37 + 18562*x^36 - 165248*x^35 - 996144*x^34 + 9545088*x^33 + 35104575*x^32 - 369155336*x^31 - 854680156*x^30 + 10134253432*x^29 + 14681802538*x^28 - 204288312968*x^27 - 177222835520*x^26 + 3085601525144*x^25 + 1438538919856*x^24 - 35318559788544*x^23 - 6577737720504*x^22 + 307816033436648*x^21 - 2349342771836*x^20 - 2040927491724992*x^19 + 281565079848076*x^18 + 10229996196094064*x^17 - 2249920559167117*x^16 - 38294083942738200*x^15 + 10118341159568696*x^14 + 105010062546234984*x^13 - 29250529873849130*x^12 - 205068449381240432*x^11 + 55055961501360072*x^10 + 273921377626897056*x^9 - 65155892574199161*x^8 - 236372195822350416*x^7 + 44769231158906736*x^6 + 121275201011881016*x^5 - 15435513452886198*x^4 - 32206098229064336*x^3 + 2122743649838668*x^2 + 3180520992223416*x - 133762533290849, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - 8 x^{39} - 204 x^{38} + 1712 x^{37} + 18562 x^{36} - 165248 x^{35} - 996144 x^{34} + 9545088 x^{33} + 35104575 x^{32} - 369155336 x^{31} - 854680156 x^{30} + 10134253432 x^{29} + 14681802538 x^{28} - 204288312968 x^{27} - 177222835520 x^{26} + 3085601525144 x^{25} + 1438538919856 x^{24} - 35318559788544 x^{23} - 6577737720504 x^{22} + 307816033436648 x^{21} - 2349342771836 x^{20} - 2040927491724992 x^{19} + 281565079848076 x^{18} + 10229996196094064 x^{17} - 2249920559167117 x^{16} - 38294083942738200 x^{15} + 10118341159568696 x^{14} + 105010062546234984 x^{13} - 29250529873849130 x^{12} - 205068449381240432 x^{11} + 55055961501360072 x^{10} + 273921377626897056 x^{9} - 65155892574199161 x^{8} - 236372195822350416 x^{7} + 44769231158906736 x^{6} + 121275201011881016 x^{5} - 15435513452886198 x^{4} - 32206098229064336 x^{3} + 2122743649838668 x^{2} + 3180520992223416 x - 133762533290849 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(9196346784702509188567534114422041535758244156679054160504004666125503692800000000000000000000=2^{155}\cdot 5^{20}\cdot 11^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $223.40$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 5, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1760=2^{5}\cdot 5\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1760}(1,·)$, $\chi_{1760}(389,·)$, $\chi_{1760}(641,·)$, $\chi_{1760}(521,·)$, $\chi_{1760}(1549,·)$, $\chi_{1760}(1389,·)$, $\chi_{1760}(401,·)$, $\chi_{1760}(669,·)$, $\chi_{1760}(69,·)$, $\chi_{1760}(801,·)$, $\chi_{1760}(1189,·)$, $\chi_{1760}(1521,·)$, $\chi_{1760}(1321,·)$, $\chi_{1760}(1709,·)$, $\chi_{1760}(1589,·)$, $\chi_{1760}(841,·)$, $\chi_{1760}(1721,·)$, $\chi_{1760}(829,·)$, $\chi_{1760}(949,·)$, $\chi_{1760}(309,·)$, $\chi_{1760}(961,·)$, $\chi_{1760}(709,·)$, $\chi_{1760}(441,·)$, $\chi_{1760}(201,·)$, $\chi_{1760}(1281,·)$, $\chi_{1760}(269,·)$, $\chi_{1760}(81,·)$, $\chi_{1760}(1109,·)$, $\chi_{1760}(1081,·)$, $\chi_{1760}(1241,·)$, $\chi_{1760}(1629,·)$, $\chi_{1760}(229,·)$, $\chi_{1760}(1681,·)$, $\chi_{1760}(361,·)$, $\chi_{1760}(749,·)$, $\chi_{1760}(1149,·)$, $\chi_{1760}(881,·)$, $\chi_{1760}(1269,·)$, $\chi_{1760}(1401,·)$, $\chi_{1760}(509,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{25} a^{20} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{1}{25} a^{15} - \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{1}{25} a^{11} + \frac{3}{25} a^{9} - \frac{1}{25} a^{8} - \frac{12}{25} a^{7} - \frac{6}{25} a^{6} - \frac{2}{25} a^{5} + \frac{11}{25} a^{4} - \frac{9}{25} a^{3} - \frac{8}{25} a^{2} + \frac{3}{25} a - \frac{9}{25}$, $\frac{1}{25} a^{21} - \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{1}{25} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} + \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} + \frac{6}{25} a^{9} - \frac{1}{25} a^{8} + \frac{11}{25} a^{7} - \frac{1}{25} a^{6} - \frac{2}{25} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} - \frac{4}{25} a^{2} - \frac{7}{25} a + \frac{4}{25}$, $\frac{1}{25} a^{22} + \frac{2}{25} a^{19} - \frac{1}{25} a^{18} + \frac{2}{25} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{2}{25} a^{14} + \frac{2}{25} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} + \frac{7}{25} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{12}{25} a^{7} + \frac{12}{25} a^{6} - \frac{7}{25} a^{5} - \frac{3}{25} a^{4} + \frac{7}{25} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{7}{25} a - \frac{4}{25}$, $\frac{1}{25} a^{23} + \frac{2}{25} a^{19} + \frac{2}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} + \frac{1}{25} a^{15} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{11} + \frac{2}{25} a^{10} - \frac{1}{25} a^{9} - \frac{1}{25} a^{8} + \frac{6}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{12}{25} a^{3} + \frac{3}{25} a^{2} - \frac{2}{5} a + \frac{8}{25}$, $\frac{1}{25} a^{24} + \frac{1}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{16} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{9} + \frac{8}{25} a^{8} + \frac{4}{25} a^{7} - \frac{12}{25} a^{6} - \frac{6}{25} a^{5} - \frac{9}{25} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{6}{25} a^{2} + \frac{7}{25} a + \frac{8}{25}$, $\frac{1}{25} a^{25} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} + \frac{8}{25} a^{9} + \frac{4}{25} a^{8} - \frac{12}{25} a^{7} - \frac{6}{25} a^{6} - \frac{9}{25} a^{5} - \frac{4}{25} a^{4} + \frac{6}{25} a^{3} + \frac{7}{25} a^{2} + \frac{8}{25} a$, $\frac{1}{25} a^{26} - \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} - \frac{4}{25} a^{9} + \frac{9}{25} a^{8} - \frac{9}{25} a^{7} + \frac{12}{25} a^{6} - \frac{7}{25} a^{5} + \frac{6}{25} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{7}{25} a - \frac{1}{25}$, $\frac{1}{25} a^{27} + \frac{2}{25} a^{19} - \frac{1}{25} a^{18} - \frac{2}{25} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{2}{25} a^{14} - \frac{2}{25} a^{12} + \frac{2}{25} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} - \frac{8}{25} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{7}{25} a^{6} + \frac{8}{25} a^{5} - \frac{8}{25} a^{4} - \frac{8}{25} a^{3} - \frac{6}{25} a^{2} - \frac{8}{25} a + \frac{6}{25}$, $\frac{1}{25} a^{28} + \frac{2}{25} a^{19} - \frac{2}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} + \frac{1}{25} a^{15} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{2}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{11} + \frac{2}{25} a^{10} + \frac{4}{25} a^{9} - \frac{3}{25} a^{8} + \frac{11}{25} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{9}{25} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{25} a^{3} + \frac{8}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a - \frac{2}{25}$, $\frac{1}{25} a^{29} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} + \frac{1}{25} a^{16} - \frac{1}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{1}{25} a^{10} + \frac{11}{25} a^{9} + \frac{8}{25} a^{8} - \frac{11}{25} a^{7} + \frac{8}{25} a^{6} - \frac{6}{25} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{11}{25} a^{2} + \frac{7}{25} a - \frac{7}{25}$, $\frac{1}{125} a^{30} - \frac{1}{125} a^{29} + \frac{1}{125} a^{28} - \frac{2}{125} a^{27} - \frac{2}{125} a^{26} - \frac{2}{125} a^{25} + \frac{1}{125} a^{24} - \frac{1}{125} a^{23} + \frac{2}{125} a^{22} + \frac{2}{125} a^{21} + \frac{2}{125} a^{20} - \frac{6}{125} a^{19} - \frac{4}{125} a^{18} - \frac{7}{125} a^{17} - \frac{12}{125} a^{16} - \frac{3}{125} a^{15} + \frac{7}{125} a^{14} - \frac{12}{125} a^{13} + \frac{9}{125} a^{12} + \frac{9}{125} a^{11} + \frac{7}{125} a^{9} - \frac{27}{125} a^{8} - \frac{1}{125} a^{7} - \frac{16}{125} a^{6} + \frac{6}{125} a^{5} + \frac{61}{125} a^{4} + \frac{19}{125} a^{3} - \frac{38}{125} a^{2} + \frac{32}{125} a + \frac{36}{125}$, $\frac{1}{125} a^{31} - \frac{1}{125} a^{28} + \frac{1}{125} a^{27} + \frac{1}{125} a^{26} - \frac{1}{125} a^{25} + \frac{1}{125} a^{23} - \frac{1}{125} a^{22} - \frac{1}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{20} - \frac{1}{25} a^{19} - \frac{11}{125} a^{18} - \frac{9}{125} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} + \frac{9}{125} a^{15} - \frac{2}{25} a^{14} - \frac{3}{125} a^{13} + \frac{3}{125} a^{12} - \frac{6}{125} a^{11} + \frac{7}{125} a^{10} + \frac{4}{25} a^{9} - \frac{58}{125} a^{8} - \frac{37}{125} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{43}{125} a^{5} + \frac{12}{25} a^{4} - \frac{14}{125} a^{3} - \frac{1}{125} a^{2} - \frac{47}{125} a + \frac{16}{125}$, $\frac{1}{125} a^{32} - \frac{1}{125} a^{29} + \frac{1}{125} a^{28} + \frac{1}{125} a^{27} - \frac{1}{125} a^{26} + \frac{1}{125} a^{24} - \frac{1}{125} a^{23} - \frac{1}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} - \frac{6}{125} a^{19} - \frac{9}{125} a^{18} - \frac{1}{25} a^{17} + \frac{9}{125} a^{16} - \frac{1}{25} a^{15} - \frac{8}{125} a^{14} + \frac{3}{125} a^{13} - \frac{11}{125} a^{12} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{1}{25} a^{10} + \frac{7}{125} a^{9} + \frac{8}{125} a^{8} + \frac{3}{25} a^{7} + \frac{27}{125} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} - \frac{9}{125} a^{4} + \frac{54}{125} a^{3} - \frac{37}{125} a^{2} + \frac{56}{125} a + \frac{11}{25}$, $\frac{1}{125} a^{33} + \frac{2}{125} a^{28} + \frac{2}{125} a^{27} - \frac{2}{125} a^{26} - \frac{1}{125} a^{25} - \frac{2}{125} a^{23} - \frac{2}{125} a^{22} + \frac{2}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{20} - \frac{2}{25} a^{19} - \frac{9}{125} a^{18} + \frac{12}{125} a^{17} + \frac{8}{125} a^{16} - \frac{6}{125} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} + \frac{2}{125} a^{13} - \frac{4}{125} a^{12} - \frac{1}{125} a^{11} + \frac{7}{125} a^{10} + \frac{11}{25} a^{9} + \frac{58}{125} a^{8} + \frac{31}{125} a^{7} - \frac{46}{125} a^{6} + \frac{37}{125} a^{5} + \frac{9}{25} a^{4} - \frac{38}{125} a^{3} - \frac{52}{125} a^{2} - \frac{23}{125} a - \frac{34}{125}$, $\frac{1}{125} a^{34} + \frac{2}{125} a^{29} + \frac{2}{125} a^{28} - \frac{2}{125} a^{27} - \frac{1}{125} a^{26} - \frac{2}{125} a^{24} - \frac{2}{125} a^{23} + \frac{2}{125} a^{22} + \frac{1}{125} a^{21} + \frac{1}{125} a^{19} + \frac{12}{125} a^{18} - \frac{7}{125} a^{17} - \frac{6}{125} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} - \frac{8}{125} a^{14} - \frac{4}{125} a^{13} - \frac{11}{125} a^{12} - \frac{3}{125} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} + \frac{38}{125} a^{9} - \frac{4}{125} a^{8} - \frac{16}{125} a^{7} + \frac{2}{125} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{3}{125} a^{4} + \frac{8}{125} a^{3} - \frac{28}{125} a^{2} - \frac{29}{125} a + \frac{2}{25}$, $\frac{1}{57875} a^{35} + \frac{54}{57875} a^{34} + \frac{2}{11575} a^{33} - \frac{124}{57875} a^{32} - \frac{78}{57875} a^{31} - \frac{211}{57875} a^{30} - \frac{873}{57875} a^{29} + \frac{227}{57875} a^{28} + \frac{62}{11575} a^{27} + \frac{1088}{57875} a^{26} - \frac{273}{57875} a^{25} + \frac{68}{57875} a^{24} + \frac{1083}{57875} a^{23} + \frac{116}{11575} a^{22} + \frac{17}{57875} a^{21} - \frac{138}{57875} a^{20} - \frac{2357}{57875} a^{19} + \frac{4867}{57875} a^{18} + \frac{149}{57875} a^{17} + \frac{246}{57875} a^{16} - \frac{1921}{57875} a^{15} + \frac{86}{11575} a^{14} - \frac{1834}{57875} a^{13} + \frac{5776}{57875} a^{12} - \frac{1889}{57875} a^{11} + \frac{2912}{57875} a^{10} + \frac{17774}{57875} a^{9} + \frac{2941}{57875} a^{8} + \frac{3657}{57875} a^{7} - \frac{927}{57875} a^{6} + \frac{7268}{57875} a^{5} + \frac{8899}{57875} a^{4} - \frac{4412}{57875} a^{3} + \frac{13834}{57875} a^{2} - \frac{4148}{11575} a + \frac{15094}{57875}$, $\frac{1}{57875} a^{36} - \frac{128}{57875} a^{34} - \frac{201}{57875} a^{33} + \frac{136}{57875} a^{32} - \frac{166}{57875} a^{31} - \frac{128}{57875} a^{30} + \frac{606}{57875} a^{29} + \frac{18}{11575} a^{28} - \frac{373}{57875} a^{27} + \frac{239}{57875} a^{26} + \frac{457}{57875} a^{25} + \frac{189}{57875} a^{24} - \frac{98}{11575} a^{23} - \frac{282}{57875} a^{22} - \frac{26}{11575} a^{21} + \frac{928}{57875} a^{20} + \frac{1579}{57875} a^{19} - \frac{5704}{57875} a^{18} - \frac{4559}{57875} a^{17} - \frac{389}{57875} a^{16} + \frac{646}{11575} a^{15} - \frac{103}{11575} a^{14} + \frac{174}{57875} a^{13} - \frac{1268}{57875} a^{12} - \frac{1572}{57875} a^{11} - \frac{1037}{57875} a^{10} - \frac{22058}{57875} a^{9} + \frac{11523}{57875} a^{8} - \frac{3482}{57875} a^{7} + \frac{4544}{57875} a^{6} - \frac{138}{2315} a^{5} + \frac{12767}{57875} a^{4} - \frac{3494}{57875} a^{3} - \frac{19568}{57875} a^{2} + \frac{24317}{57875} a + \frac{1656}{57875}$, $\frac{1}{57875} a^{37} + \frac{229}{57875} a^{34} + \frac{27}{57875} a^{33} + \frac{167}{57875} a^{32} + \frac{74}{57875} a^{31} - \frac{11}{57875} a^{30} - \frac{534}{57875} a^{29} - \frac{949}{57875} a^{28} + \frac{564}{57875} a^{27} - \frac{21}{11575} a^{26} + \frac{896}{57875} a^{25} - \frac{1046}{57875} a^{24} - \frac{1021}{57875} a^{23} + \frac{6}{11575} a^{22} - \frac{24}{2315} a^{21} - \frac{806}{57875} a^{20} + \frac{32}{57875} a^{19} + \frac{4479}{57875} a^{18} - \frac{2152}{57875} a^{17} - \frac{1859}{57875} a^{16} - \frac{5643}{57875} a^{15} + \frac{117}{57875} a^{14} + \frac{948}{11575} a^{13} + \frac{3901}{57875} a^{12} + \frac{5339}{57875} a^{11} + \frac{187}{57875} a^{10} + \frac{16506}{57875} a^{9} - \frac{21973}{57875} a^{8} - \frac{4554}{11575} a^{7} - \frac{4967}{57875} a^{6} + \frac{14756}{57875} a^{5} - \frac{988}{2315} a^{4} - \frac{27778}{57875} a^{3} - \frac{10631}{57875} a^{2} - \frac{16279}{57875} a + \frac{1746}{11575}$, $\frac{1}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{38} - \frac{277062323487545127461848713984615536497012131886885066491486005128050621746864828165170587272650780166}{47305429729187769925467626452307025397894701817975392396425008678577492625362243436087734843625017399793175} a^{37} - \frac{187029084519375423830025328355417168139558713581926779163558157588182948299092499244761711351166561044}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{36} - \frac{1262067575100954928384826411542636338246188080664586899781199434358367914327949095579009403622932939307}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{35} + \frac{613812329567168364590364626064122137639536808113457150656967393792323619722872009285252402674130546981398}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{34} - \frac{817158598213159330123839965083983076499365994854652594135053147424815818345654332020451085318051453275419}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{33} - \frac{809753450403939543184798974166063336028451846725354754052591123436935682650946279240866234500961325689639}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{32} + \frac{630513945368000085606296360209592747073034800026693381212627393316676769759853822414936345161953892912844}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{31} + \frac{478282017074461250180001043862920220964304691529588221752551704505604463376678557952432596001139382826262}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{30} + \frac{1563068258789361187290277529574858451009726836416152085342086431890732969943363234277871386151024392970831}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{29} + \frac{44277068781817181752675444061837929616029836891049937247330783223172283070314078549801704014494756400793}{47305429729187769925467626452307025397894701817975392396425008678577492625362243436087734843625017399793175} a^{28} + \frac{554324549245450556062597331146676010918873288102363152061416433507957430972950015012382147562537122436051}{47305429729187769925467626452307025397894701817975392396425008678577492625362243436087734843625017399793175} a^{27} - \frac{953800200331299047422654851434085546722927509877426603000897263237784567169335499452641296184820121434901}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{26} + \frac{116229441803437229900188623049019697270761228686969727484480143969885220848328469042209538505426794553441}{9461085945837553985093525290461405079578940363595078479285001735715498525072448687217546968725003479958635} a^{25} - \frac{6918627525632699608846604360479798125453529395115169318763794650740716217217632780083595941806030423582}{510857772453431640663797261903963557212685764772952401689254953332370330727454032787124566345842520516125} a^{24} + \frac{1987533784274313905711819718299434225339202403235490484951139615050621915302808863558877045122043805883949}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{23} - \frac{764123332457251430398493328310130895716555031337890917245611560830044160902078761085324346701176279899047}{47305429729187769925467626452307025397894701817975392396425008678577492625362243436087734843625017399793175} a^{22} - \frac{248934253116581403951978846163297321910357496804708644892699471947303006578490244244118677325313001601144}{47305429729187769925467626452307025397894701817975392396425008678577492625362243436087734843625017399793175} a^{21} + \frac{275102732209468767019635775888318509585140847581297748990169032718434417747251333830644344585079092756077}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{20} + \frac{15576352101890635822080552453137470981032083373144015438138878191224072322303003238034997504359940586357833}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{19} + \frac{112454740457480390576374825920314943678726243850116206894002179579130090469602492625134181334390503824250}{1892217189167510797018705058092281015915788072719015695857000347143099705014489737443509393745000695991727} a^{18} - \frac{17258170045160447429080158471373851972170229640388499538081973404161575833287949546167648020731728390041696}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{17} + \frac{16218889636696907866395879203563340048203422045423049297863096679307556209769294330867472343000945405626936}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{16} + \frac{17179069654701725303938378624207511568083338641717139573806779065613083851635264772168248774483555305036991}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{15} - \frac{6994297400301442211499425688917406907982368893829805213876750823872409254124944961293935747698899158737774}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{14} + \frac{16865220228264007874142602848361347730144801321572600318675656652171756837985075030819376268811345025043723}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{13} - \frac{11367327404431770896287994291104726583018130571921435993530840413182734540167519781197252582587646198099649}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{12} - \frac{6985953710230823569279459021951927230122361114558241845553352282767992340361211504519459584095471990900897}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{11} + \frac{3760883211476353591483520953144209600803842773669100776712309054747744659618713834284010951956214936830258}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{10} - \frac{80871492892247794881237279960285943078327189567448990795512433508817259752526481544639605181395578543463771}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{9} - \frac{93584618985596527041259599490499843644041365244853744371085644351377667208967381945238198308088886021220149}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{8} - \frac{29323713681552816353117707002997046509290973643369709095464455954236498207122366452449696027977454502919038}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{7} + \frac{76153861033522471611773117661144522096990635252798141099950226791720937241176838686542194177276442787644929}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{6} - \frac{18625734187137029914029965177875515312041710855135415023394536292032581108984028033019765047453067256166934}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{5} + \frac{27070139877535170843798164293687547150591570970364639127652718995928759161759859665188409333236798553966251}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{4} + \frac{116932279654216085145920702300557465062639134211670350584611938131339441653403683821649990717400459792185784}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{3} - \frac{45856336916856682945563914299643855971449224175310499069766665826739720045863891987230187258199070272660871}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a^{2} - \frac{31595645934024623538144920087022474440065283234207927853050315918149447965125889154069792490298525762405058}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875} a - \frac{50439496530475502568605130758080508212858693279657726480429625126019943923795686930307104772916440260026172}{236527148645938849627338132261535126989473509089876961982125043392887463126811217180438674218125086998965875}$, $\frac{1}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{39} + \frac{1986066674685194525325101395777033418105765873404}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{38} + \frac{23364370694103298472244639795913377416361712984193638448501598524467249283168303965444486800271491150933139079482475010210675998095743449449236314377719}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{37} + \frac{7715688433704258235871553267307516426256220017975348475029344509326570644509399118207798870311321638938377567441475053422372856160142018243744064306457}{1211448979096887993202280661951053725427675728050042910242225262576017641408836659061501622197708489952013828545722356897533932760494661577203515669921572775} a^{36} + \frac{46574455705955996448835493991872709344021154944286544141568534106136921241098325457633417306000584787598028071552316924020647126050297751198384206529667}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{35} + \frac{21858010028749928371906658373391325570374601189468064154895349031902339987378345401998192790975418935361330810001594309343396783900645181170576648246307207}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{34} + \frac{989668085944543737294456552420597321708528793629901559005346728429546646336609103899466996407184304918713924306546452559423809195964149441266395101596537}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{33} + \frac{744767366181572160175682651197155490747904318327611104604531523707824138279972353154264053359357009149960267876053907289836441377742862636659579954161484}{1211448979096887993202280661951053725427675728050042910242225262576017641408836659061501622197708489952013828545722356897533932760494661577203515669921572775} a^{32} - \frac{11634119224953157276442167230401129260179745296612618141795626143587096237695604961874469601864144749073708046235069762581872171284880773273433350115745933}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{31} - \frac{16154677777061412155449159076269701195097357957515571235857957544921337789493561373788692634108979373429242086000043749023142499000150519205312148482794612}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{30} - \frac{119212895416011265466098586963055121700294108926366375047283674882643980084717569251564157380619167290982117394806328162614005993287452074341628213502007079}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{29} + \frac{31509257474169727402134819000067610223297407297452328740590076759675679385809323617881613098600047513716404146514757291762349257787159165008587968120485224}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{28} + \frac{1244774411862278406512127750358469637793885985640304570210390057306453824609598495584703672375053950080265438899908984313573708814444813234891172512795729}{242289795819377598640456132390210745085535145610008582048445052515203528281767331812300324439541697990402765709144471379506786552098932315440703133984314555} a^{27} - \frac{2795989211338646215539362432562910350852606421989071741932043822458183116648298517835593116119471879764348062600933601158079693086253216065981674053982928}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{26} - \frac{16486724793861055073435568562425949327784229423675171930992677734833828735276597853778117848732396505796230619195141829310113540260445647269108302853822204}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{25} - \frac{74293917238646679545892523437097016337575281313892940927146291000829043616530771466644349783831010212716602444767319751876594041719177513857046277832699022}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{24} - \frac{57444759443433014877839107441185414368188322624740850878658924160162958896728613315604137874864275635700567155827317135610182838576241872988385800456487993}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{23} - \frac{52068976328527565690030885920745567302358074340019600364567314204859714987957881714935862612545931719502923265650807191626093768709468763468046041413592779}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{22} + \frac{78549119484070743714364458562278926757838050364495197982469997310674628654359239716630502566295046369715683354552666061339137178236448317498171037958389883}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{21} + \frac{1456980848860356889602195965423233582809668405047699151303529006123095791769018261967091985563661981367225232394186437905786980741894620179692021127414152}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{20} + \frac{2614349499415663108722808219623905702163688007980229845536959353088433158739718453242918825115977879138437656005536269846976302825563734221375433262972956}{48457959163875519728091226478042149017107029122001716409689010503040705656353466362460064887908339598080553141828894275901357310419786463088140626796862911} a^{19} + \frac{74299370407086604857702492906471929528062317736004351000864150662653983193565969280659509744327227272528468080454611692681172509734531408754052288456326276}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{18} + \frac{383792962966600374588911013488413947477643215798746910827680615750511666882188168058658992019016292402655089511764778888095573427842600847919377750356804234}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{17} + \frac{29544579065666335466006833286809611683306678222227759111202285996817401645356344233800158143466873491569468639387678928434778710579367561119083890288634627}{1211448979096887993202280661951053725427675728050042910242225262576017641408836659061501622197708489952013828545722356897533932760494661577203515669921572775} a^{16} + \frac{95122818572498550968672127747544070073143717383918115975354368972592594844713067985155742028363556970953742688193315956368014683136786704694329652651225996}{1211448979096887993202280661951053725427675728050042910242225262576017641408836659061501622197708489952013828545722356897533932760494661577203515669921572775} a^{15} - \frac{157442316736133940002647488154518722994122023985264535415858720333864391345236808528054067801049877217411786131203082819290254458762743354166575227755918878}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{14} - \frac{6811965271818297454963462117920653289697976810490831028854454025606397756822337792455983257477800955636666631586543808791140648388452600752549068467351138}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{13} - \frac{317352466332986681998403811390751174063056553378390388668451996112712177325480672463804625741858220814536341710771931442699670900096896663805351820140897037}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{12} - \frac{441617558419095794651948279494973991879495872671029204734286536833355238565533975177298953625683551323250940070305709478275742308695091307206334430372923147}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{11} - \frac{51837530393290200360210674224995687790353824772195948093270894857452743348620407455883990797243549873757809608089080096802918599463861319061178977008687722}{1211448979096887993202280661951053725427675728050042910242225262576017641408836659061501622197708489952013828545722356897533932760494661577203515669921572775} a^{10} - \frac{898353053575146417387218175135107130706619287761066492501804908747312884389048385195070847997064687121233212344231118342696081383442785799285148322352672554}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{9} + \frac{518805220212918058081860304979038261928300153215038851935712542018901851667250267394933193719065031548476430334277414653119480018909398586577476248251744602}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{8} + \frac{2521225164186004741648703027098134921782233904811070469082410588623108197422277086370599685268988754190496335353779908210332874684065764532945837817964201341}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{7} + \frac{59426673878516777479379212069457828682809594750390323759629613285392982055074810712088810503216586633761714179063845183480812740790643300856274973217887186}{242289795819377598640456132390210745085535145610008582048445052515203528281767331812300324439541697990402765709144471379506786552098932315440703133984314555} a^{6} - \frac{1019174153629420261579332622160121583059263403524173689627552872809432368886133813638358840965381132521274716982452083915499949561604953183112503711190947078}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{5} - \frac{422840541362768945067519421625850396012062202086121547613525732912299178492261142624196725103174336436860981736127394485220505501204362771685063718390548268}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{4} + \frac{2090744517184139667054934571898118852895095001878824308876869936498163466983149144662058597077356523855420634496239581582393514717684224220285227398438128679}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a^{3} - \frac{36423116067243620050340535706557321164807224588813845946803613404453794438625922409302930632580876951234278677864101551086798829081791074795262799644104897}{242289795819377598640456132390210745085535145610008582048445052515203528281767331812300324439541697990402765709144471379506786552098932315440703133984314555} a^{2} + \frac{1755746952680469526939251032570705936115947908649909119865532454273547592012924989242521977394587776982169169874544755766722245581877468562216181218509510461}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875} a - \frac{1714336547393472844939287644155248986063484619888459464690553577678916220472814292950227490428620382386476751608259505771904493291458944784603998149299626599}{6057244895484439966011403309755268627138378640250214551211126312880088207044183295307508110988542449760069142728611784487669663802473307886017578349607863875}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.8.1342177280000.1, 10.10.7024111812608.1, 20.20.1655513490330868290261743826894848.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $40$ R $20^{2}$ R $40$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }^{10}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $20^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/47.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $40$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
5Data not computed
11Data not computed