↑

Properties

Label 40.40.8661072039...0761.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $11^{36}\cdot 41^{35}$
Root discriminant $223.07$
Ramified primes $11, 41$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-2072694073, -118971591850, -145962994111, 2212577682649, 2692795914640, -16130526843214, -17709190836164, 61550556216771, 62666288988301, -139013959476678, -136554026797958, 198156386856276, 194240735747798, -184740552515931, -185783264828648, 114997502474284, 121733371270573, -48418597598304, -55502093143016, 13892811602773, 17872484655070, -2714880001603, -4120100861192, 355617562928, 687343411930, -29612222037, -83554070211, 1285641773, 7412595190, 9891142, -477317920, -4888126, 21973660, 299068, -702023, -9225, 14732, 149, -182, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 182*x^38 + 149*x^37 + 14732*x^36 - 9225*x^35 - 702023*x^34 + 299068*x^33 + 21973660*x^32 - 4888126*x^31 - 477317920*x^30 + 9891142*x^29 + 7412595190*x^28 + 1285641773*x^27 - 83554070211*x^26 - 29612222037*x^25 + 687343411930*x^24 + 355617562928*x^23 - 4120100861192*x^22 - 2714880001603*x^21 + 17872484655070*x^20 + 13892811602773*x^19 - 55502093143016*x^18 - 48418597598304*x^17 + 121733371270573*x^16 + 114997502474284*x^15 - 185783264828648*x^14 - 184740552515931*x^13 + 194240735747798*x^12 + 198156386856276*x^11 - 136554026797958*x^10 - 139013959476678*x^9 + 62666288988301*x^8 + 61550556216771*x^7 - 17709190836164*x^6 - 16130526843214*x^5 + 2692795914640*x^4 + 2212577682649*x^3 - 145962994111*x^2 - 118971591850*x - 2072694073)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 182*x^38 + 149*x^37 + 14732*x^36 - 9225*x^35 - 702023*x^34 + 299068*x^33 + 21973660*x^32 - 4888126*x^31 - 477317920*x^30 + 9891142*x^29 + 7412595190*x^28 + 1285641773*x^27 - 83554070211*x^26 - 29612222037*x^25 + 687343411930*x^24 + 355617562928*x^23 - 4120100861192*x^22 - 2714880001603*x^21 + 17872484655070*x^20 + 13892811602773*x^19 - 55502093143016*x^18 - 48418597598304*x^17 + 121733371270573*x^16 + 114997502474284*x^15 - 185783264828648*x^14 - 184740552515931*x^13 + 194240735747798*x^12 + 198156386856276*x^11 - 136554026797958*x^10 - 139013959476678*x^9 + 62666288988301*x^8 + 61550556216771*x^7 - 17709190836164*x^6 - 16130526843214*x^5 + 2692795914640*x^4 + 2212577682649*x^3 - 145962994111*x^2 - 118971591850*x - 2072694073, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 182 x^{38} + 149 x^{37} + 14732 x^{36} - 9225 x^{35} - 702023 x^{34} + 299068 x^{33} + 21973660 x^{32} - 4888126 x^{31} - 477317920 x^{30} + 9891142 x^{29} + 7412595190 x^{28} + 1285641773 x^{27} - 83554070211 x^{26} - 29612222037 x^{25} + 687343411930 x^{24} + 355617562928 x^{23} - 4120100861192 x^{22} - 2714880001603 x^{21} + 17872484655070 x^{20} + 13892811602773 x^{19} - 55502093143016 x^{18} - 48418597598304 x^{17} + 121733371270573 x^{16} + 114997502474284 x^{15} - 185783264828648 x^{14} - 184740552515931 x^{13} + 194240735747798 x^{12} + 198156386856276 x^{11} - 136554026797958 x^{10} - 139013959476678 x^{9} + 62666288988301 x^{8} + 61550556216771 x^{7} - 17709190836164 x^{6} - 16130526843214 x^{5} + 2692795914640 x^{4} + 2212577682649 x^{3} - 145962994111 x^{2} - 118971591850 x - 2072694073 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(8661072039006834456417184171435002124680206277510464931530297507976049073847948875349119910761=11^{36}\cdot 41^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $223.07$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $11, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(451=11\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{451}(1,·)$, $\chi_{451}(260,·)$, $\chi_{451}(278,·)$, $\chi_{451}(9,·)$, $\chi_{451}(401,·)$, $\chi_{451}(150,·)$, $\chi_{451}(68,·)$, $\chi_{451}(411,·)$, $\chi_{451}(413,·)$, $\chi_{451}(161,·)$, $\chi_{451}(155,·)$, $\chi_{451}(163,·)$, $\chi_{451}(167,·)$, $\chi_{451}(424,·)$, $\chi_{451}(42,·)$, $\chi_{451}(178,·)$, $\chi_{451}(437,·)$, $\chi_{451}(314,·)$, $\chi_{451}(448,·)$, $\chi_{451}(196,·)$, $\chi_{451}(325,·)$, $\chi_{451}(79,·)$, $\chi_{451}(208,·)$, $\chi_{451}(81,·)$, $\chi_{451}(419,·)$, $\chi_{451}(85,·)$, $\chi_{451}(214,·)$, $\chi_{451}(219,·)$, $\chi_{451}(378,·)$, $\chi_{451}(96,·)$, $\chi_{451}(109,·)$, $\chi_{451}(368,·)$, $\chi_{451}(114,·)$, $\chi_{451}(245,·)$, $\chi_{451}(247,·)$, $\chi_{451}(120,·)$, $\chi_{451}(249,·)$, $\chi_{451}(122,·)$, $\chi_{451}(91,·)$, $\chi_{451}(124,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{33} - \frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{34} - \frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{35} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{462914674} a^{36} + \frac{21627165}{231457337} a^{35} - \frac{34382149}{231457337} a^{34} + \frac{7307504}{231457337} a^{33} - \frac{42594770}{231457337} a^{32} + \frac{33881791}{462914674} a^{31} - \frac{26756970}{231457337} a^{30} - \frac{204205257}{462914674} a^{29} + \frac{19273972}{231457337} a^{28} + \frac{94321372}{231457337} a^{27} + \frac{55117125}{231457337} a^{26} + \frac{29832215}{231457337} a^{25} + \frac{19062790}{231457337} a^{24} - \frac{192525897}{462914674} a^{23} + \frac{15647485}{231457337} a^{22} + \frac{14185405}{231457337} a^{21} + \frac{104205038}{231457337} a^{20} + \frac{49489415}{231457337} a^{19} + \frac{148019891}{462914674} a^{18} - \frac{9724540}{231457337} a^{17} + \frac{46759658}{231457337} a^{16} - \frac{56283082}{231457337} a^{15} + \frac{124281713}{462914674} a^{14} - \frac{114197178}{231457337} a^{13} - \frac{46741867}{231457337} a^{12} + \frac{220413047}{462914674} a^{11} - \frac{105182304}{231457337} a^{10} - \frac{47677926}{231457337} a^{9} + \frac{143996207}{462914674} a^{8} + \frac{11090981}{462914674} a^{7} - \frac{70577133}{462914674} a^{6} - \frac{98582009}{462914674} a^{5} + \frac{125582223}{462914674} a^{4} + \frac{77847969}{231457337} a^{3} + \frac{51735799}{231457337} a^{2} + \frac{51322520}{231457337} a - \frac{90485021}{231457337}$, $\frac{1}{462914674} a^{37} + \frac{54000103}{231457337} a^{35} + \frac{16727336}{231457337} a^{34} + \frac{63988319}{462914674} a^{33} - \frac{34548925}{462914674} a^{32} - \frac{31318577}{231457337} a^{31} - \frac{50759213}{462914674} a^{30} + \frac{66030942}{231457337} a^{29} - \frac{112851623}{462914674} a^{28} + \frac{52599261}{231457337} a^{27} - \frac{165522021}{462914674} a^{26} - \frac{113976530}{231457337} a^{25} - \frac{118336217}{462914674} a^{24} + \frac{91574188}{231457337} a^{23} + \frac{61289993}{231457337} a^{22} - \frac{108987158}{231457337} a^{21} + \frac{6232513}{462914674} a^{20} - \frac{168642401}{462914674} a^{19} - \frac{63503790}{231457337} a^{18} - \frac{66798927}{231457337} a^{17} + \frac{32702435}{231457337} a^{16} - \frac{69953049}{231457337} a^{15} + \frac{54577341}{231457337} a^{14} - \frac{89456658}{231457337} a^{13} + \frac{158163003}{462914674} a^{12} - \frac{207844677}{462914674} a^{11} + \frac{47029371}{231457337} a^{10} + \frac{90508957}{462914674} a^{9} - \frac{69721121}{231457337} a^{8} - \frac{195753769}{462914674} a^{7} + \frac{229869019}{462914674} a^{6} - \frac{32707590}{231457337} a^{5} + \frac{38434471}{462914674} a^{4} - \frac{196053967}{462914674} a^{3} - \frac{72100155}{462914674} a^{2} + \frac{30678535}{462914674} a - \frac{81016556}{231457337}$, $\frac{1}{462914674} a^{38} + \frac{33341300}{231457337} a^{35} + \frac{6661042}{231457337} a^{34} + \frac{47401469}{231457337} a^{33} + \frac{101951825}{462914674} a^{32} + \frac{49992257}{462914674} a^{31} - \frac{109464905}{462914674} a^{30} - \frac{60721903}{231457337} a^{29} - \frac{81573768}{231457337} a^{28} - \frac{80186089}{462914674} a^{27} + \frac{24267706}{231457337} a^{26} + \frac{24127181}{462914674} a^{25} - \frac{66709321}{462914674} a^{24} + \frac{54472940}{231457337} a^{23} - \frac{23103515}{462914674} a^{22} - \frac{14165340}{231457337} a^{21} - \frac{99932899}{462914674} a^{20} + \frac{48852493}{462914674} a^{19} + \frac{75180089}{462914674} a^{18} - \frac{16441449}{462914674} a^{17} + \frac{66721251}{231457337} a^{16} + \frac{74154745}{231457337} a^{15} - \frac{11257531}{231457337} a^{14} - \frac{61455314}{231457337} a^{13} + \frac{2278858}{231457337} a^{12} - \frac{35253941}{231457337} a^{11} + \frac{47358518}{231457337} a^{10} - \frac{61331277}{231457337} a^{9} + \frac{109716285}{462914674} a^{8} - \frac{176553495}{462914674} a^{7} + \frac{73927175}{231457337} a^{6} - \frac{15194471}{462914674} a^{5} - \frac{131749063}{462914674} a^{4} - \frac{36668801}{231457337} a^{3} + \frac{45840208}{231457337} a^{2} - \frac{132494443}{462914674} a - \frac{54053986}{231457337}$, $\frac{1}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{39} + \frac{39963744262676204795858260902753246806325473039958778741972887157707401419557477856590187663110416290297079948173892163046939114933351970999634542477203804995387614666534635905063525061755510289274640027307529554841107998}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{38} + \frac{131782575432130010491626710230322953252290668655698755880882431808722077101260350364124779268856672652836610204244342557533061686148735471594912348461407562937107948079438910793212766729560618848539330463119330242523627557}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{37} + \frac{84614708740241294819051742102618176980672582366350979694933241290888160925308412010245941398759984277276246184337798550985182481558460333238869438241037623529520051373983533292661135710725953273556824639018987205469740026}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{36} - \frac{28179288782616005616891844850608481730733729875296834372244706289029209866389285186362843430856517966744643084539922651688282211399761164532183958985197435914185961794033803451331022097947903694922213413825629976503617731642396301}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{35} - \frac{24047943457587440607436088505236351319881297412170480513025829586902774513349954728982715907683048665595245545484062482633270836650127407381155358282716575288659084008517776734068657895222583052342478855073184710977990306158268453}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{34} + \frac{57225768660619973404170103492034392499911373453045071979366497347182222626295124034350133400437593649577286616652769122358611035692318244334799966262004196157461675800539275104434146635242322937353171328433049697474901480767733113}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{33} - \frac{14414587485427516152616802206235998615631529915633680505327387195740404724766957583259281394746720155430612938571052427873893072959593782640893216024364360544599795692976926344259908769268088108516945994005988010978405966946550526}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{32} - \frac{15536639361649290153343430074210361256552771288951810222212766496490057109802326822376196765244582946020084089575899020439932725138628826963529049518342695164539924453182333603535578645060331710107880868714212650050837038504769269}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{31} - \frac{27358175884453491422117227998377052087599856184284238083130902853873339761933505157728057012877507766230581466791741786553280917389453162717105469876702107474254458309554121611550244059664279332393057878161915037200446876707303734}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{30} + \frac{9182976460723951939270464581774271641711299638146414348636618542108453665877488076720393518724295480287531702193207457094662733080332045641993330584979442845342965818613375542939855577619726641837482795770023981006104200437125599}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{29} + \frac{36210151153250710860588247050859539813381384851874106158517256417851977391032244240444748971436610916183336683290525398770991552264482502871506538714867736455916597515159669906004484843922163057874367095489676298111095910911593656}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{28} + \frac{1753711883040976571855416421073647857577995765302567005066528983442940745432970852561588905724846977321350939120089813620790473536522307237593192111104404532363354530636547017487383387256337765062572313681897415817189005708396889}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{27} + \frac{54556140333317036378964786893504869362590874983699340479110483026781625501527516873817757192599235748069894069279767402932629789890074871491288541224255195236257152213287691361346785671028573950518516764262217619059507796410372957}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{26} + \frac{6843918532427432244058386558757632096530491505602309272289841391744125781713081621055365260320616347172657930394141209521051962171231846971579316649125088686004799118058196588647826244084607570744513422706876611675982514179292190}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{25} - \frac{15787318090092633754716197607316373937401390710173261515791125492569165417690977785127808190863166606244148918977825491349440043725538223473599883685531606944266249740300197863584948668362561370595418167173604970473231841890920213}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{24} - \frac{51056695502384340184998550211856628030931890959632578405459565875975245219129402814051714657027120206201638466017469472700633317788244625878583171577412039021970909822133568345501185520000914138939072111397420651160706086692015445}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{23} + \frac{21660404004860665485694058332705729208439929872599383427505967793720025672674616078589000571551190586608649121917563577587516811549396008677361695144213700035207859260145469504184832245176060494943700564371256175351474297477509739}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{22} - \frac{95605204549895358005955213522145154142035783059646073456535048135365064140158138678758071239247674908790337709796581546192671882935089017066999278000322636177381083722781540041072483337994401105820806520310863987131334169064485333}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{21} - \frac{32075784708929611684363365874303585183940619055150775997992595587937100574399281355265689541588996800064636403445074754437281002463170569482243893666057587226124691931140232939284238857979341528342258927872882354507836619362460627}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{20} + \frac{19209906488330595861596123264219738520489231779039914046676001107532655378829537481911710768878890918672337764141569434135117229231528481893547271228175209516373915882555994033499885587944423624891812653189161003102351408400484089}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{19} - \frac{40387204430399809177410195393730437189109687479548091164536857813354808508412780147645057837201326254058550809369767811353220497206200007346121944782196749291821678666524367698331020783272960437975289174640019795942661003856238970}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{18} - \frac{88735963764985457338437824809973815932634784279681024982567948374634609397436326010309442391173761705852217244434519082434020521271037603514539337537321891292030187776360845453453895156574049753527487842698390838347436969611954623}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{17} - \frac{29348492288769822853231668329235759766972450893579747530736989173732190525429462571604142191538607557884325775320421924857381057759819091926447204335146017606319145801947480238342755570858779836838151787321362241651526435769765941}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{16} - \frac{43123938756977344734391219237075657250722191875058459074189895749923949848480631652934553979749303449813410039630558985319616772783292164409813014825259664709263432267398891411320767221688358969486309048866824000410059804756263333}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{15} - \frac{35982997204356161016863245772035726060408165465365784586325829926902352624531001470088792500871167813691155845575229463203454176000506059334888000137330359855823570124019026102575343572570101033583047141505975715540746233789587851}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{14} - \frac{44243226085944516538860672305452743161373973681248286981386795377593773256868658862907944374439090155372233143062438870306269833709952709889157266305936244674522580494455129478278986798391440786056847999346547957718876580304886495}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{13} - \frac{43095814578582666496992440902840022692949375021784580002798223093871852498484266176761326501330103804925624250128969888805174480317180018057307939205826676328688113270695529831681092260762342304835314725337050006982586855743326677}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{12} - \frac{34827989300412243932091011546691594104959697728553613803482273403140251962168154915895962335771077713166458434200311863851153653926953824077434281419181394405385291361774177999932142383230786452575657649581626674791223801285150463}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{11} - \frac{22118484205224279294075642414440625954478099202944539328832397766230446161567343872420823660982422296016408290173378045025646805074997515874855737756943334558012620784229530804304997657494706389578076804152973854904132324836758171}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{10} + \frac{9012800160901095202522847673663056555738168638230474819682324208853401211090401234659896657194494432305043881606973552605050594864305538967667723747839432808529961271792621129217258089086889841123414238836653992451872345122658991}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{9} - \frac{108093544740446383890327252577198958428721084147164873240996111108121370651458944969486220695665534832366311866749666053668896784871090272780917734804900585449069390135249763568725636142272125308802718458978660255454944448507548535}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{8} - \frac{53766492458369039015095078344336848060668550995742301070774831854826951135941388657393502830135660339039593613822081504790461596632599089588841203940186685392958242300945482050061957397956221778196879552331467915002150221508605723}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{7} + \frac{84977976032482854118234532911065511605299225219812404731841821172911923358270422140428752607054489934037967149609589812592117261452727581981206368852044522612809087269676757979965608128797437337639301796352688920524574288043243809}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{6} - \frac{2696813775640859598193948605587172858663714009005942339110652254768112612295642841726986827665626988406023129084216740504390541162650078266315987449464742680745626147666086415359753087158187564327671642875753425133472219559715395}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{5} + \frac{76260595893560181427287972930734074885732432278829271426197691768779651274305195499967330031350310602147201310004960171903515183672443267111154991472379785507833329019452980227927535093235681981680940416551806513991681988593930195}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{4} + \frac{49133356290516747847954609098440876827332624673398123718434547827501725999884006867124215594381861268162808584688134837770197757491315645049478108876353694357834648149759568541553761027185160390896403139511589123562372738740828457}{116939837216619517630142445885690005765340040138156025667608880617838489777119178845386538466080547371386725863439666162698413602038691755203203266895908522479703197309046325829917329270115117437717162403223843540905701345504637229} a^{3} + \frac{56596423649422000365549834879338602178496770905751725723527235473768319225936545859954052232614781147518136851367583494059810978273756258518613465798758899468128148114362390464775555287872805407817411961425917720665298372541757411}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a^{2} + \frac{6916043420692792042928812556469952508170383419449325806823875585589440746173295651341959325562945664798373643058604792897372394517335954913977551170993899845997847875896896171897815968515275364441342318036253332302198162288011767}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458} a - \frac{103558473268508814849611544206828611930480175670386162723304361767176190682561261178801581605719957724101736192008707092920529665395730829742759007478144941991519265473196038650088607335334862845244218313036987746275798751759538375}{233879674433239035260284891771380011530680080276312051335217761235676979554238357690773076932161094742773451726879332325396827204077383510406406533791817044959406394618092651659834658540230234875434324806447687081811402691009274458}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.68921.1, \(\Q(\zeta_{11})^+\), 8.8.2851397323891721.1, 10.10.24834805603271081.1, 20.20.71456347485157416743258455558623595836761.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $20^{2}$ $40$ $20^{2}$ $40$ R $40$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/23.2.0.1}{2} }^{20}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.5.0.1}{5} }^{8}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{10}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
11Data not computed
41Data not computed