↑

Properties

Label 40.40.7918896384...6961.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $241^{39}$
Root discriminant $210.12$
Ramified prime $241$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-42398647, 889846556, -6144761956, 9564696070, 78423697390, -423646947804, 703700081156, 355416625523, -2884228121083, 3136334311404, 2037623248587, -7172445430563, 3782436965348, 4874293451523, -6999751493326, 725534929213, 4208077717876, -2631925107619, -773852923584, 1427449558069, -282043804802, -342545845423, 185760479102, 26279858791, -44725563816, 5894662747, 5665050430, -1873656945, -343663904, 242355969, -2444367, -18000417, 2017454, 805173, -154004, -20795, 5846, 266, -117, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 117*x^38 + 266*x^37 + 5846*x^36 - 20795*x^35 - 154004*x^34 + 805173*x^33 + 2017454*x^32 - 18000417*x^31 - 2444367*x^30 + 242355969*x^29 - 343663904*x^28 - 1873656945*x^27 + 5665050430*x^26 + 5894662747*x^25 - 44725563816*x^24 + 26279858791*x^23 + 185760479102*x^22 - 342545845423*x^21 - 282043804802*x^20 + 1427449558069*x^19 - 773852923584*x^18 - 2631925107619*x^17 + 4208077717876*x^16 + 725534929213*x^15 - 6999751493326*x^14 + 4874293451523*x^13 + 3782436965348*x^12 - 7172445430563*x^11 + 2037623248587*x^10 + 3136334311404*x^9 - 2884228121083*x^8 + 355416625523*x^7 + 703700081156*x^6 - 423646947804*x^5 + 78423697390*x^4 + 9564696070*x^3 - 6144761956*x^2 + 889846556*x - 42398647)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 117*x^38 + 266*x^37 + 5846*x^36 - 20795*x^35 - 154004*x^34 + 805173*x^33 + 2017454*x^32 - 18000417*x^31 - 2444367*x^30 + 242355969*x^29 - 343663904*x^28 - 1873656945*x^27 + 5665050430*x^26 + 5894662747*x^25 - 44725563816*x^24 + 26279858791*x^23 + 185760479102*x^22 - 342545845423*x^21 - 282043804802*x^20 + 1427449558069*x^19 - 773852923584*x^18 - 2631925107619*x^17 + 4208077717876*x^16 + 725534929213*x^15 - 6999751493326*x^14 + 4874293451523*x^13 + 3782436965348*x^12 - 7172445430563*x^11 + 2037623248587*x^10 + 3136334311404*x^9 - 2884228121083*x^8 + 355416625523*x^7 + 703700081156*x^6 - 423646947804*x^5 + 78423697390*x^4 + 9564696070*x^3 - 6144761956*x^2 + 889846556*x - 42398647, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 117 x^{38} + 266 x^{37} + 5846 x^{36} - 20795 x^{35} - 154004 x^{34} + 805173 x^{33} + 2017454 x^{32} - 18000417 x^{31} - 2444367 x^{30} + 242355969 x^{29} - 343663904 x^{28} - 1873656945 x^{27} + 5665050430 x^{26} + 5894662747 x^{25} - 44725563816 x^{24} + 26279858791 x^{23} + 185760479102 x^{22} - 342545845423 x^{21} - 282043804802 x^{20} + 1427449558069 x^{19} - 773852923584 x^{18} - 2631925107619 x^{17} + 4208077717876 x^{16} + 725534929213 x^{15} - 6999751493326 x^{14} + 4874293451523 x^{13} + 3782436965348 x^{12} - 7172445430563 x^{11} + 2037623248587 x^{10} + 3136334311404 x^{9} - 2884228121083 x^{8} + 355416625523 x^{7} + 703700081156 x^{6} - 423646947804 x^{5} + 78423697390 x^{4} + 9564696070 x^{3} - 6144761956 x^{2} + 889846556 x - 42398647 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(791889638416655580350456569351034349494321492589146381070272539583828111934638205267822786961=241^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $210.12$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $241$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(241\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{241}(1,·)$, $\chi_{241}(5,·)$, $\chi_{241}(6,·)$, $\chi_{241}(135,·)$, $\chi_{241}(8,·)$, $\chi_{241}(143,·)$, $\chi_{241}(150,·)$, $\chi_{241}(25,·)$, $\chi_{241}(154,·)$, $\chi_{241}(27,·)$, $\chi_{241}(30,·)$, $\chi_{241}(162,·)$, $\chi_{241}(36,·)$, $\chi_{241}(40,·)$, $\chi_{241}(41,·)$, $\chi_{241}(47,·)$, $\chi_{241}(48,·)$, $\chi_{241}(177,·)$, $\chi_{241}(180,·)$, $\chi_{241}(61,·)$, $\chi_{241}(64,·)$, $\chi_{241}(193,·)$, $\chi_{241}(194,·)$, $\chi_{241}(200,·)$, $\chi_{241}(201,·)$, $\chi_{241}(205,·)$, $\chi_{241}(79,·)$, $\chi_{241}(211,·)$, $\chi_{241}(214,·)$, $\chi_{241}(87,·)$, $\chi_{241}(216,·)$, $\chi_{241}(91,·)$, $\chi_{241}(98,·)$, $\chi_{241}(233,·)$, $\chi_{241}(106,·)$, $\chi_{241}(235,·)$, $\chi_{241}(236,·)$, $\chi_{241}(240,·)$, $\chi_{241}(116,·)$, $\chi_{241}(125,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{6}$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{7}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{8}$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{9}$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{10}$, $\frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{11}$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{12}$, $\frac{1}{4} a^{28} - \frac{1}{4} a^{26} - \frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{4} a^{20} - \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{29} - \frac{1}{4} a^{27} - \frac{1}{4} a^{25} - \frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{4} a^{21} - \frac{1}{4} a^{19} - \frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{4} a^{15} + \frac{1}{4} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} + \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} + \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{30} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{31} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{4} a^{32} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{33} - \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{34} - \frac{1}{4} a^{4}$, $\frac{1}{4} a^{35} - \frac{1}{4} a^{5}$, $\frac{1}{4} a^{36} - \frac{1}{4} a^{6}$, $\frac{1}{4} a^{37} - \frac{1}{4} a^{7}$, $\frac{1}{1544456} a^{38} + \frac{59529}{772228} a^{37} - \frac{41045}{386114} a^{36} - \frac{45323}{386114} a^{35} + \frac{46889}{386114} a^{34} - \frac{110839}{1544456} a^{33} + \frac{90531}{1544456} a^{32} + \frac{32569}{1544456} a^{31} - \frac{92557}{772228} a^{30} - \frac{43031}{772228} a^{29} - \frac{180085}{1544456} a^{28} + \frac{182781}{772228} a^{27} + \frac{5121}{1544456} a^{26} + \frac{187793}{772228} a^{25} - \frac{294835}{1544456} a^{24} + \frac{153865}{772228} a^{23} - \frac{168497}{1544456} a^{22} - \frac{2333}{193057} a^{21} - \frac{178627}{1544456} a^{20} + \frac{108379}{772228} a^{19} - \frac{185267}{1544456} a^{18} + \frac{59213}{386114} a^{17} - \frac{127247}{1544456} a^{16} - \frac{4689}{772228} a^{15} + \frac{190875}{1544456} a^{14} + \frac{313147}{772228} a^{13} - \frac{522481}{1544456} a^{12} + \frac{45361}{386114} a^{11} - \frac{427257}{1544456} a^{10} + \frac{137733}{386114} a^{9} + \frac{289303}{772228} a^{8} + \frac{133287}{386114} a^{7} + \frac{215473}{1544456} a^{6} - \frac{128657}{386114} a^{5} + \frac{563739}{1544456} a^{4} - \frac{38229}{1544456} a^{3} + \frac{4519}{772228} a^{2} + \frac{255767}{1544456} a - \frac{500767}{1544456}$, $\frac{1}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{39} + \frac{25647438925486483410466137984436724384782088676744565181507995606651660326937385081943576635323024063459817703}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{38} - \frac{1616608150518042897136128772081746689136283937682512910036737954487870256231250003392289799464457444711419707647321}{57443309291396252690961093234775109978359009972034712560432237310185337383032539182844543710687507868885088016519428} a^{37} + \frac{1738635643183779563980903731486772470072911291889599060367383718225743013015841306150720341353139947457869347208295}{28721654645698126345480546617387554989179504986017356280216118655092668691516269591422271855343753934442544008259714} a^{36} + \frac{754325197609204418925071456261090700257210246719722006641552934502433756364306829976126436757603035333062856865185}{57443309291396252690961093234775109978359009972034712560432237310185337383032539182844543710687507868885088016519428} a^{35} + \frac{12786929625040682959440561486242773710930411443222728553395971883934719998807553705743756497092804334522951802327629}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{34} + \frac{3101646923144474738292350081662265850165964722809013684876987391745722976517713516834904756583639231000329581873087}{28721654645698126345480546617387554989179504986017356280216118655092668691516269591422271855343753934442544008259714} a^{33} + \frac{1026608793539461834234473317478895469623209577417947856564706156948294490784918212295857303864519837393037909660876}{14360827322849063172740273308693777494589752493008678140108059327546334345758134795711135927671876967221272004129857} a^{32} + \frac{1584482384758765833578930296678750933846082661648293283581758212144512461845654858695714740775562189348894634749195}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{31} - \frac{1486028620289471081457694495801466675398833861468541445378703664425434870988289724578154945287182964563976973621846}{14360827322849063172740273308693777494589752493008678140108059327546334345758134795711135927671876967221272004129857} a^{30} - \frac{14315855501414235240862639622703237095500822821456733717183318498080118117815629537720096338647911909838679691426059}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{29} + \frac{5325565030980729148826490224921897258518668808724327509400936367354510005847667891461513208039502006449246964017039}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{28} - \frac{12314224564026008838827847986989516036579122582378444662959710988552376140237802536389472479570746481033337395879437}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{27} - \frac{21461754384919120595997228488205400041309023314205519681086776442950843312472004621385160595729434327768512667404619}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{26} + \frac{1823351708768642058235494771655017645158639720476978524645931626081185988570599341151889181139447303066720127837199}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{25} + \frac{28181289590084647550750136535184385079566481596366325622253364632307569946885265298070928261075026887019531769756057}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{24} + \frac{5635884050987647358698079615544419339520243017357119680326986230003334199031883748096130678600726286519874637744801}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{23} - \frac{12222947916107992029551888092485945517437768890243491099040276745100529123728674615867488756079706719010200451308231}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{22} + \frac{14353937747176613306419403140873936767900049426003545802582762402591130021305670530697245236026760787253963212414837}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{21} - \frac{15270533480589531102475511022319331492831945136321406641225141817150848460063485738915153308525018512717998038183}{447029644291021421719541581593580622399681011455523054944997955721286672241498359399568433546206286917393681062408} a^{20} - \frac{19474338838722219265805535604608584508595454067747367637865653495419614432733039103949203891595668907162813502977525}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{19} - \frac{20011565583360005390050544037030443205035175210985426713625453509272323729234345710096929631931515164838512796317573}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{18} - \frac{18362243369210794177506052983377513072381627378967178656917444275627435416436711303939274573681900691468965954153495}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{17} - \frac{20284052216622371319191121936305547850539977797164244337840556259557738026230412821903499447359239961444725939779375}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{16} - \frac{8042115077766593739098087300483549350873890142138983341686795493909327898618782630520648108661408699739385509479667}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{15} - \frac{2513826620620739173050354240341268042138760909111716926641804245416513303634705404563987097675042615434879920093677}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{14} - \frac{10608719156229000777153652198022661190512836895392458332368888454955714126714914155970913216510121467833884134305019}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{13} - \frac{10808458762643772883175808924722243533168559407767351867585057611246295318392019893842549007200220158595793412551179}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{12} - \frac{15543743675128659682782599976713588114741027330503267255105022837608685775081914862898474054084988183315745053390261}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{11} + \frac{10779510653330911304449510103524946788448072959844697466280026355236997792397077154467497584575354916329702513674957}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{10} - \frac{26197198575463836835377241928831203742531110524014713212928379532804467331785735322632727852583252589861745618414775}{57443309291396252690961093234775109978359009972034712560432237310185337383032539182844543710687507868885088016519428} a^{9} + \frac{5516689265183766860923689624425166969973894051800657647309267355590410421474128073061271489240272436010271254535949}{14360827322849063172740273308693777494589752493008678140108059327546334345758134795711135927671876967221272004129857} a^{8} - \frac{3935714618923500890579845571241638185752180345355413752163378367365498904937376364503067787846730363422288663036939}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{7} - \frac{45968086283198919738707693929955317740652285157178771600718937738880131139547764756073513025440168388373684230897021}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{6} + \frac{15533855194297802748641269912951828961249078406093601853983799934752528731420148752986181687052328340156066667975289}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{5} - \frac{5287420059246630397727609180902189766362503341909666104961827587553196914682893110806260117481869597642923827518269}{14360827322849063172740273308693777494589752493008678140108059327546334345758134795711135927671876967221272004129857} a^{4} + \frac{56239740793711033272096098054507645930837972568094383078851808342373009392017768956685945053470042709266803634379}{246009889898913287755722026701392333954428308231412045226690523812356905280653272731668281416220590444904017201368} a^{3} + \frac{49485017037705712751204472038536902764858220753138675491924038422612192776092252505500535885058478220408752774686031}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856} a^{2} - \frac{6683098726937096214038010870610884452974357667986305315246566274417787699903433083923606723789050328940501311192219}{28721654645698126345480546617387554989179504986017356280216118655092668691516269591422271855343753934442544008259714} a + \frac{20287953315088599957515181754189627464782280378181631378480111021250583476608344635784157228442720615753064673252239}{114886618582792505381922186469550219956718019944069425120864474620370674766065078365689087421375015737770176033038856}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 10179140078250820000000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{241}) \), 4.4.13997521.1, 5.5.3373402561.1, 8.8.47219273189051281.1, 10.10.2742542606093287451761.1, 20.20.1812691127043107566808878608684122677382270161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.4.0.1}{4} }^{10}$ $20^{2}$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/11.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/19.8.0.1}{8} }^{5}$ $40$ $20^{2}$ $40$ $40$ $20^{2}$ $40$ $20^{2}$ $20^{2}$ $20^{2}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
241Data not computed