↑

Properties

Label 40.40.7373446647...0625.2
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $5^{30}\cdot 41^{39}$
Root discriminant $124.94$
Ramified primes $5, 41$
Class number $4$ (GRH)
Class group $[4]$ (GRH)
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, -42, -368, 17547, 158876, -325213, -5418518, -1368499, 71251482, 63804814, -459521029, -489437050, 1685276998, 1764715152, -3862426401, -3615854084, 5898953147, 4621038454, -6232056333, -3896868576, 4652497592, 2249753639, -2487603618, -911215161, 961216055, 262907702, -269774833, -54425902, 55012776, 8073965, -8102091, -848332, 848906, 61458, -61458, -2912, 2912, 81, -81, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 81*x^38 + 81*x^37 + 2912*x^36 - 2912*x^35 - 61458*x^34 + 61458*x^33 + 848906*x^32 - 848332*x^31 - 8102091*x^30 + 8073965*x^29 + 55012776*x^28 - 54425902*x^27 - 269774833*x^26 + 262907702*x^25 + 961216055*x^24 - 911215161*x^23 - 2487603618*x^22 + 2249753639*x^21 + 4652497592*x^20 - 3896868576*x^19 - 6232056333*x^18 + 4621038454*x^17 + 5898953147*x^16 - 3615854084*x^15 - 3862426401*x^14 + 1764715152*x^13 + 1685276998*x^12 - 489437050*x^11 - 459521029*x^10 + 63804814*x^9 + 71251482*x^8 - 1368499*x^7 - 5418518*x^6 - 325213*x^5 + 158876*x^4 + 17547*x^3 - 368*x^2 - 42*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 81*x^38 + 81*x^37 + 2912*x^36 - 2912*x^35 - 61458*x^34 + 61458*x^33 + 848906*x^32 - 848332*x^31 - 8102091*x^30 + 8073965*x^29 + 55012776*x^28 - 54425902*x^27 - 269774833*x^26 + 262907702*x^25 + 961216055*x^24 - 911215161*x^23 - 2487603618*x^22 + 2249753639*x^21 + 4652497592*x^20 - 3896868576*x^19 - 6232056333*x^18 + 4621038454*x^17 + 5898953147*x^16 - 3615854084*x^15 - 3862426401*x^14 + 1764715152*x^13 + 1685276998*x^12 - 489437050*x^11 - 459521029*x^10 + 63804814*x^9 + 71251482*x^8 - 1368499*x^7 - 5418518*x^6 - 325213*x^5 + 158876*x^4 + 17547*x^3 - 368*x^2 - 42*x + 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 81 x^{38} + 81 x^{37} + 2912 x^{36} - 2912 x^{35} - 61458 x^{34} + 61458 x^{33} + 848906 x^{32} - 848332 x^{31} - 8102091 x^{30} + 8073965 x^{29} + 55012776 x^{28} - 54425902 x^{27} - 269774833 x^{26} + 262907702 x^{25} + 961216055 x^{24} - 911215161 x^{23} - 2487603618 x^{22} + 2249753639 x^{21} + 4652497592 x^{20} - 3896868576 x^{19} - 6232056333 x^{18} + 4621038454 x^{17} + 5898953147 x^{16} - 3615854084 x^{15} - 3862426401 x^{14} + 1764715152 x^{13} + 1685276998 x^{12} - 489437050 x^{11} - 459521029 x^{10} + 63804814 x^{9} + 71251482 x^{8} - 1368499 x^{7} - 5418518 x^{6} - 325213 x^{5} + 158876 x^{4} + 17547 x^{3} - 368 x^{2} - 42 x + 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(737344664758480175980241689422890987152982395783688920879217945970594882965087890625=5^{30}\cdot 41^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $124.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(205=5\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{205}(1,·)$, $\chi_{205}(7,·)$, $\chi_{205}(9,·)$, $\chi_{205}(138,·)$, $\chi_{205}(12,·)$, $\chi_{205}(141,·)$, $\chi_{205}(16,·)$, $\chi_{205}(146,·)$, $\chi_{205}(152,·)$, $\chi_{205}(157,·)$, $\chi_{205}(158,·)$, $\chi_{205}(159,·)$, $\chi_{205}(39,·)$, $\chi_{205}(169,·)$, $\chi_{205}(49,·)$, $\chi_{205}(178,·)$, $\chi_{205}(51,·)$, $\chi_{205}(52,·)$, $\chi_{205}(183,·)$, $\chi_{205}(184,·)$, $\chi_{205}(58,·)$, $\chi_{205}(31,·)$, $\chi_{205}(188,·)$, $\chi_{205}(74,·)$, $\chi_{205}(63,·)$, $\chi_{205}(192,·)$, $\chi_{205}(66,·)$, $\chi_{205}(68,·)$, $\chi_{205}(201,·)$, $\chi_{205}(202,·)$, $\chi_{205}(81,·)$, $\chi_{205}(84,·)$, $\chi_{205}(86,·)$, $\chi_{205}(88,·)$, $\chi_{205}(144,·)$, $\chi_{205}(167,·)$, $\chi_{205}(108,·)$, $\chi_{205}(177,·)$, $\chi_{205}(112,·)$, $\chi_{205}(114,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{32} - \frac{1}{4} a^{29} - \frac{1}{4} a^{27} - \frac{1}{4} a^{26} - \frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{4} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{4} a^{17} + \frac{1}{4} a^{16} + \frac{1}{4} a^{13} + \frac{1}{4} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} + \frac{1}{4} a^{5} + \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{4} a + \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{33} - \frac{1}{4} a^{30} - \frac{1}{4} a^{28} - \frac{1}{4} a^{27} - \frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} + \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} + \frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} + \frac{1}{4} a^{12} + \frac{1}{4} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{4} a^{7} + \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{34} - \frac{1}{4} a^{31} - \frac{1}{4} a^{29} - \frac{1}{4} a^{28} - \frac{1}{4} a^{25} - \frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{2} a^{20} + \frac{1}{4} a^{19} + \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{4} a^{13} + \frac{1}{4} a^{12} + \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{1}{4} a^{8} + \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{35} - \frac{1}{4} a^{30} - \frac{1}{4} a^{27} - \frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{4} a^{21} + \frac{1}{4} a^{20} + \frac{1}{4} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} + \frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{4} a^{10} + \frac{1}{4} a^{8} + \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{36} - \frac{1}{4} a^{31} - \frac{1}{4} a^{28} - \frac{1}{4} a^{25} - \frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{4} a^{21} + \frac{1}{4} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} + \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} + \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{4} a^{13} - \frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} + \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} + \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{692} a^{37} - \frac{5}{692} a^{36} - \frac{15}{692} a^{35} + \frac{79}{692} a^{34} + \frac{7}{173} a^{33} - \frac{7}{692} a^{32} - \frac{40}{173} a^{31} - \frac{125}{692} a^{30} + \frac{45}{346} a^{29} - \frac{15}{173} a^{28} - \frac{167}{692} a^{27} - \frac{65}{692} a^{26} + \frac{131}{692} a^{25} + \frac{40}{173} a^{24} - \frac{15}{692} a^{23} - \frac{17}{346} a^{22} + \frac{59}{692} a^{21} + \frac{16}{173} a^{20} + \frac{91}{692} a^{19} + \frac{65}{173} a^{18} - \frac{1}{4} a^{17} - \frac{239}{692} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} + \frac{60}{173} a^{14} - \frac{99}{692} a^{13} - \frac{24}{173} a^{12} - \frac{209}{692} a^{11} + \frac{34}{173} a^{10} + \frac{69}{173} a^{9} + \frac{40}{173} a^{8} + \frac{145}{692} a^{7} - \frac{36}{173} a^{6} - \frac{253}{692} a^{5} + \frac{341}{692} a^{4} + \frac{4}{173} a^{3} + \frac{153}{346} a^{2} - \frac{57}{173} a + \frac{277}{692}$, $\frac{1}{3818104589944} a^{38} - \frac{1487585271}{3818104589944} a^{37} + \frac{221291895801}{1909052294972} a^{36} + \frac{73974477221}{954526147486} a^{35} - \frac{4959730169}{477263073743} a^{34} + \frac{108303869855}{1909052294972} a^{33} - \frac{167144298905}{1909052294972} a^{32} - \frac{191096101091}{954526147486} a^{31} - \frac{272825468945}{1909052294972} a^{30} - \frac{424753772329}{1909052294972} a^{29} + \frac{716387718105}{3818104589944} a^{28} + \frac{145677422679}{3818104589944} a^{27} + \frac{525494460889}{3818104589944} a^{26} + \frac{843775421297}{3818104589944} a^{25} - \frac{34952822219}{954526147486} a^{24} - \frac{598736054953}{3818104589944} a^{23} + \frac{924112956865}{3818104589944} a^{22} - \frac{123742170727}{954526147486} a^{21} + \frac{1662728188055}{3818104589944} a^{20} + \frac{1129546440287}{3818104589944} a^{19} + \frac{1672110413137}{3818104589944} a^{18} - \frac{568597888547}{3818104589944} a^{17} - \frac{320474023417}{954526147486} a^{16} - \frac{692759062691}{3818104589944} a^{15} + \frac{565388442531}{3818104589944} a^{14} - \frac{905101085835}{3818104589944} a^{13} + \frac{232945079140}{477263073743} a^{12} - \frac{733911985951}{3818104589944} a^{11} - \frac{269453090337}{1909052294972} a^{10} - \frac{141207202953}{3818104589944} a^{9} + \frac{1873728272803}{3818104589944} a^{8} - \frac{489533914865}{3818104589944} a^{7} - \frac{567667263455}{3818104589944} a^{6} - \frac{417872251419}{1909052294972} a^{5} - \frac{391825610695}{3818104589944} a^{4} + \frac{1272449196661}{3818104589944} a^{3} + \frac{482595976103}{3818104589944} a^{2} + \frac{73548951646}{477263073743} a + \frac{584901348389}{3818104589944}$, $\frac{1}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{39} + \frac{29508517042612760351907286278200043136840799726742037825040751341100159094967235213552124228055}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{38} + \frac{364473569656066347601412026387748451751644169038329976697306226661028033773441985466296216227123022068813}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{37} - \frac{9028512078470511645463907661208814973430017577920560083948987986928000537162322068862533211233694681310635}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{36} - \frac{21681402786175966549885158997720909055825419957838304769204667114715950111325924228100902189443440884599137}{204631653320115759186479630714967140283654042015300780889819214532052770686406750594191001426535711574858452} a^{35} - \frac{3601387653592784202007058503716943513428644252274941938267021214295363479129012982771028952593634044748425}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{34} - \frac{3353632865219741609360229079201468453610459071902588331500847480451385153561852273990477209483749809221035}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{33} + \frac{4684942838272813596721241323443842256678669658076352641523896159056336248429495666931247185716343212431465}{51157913330028939796619907678741785070913510503825195222454803633013192671601687648547750356633927893714613} a^{32} + \frac{126804722374468135200944600443940343050290355089396166569999089814601326712435339002007585995788300792765}{632555342566045623451250790463576940598621459089028688994804372587489244780237250677561055414329865764632} a^{31} - \frac{5764473030368953511554886276187626328890351124671727041281980521773463339312586072516533448833079814747101}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{30} - \frac{176359025037548339780805954950105603505776678849601970303718397481938214749679621566653598036241669701056349}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{29} + \frac{41181650282652263915420821749263083452667807999950784889162366441023912157872470760598881187961138830149737}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{28} + \frac{11793389684785967501247961653634536653043570185497134057070148671096880395342719435684284347404745315378281}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{27} - \frac{42259411992084850877222074325554854246823719606817015119218406586439385007950247592437255563758316923727563}{204631653320115759186479630714967140283654042015300780889819214532052770686406750594191001426535711574858452} a^{26} - \frac{171151332678515930382661273852382204163877800597735026247836830725760782580871648542569522550204741491989485}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{25} - \frac{43162198774338482897447237264613800719722887682423422951678935265182544037618960624983777279787538157006865}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{24} - \frac{12094156650906298223801844277966245502905299775435681911331149397578884308485981365076331641393951433676370}{51157913330028939796619907678741785070913510503825195222454803633013192671601687648547750356633927893714613} a^{23} - \frac{9397869720726790362514700887271312758100420543675117666910293979700061995848835302009218344323180110688313}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{22} - \frac{157400329739704787262816869544042844049674035176755083431623792856056871350685725624848675556654445474308913}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{21} + \frac{60000873153049427091653863783526542981835871482058449718126730116197933649011998123120769633532604641314399}{204631653320115759186479630714967140283654042015300780889819214532052770686406750594191001426535711574858452} a^{20} - \frac{19515387146013853863103525889168854423948182541070521301143469516989173835620242676711263727492022248251259}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{19} - \frac{2438166575492914490103549741899949316336807419881224026749479174335112345815342481617891214285815754125997}{204631653320115759186479630714967140283654042015300780889819214532052770686406750594191001426535711574858452} a^{18} + \frac{129010185473986139150541643102029250053442405031059620305036572480199234974060437367857637136468101961467115}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{17} - \frac{193763925845464680827693743445876033920347307916852475747150996329355569201295950759286636878488778562925521}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{16} + \frac{33439723351805286536926309183780170622581190306408015866603641478967219246366676249384487813461792131418685}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{15} - \frac{48572408078984167569223308920871103059860461238630369436599083881212674964670076258784649044704536180963221}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{14} + \frac{129591897120303060742811423583269545041094403915788699589722163564493880390163632918834934294516171962354087}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{13} + \frac{331039140296505177301470758626858665540616989820373538534113108479652325416187668586808650999747254016596265}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{12} - \frac{329168717620175231925018788179419825297024132706731266600931694817726984452230847042750883718498011517885471}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{11} - \frac{319537642682014154354836322504698045379273312469114500420711669678743622249668660202020867036798827858841807}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{10} - \frac{146302440108170464445587834401181625954973084304247038569530083631320890124563072843988151481927426096898027}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{9} - \frac{46412184456260043059058292777127905575586605352325716741803866172905539806155115951639666118388638731802423}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{8} + \frac{61494222551944113731746565788503863365122523042702281067861160953445165132161033199806821319039353846377485}{409263306640231518372959261429934280567308084030601561779638429064105541372813501188382002853071423149716904} a^{7} + \frac{76710259978357999156517853266116458361551699604950766348618114798565481505639520586184908829593557654905667}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{6} - \frac{357636295265871666724903408146074109750697317659251832167241885527498778270942942922180405647050752740921225}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{5} - \frac{16057722929481296632134801973523516225388038066196010218884059154456057511882589494150633405672530453753007}{102315826660057879593239815357483570141827021007650390444909607266026385343203375297095500713267855787429226} a^{4} - \frac{43076443659275269005072196013624301504560459342485693148126546446907485561212472149610394299459111274225601}{204631653320115759186479630714967140283654042015300780889819214532052770686406750594191001426535711574858452} a^{3} - \frac{355367805576980168362057568912620013412308024021010944613193192955545874178568186799229467225757497270378977}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a^{2} - \frac{160306395636941177463116227716152872607975741303927210523968295409593944283730058028604157892983756509645995}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808} a - \frac{302675421340331910508530120917785177893328866261377834565360911814242949685826899450698334549410775447585435}{818526613280463036745918522859868561134616168061203123559276858128211082745627002376764005706142846299433808}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{4}$, which has order $4$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 64647138790255070000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.1723025.1, 5.5.2825761.1, 8.8.3043035529390625.2, 10.10.327381934393961.1, 20.20.42913439156921905845805508304306640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.5.0.1}{5} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/3.8.0.1}{8} }^{5}$ R $40$ $40$ $40$ $40$ $40$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.10.0.1}{10} }^{4}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
41Data not computed