↑

Properties

Label 40.40.7373446647...0625.1
Degree $40$
Signature $[40, 0]$
Discriminant $5^{30}\cdot 41^{39}$
Root discriminant $124.94$
Ramified primes $5, 41$
Class number $4$ (GRH)
Class group $[4]$ (GRH)
Galois group $C_{40}$ (as 40T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, -42, -1393, 9347, 167076, -222713, -5465258, -1368499, 71832862, 59850774, -463797329, -479757360, 1689050228, 1758165812, -3860632446, -3617168339, 5896023902, 4623967699, -6230948923, -3897975986, 4652335232, 2249915999, -2487595418, -911223361, 961216055, 262907702, -269774833, -54425902, 55012776, 8073965, -8102091, -848332, 848906, 61458, -61458, -2912, 2912, 81, -81, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^40 - x^39 - 81*x^38 + 81*x^37 + 2912*x^36 - 2912*x^35 - 61458*x^34 + 61458*x^33 + 848906*x^32 - 848332*x^31 - 8102091*x^30 + 8073965*x^29 + 55012776*x^28 - 54425902*x^27 - 269774833*x^26 + 262907702*x^25 + 961216055*x^24 - 911223361*x^23 - 2487595418*x^22 + 2249915999*x^21 + 4652335232*x^20 - 3897975986*x^19 - 6230948923*x^18 + 4623967699*x^17 + 5896023902*x^16 - 3617168339*x^15 - 3860632446*x^14 + 1758165812*x^13 + 1689050228*x^12 - 479757360*x^11 - 463797329*x^10 + 59850774*x^9 + 71832862*x^8 - 1368499*x^7 - 5465258*x^6 - 222713*x^5 + 167076*x^4 + 9347*x^3 - 1393*x^2 - 42*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^40 - x^39 - 81*x^38 + 81*x^37 + 2912*x^36 - 2912*x^35 - 61458*x^34 + 61458*x^33 + 848906*x^32 - 848332*x^31 - 8102091*x^30 + 8073965*x^29 + 55012776*x^28 - 54425902*x^27 - 269774833*x^26 + 262907702*x^25 + 961216055*x^24 - 911223361*x^23 - 2487595418*x^22 + 2249915999*x^21 + 4652335232*x^20 - 3897975986*x^19 - 6230948923*x^18 + 4623967699*x^17 + 5896023902*x^16 - 3617168339*x^15 - 3860632446*x^14 + 1758165812*x^13 + 1689050228*x^12 - 479757360*x^11 - 463797329*x^10 + 59850774*x^9 + 71832862*x^8 - 1368499*x^7 - 5465258*x^6 - 222713*x^5 + 167076*x^4 + 9347*x^3 - 1393*x^2 - 42*x + 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{40} - x^{39} - 81 x^{38} + 81 x^{37} + 2912 x^{36} - 2912 x^{35} - 61458 x^{34} + 61458 x^{33} + 848906 x^{32} - 848332 x^{31} - 8102091 x^{30} + 8073965 x^{29} + 55012776 x^{28} - 54425902 x^{27} - 269774833 x^{26} + 262907702 x^{25} + 961216055 x^{24} - 911223361 x^{23} - 2487595418 x^{22} + 2249915999 x^{21} + 4652335232 x^{20} - 3897975986 x^{19} - 6230948923 x^{18} + 4623967699 x^{17} + 5896023902 x^{16} - 3617168339 x^{15} - 3860632446 x^{14} + 1758165812 x^{13} + 1689050228 x^{12} - 479757360 x^{11} - 463797329 x^{10} + 59850774 x^{9} + 71832862 x^{8} - 1368499 x^{7} - 5465258 x^{6} - 222713 x^{5} + 167076 x^{4} + 9347 x^{3} - 1393 x^{2} - 42 x + 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $40$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[40, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(737344664758480175980241689422890987152982395783688920879217945970594882965087890625=5^{30}\cdot 41^{39}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $124.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 41$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(205=5\cdot 41\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{205}(1,·)$, $\chi_{205}(3,·)$, $\chi_{205}(9,·)$, $\chi_{205}(13,·)$, $\chi_{205}(142,·)$, $\chi_{205}(16,·)$, $\chi_{205}(17,·)$, $\chi_{205}(146,·)$, $\chi_{205}(147,·)$, $\chi_{205}(22,·)$, $\chi_{205}(153,·)$, $\chi_{205}(27,·)$, $\chi_{205}(28,·)$, $\chi_{205}(31,·)$, $\chi_{205}(38,·)$, $\chi_{205}(39,·)$, $\chi_{205}(169,·)$, $\chi_{205}(47,·)$, $\chi_{205}(48,·)$, $\chi_{205}(49,·)$, $\chi_{205}(51,·)$, $\chi_{205}(53,·)$, $\chi_{205}(137,·)$, $\chi_{205}(184,·)$, $\chi_{205}(159,·)$, $\chi_{205}(193,·)$, $\chi_{205}(66,·)$, $\chi_{205}(67,·)$, $\chi_{205}(198,·)$, $\chi_{205}(201,·)$, $\chi_{205}(74,·)$, $\chi_{205}(141,·)$, $\chi_{205}(81,·)$, $\chi_{205}(84,·)$, $\chi_{205}(86,·)$, $\chi_{205}(93,·)$, $\chi_{205}(97,·)$, $\chi_{205}(144,·)$, $\chi_{205}(114,·)$, $\chi_{205}(117,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{73} a^{30} - \frac{14}{73} a^{29} - \frac{9}{73} a^{28} - \frac{7}{73} a^{27} - \frac{23}{73} a^{26} + \frac{27}{73} a^{25} - \frac{28}{73} a^{24} + \frac{18}{73} a^{23} - \frac{21}{73} a^{22} - \frac{27}{73} a^{21} + \frac{33}{73} a^{20} - \frac{7}{73} a^{19} - \frac{7}{73} a^{18} - \frac{6}{73} a^{17} + \frac{1}{73} a^{16} - \frac{1}{73} a^{15} - \frac{31}{73} a^{14} - \frac{32}{73} a^{13} - \frac{14}{73} a^{12} + \frac{34}{73} a^{11} + \frac{36}{73} a^{10} + \frac{6}{73} a^{9} - \frac{15}{73} a^{8} + \frac{4}{73} a^{7} - \frac{3}{73} a^{6} + \frac{32}{73} a^{5} - \frac{28}{73} a^{4} + \frac{24}{73} a^{3} - \frac{17}{73} a^{2} - \frac{33}{73} a - \frac{6}{73}$, $\frac{1}{73} a^{31} + \frac{14}{73} a^{29} + \frac{13}{73} a^{28} + \frac{25}{73} a^{27} - \frac{3}{73} a^{26} - \frac{15}{73} a^{25} - \frac{9}{73} a^{24} + \frac{12}{73} a^{23} - \frac{29}{73} a^{22} + \frac{20}{73} a^{21} + \frac{17}{73} a^{20} - \frac{32}{73} a^{19} - \frac{31}{73} a^{18} - \frac{10}{73} a^{17} + \frac{13}{73} a^{16} + \frac{28}{73} a^{15} - \frac{28}{73} a^{14} - \frac{24}{73} a^{13} - \frac{16}{73} a^{12} + \frac{1}{73} a^{11} - \frac{1}{73} a^{10} - \frac{4}{73} a^{9} + \frac{13}{73} a^{8} - \frac{20}{73} a^{7} - \frac{10}{73} a^{6} - \frac{18}{73} a^{5} - \frac{3}{73} a^{4} + \frac{27}{73} a^{3} + \frac{21}{73} a^{2} - \frac{30}{73} a - \frac{11}{73}$, $\frac{1}{73} a^{32} - \frac{10}{73} a^{29} + \frac{5}{73} a^{28} + \frac{22}{73} a^{27} + \frac{15}{73} a^{26} - \frac{22}{73} a^{25} - \frac{34}{73} a^{24} + \frac{11}{73} a^{23} + \frac{22}{73} a^{22} + \frac{30}{73} a^{21} + \frac{17}{73} a^{20} - \frac{6}{73} a^{19} + \frac{15}{73} a^{18} + \frac{24}{73} a^{17} + \frac{14}{73} a^{16} - \frac{14}{73} a^{15} - \frac{28}{73} a^{14} - \frac{6}{73} a^{13} - \frac{22}{73} a^{12} + \frac{34}{73} a^{11} + \frac{3}{73} a^{10} + \frac{2}{73} a^{9} - \frac{29}{73} a^{8} + \frac{7}{73} a^{7} + \frac{24}{73} a^{6} - \frac{13}{73} a^{5} - \frac{19}{73} a^{4} - \frac{23}{73} a^{3} - \frac{11}{73} a^{2} + \frac{13}{73} a + \frac{11}{73}$, $\frac{1}{73} a^{33} + \frac{11}{73} a^{29} + \frac{5}{73} a^{28} + \frac{18}{73} a^{27} - \frac{33}{73} a^{26} + \frac{17}{73} a^{25} + \frac{23}{73} a^{24} - \frac{17}{73} a^{23} - \frac{34}{73} a^{22} - \frac{34}{73} a^{21} + \frac{32}{73} a^{20} + \frac{18}{73} a^{19} + \frac{27}{73} a^{18} + \frac{27}{73} a^{17} - \frac{4}{73} a^{16} + \frac{35}{73} a^{15} - \frac{24}{73} a^{14} + \frac{23}{73} a^{13} - \frac{33}{73} a^{12} - \frac{22}{73} a^{11} - \frac{3}{73} a^{10} + \frac{31}{73} a^{9} + \frac{3}{73} a^{8} - \frac{9}{73} a^{7} + \frac{30}{73} a^{6} + \frac{9}{73} a^{5} - \frac{11}{73} a^{4} + \frac{10}{73} a^{3} - \frac{11}{73} a^{2} - \frac{27}{73} a + \frac{13}{73}$, $\frac{1}{73} a^{34} + \frac{13}{73} a^{29} - \frac{29}{73} a^{28} - \frac{29}{73} a^{27} - \frac{22}{73} a^{26} + \frac{18}{73} a^{25} - \frac{1}{73} a^{24} - \frac{13}{73} a^{23} - \frac{22}{73} a^{22} - \frac{36}{73} a^{21} + \frac{20}{73} a^{20} + \frac{31}{73} a^{19} + \frac{31}{73} a^{18} - \frac{11}{73} a^{17} + \frac{24}{73} a^{16} - \frac{13}{73} a^{15} - \frac{1}{73} a^{14} + \frac{27}{73} a^{13} - \frac{14}{73} a^{12} - \frac{12}{73} a^{11} + \frac{10}{73} a^{9} + \frac{10}{73} a^{8} - \frac{14}{73} a^{7} - \frac{31}{73} a^{6} + \frac{2}{73} a^{5} + \frac{26}{73} a^{4} + \frac{17}{73} a^{3} + \frac{14}{73} a^{2} + \frac{11}{73} a - \frac{7}{73}$, $\frac{1}{73} a^{35} + \frac{7}{73} a^{29} + \frac{15}{73} a^{28} - \frac{4}{73} a^{27} + \frac{25}{73} a^{26} + \frac{13}{73} a^{25} - \frac{14}{73} a^{24} + \frac{36}{73} a^{23} + \frac{18}{73} a^{22} + \frac{6}{73} a^{21} - \frac{33}{73} a^{20} - \frac{24}{73} a^{19} + \frac{7}{73} a^{18} + \frac{29}{73} a^{17} - \frac{26}{73} a^{16} + \frac{12}{73} a^{15} - \frac{8}{73} a^{14} - \frac{36}{73} a^{13} + \frac{24}{73} a^{12} - \frac{4}{73} a^{11} - \frac{20}{73} a^{10} + \frac{5}{73} a^{9} + \frac{35}{73} a^{8} - \frac{10}{73} a^{7} - \frac{32}{73} a^{6} - \frac{25}{73} a^{5} + \frac{16}{73} a^{4} - \frac{6}{73} a^{3} + \frac{13}{73} a^{2} - \frac{16}{73} a + \frac{5}{73}$, $\frac{1}{73} a^{36} - \frac{33}{73} a^{29} - \frac{14}{73} a^{28} + \frac{1}{73} a^{27} + \frac{28}{73} a^{26} + \frac{16}{73} a^{25} + \frac{13}{73} a^{24} - \frac{35}{73} a^{23} + \frac{7}{73} a^{22} + \frac{10}{73} a^{21} - \frac{36}{73} a^{20} - \frac{17}{73} a^{19} + \frac{5}{73} a^{18} + \frac{16}{73} a^{17} + \frac{5}{73} a^{16} - \frac{1}{73} a^{15} + \frac{35}{73} a^{14} + \frac{29}{73} a^{13} + \frac{21}{73} a^{12} + \frac{34}{73} a^{11} - \frac{28}{73} a^{10} - \frac{7}{73} a^{9} + \frac{22}{73} a^{8} + \frac{13}{73} a^{7} - \frac{4}{73} a^{6} + \frac{11}{73} a^{5} - \frac{29}{73} a^{4} - \frac{9}{73} a^{3} + \frac{30}{73} a^{2} + \frac{17}{73} a - \frac{31}{73}$, $\frac{1}{73} a^{37} + \frac{35}{73} a^{29} - \frac{4}{73} a^{28} + \frac{16}{73} a^{27} - \frac{13}{73} a^{26} + \frac{28}{73} a^{25} - \frac{10}{73} a^{24} + \frac{17}{73} a^{23} - \frac{26}{73} a^{22} + \frac{22}{73} a^{21} - \frac{23}{73} a^{20} - \frac{7}{73} a^{19} + \frac{4}{73} a^{18} + \frac{26}{73} a^{17} + \frac{32}{73} a^{16} + \frac{2}{73} a^{15} + \frac{28}{73} a^{14} - \frac{13}{73} a^{13} + \frac{10}{73} a^{12} - \frac{1}{73} a^{11} + \frac{13}{73} a^{10} + \frac{1}{73} a^{9} + \frac{29}{73} a^{8} - \frac{18}{73} a^{7} - \frac{15}{73} a^{6} + \frac{5}{73} a^{5} + \frac{16}{73} a^{4} + \frac{19}{73} a^{3} - \frac{33}{73} a^{2} - \frac{25}{73} a + \frac{21}{73}$, $\frac{1}{1311848595611} a^{38} + \frac{6503773389}{1311848595611} a^{37} - \frac{200569797}{1311848595611} a^{36} + \frac{4288370346}{1311848595611} a^{35} + \frac{2411608322}{1311848595611} a^{34} + \frac{3808434479}{1311848595611} a^{33} + \frac{1455669063}{1311848595611} a^{32} + \frac{6236533607}{1311848595611} a^{31} - \frac{6503978602}{1311848595611} a^{30} + \frac{482512329151}{1311848595611} a^{29} + \frac{644446905269}{1311848595611} a^{28} + \frac{270471482465}{1311848595611} a^{27} - \frac{330050876034}{1311848595611} a^{26} - \frac{219198403387}{1311848595611} a^{25} - \frac{620315339901}{1311848595611} a^{24} - \frac{80846114499}{1311848595611} a^{23} - \frac{153062318216}{1311848595611} a^{22} - \frac{250416864809}{1311848595611} a^{21} - \frac{192818634392}{1311848595611} a^{20} + \frac{292443826273}{1311848595611} a^{19} - \frac{497414377053}{1311848595611} a^{18} + \frac{102458460531}{1311848595611} a^{17} + \frac{258922564367}{1311848595611} a^{16} + \frac{187499914587}{1311848595611} a^{15} - \frac{384586494418}{1311848595611} a^{14} + \frac{564766438983}{1311848595611} a^{13} + \frac{218405273533}{1311848595611} a^{12} + \frac{450367191417}{1311848595611} a^{11} + \frac{115683068265}{1311848595611} a^{10} + \frac{411506929965}{1311848595611} a^{9} - \frac{402885883689}{1311848595611} a^{8} - \frac{362513775158}{1311848595611} a^{7} + \frac{283267740586}{1311848595611} a^{6} + \frac{542260921140}{1311848595611} a^{5} - \frac{79421255483}{1311848595611} a^{4} - \frac{174645064944}{1311848595611} a^{3} - \frac{646106954512}{1311848595611} a^{2} + \frac{146606924655}{1311848595611} a + \frac{498732268485}{1311848595611}$, $\frac{1}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{39} + \frac{1464453763600858602734764789694857352453128572478295099464381074290430409567928277222828295}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{38} - \frac{5174774129918050101087205945210359067306034503415724243079571306760477627665723065036771608410209086350}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{37} - \frac{2271757801098896135902905752217451867490591106735714919782184024184223215759652429809373405767544621592}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{36} + \frac{220421962745642795754472337135010012173701065958790422473942865684124872879608994038763364012703873309}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{35} - \frac{5559280111775221496361362254914363068659822004072750769982899588336717649004755613764779032949738117783}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{34} - \frac{123212429968017222590923401584092462645513657854895547419971709456760662082259530254789411337643732338}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{33} - \frac{3045211007121391207288668051317417754348862815591780137936339721643900258710052436647677428567519163865}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{32} - \frac{5224734143045897840725192363788947078912675050456010940187033247750009778752202146965549482470152128479}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{31} + \frac{1668560927266245383075517776649656340284436530651656412050567338975033390843826696878982225462164218398}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{30} + \frac{464684173027972943292986002248834010828263616538115004276487285704184851213485274338135403599591643823060}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{29} + \frac{72033605410427524373055406185667279017936163642240359555325628926186337831116535860390635976368950667134}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{28} - \frac{156762832637595784675463278226910844032896746624083154659758206513588496700454395617336625993461389881126}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{27} + \frac{372217445009011719014743170902357945621156966215315067713789987623866314121734663958295150208003685113541}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{26} - \frac{55013548315768222508343138696723906333317837588764320996123327021891006986144230881355677349358859082507}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{25} - \frac{201907619206761540787386385648586808935918191123627303771998138348491456402224641448168663879227952428101}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{24} + \frac{167971388825862142819242853474078583378252892902051393617327643275010341180730001812835132847874530624708}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{23} - \frac{155967056375176857649451096564671160864548068654747498131791587801323762701895126772513774581984434411053}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{22} + \frac{312445029753916875981669646455419594431491648370303730073457886785395210886443679025324655060885112253408}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{21} - \frac{15863840425689784395443647062893662694518854426471506252201339635590615025063721068332257681570308596281}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{20} - \frac{476252450783410475895551859165727641861161833472485535553527454577468879728717102341578094574969081942220}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{19} + \frac{493888383326016469410560047580313922017079962899165856715899442648003868010638246656901623792790390281862}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{18} + \frac{39573340940086108056223081188704969230253041596519939029758552137468137151455979760785199079938020262682}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{17} + \frac{305221862282748415052228561991290341139355214602475891362774966106338885361566669833388078832351660409613}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{16} - \frac{370973976484531605335337194480610291954254202627954512534551888920747761399354941454979555268798032865771}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{15} - \frac{83777212300724533454877140454614022269187935789091574372064912750825623610378282467204649345884658555681}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{14} - \frac{152060348731033415209786074760392965027919952920537304845838325069744810764333738593922004627603844918809}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{13} + \frac{303183216373501948008205968171800047112730892795347546169520637569183364977517430872468726395311141336582}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{12} - \frac{440156219741649339213819827740751272063505262307615904647211952872333958718195801369509690871507489209017}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{11} + \frac{156772976281890523930791462347094801265068984117306743901955734131104826487286262511440791660520100685857}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{10} + \frac{52034758923377523200444031122702112808964237756613413284038358094293670275478640714777502392407681725903}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{9} + \frac{39907581342240794165589602382941654443652953264352030257417538188229441752265736478352425266015412820189}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{8} + \frac{310692800276688973600402695581490691011810962185196634001710400211331153789468832834881501229912839158557}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{7} - \frac{105100094014108214813753724840710638351766297269272457523252219697281303106488240474946693756062454423341}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{6} - \frac{32116017110500191962215240706688130772123076190862579223450861837060748133933399054094529430022973122607}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{5} + \frac{360968939699196714160410079027926095813295915941448389270289527205827100792795551111155474992128089660046}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{4} + \frac{16745968964164423964031423337552937226176365276504786747587189132664841104228813598075320634141722311014}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{3} - \frac{174079413375997871461272137825865757058260978402870295093551962574315032899154021730060897369858486088991}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a^{2} - \frac{208423987697101483317590082050622493946239962119714446122356311900577719307775485856517158554120863079841}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613} a + \frac{409034595449558941679471028602616881395390439553623749964384337475851913083880950895338769936696222082013}{999161838720031168528028589935925134035351151903429987354076713271420638359414381782979814546588663601613}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{4}$, which has order $4$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $39$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 74107049573194715000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{40}$ (as 40T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 40
The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$
Character table for $C_{40}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.1723025.1, 5.5.2825761.1, 8.8.3043035529390625.1, 10.10.327381934393961.1, 20.20.42913439156921905845805508304306640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.10.0.1}{10} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/3.8.0.1}{8} }^{5}$ R $40$ $40$ $40$ $40$ $40$ $20^{2}$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/31.10.0.1}{10} }^{4}$ $20^{2}$ R ${\href{/LocalNumberField/43.5.0.1}{5} }^{8}$ $40$ $40$ ${\href{/LocalNumberField/59.10.0.1}{10} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
41Data not computed